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Page [unnumbered] Page [unnumbered]i DI u ini i ir, 11 A PIO DIMENSIONI EA Pili SPECIE DI UNITÀ RETTILINEE ESPOSTI IN FORMA ELEMENTARE DI GIUSEPPE VERONESE PROFESSORE NELLA R. FOR i u i ini ir, 11 A PIO Pili DIMENSIONS AND UNITS OF SPECIES EXPOSED IN LINEAR FORM OF JOSEPH ELEMENTARY TEACHER IN VERONA R. UNIVERSITÀ DI PADOVA Siffatti tentativi di rinnovamento radi- cale dei principii si incontrano non di rado nella storia dello scibile. UNIVERSITY OF PADUA Such attempts at renewal of the sparse-cal principles come together often in the history of scholarship. Oggi poi sono un portato naturale dello spirito critico, cui a buon diritto si vanno sempre informando le indagini scientifiche (E. BELTRAMI: saggio di inter-prelazione della Geometria non Eu- clidea. Giorn. di Battaglini, 1869). Today then is a natural outcome of a critical spirit, which are becoming quite rightly informing the scientific investigations (E. Beltrami: inter-assay pre-emption of Geometry no Eu-clidea. Daily. Of Battaglini, 1869). * INTRODUZIONE PRINCIPII FOMENTALI DELLE FORME MATEMATICHE ASTRATTE PARTE I. * FOMENTALI INTRODUCTION PRINCIPLES OF MATHEMATICS ABSTRACT FORMS PART I. LA UETTA, IL PIANO E LO SPAZIO A TRE DIMENSIONI NELLO SPAZIO GENERALE PARTE II. THE UETTA, THE FLOOR SPACE AND THREE DIMENSIONS IN SPACE GENERAL PART II. LO SPAZIO A QUATTRO EAN DIMENSIONI NELLO SPAZIO GENERALE APPENDICE i'A DO VA TIPOGRAFIA DKL SEMINARIO 1891 SPACE FOUR DIMENSIONS IN SPACE EAN GENERAL APPENDIX MUST DO i'A DKL TYPOGRAPHY WORKSHOP 1891
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Page v Page vPREFAZIONE Le vive dispute intorno alla geometria a più di tre dimensioni fra matematici e fra matematici e filosofi, originate a parer nostro in gran parte dal metodo puramente analitico col quale essa veniva trat- tata, e dallo scambio che si faceva e si fa tuttora delle varietà astratte o numeriche an dimensioni cogli spazi geometrici propriamente detti; la credenza comune che sia sempre nascosto un concetto analitico nella con- siderazione di questi spazi e non si possano trattare sicuramente che con T analisi 1), la conseguente confusione sul concetto di spazio e quindi anche sull'essenza della geometria stessa, ci persuasero fin dal 1882 di ciò, che uri libro inteso a mostrare elementarmente coma la geo- metria degli spazi a più di tre dimensioni si possa svolgere in modo perfettamente analogo a quella del piano e dello spazio ordinario, sa- rebbe riuscito utile e importante, sia perché avrebbe difeso il con- cetto prettamente geometrico di tali spazi, come anche perché avreb- be reso più facile e comune lo studio di questa geometria 2). PREFACE The disputes around the lives of more than three-dimensional geometry between mathematicians and between mathematicians and philosophers, in our opinion originated mostly from the purely analytical method by which it was treated accord-ing and the exchange that you did and still do the variety or abstract numerical n-dimensional geometric spaces Take proper; the common belief that it is always hidden in an analytical concept with consideration of these areas-and that surely can not be treated with T analysis 1), the resulting confusion on the concept of space and therefore also the essence of the geometry itself, since 1882 we persuaded of this, the book aims to show that uri coma elementary geo-metry of the space to more than three dimensions you can play in a perfectly analogous to that of the plane and space Ordinary, would successful know-useful and important, because it would be defended, the concept of such purely geometrical spaces, and also because it would ultimately make it easier and common study of this geometry 2). Se avessimo potuto ammettere come nota la geometria dello spa- zio ordinario, il lavoro sarebbe stato molto meno difficile e in più 1) II concetto di forme spaziali che non devono corrispondere all'intuizione ordinaria, può essere svolto sicuramente soltanto colla geometria analitica (v. Helmoltz : Die Thatsachen in der Wahrnehmung, pag. 24; Berlin, 1879). If we could admit the known geometry of the ordinary spa-uncle, the work would be much less difficult and more 1) The concept of spatial forms that do not have to pay ordinary intuition, can surely be done only with the analytic geometry (see . Helmoltz: Die in der Thatsachen Wahrnehmung, p. 24, Berlin, 1879). Parecchi confidano che si riescirà a liberare da concetti analitici, dall'uso delle coordinate, persine la definizione degli spazi ad n dimensioni (D'O vidi o - Uno sguardo all'origine ed allo sviluppo della matematica pura, pag. 58. Torino, 1889). Many are confident that you riescirà to free from analytical concepts, the use of coordinates, even the definition of the spaces of n dimensions (or saw D'Or - A look at the origin and development of pure mathematics, p. 58. Turin , 1889). 2) A questi studi abbiamo accennato in una nota della nostra memoria La superficie oma- loide normale del 4 ordine a due dimensioni dello spazio a cinque dimensioni, e le sue proiezioni nel piano e nello spazio ordinario (Atti della R. Acc. dei Lincei, 1884), oltre che ad un nostro corso di lezioni tenuto nella R. 2) In these studies we have mentioned in a footnote of our memory-oma Lois surface normal order of 4 two-dimensional space of five dimensions, and its projections in the plane and in ordinary space (Proceedings of R. Acc Lincei , 1884), as well as to our course of lectures held in R. Università di Padova intorno a questo argomento; lezioni che si ripeterono poi in alcuni degli anni successivi sui punti principali di questo libro. University of Padua around this topic, lessons that were repeated in later years some of the main points of this book. Il manoscritto di quest'opera fu consegnato alla R. The manuscript of this work was delivered to R. Acc. dei Lincei fino dal 1889, ma, quando potemmo, abbiamo tenuto conto, specialmente nell'appendice, che fu l'ultima parte ad esser stampata, dei lavori pub- blicati su questo argomento dopo il 1889. Acc Lincei up since 1889, but when we could, we took into account, especially in the appendix, which was the last part to be printed, pub-lished work on this subject after 1889.
Page vi Page IVi breve tempo stampato. I quickly printed. Ma non lo potevamo per due ragioni: prima, per* che dovevamo risalire alle origini dei concetti della geometria, svolgendo graduatamente quella della retta, del piano e dello spazio a tre dimen- sioni per passare poi nello stesso modo a quella degli spazi superiori, o iperspazì ; poi, perché accettando le premesse e le deduzioni della geometria elementare ordinaria così come fu svolta sino ad oggi avremmo dovuto porre a base delle nostre considerazioni la proprietà che il mondo fisico è a tre dimensioni nei limiti delle nostre osservazioni, proprietà che non è punto necessaria allo svolgimento scientifico della geo- metria. But could not, for two reasons: first, for * that we had to trace the origins of the concepts of geometry, that of gradually doing right, and the floor space in three dimensions and then move in the same way that the space above, or hyperspace, then, for accepting the premises and the deductions of the ordinary elementary geometry as it was carried out so far we have placed at the base of our considerations, the property that the physical world has three dimensions within the limits of our observations, properties that do not point is necessary for the performance of scientific geometry. D'altronde per ricostruire col metodo sintetico i principi fonda- mentali di questa scienza, ci pareva indispensabile considerarli da un punto di vista più generale, così che la geometria dello spazio ordinario, come quella di ogni altro spazio ad n dimensioni, avesse i proprì fondamenti e le proprie leggi nei fondamenti e nelle leggi dello spazio generale; e ci pareva d'altra parte necessario, anche per sbarazzare la via da ogni pregiudizio, di non presuppore alcuna co- gnizione matematica, ma di ammettere soltanto nel lettore una qual- che attitudine e abitudine a pensare matematicamente. Besides, with the synthetic method to reconstruct the basic principles of this science, it seemed necessary to consider a more general point of view, so that the geometry of ordinary space, like that of every other space in n dimensions, had their foundations and their own laws in fundamental and general laws of space, and there seemed to be on the other hand, even the way to rid of all prejudice, not to any co-presuppore gnizione mathematics, but to admit only one player in what- that attitude and habit of thinking mathematically. Senonchè a voler cominciare dai fondamenti, ci siamo trovati dinanzi alla questione molto intricata degli assiomi geometrici, e quindi anche a quella dei principi della matematica pura che è intimamente collegata colla prima, e intorno alle quali si sono affaticati non po- chi dei più illustri matematici, specialmente di questo secolo. Except to want to start with the basics, before we found the question very intricate geometric axioms, and then also to the principles of pure mathematics which is intimately connected with the former, and around which there is not some-those who are tired of the most illustrious mathematicians, especially in this century. In questa prefazione diamo un resoconto sommario del nostro metodo e svolgiamo considerazioni colle quali e coli*aiuto dell'appendice si pos- sono meglio giudicare le idee che dominane nella nostra opera. In this preface we give a summary of our method and considerations with which we carry, and Appendix coli * help you may have better judge the ideas dominane in our work. In questo resoconto facciamo alcune considerazioni sugli assiomi geometrici, e sulla geometria propriamente detta, che è utile di leggere per formarsi un'idea chiara delle serie difficoltà che presenta una tale questione e della necessità che siano rimosse. In this report we make some remarks on the axioms of geometry, and geometry itself, which is useful to read in order to form a clear idea of the serious difficulties that this presents an issue and the need to be removed. Ma il corpo del libro ne è indi- pendente, dimodoché chi non ha una sufficiente preparazione o chi incontra qualche difficoltà nel comprendere o giudicare certe discus- sioni delicate, le quali hanno bisogno dello svolgimento del testo per poter essere esattamente interpretate, può passare senz'altro alla let- tura del testo riservandosi di tornare poi su questo resoconto '). But the body of the book is independent, so that those without sufficient preparation or who have any difficulty in understanding or judging some delicate discussions, which they require the performance of the text to be interpreted exactly, can certainly go 'the other-to-read text reserving the right to return later on this account'). 1) E per questo che siamo rimasti incerti dapprima se non fosse stato utile sopprimere addi- rittura la prefazione, limitandoci a poche parole, come si fa oggi comunemente. 1) That's why we were unsure at first if it was not useful to suppress the Paleo-the preface, limiting ourselves to a few words, as commonly done today. Ma ci convincemmo per l'opposizione accanita che incontrarono certe idee, mai ben definite, che anche a costo di non riuscire brevi quanto avremmo voluto, era necessario accennare come questa opposizione rispetto a certe nostre definizioni o ipotosi non abbia alcun fondamento; imperocché non vi è campo della matematica noi qnnlo i pregiudizi siano radicati maggiormente come in quello dei principi di essa, But we were convinced that they met fierce opposition to certain ideas, never clearly defined, even at the cost of failing shorter than we wanted, it was necessary to mention how this opposition than some of our definitions or ipotosi has no foundation; Inasmuch as there is the field of mathematics we qnnlo prejudices are rooted more like that of the principles of it,
Page vii Page viiVII Le cose pensate o hanno o non hanno necessariamente un'immagine in un campo esistente effettivamente fuori del pensiero; ad es. VII The things you think or have or do not necessarily have an image in a field which actually exists outside of thought, for example. il punto della geometria appartiene alle cose della prima categoria, perché vi sono oggetti esterni che ci forniscono o risvegliano in noi direttamente l'idea del punto, e senza di cui non si ha il punto geometrico pro- priamente detto 1). point geometry belongs to things in the first category, because there are external objects that we provide directly or awaken in us the idea of the point, and without which no one has the geometric point priamente said pro-1). Il numero, che è nella sua prima formazione il risultato della fun- zione del numerare oggetti, anche puramente astratti 2), appartiene invece alle seconda categoria, perché non vi è bisogno di alcun oggetto fuori del pensiero che debba rappresentarlo, vale a dire che ne sia T immagine, per avere la determinazione matematica di esso 3). The number, which is in its first formation the result of the function of the number objects, even purely abstract 2), belongs rather to the second category, because there is no need of anything outside of thought that it should represent, ie it is T image, to have the mathematical determination of it 3). Le cose della seconda categoria si chiamano forme, e le scienze che si occupano delle forme scienze formali. The second category of things called forms, and the sciences that deal with forms of formal sciences. Tali sono la logica e la matematica pure. These are logic and mathematics as well. In queste scienze la verità scaturisce dall'armo- nia dei diversi atti del pensiero. In these sciences the truth comes dall'armo-nia of the various acts of thought. Le scienze di oggetti esistenti effettivamente fuori del pensiero si chiamano sperimentali. The science of objects actually exist outside of thought are called experimental. La verità in queste scienze riposa invece suir armonia del pensiero coir oggetto fuori di esso, e quindi siamo costretti a ritenere in esse come impossibile tutto ciò che è in con- traddizione colle leggi del pensiero stesso e dell' oggetto, o per meglio dire della rappresentazione mentale di esso. The truths in these sciences rests instead Suir harmony of thought coir object out of it, and then we are forced to believe in them as impossible everything that is in contradiction with the laws of thought itself and of the 'object, or rather the mental representation of it. Le scienze formali hanno il loro fondamento sui principi, sulle operazioni mentali, e su definizioni o ipotesi : la dimostrazione si basa in esse sulla combinazione dei diversi atti del pensiero senza entrare e specialmente della geometria; e ove sia più facile, sia per la oscurità in cui cadono inconsape- volmente anche autori illustri, sia per critiche poco attente e coscienziose di travisare i concetti altrui. The formal sciences have their basis on the principles, mental operations, and definitions or assumptions: the proof is based on a combination of these various acts of thought without going and especially geometry, and where it is easier, both for the dark they fall inconsape-ably also distinguished authors, is critical for very careful and conscientious to misrepresent the concepts of others. Questa prefazione serve a far conoscere in riassunto gli scopi, il metodo ei risultati prin- cipali dell'opera, e facilitare la lettura del testo a coloro che hanno bisogno di esaminare soltanto lo svolgimento di esso relativamente ad una data idea, perché non tutte le idee fondamentali sono dipendenti in modo che 1* esclusione di una fra esse conduca a rigettare anche le altre. This preface serves to raise awareness in summary the aims, method and main results cipali work, and to facilitate the reading of the text to those who need only to examine the performance of it with respect to a given idea, because not all fundamental ideas are employees so that 1 * exclusion of one of them leads to reject the other. Certo è che tutte hanno la loro ragione d'essere nel loro insieme, e che quindi il libro va giudicato nel suo complesso e nell'unione dei diversi suoi scopi. It is certain that all have their reason for being together, and that therefore the book should be judged as a whole and in the union of several of its purposes. Parrà a prima vista che si cominci troppo tardi la trattazione della geometria; ma ciò non è che apparente, perché in fondo della prefazione non si ha alcun bisogno per comprendere il testo, e nella introduzione sono svolte le parti semplici e le conseguenze dell'assioma II e dell'ipotesi I della parte I. It may seem at first glance that it's too late to begin the discussion of the geometry, but this is only apparent, because in the end of the preface does not have any need to understand the text, and the introduction of simple parts were held and the consequences of the axiom The hypothesis of Part II and I. Che se poi si concedono le proprietà dell' introduzione, lo studio della geome- tria si può cominciare addirittura dalla parte I, come quello degli spazi a quattro eaw dimen- sioni dalla parte II. Because if you allow the properties of 'introduction, the study of geometry you can even begin the part I like the spaces in four dimensions by aw Part II. 1) Intr. 1) Intro. pag. page. 47 e parte I. 47, Part I. pag. page. 209-210. 209-210. 2) Intr. 2) Intr. pag. page. 26-27. 26-27. 3) Con ciò non intendiamo dire che le cose della seconda categoria non si pensino in seguito al- 1* osservazione di oggetti fuori del pensiero; l'importante o di vedere se la cosa pensata possa es- sere definita o data matematicamente senza F aiuto necessario dell'osservazione sensibile, vale a dire se possa essere indipendente da questa, come avviene precisamente del numero, ma non del punto. 3) This is not to say that things do not think the second category-1 * following the observation of objects out of thought and the important thought of seeing if it can be es-defined mathematically or date without help F necessary observation sensitive, ie whether it can be independent of that, as is precisely the number, but not of the point. Come pure non intendiamo dire che il punto non sia un prodotto del nostro spirto, ma lo è necessariamente combinato colla sensibilità esterna. How well does not mean that the point is not a product of our spirit, but not necessarily combined with the external sensitivity.
Page viii Page viiivnr in altri campi. VNR in other fields. Siccome nelle scienze sperimentali vi deve essere armonia tra l'oggetto ed il pensiero, così esse si fondano su quelle verità che si intuiscono colla percezione di quel!' As in the experimental sciences, there must be harmony between the object and thought, so they are based on truths that are perceived with the perception of that! ' oggetto, ma che non possono essere dedotte le une dalle altre Queste verità si chiamano as- siomi, e le verità dedotte dagli assiomi teoremi. object, but that can not be deduced from each other These truths are called axioms, and the truths deduced from the axioms theorems. Vi sono poi nella scienza geometrica assiomi che si intuiscono per l'osservazione degli oggetti esterni e si estendono a quelli che siamo indotti a ritenere realmente esistenti fuori di questo campo; ve ne sono invece altri che riguar- dano soltanto gli oggetti che immaginiamo esistano fuori di questo campo, i quali pur essendo uguali ai primi, hanno solamente nn'esi- stenza astratta ; dimodoché la geometria come noi la consideriamo, si può chiamare una scienza mista. There are also geometric axioms in science that are perceived by the observation of external objects, and extend to those who are led to believe that actually exist outside this range, there are others concerning him only the objects that we imagine exists outside This field, which despite being the same as the first, you only have nn'esi-tance abstract geometry as that way that we consider, you can call it a science mixed. Questi ultimi assiomi vengono ac- cettati come verità fondamentali quantunque non siano comprovati dalla nostra esperienza, senza però che contraddicano alle leggi del campo di essa, e perciò essi non hanno 1' evidenza dei primi, e sono propriamente postulati o ipotesi. These axioms are ac-cettati fundamental truths as though they are proven by our experience, but without contradicting the laws of the field it, and therefore they do not have an 'out of the first, and are really postulates or assumptions. È chiaro poi che fra gli assiomi di una special scienza sperimen- tale non bisogna annoverare quei principi che appartengono alla lo- gica pura, e sono necessità dell' intendimento umano e patrimonio di tutte le scienze. It is also clear that among the axioms of a special experimental science that should not include those principles which belong to the pure-logical, and have need of 'human understanding and wealth of all the sciences. Le scienze formali sono per noi esatte, quelle sperimentali tanto più lo sono quanto più semplici e intuitivi sono gli assiomi propria- mente detti, sui quali esse si appoggiano, e quanto più presto esse pos- sono sostituire i loro oggetti mediante forme astratte e svolgersi col metodo deduttivo. The formal sciences are exact for us, the more experimental ones are as simple and intuitive axioms are self-mind said, on which they rest, and how soon they may have to replace their objects using abstract forms and take place with the deductive method. La scienza sperimentale più esatta è la geometria, perché gli oggetti fuori del pensiero, che servono alla determinazione degli assiomi, vengono sostituiti nella nostra mente da forme astratte, e quindi le verità degli oggetti si dimostrano colla combinazione delle forme già ottenute indipendentemente da ciò che succede di fuori. Experimental science is more accurate geometry, because the objects out of thought, used as the basis of the axioms are replaced by abstract forms in our minds, and thus prove the truth of the objects with the combination of the forms already obtained independently from what happens outside. È per questo che non senza qualche ragione la geometria (come per motivi analoghi la meccanica razionale) va considerata fra le mate- matiche pure; sebbene essa sia nella sua radice una scienza sperimen- tale '). This is not without reason that the geometry (for similar reasons as rational mechanics) should be considered among the mate-matic as well, although it has its roots in an experimental science that '). Si entra tosto nel campo pratico quando si cerca una costruzione empirica di queste verità, operando cogli oggetti primitivi in modo analogo a quello usato con le forme astratte, a cui hanno dato ori- gine. It soon comes in handy when searching for a construction of these empirical truths, working Seize primitive objects in a manner similar to that used with abstract forms, which have given origin. Queste operazioni nel di fuori si potranno eseguire soltanto 1) Ormai sull'origine empirica della geometria si può dire che i geometri sono tutti concordi nell'ammetterla. These operations will be run out of 1) empirical origins of geometry now can be said that the surveyors are all agreed nell'ammetterla. Gauss nella sua lettera a Bessel (Gòttingen 27 f. 1829 - Briefwechsel zwi- schen Gauss und Bessel) esprime appunto la convinzione che la geometria non si possa fon- dare a priori, e così pure in un'altra lettera a Bessel (9 ap. 1830) ripete lo stesso concetto. Gauss in his letter to Bessel (Gottingen, 27 f., 1829 - Briefwechsel Zwi und Bessel Gauss-Schengen) precisely expresses the belief that the geometry-fon can not give a priori, and so also in another letter to Bessel (9 ap . 1830) repeats the same concept. Così Grassmann - Ausdehnungslehre. So Grassmann - Ausdehnungslehre. Bini. Bini. Leipzig, 1844) si esprime nel medesimo senso; ma per essi la geometria è sempre a tre dimensioni (vedi app.). Leipzig, 1844) is expressed in the same sense, but for them it is always three-dimensional geometry (see app.).
Page ix Page ixtt con oggetti di un campo ristretto, cioè del campo delle attuali nostre osservazioni esterne; ma l'impossibilità pratica di fare altrettanto con altri oggetti o di questo medesimo campo o fuori di esso non infirma per nulla le verità già acquisite in un campo astrattamente più ampio. tt with objects in a narrow range, ie the current field of our external observations, but the practical impossibility to do the same with other items of this same field or off it does not affect at all the truths already acquired in a field more abstractly wide. Noi distinguiamo anzi nettamente la geometria dalle sue prati- che applicazioni, e troviamo appunto assiomi che non sono necessari per lo svolgimento scientifico della geometria, mentre lo sono per le sue pratiche applicazioni. Indeed we distinguish clearly the geometry of its practical applications that, and we find precisely axioms that are not necessary for carrying out scientific geometry, while they are for its practical applications. La geometria teoretica pertanto si distingue dalle altre scienze sperimentali esterne in questo: che essa ha bisogno dell'osservazione esterna per fissare i suoi assiomi propriamente detti, ma se ne rende tosto indipendente considerando non già i corpi stessi bensì il luogo che essi occupano nello spazio intuitivo vuoto, diventando subito dopo una scienza puramente deduttiva ') E la meccanica teoretica stessa non può libe- rarsi a stretto rigore dai corpi, perché ad es. The theoretical geometry thus differs from the other experimental sciences outside, in that it needs to secure its external observation axioms as such, but if it makes it tough not considering independent bodies themselves but the place they occupy in space Intuitive empty, immediately after becoming a purely deductive science ') and theoretical mechanics itself can not strictly speaking liberal-ting from the bodies, because eg. il principio del movi- mento riguarda i corpi stessi e non il luogo da essi occupato. the principle of move-ment about the bodies themselves and not the place occupied by them. In ogni modo la geometria teorica non ha bisogno nei suoi fondamenti dell'aiuto necessario di nessun'altra scienza sperimentale, ad es. In any case, the geometry does not need its theoretical foundations of aid required of any other experimental science, eg. della meccanica e della fisica (come meglio diremo in seguito), mentre in- vece queste scienze hanno bisogno della geometria. mechanics and physics (as best as we say later), while in-stead of these sciences need geometry. Quand'è che un'ipotesi matematica è possibile? When is a mathematical hypothesis is that possible? Nel campo mate- matico è possibile la definizione, il postulato o l'ipotesi ben deter- minata, i cui termini non si contraddicono fra loro e non con- traddicono ai principi, alle operazioni logiche e alle ipotesi già stabilite, e alle verità che da esse derivano. In the field of mate-matic can be defined, the postulate or hypothesis clearly deter-mined, whose terms do not contradict one another-and not contradict the principles, assumptions and logic operations already established, and the truth thereunder. Ben determinata vuoi dire che corrisponde ad un solo concetto, senza cioè che vi sia dubbio sul suo signficato. Well-determined mean that corresponds to one concept, namely that there is no doubt about its meaning does. Una nuova for- ma, o una proprietà di una data forma stabilita per mezzo di un'i- potesi, non deve essere unicamente dipendente dalle verità già pre- messe, perché in questo caso o è conseguenza immediata di quelle verità, o non è tale, ed allora deve essere dedotta dalle premesse. But a new form, or a property of a given form determined by the institu-hypothesis should not be solely dependent on the truth already pre-made, because in this case or is an immediate consequence of those truths, or is not that, and then it must be inferred from the premises. Un'ipotesi è matematicamente falsa soltanto quando stabilisce una proprietà che è o può essere dimostrata in contraddizione con le ve- rità precedenti, o con quelle che da queste si possono dedurre La possibilità di un1 ipotesi non dipende dalla sua fecondità, che ci da il valore matematico dell'ipotesi stessa. One hypothesis is mathematically false only when establishing a property that is or can be demonstrated in contradiction with the authorities there earlier, or those that can be deduced from these opportunities UN1 The hypothesis does not depend on its fecundity, which gives us the mathematical value of the hypothesis itself. Un'ipotesi può essere possibile, ma essere anche tale da non condurre ad alcun risultato o ria restringere il campo delle nostre ricerche. A hypothesis may be possible, but also be such as not lead to any result, or wretched narrow the field of research. Questa è un'altra questione, certo molto importante, perché l'ipotesi deve lasciare li- 1) Parie I, pag. This is another question, of course very important, because the hypothesis has to leave them-1) The parietal, p. 209-210. 209-210.
Page x Page xbero campo alla deduzione e al bisogno che ha il nostro spirito di non porsi alcun limite ingiustificato nella ricerca del vero matema- tico; e perché ogni ipotesi deve servire a scoprire nuove verità oa meglio collegare verità già conosciute. shaft area and the need to deduct that our spirit not to ask any unreasonably limit the search for the true mathematician, and because each case must serve to connect better to discover new truths or truths already known. Ma il poco valore di un'ipo- tesi non è un argomento efficace contro la possibilità di essa. But the little value of hypo-thesis is not an effective argument against the possibility of it. Ogni nuova forma stabilita o data per mezzo di un'ipotesi possi- bile deve essere sottoposta agli stessi principi e alle stesse operazioni mentali, necessario alla ricerca del vero. Every new form prescribed or given through a hypothesis as possible should be subjected to the same principles and under the same mental operations, need to search for the truth. Questa è evidentemente una necessità logica. This is clearly a logical necessity. Ma le leggi delle operazioni matematiche, a cui è assoggettata, dipendono dalla definizione o costruzione di essa, se que- sta è ben determinata; e non è a 'priori escluso il caso che queste leggi siano diverse da quelle che valgono per le forme prima consi- derate 1). But the laws of math, which is subject, depending on the definition or construction of it, if this is is well-determined, and is not to 'priori excluded the case that these laws are different from those that apply to the forms before ered con-1). Non è dunque permesso a priori di assoggettare in tal caso alle stesse leggi le operazioni coi nuovi enti, Un'ipotesi A. It is therefore not possible to subject a priori in this case the same read operations with new institutions, hypothesis A. è indipendente da un'altra ipotesi B quando A o la sua contraria (non-4) non si deduce da B. Another hypothesis is independent of A or B when its opposite (non-4) can not be deduced from B. Un' ipotesi indipendente dalle precedenti, e in sé non contraddito- ria, non conduce necessariamente a contraddizioni. A 'independent of the previous hypotheses, and in itself does not contraddito-ria, does not necessarily lead to contradictions. Invero, occupandosi la matematica delle fornir, essa dovrà considerare almeno una prima forma e distinguerla dalle altre mediante alcune sue proprietà. Indeed, dealing with the mathematics of the furnish, it must consider at least a first shape and distinguished from others by some of its properties. Se una di queste proprietà A è indipendente dalle altre B,C,D ecc. If one of these properties A is independent from the other B, C, D, etc.. ed è ben determinala, ciò significa che A o la sua contraria non è con- seguenza di B,CfD ecc. and is well determinala, this means that A or its opposite is not with accordingly of B, etc. CFD. Se A conducesse necessariamente ad una con- traddizione significherebbe che da Z?,C\D ecc. If A led to a contradiction necessarily mean that Z?, C \ D and so on. si dedurrebbe la pro- prietà contraria non A. we deduce the pro-property contrary not A. Certo che l'indipendenza o l'arbitrarietà di un'ipotesi è sempre subordinata, come si disse, a quelle già stabilite. Sure, the independence or the arbitrariness of a hypothesis is always subject, as you said, to those already established. Si può dunque dire che stabiliti i caratteri delle forme matematiche la possibilità mate- matica è regolata dal principio di contraddizione,, cioè A è A e non è non A . We can therefore say that the character set of mathematical forms can mate-matic is governed by the principle of contradiction, that A is not A and not A. E la possibilità diventa per la matematica realtà, sebbene astratta, perché le forme del pensiero matematico sono vere quanto le forme della sensibilità che hanno una realtà concreta. And the possibility becomes reality for mathematics, although abstract, because the forms of mathematical thinking are true because the forms of sensibility that have a practical reality. Nes- suno infatti può dubitare dell'esistenza dei nostro intelletto e delle sue funzioni logiche senza contraddirsi. Nes Suno-fact may doubt the existence of our intellect and logical functions without contradicting itself. Se si prova l'indipendenza dell'ipotesi dalle premesse, allora è di- mostrata anche la sua possibilità, e se si prova prima la possibilità, il che nella matematica è strettamente necessario, può non esserne provata l'indipendenza. If you test the independence hypothesis by the premises, then it is-also shown his ability, and if you try the first option, which in mathematics is necessary, can not be proven independence. Se un' ipotesi anche dopo una lunga serie di ricerche non ha condot- 1) Cosi ad es. If a 'case even after a long series of investigations has not condot-1) Thus, for example. la somma dei numeri transfiniti di G. the sum of the numbers of transfinite G. Cantor (intr. pag. 102) non soddisfa alla legge commutativa, come quella dei numeri finiti. Cantor (Intr. p. 102) does not satisfy the commutative law, like the finite numbers.
Page xi Page xiio ad alcuna contraddizione, si ha T induzione della possibilità ma non la certezza che essa non possa condurre con ulteriori sviluppi a qualche contraddizione, non essendo escluso che da una falsità si possa dedurre una o più verità. no contradiction to me, there is induction of T can not be sure that it can not lead to any contradiction with further developments, it is not impossible that it can be inferred from a false one or more of the truth. E in matematica non basta la sola induzione della verità, per quanto fondata; sebbene il sentimento sia pur necessario anche nelle matematiche discipline, siccome da esso spe- cialmente dipende il progresso della scienza, perché da una pura combinazione di segni o di oggetti senza un* idea direttiva nulla si può ricavare. And math is not just the only induction of the truth, as established, although the feeling is also necessary even in the mathematical disciplines, spe-cially since it depends on the progress of science, because from a pure combination of signs or objects without a * directive idea nothing can be gained. La dimostrazione della possibilità delle ipotesi non si può dunque trascurare, come pur vien fatto specialmente ove si fa uso del conven- zionalismo nello studio dei fondamenti, o la si dimostra indirettamente ricorrendo ad esempi tratti da teorie che si vogliono studiare più tardi; metodo codesto che non lascia sempre soddisfatti. The demonstration of the possibility of the hypothesis can not therefore be neglected, as is done though, especially if use is made of conventional nationalism in the study of the fundamentals, or is indirectly demonstrated using examples drawn from theories that you want to study later; method codesto that does not always leave satisfied. Se manca una dimo- strazione che giustifichi l'ipotesi, basta poterla giustificare coir espe- rienza diretta, come avviene ad es. If there is no demonstration that justifies the hypothesis, just being able to justify coir direct experi-ence, as happens, for example. per gli assioni geometrici; appunto per l'armonia che come abbiamo detto esiste fra la percezione degli og- getti e le leggi logiche del pensiero stesso. axions for geometric, precisely because of the harmony that exists as we have said from the perception of ob-jets and the logical laws of thought itself. Ma veramente non si deve essere contenti finché non si è data una dimostrazione per via pura- mente logica, e per riuscirvi occorre sopra tutto partire da assiomi semplici, oppure da assiomi dei quali si esaminino le parti semplici; e quando non la si può dare, è bene fare dei tentativi, che ad altri possono servire in ulteriori ricerche. But really you should not be happy until you are given a demonstration by purely logical, and above all must succeed from simple axioms, or axioms from which we examine the simple parts, and when you can not give , it is good to experiment, to which others may serve in further research. Rimane invero ancora da trattare la questione generale se e quando un gruppo di assiomi, postulati o convenzioni, si può ritenere astrat- tamente possibile. Indeed remains still to treat the general question of whether and when a group of axioms, postulates or conventions, it can be considered abstract-tion possible. Riteniamo che bisogna ricorrere appunto alle ope- razioni e agli assiomi logici, come noi abbiamo fatto per le nostre operazioni e ipotesi dell' introduzione. We believe that we must use precisely the trans-actions and the logical axioms, as we did for our operations and assumptions of 'introduction. Però è anche vero che se da un' ipotesi falsa si possono ricavare delle verità, gli esempi dati su questo proposito sono così semplici e la falsità del resto così evidente da non poter dubitare che qualora un'ipotesi matematica sia tutta o in parte falsa essa non conduca ben presto a qualche contraddizione ; eccetto che non si abbia tanta cecità da voler evitare l'effetto delle contraddi- zioni cori al ere ipotesi false, come pure è accaduto in passato. But it's also true that if a 'false assumptions can be drawn of the truth, the examples in this regard are so simple and so obvious falsity of the rest can not doubt that if a mathematical hypothesis is false in whole or in part it not soon lead to some contradictions, except that you do not have such blindness to want to avoid the effect of contradic-tion to the choirs ere false assumptions, as has also happened in the past. Né bi- sogna confondere una tale questione con quelle ipotesi che essendo pure in tutto o in parte false, nel corso della deduzione vengono so- stituite dalla mente del ricercatore con ipotesi esatte o tali da evitare le falsità delle prime. Neither bi-dreams that confuse one issue with the hypothesis that it is also false in whole or in part, during the so-stituite are deducted from the mind of the researcher to avoid these assumptions correct or falsity of the first. Quando è invece che un'ipotesi è geometricamente possibile* Abbiamo detto che le* ipotesi di una scienza sperimentale non solo non devono contraddire ai principi e alle operazioni logiche, ma eziandio allo proprietà dell'oggetto speciale della scienza stessa. When is it a hypothesis that is geometrically possible * We have said that the * idea of a science experiment not only be contrary to the principles and logic operations, but even the special properties of the object of science itself. Per For
Page xii Page xiixii i caratteri che distinguono la geometria, un'ipotesi astratta è geo- metricamente possibile quando essa non contraddice agli assiomi ne- cessari allo svolgimento teorico della geometria, che prendiamo dal- l'esperienza, ossia alle proprietà deir intuizione spaziale nel campo limitato di essa, corrispondente a quello delle nostre osservazioni esterne. xii characters that distinguish the geometry, an abstract hypothesis is geo-metrically possible when it does not contradict to the axioms I-essary to carry out theoretical geometry, we take from the experience-ie properties deir spatial intuition in the limited field of it, corresponding to that of our external observations. Le ipotesi astratte possibili che allargano il campo della geometria possono servire alla ricerca del vero nel campo concreto più ristretto, senza che per questo le suddette ipotesi suppongano necessariamente la realtà concreta delle forme da esse definite. The assumptions that abstract possible widen the field of geometry can be used to search for truth in the concrete field narrower, without this underlying assumptions necessarily suppose the concrete reality of the forms defined by them. In questo la geome- tria, per quanto abbiamo detto, si distingue dalle scienze oggetto co- stante delle quali sono i fatti del mondo esteriore, e in cui, come ad es. In this, the geometry, as we said, is distinguished from the sciences because of the subject co-what are the facts of the external world, and where, for example. nella fìsica, le ipotesi devono aver di mira soltanto la spiega- zione e il concatenamento dei fenomeni naturali, senza per questo che esse debbano sempre corrispondere a fatti reali; le quali ipo- tesi poi possono anche essere modificate o sostituite con altre. in physics, the hypothesis must have targeted only explains-tion and concatenation of natural phenomena, without which they must always correspond to real facts, hypotheses which can then be modified or replaced by others. 11 nostro spazio generale è geometricamente possibile, e quindi esso ha una realtà astratta, senza intendere con ciò che il mondo esteriore in se sia una rappresentazione completa di questo spazio. 11 Our overall space is geometrically possible, and therefore it has an abstract reality, not intended that the external world itself is a complete representation of this space. Così, coll'i- potesi delle diverse unità rettilinee, che è conseguenza di quelle da noi fatte sull'infinito e sull'infinitesimo attuale, o in altre parole delF indipendenza della geometria dall'assioma V d'Archimede, non abbiamo bisogno di credere alla realtà concreta dell'infinito e dell1'infinitesimo attuale. Thus, hypothesis-coll'i straight from the various units, which is a result of those we made on the infinite and sull'infinitesimo current, or in other words delf independent of the geometry of Archimedes' axiom V, we do not need to believe the concrete reality of the infinite and dell1'infinitesimo current. Anche se fosse dimostrato ad es. Even if it were shown eg. che real- mente non esiste in concreto il nostro spazio generale, non per questo geometricamente saremmo obbligati a rinunciare a questa ipo- tesi *). that does not exist in real-mind should our overall space, not for this geometrically we would be obliged to abandon this hypothesis *). Se non possiamo intuire ad es. If we can not imagine such. le figure a quattro dimensioni come intuiamo quelle a tre, ciò non significa che l'ipotesi delle quat- tro dimensioni ne in senso astratto, né in concreto contraddica alle ipotesi e quindi alle proprietà geometriche dello spazio intuitivo a tre dimensioni 2). Figures in four dimensions as we sense the three, this does not mean that the hypothesis of the four dimensions it in an abstract sense, nor in practice contradicts the assumptions and hence the geometric properties of space in three dimensions intuitive 2). Sono da escludere invece quelle ipotesi del campo corrispon- dente a quello delle nostre osservazioni esterne le quali coritrad- 1) Quali geometri noi non abbiamo dunque nulla di comune cogli spiritisti e coli'abilità dei medium. They are to be excluded rather than assumptions of the field corresponding to that of our external observations which coritrad-1) What surveyors we have nothing in common with so coli'abilità spiritualists and mediums. Quando persone anche illustri assicurano che certi fenomeni spiritistici avvengono, dubitiamo della loro verità di fatto per il modo misterioso con cui sono condotte le osservazioni, coni'è ad es. When famous people also ensure that certain spiritualistic phenomena occur, we doubt of their truth in fact the mysterious way in which the observations are conducted, eg coni'è. dei nodi e del tavolo descritti dal prof. nodes and the table described by prof. Zòllner (Wiss. Abh. Leipzig 1872), e che il prof. Zollner (Wiss. Abh. Leipzig 1872), and prof. Zòllner stesso ebbe la cortesia di farci vedere a Lipsia. Zollner had the same courtesy to us to see in Leipzig. Però se tìsicamente l'ipotesi della quarta dimensione o dello spazio generale potesse servire a gettare nuova luce sui fenomeni naturali e sulle loro cause sconosciute allora l'ipotesi sarebbe scientificamente giustificata, e il fisico troverebbe nel nostro librcf le proprietà geometriche fonda- mentali di cui avrebbe bisogno. But if physically the hypothesis of the fourth dimension of space or general could help to shed new light on natural phenomena and their cause is unknown then the assumption would be scientifically justified, and would in our physical librcf fundamental geometric properties of which would need. Ma anche qui è bene rilevarlo, il valore dell'ipotesi geometrica è indipendente da quello che può avere l'ipotesi fisica. But even here it is good to detect it, the value is independent of the geometrical hypothesis which can have the physical hypothesis. 2) Vedi più sotto e l'appendice. 2) See below and Appendix.
Page xiii Page xiiiXIII dicono air intuizione spaziale, come ad es. XIII say air spatial intuition, eg. quella che il cerchio non sia una linea chiusa o che il cerchio abbia assintoti reali 1). that the circle is not closed or a line that the circle has real asymptotes 1). Se si fosse bene stabilito quando un'ipotesi è matematicamente o geometricamente possibile, si sarebbero evitate tante dispute inutili sulla possibilità di quasi tutte le nuove ipotesi che di mano in mano hanno arricchito il patrimonio della scienza. If it was well established when a hypothesis is mathematically or geometrically possible, would avoid many unnecessary disputes about the possibility of almost all new cases of hand to hand, which have enriched the heritage of science. La matematica pura non respinge che ciò che è falso, e quindi per combattere un* ipotesi matematica bisogna dimostrare che è falsa, ma la dimostrazione deve essere logico-matematica non filosofica nello stretto senso della pa- rola; e per dimostrare che è falsa occorre dimostrare che essa conduce necessariamente ad una contraddizione, quando però è un'ipotesi sem- plice; che se fosse composta alcune parti di essa potrebbero essere anche vere e feconde. The pure mathematics, which does not reject what is false, and then to fight a * must show that mathematical hypothesis is false, but the proof has to be logical-mathematical philosophy in the strict sense considering the term, and must demonstrate that it is false show that it necessarily leads to a contradiction, but when a hypothesis is sim-ple, that if he made some parts of it may also be true and fruitful. Se il problema matematico sui fondamenti della ma- tematica e della geometria si spinge fino alla soglia del problema filo- sofico intorno all'origine delle idee .matematiche e geometriche, però non la oltrepassa. If the math problem on the foundations of mathematics and geometry pushes up the threshold issue of philosophical ideas about the origin. Mathematics and geometry, but not beyond. Questo è certo un gran bene per la nostra scienza, perché altrimenti essa sarebbe in balìa nei suoi principi delle molteplici opinioni filosofiche che si disputano la verità 2). This is certainly a great asset to our science, because otherwise it would be at the mercy of the many principles in his philosophical views that are held the truth 2). Però, per timore di cadere nell'indeterminato non è neppure conveniente il ridurre la ma- tematica e la geometria nei loro fondamenti a un puro convenzionalismo di segni, ma bensì esse vogliono essere trattate con metodo filosofico, vale a dire rendendo più chiara che è possibile la natura delle cose di cui si occupano, senza negare per questo l'importanza di altri me- todi sotto punti di vista diversi, ma più ristretti. But, for fear of falling is not indeterminate even reduce the cost-but thematic and geometry in their foundations in a pure conventionality of signs, but rather they want to be treated with philosophical method, namely by making it clear that it is possible the nature of things they are dealing with, without denying the importance of this for me-other methods under different points of view, but narrower. Che di una data ipotesi o convenzione si possa far senza, ad es. That of a given hypothesis or agreement can be made to without, eg. di quella dei numeri immaginari, è possibile, ma oltre che ciò avrebbe per conseguenza una restrizione del campo matematico senza alcuna giustificazione, questo fatto non dimostrebbe nulla contro l'ipotesi e le sue conseguenze nel campo stesso indipendente da questa ipotesi. that of imaginary numbers, it is possible, but beyond that this would mean a restriction of mathematics without any justification, this did not dimostrebbe nothing against the idea and its consequences in the field itself independent of this hypothesis. 1) Vedi l'appendice. 1) See Appendix. 2) Chi vuoi avere un'idea del problema fìlosofico intorno ai concetti fondamentali della matema- tica e della geometria può leggere ad es. 2) Who do you have an idea of the philosophical problem about the fundamental concepts of mathematics and geometry-policy can be read eg. l'opuscolo di F. the pamphlet F. Ma sci: Sulla natura logica delle cono- scenze matematiche (Roma 1885), sebbene egli sia kantiano in quanto ei sostiene la verità assoluta di tutti i postulati euclidei, e neghi la possibilità di una geometria a più di tre dimensioni. But skiing: On the logical nature of mathematical knowledge (Rome 1885), although he supports and Kant as the absolute truth of all the postulates of Euclid, and denies the possibility of a geometry to more than three dimensions. Non sembra però che Kant sia stato sempre contrario a questa geometria, che anzi egli credeva all'esistenza di vari spazi, se si deve giudicare da quanto egli dice nei suoi Gedanken der wahren Schàtzung der lebedingen Kraft. It does not seem that Kant was always opposed to this geometry, which indeed he believed in the existence of various spaces, if we are to judge by what he says in his Gedanken der Wahren Schàtzung lebedingen der Kraft. Kant's Werke, voi V pag. Kant's Werke, ye V p. 25. 25. Veggasi B. B. compare p Erdmann. Erdmann. Die Axio- me der Geometrie ; Leipzig, 1871), cosi pure B. Die-me Axio der Geometrie, Leipzig, 1871), so does B. Baumann : Die Lehren von Raum, Zeit und Mathe- matik in der neuren Phil. Baumann: Die Lehren von Raum und Zeit in der Mathe-matik neuren Phil. nach ihrem ganzem Einfluss dargestellt und beurtheilt; Berlin, 1868-1869. nach ihrem ganzem Einfluss dargestellt und beurtheilt; Berlin, 1868-1869. Nel primo volume e in molta parte del secondo è data un esposizione estesa e critica dal punto di vista fìlosofico dell'autore, delle idee dei principali filosofi da Suarez fino ad Hume intorno ai concetti fondamentali delle matematiche. In the first volume and in much of the latter is given an extended exposure and criticism from the philosophical point of view of the author, the ideas of major philosophers from Hume Suarez until around the fundamental concepts of mathematics. Del resto si può dire che non vi sia valente filosofo che non siasi occupato con molto interesse delle idee matematiche, e non abbia spesso ricorso ai risultati matematici a sostegno delle proprie considerazioni. After all you can say that there is not any clever philosopher who dealt with a lot of interest in mathematical ideas, and has often resorted to mathematical results in support of its considerations.
Page xiv Page xivXIV Può darsi che ipotesi feconde possano condurre a contraddizioni, come avvenne nel calcolo differenziale e integrale, ma allora fa d* uopo os- servare se ciò dipenda dal principio dell'ipotesi, nel qual caso biso gna respingerlo, o se dipenda invece dal fatto che esso non sia stato ben definito, e quindi non sia stato ben circoscritto il campo della sua validità. XIV It may be that fruitful hypotheses can lead to contradictions, as was the differential and integral calculus, but then it MUST os-d * preserve if this depends on the principle of the hypothesis, in which case Biso GNA reject, or rather depends on whether it has not been well defined, and therefore has not been well-circumscribed the scope of its validity. È per questo che ad evitare tali gravi inconvenienti bisogna considerare separatamente le parti semplici di cui è costituita l'ipotesi, e occorre inoltre che esse siano giustificate (come meglio diremo poi) dai principi e dalle operazioni logiche o almeno da fatti sperimentali. That is why to avoid such serious incidents must consider separately the simple parts which make up the hypothesis, and it is also necessary that they are justified (as best as we shall say) by the principles and logic operations or at least by experimental data. Se ci si vuoi chiamare razionalisti o idealisti per le idee qui esposte, accettiamo il titolo per distinguerci da coloro che ingiusti- ficatamente vorrebbero negare allo spirito matematico e geometrico la massima libertà logica possibile, domandandosi per es. If you want to call the rationalist or idealistic ideas presented here, we accept the title to distinguish ourselves from those who would deny unjust-ficatamente spirit mathematical and geometric maximum freedom possible logic, wondering for example. ad ogni nuovo risultato o ad ogni nuova ipotesi se abbia o no una rappresenta- zione sensibile, per es. each new result, or any new hypothesis whether or not a representation sensitive, for example. nella geometria una pura rappresentazione sensibile esterna. geometry in a pure external sensible representation. Ma lo accettiamo nel senso che non si attribuisca ad esso alcun significato filosofico propriamente detto *). But we accept it in the sense that it attaches to it no philosophical meaning itself *). Quaìi matematici noi ci appoggiamo ai fatti mentali o della sen- sibilità che non possono essere contestati da alcuno, e la nostra guida è il principio di contraddizione. Quaìi mathematicians we rest the mental facts or sen-sibility which can not be disputed by some, and our guide is the principle of contradiction. Ma dobbiamo essere naturalmente av- versi a quei sistemi filosofici, i quali conducano appunto a contrad- dizioni oa restrizioni non necessarie nel campo matematico o geome- trico 2). But of course we must be av-verse to those philosophical systems, which lead in fact to contradict the conditions or restrictions are not needed in the mathematical or geometrical tricho-2). Il matematico può essere un filosofo nel senso che da una 1) Nel libro di Du Bois Reymond Allgemeine Funktionentheorie; Tùbingen, 1882,sono discussi i sistemi matematici dell'idealista e dell'empirista puro (Wundt Logik Voi. II ; Stuttgart, 1885 osserva che in senso nlosofìeo è meglio dire realista e nominalista). The mathematician may be a philosopher in the sense that a 1) In the book of Du Bois Reymond Allgemeine Funktionentheorie, Tubingen, 1882, discussed the idealist and empiricist pure mathematical systems (iii. Wundt's Logik, Stuttgart, 1885 notes in the sense that it is better to say nlosofìeo realist and nominalist). Ma tutti e due sostengono i loro sistemi con argomentazioni nlosofìche, che non possiamo accettare (1. e. ad es. pag. 86, 110- 111 e 114-116). But both say their systems with nlosofìche arguments, we can not accept (1. And. Eg. P. 86, 110 - 111 and 114-116). Il sistema dell'idealista come avremo occasione di vedere non è scevro da errori e da indeterminatezze. The idealist as we shall see is not free from errors and imprecisions. 2) Posta così la possibilità geometrica non possiamo essere indifferenti, come sostiene l'insigne F. 2) Located so the geometrical possibility can not be indifferent, as argued by the distinguished F. Klein (Vergleichenden Betrachtnngen ùber neuere geom. Forschungen; Erlangen, 1872. opp. trad. italiana di G. Fano negli Annali di Matematica, 1890) dinanzi al problema, se ad es. Klein (Vergleichenden Betrachtnngen iiber neuere geom. Forschungen, Erlangen, 1872. Opp. Trad. Italian by G. Fano in the Annals of Mathematics, 1890) before the problem if, for example. il po- stulato delle parallele Euclideo sia o no vero in senso assoluto rispetto alla nostra intuizione, co- me sostengono i Kantiani. the bit-parallel Euclidean stulato of whether or not true in an absolute sense compared to our intuition, much as the Kantians argue. Se esso fosse realmente vero, ipiani di Lobatscheswsky e di Rie- man non avrebbero più ragione di essere; e rimarrebbe soltanto vera la geometria della pseudo- sfera o della sfera o della stella nello spazio Euclideo o di altre loro rappresentazioni geometri- che in questo spazio. If it were really true, of ipiani Lobatscheswsky and Rie-man would no longer have reason to be, and remain the only true geometry of the pseudo-sphere or sphere or star in Euclidean space or their other geometric representations in this space. Quali geometri dobbiamo essere contrari all'opinione di Kant, perché l'os- servazione, o l'intuizione attuale, non ci aiuta che approssimativamente a decidere la questione nella parte di spazio che corrisponde al campo delle osservazioni esterne. What surveyors must be contrary to the opinion of Kant, because the obser-vation, or intuition present, that does not help us to decide about the question in the space that corresponds to the field of external observations. Se noi crediamo di intuire tutto lo spazio ciò si spiega perché noi ci trasportiamo coli'immaginazione in ogni punto di esso, e vi applichiamo l'intuizione che si esercita in un campo ristretto. If we think we perceive all the space this is because we carry coli'immaginazione at every point of it, and we apply the insight that is exercised in a narrow field. Matematicamente la questione suddetta non ci riguarda, ma geometricamente sì. Mathematically, the question that does not concern us, yes, but geometrically. Del resto, poiché rimane indeciso quale sia il postulato vero delle parallele, aspettiamo che si svolga la geometria secondo i concetti di Kant e si dimostri intuitivamente a priori la necessità dell'assioma suddetto, v. Moreover, it remains uncertain what the true postulate of parallels, expect to take place according to the geometry concepts of Kant and a priori intuitively demonstrates the necessity of the axiom that, see. Helmotz (1 c.)s,ostier Helmholtz (1 c.) S, Ostier
Page xv Page xvXV nuova esposizione dei suoi principi la filosofia può trarre grande giova- mento, ma il suo aiuto a questa scienza è sempre indiretto; mentre d'al- tra parte il filosofo, come tale, non può combattere le ipotesi matemati- che o geometriche, ma da esse deve cercare di trarre il maggior pro- fitto, quando sono ben determinate. XV new exhibition of his philosophy can make great principles it should be-ing, but his help with this science is always indirect, while in-between part of the philosopher, as such, can not fight the hypothesis that mathematical or geometrical but they must try to get the most pro-rent, when they are well determined. Con questo idealismo noi abbiamo almeno il vantaggio sull' empiri- sta che facciamo uso di tutte le ipotesi possibili nella ricerca della veri- tà, e che quindi possiamo giungere più presto e meglio di lui a nuove verità nel campo stesso in cui egli vuoi rinchiudersi. With this idealism at least we have the advantage on 'empirical-is that we use all possible hypotheses in search of real-ta, and so we may come sooner and better than him new truths in the very field where he wants to shut himself . Noi pretendiamo inoltre maggior rigore, perché per noi nulla è trascurabile in senso assoluto, neppure l'infinitesimo aggiunto che sia al finito; e se qualche cosa è trascurabile in confronto di altre, lo deve essere per una ragione matematica, non per pratica approsimazione. We also expect more rigor, because for us, nothing is insignificant in an absolute sense, even the infinitesimal is added to the finite, and if something is negligible in comparison to others, it must be for a mathematical reason not to practice approximated. L'empirista non può accusarci di non tener conto dello scopo pratico della scienza, e che le nostre ipotesi geometriche non abbiano radice nell'esperienza, 0 non siano giustificate dai fatti mentali *). The empiricist can not accuse us of not taking account of the practical purpose of science, and that our geometric assumptions do not have roots in the experience, 0 are not justified by the facts mental *). Noi riconosciamo ben volentieri l'aiuto che presta l'osservazione empirica alla matematica in generale, e come essa sia necessaria per sta- bilire gli assioni geometrici; ma non possiamo disconoscere altresì che il materiale greggio che ci forniscono le sensazioni viene* elaborato dal nostro intelletto, e che l'elemento soggettivo nelle matematiche pure, nella geometria e nella meccanica razionale ha il soppravvento sull'elemento obiettivo; e che d'altronde tutti possediamo le prime forme ideali geometriche prima ancora di cominciare a studiare geo- metria, senza bisogno di supporre che esse siano gli oggetti stessi reali con tutte le loro inesatezze. We gladly acknowledge the help that lends empirical observation to mathematics in general and how it is necessary for stable geometric bilire axions, but we can not also deny that the raw material that provide us with the feeling * is drawn from our intellect, and that the subjective element in pure mathematics, geometry and rational mechanics has the item soppravvento goal, and that, moreover, all possess the ideal geometric forms first before I even started to study geo-metry, without to suppose that they are the real objects themselves with all their inaccuracies. Non sono pochi i filosofi empiristi, 1 quali ritengono che le forme geometriche siano forme ideali, o almeno che non siano le sensazioni stesse che gli oggetti producono in noi 2), Esse sono un prodotto dell'intuizione combinata coli'astrazione. There are few empirical philosophers, such as 1 believe that the geometric shapes are ideal forms, or at least they are not the same feelings that objects produce in us 2), They are a product of intuition combined coli'astrazione. Allo Stuart Mili il Cayley osserva acutamente che se non avessimo ne contro i Kantiani che lo spazio può essere una forma dell'intuizione a priori, ma che non lo sono gli assiomi. At Stuart Mill, the Cayley observes acutely that if we did not have it against Kant that space can be a form of intuition a priori, but which are not axioms. Wundt (Logik, Voi. I) osserva che una tale opinione gli sembra contraddi- toria. Wundt (Logik, Vol I) notes that such a view seems to contradict the publishing. Quali geometri dobbiamo ammettere la facoltà che noi abbiamo di intuire lo spazio, e che nessuno può negare, ma la facoltà non è 1* intuizione medesima, e per lo svolgimento della stessa geometria dobbiamo ritenere che F intuizione spaziale sia appunto il risultato di questa facoltà combinata coll'esperienza (vedi pag. 258 e seg.)- 1) Vedi a questo proposito l'appendice ove esaminiamo l'opera del sig. What surveyors must admit that we have the ability to perceive space, and that no one can deny, but the faculty is not 1 * same intuition, and to conduct the same geometry we assume that F spatial intuition is precisely the result of this option combined with experience (see p. 258 et seq.) - 1) See in this regard the Appendix where we examine the work of Mr. Pascli Ueber neuere Geometrie; Leipzig, 3882 . Pascli Ueber neuere Geometrie, Leipzig, 3882. 2) Vedi ad es. 2) See, for example. Masci, Erdmann, Baumann, Wundt 1. Masci, Erdmann, Baumann, Wundt 1. e. and. Locke ad es. Locke, for example. che è un deciso empirista sostiene che l'idea di spazio puro è distinta dall'idea di rigidezza o solidità dei cor- pi, e questa dall'idea di spazio, e che le parti dello spazio sono immobili (Bau in ami, 1. e. pa- gina 377). which is a strong empirical support that the idea of pure space is distinct from the idea of stiffness or strength of the cor-pi, and this idea of space, and that the parts of space are motionless (Bau in love, 1. and. pa-gina 377).
Page xvi Page xviXVI il concetto della linea retta non potremmo dire che la retta non esi- ste in natura 1). XVI the concept of a straight line we can not say that the line does not exist in nature ste-1). Ciò che vale per un* ipotesi matematicamente possibile deve valere anche per la dimostrazione sia nella matematica pura come nella geo- metria ; bisogna cioè che in ogni parte semplice di cui è composta, essa sia pienamente determinata dalle proprietà premesse, o da proprietà che siano di quelle immediata ed evidente conseguenza o forme di- verse delle proprietà suddette, e non vi sia nessuna contraddizione nella catena di quelle che la costituiscono. * What is a mathematically possible hypotheses must also apply the proof is in pure mathematics as in geo-metry, that is, must in every part of which is made easier, it is fully determined by the properties premises, or property that are those of immediate and obvious consequence or forms of-verse of the above properties, and there is no contradiction in the chain of those that constitute it. Le condizioni alle quali devono essere assoggettati gli assiomi geometrici e le ipotesi per trattare il problema scientifico che ci siamo proposto in tutta la sua generalità e semplicità, sia per quanto abbiamo detto come per ciò che diremo più sotto, sono le seguenti : I. The conditions which must be subject to the geometric axioms and assumptions for dealing with the scientific problem that we brought in all its generality and simplicity, both for what we said as for what we say below, are as follows: I. che siano separate dagli assiomi geometrici le verità che derivano dagli assiomi logici per mezzo di operazioni logiche; IL che gli assiomi propriamente detti esprimano le verità più semplici e intuitive, senza contenere altri concetti i quali deb- bano essere dati o dedotti più tardi; che dagli assiomi si dedu- cano tutte le altre proprietà senza introdurne tacitamente di nuove ; e finalmente che gli assiomi siano dati fin da principio in modo da lasciar campo ai diversi possibili sistemi geometrici; III. that they are separate from the axioms that derive geometrical truths by means of logical axioms for logic operations; IL that proper axioms express the truth more simple and intuitive, without containing other concepts which deb-urban data or be deducted later, that deductions from the axioms is cano all other property without tacitly introducing new, and finally that the axioms are given from the beginning so as to leave the field to the different possible geometric systems, III. che siano separati gli assiomi necessari per lo studio della geometria da quelli necessari soltanto per le pratiche applicazioni di essa; IV. which are separated axioms necessary for the study of the geometry than that necessary only for the practical applications of it; IV. che gli assiomi siano indipendenti, badando perciò an- che al loro ordine, ea maggior ragione che non si contraddicano fra loro; V. that the axioms are independent, so an-minding that their order, and all the more reason do not contradict each other; V. che il metodo di trattazione sia elementare e basato sul processo costruttivo dell' intuizione spaziale; VI. that the method of treatment is elementary and based on the constructive process of 'spatial intuition; VI. che gli assiomi, i teoremi e le dimostrazioni fin da prin- cipio non contengano alcun elemento intuitivo indeterminato, in modo cioè che facendo astrazione dall'intuizione, dal sistema geo- metrico rimanga un sistema di verità puramente astratte, nel quale gli assiomi occupino il posto di definizioni o ipotesi astratte ben determinate. that the axioms, theorems and proofs from principle does not contain any undetermined intuitive element, so that intuition which, abstracting from the geo-metric system remains a system of purely abstract truth, in which the axioms are to occupy the Instead of abstract definitions or hypotheses well determined. In primo luogo non bisogna confondere i dati dell'esperienza o dell'intuizione colle necessità o definizioni logiche (o queste con quelle). In the first place we must not confuse the data of experience or intuition hill necessity or logical definitions (or those with those). Per es. Eg. la definizione che si dadi figure uguali quando cioè l'una si può trasportare senza deformazione sull'altra, è ritenuta ordinaria- 1) Discorso tenuto all'associazione britannica delle scienze; Londra 1883. the definition that is identical figures nuts is when one party can carry without buckling on the other, is considered ordinary-1) Speech Association of British Science, London, 1883. trad. trad. francese nel Bulletin des sciences mathéniatiques Genn. French in the Bulletin des sciences mathéniatiques Genn. ; e Febb. ; And Feb.. 1884. , 1884.
Page xvii Page xviiXVTI mente una definizione geometrica, mentre essa, come quella di due cose qualunque, deriva dall'assioma logico d'identità 1). XVTI mind a geometric definition, while it, like that of any two things, derives from the axiom logical identity 1). Così dicasi della proprietà che due grandezze uguali ad una terza sono uguali fra loro. The same applies of the property that two quantities equal to a third are equal to each other. È per questo che è data la condizione VI; con essa è fa- cile vedere quali sono i principi e le definizioni logiche e le pro- prietà che da esse necessariamente derivano, ed avere il rigore de- siderato; senza trascurare per ciò la parte essenziale che deve avere l'intuizione spaziale nella geometria. That is why it is given the condition VI; with it is do-chile see what are the principles and logical definitions and pro-property that they will necessarily arise, and have de-siderato rigor, not to mention for this part essential to have insight into the spatial geometry. Basta aprire un trattato qualunque di geometria elementare per convincersi che questa con- dizione non è punto osservata. Just open a treaty of any elementary geometry to be convinced that this condition is not observed point. Ad es. Eg. Euclide parla nelle sue prime definizioni di lunghezza, larghezza, di grandezza senza aver mai detto che cosa siano. Euclid speaks in his first definition of length, width, size, without ever saying what they are. Così la retta è per Euclide quella linea che giace ugualmente sui suoi punti, l'angolo di due rette che si incontrano è la loro inclinazione, quando non sono per diritto fra loro, ecc. Thus, the straight line is for Euclid that line which lies evenly on the points, the angle of two straight lines which meet is their inclination, when they are not right for each other, etc.. Parla nelle nozioni comuni dell'addizione e sottrazione delle grandezze senza dire che cosa si debba intendere cori queste operazioni. Talk in the common notions of addition and subtraction of magnitudes without saying that what is meant choirs these operations. Così si parla comunemente anche nei migliori trattati moderni, di spazio, di super- ficie e di linee senza aver dato di essi alcuna definizione o costru- zione matematica ben determinata, dimodoché facendo astrazione dal- T intuizione da tutto ciò non resta alcun oggetto determinato. Thus we speak commonly treated in even the best modern, space, surface and lines without giving them any definition or con-struction mathematics well determined, so that by abstracting from the T-insight from all this is no specific article . Si fa pure uso dell'assioma del movimento dei corpi senza che sia detto che cosa gli corrisponda in senso astratto, e che cosa corrisponda astrattamente al movimento senza deformazione, ecc. It also makes use of the axiom of motion of bodies without being told what corresponds in the abstract sense, and what corresponds to the abstract movement, distortion, etc.. Si dice che alcune nozioni, ad es. It is said that some concepts, eg. quella di spazio, non si potranno mai definire. the space, they can never define. Anche qui fa d'uopo distinguere. Even here it becomes necessary to distinguish. Lo spazio come intui- zione non si definisce, ma lo spazio come concetto si può definire geometricamente per es. Space as intu-tion is not defined, but the space can be defined geometrically as a concept, for example. come facciamo noi2). how do noi2). E se l'intuizione è neces- saria per l'essenza della geometria, non deve essere però elemento necessario, per quanto utile, nello svolgimento logico della geometria3). And if the intuition is neces-sary to the essence of geometry, however, should not be a necessary, although useful in performing logical geometria3). La differenza che abbiamo rilevata fra assiomi propriamente detti, po- stulati o ipotesi sparisce e deve sparire quando si faccia astrazione dal- l'intuizione. The difference we found between proper axioms, or assumptions stulati-bit disappears and must disappear when you face-abstraction from the intuition. Gli assiomi devono esprimere proprietà intuitive, appunto perché la condizione prima della geometria è l'intuizione spaziale, vale a dire essi devono dare l'immagine netta delle cose che definiscono 4). The axioms should express intuitive properties, precisely because the condition before the geometry is the spatial intuition, ie they must give clear picture of the things that define 4). A questo 1) Vedi più avanti. At this 1) See below. g) Vedi parte I libro III. g) See Part I of Book III. 3) I filosofi i quali negano che lo spazio sia un concetto e non un'intuizione hanno ragione in questo: che da considerazioni puramente astratte e tanto meno numeriche, si può mai ricavare l'intuizione spaziale. 3) The philosophers who deny that space is a concept and intuition are right in this: that by purely abstract and much less numbers, you can never get the intuition of space. 4) Monge (Séances des Écoles normales, t, I; Paris, 1795, e 2 ed. 1800) osserva ad es. 4) Monge (Séances des Ecoles normales, t, I, Paris, 1795, and 2 ed. 1800) notes for example. che la definizione della retta come quella linea i cui punti rimangono fìssi quando nn corpo ruota intorno a due dei suoi punti, oltre che nou è semplice ha appunto il difetto di non dare una im- magine intuitiva chiara della retta. that the definition of a straight line like the one whose points are fixed nn when the body rotates around two of its points, as well as nou is simple fact has the defect of not giving a clear im-intuitive image of the line.
Page xviii Page xviiiXVIII scopo anzi abbiamo fatto precedere ogni assioma da considerazioni empiriche, senza però, per la considerazione VI, che esse entrino quali elementi necessari nei loro enunciati e nelle loro conseguenze. XVIII purpose we did indeed precede any axiom from empirical considerations, but not for the consideration VI, that they enter as necessary elements in their statements and their consequences. Gli assiomi vogliono essere semplici, perche meglio si possa scorgere la loro necessità e indipendenza. The axioms want to be simple, because the best we can discern their needs and independence. Un assioma può essere anche composto di più parti per indicare tosto con esso le proprietà che distinguono un dato oggetto dagli altri, come il nostro ass li della linea retta; ma l'assioma deve essere esaminato nelle sue singole parti semplici. An axiom can also be composed of several parts at once with it to indicate the properties that distinguish a given object from another, as will our ass of a straight line, but the axiom must be examined in its simple parts. È chiaro che non si devono introdurre tacitamente proprietà sia pure evidenti, che o non dipendano dagli assiomi o la cui dimostra- zione richieda troppa preparazione per poterle considerare quale im- mediata conseguenza delle cose premesse. It is clear that the property must not be introduced tacitly albeit obvious, or that do not depend from the axioms or which shows-tion requires too much preparation for them to consider what im-mediate consequence of things premises. Così5 ad evitare petizioni di nrincipio bisogna far sì che gli assiomi ei teoremi non derivino da verità o concetti dei quali si dia più tardi la dimostrazione o la spie- gazione. Così5 avoid nrincipio petitions must ensure that the axioms and theorems are not derived from concepts such as truth or give you the latest demonstration or explanation. Ad es. Eg. nella prima proposizione del libro I degli Elementi Euclide per la costruzione del triangolo equilatero, dato che sia il lato, fa uso di due cerchi che si incontrano in due punti nel piano, mentre non ha dimostrato questa proprietà, né l'ha data come as- sioma. in the first proposition of Book I of Euclid's Elements for the construction of an equilateral triangle, since both the hand, makes use of two circles that meet at two points in the plane, but did not demonstrate this property, nor has the date as as - Sioma. Così non si può ritenere dimostrata la prop. So can not be considered proven prop. V del libro XI senza l'assioma che lo spazio intuitivo è a tre dimensioni, ecc. XI V of the book without the axiom that the input is three-dimensional space, etc.. L'indipendenza poi degli assiomi è necessaria per la semplicità della scienza. The independence of the axioms then it is necessary for the simplicity of science. Ed invero se si potesse dare come assioma anche una sola proprietà sia pure intuitiva ma dipendente dalle premesse, al- lora sarebbe lecito di considerare i teoremi evidenti come assiomi. And indeed if you could give even a single property as an axiom even intuitive, but dependent on assumptions, al-lora would be legitimate to consider the obvious theorems as axioms. Se due assiomi o parti di un assioma stabiliscono due proprietà di una data figura che siano invece deducibili Tuna dall'altra, si ha ragione di ritenere che astrattamente esistano figure per le quali valga una sola delle proprietà suddette. If two axioms or parts of an axiom set two properties of a given figure are deductible Tuna on the other hand, there is reason to believe that abstract figures exist for which the property is worth only one of these. Un tale difetto è nascosto ad es, nell'assioma con cui viene comunemente definito il piano, voglio dire 1' assioma : una retta che ha due punti comuni col piano giace in esso. Such a defect is hidden eg, nell'assioma which is commonly called the plan, I mean 1 'axiom: a line that has two common points with the plane lying in it. Per mezzo di questa proprietà il piano può essere costruito tutto o in parte congiungendo tutti i punti di una retta con un punto fuori di essa; la superfìcie piana è così piena- mente determinata, e le sue proprietà devono scaturire tutte dalla sua costruzione, quando gli elementi di questa costruzione siano ben definiti. By means of this property, the plan may be constructed wholly or in part by joining all points of a straight line with a point outside it, the flat surface is so fully determined, and its property shall produce all of its construction, when elements of this construction is well defined. L'assioma del piano ci dice invece che ogni altra retta, ali'infuori di quelle già considerate, avente con esso due punti comuni vi giace per intero, Ma questa è una proprietà che per le consi- derazioni precedenti deve essere dedotta dalla costruzione stessa. The axiom of the plan tells us that every other line, ali'infuori those already considered, with it having two common points it lies in full, but this is a property that the previous considerations must be deducted from the construction itself . Se ciò non è possibile, significa che gli assiomi sulla retta, o sulla coppia di rette che si incontrano, non la determinano sufficientemente in senso astratto. If this is not possible, means that the axioms on the line, or pair of straight lines that meet, do not sufficiently determine in the abstract.
Page xix Page xixXIX Alla dimostrazione di questa proprietà nel sistema Euclideo siamo stati condotti dalla necessità di doverla dare per gli spazi a più di tre dimensioni, dei quali abbiamo soltanto la costruzione senza poter ricorrere per essi all'osservazione esterna l). In the nineteenth proof of this property in Euclidean system we have been led by the necessity of having to make space for more than three dimensions, only the construction of which we can not use them for the outside observation). L'indipendenza degli assiomi è certo utile, ma non bisogna disco- noscere .che è di una grande difficoltà il provarla. The independence of the axioms is certainly useful, but do not hard-noscere. Which is a great difficulty to try it. Noi stessi abbiamo dati degli assiomi che esprimono proprietà semplici (come gli assiomi IV e V), ma per tutte le figure che si trovano in date condizioni; mentre può farsi la domanda se occorra dare tali proprietà per tutte queste figure o per una parte soltanto. We ourselves have details of the axioms that express simple properties (like the axioms IV and V), but for all people who are in given conditions, while it may be the question of whether these properties should be given to all these figures, or for only part . In questo senso facciamo vedere come basti ammettere che la retta sia determinata da una sola coppia dei suoi punti. In this sense we see how it is sufficient to admit that the straight line is determined by a single pair of its points. Occorre inoltre esaminare se dato un sistema di assiomi mutandone l'ordine qualcuno di essi non sia conseguenza de- gli altri 2). It should also examine whether a given system of axioms altering their order any of them is not the consequence of the others 2). Qual'è il metodo più proprio alla geometria, e specialmente per trattare i suoi principi? What is the most proper method to geometry, and especially to treat its principles? Secondo la condizione V esso è quello che scaturisce dal pro- cesso costruttivo dell* intuizione spaziale, ossia il metodo geome- trco puro o sintetico. According to the condition V it is what arises from the pro-cess of construction * spatial intuition, ie the geometric method-trco pure or synthetic. E difatti, poiché prima ed essenziale con- dizione della geometria è l'intuizione spaziale, la quale ci fornisce i primi oggetti geometrici e le loro proprietà indimostrabili, il metodo più proprio è quello che tratta sempre le figure come figure, e la- vora direttamente cogli elementi di esse separandoli e unendoli in- 1) Questa osservazione sull'imperfezione dell'assioma del piano non è nuova. And indeed, since the first and essential condition of with-geometry is the spatial intuition, which gives us the first geometric objects and their properties unprovable, the method is precisely that which is always figures as figures, and vora- directly with the elements of them separating and uniting in-1) This observation imperfection of the axiom of the plan is not new. In una lettera a Bessel (Gòtt. 27 1., 1829) Gauss scrive: E strano che oltre alla lacuna conosciuta della geo- metria Euclidea, che si è cercato indarno di colmare, e non si colmerà mai, vi è un altro di fette, che per quanto so, nessuno ha intravveduto, e che non è facile togliere, sebbene ciò sia pos- sibile. In a letter to Bessel (Gòtt. 27 1., 1829) Gauss writes: It is strange that in addition to the known shortcoming of geo-Euclidean geometry, which has tried in vain to fill, and never will be filled, there is another wafer , which as far as I know, no one has intravveduto, and that it is not easy to remove, although this is pos-sible. Questo è la definizione del piano quale superficie nella quale la retta congiungente due punti qualunque vi giace per intero. This is the definition of the plane which surface in which the straight line joining any two points there lies in its entirety. Questa definizione contiene più di ciò che occorre alla de- terminazione della superficie, e involve tacitamente un teorema, che deve essere prima dimo- strato . This definition includes most of what it takes to de-termination of the surface, and tacitly devolves a theorem, which must first be demonstrated. Grassmann (1. e. pag. 32) riconosce che alla geometria manca una base scientifica, e fa ana- loghe considerazioni sull'assioma del piano. Grassmann (1. And. P. 32) recognizes that the geometry lacks a scientific basis, and is ana-loghe considerations on the axiom of the plan. A pag. A p. 34 dice poi giustamente: Quando un assioma può essere omesso senza introdurne uno nuovo, ciò deve esser fatto quand'anche fosse richiesta una completa trasformazione della scienza, perché da una tale omissione la scienza nella sua essenza guadagna in semplicità . 34 then justly says: When an axiom can be omitted without introducing a new one, this must be done even if it required a complete transformation of science, because such an omission in its essence science gains in simplicity. Genocchi (Dei principi della meccanica e della geometria, Mem. della Società italiana dei XL t. II, serie III ; 1869, pag. 178) osserva che la generazione del piano mediante le rette che con- giungono i punti di una retta con un punto fuori di essa contiene il postulato delle parallele di Euclide. Genocchi (Of the principles of mechanics and geometry, Mem of the Italian Society of XL t. II, Series III, 1869, p. 178) notes that the plan generation through-lines that come with the points of a straight line with a point outside of it contains the parallel postulate of Euclid. Se si dice che tutto il piaiio viene generato in questo modo, si esclude il sistema di Lobatschewsky, non però quello diRiemann; altrimenti non viene escluso neppure il piano di Lobatschewsky. If it is said that all the piaiio is generated in this way, we exclude the system Lobatschewsky, but not the one diRiemann; otherwise it is not excluded even the plan Lobatschewsky. 2) Cosi infatti succede ad es. 2) So it happens eg. definendo fin da principio la continuità della retta, per mezzo della quale si dimostrano non poche proprietà che sono assunte nei trattati elementari come as- siomi, mentre si fa pure uso della definizione del continuo (vedi rd es. de Paolis: Elementi di Geometria, post. XI), from the beginning by defining the continuity of the line, by which it does not show a few properties that are taken in the primary treated as axioms, but it also makes use of the definition of the continuum (see eg rd. de Paolis: Elements of Geometry, posts. XI),
Page xx Page xxXX sieme, in guisa che ogni verità e ogni passo della dimostrazione siano accompagnati possibilmente dall'intuizione. XX together, in such a way that every truth and every step of the proof are possibly accompanied by intuition. La semplicità e l'eleganza delia geometria consistono appunto nella facilità delle sue costruzioni. The simplicity and elegance Delia geometry consists precisely in the ease of its construction. Il metodo sintetico per la condizione VI da luogo al metodo sintetico astratto come è svolto nella nostra introduzione. The synthetic method for the condition VI gives rise to the synthetic method as abstract as it is done in our introduction. Un metodo che suppone nota una parte delle proprietà geo- metriche per studiare i fondamenti della medesima, o una buona parte di teorie che non appartengono alla geometria stessa, è per lo meno un metodo artificioso e indiretto, che se potrà essere utile per verificare la esattezza di un sistema di assiomi, o per mettere in relazione queste con altre teorie, non potrà mai servire a risolvere nel rrfigUor modo la questione. A method that assumes a known part of the geo-metric properties to study the fundamentals of the same, or a good part of theories that do not belong to the same geometry, it is rather a method contrived and indirect, that may be useful to verify if the accuracy of a system of axioms, or to correlate them with other theories, can never serve to resolve the issue in rrfigUor way. Un tale metodo è ad es. Such a method is eg. generalmente quello numerico o analitico. generally to numerical or analytical. Una prova ne sia che le profonde memorie di illustri autori sulle ipotesi della geometria, trattate con questo me- todo, non hanno fatto progredire di molto la geometria elementare pro- priamente detta, in modo che mentre quella moderna ha acquistato in questo secolo tanta larghezza e copia di vedute feconde, soltanto la prima è rimasta si può dire stazionaria, e non ne ha ricavato quasi alcun vantaggio 1). A proof is that the deep memories of distinguished authors on the assumptions of the geometry, treated with this method-I do not have advanced very elementary geometry pro-priamente said, so that while the modern has bought in this century such wide and copies of fertile views, only the former can be said has remained stationary, and has made almost no benefit 1). Come si può ammettere ad es. How can you say eg. quale as- sioma fondamentale della geometria l'ipotesi che l'elemento lineare dello spazio sia la radice quadrata di una espressione differenziale quadratica e positiva delle coordinate; oppure che la curvatura dello spazio sia costante, o ancora che le linee descritte da un punto nel suo movimento siano funzioni di una variabile reale che ammettono la deri- vata; che fra le coordinate di due punti vi sia una ed una sola fun- zione che rimanga inalterata mediante un certo gruppo continuo di trasformazioni, o ancora che lo spazio sia una varietà a tre dimenzioni corrispondente al continuo numerico (.u, y, z), ed altre simili? which as-Sioma fundamental geometry of the hypothesis that the linear element of the space is the square root of a quadratic and positive differential expression of the coordinates, or that the curvature of the space is constant, or that the lines described by a point in his movement are functions of one real variable that admit deriving-vata, that between the coordinates of two points there is exactly one func-tion that remains unchanged through a continuous group of transformations, or even that space is a variety blow up to three corresponding to the continuous numeric (. u, y, z), and other similar? Ma dove 1) Non sì deve credere però che al materiale degli Elementi si debba innestare qua e là teorie sia pure semplici della geometria moderna, ad es. But where 1) Do not believe, however, must ensure that the material elements of the graft should be here and there even simple theories of modern geometry, eg. della geometria proiettiva; o che si debba cangiarne il contenuto, o si debba abbandonare il metodo intuitivo basato sul puro ragionamento. projective geometry, or that you should cangiarne the content, or to abandon the intuitive method based on pure reasoning. Ciò sigiiifica invece che bisogna cercare di conquistare anche nella geometria elementare sia coli'aiuto delle nuove teorie, sia per altra via quelle vedute generali che dominino su tutto l'e- dificio degli Elementi, e li presentino in una forma scientifica e nello stesso tempo armonica, in guisa da non aver più degli assiomi dati a caso senza che si conosca l'intima ragione scienti- fica della loro necessità e indipendenza, anche se in un trattato per uso delle scuole le discus- sioni critiche devono essere bandite. This sigiiifica instead must try to gain even in elementary geometry is coli'aiuto of the new theories, is another way those general views that dominate over the entire e-edifice of the Elements, and submit them in a scientific form and at the same time harmonic, so as to have no more of the axioms random data without having intimate knowledge of the scientific reason-tion of their needs and independence, even if a treaty for the use of schools the critical discussions should be banned. Non è dunque necessario in massima aggiungere nuove teorie agli Elementi) ma o il materiale della geometria greca che bisogna correggere e rior- dinare con vedute pia larghe e più rigorose. It is therefore not necessary to add up new theories to the Elements), but the Greek geometry or the material which must be corrected and reor-ordinating with wide views pious and more stringent. D'altronde questo materiale non solo serve agli scopi pratici più semplici di questa scienza, ma serve altresì di base ad ogni ramo della geometria; nel problema dei suoi fondamenti non bisogna quindi aver riguardo più ad alcune proprietà clie ad altre, imperocché in tal modo si subordina la sua soluzione alle une o alle altre, Besides this material not only serves the practical purposes of this simple science, but also serves as the base for each branch of geometry in the problem of its foundations should not therefore have more regard to some properties to other clie, Inasmuch thus it makes its answer to one or the other,
Page xxi Page xxiXXI sono i fatti intuitivi e semplici che le spiegano e le giustificano ? XXI are intuitive and simple facts that explain and justify them? Non ammettono forse oltre la conoscenza dell'analisi, quella impli- cita di una buona parte della geometria? Well maybe not admit knowledge of the analysis, the impli-cites a good part of the geometry? Così secondo questo metodo la distanza di due punti è un numero; ma se la distanza è rappresentabile con un numero, il metodo analitico non ci dice che cosa sia la distanza, perché essa non è geometricamente un numero ; come la retta, il piano, gli spazi a tre ecc. Thus this method the distance between two points is a number, but if the distance is represented with a number, the analytical method does not tell us what is the distance, because it is geometrically not a number; as the straight line, the floor, spaces to three etc.. an dimen- sioni non sono geometricamente le equazioni o le forme analitiche ausiliarie che li rappresentano. n dimensions are not geometrically analytical equations or auxiliary forms that represent them. Il problema scientifico e il problema didattico sono distinti, perché ad es. The scientific problem and the problem of teaching are distinct, because eg. ragioni didattiche possono consigliare di dare qualche assioma di più per evitare specialmente nel principio complicate dimostrazioni, ma acciocché il primo aiuti il secondo occorre che i due problemi siano trattati collo stesso metodo. educational reasons may be advised to give some axiom more complicated to avoid demonstrations, especially in the beginning, but lest the latter should be the first aid that the two problems are treated with the same method. Ora è impossibile supporre che i giovani delle scuole secondarie superiori conoscano per lo meno una buona parte dell'analisi. Now it is impossible to suppose that the young people of secondary school know at least a good part of the analysis. Nei lavori nei quali usasi il metodo analitico e che hanno pure un'origine geometrica, è evidente la premura che si ha di far uso al più presto deir analisi ; e ve n' ha anche di quelli nei quali si scelgono gli assiomi allo scopo di potere applicare questa o quella parte anali- tica. In works in which usasi the analytical method, and that also have an origin geometric, it is evident that the care has to use as soon as deir analysis; and I n 'has also those in which the axioms are chosen in order to able to apply this or that part analytic. Pur riconoscendo la grande importanza di tali lavori, che mettono in relazione le questioni dei principi geometrici con teorie feconde dell'analisi, non possiamo però disconoscere che in tal maniera si rende schiava la trattazione del problema di uno speciale punto di vista, che a priori si vuoi far prevalere; mentre bisogna vedere qual'ò il metodo più proprio alla natura di esso. While recognizing the great significance of this work, linking the issues of geometric principles with theories fruitful analysis, but we can not deny that in this way makes you a slave to the treatment of the problem of a special point of view, that a priori we want to prevail, while we need to see the most qual'ò just the nature of it. Ora, esaminando la que- stione sotto il suo vero aspetta, il metodo puro è quello che deve essere preferito, perché un difetto del metodo analitico, e da tutti riconosciuto, è appunto quello che esso ci conduce molto sovente dalle premesse al risultato finale senza farci conoscere i diversi anelli della catena delle proprietà geometriche occórrenti nel passaggio dalla prima proprietà all'ultima, per quanto semplice edelegante possa es- sere la dimostrazione; mentre nei principi fa d'uopo sopra tutto ren- dersi ben conto di ogni particolare, cercando di avere una imma- gine geometrica ben chiama del modo con cui essa deriva dalle pre- cedenti. Now, examining the question in its true expected, the pure method is to be preferred, because a defect of the analytical method, and recognized by all, is precisely what it too often leads us to the final result from the premises without let us know about the various links in the chain of the geometric properties needed in the transition from the first property last, however simple edelegante-es can be demonstrated, while in the principles it becomes necessary above all ren-dersi well aware of every detail, looking to have a geometric origin imma-called well the way in which it arises from the pre-ceding. Un altro difetto è quello che talvolta esso richiede un grande apparato di simboli e di calcoli per giungere a proprietà geometriche semplicissime. Another defect is that sometimes it requires a great apparatus of symbols and calculations in order to achieve simple geometric properties. Newton stesso osservò che aritmeticamente è più sem- plice ciò che viene determinato da equazioni semplici ; geometricamente è invece più semplice ciò che si ottiene mediante semplice tracciamento di linee; e nella geometria deve essere prima e preferibile ciò che Newton observed that the same is more arithmetically sem-plice that is determined by simple equations; geometrically is more simple what is obtained by a simple line drawing; and the geometry must be preferable to first and what
Page xxii Page xxiixxtt è più semplice secondo il concetto geometrico *) Dimodoché noi non adottiamo il metodo analitico solo perche con esso si segue il cam- mino inverso del metodo storico col quale si è svolta la geometria, né seguiamo questo metodo perché corrisponde allo spirito della geo- metria greca, ma perche il metodo greco corrisponde meglio alla na- tura del problema. xxtt is easiest according to the geometric concept *) So that we do not adopt the analytical method with it just because it follows the cam-mino reverse of the historical method by which the geometry was carried out, or we follow this method because it corresponds to the spirit of the geo- Greek geometry, but because the method corresponds better to the greek na-ture of the problem. L'analisi applicata alla geometria serve a darci degli indirizzi an- che nello studio dei principi, ma apri ori non si sa se tali indirizzi siano utilizzabili dal punto di vista puramen te geometrico. The analysis applied to the geometry used to give us an address-that in the study of principles, but open golds do not know if these addresses are used by you purely geometrical point of view. Il metodo analitico poi per la sua generalità, se non si tien conto dell* intuizione, ci conduce a ipotesi su Ilo spazio a tre dimensioni che sono contrarie all'esperienza. The analytical method then its generality, if one takes into account the * intuition leads to assumptions of Ilo three-dimensional space that are contrary to the experience. E difatti dal punto di vista anali- tico ogni varietà numerica a tre dimensioni ha la stessa ragione d'essere dello spazio intuitivo, ma geometricamente come si è detto, non è la stessa cosa. And in fact, from the standpoint of analytic each variety numerical three-dimensional has the same reason of being space intuitive, but geometrically as has been said, it is not the same thing. È per questo che il metodo analitico oltre che portare la questione dei fondamenti della geometria in un campo di- verso, ha fatto generare il sospetto, spesso giustificato, che siano geo- metricamente impossibili i suoi risultati intorno alla geometria non Euclidea, è più ancora alla geometria di n dimensioni. It is for this reason that the analytical method as well as bring the issue of the foundations of geometry in a field-hand, he did create the suspicion, often justified, that are geo-metrically impossible his results about the non-Euclidean geometry, is even more to the geometry of n dimensions. Di più è da osservare che primo distintivo delle figure che ci col- pisce è la loro diversità di luogo, e che il metodo costruttivo nasce e si svolge da questa diversità. More is to be noted that the first distinctive shapes that catches the eye with-is the diversity of place, and that the construction method was created and carried out from this diversity. ]) Arithm. ]) Arithm. Univ. Amsterdam 1761, t. Univ Amsterdam 1761, t. II De constructione lineari pag. The De constructione linear p. 237 e seg. 237 et seq. Egli sog- giunge: La semplicità delle figure dipende dalla semplicità della genesi delle idee; non è tale l'e- quazione, ma bensi la descrizione (sia geometrica che meccanica) mediante la quale la figura vie- ne generata e facilmente rappresentata . He subject-arrives: The simplicity of the figures depends on the simplicity of the genesis of ideas, such is not the e-equation, but the description but rather (both geometric and mechanical) through which the figure-way it generated and easily represented. Egli considera però il cerchio semplice quanto la retta, mentre il cerchio ha bisogno per lo meno del piano, come la sfera almeno dello spazio ordinario. He considers, however, the circle as simple as the straight line, while the circle is less need for the plan, at least as the sphere of ordinary space. La retta per essere definita astrattamente mediante le sue proprietà non ha bisogno di altre figure. The straight line to be defined by its properties abstractly does not need to other figures. Sebbene in altre considerazioni di Newton nello stato attuale della geometria non si possa più convenire, pure le idee di uno dei sommi inventori del calcolo differenziale e integrale rispetto al carattere fondamentale della geometria rimangono sempre vere in tutta la loro generalità. Although other considerations of Newton in the present state of geometry could not agree more, even the ideas of one of the chief inventors of differential and integral calculus with respect to the fundamental character of the geometry remain true in all their generality. E noi non veniamo meno a queste idee neppure nei nostri lavori di geometria a più dimensioni, poiché ad es. And we do not fail us, even with these ideas in our work with multi-dimensional geometry because, for example. il nostro teorema che tutte le curve razionali del piano d' ordine n possono dedursi dalla curva razionale normale dellp spazio an dimensioni, si basa sulla semplicità della costru- zione della curva normale stessa. our theorem that all rational curves of the Plan 'order n can be deduced from the curve dellp rational normal n-dimensional space, is based on simplicity of construc-tion of the normal curve itself. Quantunque Leibniz abbia data una grande preferenza all'analisi, pure ha riconosciuto i di- fetti del metodo analitico specialmente nella trattazione dei principi della geometria, quando tentò di sostituirlo colla sua analisi geometrica (vedi appendice). Although Leibniz has given a strong preference analysis, also recognized the-fects of the analytical method, especially in dealing with the principles of geometry, when he tried to replace it with his geometric analysis (see Appendix). E Gauss (Gòtt. Gelehrte Anzeigen, 1816, pag. 619) così si esprime: I mezzi logici perlaconca- tenazione e la rappresentazione delle verità nella geometria per s è non possono nulla produrre, e soltanto germogliano senza frutti quando la feconda e vivificatrice intuizione non domini da por tutto. And Gauss (Gòtt. Gelehrte Anzeigen, 1816, p. 619) puts it this way: The logic means perlaconca-tenazione and the representation of truth in it's geometry can not produce anything, no fruit and only germinate when the life-giving and fruitful insight no domains por everything. Il sig. Mr. W. W. Killing nella memoria: Erweiterung des Raumsbegriffs. Killing in the memory: Erweiterung des Raumsbegriffs. Braunsbergj 1884, ci fa sa- pere die Weiorstrass ha tenute parecchie lezioni nel Seminario matematico di Berlino sui principi della goomiMi'ia nel 187:2, e che sebbene egli sia partito dalla funzione della distanza, ha soste- nuto eh11 anzi tutto bisogna tentare una trattazione puramente geometrica . Braunsbergj 1884, lets us know pear-day Weiorstrass has taken several lessons in mathematics seminar in Berlin on the principles of goomiMi'ia in 187:2, and that although he was fired from the distance, has claimed and indeed all you need groped EH11 a purely geometric.
Page xxiii Page xxiiiXKIII Non è poi da dimenticare per la questione che qui trattiamo, che non ancora è detta l'ultima parola sui fondamenti dell'analisi, come dimostrano recenti lavori di eminenti matematici e la nostra intro- duzione: perché i principi dell'analisi non sono tutti logicamente ne- cessari, e non pochi di essi racchiudono dei veri assiomi geometrici quando l'analisi è applicata direttamente allo studio della geometria, ad es. XKIII It is not to forget the issue that we deal here, which has not yet said the last word on the foundations of the analysis, as demonstrated by recent works of eminent mathematicians and our introduction: why the principles of the analysis are not all logically-essary, and not a few of them contain real geometrical axioms when the analysis is directly applied to the study of geometry, eg. il principio di continuità nelle sue diverse forme analitiche, che non sempre trova la sua giustificazione nell'intuizione spaziale. the principle of continuity in its different analytical forms, which do not always find its justification in the intuition of space. Osservo ancora che lo spazio di n dimensioni sia geometricamente che analiticamente si deduce nella sua generazione da spazi di minori di- mensioni. I also note that the space of n dimensions is geometrically deduced analytically that in his generation space-to-child dimensions. La via più semplice è dunque quella di stabilire gli assiomi per gli spazi inferiori. The easiest way is therefore to establish the axioms for the spaces below. Gli assiomi che si danno addirittura per le figure, ad es. The axioms that are given even to the figures, eg. dello spazio an dimensioni, sono certo più complessi di quelli delle varietà ad un numero minore di dimensioni. n-dimensional space, are certainly more complex than those of varieties in fewer dimensions. In altre parole secondo la condizione li bisogna procedere dal semplice al composto. In other words, according to the condition they must proceed from the simple to the compound. Ma si dirà che noi introduciamo subito il concetto dello spazio generale. But we will say that once we introduce the concept of the overall space. In primo luogo esso è un concetto generale nel quale non entra ne la costruzione ne la misura delle sue dimensioni, e oltre a ciò di esso non ci serviamo che per maggiore libertà delle nostre co- struzioni, in modo che le considerazioni che facciamo nella prima parte sullo spazio generale valgono poi senz'altro in uno spazio di un numero dato qualunque di dimensioni. In the first place it is a general concept in which it does not enter the construction nor the extent of its size, and in addition to this it is not that we use for greater freedom of our co-operating instructions, so that the considerations we do in the first part on the space Generally speaking, then certainly in a space of a given number of any size. E da osservare ancora che tranne alcune proprietà, il testo rimarrebbe lo stesso anche senza la definizione di questo spazio. It should be noted again that except for some properties, the text would remain the same even without the definition of this space. Il metodo sintetico si svolge direttamente nello spazio generale che non ha un numero determinato di dimensioni, mentre rimane da ve- dere se sia possibile trattare la geometria analitica direttamente in un tale spazio. The synthetic method is carried out directly in the space which generally does not have a given number of dimensions, while there remains to be-ing whether it is possible to treat the analytic geometry directly into such a space. Così pure rimane a trattare la geometria analitica asso- luta secondo le nostre ipotesi sull'infinito e sull'infinitesimo. Likewise, it remains to treat the associated analytic geometry Luta according to our assumptions on the infinite and sull'infinitesimo. Da tutto ciò non si deve inferire che noi combattiamo in generale il metodo analitico. From all this you should not infer that we are fighting in general, the analytical method. Ttitt'altro; l'analisi rende certamente dei grandi ser- vigi alla geometria, come questa ne rende all'analisi. Ttitt'altro; certainly makes the analysis of large ser-supervisory geometry, as this makes the analysis. L'analista ricor- rendo alla geometria mette in esercizio una facoltà, che nell'analisi in se non trova applicazione, vale a dire l'intuizione spaziale, colla quale a colpo d'occhio si assicura di molte proprietà degli oggetti che gli stanno dinanzi; mentre il geometra facendo uso di un ben inteso formalismo analitico riesce spesso oggidì con maggior sicurezza al risultato finale. The analyst appli-am to the geometry puts into operation a possibility that the analysis itself does not apply, ie the spatial intuition, with which at a glance assures you of many properties of objects that are before , while the surveyor using a well-understood analytical formalism can often nowadays with greater certainty the final result. Però, acciocché un risultato analitico abbia un effettivo significato geometrico bisogna che si riferisca ad un ente che si possa costruire, e in ogni caso la geometria non può contentarsi di sapere ad es. However, so that an analytical result has a real geometric meaning must refer to an entity that can be built, and in any case, the geometry can not be content to know eg. che esiste una data superficie, ma vuole conoscere anche le leggi della costruzione della superficie stessa. that there is a given area, but also want to know the laws of construction of the surface itself.
Page xxiv Page xxivSi sostiene giustamente che nelle ricerche scientifiche sia geome- triche che analitiche occorre usare tutti i metodi che possono con- durre a nuovi risultati 1). He rightly claims that in scientific research and analytical and geometric-trical must use all methods that can produce new results with a-1). Ma è pur d' uopo riconoscere che special- mente fuori d'Italia vi è oggidì una forte tendenza a trascurare il metodo geometrico puro, quel metodo col quale in questo secolo stesso, Poncelet, Steiner, Staudt, Chasles, Ore mona, e tanti altri, arricchirono la geometria di tante feconde teorie ; e non sappiamo davvero quanta utilità possa avere questa tendenza. But while it 's necessary to recognize that the mind-especially outside of Italy at the present day there is a strong tendency to overlook the pure geometric method, the method by which this same century, Poncelet, Steiner, Staudt, Chasles, mona hours, and many others, enriched the geometry of many fruitful theories, and do not really know how much utilities can have this tendency. E poiché i due metodi anche nella scoperta della verità hanno virtù e bellezze pro- prie, che forse non sempre possono conservarsi in un metodo misto, così noi pure, per le ragioni anzidetto, riteniamo più che giustificati, anche nelle ricerche superiori della geometria, i tentativi diretti a trattare ogni questione geometrica col metodo sintetico. And since the two methods also in the discovery of truth and beauty are under pro-Prie, who perhaps can not always be kept in a mixed method, so we, too, for the reasons aforesaid, we feel more than justified, even in research beyond the geometry, direct attempts to deal with any matter geometrical synthetic method. AH' appunto che si fa a questo metodo di non essere ben sicuro in alcune ri- cerche, si può rispondere che questo non è un difetto inerente al metodo, ma uri difetto dipendente dalla mancanza dello svolgimento necessario di esso. AH 'is precisely that this method was not quite sure in some re-quests, you can say that this is not an inherent defect of the method, but uri-dependent defect in the absence of the need to conduct it. D'altronde mi pare che in generale massime rigide non si possano adottare, ma che debbano esser lasciate libere, come nell'arte, tutte le manifestazioni del pensiero scientifico a se- conda delle attitudini individuali. Besides, I think in general you can take maximum rigid, but that should be left free, as in art, all forms of scientific thought in sec-ond of individual attitudes. E inoltre fa d'uopo non dimenti- care che la matematica ha pure la sua filosofia, e che in questa ha non piccola importanza il modo con cui si arriva alla verità. And also do not forget-it becomes necessary care that mathematics also has its philosophy, and that this was no small importance in the way you get to the truth. Rispetto alT ordine degli assiomi e delle definizioni è opportuno sia dal punto di vista scientifico come da quello didattico che si in- troducano di mano in mano se ne presenta il bisogno, eccetto che per non ripetere una definizione generale, che si adopera per molte figure, non si creda talvolta di derogare a questa regola. Compared alt order of axioms and definitions should be from the scientific point of view as from the teaching that in-troducano from hand to hand it presents the need, except for not repeating a general definition, which is used for many figures , you would not believe sometimes exceptions to this rule. Ma non si saprebbe giustificare in alcun modo il metodo di Euclide di riunire la maggior parte delle definizioni in principio del testo, senza che sia provata o data prima, o subito dopo, l'esistenza delle figure a cui quelle definizioni si riferiscono. But you would be able to justify in any way, the method of Euclid to bring together most of the definitions in the beginning of the text, without any proven or given before or soon after, the existence of the figures to which those definitions apply. Per le condizioni a cui abbiamo assoggettati gli assiomi geome- trici, e specialmente per le condizioni I e VI, dobbiamo vedere quali sono i principi e le operazioni logiche comuni sui quali si fonda la ma- tematica pura o la teoria delle forme matematiche astratte e concréte, ]) II grande matematico italiano Lag l'auge disse: Fintantoché l'algebra e la geometria sono stato separate i loro progressi furono lenti e le loro applicazioni limitate; ma allorquando queste due scienze si sono unite, esse si aiutarono vicendevolmente e progredirono insieme rapida- mente verso la perfezione (Gè no ee hi; 1. e.)- Klein (1. e pag. li, opp. trad. Le, pag. 337) e Segre Su alcuni indirizzi delle ricerche geometriclie- Rivista di matematica, febb. For conditions subject to which we geometrical axioms-ric, and especially for conditions I and VI, we must look at the principles and logic operations on which the common-but the theme or the pure theory of abstract mathematical forms and concrete,]) The great Italian mathematician Lag the vogue said: As long as algebra and geometry have been separated their progress was slow and limited their applications, but when these two sciences have been united, they helped each other and progressed together rapidly to perfection (no Ge ee hi, 1. e.) - Klein (1. and p. them, opp. trad. Le, p. 337) and Segre On some of the research addresses geometriclie-Journal of Mathematics , Feb.. e marzo lS9I,ecc. and March lS9I, etc..
Page xxv Page xxvxtv è quindi anche la geometria, ficco dunque la ragione dell'introduzione. XTV and therefore also the geometry, shove therefore the reason of the introduction. La matematica pura si presenta così come una scienza di concetti e non di puri segni assoggettati a regole convenzionali, per quanto pos- sibili. Pure mathematics is presented as a science of concepts and not of mere signs subject to conventional rules, as far as pos-sible. Noi partiamo dai concetti di unità e di pluralità, dagli assiomi lo- gici, da cui deduciamo alcune importanti conseguenze. We start from the concepts of unity and plurality, the lo-cal axioms, from which we deduce some important consequences. Dal concetto pure primitivo del prima e del poi deriviamo il concetto di serie o successione e di ordine di più oggetti dati o pensati. As well as the primitive concept of before and then we derive the concept of a series or succession and order of multiple data objects or thought. DalT operazione del porre e del togliere e del considerare insieme, o dell' unire, deri- viamo il concetto di gruppo e quello di gruppo ordinato. Dalt operation of placing and removing and considered together, or of 'merge, resulting from ve the concept of group and the group ordered. E dal con- cetto di gruppo abbiamo poi il concetto astratto di fuori. And with the concept of group, then we have the abstract concept outside. Vi sono serie limitate e illimitate, e dal principio a del n. There are unlimited and limited editions, and the principle of n. 37 si deriva il concetto di serie limitata o illimitata, che contiene come parti altre serie illimitate. 37 is derived the concept of limited or unlimited, which contains as parts other series limitless. La serie più semplice è quella li- mitata di la specie o naturale, che ha un primo ed ultimo oggetto e non contiene alcuna serie illimitata; poi si ha la serie illimitata di la specie, le cui serie limitate sono tutte di la specie. The series is easiest them-bounded of the species or natural, which has a first and last object and contains no unlimited series, and then an unlimited series of the species, whose limited series are all of the species. Diamo i prin- cipi che regolano le operazioni dell'unire e del togliere, e rilevia- mo i contrassegni delle forme matematiche astratte e concrete. Let the principles that govern the operations of uniting and remove, and mo-rilevia marks of abstract and concrete mathematical forms. Un principio fondamentale è quello della corrispondenza univoca e del medesimo ordine fra le serie o gruppi di più elementi, col quale deduciamo diversi teoremi per le serie o gruppi ordinati in generale, e particolarmente per le serie limitate e illimitate di la specie. A fundamental principle is that of the same order and one correspondence between sets or groups of items, with which we deduce several theorems for ordered sets or groups in general, and particularly for limited and unlimited number of the species. Mentre fino a questo punto abbiamo fatto uso soltanto del concetto di unità e di pluralità, dai gruppi ordinati discende il concetto di nu- mero nella sua prima formazione, e dalla corrispondenza fra gli ele- menti del gruppo che si numerano e le unità del numero si dedu- cono i teoremi fondamentali sui numeri che corrispondono ai gruppi naturali, fra i quali anche quello che mutando V ordine degli ele- menti di un gruppo naturale il numero da esso rappresentato rimane inalterato. While up to this point we have used only the concept of unity and plurality, sorted by groups follows the concept of num-ber in his early training, and correspondence between the elements of the group are numbered and the number of units deduction is the fundamental theorems on cone numbers that correspond to natural groups, among them some that changing V order of the elements of a natural group that it represents the number remains unchanged. La corrispondenza suddetta ci da modo di stabilire natural- mente il concetto di numero maggiore e minore, e le prime opera- zioni coi numeri naturali, e le leggi rispettive. The correspondence that enables us to establish the concept of natural mind-major and minor number, and the first operations with natural numbers, and the respective laws. Noi consideriamo dun- que dapprima il numero degli oggetti di un gruppo, da cui deriviamo poi le proprietà del numero come segno. We consider this first-dun, the number of objects in a group, from which we derive the properties, then the number as a sign. Prendendo a guida il continuo intuitivo rettilineo che esaminiamo nelle sue diverse parti, definito 1' elemento fondamentale, e gli ele- menti distinti in senso relativo e assoluto, trattiamo del sistema di elementi, ad una dimensione, del sistema omogeneo e identico nella posizione delle sue parti. Taking the continuous-guided intuitively straight that we examine in its different parts, called a 'fundamental element, and distinct elements in relative and absolute, we treat the system of elements, one dimension of the homogeneous system and in the same position its parts. Dall'esame delle conseguenze del principio d'identità si ricava che An examination of the consequences of the identity principle shows that
Page xxvi Page xxvixivi la corrispondenza d'identità fra due forme sì appoggia sull'identità di due altre forme ; da qui la necessità, per utilizare questa corrispon- denza, di partire da una prima forma fondamentale, per le parti della quale ammettiamo senz' altro l'identità in conformità al principio di questo nome dato al n. xivi correspondence between two forms of identity so rests on the identity of two other forms, hence the need to use this correspondence, from the first fundamental form, the parts of which certainly admit 'the other' identity in accordance with the principle of the name given to the n. 8. 8. La nostra forma fondamentale è un sistema ad una dimensione, identico nella posizione delle sue parti, continuo e determinato dal minor numero di elementi rispetto alle altre forme. Our basic form is a system to a dimension, in the identical position of its parts, continuous and determined by the lower number of elements than the other forms. Indipendentemente da queste due ultime proprietà, che stabiliamo più tardi, costruiamo sulla forma fondamentale la scala di un dato segmento come unità, e definito il campo di essa, troviamo le condizioni di uguaglianza di due scale. Apart from these two last properties, we establish later, we build on the basic form of the scale of a given segment as a unit, and defined the scope of it, we find the conditions for equality of two scales. Introduciamo poi il concetto di segmenti finiti, infiniti e infinite- simi (attuali) limitati da due elementi, e stabiliamo le ipotesi semplici dell'esistenza e della costruzione compatibili colla definizione del si- stema omogeneo (ed anche di quello identico nella posizione delle sue parti) secondo le quali si determinano le relazioni fra i segmenti sud- detti. Then we introduce the concept of finite segments, endless and infinite-similar (current) limited by two factors, and lay down the simple hypothesis of the existence and construction compatible with the definition of the sys-homogeneous (and also of the same position in its parts) under which we determine the relationships between the segments aforesaid. Da queste ipotesi si deduce appunto il concetto di più specie di unità di misura, dell'unità fondamentale alla quale si riferiscono gli infinitesimi e gli infiniti, e dell'unità assoluta che è un segmento limitato qualunque della forma fondamentale, e che chiamiamo pure finito assoluto. From these assumptions it follows precisely the concept of more kinds of units, which relate to the fundamental unity of the infinitesimal and the infinite, and absolute unity which is a limited segment of any fundamental form, and we call it well done absolute. Dimostriamo con pieno rigore che l'infinitesimo di qualunque ordine è trascurabile rispetto ad un infinitesimo di ordine inferiore, sebbene rispetto ali' unità assoluta o in senso assoluto esso non sia trascurabile. We show that with the full rigor of any order infinitesimal is negligible compared to an infinitesimal of lower order, although compared wings' absolute units or in an absolute sense it is not negligible. Dai segmenti infiniti e infinitesimi deduciamo nuovi numeri interi infiniti, i quali tanto nella somma come nella moltiplicazione sono sog- getti alle leggi ordinarie, e quindi si distinguono dai numeri transfi- niti di G. From the infinite and infinitesimal segments deduce new infinite integers, which both in amount as in the multiplication are subjects to the ordinary laws, and are distinguished by numbers transfi-ned by G. Cantor, i quali non si possono applicare alla costruzione dei segmenti infiniti della nostra forma fondamentale 1). Cantor, which can not be applied to the construction of infinitely many segments of our fundamental form 1). 1) Quando era già stampata gran parte della nostra introduzione fu pubblicata la chiara esposizione della teoria delle grandezze del prof. 1) When was already printed much of our introduction was published in the clear exposition of the theory of magnitudes of prof. Bettazzi (Pisa 1890), nella quale l'autore stu- dia certe classi ad una dimensione di 2a specie che si decompongono in n sotto classi principali di la specie (essendo n un numero intero finito), le quali considerate isolatamente sono continue nel senso ordinario. Bettazzi (Pisa 1890), in which the author study give certain classes to a dimension of second species which decompose into n sub-classes of the main species (n is an integer finished), which considered in isolation are continuous in the sense ordinary. Sebbene Bettazzi non dimostri direttamente la possibilità di queste classi, e così i principi come il metodo di dimostrazione siano diversi dai nostri, pure in questa parte ci siamo incontrati in alcune idee. Although Bettazzi not directly demonstrate the ability of these classes, and so the principles as the method of proof are different from ours, even in this part we met some ideas. Egli si arresta alla suddetta classe di 2a specie, mentre la classe cui da luogo la nostra forma fondamentale è una delle classi che Bettazzi chiama assolute, e non studia, la quale per i principi spe'ciali a cui soddisfa da luogo anche ad una misura. He stops to the said class of second species, while the class to which from place our basic form is one of the classes that Bettazzi called absolute, and does not study, which for the principles to which satisfies spe'ciali from place also to a measure . I nostri numeri infiniti e infinitesimi sono in fondo numeri complessi speciali con infinite uni- tà, tali però che il prodotto di due di esse non si esprime linearmente mediante le altre, e perciò per questi numeri vale il teorema che se il prodotto di due di essi è nullo deve esser tale anche uno dei fattori, come vale pei numeri complessi ordinavi e pei quaternioni di Hamilton. Our numbers are infinite and infinitesimal numbers at the bottom of each complex with endless special-ta, however, such that the product of two of them can not be expressed linearly by the other, and therefore for these numbers is the theorem that if the product of two it is void must also be such a factor, as is pei pei quaternions and complex numbers ordinavi Hamilton.
Page xxvii Page xxviiXXVlt Non disconosciamo la tendenza che vi è oggidì contro l'infinito e T in- finitesimo attuale, e specialmente contro quest' ultimo ; ma le ra- gioni addotte contro queste forme come erano proposte in passato non sono applicabili alle nostre, delle quali del resto abbiamo dimostrato logicamente la possibilità, come non sono applicabili alle forme del- l'infinito e infinitesimo attnale di Stolz e di duBois Reymond. XXVlt not disclaim that there is a tendency nowadays against the infinite, and T-finitesimo present, and especially against this' last, but the ra-regions were raised against these forms as proposed in the past are not applicable to our own, of which the Moreover we have shown to be logically possible, as they are not applicable to the forms of the infinite and infinitesimal-attnale of Stolz and duBois Reymond. Rispetto alla rappresentazione il segmento limitato infinito o infinite- simo della forma fondamentale possiamo rappresentarcelo tale quale un segmento rettilineo sensibile, come si vedrà meglio dalle appli- cazioni che ne faremo alla geometria 1). Compared to the representation of the infinite or limited segment of the infinite-th fundamental form we can represent this as a sensible straight line segment, as discussed by the appli-cations to the geometry that we 1). Sosteniamo l'infinitesimo attuale perché ne abbiamo dimostrato non solo la possibilità ma anche l'utilità nel campo geometrico; che anzi per quanto possa essere per sé interessante una tale teoria non T avremmo forse qui trattata senza le applicazioni geometriche che ne abbiamo fatte. We support the infinitesimal today because we have demonstrated not only the possibility but also the usefulness in geometry, that even though it may be interesting in itself such a theory T is not treated here have we no geometric applications that we've done. La trattazione poi analitica della geometria indipen- dentemente dall'assioma d' Archi mede, pare a noi, dovrebbe riuscire interessante anche per l'analisi 2j. The discussion then analytic geometry independently from the axiom of 'Archi beacons, it seems to us, should get interesting for the analysis 2j. Stabiliamo poi le ipotesi della continuità relativa ad un' unità (o continuità ordinaria) e poi all'unità assoluta (continuità assoluta). Then we establish the assumptions of continuity on a 'drive (or continuity ordinary) and then absolute unity (absolute continuity). Dalla continuità assoluta si ricava la prima rispetto ad ogni unità, ma non inversamente. From the absolute continuity we get the first compared to each unit, but not inversely. Sia nel campo di un'unità relativa, sia rispetto al- l'unità assoluta si dimostra che ogni segmento limitato della forma è divisibile in n(o?i) parti uguali, che (AB) + (BC) = (BC)+(Cff')9 ove (GB") è identico ad (AB) e del medesimo verso di (AB); che il seg- mento (AB) percorso in un verso è uguale allo stesso segmento percorso nel verso opposto, oltre altre proprietà relative agli elementi limiti di un gruppo di elementi sulla forma fondamentale. E per ciò che anche indipendentemente dagli infiniti e infinitesimi la nostra definizione del continuo ordinario è preferibile alle altre che ammettono gli stessi principi, ma ammettono ad es, anche la legge commutativa della somma, oppure la proprietà (AB)=(BA). Applicando i principi della nostra definizione alla retta, essi esprimono delle proprietà semplici e intui- tive di questa. Definita la corrispondenza di proporzionalità fra i segmenti della forma fondamentale, deriviamo da essa le principali proprietà dei rap- porti fra segmenti, e in ispecie della loro uguaglianza. Data la definizione delle forme a più dimensioni e del loro campo, 1) Vedi note pag. 85-87 e 166. Rimandiamo il lettore alle nostre osservazioni sulle dimostra- zioni contro l'infinitesimo attuale in fine dell'appendice; s'intende che il testo ne è indipendente. 2) Vedi nota pag. 123-124 e le osservazioni sulla geometria proiettiva assoluta. Both in the field on a unit, both with respect to the absolute unity-it shows that each segment of the limited form is divided into n (or? I) equal parts, which (AB) + (BC) = (BC) + (Cff ') 9 where (GB ") is identical to (AB) and the same direction of (AB); that the segment (AB) path in one direction is equal to the same segment path in the opposite direction, as well as other properties limits on the elements of a group of elements on the basic form. And for that matter even with infinite and infinitesimal, our definition of continuous ordinary is preferable to the other principles that recognize the same, but admit to such, even the commutative law of addition , or the (AB) = (BA). Applying the principles of our definition to the straight line, they express the properties simple and intuitive-tions of this. Defined the correspondence of proportionality between the segments of the fundamental form, we derive from it the main properties of rela-tions between segments, and especially of their equality. Given the definition of multi-dimensional shapes and their field, 1) See note p. 85-87 and 166. We refer the reader to our comments on the show-tions against infinitesimal current at the end of the Appendix, the text means that it is independent. 2) See note p. 123-124 and the comments on the absolute projective geometry.
Page xxviii Page xxviiiXXVllt senza dar qui il concetto di continuità in generale, ci occupiamo della grandezza estensiva ed intensiva della forma fondamentale. XXVllt not give here the concept of continuity in general, we deal with the extensive and intensive magnitude of the fundamental form. Sia di questi sviluppi come del capitolo relativo ai numeri reali, assoluti e rela- tivi, non ci serviamo nella discussione dei principi della geometria. Both of these developments as the chapter on real numbers, absolute and relative-tives, we are not in the discussion of the principles of geometry. Le considerazioni del continuo numerico relativo e assoluto ci permet- tono però di spiegare le ragioni della scelta della nostra forma fon- damentale. The considerations of the numerical constant relative and absolute, however, they allow us to explain the reasons for the choice of our form fon-damental. Non risulta dalle ipotesi premesse che questa sia deter- minata da due piuttosto che da più di due elementi distinti. Not clear from the premise that this case is deter-mined by two rather than over two distinct elements. Da tutto ciò è manifesto che noi procediamo generalmente nella costruzione dei concetti matematici dal semplice ài composto 1). From all this it is manifest that we generally proceed in the construction of mathematical concepts from simple hast compound 1). Sentiamo farci l'obiezione rispetto ai concetti dei numeri razionali e irrazionali che noi partiamo da ipotesi, mentre l'analisi si può svolgere col convenzionalismo basandosi sui soli numeri interi. Let us hear the objection with respect to the concepts of rational numbers and irrational that we start from the case, while the analysis is based on conventionalism can play with just integers. Anzitutto nel- l'introduzione non abbiamo inteso di trattare i soli principi dell'analisi ma della matematica pura in generale, che comprende anche la scienza dell'estensione astratta 2); inoltre il concetto di questi numeri entra per noi in seconda linea, essendo scopo principale dell'introduzione di servire di base alla parte geometrica. First in the introduction we have not intended to treat only of the principles of pure mathematics, but in general, which also includes the extension of abstract science, 2), in addition the concept of these numbers comes to us in the second line, being main objective of serving the basic geometric part. D'altronde, vi sono illustri analisti i quali ritengono, e noi siamo del loro avviso, che anche Tana- lisi debba essere svolta nei suoi fondamenti con metodo fiiosofico nel senso da noi sopra spiegato 3), anziché con metodo artificioso. Moreover, there are prominent analysts who believe, and we are of their opinion, that Tana-analysis should be performed in its foundations with fiiosofico method in the sense we have explained above 3), rather than artificial method. Ad ogni modo non vediamo alcuna differenza sostanziale fra le ipotesi o postulati astratti e le definizioni o convenzioni di segni necessario allo svolgimento della scienza 4). However we see no substantial difference between the hypotheses or postulates abstract definitions or conventions of signs necessary for the performance of science 4). Questa introduzione oltre che fornirci i criterì fondamentali di cui abbiamo bisogno nella parte geometrica si può considerare come un tutto a sé; ed è per questo che abbiamo svolto alcune parti di essa che non applichiamo alla geometria. This introduction not only provide the basic criteria that we need in the geometric part can be considered as a whole in itself, and that is why we have performed some part of it that does not apply to geometry. 1) Vedi ad es. 1) See, for example. note pag. notes p. 1 e pag. 1 and p. 15. 15. 2) Ausdehnungslehre secondo H. 2) Ausdehnungslehre according to H. Grassmann. Grassmann. 3)Du Bois Raymond sostiene che se nelle operazioni coi segni non si bada più al loro significato, nella discussione dei concetti fondamentali della matematica non si deve però di- menticare la loro origine (1. e. pag. 50 e seg ). 3) Du Bois Raymond argues that if the operations with the signs do not mind as to their meaning, in the discussion of the fundamental concepts of mathematics, however, must not-forgetting their origin (1. And. P. 50 et seq.) Vedi intr. See intr. nota pag. of p. 67. 67. 4) Ad es. 4) Eg. la proprietà fondamentale (a -f- ) -f- 1 in a .+. the fundamental property (a-f-)-f-1 in a. +. (b + 1) della somma dei numeri è chia- mata da Grassmann Erklarung (che equivale a un postulato) e non Bezeichnung (indicazione), e difatti v. (B + 1) the sum of the numbers you call will be Grassmann Erklärung (equivalent to a postulate) and not Bezeichnung (indication), and in fact see. H elmo tz la chiama assioma di Grassmann (Phil. Aufsàtze-E. Zeller-Zàhlen u. Messen pag. 24). H tz helmet called the axiom of Grassmann (Phil. Aufsàtze-E. Zeller-Zahlen u. Messen p. 24). Da altri è data come definizione, ma evidentemente senza questa definizione o conven- zione non è possibile svolgere le proprietà della somma. On the other is given as a definition, but evidently without this definition or Convention is not possible to carry out the properties of the sum. Ad es. Eg. Il sig. Mr. Peano (Arithmetices Prin- cipia; Torino 1889) da come assioma: se ae sono numeri interi uguali, a + 1, 6 -f-1 sono pure nu- meri uguali. Peano (Arithmetices Prin-cipia; Turin 1889) by axiom as: if a and are integers equal to + 1, 6-f-1 are also nu-mers equal. E poi come definizione: se p, q, p', q' sono numeri interi qualunque ed è ^ ^7 si ha xx - . And then as a definition: if p, q, p ', q' are integers, and whatever you xx ^ ^ 7 -. Questa proposizione è evidentemente della stessa natura della prima. This proposition is evidently of the same nature as the first.
Page xxix Page xxixXXIX Dopo che si è spiegato per mezzo dell* esperienza che cosa si deve intendere per spazio intuitivo vuoto e per punto, che è l'elemento fondamentale delle geometria, coll'ass. XXIX After he explained by means of * experience what is meant by empty space and intuitive point, which is the basic element of geometry, coll'ass. I si stabilisce esservi punti di- stinti ed uguali. The points will be down-faded and equal. Data la definizione di figure segue la definizione di spazio generale, cioè : Lo spazio generale è dato da un sistema di punti tale che data o costruita una sua figura qualunque vi è almeno un altro punto fuori di essa, le cui proprietà non dimostrabili derivano in parte dall1 osservazione esterna e in parte da principi astratti che non contraddicono alle prime; e le figure, finché il punto conserva il suo primo significato, sono sempre accompagnate dall' intuizione spaziale 1). Given the definition of the figures follows the definition of overall space, ie: The overall space is given by a system of points such that date or a built his figure there is any at least one other point outside it, whose properties do not derive demonstrable in dall1 the external observation and partly from abstract principles that do not contradict the first, and the figures, until the item retains its original meaning, are always accompanied by 'spatial intuition 1). La geometria è la scienza dello spazio generale, e perciò anche delle figure in esso contenute. Geometry is the science of the overall space, and therefore also of the figures contained therein. Le considerazioni però che facciamo, tranne alcune, valgono anche indipendentemente da questo spazio, seb- bene noi lavoriamo sempre in esso 2). The considerations, however, we do, but some apply equally regardless of this space, although we always work well in it 2). 11 concetto di fuori trova am- pia giustificazione nel primo capitolo dell'introduzione. 11 out of the concept of justification is am-ple in the first chapter of the introduction. Le parti semplici della prima parte dell'ass. The simple parts of the first part of the ass. II sulla retta sono già state discusse nelT introduzione ; e poiché scopo principale di questi studi è anche quello di risparmiare più assiomi che è possibile, così non abbiamo bisogno di ammettere la determinazione della retta che per una sola coppia dei suoi punti, completando poi questo assioma colla parte 2a, la quale stabilisce che ogni punto fuori di una retta e un punto qualunque di essa determinano un'altra retta. II on the right have already been discussed nelT introduction, and since the main purpose of these studies is also to save more axioms that can be, so we do not need to allow the determination of fees for a single pair of its points, and finish this Glue the second axiom, which states that every point outside a straight line and any point of it lay a straight line. Così facendo pos- siamo svolgere le proprietà comuni generali di tutti i sistemi geome- trici possibili conosciuti. In so doing can we carry out the general properties common to all systems known geometric-ric possible. Gli altri tre assiomi sono proprietà semplici che riguardano l'iden- tità di due rette aventi un punto comune, la differenza dei due lati di un triangolo quando il terzo lato diventa indefinitamente piccolo, e T identità di due coppie di rette aventi un punto comune. The other three axioms are simple properties that relate to the identity of two straight lines having a common point, the difference of the two sides of a triangle when the third side becomes indefinitely small, and T identity of two pairs of straight lines having a common point . La coppia di rette è una figura rettilinea, determinata dai segmenti rettilinei, aventi per estremi i punti delle rette date, ei punti delle rette così ottenute, e così via. The pair of lines is a rectilinear figure, determined by straight line segments, which have as extreme points of the given straight lines, and points of the straight lines thus obtained, and so on. La coppia rettilinea non è l'angolo di due raggi o di due rette. The torque is not rectilinear the angle between two rays or two straight lines. Secondo le ipotesi sull'infinito e sull'infinitesimo attuale dell'in- troduzione diamo alcune ipotesi le quali ci permettono di stabilire una geometria assoluta, indipendente cioè dall'assioma V d'Archimede, 1) II concetto di un tale spazio è implicito nella prima pagina del nostro lavoro pubblicato nel Voi. XIX dei Math. According to the infinity and hypotheses sull'infinitesimo Current In-introduction we give some assumptions which allow us to establish an absolute geometry, ie independent of V by the axiom of Archimedes, 1) The concept of such a space is implicit in first page of our paper published in Vol XIX of Math. Annalen, e non è da confondere con quello dello spazio an dimensioni in esso contenuto. Annalen, and not to be confused with that of n-dimensional space contained therein. 2) Vedi oss. 2) See oss. Ili, del n. Ill, of n. 1 e oss. 1 and oss. IX del n. IX of n. 4 della parte I, 4 of Part I,
Page xxx Page xxxXXX e di far scaturire da essa due sistemi generali nei quali sono com- presi i sistemi particolari di Euclide e di Riemann. XXX and to bring forth from it in two general systems which are includ-ing the particular systems of Euclid and Riemann. Nel sistema della retta chiusa assoluta, che noi adottiamo, abbiamo precisamente il sistema di Euclide e quello di Riemann, in modo che le ipo- tesi precedenti servono a mettere in relazione questi due sistemi in un solo sistema generale applicando il concetto delle diverse unità di misura. In the system of the straight line closed absolute, that we use, we have precisely Euclid's system and that of Riemann, so that the hypo-thesis prior serve to correlate these two systems in a single system by applying the general concept of the different units of measure. L'unità che ci da il sistema Riemanniano è appunto infinita rispetto a quella che ci da il sistema di Euclide. The unity that gives us the system is indeed infinite Riemannian than that of Euclid's system. La facilità con cui dal piano Euclideo si passa al piano completo o Riemanniano, senza mai uscire dal piano, e la facilità con cui dal piano all'infinito dello spazio a tre dimensioni Euclideo, che è un piano completo, si dimostrano molte fra le proprietà fondamentali di questo spazio, e così analoga- mente per gli altri spazi di date dimensioni, ci pare degna di nota. The ease with which the plan is passed to the Euclidean or Riemannian complete plan, without ever leaving the floor, and the ease with which the plane of the infinite three-dimensional Euclidean space, which is a comprehensive plan, will show many of the properties Fundamental to this space, mind-and so similar to other spaces given size, it seems worthy of note. Si potrà obiettarci che mentre sosteniamo dover essere il numero degli assiomi il minore possibile, facciamo uso di ipotesi astratte. You may need to be obiettarci that while we support the number of axioms as small as possible, we make use of abstract hypotheses. E l'obiezione sotto un certo punto di vista ha il suo valore, ma anche a ciò si trova nel nostro libro una risposta. And the objection from a certain point of view has its value, but also to what is in our book answers. Intanto, come dimostriamo nelle note indi- cate con numeri romani, le ipotesi suddette non introducono alcun assioma oltre ai già dati nel campo finito, quando si voglia rimanere in questo solo campo, tranne il postulato delle parallele; perché in quelle note trattiamo appunto la geometria coli'aiuto del testo indi- pendentemente da quelle ipotesi, per far rilevare altresì quale im- portanza esse abbiano nello svolgimento e nel coordinamento delle proprietà fondamentali dello stesso campo finito. Meanwhile, as we show in the notes indi-cate with Roman numerals, these assumptions do not introduce any axiom in addition to data already in the finite field, when you want to stay in this field only, except the parallel postulate, because in those notes precisely treat the geometry coli'aiuto text independently from those assumptions, which also pointed to importance they have in the conduct and coordination of the fundamental properties of the same finite field. Di più, come ab- biamo detto, volendo trattare il problema scientifico in tutta la sua generalità, abbiamo date queste ipotesi per stabilire una geometria in- dipendente dall'assioma V d'A re hi in e de, e per trattare e coordi- nare meglio fra loro i diversi sistemi geometrici conosciuti. Moreover, as we have said, wanting to address the scientific problem in its full generality, we have given these assumptions to determine a geometry-dependent axiom of V and A King in de hi, and to treat and co- Nare each other better known the various geometric systems. Prima ancora di dare le ipotesi suddette, dalla corrispondenza d'identità fra due forme, in^cui la retta rappresenta la forma fon- damentale, deduciamo i teoremi per l'uguaglianza delle figure, per la quale abbiamo bisogno dell'ass. Before giving the assumptions above, the correspondence between two forms of identity, in which the straight line ^ is fon-damental form, we deduce the theorems for the equality of figures, for which we need the ass. V, benché dalle nostre osserva- zioni in proposito non risulti una prova sicura della sua indipendenza dai precedenti. V, although from our observations in this regard is not a definite sign of his independence from the previous. Alla fine dei capitolo I del 1 libro trattiamo dei sistemi continui di figure invariabili nello spazio generale, e specialmente dei sistemi continui di segmenti invariabili sulla retta, senza ricorrere al movi- mento senza deformazione, del quale ci occupiamo al capitolo succes- sivo come principio di cui si ha bisogno soltanto per eseguire pra- ticamente le costruzioni geometriche. At the end of Chapter 1 of the book deal with figures of continuous systems invariant in space generally, and especially of continuous segments of the invariant straight line, without resorting to the move-ment, without deflection, which we deal with the chapter following that in principle that you only need to perform geometric constructions prac-tically. Pei sistemi continui di figure in- variabili ijoo occorre tener conto astrattamente di tutte le proprie^ Pei continuous systems of figures in-ijoo variables necessary to take account of all its abstractly ^
Page xxxi Page xxxiXXXI delle linee intuitive, vale a dire che in ogni punto esse hanno una tangente; il che semplifica di molto la nostra esposizione. XXXI lines intuitive, that is to say that at any point they have a tangent which greatly simplifies our exposure. Nel libro II della parte I studiamo da principio le prime proprietà dei fasci di raggi, e dei settori angolari ed angoli di essi *). In Book II of Part I we study at first the ownership of the first ray beams, and the angular sectors and corners of them *). Ci oc- cupiamo poi delle proprietà del parallelogrammo, e dimostriamo il teorema fondamentale che se da uri punto qualunque di uri lato de! We then oc-cupiamo properties of the parallelogram, and prove the fundamental theorem that if from any point of uri uri de side! triangolo si conduce una parallela ad un altro lato, essa incontra il rimanente, e in modo che i segmenti sul primo e sul terzo lato sono in corrispondenza di proporzionalità. conducting a triangle parallel to another side, it meets the remainder, and in such a way that the segments on the first and third side are in correspondence of proportionality. Definito il piano come la figura che si ottiene dal fascio considerando in esso quale elemento il punto anziché il raggio, il teorema precedente e quelli sul parallelogrammo permettono di dimostrare rigorosamente e facilmente le prime pro- prietà del piano ; fra le quali va notata quella che ogni fascio di raggi (Rr) ha un sistema limite assoluto all'infinito rispetto al suo centro, il quale, con tutto che abbia molte proprietà caratteristiche in comune colla retta, fra cui quella di essere determinato da due punti e continuo, non si può dire però che sia una retta. Described the plan as the figure obtained by the beam considering it as an element the point instead of the radius, the previous theorem and the parallelogram on the permit to demonstrate rigorously and easily the first pro-ownership plan, including the one that goes unnoticed each ray beam (Rr) has a system absolute limit to infinity respect to its center, which, with all that has many properties in common with the straight line, including the one to be determined by two points and continuous, it can not be But to say that it is a straight line. Esso ha le stesse proprietà rispetto a tutti i punti del campo finito del piano relativamente all'unità fondamentale Euclidea e all'unità infinita o Riemanniana, ma non rispetto all'unità assoluta. It has the same properties with respect to all points of the finite field of the plane relatively to the unit key and the unit infinite Euclidean or Riemannian, but not absolute relation to the unit. Da queste prime proprietà deriva l'identità dei fasci e la pro- prietà che un fascio è identico nella posizione delle sue parti, e per- ciò che ogni settore angolare (ab) in un verso è identico allo stesso settore percorso nel verso opposto. From these first property derives the identity of the beams and the pro-property that a beam is identical to the position of its parts, and for-that each angular sector (ab) in one direction is identical to the same sector in the opposite path. Da ciò risulta pure che il piano viene diviso da una sua retta in parti identiche; che ogni retta del piano è situata per metà in ognuna di queste parti. It follows also that the plan is divided by its share in the same line, each line of the plane is located half in each of these parts. Data la defini- zione di parte interna ed esterna di un triangolo si dimostrano i teo- remi relativi ai punti di intersezione di una retta coi lati del trian- golo. Given the definition of inside and outside of a triangle prove the theorems relating to the points of intersection of a right triangle with sides of the corner. Così senza assiomi speciali né espliciti né impliciti dimostriamo le proprietà relative alle intersezioni di una retta con una circonfe- renza e di due circonferenze fra loro. So no special axioms or explicit or implicit prove properties related to the intersections of a straight line and a circumference of two circles together. Definiamo i versi delle figure piane e del piano senza ricorrere ad oggetti esterni, o ad osservatori, e al concetto del movimento; il che introdurrebbe degli elementi empirici nelle nostre considerazioni. We define the lines of plane figures and the plan without resorting to external objects or observers, and the concept of movement, thereby introducing the elements in our empirical observations. Diamo le condizioni dell' identità di due figure nel piano, e distin- guiamo le figure identiche dello stesso verso (congruenti) da quelle di verso opposto (simmetriche); le proprietà principali dei sistemi piani continui di figure invariabili, e applichiamo poi questa teoria ì) Per le definizioni fin qui date di angolo veggasi l'appendice. Let the conditions of 'identity of two figures in the plane, and the distinction guiamo identical figures of the same direction (congruent) than in the opposite direction (symmetric), the properties of the systems have plans to continue invariable figures, and we apply this theory ì) for the definitions so far given the Appendix angle compare p. Ci pare degno di essere rilevato il criterio che noi segniamo nella definizione di angolo nelle diverse sue forme. There seems to be worthy of the criterion that we found we score in the definition of angle in its various forms. Vedi pag. See p. 281 e seg., 400 e seg., 478 e seg. 281 et seq., 400 et seq., 478 et seq. ecc. etc..
Page xxxii Page xxxiiXXXII alla deduzione delle proprietà principali del movimento di una figura del piano, come abbiamo fatto sulla retta. XXXII to the deduction of the main properties of the movement of a figure of the plan, as we did on the line. Nel capitolo II del libro II prendendo come unità di misura una unità infinita rispetto all'unità fondamentale Euclidea, o finita ri- spetto ali' intera retta, si ha il piano completo. In Chapter II of Book II, taking as a unit of measurement units from infinite Euclidean fundamental unit, or re-finished compared wings' entire line, you have the complete plan. Per la maggior parte delle sue proprietà valgono le stesse dimostrazioni già date pel piano Euclideo. For most of its properties are worth the same demonstrations already given PEL Euclidean plane. Nel capitolo III trattiamo specialmente del piano di Lo- batschewsky, mettendo a raffronto i tre sistemi fra loro. In Chapter III we treat especially of the plan-The batschewsky by comparing the three systems together. Del sistema di Lobatschewsky non ci occupiamo più oltre perché non ci è utile, come il sistema Riemanniano, nel coordinamen- to delle proprietà degli spazi geometrici Euclidei. System Lobatschewsky do not look further because there is useful, such as the Riemannian, in co-ordination to the geometric properties of Euclidean spaces. Nel libro III dopo aver definito la stella di 2a specie e lo spazio a tre dimensioni dimostriamo le loro prime proprietà, e dopo aver dimostrato come si possa considerare che lo spazio abbia un piano al- Tinfinito rispetto all'unità Euclidea, che è un piano completo, si de- ducono dalle sue proprietà quelle della stella, e da queste si passa alle proprietà delle altre semplici figure dello spazio stesso, incontrando ognora altre figure e altri sistemi più complicati che presentano sempre nuove proprietà. In the third book after defining the star of the second species and the three-dimensional space show their first property, and after demonstrating how one can consider that the space has a plan in relation to the unit Tinfinito-Euclidean, which is a plan complete, we de-duce from its properties as the star, and from these we pass to the other properties of the simple figures of space itself, encountering evermore, other figures and other more complicated systems that are always new properties. Lo spazio completo a tre dimensioni si deduce dallo spazio Eu- clideo con un' unità infinita. The space complete in three dimensions can be deduced from the space Eu-clideo with a 'infinite unity. Alla fine di questa prima parte è dato il terzo assioma pratico, il quale stabilisce a tre le dimensioni dello spazio intuitivo. At the end of this first part is practical given the third axiom, which provides three dimensions of space intuitively. Noi abbiamo seguito sempre le nostre costruzioni coir intuizione spaziale, ma poi- ché essa non è e non deve essere necessaria per la condizione VI allo svolgimento logico della geometria, così non abbiamo avuto bi- sogno di dar prima una tale proprietà, come non ci occorre neppure per il seguito. We have always followed our buildings coir spatial intuition, but-because it is not and should not be necessary for the condition VI to perform logic of geometry, so we did not dream of giving the first bi-such a property, as there even need to read. Arrivati a questo punto, e pei principi e le proprietà svolte nel capitolo I del libro I, che abbiamo trattati direttamente nello spazio generale (o anche volendo indipendentemente dalle dimensioni dello spazio), nessuna ragione giustificherebbe che ritenessimo possibile il solo spazio a tre dimensioni, perché è la forma corrispondente allo spazio intuitivo l), imperocché l'assioma pratico suddetto è necessario soltanto per le pratiche applicazioni, che abbiamo distinte nettamente dalla geometria teorica propriamente detta. At this point, and pei principles and properties carried out in Chapter I of Book I, we dealt with directly in the general space (or even if, regardless of the size of space), no reason can justify as we retain only the three-dimensional space, because it is the form corresponding to the input space), Inasmuch as the axiom that practice is only necessary for practical applications, we have clearly distinguished from the theoretical geometry itself. Col processo fin qui svolto segue dunque la costruzione della stella di 2a specie e dello spazio a quattro dimensioni S4 mediante uno spazio a tre dimensioni S3 e un punto SQ fuori di esso nello spazio generale. With the process already done so following the construction of the star of the second species and the four-dimensional space using an S4 S3 three-dimensional space and a point SQ out of it in the general space. 1) Vedi oss. 1) See oss. emp. emp. I del n. I n. 1, nota II e ass. 1, note II and ass. Ili pratico. Ill practical.
Page xxxiii Page xxxiiiXXXIII L'esistenza di un punto fuori di S9 non include ancora quella dello spazio Si, perché non si ha che il gruppo di punti (SZS0). XXXIII The existence of a point outside the S9 does not yet include the space is, why do not we have that the set of points (SZS0). Dalla costru- zione suddetta trattiamo collo stesso metodo le figure fondamentali dello spazio S4. From the construc-tion that we deal with the same method, the key figures of the space S4. Passiamo poi allo spazio di n dimensioni Sn, dove naturalmente trattandosi di un numero dato, comunque grande, ma finito di dimen- sioni, le dimostrazioni acquistano un carattere generale, e il metodo in esse è dirò così saltuario, perché ad es. We then go to the space of n dimensions Sn, where of course it is a given number, however large, but finite in dimensions, the demonstrations take on a general, and the method they say is so infrequent, because eg. le proprietà dello spazio completo Sn_! the spatial properties of complete Sn_! non possono essere trattate che alternativamente con quelle dello spazio Sn nel campo Euclideo; così pure molte dimo- strazioni bisogna darle col così detto metodo dell' induzione completa *) applicato contemporaneamente a più teoremi. can not be treated alternately with those of Sn in Euclidean space, and likewise many demon-tions with the need to give her so-called method of 'complete induction *) applied simultaneously to several theorems. In questa parte trat- tiamo dei sistemi generali continui di enti geometrici, sia nello spa- zio generale come in quello ad n dimensioni. In this part of the overall systems tiamo treat-continuous geometric entities, both in space as in the general uncle to n dimensions. Ma prima di trattare questa teoria, che si può anche chiamare geometria a più dimensioni rispetto ad altri enti geometrici già costruiti che non siano punti, occorre prima di tutto, per rimanere nel campo geometrico, stabilire le proprietà degli spazi in cui quegli enti sono stati dati o costruiti, allo stesso modo che la teoria delle curve piane di nmo ordine può i . But before we address this theory, which can also be called multi-dimensional geometry compared to other geometric entities that are not already constructed points, first of all, to remain in the field geometry, determine the properties of the spaces in which these entities were data or constructed, in the same way that the theory of plane curves of the nth order can. . . - . -. . . chiamarsi geometria a - - dimensioni. called geometry - dimensions. Dallo svolgimento di questa parte risulta chiaramente che il no- stro processo costruttivo della geometria a più di tre dimensioni è un processo nel quale l'intuizione è fusa colla pura astrazione; ma risulta pure che noi non intendiamo punto di intuire completamente le figure di n dimensioni o dello spazio generale, come intuiamo quelle di tre le quali corrispondono agli oggetti del campo della nostra osservazione. The conduct of this part is clear that the no-ter of geometry construction process more than three dimensions is a process in which intuition is fused with the pure abstraction, but it is well that we do not intend to point to grasp fully the figures of n size or the overall space, as we sense the three which correspond to objects in the field of our observation. Dal!' By! ' aggiunta, nella quale abbiamo indicato in che modo si possono stabilire i principi della geometria analitica ad n dimensioni, si vede che, come lo spazio ordinario viene rappresentato da una varietà nu- merica (x*y,z) che soddisfa ai nostri assiomi, lo spazio an dimensioni viene rappresentato da una varietà numerica (xl9x29...,xn) che soddisfa agli stessi assiomi. Additionally, where we have shown how one can establish the principles of analytic geometry to n dimensions, we see that, like the ordinary space is represented by America as a variety nu (x * y, z) that satisfies our axioms, n-dimensional space is represented by a numerical range (xl9x29. .., xn) which satisfies the same axioms. Ma come la prima varietà non è lo spazio ordi- nario, così la seconda varietà non è il nostro spazio an dimensioni. But as the first variety is not space ordi-nary, so the second variety is not our n-dimensional space. E noi abbiamo quindi ragione d'insistere nel far rilevare bene que- sto carattere fondamentale delle nostre ricerche, perché se rispetto al substrato di una verità geometrica, non ha importanza che essa sia enunciata in numeri o per mezzo degli enti geometrici corrispondenti, 1) Vedi intr. And then we have reason to insist on pointing out good I am-basic character of our research, because if compared to the substrate of a geometrical truth, no matter whether it is stated in numbers or by means of corresponding geometric entities, 1) See intr. pag. page. 18. 18.
Page xxxiv Page xxxivXXXIV nei fondamenti invece ha una capitale importanza l'esistenza, sia pure astratta, dell'oggetto geometrico l). XXXIV in the fundamentals instead has a paramount importance to the existence, albeit abstract, the geometric object). Qui abbiamo avuto specialmente di mira lo svolgimento dei prin- cipi della geometria a più dimensioni, e di dimostrare ogni proprietà di cui avevamo bisogno, fatta eccezione di due proprietà date alla fine, ma che furono dimostrate altrove, e nelle quali si ha già la cer- tezza che non è compreso alcun altro assioma. Here we were especially targeting the carrying out of principles of geometry in higher dimensions, and show all properties that we need, with the exception of two properties given at the end, but which were demonstrated elsewhere, and which has already certainty that is not including any other axiom. Se le proprietà sono in gran parte note, le dimostrazioni sono invece in grandissima parte nuove. If the properties are largely known, the demonstrations are in great part new. D'altronde un'esposizione matematica della geometria elemen- tare a più dimensioni secondo il nostro punto di vista, e che non fu mai fatta, rende più facile l'investigazione nelle parti superiori. Besides mathematical exposition of elementary geometry-ing to more dimensions to our point of view, and that was never made, makes investigation easier in the upper parts. Alla fine della parte II abbiamo fatto conoscere le operazioni del proiettare e del segare, e ne abbiamo dedotte alcune importanti con- seguenze, compatibilmente collo scopo e colla natura di quest' opera 2). At the end of Part II we made known to the operations of the project and saw, and we have deduced some important con-sequences, consistent with the purpose and with the nature of this' work 2). L'utilità di questo metodo per rispetto allo spazio ordinario consiste appunto in questo; che da enti generali od anche speciali si deducono classi di enti nel piano e nello spazio a tre dimensioni, o in uno spazio di dimensioni inferiori, e inversamente, dimostrando più facil- mente e coordinando sotto un punto di vista generale proprietà o enti nuovi o già noti. The usefulness of this method compared to the ordinary space consists precisely in this, that bodies are deduced general or even special classes of entities in the plane and in three-dimensional space, or in a smaller space, and inversely, demonstrating more easily and coordinated under a general point of view or entities owned or previously known. È questa la generalizzazione del principio spesso usato col quale mediante la geometria dello spazio ordinario si dimostrano più pro- prietà delle figure piane, o si ottengono nuove proprietà di que- ste figure; dirò anzi che esso acquista la sua vera ragione nello spazio an dimensioni, perche allora valgono dei teoremi gene- rali fra gli enti proiettati e gli enti ottenuti per proiezione. This is the generalization of the principle with which he often used by the geometry of ordinary space is proving to be more pro-properties of plane figures, or obtain new properties of this ste-figures, I will say that it actually achieves his real reason in the space of n dimensions , because then-general of the theorems are valid between the agencies and bodies thrown obtained by projection. L'esi- stenza delle figure e la verità delle loro proprietà, che si otten- gono con questo metodo, ad es. The existence of the figures and the truth of their property, which will repair spray with this method, eg. nel piano, si possono provare na- turalmente coi soli postulati del piano (s'intende senza trascurarne alcuno); ma ciò anzi conferma l'utilità del metodo 3). in the plane, you can try na-turalmente with just postulates of the plan (without neglecting any means), but this fact confirms the usefulness of the method 3). La geometria di n dimensioni è poi vantaggiosa anche sotto altri aspetti, perché molti enti del piano e dello spazio ordinario si lasciano rappresentare da 1) Si veda la discussione che noi facciamo nell'appendice a proposito delle definizioni di spazio e di geometria an dimensioni. The geometry of n dimensions is also advantageous in other ways, because many bodies of the plan and allow themselves to be ordinary space of 1) See discussion in Appendix we make about the definitions of space and geometry in n dimensions. 2) II lettore potrà utilmente quindi consultare i lavori che si sono svolti con questo procedi- mento a cominciare da quello da me pubblicato nei Math. 2) The reader may usefully consult the works then you are done with this proceeding, beginning with the one I published in Math. Annalen, voi. Annalen, vol. XIX, come quelli svolti prima e poi col metodo puramente analitico che trovano in questo libro la loro vera base geometrica. XIX, such as those made before and then with a purely analytical method in this book are true to their basic geometric. 3) Coi metodi della geom. 3) With the methods of the geom. descrittiva si possono costruire effettivamente queste figure nel piano e nello spazio ordinario. description can actually build these figures in the plane and in ordinary space. Vedi A. See A. Geom. Geom. descrittiva a quattro dimens. descriptive four dimens. R. R. Istituto Veneto, Apr. 1882. Venetian Institute, Apr. 1882. Su questo argomento abbiamo tenuto una conferenza nel Seminario matematico diretto dal prof. On this topic we have lectured in mathematics seminary directed by prof. Klein nell'estate del 1881. Klein in the summer of 1881.
Page xxxv Page xxxvXXXV enti più semplici, ad es. XXXV bodies simpler, eg. da punti di uno spazio superiore, e quindi riesce spesso più agevole studiarne così le proprietà *). from points of an upper space, and then can often easier to study the properties so *). Certo è che non si può dire che un tale metodo sia applicabile in ogni ricerca geometrica. Certainly no one can say that this method is applicable in any geometric research. Ad es. Eg. esso si applica con maggior successo alla geometria proiettiva che alla geometria metrica. it applies most successfully to projective geometry that the metric geometry. Ogni metodo ha i suoi pregi ma anche i suoi difetti, e sopra tutto bisogna possederlo bene per saperne ricavare l'utile che esso può dare; basta natural- mente che esso sia veramente fecondo in una categoria almeno di ricerche importanti; come per certi metodi non è ancora avvenuto. Each method has its merits but also its shortcomings, and above all we must possess well get to know the profit that it can give, just naturally mind that it is very fruitful in at least one category of important research, as in some methods has not yet happened. E se qui non potevamo badare tanto alla novità delle proprietà quanto ai principi con cui devono essere svolte, non si deve credere che noi incoraggiamo ricerche le quali altro non sono che facili genera- lizzazioni e nulla d'importante contengono né per la geometria a tre né per quella ad n dimensioni. And if here we could not take care of both the new properties to the principles which must be carried out, we must not think that we encourage research which are nothing but generates easy-lizzazioni and contain nothing of importance nor the geometry of three nor for that to n dimensions. Così non bisogna neppure esagerare nel senso di voler servirsi delle n dimensioni in questioni ove è più pro- prio e più facile servirsi invece delle dimensioni ordinarie. So one must not exaggerate the sense of wanting to make use of the n dimensions in matters where it is most pro-PRIO and easier to use instead of ordinary dimensions. Dalla separazione della geometria teorica dalle sue pratiche ap- plicazioni, dal fatto che non tutti gli assiomi necessari per queste lo sono per quella; dal fatto ancora che la geometria non ha bisogno dei principi tolti dalla meccanica e dalla fisica; e infine da quanto abbiamo detto sull'uguaglianza delle figure, sulla distinzione di figure identi- che in congruenti e simmetriche in ogni spazio di un numero dato di dimensioni e sui sistemi continui di figure invariabili, chiaro appare che noi non facciamo uso del movimento dei corpi o dei "sistemi ri- gidi nella trattazione dei concetti fondamentali. Oggi, dopo i celebri lavori di Helmoltzil quale dichiara che non si può parlare di congruenza se non si possono muovere dei corpi rigidi o sistemi di punti senza deformazione 1* uno verso l'altro da alcuni si dichiara questo principio intuitivo indispensabile allo svol- gimento della geometria, e se ne fa uso esplicito nei trattati di geo- metria elementare, mentre non solo esso non è indispensabile, ma non può essere accettato senza venir meno al rigore necessario. Questo principio dipende invece dalle proprietà dell' ente geometrico partico- lare in cui si suppone avvenga il movimento ; applicato alla definizione dell'uguaglianza delle figure in uno spazio ad n dimensioni (n_l) restringe questo concetto alla sola congruenza, facendola dipendere dalle dimensioni dello spazio stesso; e restringe anche questa facendola 1) Vedi l'appendice. By the separation of the theoretical geometry from its practical applica-tions, by the fact that not all the axioms necessary for these are for that; still by the fact that the geometry does not need the principles removed from the mechanical and physical, and finally by what we have Equality said the figures, the distinction of figures identical in congruent and symmetrical in every area of a given number of dimensions and shapes of invariant continuous systems, it appears clear that we do not make use of the motion of bodies or "systems re-Gidi in dealing with the fundamental concepts. Today, after the famous work Helmoltzil which declares that no one can speak of consistency if they can not move the rigid body or system of particles without deformation * 1 toward each other by some is states this intuitive principle essential to the CARRY-ment of the geometry, and it is used explicitly in the treaties of geo-metry elementary, not only while it is not essential, but can not be accepted without lack of rigor required. This principle depends instead properties of 'particular geometrical entity in which the movement is supposed to happen; applied to the definition of equality of figures in a space of n dimensions (n_l) restricts this concept to the one consistency, making it depend on the size of the space itself, and This also restricts making 1) See Appendix.
Page xxxvi Page xxxviXXXVI dipendere da tutti i contrassegni delle linee intuitive; esso suppone non solo l'esistenza nello spazio di figure identiche ad ogni altra figura data, ma eziandio dei sistemi continui di figure invariabili, mentre poi tutte queste proprietà si deducono dalla costruzione dello spazio. XXXVI depend on all the markings of lines intuitive, it presupposes not only the existence of figures in space identical to each other given figure, but even of figures invariant continuous systems, and then all of these properties are deduced from the construction of space. Per essere spiegato si deve appoggiare esso stesso al principio d'identità. To be told you should put itself to the principle of identity. Non può poi servire a definire astrattamente il continuo geometrico, ed è, come si disse, necessario per le sole pratiche applicazioni. It can then serve to define the abstract geometrical constant, and is, as you said, needed only for practical applications. Con tutto ciò non intendesi dire che nello stabilire gli assiomi geo- metrici non si debba empiricamente far uso del movimento, che è un idea primordiale; come anche non intendesi dire che il movimento non sia necessario alla formazione delle idee geometriche: questo è un problema psicologico che non ci riguarda; ma bensì intendesi che deve essere escluso come principio necessario nei fondamenti della geome- tria teorica *). With everything intendesi not to say that in establishing the axioms geo-metric should not be empirically make use of the movement, which is a primordial idea; as well as intendesi not to say that the movement is not necessary to the formation of geometric ideas: this is a problem psychology that does not concern us, but rather intendesi to be excluded as a necessary principle in the theoretical foundations of geometry *). Fin qui abbiamo parlato sempre del problema scientifico in tutta la sua generalità. So far we have always spoken of the scientific problem in its full generality. Ma la discussione sui concetti fondamentali della matematica non può non riguardare anche il lato didattico della que- stione, come già abbiamo accennato. But the discussion on the fundamental concepts of mathematics can not even relate to the educational side of the question, as we have already mentioned. Fu già osservato fin da principio che la geometria elementare da Euci i de fino ad oggi ha pochissimo progredito, in quanto che anche nei migliori trattati moderni non si sono tolti sistematicamente i di- fetti dei principi che si incontrano in Euclide, anche se in alcuni di essi si è portato qua e là qualche miglioramento; mentre non si può negare che altri stanno al di sotto degli Elementi del grande geome- tra greco, -sia per chiarezza come per precisione di concetti. It was noted at the outset that the elementary geometry of the de Euci to date has progressed very little, because even the best that modern treaties have not been systematically removed-fects of the principles that are found in Euclid, although in some of them has brought some improvements here and there, while there is no denying that others are below the geometric elements of the great between-greek,-both for clarity of concepts like precision. I pro- blemi scientifico e didattico vanno trattati con vedute diverse, ma la migliore soluzione del secondo dipende da quella del primo, im- perocché sebbene le esigenze didattiche debbano avere la loro de- bita influenza, esso vuoi essere risolto secondo un ordinamento scien- tifico prestabilito, come questo deve essere trattato in modo da aiu- tare più che sia possibile la soluzione del primo. The pro-scientific and educational problems should be treated with different views, but the best solution depends on the second than the first, im-For, although the educational needs should have their de-sorbed flu, you want it to be solved according to a scientific law typhoid predetermined, as this must be treated so as to AIU-ing much as possible the solution of the first. Noi parliamo special- mente dei trattati che servono per le scuole liceali, nelle quali la matematica va presentata ai giovani quale modello di rigore logico, più che come un insieme di verità utili praticamente, senza che per questo si perda di vista anche il suo scopo pratico. We speak of espe-cially treated for schools that serve high school, where math is presented to young people as a model of logical rigor, rather than as a set of practically useful truths, without thereby lose sight of its purpose well practice. Per raggiun- 1) Vedi a questo proposito i ^ y, 22 e 23 del libro I colle relative considerazioni dell'intro- duzione, i S 18, 19, 20 del libro II della parte I, ei paragrafi analoghi degli altri libri. To reach-1) See in this regard i ^ y, 22 and 23 of Book I of the intro-duction with the relative considerations, the S 18, 19, 20 of Book II of Part I, paragraphs and other similar books. E poiché in questo punto siamo in disaccordo con Helmoltz, come anche con Newton secondo il quale la geometria non è che una parte della meccanica (Phil. nat. Principia math. ed. 2 Cauibridge p. 273), trattandosi di così alte autorità, verso le quali non crediamo di mancare in alcun modo al rispetto e all'ammirazione che giustamente meritano esprimendo il nostro modo di vedere diverso, sen- tiamo però il dovere di dire altre ragioni in appoggio della nostra tesi; il che faremo nell'ap- pendice. And since at this point we disagree with Helmholtz, as well as with Newton's argument that the geometry is not that part of mechanics (Phil. nat. Principia math. Ed. 2 Cauibridge p. 273), being so high authority, to which we do not believe in any way lacking in respect and admiration they justly deserve expressing the way we see different sen-tiamo But the duty to tell other reasons in support of our thesis, which we in the AP- Appendix.
Page xxxvii Page xxxviixxxvii gere questo scopo, al rigore dei principi può essere sagrificato, se occorre, un maggiore sviluppo della materia. Gere xxxvii this purpose, the rigor of the principles may be sacrificed, if necessary, a further development of the subject. D'altronde siamo convinti che an- che nelle scuole universitarie i giovani devono esser posti in grado non solo di conoscere ma di possedere bene le idee fondamentali delle scienze che studiano e il maneggio del calcolo, coi quali sarà loro fa- cile poi, anche da sé o colla guida di buoni libri, risolvere problemi e dimostrare teoremi difficili. Moreover we believe that an in-school young university places should be able not only to know but have good ideas of fundamental sciences that study and handling of the calculation, with which they will then do-chile, also by themselves or with the help of good books, solve difficult problems and prove theorems. È allo scopo suddetto che abbiamo accompagnato i capitoli rela- tiva alla retta e al piano con note contrassegnate da numeri romani, e limitandoci al campo finito Euclideo, abbiamo fatto vedere come sia possibile attenersi ai principi che informano il nostro libro, cioè: 1. It is the purpose that we have accompanied the chapters relating to the line-tive and piano with notes marked with Roman numerals, and limiting ourselves to the Euclidean finite field, we showed how it is possible to follow the principles that inform our book, namely: 1. che la retta può essere assunta come elemento fondamentale di costruzione delle figure e di riferimento delle grandezze geo- metriche ; 2. that the line can be taken as a fundamental element of building shapes and reference quantities of geo-metric 2. che non si ha bisogno da principio deir assioma delle tre di- mensioni dello spazio intuitivo, né esplicitamente né tacitamente nel- l'esposizione logica, pur facendo uso sempre dell'intuizione e di con- siderazioni empiriche quando occorrano per venire in aiuto a consi- derazioni astratte; 3. that you do not need to be deir principle axiom of three dimensions of space-intuitive, either expressly or by implication in the logic-exposure, while still making use of intuition and con-empirical considerations when needed to come to the aid of con - abstract considerations; 3. che non si ha bisogno dell' assioma del movimento che quale mezzo pratico, e senza che per questo si complichino le dimostrazioni su ir uguaglianza delle figure; 4. that there is no need of 'axiom of the movement as a practical means, and without this will complicate the demonstration of ir equality of Figures 4. che tutte le proprietà fondamentali del piano e dello spazio a tre dimensioni si dimostrano col mezzo degli assiomi da noi dati e con quello delle rette parallele. that all the fundamental properties of plane and three-dimensional space is demonstrated by means of the axioms we have data and that of the parallel lines. A questo scopo il nostro assioma II nella nota IV per ragioni di- dattiche lo abbiamo sostituito coir assioma II', ed abbiamo svolta la geometria nel solo campo finito tanto coli' assioma II del testo, quanto coH'assioma II', finché nella nota XLIV e nelle seguenti non occorre più tener conto della distinzione di questi due assiomi. For this purpose our axiom II in the note for reasons of IV-dattiche we replaced coir axiom II ', and we have carried out only in the geometry finite field so coli' axiom II of the text, as coH'assioma II ', as long as in note XLIV and in the following no longer need to take into account the distinction of these two axioms. E poiché ci occorre il postulato delle parallele indipendentemente dal piano, a ciò provvediamo con una nuova definizione del paralle- lismo di due rette nella nota XVI. And since we need the parallel postulate regardless of the plan, what we provide a new definition of parallel-ism of two lines in the sixteenth note. I nostri assiomi esprimono proprietà date comunemente negli assiomi dei trattati di geometria elementare, tranne il IV e V a cui si sostituiscono proprietà molto più complicate. Our axioms express properties commonly given in the axioms of elementary geometry treated, except for the IV and V and their replacement property much more complicated. In queste note ci siamo limitati alla retta e al piano, sopra tutto perché data la costruzione dello spazio S3, si vede facilmente come si deve procedere nelle modificazioni. In this note we have limited ourselves to the line and the floor, above all because the construction of the space on S3, you can easily see how to proceed in the modifications. Si può in ogni caso senza uscire dal campo finito stesso far uso cori vantaggio delle espressioni di punto all'infinito di due rette, per indicare che sono parallele; come di retta all'infinito di due piani per indicare che sono paralleli. It may in any case the same end without leaving the field to use choirs advantage of expressions point at infinity of two straight lines, indicating that they are parallel, as the line at infinity of two floors to indicate that they are parallel.
Page xxxviii Page xxxviiiXXXVIII Speriamo di poter svolgere presto questi principi in apposito trat- tato di geometria elementare. XXXVIII We hope to play soon these principles in a special Treaty of elementary geometry. Potrà sembrare a prima vista che qualche parte del testo potesse essere tralasciata o abbreviata. It may seem at first glance that some part of the text could be omitted or abbreviated. Ciò può anche essere, ma oltre che teorie che non sembrano necessarie dapprima hanno in seguito la loro applicazione, dalla nostra discussione precedente sulle proprietà, e sulle dimostrazioni geometriche risulta che in questi argomenti nulla deve essere trascurato, e che la concisione quando trascina seco la indeterminatezza dei concetti è un grave difetto. This may be so, but in addition to theories that do not seem necessary at first to have followed their use, from our earlier discussion on the properties, and geometric proofs that nothing in these subjects should be neglected, and that the brevity when dragging with it the indeterminacy of concepts is a serious defect. In una sola reticenza possono essere nascoste tali proprietà la cui dimo- strazione richieda una radicale trasforma/ione dei principi mede- simi. In one such reticence may be hidden property whose demonstration requires radical changes / ion of principles simi-beacons. Finché nel dimostrare si fa uso dell'evidenza non si ha mai la certezza assoluta di non avere commesso qualche errore. As long as it makes use of evidence in proving you never have absolute certainty of not having done something wrong. Vi sono due mezzi per eliminare più che è possibile I1 errore. There are two ways that you can delete multiple I1 error. Tanto più sarà minuziosa la ricerca altrettanto sarà di minore importanza Terrore commesso, e si tratterà più di questioni di forma che di sostanza ; e quanto più si saranno meditati a più riprese i punti controversi, tanto maggiore sarà la sicurezza di averlo evitato. The more detailed research will be equally committed minor Terror, and it will be more than matters of form than of substance, and the more you will be pondered several times controversial points, the greater the conviction that it avoided. A questo scopo, specialmente nell'introduzione e nei due primi libri della prima parte, o laddove lo ritenemmo opportuno, abbiamo divise le proprietà nelle loro parti semplici più che ci è stato possi- bile, indicando nelle dimostrazioni con molta frequenza le proprietà sulle quali esse si appoggiano; indicazioni che vanno diminuendo a mano a mano che si va innanzi, perché è inutile ripetere una pro- prietà di cui si è fatto uso contìnuo. For this purpose, especially in the introduction and first two books in the first part, or where we thought it appropriate, we have divided the property in their most simple parts that we have been possible, giving demonstrations with great frequency on which the properties they support; particulars to be decreasing gradually before you go, because it is useless to repeat a pro-ownership of which has been used continuously. Così, anche i punti deboli, se ve ne sono, risaltano maggiormente, permettendo ad altri di correggerli e di raggiungere quella perfezione che tutti dobbiamo desiderare nel- l'interesse della scienza. Thus, even the weaknesses, if any, stand out more, allowing others to fix them and reach the perfection that we all desire in the interest of science. Ma bisogna anche guardarsi di non cadere nel pedantesco, dando troppa importanza a cose che non l'hanno, perdendo invece di vista le questioni di maggior conto. But we must also beware not to fall into pedantic, giving too much importance to things that have not, however losing sight of the issues more into account. Pure facendo uso delle figure intercalate nel testo, nella prima parte le abbiamo indicate alla fine delle dimostrazioni per mostrare appunto che si deve più badare al ragionamento logico che ali' in- tuizione; mentre nella seconda parte le abbiamo indicate fin da prin- cipio acciocché il lettore ne faccia subito uso, e metta così in eser- cizio per quanto è possibile la sua intuizione spaziale adoperandola anche laddove mancano le figure ; senza per questo venir meno al ri- gore delle dimostrazioni. Even using the figures interspersed in the text, in the first part we indicated at the end of the demonstrations to show more precisely that we must attend to logical reasoning wings' in-intuition, while the second part we have shown since principle lest The reader will immediately make use of, and put it in the financial year as far as possible its spatial intuition adoperandola even if the figures are lacking, without, however, fail to re-gore demonstrations. Certo che questo metodo minuzioso non è da consigliarsi nelle Of course this method is detailed by counsel in
Page xxxix Page xxxixXXXIX ricerche superiori, perche condurrebbe a lungaggini inutili, essendo già il terreno in queste ricerche più facile e più sicuro alla deduzione. XXXIX research beyond, because they lead to unnecessary delays, it is already on the ground in this research easier and safer to deduct. La scienza si svolge ormai in due direzioni, l'altezza e la profon- dita; né si può dire anche nella seconda direzione se si possa giun- gere ad una fine, poiché col mettere i principi sotto nuovi aspetti o in- troducendone di nuovi sempre nuove questioni si presentano, la cui trattazione serve a meglio approfondire le origini della scienza. The science now takes place in two directions, the height and depth, nor can be said in the second direction if you can Giun-gere to an end, because by putting the principles in new ways or new-troducendone always new questions arise, the treatment of which serves to better address the root of science. Da principio non abbiamo avuto in mente di seriore questo libro per alcuna scuola; ma poiché uno degli scopi principali della scuola di ma- gistero di matematica annessa ad alcune delle nostre Facoltà di scienze almeno per ora è quello di preparare i futuri insegnanti delle scuole secondarie con conferenze intorno ai fondamenti delle materie d'inse- gnamento in queste scuole, crediamo che il nostro libro sia a ciò molto adatto, e possa quindi servire di guida nelle suddette conferenze. At first we did not have in mind seriore this book to any school, but as one of the main aims of the school, but math-gistero attached to some of our faculty of sciences at least for now is to prepare future teachers of secondary schools with lectures about the fundamentals of materials teach-teaching in these schools, we believe that our book is well suited to this and may therefore serve as a guide in those conferences. Questi insegnanti infatti non possono disinteressarsi del movimento scientifico intorno alle questioni relative ai fondamenti della scienza, che essi sono chiamati ad impartire, anche se naturalmente devono farlo in forma compatibile collo sviluppo intellettuale dei giovani, e colle esigenze degli altri insegnamenti. In fact, these teachers can not ignore the scientific movement around issues relating to the foundations of science, they are called to teach, though of course must do so in the form compatible with the development of young intellectual, and glues demands of other teachings. Essi possono poi contribuire moltissimo colla loro esperienza diretta alla soluzione del problema di- dattico. They can then contribute much by their direct experience to the solution of the problem-didactic. Ecco perché nel titolo del nostro libro abbiamo aggiunto Le- zioni per la scuola di magistero di matematica e tenemmo conto nel testo anche di questo scopo. That's why the title of our book we have added Le-tions for the school teaching of mathematics in the text, and we had also account for this purpose. Ed è anzi ad esso che si devono al- cuni maggiori sviluppi, che altrimenti potevano essere tralasciati. And indeed it is that you need to-CuNi major developments, which could otherwise have been overlooked. I giovani troveranno poi nell'appendice un'utile guida nello studio dei lavori di illustri maestri, che noi consigliamo ai nostri allievi della scuola di magistero. Young people will find useful guidance in Appendix, then in studying the works of famous masters, we advise our students of the school of teaching. Il nostro libro potrà essere gradito anche da quei filosofi ai quali piace di occuparsi di tali argomenti, sebbene nell'esposizione siste- matica di queste ricerche abbiamo escluso a priori, per le ragioni dette innanzi, ogni considerazione di indole filosofica propriamente detta. Our book can be enjoyed even by those philosophers who like to deal with these issues, although systematic exposition of these studies have excluded a priori, for the reasons given before, all considerations of a philosophical nature itself. Anche i più illustri matematici che si occuparono di tali questioni non andarono esenti da giuste critiche, pur avendo i loro lavori con- tribuito senza dubbio al progresso della scienza. Even the most distinguished mathematicians who dealt with these issues did not go free from just criticism, although their work with-no doubt contributed to the advancement of science. Mi parrebbe quindi di peccare di poca modestia ritenendomi superiore ad ogni critica, specialmente in un lavoro così vasto; sebbene d'altra parte ho la coscienza di averlo meditato a più riprese, specialmente nei punti più controversi. I think it would, therefore, guilty of little more modesty ritenendomi any criticism, especially in a work so vast, and though the other hand I have a conscience to have meditated on several occasions, especially in the most controversial. Ma badando ai risultati ottenuti ho la certezza, e senza di questa non avrei pubblicato questo libro, di aver seguita una delle vie più semplici; ed ho eziandio la convinzione che ogni menda But looking after the results I am sure, and without it I would not have published this book, that I followed one of the most simple, and I have the conviction that every fine eziandio
Page xl Page xlXL che potesse essere scorta eventualmente potrà esser tolta seguendo le medesime idee fondamentali. XL, which could possibly be the basis will be removed following the same basic ideas. Debbo qui esprimere la mia alta riconoscenza verso SE il Mi- nistro della Pubblica Istruzione Pasquale Vi 11 ari ei membri della Giunta del Consiglio Superiore, che hanno voluto onorare quest* opera incoraggiandone la pubblicazione in conformità al R. I must here express my highest gratitude to HE the Mi-ister of Education There Pasquale 11 ari and members of the Board of the Supreme Council, who honor this by encouraging the publication * in accordance with R. Decreto 18 Mag- gio 1882. Decree-Thu May 18, 1882. Così pure debbo ricordare con gratitudine l'egregio dr Paolo Gazzaniga, professore al R. So I must also remember with gratitude the eminent Dr. Paolo Gazzaniga, a professor at R. Liceo e libero docente di analisi nella R. High school and university lecturer analysis in R. Università di Padova per la revisione di buona parte del ma- noscritto, delle bozze di stampa e per gli utili consigli da lui avuti rispetto alla chiarezza di alcune considerazioni, specialmente nel prin- cipio dell'introduzione. University of Padua for the revision of much of the manuscript-but, of proofs and for the helpful tips he had compared the clarity of some considerations, especially the principle of the introduction.
Table of Contents Table of Contents
Page xli Page xliINDICE Prefazione...............pag. CONTENTS Preface ............... p. V-XL INTRODUZIONE Principi fondamentali delle forme matematiche astratte. V-XL INTRODUCTION Basic principles of abstract mathematical forms. CAPITOLO I. CHAPTER I. Nozioni e operazioni comimi. Comimi notions and operations. 1. 1. Unità e pluralità Prima e poi Concetti e segni delle cose Operazioni del porre e dell'astrarre o del togliere......... Unity and plurality, and then First Concepts and Operations of the signs of things to ask and dell'astrarre or off ......... pag. page. 1 2. 1 2. Operazione del paragonare Principi necessari....... Principles of operation necessary to compare ....... 3 3. 3 3. Condizione di determinazione di una cosa Operazioni a senso unico e opera- zioni inverse........... Condition for determining what operations a one-way and reverse operations ........... 5 4. 5 4. Gruppo di cose Concetto di fuori ......... Group Concept things out ......... C 5. C 5. Ordine di cose Successione o serie di cose........ Order of Succession things or series of things ........ 7 G. 7 G. Gruppo ordinato Operazione dell'unire....... Ordered group uniting Operation ....... 9 7. 9 7. Principi dell'operazione dell'unire.......... Principles of the operation of uniting .......... 10 8. 10 8. Operazione dello scomporre Gruppo nullo Estensione dell'operazione del togliere . Operation of the break away group of zero extension operation. ............. ............. 11 9. 11 9. Serie e gruppo ordinato limitati e illimitati Serie limitata di la specie Serie di serie............... Series and ordered group limited and unlimited series of limited series of the species range ............... 12 CAPITOLO II. 12 CHAPTER II. Prime proprietà delle forme matematiche astratte. Basic properties of abstract mathematical forms. % 1. 1%. Caratteri delle forme o grandezze matematiche astratte e concrete . Characters of the forms or mathematical magnitudes abstract and concrete. . . . . pag. page. 15 2. 15 2. Serie limitate e illimitate Serie limitate e illimitate di la specie ... Series limited and unlimited series of limited and unlimited species ... 1C 3. 1C 3. Legge associativa di un gruppo ordinato Come l'operazione dell'unire possa non essere un'operazione a senso unico........ Associative law of an ordered group as the task of uniting might be not an one-way ........ 19 4. 19 4. Corrispondenza univoca e del medesimo ordine fra più gruppi .... One correspondence between several of the same order and groups .... 20 CAPITOLO III. 20 CHAPTER III. Il numero nella sua prima formazione Numeri naturali. The number of natural numbers in its first formation. 1. 1. Primo concetto di numero ........... First the concept of number ........... pag. page. 26 2. 26 2. Operazione del numerare Gruppi e numeri naturali Addizione . Task Groups and number of natural numbers Addition. 27 3. 27 3. Concetto di numero maggiore o minore di un altro Altre proprietà dei numeri. Concept of greater or lesser number of another Other properties of numbers. 3G 4. 3G 4. Sottrazione Moltiplicazione Divisione Numero zero .... Subtraction Multiplication Division number zero .... 39 39
Page xlii Page xliiXLIt CAPITOLO IV. XLIt CHAPTER IV. Dei sistemi di elementi e in particolare di quelli ad una dimensione. Systems of elements, and in particular those at one dimension. % U Considerazioni empiriehe sul continua intuitiva rettilinea.....pag. % U empiriehe Considerations on intuitive continuous straight ..... p. 45 2. 45 2. Elemento fondamentale Elementi e forme differenti di posizione e coincidenti in senso assoluto e relativo Leggi di determinazione oppure di esistenza o di costruzione delle forme........... An essential component elements and various forms of position and coincide in absolute and relative Read determination or existence or construction of the forms ........... 49 3. 49 3. Determinazione delle forme Corrispondenza d'identità delle forme Concetto di maggiore e di minore............ Determination of forms of identity matching concept forms of major and minor ............ 51 4. 51 4. Sistema ad una dimensione Segmenti del sistema, loro estremi Segmento in- divisibile Versi del sistema semplice ad una dimensione chiuso od aperto Prolungamenti di un segmento nel sistema ...:... System one-dimensional segments of the system, their extreme segment of the in-divisible Verses simple one-dimensional closed or open Extensions of a segment in the system ... ... 55 5. 55 5. Applicazione del linguaggio del movimento ai sistemi ad una dimensione. Application of the language of movement to the systems to a dimension. . . 60 CAPITOLO V. 60 CHAPTER V. Della forma fondamentale. The basic form. 1. 1. Definizione del sistema ad una dimensione omogeneo in un dato verso, e sue pri- me proprietà..............pag. Definition of the system to a homogeneous size in a given direction, and its pri-me properties .............. p. 62 2. 62 2. Prime proprietà del sistema identico nella posizione delle sue parti ... Basic properties of the system in the same position of its parts ... 65 3. 65 3. Ancora delle identità di due forme. Yet the identity of two forms. Forma fondamentale Necessità di essa Ipotesi I e II.............. Need basic form of it Assumptions I and II .............. 66 4. 66 4. Operazioni dell'unire e del togliere sulla forma fondamentale e loro nuovo signi- ficato Segmento nullo Altra indicazione di un segmento percorso nei suoi due versi Relazione fra tre elementi qualunque della forma ... Operations and unify the fundamental form and take on their new major significance Segment null Another indication of a path segment in its report two lines of three elements of any shape ... 68 5. 68 5. Segmenti multipli e summultipli di un segmento dato della forma fondamentale, e loro simboli Scala, unità, origine e campo di essa Condizioni per l'uguaglianza delle scale Uguaglianza relativa di due segmenti rispetto ad un' unità Segmenti trascurabili rispetto ad un altro segmento ... Summultipli multiple segments of a given segment of the basic form, scale and their symbols, units, source and scope of its conditions for the equality of the scales relative equality of two segments with respect to a 'unit segments insignificant compared to another segment .. . 74 CAPITOLO VI. 74 CHAPTER VI. Segmenti finiti, infiniti, infinitesimi, indefinitamente piccoli e indefinitamente grandi Numeri infiniti. Segments finite, infinite, infinitesimal, infinitely small and infinitely large numbers infinite. 1. 1. Ipotesi (II) sul!' Hypothesis (II) on! ' esistenza di elementi fuori del campo di una scala Segmenti fini- ti, infiniti e infinitesimi Segmenti finiti variabili Campo finito di una scala Ipotesi (IV) sulla determinazione dei segmenti infiniti Infiniti e infinitesimi di diversi ordini Loro proprietà Campi infiniti Elementi limiti ali' in- finito di diversi ordini............pag. existence of elements outside the field-scale segments for you, infinite and infinitesimal segments finite variables range over a wide Hypothesis (IV) on the determination of segments Infiniti infinite and infinitesimals of different orders They owned fields Elements infinite limits wings' in- finished by several orders ............ p. 84 2. 84 2. Numeri infiniti e infinitesimi di diversi ordini, loro proprietà e simboli . Infinite numbers and infinitesimals of different orders, their properties and symbols. 99 3. 99 3. Numeri transfiniti di Cantor Perché non possono applicarsi al confronto dei segmenti limitati della forma fondamentale ..*.... Why Cantor's transfinite numbers can not be applied to the comparison of limited segments of the basic form .. * .... 102 4. 102 4. Altra ipotesi (V) di costruzione dei segmenti della forma fondamentale Seg- menti e numeri infiniti d'ordine infinito Segmenti multipli e summultipli secondo un numero infinito Infinito, finito e unità assoluti Unità fonda- mentale................ Another hypothesis (V) segments of the construction of the fundamental form Seg-ments of infinite order and infinite numbers of multiple segments and summultipli according to an infinite number infinite, finite and absolute units Unit fundamental .......... ...... 106 5. 106 5. Legge associativa, commutativa della somma ; legge distributiva e commutativa della moltiplicazione dei numeri della classe (II) ...... Associative law, commutative sum, distributive and commutative law of multiplication of numbers in class (II) ...... 113 6. 113 6. Unità di diverse specie Nuovo carattere dell'unità di misura ... New units of different species character unit of measure ... 125 7. 125 7. Divisione dei segmenti finiti in parti finite Segmento finito sempre decrescente Suo limite Segmento indefinitamente piccolo rispetto ad una data unità Division of segments finished finished finished parts Segment Segment limit your ever-decreasing infinitely small with respect to a given unit
Page xliii Page xliiiXLIII Ipotesi sulla continuità relativa ad un'unità Elementi limiti di un gruppo di elementi rispetto ad un' unità nella forma fondamentale .... XLIII Hypothesis on the continuity relates to a unit Elements limits of a group of elements with respect to a 'fundamental units in the form .... pag- 125 8. p-125 8. Scomposizione di un segmento finito in n parti uguali Legge commutativa della somma di due o più segmenti consecutivi II segmento (AB) è identico allo stesso segmento percorso nel verso opposto rispetto all'unità finita Ele- menti limiti del gruppo di elementi ottenuto colla divisione successiva di un segmento in n parti uguali Altre proprietà degli elementi limiti dei gruppi rispetto ad un'unità............ Decomposition of a finite segment into n equal parts Law commutative the sum of two or more consecutive segments II segment (AB) is identical to the same segment path in the opposite direction with respect to unity over Ele-ments limits of the group of elements obtained with the next division of a segment into n equal parts Other properties of the elements limits of the groups with respect to a unit ............ 134 9. 134 9. Ipotesi (VII) sui campi infinitesimi dei segmenti Infinitesimo e zero assoluto Scomposizione dei segmenti in un dato numero infinito di segmenti infinitesimi Indefinitamente piccolo in senso assoluto Segmenti finiti assoluti variabili sempre crescenti o decrescenti Ipotesi (Vili) sul continuo assoluto Discreto assoluto Elementi limiti assoluti di un gruppo di elementi sulla forma fon- damentale ............... Hypothesis (VII) on the fields of infinitesimal infinitesimal segments and zero absolute breakdown of segments in a given infinite number of infinitesimal segments Indefinitely small in an absolute sense Segments finite absolute variables increasing or decreasing hypothesis (VIII) on the continuous Discreet absolute absolute absolute limits of elements a group of elements on the form fon-damental ............... 146 10. 146 10. Divisione assoluta di un segmento in n parti uguali Determinazione delle scale rispetto ad un segmento dato come unità fondamentale Divisione di un segmento in 7] parti uguali Legge commutativa della somma di due o più segmenti consecutivi 11 segmento (AB) è identico al segmento opposto (BA) Elementi limiti del gruppo di elementi ottenuti colla divisione successiva di un segmento in t] parti uguali Altre proprietà degli elementi limiti asso- luti di un segmento dato Simboli che rappresentano le parti e gli elementi di un segmento Segmenti commensurabili di la e 2a specie, e segmenti incom- mensurabili .......... Absolute division of a segment into n equal parts Determination of the stairs with respect to a given segment as the fundamental unit Division of a segment in 7] Law commutative equal parts of the sum of two or more consecutive segments 11 segment (AB) is identical to the opposite segment ( BA) limits of the elements of data obtained with the next division of a segment in t] equal parts Other properties of the elements limits ace-ners of a given segment symbols that represent the parts and elements of a segment of the commensurable segments and the second species , and incompatible segments mensurabili .......... 152 11. 152 11. Corrispondenza di proporzionalità fra i segmenti di una o più forme fondamentali 167 12. Correspondence of proportionality between the segments of one or more basic forms 167 12. Estensione delle scale Campi finito, infiniti e infinitesimi intorno ad un ele- mento della forma fondamentale aperta o chiusa rispetto ad un'unità . Extension Fields of stairs ended, infinite and infinitesimal ele-ment around a fundamental form of open or closed with respect to a unit. . . 173 13. 173 13. Ancora dell'uguaglianza assoluta e relativa di due forme..... Yet absolute and relative equality of two forms ..... 175 CAPITOLO VII. 175 CHAPTER VII. Forme a più dimensioni Campo di tutte le forme Grandezza estensiva eà intensiva di una forma e in particolare della forma fondamentale. Forms to more than one size range of all forms extensive and intensive size of a shape and in particular of the fundamental form. 1. 1. Definizione delle forme a più dimensioni e loro campo.....pag. Definition of multi-dimensional shapes and their field ..... p. 177 2. 177 2. Grandezza estensiva e intensiva delle forme e della forma fondamentale . Its extensive and intensive forms and basic form. . . 177 CAPITOLO Vili (*). 177 CHAPTER VIII (*). Numeri reali, relativi e assoluti, positivi e negativi. Real numbers, relative and absolute, positive and negative. % 1. 1%. Verso positivo e negativo della forma fondamentale Segmenti positivi e nega- tivi Criterio di confronto fra gli uni e gli altri Convenzione dei segni -4- e 181 2. With positive and negative segments of the fundamental form positive and negative criteria of comparison among each other and the Convention of signs -4 -, and 181 2. Numeri negativi e positivi Operazioni fondamentali dei numeri positivi e nega- tivi interi............... Positive and negative numbers Basics of positive numbers and negative integers ............... 183 3. 183 3. Numeri frazionar! Numbers frazionar! e loro operazioni fondamentali . and their fundamental operations. ..... ..... 189 4. 189 4. Numeri reali, razionali e irrazionali, assoluti e relativi. Real numbers, rational and irrational, absolute and relative. . . 196 CAPITOLO IX. 196 CHAPTER IX. Ultime considerazioni sulla forma fondamentale. Recent considerations on the fundamental form. % 1. 1%. Ipotesi riassuntiva della forma fondamentale Sua determinazione Forme fondamentali possibili............ Summary of key assumptions as determining your basic shapes possible ............ 202 2. 202 2. Considerazioni sulla scelta della forma fondamentale...... Considerations on the choice of the fundamental form ...... 203 (*) Di questo capitolo, come di altre parti dell'introduzione, non si fa uso nei fondamenti della geometria. 203 (*) In this chapter, as in other parts of the introduction, is not used in the foundations of geometry.
Page xliv Page xlivÌLIV PARTE PRIMA. ÌLIV PART ONE. La retta, il piano e lo spazio a tre dimensioni nello spazio generale. The straight line, the plan and three-dimensional space in general space. LIBRO I. BOOK I. La retta e le figure rettilinee in generale. The straight and rectilinear figures in general. CAPITOLO I. CHAPTER I. La retta e le figure rettilinee in generale Assiomi e ipotesi. The straight and rectilinear figures in general axioms and assumptions. % 1. 1%. Punto Assioma I Figura Spazio generale Geometria Sistemi di punti ad una dimensione............pag. The Point Axiom Figure Space Geometry Systems General points to a dimension ............ p. 209 2. 209 2. Assioma II Proprietà della retta.......... Axiom II Properties of the line .......... 213 3. 213 3. Lunghezza di un segmento rettilineo o distanza di due punti in un segmento ret- tilineo Segmento e distanza di due punti sopra la retta aperta o chiusa Punti opposti della retta chiusa Raggi della retta..... Length of a line segment or the distance of two points in a segment ret-tilineo segment and distance of two points above the line open or closed points of the line opposite of closed-ray line ..... 219 4. 219 4. Ass. Ili Identità di due rette Figure rettilinee Triangolo ... Ass Ill Identity of two straight lines Figures Triangle ... 220 5. 220 5. Punto limite di un gruppo di punti in generale Proprietà delle distanze di un punto dai punti di una retta .......... Limit point of a group of points in general properties of the distances of a point from the points of a line .......... 222 6. 222 6. Gruppi di punti che a due a due possono non determinare la retta ... Groups of points that two by two can not determine the straight line ... 224 7. 224 7. Segmento rettilineo limite di una serie di segmenti rettilinei Linea semplice Distanza di un punto dai punti di una linea semplice..... Straight segment limit of a series of straight line segments simple Distance of a point from the points of a simple line ..... * 227 8. * 227 8. Ogni coppia di punti sulla retta aperta determina la retta Soltanto due punti opposti possono non determinare la retta chiusa......* 233 9. Each pair of points on the line open determines the straight line, only two opposite points can not determine the straight closed ...... 233 * 9. Corrispondenza d'identità fra due figure Coppia di rette Assioma V Teo- remi sulle figure rettilinee uguali......... Correspondence identity between two figures Pair of Axiom V Teo straight and rowing on the same rectilinear figures ......... 234 10. 234 10. Ipotesi I e II sulla retta assoluta.......... Assumptions I and II on the absolute right .......... 244 11. 244 11. Triangolo con un lato infinitesimo Campo finito, infiniti e infinitesimi intorno ad un punto rispetto ad un'unità Campo finito assoluto Ipotesi III e IV 24G 12. Triangle with one side finished Field infinitesimal, infinite and infinitesimal around a point with respect to an absolute range over 24G 12 Hypothesis III and IV. Rette che uniscono un punto del campo finito con punti all'infinito . Straight lines connecting a point in the finite field with points at infinity. 255 13. 255 13. Raggi e rette parallele............ Rays and parallel lines ............ 257 14. 257 14. I due sistemi generali di geometria Sistemi di Euclide, di Lobatschewsky e di Riemann Ipotesi V............ The two mainstream systems geometry of Euclid, and the Riemann Hypothesis Lobatschewsky V. ........... 258 15. 258 15. Primo assioma pratico o postulato di Euclide Indirizzo delle ulteriori ricerche e l'unità fondamentale............ First axiom Euclid's postulate of practical or of further research and address the fundamental unit ............ 262 16. 262 16. Retta completa.............. Straight complete .............. 263 17. 263 17. Ipotesi VI Punti e figure opposte......... Hypothesis VI, and Points opposing figures ......... 265 18. 265 18. Rette i cui punti determinano segmenti retti con un punto. Whose points determine straight line segments with a period. L'ipotesi IV vale per ogni punto (dello spazio generale)........ The fourth hypothesis is true for every point (of the overall space) ........ 267 19. 267 19. Rette e raggi paralleli assoluti e relativi Campo limite assoluto intorno ad un punto del campo finito Euclideo.......... Straight and parallel rays absolute and relative absolute limit range around a point of the finite field Euclidean .......... 268 20. 268 20. Raggi e segmenti paralleli dello stesso verso o di verso opposto ... Rays and segments parallel to the same or the opposite ... 270 21. 270 21. Figure uguali in senso assoluto e relativo........ Figures equal in absolute and relative ........ 272 22. 272 22. Segmenti congruenti e simmetrici sulla retta Sistemi continui di figure qua- lunque invariabili (nello spazio generale) Sistemi continui di segmenti invariabili sulla retta............ Segments congruent and symmetrical figures on the right side of Continuous systems lunque-invariant (in general space) systems continue to invariable segments on the right ............ 274 23. 274 23. Assioma II pratico Movimento reale sulla retta...... Axiom II practical real movement on the right ...... 279 279
Page xlv Page xlvXLV LlRRO II. XLV LlRRO II. Il Piano. The Plan. CAPITOLO I. CHAPTER I. // fascio di raggi e il piano Euclideo. / / Beam and the Euclidean plane. 1. 1. Settori angolari ed angoli di un fascio di raggi....... Angular sectors and corners of a beam of rays ....... pag. page. 281 2. 281 2. Il fascio (Rry, ) Settore angolare e angolo di due raggi Prime proprietà di essi Unità angolare............ The beam (rry,) Sector angle and angle of two beams Basic properties of these angular units ............ 283 3. 283 3. Settori angolari e angoli di un triangolo e di due triangoli uguali ... Angular sectors and corners of a triangle and two equal triangles ... 288 4. 288 4. Altre proprietà del fascio (Br)........... Other properties of the beam (Br) ........... 291 5. 291 5. Il parallelogrammo.............. The parallelogram .............. 294 6. 294 6. Teorema fondamentale sul triangolo.......... The fundamental theorem on the triangle .......... 296 7. 296 7. Definizione del piano e sue prime proprietà Fasci intorno ai punti di esso. Definition of the plan and its first property beams around the points of it. 299 8. 299 8. L'identità del piano (Rr) intorno ai suoi punti del campo finito ea quelli all'in- finito Proprietà delle perpendicolari nel piano...... The identity of the plan (Rr) around its points of finite field and those wholesale-end properties in the plane perpendicular ...... 305 9. 305 9. Considerazioni sul sistema dei punti limiti assoluti all'infinito dei raggi di un fa- scio (Rr) rispetto al centro R........... Considerations on the points system limits the absolute infinity of the rays of a do-scio (Rr) of the center R. .......... 311 . 311. 10. 10. Parti in cui il piano viene diviso da una sua retta Parte interna ed esterna di un triangolo.............. Parts where the plane is divided by a straight party's internal and external triangle .............. 316 11. 316 11. Angoli formati da due rette parallele con una trasversale comune Parti di una striscia piana rispetto ad una retta.......... Angles formed by two parallel lines with a common transverse Parts of a flat strip with respect to a straight line .......... = 322 12. = 322 12. Segmenti e distanze di un punto dai punti di una retta Distanza di due rette parallele................ Segments, and distances of a point from the points of a straight line distance of two parallel lines ................ 326 13. 326 13. Altre proprietà dei triangoli........... Other properties of triangles ........... 329 14. 329 14. Figure simmetriche rispetto ad una retta......... Figures symmetrical with respect to a straight line ......... 335 15. 335 15. Circonferenza e cerchio Archi di circonferenza Corrispondenza fra gli archi, gli angoli ei segmenti della retta all'infinito....... Circumference and Arcs of circle circumference Correspondence between arcs, angles and segments of the line at infinity ....... 336 16. 336 16. Punti comuui a due circonferenze nel piano Soluzione di problemi con la retta e il cerchio............... Comuui points to two circles in the plane solution of problems with the line and the circle ............... 343 17. 343 17. Versi degli angoli, dei triangoli e dei fasci del piano Versi del piano . Verses of angles, triangles, and beams of the floor plan of Verses. . . 347 18. 347 18. Figure congruenti e simmetriche nel piano........ Congruent and symmetrical figures in the plane ........ 351 19. 351 19. Sistemi continui ad una dimensione di figure invariabili nel piano ... Continuous systems to a dimension of figures invariable in the plane ... 354 20. 354 20. Movimento reale delle figure nel piano......... Real movement of the figures in the plane ......... 358 CAPITOLO II. 358 CHAPTER II. Il piano completo (o di Riemann). The comprehensive plan (or Riemann). 1. 1. Determinazione del piano completo Ipotesi VII....... Determination of the complete plan Hypothesis VII ....... pag. page. 361 2. 361 2. Elementi polari e perpendicolari. Elements and polar angles. ... ... *....... * ....... 363 3. 363 3. Identità del piano intorno ai suoi punti.......- 365 4. Identity of the plane around to his point ....... - 365 4. Parti del piano completo rispetto ad una sua retta Parte interna ed esterna di un triangolo.............. Parts of the comprehensive plan with respect to a straight inner and outer part of a triangle .............. 366 o. 366 or. Segmenti e distanze normali Proprietà dei triangoli rettangoli ... Segments, and distances normal properties of right triangles ... 368 6. 368 6. Figure simmetriche rispetto ad una retta nel piano completo .... Figures symmetrical with respect to a straight line in the comprehensive plan .... 371 7. 371 7. La circonferenza Punti comuni a due circonferenze..... The circumference points common to two circumferences ..... = 371 8. = 371 8. Altre proprietà dei triangoli del piano completo....... Other properties of triangles of the comprehensive plan ....... 372 9. 372 9. I versi degli angoli, dei triangoli e dei fasci del piano Versi del piano Fi- gure congruenti e simmetriche Sistemi continui di figure invariabili. The verses of the angles, triangles, and floor beams of the Verses of the plan fi-gures congruent and symmetrical figures invariant continuous systems. . . 374 10. 374 10. Piani limiti assoluti di un punto......... Plans absolute limits of a point ......... . . 375 375
Page xlvi Page xlviXLVI CAPITOLO III. XLVI CHAPTER III. Altre considerazioni sui sistemi di Euclide, di Lobatschewsky e dì Riernann. Other considerations on the systems of Euclid, and say Lobatschewsky Riernann. 1. 1. Assioma delle parallele nel sistema di Lobatschewsky Perpendicolare ad una reità che la incontra e passa per un punto fuori della retta nei tre sistemi di geometria, indipendentemente dalle proprietà del fascio di raggi e del piano. Axiom of parallel lines in the system of Lobatschewsky Perpendicular to a guilt that meets and passes through a point outside of the straight line in the three systems of geometry, regardless of the properties of the beam of rays and the plan. pag. page. 376 2. 376 2. Osservazioni sul piano di Lobatschewsky Altre proprietà che contraddistin- guono il sistema di Euclide supponendo date le proprietà comuni ai tre piani. Comments on the Lobatschewsky Other properties that contraddistin-guono Euclid's system dates assuming the properties common to all three floors. La somma degli angoli del triangolo nel sistema di Lobatschewsky . The sum of the angles of the triangle in the system Lobatschewsky. . . 380 LIBRO III. 380 BOOK III. Lo spazio a tre dimensioni. The space in three dimensions. CAPITOLO I. CHAPTER I. Lo spazio Euclideo a tre dimensioni. The Euclidean space in three dimensions. % 1. 1%. Costruzione della stella e dello spazio a tre dimensioni Prime loro proprietà pag. Construction of the star and space in three dimensions Prime their properties page. 385 2. 385 2. Intersezioni di rette e piani dello spazio......... Intersections of lines and planes of space ......... 387 3. 387 3. Piano all'infinito Rette e piani paralleli........ Plan Fees and infinite parallel planes ........ 388 4. 388 4. Identità dello spazio intorno ai suoi punti del campo finito Parti in cui lo spazio viene diviso da un suo piano......... Identity of the space around its points of the finite field Parts in which the space is divided by one of its plane ......... 391 5. 391 5. Rette e piani perpendicolari........... Perpendicular lines and planes ........... 393 6. 393 6. Distanza di un punto da un piano, di due piani paralleli, di una retta ed un piano paralleli, di due rette............ Distance of a point from a plane, two parallel planes, a line and a plane parallel to two straight ............ 396 7. 396 7. Angoli di raggi, rette, semipiani e piani......... Angles of rays, lines, half-planes and plans ......... 400 8. 400 8. Identità dello spazio intorno ai suoi punti all'infinito e alle sue rette . Identity of the space around its points at infinity and its fees. . . 405 9. 405 9. Angoloide Triedro............. Angoloide trihedron ............. 406 10. 406 10. Triedri uguali.............. Triedri equal .............. 408 11. 408 11. Tetraedro............... Tetrahedron ............... 409 12. 409 12. Versi delle stelle, dei diedri, triedri e tetraedri. Verses of the stars, the dihedral, triedri and tetrahedra. Versi dello spazio . Verses of space. . . 412 13. 412 13. Versi delle figure identiche Figure congruenti e simmetriche .... Verses of identical figures congruent and symmetrical figures .... 417 14. 417 14. Cono e cilindro.............. Cone and cylinder .............. 420 15. 420 15. Superfìcie sferica e sfera............ Spherical surface and ball ............ 423 16. 423 16. Intersezioni di due e tre sfere........... Intersections of two and three spheres ........... 426 17. 426 17. Sistemi continui di figure invariabili.........' Continuous systems of figures invariant ......... ' 427 18. 427 18. Movimento reale delle figure nello spazio......... Real movement of figures in space ......... 431 CAPITOLO II. 431 CHAPTER II. Spazio completo a tre dimensioni. Full three-dimensional space. * 1. * 1. Stella e spazio completi Prime loro proprietà. Prime Star and space complete their properties. Intersezione di rette e di piani...........- .... Intersection of straight lines and planes ........... - .... pag. page. 435 2. 435 2. Figure polari............... Polar figures ............... 436 3. 436 3. Identità dello spazio intorno ai suoi punti e alle sue rette Parti in cui esso viene diviso da un suo piano........... Identity of the space around its points and its straight parts where it is split by his plan ........... 438 4. 438 4. Rette e piani perpendicolari........... Perpendicular lines and planes ........... 439 5. 439 5. Distanza di un punto da un piano; di una retta da un piano e di due piani . Distance of a point from a plane, a line from one floor and two floors. 442 6. 442 6. Angoli fra raggi, rette, semipiani e piani......... Angles between rays, lines, half-planes and plans ......... 444 7. 444 7. Triedri................ Triedri ................ 445 445
Page xlvii Page xlviiXLVIt 8. XLVIt 8. Distanze di due rette............. Distances between two lines ............. pag. page. 446 9. 446 9. Tetraedro............... Tetrahedron ............... 448 10. 448 10. Versi dello spazio, dei suoi diedri, triedri e tetraedri Figure congruenti e sim- metriche............... Verses of the space, its corners, and tetrahedra triedri congruent and symmetrical figures ............... 449 11. 449 11. Cono, cilindro e sfera ............. Cone, cylinder and sphere ............. 450 12. 450 12. Sistemi continui di figure invariabili e movimento reale nello spazio completo Spazi a tre dimensioni limiti assoluti di un punto...... Invariant continuous systems of figures and real movement in space complete three-dimensional space the absolute limits of a point ...... 454 13. 454 13. Assioma III pratico............. Axiom III practical ............. id. id. PARTE SECONDA. PART TWO. Lo spazio a quattro ean dimensioni nello spazio generale. Ean space to four dimensions in the overall space. LIBRO I. BOOK I. Lo spazio a quattro dimensioni. The four-dimensional space. CAPITOLO I. CHAPTER I. Lo spazio Eit:liclco a quattro dimensioni. The Eit space: liclco in four dimensions. 1. 1. Costruzione della stella di 2a specie e dello spazio a quattro dimensioni Prime loro proprietà............ Construction of the star of the second species and the space of four dimensions Prime their properties ............ . . pag. page. 457 2. 457 2. Intersezioni di rette, piani e spazi a tre dimensioni Fascio di spazi . Intersections of lines, planes and space in three dimensions of space beam. . . 460 3. 460 3. Spazio all'infinito Rette, piani e spazi paralleli dello spazio Si Loro co- struzione con elementi del campo finito........ Fees infinite space, parallel planes and spaces is the space They co-construction of the finite field with elements ........ 463 4. 463 4. Identità dello spazio S^ intorno ai suoi punti del campo finito Parti in cui S4 viene diviso da un suo spazio a tre dimensioni....... Identity of the space S ^ around its points of the finite field Parts where S4 is divided by one of its three-dimensional space ....... 466 5. 466 5. Rette, .piani e spazi perpendicolari.......... Straight lines. Perpendicular planes and spaces .......... 468 6. 468 6. Distanze................ Distances ................ 475 7. 475 7. Angoli......-......... Corners ...... - ......... 478 8. 478 8. Identità dello spazio Sa intorno ai suoi punti all'infinito, alle sue rette e ai suoi piani................ Identity of the space around his Sa points at infinity, with its straight lines and its plans ................ 484 9. 484 9. Triedri di 2a specie............. Triedri of the second species ............. id. id. 10. 10. Triedri uguali di 2a specie............ Triedri second species of the same ............ 487 11. 487 11. Angoloide di m spigoli Quadriedro......... Angoloide of m edges Quadriedro ......... 488 12. 488 12. Pentaedro............... Pentaedro ............... 490 13. 490 13. Versi della stella di 2a specie, dei triedri di 2a specie e dei quadriedri Versi dello spazio e dei pentaedri........... Verses of the star of the second species of the second species and triedri quadriedri Verses space and pentaedri ........... 493 14. 493 14. Versi delle figure identiche Figure congruenti e simmetriche .... Verses of identical figures congruent and symmetrical figures .... 497 15. 497 15. Cono e cilindro aventi per vertice una retta Coni e Cilindri di la e di 2a spe- cie aventi per vertice un punto.......... Cone and cylinder with a line to apex cones and cylinders and the second species with per vertex point .......... 499 CAPITOLO II. 499 CHAPTER II. Spazio completo a quattro dimensioni. Complete space of four dimensions. % 1. 1%. Proprietà principali dello spazio completo........ Main properties of the complete space ........ 503 503
Page xlviii Page xlviiiXLV1II LIBRO IL Lo spazio Euclideo an dimensioni. THE BOOK XLV1II n-dimensional Euclidean space. CAPITOLO I. CHAPTER I. Lo spazio Euclideo an dimensioni. The n-dimensional Euclidean space. 1. 1. Definizione e costruzione della stella di (n 2)wa specie e dello spazio an di- mensioni ............... Definition and construction of the star (No. 2) wa species and an of-space dimensions ............... pag. page. 509 2. 509 2. Intersezione di spazi nello spazio an dimensioni....... Intersection of spaces in the n-dimensional space ....... 510 3. 510 3. Spazi duali in Su Piramide fondamentale in Su...... On dual spaces in Pyramid on fundamental ...... 512 4. 512 4. Numero delle dimensioni dei sistemi di spazi di date dimensioni nello spazio Su 513 5. Number of dimensions of space systems date dimensions in space on 513 5. Alcune proprietà dello spazio completo an 1 dimensioni..... Some properties of space Full size n 1 ..... 514 6. 514 6. Spazio all'infinito dello spazio Euclideo Sn Spazi paralleli .... Infinite space of the Euclidean space Sn parallel spaces .... 519 7. 519 7. Identità dello spazio Sn intorno ai suoi punti del campo finito Parti in cui esso viene diviso da un suo spazio an 1 dimensioni..... Identity of the space Sn near their points of finite field parts where it is separated by a space dimension n 1 ..... 521 8. 521 8. Spazi perpendicolari............. Perpendicular spaces ............. id. id. 9. 9. Distanze Angoli Identità dello spazio intorno ai suoi spazi Sm- 524 10. Distances Angles Identity of space around its spaces Sm-524 10. Angoloide ennispigolo o enniedro Piramide fondamentale in Sn . Angoloide ennispigolo or enniedro Pyramid fundamental Sn. . . . . id. id. 11. 11. Triedri, quadriedri eco. Triedri, quadriedri echo. Enniedri di specie differenti...... Enniedri of different species ...... 528 12. 528 12. Versi degli enniedri e delle piramidi fondamentali nello spazio 8n - id. Verses of the pyramids and enniedri fundamental space 8n - id. 13. 13. Versi delle figure identiche Figure congruenti e simmetriche .... Verses of identical figures congruent and symmetrical figures .... 531 14. 531 14. Superficie sferica an 1 dimensioni.......... Spherical surface size n 1 .......... 532 15. 532 15. Linee e superficie o sistemi continui nello spazio generale, e di dato ordine nello spazio Sn,............... Lines and surface or continuous systems in general space, and ordered in space Sn, ............... 533 16. 533 16. Superficie coniche in uno spazio an dimensioni, che hanno per vertice un punto 541 17. Conical surfaces in an n-dimensional space, they have to summit a point 541 17. Coni e cilindri aventi per vertice uno spazio S,n....... Cones and cylinders which have a vertex space S, n ....... 543 8 18 Altre proprietà della sfera S2 n-\.......... 543 8 18 Other properties of the n-sphere S2 \ .......... 544 19. 544 19. Intersezioni di due, tre ecc. Intersections of two, three etc.. n sfere an 1 dimensioni in Sn . No ball size n 1 Sn. . . . . . . 546 20 Sistemi continui di figure invariabili in Su........ 20 546 systems in continuous invariant figures on ........ 547 8 21. 547 8 21. Applicazione del linguaggio del movimento ai sistemi di figure invariabili . Applying the language of movement to the systems of figures invariant. 549 CAPITOLO IL Operazioni del proiettare e del segare in Sn. 549 CHAPTER THE operations of the project and saw in Sn. Applicazione di esse allo studio delle configurazioni di un numero finito di spazi in ogni spazio Sr (r ^ n\ 1. Operazioni del proiettare e del segare Figure ornologiche complete . . pag. 550 8 2. Applicazioni al piano e allo spazio #3......... 558 3. Configurazioni generali di un numero finito di punti o di spazi.... 560 Aggiunta Primi principi di geometria analitica an dimensioni Osservazioni sulla geometria proiettiva assoluta........... 562 APPENDICE Studio storico e critico dei principi della geometria Sulle definizioni di spazio e di geometria di n dimensioni Sul movimento senza deformazione Sulle de- finizioni di angolo di due raggi o di due rette aventi un punto comune Os- servazioni su alcune dimostrazioni contro l'infinitesimo attuale ... 566 Indice dei nomi................ 627 Errata Corrige................ 629 Applying them to the study of configurations of a finite number of spaces in each space Sr (r ^ n \ 1. Transactions of the project and saw figures ornologiche complete .. p. 550 8 2. Applications to the plane and space # 3. ........ 558 3. General Configuration of a finite number of points or spaces .... 560 Addition First principles of analytic geometry in n-dimensional projective geometry, Remarks on absolute .......... . 562 APPENDIX Historical and Critical Study of the principles of geometry On the definitions of space and geometry of n dimensions, distortion On The movement de-finishes of two beams or angle of two straight lines having a common point Os-vations on some demonstrations against the 'infinitesimal current ... 566 Index of Names 627 Errata ................ ................ 629
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Page 1 Page 1INTRODUZIONE PRINCIPII FONDAMENTALI DELLE FORME MATEMATICHE ASTRATTE CAPITOLO I. INTRODUCTION BASIC PRINCIPLES OF MATHEMATICS ABSTRACT FORMS CHAPTER I. Nozioni e operazioni comuni. Understanding and joint operations. 1- Unità e pluralità, Prima, e poi Concetti e segni delle cose. 1 - Unity and plurality, first, and then signs of things and concepts. Operazioni del porre e dell'astrarre o del togliere. Operations and dell'astrarre or put off. 1. 1. Penso l). I l). 2. 2. Penso una cosa o più cose 2). I think one thing or several things 2). Es. Il mio io è una cosa ; gli atti del pensiero, un giudizio, un raziocinio, gli animali e le piante sono più cose. Eg My ego is one thing; acts of thought, judgment, sound judgment, animals and plants are more things. 3. 3. Penso prima una cosa, poi una cosa. I think the first thing, then one thing. Def. Def. La cosa pensata prima nomino prima cosa, la cosa pensata poi (dopo) nomino seconda cosa. The first thing thought I mention one thing, the thing thought then (after) the second thing I mention. 4. 4. Def. Def. Ciò che corrisponde nel pensiero ad una cosa si chiama idea, con* cetto o rappresentazione mentale della cosa 3). What is the thought of a thing called idea, concept or mental representation * of the thing 3). 5. 5. Ind. Una o più cose o concetti si indicheranno con segni, ad es. Ind. One or more things or concepts with signs indicate, for example. con let- tere dell'alfabeto. with let-ters of the alphabet. Def. Def. Dico che questi segni rappresentano quelle cose, e che queste cose corrispondono ai loro segni e sono rappresentate dai loro segni 4). I say that these signs represent those things, and that these things are at their signs and are represented by their marks, 4). i ) Con ciò esprimo la facoltà e Patto del pensare. i) That the right to express and think of the Covenant. 2) Vedi oss. 2) See oss. n. No. 8. 8. Quando si pensa si pensa qualche cosa. When you think you think anything. Penso nessuna cosa, significa: non penso. I think anything, it means: I do not think. 3) Noi non intendiamo di definire o di sottosegnare ogni espressione nuova della quale facciamo uso nel discorso e tanto meno di definire ogni espressione mediante quelle che la precedono, ma sol- tanto sottosegniamo o definiamo i concetti e le operazioni che servono a stabilire i principi sulle forme matematiche astratte. 3) We do not intend to define or sottosegnare each new expression which we use in speech, much less to define each expression by those that precede it, but only so-sottosegniamo or define the concepts and operations that are required to establish the principles on abstract mathematical forms. Dichiariamo inoltre una volta per sempre che ai vocaboli usati di mano in mano nelle definizioni e nel discorso ne sostituiremo altri che esprimano i medesimi concetti senza bisogno di avvertenza speciale, evitando però gli equivoci, e senza introdurre di nascosto concetti che devono essere spiegati e definiti. We further declare once and for all to words used that hand to hand in the definitions and discourse it will replace others who express the same concepts without the need for a special warning, avoiding misunderstandings, and without introducing hidden concepts that must be explained and defined . Osserviamo anche che le definizioni nominali, i concetti e le operazioni che mano mano spie- gheremo o definiremo hanno valore soltanto nei casi in cui le consideriamo; che se poi anche in altri casi si usano per analogia le stesse denominazioni, ciò non significa che per i nuovi enti debbano valere le stesse leggi e si debbano trovare nelle stesse condizioni degli enti prima definiti. We also observe that the nominal definitions, concepts and operations that hand hand define or explain gheremo have value only in cases in which we consider, that if then also in other cases by analogy using the same name, this does not mean that new entities should apply the same laws and should be found under the same conditions previously defined entities. E finché questi nuovi enti non vengano considerati non occorre nemmeno tenerli presenti. And as long as these new institutions are not considered to be not even be aware of them. 4) È chiaro che questa def. 4) It is clear that this final. o indipendente dall'ordine in cui si possono considerare i segni che rappresentano una cosa. or independent of the order in which you can consider the signs that represent something.
Page 2 Page 2Osa. Osa. Se A e B rappresentano un concetto, o come diremo anche un solo con- cetto, s'intende che A e B non rappresentano più concetti (2). If A and B represent a concept, or as we say only a concept, means that A and B are no longer concepts (2). 6. 6. Def. Def. Se penso una cosa dico che la cosa è data o posta dal pensiero ; se penso ad una cosa dico che la cosa è data o posta al pensiero. If I say something that it is given or raised by the thought, if I think one thing to say that it is given or placed at the thought. Es. La costruzione di un giudizio è una cosa posta dal pensiero; Carlo uomo è una cosa data al pensiero (vedi n. 18). Eg, the construction of a judgment is something posed by thought; Charles man is a thing given to thought (see n. 18). 7. 7. Def. Def. I. I. Se date o poste prima più cose (3), ad es. If dates or several things, first set (3), eg. A, B, C, D; io penso poi (3) alle cose A, B, Cy dico che astraggo o faccio astrazione da D, o anche che tolgo D dalle cose date. A, B, C, D, I think then (3) things to A, B, Cy, or do I say that astraggo abstraction from D, or D from the things that I remove dates. A, , C, si dicono cose rimanenti. A, C, you say things remaining. Def. Def. II. II. Pensare tutte le cose date, oppure ogni (ciascuna) cosa data si- gnifica non fare astrazione da alcuna di esse. Think about all the things given, or every (each) given thing-it means not be abstracted from any of them. 2. 2. Operazione del paragonare Principi necessari. Principles of operation necessary to compare. 8. 8. Paragonare le cose A e B fra loro significa applicare i principi: I. Compare the things A and B together mean to apply the principles: I. Il concetto A è 11 concetto A (principio d'identità). The concept A concept is 11 A (identity principle). Def. Def. I. I. Se A e B rappresentano un solo concetto e, il concetto e rappre- sentato da A è il concetto e rappresentato da B (def. oss. 5 e I). If A and B represent a single concept and the concept and repre-sented by A and the concept is represented by B (def. oss. 5 and I). Diremo: II concetto A è il concetto B o è lo stesso concetto B l). We will say: The concept is the concept B or A is the same concept B l). a. a. Se il concetto A è il concetto B, si deduce : il concetto B è il concetto A. If the concept A is the concept B, we deduce: the concept B is the concept A. Poiché per ipotesi A e B rappresentano un solo concetto (def. I), B e A rappresentano un solo concetto (def. 5), da cui si deduce a. Since by hypothesis A and B represent a single concept (def. I), A and B represent a single concept (def. 5), which implies a. (def. I) 2). (Def. I) 2). b. b. Se il concetto A è il concetto B, e il concetto B è il concetto C, si de- duce: il concetto A è il concetto B. If the concept is the concept B A, B, and the concept is the concept C, we de-duce: A concept is the concept B. Il concetto rappresentato da A e da B è il concetto rappresentato da B e da C, perché B per ipotesi rappresenta un solo concetto ; dunque lo è da A da B da C (def. 5), e perciò anche da A e da C (def. 5), da cui b (def. I) 3). The concept represented by A and B is the concept represented by B and C, because for hypothesis B represents a single concept; therefore it is from A to B by C (final 5), and therefore also from A and C (final 5), from which b (def. I) 3). IL II concetto A non è 11 concetto B (principio di diversità che è la negazione di quello di identità). THE II concept A concept B is not 11 (the principle of diversity that is the negation of the identity). Def. Def. IL Dico : il concetto A è diverso dal concetto B, se il concetto A non è il concetto B. THE I say, the concept A is different from the concept B, though the concept is not to the concept B. Oss. Oss. Il concetto una cosa è diverso dal concetto più cose (2). The concept is something different from the concept more things (2). III. III. Il concetto A è A e non è non - A (principio di contraddizione). The concept A is A and it is not - A (principle of contradiction). Def. Def. III. III. Diremo: A è e non è A o più semplicemente: A è non -A è assurdo. We say: A is and is not A or more simply, A is not-A is ridiculous. IV. IV. Il concetto A è o non è 11 concetto B (principio del mezzo escluso fra i contradditorii). The concept A is or is not 11 concept B (principle of the medium between the contradditorii excluded). e. and. Se il concetto A non è il concetto B, il concetto B non è il concetto A. If the concept A is not the concept B, concept B is not the concept A. i) Si badi bene che non è il segno A uguale al segno , ma il concetto rappresentato da A che è il concetto rappresentato da B. i) Note carefully that the sign is not equal to the sign, but the concept represented by A, which is the concept represented by B. In segni la def. In the final marks. I non esprime altro che Ar.c, Br.c. The other does not express that Ar.c, Br.c. Qui con e inten- diamo il concetto dato stesso. Here with the concept and we intend the data itself. 2j In segni da Ar.c, Br.c si deduce Br.c, Ar.c (def. 5} ; si deduce a fdef. I). In signs of Ar.c 2j, it follows Br.c Br.c, Ar.c (def. 5}, we deduce a FDEF. I). 3} In segni: Ar.c, Br.c; Br.c, cr. 3} In signs: Ar.c, Br.c; Br.c, cr. e, si deduce Ar.c Br.c, Cr.cfdef. and we infer Ar.c Br.c, Cr.cfdef. 5) ; si deduce Ar.c, Cr.c (def. 5). 5), we deduce Ar.c, Cr.c (def. 5). si deduce (def. I), we deduce (def. I),
Page 3 Page 33 B è A o non - A (IV). 3 B is A or not - A (IV). Se B è A^ A essendo per dato non - Bì si ha: B è e non è B (b\ ciò che è assurdo (III, def. III). Def. IV. Il risultato (conseguenza) dell'operazione del paragonare le cose A e B si chiama relazione tra A e B. Def. V. L'espressione: Più cose coincidenti significa una cosa (una sola cosa). Più cose che non sono una sola cosa (nel senso del n. 2) si chiamano distinte le une dalle altre. Oss. I. Quando parleremo senz' altro di più cose intenderemo che siano distinte. Def. VI. La proposizione: la cosa A è 'aguale alla cosa B significa: il con- cetto della cosa A è il concetto della cosa B (4). Si dice che in questo para- gone le cose A e B hanno una relazione di uguaglianza (def. IV). Segue da ciò e da ad Se A è uguale a B, B è uguale ad A. Def. VII. Quando A e B sono uguali hanno la stessa rappresentazione mentale nella relazione di uguaglianza (def. VI; 4), e quindi pensare ad A è come se si pensasse alla cosa B; diciamo perciò che le possiamo sostituire una all'alerà nel loro concetto o nella loro determinazione, o che si possono scam- biare fra loro. e. Se A è uguale a B e B è uguale a C segue: A è uguale a C. (def. VI e 6). Def. Vili. Se il concetto della cosa A non è il concetto della cosa B (II) le cose A e B si dicono diverse, la loro relazione dicesi relazione di diversità. f. È assurdo: A è uguale e non uguale a B. Difatti ciò significa che il concetto B (che è quello di A (be def. VI), è e non è lo stesso concetto B (e), il che è assurdo (III, def. III). g. Se A non è uguale a Bt B non è uguale ad A. Difatti se B non è non uguale ad A è uguale ad A (IV), ed allora A è uguale a B (d), il che è assurdo (f). h. Se A è uguale a B ed A non è uguale a C, B non è uguale a C. Difatti se fosse B uguale a C sarebbe A uguale a C (e), contro l'ipo- tesi (IV). 9. Def. I. Contrassegno di una cosa è ciò per cui possiamo paragonarla con altre cose. Se delle cose A e B consideriamo un solo contrassegno M, esse sono uguali perché corrispondono al solo concetto M (def. I, VI, 8). Diremo che A e B sono uguali rispetto al contrassegno M. Def. IL Se le cose A e B sono uguali rispetto ad alcuni loro contrasse- gni e non rispetto ad altri, dirò che hanno comuni quei contrassegni rispetto ai quali sono uguali. Es. Cajo è uguale come uomo a Tizio, ma Cajo e Tizio possono essere diversi ri- spetto ad altri loro contrassegni. Def. Ilf. Se le cose A e B distinte (def. V, 8), ciascuna considerata nel suo concetto (4), sono uguali rispetto a tutti i loro contrassegni che conside- riamo, vale a dire corrispondono allo stesso concetto rispetto ad essi, le If B is A ^ A being given to non - Bi we have: B and not B (b \ which is absurd (III final. III). Def. IV. The result (consequence) to compare the operation of things A and B is called a relationship between A and B. Def. V. Expression: More things coincident means one thing (one thing). More things that are one (in the sense of n. 2) is call distinct from each other. Oss. I. When we speak certainly 'much more shall understand that things are different. Def. VI. Proposition: A thing is' the thing aguale B means, the concept of what A is What the concept of B (4). It is said that in this para-gone things A and B have a relationship of equality (def. IV). It follows from this and to If A equals B, B is equal to A. Def. VII. When A and B are equal have the same mental representation in the relation of equality (def. VI, 4), and then think of A is as if one thought the thing B, we say so that we can replace a all'alerà in their concept or in their determination, or that they can exchange biare between them. and. If A is equal to B and B is equal to C follows: A is equal to C (final VI and 6) . Def. VIII. If the concept of the thing is not the concept of A to B (II) the things they say A and B are different, their relationship is said to respect diversity. f. It is absurd: A is equal and not equal to B. In fact this means that the concept B (which is that of A (final well. VI), is and is not the same concept B (s), which is absurd (III, def. III). g. If A is not equal to Bt B is not equal to A. In fact, if B is not equal to A is equal to A (IV), and then A is equal to B (d), which is absurd (f). h. If A is equal to B and A is not equal to C, B is not equal to C. In fact, if B equals C would be equal to C A (s), against the hypo-thesis (IV). 9. Def . I. Mark one thing is that by which we can compare it with other things. If A and B of the things we consider a single marker M, they are equal because they are the only concept M (def. I, VI, 8). We say that A and B are equal with respect to the marking M. Def. IL If things A and B are equal with respect to some contracted their dreams and not in another, I will say that they have shared those signs against which they are equal. Ex Caius is same as the man to Tom, but Tom and Caius may be different compared to their other re-marks. Def. Ilf. If A and B distinct things (def. V, 8), each considered in its concept (4), are equal with respect to all of their markings that riamo considered, that is to say correspond to the same concept with respect to them, the
Page 4 Page 44 diremo uguali in senso assoluto o semplicemente uguali od anche identiche (vedi oss. III). 4 equal say in an absolute sense or just equal or even identical (see oss. III). E scriveremo A = 1?, da cui B = A (d, 8). And written as A = 1?, From which B = A (d, 8). Def. Def. IV. IV. Se sono uguali soltanto rispetto ad alcuni contrassegni, le diremo uguali in senso relativo o equivalenti. If they are equal only in relation to certain marks, shall we say the same in a relative sense, or equivalent. E scriveremo A = B, da cui B = A (d, 8). And we write A = B, where B = A (d, 8). Oss. Oss. I. I. Se non si tien conto che di una sola uguaglianza, nel primo caso pos- siamo scrivere A = B e nel secondo A == B. If no account is taken that only one of equality, in the first case we may write A = B and in the second A == B. Def. Def. V. V. Tanto nell'uno come nell'altro caso A e B si chiamano memori (termini) dell' uguaglianza. So in one case as in the A and B are called Mindful (terms) of 'equality. Oss. Oss. II. II. Nel primo caso possiamo sostituire le cose A e B una all'ai tra rispetto a tutti i loro contrassegni : nel secondo caso invece possono scambiarsi rispetto ai soli contrassegni comuni (def. VII, 8). In the first case we can replace things A and B compared to an AI between all their marks: in the second case can exchange compared to only common markers (def. VII, 8). Dalle def. By def. Ili e IV segue: a. Ill and IV follows: a. Le cose A e B possono essere identiche in un solo modo, mentre pos- sono essere equivalenti in modi diversi secondo i contrassegni rispetto ai quali si possono considerare uguali. Things A and B may be identical in one way, and may have to be equivalent in different ways according to the marks in respect of which can be considered equal. Oss. Oss. III. III. Le cose A e B identiche se sono distinte (def. V, 8) sono però diverse nel senso che non sono una sola cosa, ma di questa diversità non si deve tener conto nella loro relazione di identità, ossia si considerano come se fossero una sola cosa o coincidenti (def. V, 8). The things the same if A and B are distinct (def. V, 8), however, are different in the sense that they are one thing, but this difference should not be taken into account in their relationship of identity, that are considered as if it were a one thing or coincident (def. V, 8). Se si tenesse conto anche della loro diversità, ad una cosa A non si potrebbe sostituire nessun'altra cosa distinta da A. If taking into account their diversity, such a thing could not be replaced at any thing distinct from A. Bisogna però che non sia contradetta l'identità A = A (i, 8) vale a dire non deve risultare che A è e non è A (III, 8). It must not be contradicted, however, that the identity A = A (i, 8) ie should not be that A and not A (III, 8). Def. Def. VI. VI. Se le cose A e B sono distinte, anche se sono identiche, possia- mo dire che hanno una posizione diversa. If things A and B are distinct, even if they are identical, possia-mo say that they have a different position. Oss. Oss. IV. IV. Così più cose non possono essere diverse se in fondo non sono uguali rispetto a qualche loro contrassegno, se non altro per essere ciascuna di esse una cosa. So more things can be different if in the end are not equal with respect to some of their mark, if only for one thing each of them. Ma quando le diciamo identiche non teniamo conto della loro diversità di po- sizione; e quando le diciamo diverse non teniamo conto dei contrassegni comuni (def. II) i). But when we say we do not keep the same account of their different position-and when we say we do not take into account several common markers (def. II)). b. b. Se A e B sono segni di una stessa cosa o del medesimo contrassegno di una cosa si ha: A = B oppure A = B. If A and B are signs of the same thing or the same symbol of something you have: A = B or A = B. Difatti il concetto di A è il concetto di J5, poiché ^u B rappresentando una stessa cosa o il contrassegno di una cosa, rappresentano anche il con- cetto di questa cosa o di questo contrassegno: e quindi il concetto del segno A è il concetto del segno B (def. I, 8), dunque b (def. VI, 8). In fact, the concept is the concept of J5, since u ^ B represents the same thing or the logo of one thing, they also represent, the concept of this thing or that sign: so the concept is the concept of sign A of sign B (final I, 8), then b (final VI, 8). Oss. Oss. V. V. In seguito alle considerazioni precedenti risulta che A rispetto ad al- cuni contrassegni è B, mentre rispetto ad altri, per lo meno perché B e A non sono I) Quando si definiscono o si costruiscono nuovi enti mediante quelli già studiati o un errore lo- gico definire la loro uguaglianza, se questa parola deve conservare il suo significato primitivo e ge- nerale qui esposto e se dalla definizione i nuovi enti sono in so pienamente determinati. Following the above that A with respect to the Cuni-marks is B, while compared to others, at least since B and A are not I) When you define or construct new institutions by those already studied, or an error lo- cal to define their equality, if that word must retain its original meaning and ge-eral described and defined by whether the new authorities are so fully determined. Stabiliti in- fatti i contrassegni dei nuovi oggetti, gli oggetti A e B saranno uguali se si potranno sostituire uno all'altro nelle relazioni A=A, BB, e da questa sostituzione si ricaveranno poi le condizioni di ugua- glianza dei nuovi enti vedi ad es. Established in the markings of the new-made objects, the objects A and B are equal if they can replace each other in the relations A = A, BB, and this substitution then will derive the conditions of equality in the new institutions see eg. cap vili. Chapter VIII. È dai suddetti principi di identità e di diversità che trarremo in seguito quelli per le forme matematiche astratte e per le figure della geometria, senza bisogno di ricorrere al movimento dei corpi senza deformazione, It is from these principles of identity and diversity which will draw in those followed for the abstract mathematical forms and to the figures of geometry, without need to resort to the movement of the bodies without deformation,
Page 5 Page 55 una sola cosa, A non è B. 5 one thing, A is not B. E da osservare che qui non vi è assurdo (def. IH, 8) per- ché non risulta nel medesimo paragone che uA è e non è -# ma sarebbe assurda un uguaglianza dalla quale risultatse nel medesimo paragone anche in un solo caso A è e non è U . It should be noted here that there is absurd (def. IH, 8) for-because it does not appear in the same comparison that uA is and is not - # but it would be an absurd equality from which risultatse in the same comparison in a single case A is and U is not. 3. 3. Condizione di determinazione di una, cosa. Determination of a condition, something. Operazioni a senso unico e operazioni inverse. One-way operations and inverse operations. 10. 10. Def. Def. I. I. Si dice che A è condizione di B quando B non può essere senza di A. It is said that A is a condition of B when B can not be without A. Diremo anche che A è condizione di un'operazione se senza di A non è possibile questa operazione. We say that A is also provided for an operation if A is not possible without this operation. Se questa operazione ha per risultato By A è condizione di B. If this has the result By condition A is B. Def. Def. II. II. Quando diremo ad es. When we say eg. che A, B, C, D determinano l'oggetto X intenderemo che A, B, C, D sono condizioni di un'operazione dalla quale si ottiene l'oggetto X, o che date le condizioni è dato l'oggetto stesso. that A, B, C, D, X determine the object shall understand that A, B, C, D are terms of a transaction from which it is the object X, or that given the conditions given is the object itself. Nel primo caso si dice che A, B, C, D servono a costruire l'oggetto X9 e in ogni caso che X dipende dalle condizioni che lo determinano. In the first case it is said that A, B, C, D are used to construct the object X9 and in any case that X depends on the conditions that determine it. E se Y non determina X, X è indipendente da Y. And if Y does not determine X, X is independent of Y. Es. Siccome mediante i contrassegni di una cosa la distinguiamo dalle altre cose (def. I, 9), così i contrassegni sono le condizioni di determinazione della cosa. Since using Ex marks distinguish one thing from other things (def. I, 9), so the markings are the conditions of determination of the thing. 11. 11. Def. Def. I. I. Una cosa, si dice, è determinata in modo unico da date condi- zioni quando quella e solo quella cosa è data da queste condizioni. One thing, they say, is uniquely determined by given conditions and when the only thing that is given by these conditions. Ma sic- come anche se vi fossero più cose determinate da date condizioni per distin- guerle le une dalle altre dovremmo avere altre condizioni : e queste e le prime determinerebbero una cosa soltanto, così quando diremo che una cosa è deter- minata da date condizioni intenderemo che lo sia in modo unico, eccetto che non sì dica diversamente. But sic-like even if there were more things from certain given conditions for guerle distinction from each other we should have other conditions, and these first and only lead to one thing, so when we say that something is deter-mined by certain conditions shall understand that it is in a unique way, except it does not say so otherwise. Def. Def. IL Analogamente se un'operazione da un solo risultato si dice a senso unico. THE Likewise, if an operation is said to result from one-way. a. a. Il porre e il togliere una cosa sono operazioni a senso unico. The put and remove operations are a thing one way. Vale a dire posta una cosa A (6) non si pone che A, e facendo astrazione da A (7), si fa astrazione soltanto da A. That is one thing to post (6) that A does not arise, and abstracting from A (7), we abstract only from A. Se ponendo infatti una cosa A si ponesse un' altra cosa B, si porrebbero più cose e non una (oss. 8). If putting it in something you would put a 'B else, it would put more things and no one (oss. 8). Analogamente per l'operazione del togliere. Similarly for the operation of removing. 12. 12. Def. Def. I. I. Se da A si ottiene B con un'operazione p, l'operazione colla quale da B si deduce A si chiama operazione inversa di pa Il porre e il togliere sono operazioni inverse. If A gives B p with an operation, the operation with which we can deduce B from A is called inverse operation to bring the pa and removers are inverse operations. Difatti porre A significa considerare la cosa A, togliere A significa non considerare la cosa A prima pensata (6, 7). In fact, ask what it means to consider, to remove it is to miss at first thought (6, 7).
Page 6 Page 66 4. 6 4. Gruppo di cose. Group of things. Concetto di fuori . Concept outside. 13. 13. Def. Def. I. I. Penso insieme più cose date che non si contraddicono fra loro e tali che togliendo ciascuna di esse (7) non tolgo alcun'altra, delle cose date. I think most things with dates that do not contradict each other and such that removing each of them (7) does not take off anything else, the things given. Il risultato di questa operazione nomino gruppo (aggregato, molteplicità o sistema) delle cose date l). The result of this operation appoint group (aggregate, multiplicity or system) of things dates l). Es. 1. Example 1. Ho ad es, l'idea A, poi l'idea B; dunque ho avuto più idee, cioè A e B (2). I for example, the idea of A, B, then the idea, so I had more ideas, ie A and B (2). Considerando poi insieme queste idee ho il gruppo d'idee A e B. Considering all these ideas I have ideas of the group A and B. Es. 2. Example 2. Sono dati più oggetti ad es. Are data objects eg. la penna, il calamaio, il libro ecc. pen, ink, etc. the book. Pensando insieme questi oggetti ho il gruppo di essi. Thinking along these objects have the group of them. Def. Def. II. II. Diremo che le cose date sono nel gruppo, costituiscono o formano il gruppo o appartengono al gruppo, e che il gruppo è composto da esse. We will say that things are in dates group, constitute or form a group or belong to the group, and that the group is composed by them. Def. Def. III. III. Per evitare talvolta distinzioni inutili e dannose, anziché dire: un oggetto (cosa), diremo anche: un gruppo di un solo oggetto. To avoid unnecessary and sometimes harmful distinctions, rather than say an object (what), we shall also: a group of a single object. Oss. Oss. Delle cose date non può essere una contenuta nell'altra e tanto meno il gruppo può essere una delle cose date. Dates of things can not be contained within the other, much less a group may be one of the things given. Se ciò fosse, facendo astrazione da essa (7) si farebbe astrazione da un'altra cosa data o dalle altre cose date. If this were, in isolation from it (7) abstraction from something else you would date or dates from other things. Ind. Gli oggetti di un gruppo che non sono gruppi di più oggetti li in- dicheremo in generale con lettere A, , C ecc. Ind. The objects of a group that does not have them in groups of multiple objects in general-dicheremo with letters A, C, etc.. ei gruppi coi simboli (A), (B), (C) ecc. and groups with the symbols (A), (B), (C) etc.. Def. Def. IV. IV. Se ogni oggetto di un gruppo (A) (def. II, 7) è un oggetto di un gruppo (.B), si dice che (A) appartiene al gruppo (B). If each object of a group (A) (def. II, 7) is an object of a group (. B), it is said that (A) belongs to the group (B). Def. Def. V. V. Se poi non tutti gli oggetti di (B) sono oggetti di (A), diremo che A è parte o sottogruppo di (B). If not then all the objects (B) are objects of (A), we say that A is a part or subset of (B). Un gruppo si chiama anche tutto rispetto alle sue parti. A group is also called the whole than its parts. a. a. Se (A) è sottogruppo di (B) e (B) è sottogruppo di (C), (A) è sottogrup- po di (C). If (A) is the subgroup of (B) and (B) is sub-group of (C), (A) is-bit subgroup of (C). Difatti ogni oggetto di (A) è oggetto di ( ), che è oggetto di (C), dunque ogni oggetto di (A) è oggetto di (C) (e, 8; def. V). In fact, each object of (A) is the subject of (), which is the subject of (C), then each object of (A) is the subject of (C) (and, 8; final. V). Ma vi sono oggetti di (C) che non sono oggetti di (B) (def. V), i quali non possono appartenere ad (A) perché ogni oggetto di (A) è oggetto di (B) (def. V; IV, 8), dunque a 2). But there are objects of (C) that are not objects of (B) (def. V), which can not belong to (A) because each object of (A) is the subject of (B) (def. V; IV , 8), then to 2). Def. Def. VI. VI. Un gruppo (A), si dice, è fuori di un gruppo (B) quando (A) o una parte di (A) non appartiene a (B) 3). A group (A), it is said, is out of a group (B) when (A) or a part of (A) does not belong to (B) 3). Def. Def. VII. VII. Un gruppo (X) si dice comune a più gruppi (A), (B), (C) quando ogni oggetto di (X), è oggetto dei gruppi (A), (B), (C). A group (X) is said common to several groups (A), (B), (C) where each object (X), is the subject of the groups (A), (B), (C). Def. Def. Vili. VIII. Una cosa qualunque del gruppo, o scelta ad arbitrio, nel gruppo significa che appartiene al gruppo senza essere necessariamente una cosa de- terminata del gruppo stesso. One thing any group, or chosen arbitrarily, it means that the group belongs to the group without being necessarily a de-termined the group. 1) Qui ci appoggiamo sull' operazione del pensare o considerare insieme nella sua espressione più semplice (Vedi il n. 29 nel quale sono stabiliti i principi di questa operazione). 1) Here we rely on 'operation of the thought or considered together in its simplest expression (See n. 29 in which they are established the principles of this operation). 2) Si dedacono imme iatamente altri teoremi analoghi dalle def. 2) It immediately dedacono iatamente other similar theorems from the final. IV e V mediante la diretta ap- plicazione di e, 8. IV and V by the direct applica-tion of e, 8. Ad es. Eg. se (A) appartiene a (B) e (B) appartiene a (e), (A) appartiene a (C); ed an- che: se (A) è sottogruppo di (B) e (B} appartiene a (C), (A) è sottogruppo di (CJ; ecc. 3) II concetto di fuori non include necessariamente quello di spazio, poiché se non altro resi- stenza formale di un oggetto fuori di un gruppo è determinata dalla negazione, cioè che non appar- tiene al gruppo dato. La negazione in questo caso è giustificata dal principio stesso del mezzo escluso fra i contradditori (IV, 8). perché questo principio non avrebbe vigore se non vi fossero cose B fuori di A, o cose A fuori di B (Vedi a, 37). if (A) belongs to (B) and (B) belongs to (e), (A) belongs to (C); and an-that: if (A) is sub-group of (B) and (B} belongs to ( C), (A) is the subgroup of (CJ; etc.. 3) The concept of off does not necessarily include that of space, because if for no other formal resistance of an object out of a group is determined by the negation, ie which do not shall belong to the group since. The denial in this case is justified by the principle of excluded middle between conflicting (IV, 8). why this principle would not apply if there were things out of B of A, or things outside of A B (See, 37).
Page 7 Page 75. 5. Ordine di cose Successione o serie di cose. Order of Succession things or series of things. 14. 14. Def. Def. L La -prop.: Pensare le cose A e B nell'ordine AB significa pen- sare prima A e poi B (3). The L-prop.: Think about the things A and B in the order AB means the first pen-Sare A, then B (3). Considerando A e B come date in questo ordine (def. 6) diremo che si succedono nell'ordine AB. Considering A and B as given in the following order (def. 6) we will say that it happens in the order AB. Relativamente a quest'ordine abbiamo detto che A è la prima e B la seconda cosa (3) ; diremo anche che A precede B, e B segue A. In relation to this order we said that A is the first and the second thing B (3); also say that A precedes B, and B follows A. 15. 15. Def. Def. I. I. Ripetere il concetto A significa porre prima il concetto A e poi porre ancora il concetto A (6 e 3). To repeat the concept is to put the concept first and then to give even the concept A (6 and 3). a. a. La ripetizione di un concetto A è un'operazione a senso unico. The repetition of a concept A is a one-way operation. Difatti ripetendo il concetto A (def. I) si ha soltanto il concetto A e non altro (def. I; a, 11 e 3). In fact, by repeating the concept A (final I) has only the concept A and not other (def. I;, 11 and 3). 16. 16. Def. Def. Se date più cose A, B, C, D, E, F, G, H, L, M, N.... If you give most things A, B, C, D, E, F, G, H, L, M, N. ... (i puntini so- stituiscono le lettere), pensiamo prima ad A, poi a Bì e così via *), diremo che pensiamo le cose date, o che le cose date si seguono nell'ordine ABCDEFGHLMN..., nel quale A è la prima, B la seconda, C la terza, D la quarta, E la quinta cosa; e così via usando un nuovo vocabolo per ogni cosa considerata, in modo che per ripetizioni diverse usiamo vocaboli diversi 2). (Dots I-stituiscono letters), we think first of A, then BI and so on *), we say that we think the things given, or that things will follow in the order given ABCDEFGHLMN ..., where A is the first, the second B, C, the third, the fourth D, E the fifth thing, and so on using a new word for all things considered, so that for different repetitions we use different words 2). 17. 17. Def. Def. Considerare le cose A, B, C, D, E, F, G, H, L, M, N... Consider things A, B, C, D, E, F, G, H, L, M, N. .. ordinate, senza che sia dato il loro ordine, significa che le consideriamo una dopo l'al- tra, o successivamente. order, without it being given their order, means that we consider one after the al-between, or subsequently. 18. 18. Oss. Oss. Se esprimiamo ad es. If we express eg. un giudizio, noi possiamo giudicare poi ad es. a judgment, we may judge then, for example. se questo giudizio è o no esatto: in tal caso il giudizio si considera come cosa data al pensiero. If this view is correct or not: in this case the judgment is considered as something given to thought. Analogamente più cose poste prima dal pensiero possiamo considerarle poi come date al pensiero nell'ordine nel quale le abbiamo considerate, oppure indipen- dentemente da questo ordine, vale a dire facendo astrazione da esso (7). Like most things that are put first the thought then we can consider them as given thought to the order in which we have considered, or independently by this order, ie in isolation from it (7). E inversamente: siccome ad una cosa data al pensiero corrisponde un con- cetto (4) mediante il quale noi la confrontiamo colle altre cose (8), così per mezzo di questo concetto la possiamo considerare come posta dal pensiero. And inversely: as a thing given to thought is a concept (4) by which we compare with the other things (8), so using this we can consider the concept as set by the thought. Vale dunque il se- guente principio : Una cosa posta dal pensiero si può considerare poi come data al pensiero, e inversamente. It is therefore the if-guente principle: One thing you can consider mail from thought to thought, then as the date, and inversely. 19. 19. Def. Def. Considerare la successione o serie di cose ABCD.... Consider the sequence or series of things ABCD .... N.... No ... significa considerare le cose ABCD....N.... means considering things ABCD .... N. ... nell'ordine ABCD....N.... in the order ABCD .... N. ... L'ordine ABCD....N.... The order ABCD .... N. ... si chiama ordine della, successione 3). is called the order, sequence 3). 20. 20. Def. Def. I. I. Diremo anche che A è nel primo posto della successione o anche che occupa il primo posto nella successione, B il secondo, C il terzo, D il 1) cosi ma significa che s'intende ripetuta la stessa operazione per le cose date senza conside- rarle una per una. We say that A is also in first place in the succession, or even that ranks first in the succession, the second B, C the third, the D 1) so that means but it means repeating the same operation for the things given without considered rarle one by one. 2) vedi def. 2) see def. IH, 47. IH, 47. 3) La successione delle nostre idee, o il poter considerare più cose una dopo l'altra, ci ^intuire qualche cosa senza la quale noi non potremmo svolgere il nostro pensiero, e questa qualche cosa è il tempo. 3) The succession of our ideas, or to consider several things one after the other, ^ we perceive something without which we could not do our thinking, and this something is the time. Ma il concetto del prima e del poi non include necessariamente quello del tempo, vale a dire che non se ne possa fare astrazione. But the concept of before and then not necessarily includes the time, that is to say that if they can do abstraction. L'intuizione poi è quella facoltà colla quale il nostro spirito si assicura direttamente dell'esistenza di una cosa, e prende forme diverse secondo l'oggetto che si con- sidera. The intuition then is that faculty by which our spirit is directly ensures the existence of a thing, and takes various forms depending on the object which con-siders. Cosi l'intuizione del tempo e quella dello spazio. So the intuition of time and the space.
Page 8 Page 88 quarto, e va dicendo (16); appunto perché la loro posizione è diversa non es- sendo una cosa sola, anche se sono identiche (oss. 8, def. Ili, oss. Ili, def. VI, 9). 8 quarter, and is saying (16), precisely because their position is no different es-Sendo one thing, even if they are identical (oss. 8, def. Ill, pers. Ill, def. VI, 9). Def. Def. IL Se indichiamo con A\ B', C9 Z)'... THE If we denote by A \ B ', C9 Z)' ... i posti della successione occupati da A, B, C, ! the posts of the succession occupied by A, B, C,! ..., vale a dire con le stesse lettere accompagnate da apici, di- remo che le cose A, B, C, I),... , ..., Ie with the same letters accompanied by quotes, di-oar that things A, B, C, I), ... sono contenute nella successione A'S^CfU ecc. are contained in the sequence A'S ^ CFU etc.. ed anche nella successione ABCD ecc. and also in the sequence ABCD, etc.. Oss. Oss. I. I. Le cose della successione anche se identiche occupano posti differenti nella successione (def. VI, def. Ili, oss. Ili, 9, oss. 8). The succession of things even if identical occupy different places in succession (def. VI, def. Ill, pers. Ill, 9, pers. 8). Es. Io ho l'idea A, poi l'idea #, poi l'idea C; ABC formano una successione di idee nell'ordine ABC. Eg I have the idea to A, then the idea #, then the idea C. ABC formed a succession of ideas in ABC. Nella mia mente A occupa il primo posto, B il secondo e C il terzo 1). In my mind A ranks first, B second and C third 1). a. a. Cose diverse della serie occupano posti diversi nella serie. Number of different things occupy different places in the series. Perché per cose diverse usiamo vocaboli diversi, corrispondendo ad esse ripetizioni diverse (def. I e 16). Because we use different words for different things, they correspond to different repetitions (def. I and 16). 21. 21. Tnd. TND. Con Xì Y, Z, intenderemo cose qualunque della serie (def. Vili, 13 che vale anche per la serie). With X, Y, Z, shall understand things any series (def. VIII, 13 which also applies to the series). Def. Def. Data una cosa qualunque X della serie ABC....X....Y.... Given a thing any of the ABC series .... X X. ... Y. ... qualunque (16, 19, def. Vili, 13) dico che le cose ABC...X, fatta astrazione da X (7.) pre- cedono o sono prima di X, e le rimanenti cose della serie (7) seguono o sono dopo di X nell'ordine della serie. any (16, 19, def. VIII, 13) say that things ABC ... X, quite apart from X (7.) precede or are before X, and the remaining things in the series (7) below or are after X in the order of the series. a. a. La prima cosa della serie non ha cose che la precedono (def.). The first series of things that did not precede it (def.). b. b. Ogni cosa X di una serie ABC...Y... Everything X of a series ABC ... Y. .. e distinta da un'altra cosa qua- lunque Y della serie precede o segue la cosa Y (def. ea, 20). and distinct from another thing here lunque-Y series Y precedes or follows it (def. and 20). 22. 22. Def. Def. Se in una serie una cosa X non ha cose che la seguono o sono dopo di essa, si dice che X è Vultima cosa della serie. If in a series one thing X has the following things that are or after it, it is said that X is Vultima thing of the series. 23. 23. Def. Def. Se X precede Y e Z segue Y in una data serie, si dice che Y è compresa fra X e Z, e che Y e Z sono separate da X. If X precedes Y and Z follows Y in a given series, it is said that Y is between X and Z, and that Y and Z are separated by X. Le cose di una serie che seguono una cosa X e precedono una cosa Z si chiamano anche interme- die fra X e Z nella serie. The things that follow a series of one thing before something Z and X are also called intermediate-day between X and Z in the series. 24. 24. Def. Def. Se la prima cosa che segue una cosa qualunque X nella serie è Y, Y si chiama consecutiva seguente di X, e X consecutiva antecedente di Y. If the first thing that follows any one thing in the series X is Y, Y is called a row below the X, Y and X in a row prior to 25. 25. Ind. Indicheremo una serie di oggetti anche con un solo segno ad es. Ind. denote a set of objects with a single sign eg. con una lettera greca. with a Greek letter. Def. Def. I. I. Una serie jS si dice contenuta in una serie, o che appartiene ad una serie a, quando gli oggetti di fi sono oggetti di a, e quando gli oggetti che precedono o seguono ogni oggetto X in jS precedono o seguono l'oggetto X in a. A series is said jS contained in a series, or who belongs to a series, when the objects are objects in fi, and when the objects before or after each object X jS precede or follow the object X in a . Def. Def. II. II. Diremo che jS nel caso precedente è parte di a se in a vi sono oggetti che non appartengono a jS. We say that jS in the previous case is in a part of a if there are objects that do not belong to jS. Tuttavia, finché non diremo diversamente per parte jS di una serie a intenderemo una serie contenuta in ai cui oggetti consecutivi sono anche consecutivi in a (24). However, until we say otherwise jS for part of a series shall understand a number contained in the consecutive objects which are also consecutive to (24). i) Anche il concetto di posto o di posizione astratta non Include necessariamente quello di spa- zio (Vedi nota 3, n. 13). i) The concept of place or abstract location is not necessarily that includes spa-uncle (See note 3, n. 13).
Page 9 Page 96. 6. Gruppo ordinato. Ordered group. Operazione dell'unire. Operation of uniting. 26. 26. Def. Def. I. I. Date le cose A e B nell'ordine AB, si consideri insieme B con A, o come diremo anche si unisca B ad A; e più generalmente, data una serie qualunque di cose secondo la condizione della def. Given the things A and B in the order AB, consider set B with A, or as we will also join B to A, and more generally, given any number of things according to the condition of the final. I, 13 (19, 18) l) si applichi o si intenda compiuta questa operazione per le cose successive della serie (16, 19); il risultato di questa operazione chiamasi gruppo o tutto ordinato. I, 13 (19, 18) l) is applied or is meant accomplished this operation for the things later in the series (16, 19); the result of this operation is called group or ordered whole. Oss. Oss. Nel gruppo secondo la def. In accordance with the final group. I, 13 non entra come contrassegno di questa operazione l'ordine in cui la si eseguisce. I, 13 does not come as a mark of this order in which it executes. Es. Prima ho avuto l'idea A e poi l'idea B (3). Eg Before I had the idea to the idea and then B (3). Nell'operazione : considero in- sieme B con A tengo conto appunto dell'ordine in cui ho avuto le idee A e B* men- tre nel gruppo delle idee A e B secondo la def. In step: consider to-gether with A B I take into account precisely the order in which I had the ideas A and B * men-three in group A and B of ideas according to the final. 13 non tengo conto di questo ordine. 13 I do not take account of this order. Ind. Questo tutto lo indicheremo col segno AB, dove le lettere A e B si seguono nell'ordine delle cose corrispondenti nel tutto. Ind. This entire denote with the sign AB, where the letters A and B follow the order of things in the whole match. Così se alla cosa AB si unisce la cosa data C, si ha un tutto ordinato che indicheremo col simbolo (AB)C. If so to what AB joins the given thing C, there is an ordered whole denoted with the symbol (AB) C Se a questo si unisce la cosa data D si ha un tutto che indicheremo con ((AB)C)D. If this is combined with the given thing has a whole that D is denoted by ((AB) C) D E così via. And so on. In generale un gruppo ordinato lo indicheremo con un segno della forma (A). In general an ordered group it will be denoted by a sign of the form (A). Def. Def. IL Diremo che gli oggetti dati formano o compongono il gruppo nel dato ordine, e che il gruppo si compone o è l'insieme degli oggetti dati nel- l'ordine stabilito. IL We say that the data objects or form part of the group in the given order, and that the group is made up or is the set of data objects in-the established order. 27. 27. Def. Def. I. I. Un gruppo ordinato (A) appartiene al gruppo (B), se gli oggetti di (A) sono oggetti del gruppo ordinato (B), e la serie di (A) appartiene alla serie di (B) (def. I, 25). An ordered group (A) belongs to the group (B), if the objects of (A) are objects of the orderly group (B), and the series of (A) belongs to the series of (B) (def. I, 25) . Def. Def. li. them. Diremo anche che (A) è parte o sottogruppo di (B) se vi sono og- getti di (B) non contenuti in (A), e, se non si dirà diversamente, intende- remo anche che la serie di (A) sia parte della serie di (B) nel senso indicato nella def. Also we will say that (A) is a part or sub-group of (B) if there are og-jets (B) not contained in (A), and, if not otherwise it will be said, also intends-oar that the series of (A) is the set of (B) in the sense indicated in the final. II, 25. II, 25. a. a. Gli oggetti A, B, C,...., N.... The objects A, B, C, ...., ... N. di un gruppo ordinato che compongono il gruppo (def. I) sono parti del gruppo. of an ordered group making up the group (def. I) are parts of the group. Sono infatti gruppi di un solo oggetto, dati ciascuno da una serie di un solo oggetto ; supponendo estesa anche al caso della serie la def. Are in fact groups of a single object, the data, each by a series of only one object; assuming also extended to the case of the final series. Ili, 13. Ill, 13. b. b. Se il gruppo ordinato (A) apparitene al gruppo ordinato (B), e (B) al gruppo ordinato (C), (A) appartiene al gntppo ordinato (C). If the ordered group (A) apparitene to the ordered group (B), and (B) to the ordered group (C), (A) belongs to the gntppo ordered (C). Ogni oggetto di (A) è oggetto di (B), che è oggetto di (O) (e, 8). Each object of (A) is the subject of (B), which is the subject of (O) (and, 8). Di più gli oggetti consecutivi di (A) sono oggetti consecutivi di (B) (def. II, 25); e questi, che sono gli oggetti considerati di (A), sono consecutivi di (C) (e, 8 e def. I). More consecutive objects of (A) are consecutive objects of (B) (def. II, 25), and these, which are the objects considered to be of (A), are consecutive (C) (and, 8 and final. I). e. and. Se (A) è sottogruppo di un gruppo ordinato (B) e (B) è sottogruppo di un gruppo ordinato (C), (A) è sottogruppo di (C). If (A) is the subgroup of an ordered group (B) and (B) is a subgroup of the ordered group (C), (A) is the subgroup of (C). Il gruppo ordinato (A) appartiene a (C) appartenendo a (B) (b). The orderly group (A) belongs to (C) belonging to (B) (b). Come i) Vedi anche def. As i) See also final. i, II, 32 e def. i, II, 32, and def. Il, 33. The, 33.
Page 10 Page 1010 pel teorema , 13 sì dimostra che non tutti gli oggetti dì (C) sono oggetti di (A) '). 10 PEL theorem 13 shows that yes, not all objects day (C) are objects of (A) '). d. d. Un gruppo non ordinato determina più gruppi ordinati. An unordered group determines the most ordered groups. Difatti ogni oggetto del gruppo dato può essere considerato come primo oggetto, ogni altro come secondo e così via. In fact, every object in the group given may be regarded as the first object, each other as the second and so on. Ind. Il gruppo che si ottiene dall' unione di un gruppo (B) ordinato o non ad un gruppo (A) ordinato o non, lo indicheremo col simbolo [(A) (B)]. Ind. The group, which is obtained by 'joining a group (B), or ordered not to a group (A) ordered or not, we will indicate with the symbol [(A) (B)]. 28. 28. La serie non è un gruppo ordinato. The series is an ordered group. Difatti nel concetto di serie (19) manca l'operazione dell'unire, come fu spiegato al n. In fact, the concept of the series (19) the operation is missing unify, as was explained in n. 26; esso significa soltanto che sono date o pensate le cose della serie nell'ordine stabilito (es. 26). 26, it just means that you think things are given or the order established in the series (eg 26). Osa. Osa. La serie ci da un tutto ordinato quando le cose della serie AB CD....Assono unite nel medesimo ordine fra loro. The series gives us a whole series of things sorted when AB CD .... Assono joined together in the same order. E quando considereremo la serie come gruppo la intenderemo, come gruppo ordinato. And when we consider the series as the group shall understand, as ordered group. Si vede però che non si tien conto dell'operazione dell'unire, le parole serie e gruppo ordinato corrispondono allo stesso concetto e pos- sono scambiarsi fra loro. We see, however, that no account is taken of the operation of uniting, the words and series ordered group correspond to the same concept and may be exchanged between them. 7. 7. Principi dell'operazione dell'unire. Principles of the operation of uniting. 29. 29. I. I. L'atto semplice del considerare insieme più cose date in un dato ordine o indipendentemente dal loro ordine è a senso unico (def, II, 11). The simple act of regarding things with more dates in a given order, or regardless of their order is one-way (def, II, 11). II. II. Pensando insieme o no più cose in un dato ordine o indi- pendentemente da questo ordine non si pensa alcuna cosa che non sia una delle cose date 2). Thinking together or not more in a given order or independently by this order does not think anything that is not one of the things given 2). III. III. Unire I9 oggetto C ali9 oggetto B unito all'oggetto A, signi- fica unire 1' oggetto C al tutto ottenuto dall' unione di B ad A, ovvero significa unire il tutto dato dall'unione di C a B coll'og- getto A (principio di associazione). Join I9 ali9 object C object B to object A together, it means add 1 'to the whole object obtained from C' union of B to A, that means combining all data from the union of C to B-jet coll'og A (principle of association). ABC = (AB) C (1) ABC A (BC) (2) a. ABC = (AB) C (1) ABC A (BC) (2) a. Unire l'oggetto C al tutto ottenuto dalV unione di B ad A equivale al- l'unire il tutto dato dall'unione di C con B all'oggetto A. Combine all the object C obtained dalV union of B to A is equivalent to the join-all given by the union of C with object A. B Difatti da (1) e (2) si ha: (AB) CA (BC) ( , 9 e III). In fact, from (1) and (2) we have: (AB) CA (BC) (, 9 and III). Oss. Oss. L Finché non si dirà diversamente l'operazione dell'unire sarà conside- rata in questo senso 3). The Until you say otherwise the operation will be deemed to have been uniting in this sense 3). 1) Vedi la nota 2, 13. 1) See note 2, 13. 2) In questo modo è evitato che nel gruppo ordinato o non, o nella serie di cose date si conside- rino anche cose che conseguono dalle prime secondo certi principi. 2) In this way it is avoided that in the group ordered or not, or things in the series of dates is considered rhino also things that follow from the first according to certain principles. 3) Vedi nota n. 3) See note no. 4. 4. Alcuni autori indicano coirunire nn'operazione generale, mentre per noi ha qui un senso particolare ben determinato. Some authors suggest coirunire nn'operazione general, while we have here a particular sense of well-defined. Ad es. Eg. Stolz (Vorles. ub. Alg. Arith. Leipzlg. 1885 voi. I, pag. 2) per eindeutige verHnupfung (che si può tradurre per combinazione od unione a senso unico) delle grandezze a 6 e.,., di un dato sistema intende una regola secondo la quale a ciascuno oppure ad alcuni gruppi ab corrisponde soltanto una grandezza e di questo o di un altro sistema E per in- dicare la Verknupfung usa i segni o, O ecc. Stolz (Vorles. ub. Alg. Arith. Leipzlg. You 1885. I, p. 2) for eindeutige verHnupfung (which translates to a one-way combination or union) in quantities of 6 and.,., A given system means a rule that each ab corresponds to certain groups or only one size and of this or another system and for the in-DICARE Verknupfung uses signs, etc. Or. E scrive ao 6=c, e legge a con b è e. He writes or 6 = c, and reads it, and with b. La Verknttpfung è presa in questo caso in senso generale. The Verknttpfung is taken in this case in a general sense. Anche l'operazione l\2 (A-4-B) è una Verknupfung che è com- mutativa ma non associativa (1. e. nota 2 al cap. m pag. 380. Veggasi anche HanKel: Vorles. ub. compi. Zahlen, 1867 pag. 21). Even the operation l \ 2 (A-4-B) is a com-mutative Verknupfung which is not associative (1. And. Note 2 to chap. M p. 380. Also compare p Hankel: Vorles. Ub. COMPI. Zahlen, 1867 p. 21). Che A o B=l\2 (A+B) si possa leggere se si vuole A con B è C essendo C=i\2 (A+J5) non v'é dubbio, ma il con in questo caso non ha più il suo senso primitivo e comune, e non corrisponde più all'unione più semplice di B con A. That A or B = l \ 2 (A + B) it can be read if one wants to A with B is C = C being the \ 2 (A + J5) There is no doubt, but with in this case no longer has its primitive sense and common, and no longer corresponds to the union of B with A. simplest
Page 11 Page 1111 b. 11 b. Se i gruppi qualunque (A) e (B) ordinati o non, contengono ciascuno tutti gli oggetti dell'altro, ma non aggruppati diversamente, si ha (A) = (B). If any groups (A) and (B) ordered or not, each contain all the objects of the other, but not grouped differently, one has (A) = (B). Difatti dati gli oggetti di (A) coli'operazione dell'unire si ha un solo gruppo (I, def. II, 11). In fact, data objects of (A) coli'operazione uniting it has only one group (I, def. II, 11). Dunque se (B) fosse diverso da (A) (def. Vili, 8) si ot- terrebbero dagli stessi oggetti più gruppi e non un solo (oss. 8), contro il prin- cipio I. So if (B) was different from (A) (def. VIII, 8) are obtained by the same objects-would take more than one group and not a single (oss. 8), against the principle I. e. and. I sottogruppi di un gruppo ordinato (A) sono sottogruppi del gruppo formato dagli oggetti di (A) indipendentemente dal loro ordine. The subgroups of an ordered group (A) are subsets of the group formed by the objects of (A) independently of their order. Gli oggetti di (A) sono oggetti del gruppo (A') da essi formato considerane doli indipendentemente dal loro ordine, perché così facendo non si astrae da alcuno di essi, altrimenti considerandoli di nuovo nell'ordine dato si pense- rebbe un altro oggetto, contro II. The objects of (A) are objects of the group (A ') formed by them considerane doli regardless of their order, because doing so would not be abstracted by any of them, otherwise considering them again in the given order is another object would pense- , against II. Se (T) è un sottogruppo qualunque del gruppo ordinato (A) (def. Vili, 13), esso da un gruppo (T) che appartiene al gruppo (A'), e poiché in (A) vi sono oggetti fuori di (T) (def. II, 27), ad es. If (T) is a subset of any ordered group (A) (def. VIII, 13), it by a group (T) that belongs to the group (A '), and as in (A) there are objects out of ( T) (def. II, 27), eg. l'oggetto X, così al gruppo (T') di (A) non appartiene X (II). the object X, so the group (T ') of (A) does not belong X (II). Oss. Oss. IL Se gli oggetti di (A) e (B) sono aggruppati in modo diverso ma nello stesso ordine l'uguaglianza risulta dal principio III (vedi a, 40). THE If the objects of (A) and (B) are grouped in different ways but in the same order equality is apparent from the principle III (see a, 40). 8. 8. Operazione dello scomporre Gruppo nullo Estensione dell'operazione del togliere. Operation of the break away group of zero extension operation. 30. 30. Def. Def. Scomporre una cosa data X in parti è l'operazione colla quale si determinano delle parti AiB,C,Dr...,N che insieme unite danno il tutto X. Break a given thing X is the process by which shares are determined AIB shares, C, Dr. .., N that joined together give the whole X. a. a. Lo scomporre è l'operazione inversa dell'unire. The break is the inverse operation of uniting. Perché date le parti ABCD... Why are you the parts ABCD ... N.... No ... dall'unione di esse si ottiene il tutto, e collo scomporre si ottengono le parti ABCD... union of them will get it all, and break his neck ... you get the parts ABCD N... N. .. del tutto (def. 12). altogether (def. 12). 31. 31. 0*5. 0 * 5. I. I. Se tolgo dalle parti ABCD,.. If I remove the parties ABCD .. N... N. .. di un gruppo una o più parti, ma non tutte, le parti non tolte sono le parti rimanenti (7). a group of one or more parts, but not all, parts are removed the remaining parts (7). Def. Def. I. I. Per esprimere che togliendo tutte le parti dal tutto non vi è al- cuna parte rimanente, diremo che nulla rimane. To express that removing all parties from all there is to-cradle rest, we will say that nothing remains. Per evitare distinzioni inu- tili, o che facendole complicano le questioni, diremo anche che si ottiene in tal caso un gruppo nullo 1). To avoid distinctions inu-Tili, or making complicate matters, we will say that also is obtained in that case a group null 1). Conv. Nell'operazione del togliere una o più parti dal tutto d'ora innanzi riterremo compresa l'operazione dello scomporre il tutto in parti, quando la scomposizione non è già eseguita. Conv At step of removing one or more parts from the whole henceforth we will assume including the operation of the decompose the whole into parts, when the decomposition is not already been executed. Oss. Oss. IL In questo senso le operazioni dell'unire e del togliere si possono consi- derare come inverse, imperocché la prima operazione dalle parti ci da il tutto, men- tre la seconda, eseguita la scomposizione, dal tutto ci fa conoscere ciascuna p rte facendo astrazione dalle altre (7). THE In this sense, the operations and unify-off can be considered as inverse derare, Inasmuch as the first operation gives us all the parties, while the second three, performed the decomposition, since everything leads us to know each p rte doing abstraction from the other (7). Oss. Oss. III. III. Se si tratta di un gruppo ordinato, l'operazione del togliere, essendo inversa di quella dell'unire, segue nell'ordine inverso dell'operazione dell'unire. If it is an ordered group, the operation of the remove, being inverse of that unify, follows in the reverse order of the operation of uniting. i) In questo caso il nulla si considera per convenzione come qualche cosa, vale a dire come un gruppo di nessuna cosa. i) In this case, nothing is considered by convention as anything, that is, as a group of anything.
Page 12 Page 1212 9. 12 9. Serie e gruppo ordinato limitati e ilUmtati Serie limitata, di 1* specie Serie di serie. Series and Series ilUmtati ordered group limited and restricted to species 1 * Series series. 32. 32. Def. Def. I. I. Se una serie ha un primo ed un ultimo oggetto (22) si dice limitata. If a series has a first and a last object (22) is said limited. Es. La serie delle mie idee ABC è limitata. Eg, the ABC series of my ideas is limited. Def. Def. //. / /. Se la serie non ha un' ultima cosa si chiama illimitata o senza fine, e quindi se ogni oggetto della serie data ha una cosa consecutiva seguente (24) la serie che si considera è illimitata *). If the series does not have a 'last thing called unlimited or endless, and so if every object has a series on what the next row (24) the series that we consider is unlimited *). 33. 33. Def. Def. I. I. Quando le cose A, B, C, D,..., JV,... When things A, B, C, D, ..., JV, ... di una serie si considerano in un nuovo ordine, in modo che le cose che precedevano e seguivano una data cosa la seguono, rispettivamente la precedono, nel nuovo ordine, la nuova serie e il nuovo ordine si chiamano inversi od opposti alla serie e all'ordine dati. of a series is considered a new order, so that things that preceded and followed a thing to follow, respectively, prior to, in the new order, the new series and the new order are called inverse or opposite to the series and all ' order data. a. a. La serie inversa dell'inversa di una serie data è la serie data stessa. The inverse of the inverse number of a given series is the same date range. In altre parole nell'ordine inverso dell'inverso le cose si succedono nello stesso ordine della prima serie. In other words in reverse order of the inverse things will happen in the same order of the first series. Difatti le cose che precedono e quelle che se- guono una cosa qualunque X nella serie data, la seguono, rispettivamente la precedono, nell'ordine inverso (def. I); e nell'ordine inverso dell'inverso la precedono, rispettivamente la seguono (def. I). In fact things that precede and those which follow a thing in any given series X, the following, respectively, prior to, in reverse order (def. I), and precede it in the reverse order of the inverse, respectively, the following (def. I). b. b. L'ultimo oggetto di una serie è il primo oggetto della serie inversa. The last object of a series is the first object of the inverse series. Perché tutte le cose che precedono un oggetto nella prima serie lo se- guono nell'ordine inverso (def. I), e quindi tutte le cose che precedono l'ultima nella prima (22) la seguono nella seconda. For all things that precede an object in the first series if guono-order (def. I), and then all the things that precede the last in the first (22) follow in the second. Es. Nell'ordine AB delle cose AB, A è la prima e B la seconda; neU'ordine in- verso BA, B è la prima ed A la seconda. In the order of things eg AB AB, A is the first and the second B; neU'ordine-in towards BA, B and A is the first to the second. b'. b '. Se in una serie una cosa è compresa fra due altre, lo è pure nella se- rie inversa. If a number is something between two other, it is also in the reverse se-ries. Difatti se la cosa B è dopo di A e prima di C nella serie data, le cose date si seguono nell'ordine ABC (16); e nella serie inversa C è la prima ed A è l'ultima, quindi la B è pure compresa fra A e C (def. 23). In fact, if it is after B of A and C in the series before date, things dates are followed in the order ABC (16); and in the series is the first inverse C and A is the last, then B is also between A and C (final 23). b". Se una serie non ha un ultimo oggetto, la serie inversa non ha un primo oggetto. Difatti se lo avesse, la serie data avrebbe un ultimo oggetto (b). Oss. /. La serie inversa ha però nel caso b" l'ultimo oggetto (def. 19). b. "If a series does not have a last object, the series does not have an inverse first object. In fact, if it had, the series would have given a last object (b). Oss. /. The inverse series has, however, in case b" the last object (def. 19). Def. Def. II. II. In tal caso diremo che la serie inversa non ha principio, ed è pure illimitata, come diremo illimitata una serie che non ha né primo né ul- timo elemento. In this case we will say that the series has not reverse principle, and is also unlimited, as we shall unlimited a series which has neither first nor ul-thyme element. Oss. Oss. li. them. Possiamo considerare non solo che siano date più cose A,B, C, D...N... We consider not only that things are more dates A, B, C, D. .. N. .. al pensiero ma possiamo anche ritenere, senza cadere in contraddizione, che l'ordine sia un contrassegno proprio delle cose date (18). thinking but we can also assume, without contradiction, that the order is just a sign of things dates (18). i) il concetto di successione di cose date (19) è indipendente dal fatto che questa serie sia o no li- mitata, e quindi i contrassegni di limitato e illimitato non sono in contraddizione col concetto di serie già dato. i) the concept of succession of things given (19) is independent of whether or not this series be-ited them, and then the marks of limited and unlimited are not in contradiction with the concept of the series already. La negazione è anche in questo caso sufficiente a stabilire astrattamente l'esistenza della serie illimitata, perché non o in contraddizione col concetto di serie limitata, che la prima comprende in sé. Denial is also in this case sufficient to establish the existence of theoretically unlimited series, or because they do not contradict the concept of limited series, that it includes in itself. il concetto del Ti 11 imitato come si vedrà non o precisamente quello dell'infinito. We imitated the concept of 11 as will be seen exactly what the infinite or not.
Page 13 Page 1313 34. 13 34. Def. Def. I. I. La serie limitata, o illimitata, data può essere considerata come gruppo ordinato (oss. 28). The limited number, or unlimited, the date may be considered as ordered group (oss. 28). Il gruppo ordinato che ne risulta si chiama limitato o illimitato. The resulting ordered group is called limited or unlimited. Def. Def. IL Considerando le cose ABCD... THE ABCD Considering things ... N... N. .. di una serie limitata o illi- mitata come costituenti un gruppo (13), questo gruppo nel primo caso (def. I) dicesi limitato nell' ordine ABCD... a limited or unlimited-bounded as forming a group (13), this group in the first case (def. I) is called limited in 'order ABCD ... N... N. .. della serie ; e nel secondo caso dicesi illimitato nell'ordine stesso. the series, and in the second case it is said unlimited in the order. 35. 35. Oss. Oss. La prima formazione della serie si ottiene colla semplice ripetizione del medesimo atto mentale (15), e la prima serie così ottenuta ha una prima ed ultima cosa. The first training series is obtained by simple repetition of the same mental act (15), and the first series so obtained has a first and last thing. Diamo quindi la seguente : Def. We therefore as follows: Def. Una serie limitata che non contiene come parte alcuna serie illimi- tata (def. II, 32; def. I, 25; def. II, 33) si chiama serie naturale o limitata di la specie. A limited series that does not contain any series as part of unrestricted-nanny (def. II, 32, def. I, 25; final. II, 33) is called natural or limited number of species. a. a. Ogni cosa X di una serie limitata di la specie ha una consecutiva se- guente e una consecutiva antecedente. Everything X of a limited number of the species has a straight-guente and if a row before. Se X non ha una consecutiva antecedente e non è la prima, significa che vi sono cose nella serie che la precedono (def. 21). If X does not have an antecedent and a row is not the first, means that there are things which precede it in the series (final 21). Fra una qualunque Y di queste e X vi è dunque un'altra cosa della serie, altrimenti Y sarebbe conse- cutiva antecedente di X (24), contro l'ipotesi. Between any of these Y and X there is therefore another thing in the series, otherwise Y would be conse-cutiva antecedent of X (24), against the hypothesis. Dunque la serie data conterrebbe come parte una serie illimitata che precederebbe X, il che è assurdo (def.). Therefore the given series as part contains an unlimited series that precede X, which is absurd (def.). X non può avere più consecutive antecedenti, ad es. X can not have more consecutive antecedents, eg. Y e Z, perché o Y precede Z, o Z precede Y (b, 21), dunque nel primo caso Y è consecutiva antecedente di Z, e Z consecutiva antecedente di X. Y and Z, because Y precedes or Z, or Z precedes Y (b, 21), therefore in the first case Y is consecutive antecedent of Z, and Z consecutive antecedent of X. Analogamente nel secondo caso; dun- que X non può avere più consecutive antecedenti. Similarly in the second case, this dun-X can not have more consecutive antecedents. Slmilmente si dimostra che X deve avere una consecutiva seguente. Similarly it is shown that X must have a consecutive following. 36. 36. Def. Def. Se nessuna cosa nella serie è ripetuta (15) la serie dicesi semplice. If anything is repeated in the series (15) the series is called simple. a. a. Ogni serie può essere ritenuta come una serie semplice. Each series can be considered as a single series. Essendo diversi i posti occupati nella serie dalla stessa cosa (20) possiamo indicare la cosa ripetuta in ogni ripetizione con un segno diverso dai prece- denti, e quindi supponendo che la cosa ripetuta rappresenti più cose distinte vale la proprietà della def. Since different places occupied by the same thing in the series (20) we can point the thing repeated in each repetition with a different sign from the precedents, and then assuming that it represents the most repeated things that separate the ownership of the final. per tutte le cose della serie. for all things in the series. Oss. Oss. II. II. Quando non diremo diversamente intenderemo che la serie sia semplice. When not say otherwise shall understand that the series is simple. b. b. In una serie semplice date le cose qualunque A, J9, C\ \ o A è com- presa fra B e C; 2 o B è compresa fra A e C; 3 o C è compresa fra A e B. In a series dates simple things any A, J9, C \ \ or A is com-socket between B and C; 2 or B is between A and C; 3 or C is between A and B. Difatti data la cosa A, le altre cose o la precedono o la seguono nella serie (6, 21), dunque o B e C seguono o precedono .A, oppure B precede A e C segue A ; o finalmente C precede A e B segue A. In fact, given the thing, other things or precede or follow it in the series (6, 21), then B and C or below or above. A or B before A and C follows A, or A and B before C finally follows A. Se B e C seguono A nell'or- dine della serie, in questo ordine o sarà prima B o C. If B and C follow in the OR-A dyn of the series, in this order or will be before B or C. Se è prima B, B è com- presa fra A e C, perché B segue A e precede C (23); analogamente se è prima C, C è compresa fra A e B, e si ottengono i casi 2 e 3. If it is before B, B-com is taken between A and C, because B follows A and C above (23); similarly if it is before C, C is between A and B, and we obtain the cases 2 and 3. Se B e C precedono A basta considerare la serie inversa alla data, e vale per questa il ragiona- mento precedente. If B and C above is enough to consider the inverse series to date, and applies to this reasoning, the previous year. Ma se una cosa è compresa fra altre in una serie lo è an- che nella serie inversa ( ', 33); dunque hanno luogo gli stessi casi secondo e terzo. But if something is between the others in a series-which has an inverse in the series (', 33), then place the same second and third cases. Finalmente negli altri casi A è compresa fra B e C. Finally, in other cases A is between B and C. 37. 37. a. a. Data una cosa A determinata, se non è stabilito che A è il gruppo di At what date a given, unless it is established that A is the group of
Page 14 Page 1414 tutte le cose possibili die vogliamo considerare, possiamo pensarne uri* altra non contenuta in A (vale a dire fuori di A) e indipendente da A. 14 things we want to consider possible day, we can think of other uri * not contained in A (ie outside of A) and independent of A. Difatti considerando ha cosa data A, la facciamo corrispondere ad un atto a del pensiero (4), e ripetendo ad es. In fact, considering what has to date, we make it correspond to an act of thought (4), and repeating eg. una cosa B di A} che non sia un gruppo (def. I, 13; def. I, 26), se A è essa stessa un gruppo ordinato o non ordinato, e riguardando come contrassegno delle idee (9 e 4) l'ordine in cui si succedono (16), la seconda idea di B (3) è distinta dalle idee corrispondenti alle cose della prima (def. V, 8). something that B of A} is a group (def. I, 13; final. I, 26), if A is itself a group ordered or unordered, and covering as a sign of the ideas (9 and 4) 's order in which they happen (16), the second idea of B (3) is distinct from the ideas of things corresponding to the first (def. V, 8). Indicando questa seconda idea di B con #, la cosa ff è uguale a B (oss. HI, 9) ma non coincide con B essendo distinta da essa (IV, def. V, 8). Indicating this second idea of B with #, the thing ff is equal to B (oss. HI, 9) but does not coincide with B being distinct from it (IV, final. V, 8). Così se la seconda idea corrisponde a tutta la cosa A, riguardando l'or- dine come contrassegno delle cose pensate si ha un'idea A' distinta da A ed uguale ad A, ma che non coincide con A, altrimenti A e A' non sarebbero di- stinte (def. V; e IV, 8 e 18). So if the second idea corresponds to the whole thing A, covering the or-dine as a mark of things think you have an idea A 'distinct from A and equal to A, but which does not coincide with A, otherwise A and A' would not be faded-in (final V and IV, 8 and 18). E poiché l'atto mentale a cui corrisponde A' possiamo ritenerlo indipen- dente dall'atto cui corrisponde A, così A' è indipendente da A. And because the mental act which corresponds to A 'we can feel it independently by the act which corresponds to A, so A' is independent of A. Se si dice invece che A contiene tutte le cose possibili che vogliamo pen- sare, con ciò escludiamo priori le cose non contenute in A. If you say instead that A contains all the possible things that we want to pen-pass and thereby priori exclude things not contained in A. Oss. Oss. /. /. La negazione che una cosa non appartiene ad A, o il concetto di fuori (def. VI, 13) ha dunque sempre valore logico e'quindi scientifico,, applicabile anche al caso del gruppo ordinato. The denial that something does not belong to A, or the concept outside (def. VI, 13) thus always logical value e'quindi Scientific, which also applies to the case of the ordered group. Avremo cura però ogniqualvolta faremo uso di questa legge nel campo ristretto delle nostre forme possibili di aggiungere altre ragioni in appoggio di essa. We will take care, however, whenever we use this law in the narrow field of our possible ways to add other reasons in support of it. Es. Dato lo spazio intuitivo S, separando l'idea del punto da quella dello spazio (vedi oss. emp. parte I, 1) se non si dice che lo spazio intuitivo contiene tutti i punti possibili, possiamo pensare un altro punto fuori di S, vale a dire uguale agli altri punti ma distinto da essi; oppure un altro spazio S" intuitivo uguale a Sma distinto da S. a. La serie delle cose cìie si ottiene ponencf/) una cosa B fuori di un'altra A, una cosa C fuori del gruppo AB, e così via, è illimitata. Perché supposto che si ottenga un ultimo gruppo A si può immaginare un' altra cosa B fuori di A (a). b. Una serie limitata o illimitata può contenere come parte un'altra serie illimitata. Difatti quando si dice che una serie è limitata non significa che essa non possa contenere un'altra serie illimitata come parte (def. II, 25), perché essa è limitata soltanto pel fatto che ha un primo ed ultimo oggetto (def. I, 34) ; ma ciò non da alcuna proprietà sugli oggetti intermedii (23). Nel caso del teorema a, A (o B} può essere anche un tutto limitato o illimitato ottenuto da una serie limitata o illimitata di serie limitate o illimitate considerate ciascuna come un oggetto. Se si ha il tutto MN ove M. è dato da una serie illimitata, MN è una serie limitata, e in questa seconda serie M è la prima cosa. Oppure se la se- rie M ha un primo oggetto A, la serie MN ha per primo oggetto A e per ul- timo oggetto N. Def. Se nelle successioni ABCD..., A'B'CD'..., limitate o no si ha A = A', B = B\ CC", D = JD' ecc. si dice che le cose delle serie sono ordinatamente o rispettivamente uguali. Since the space S eg intuitive, the idea of separating from that point of space (see oss. Emp. Part I, 1) if you do not say that the space contains all input points as possible, we can think of another place outside S, ie equal to the other points, but separate from them, or another space S "intuitive equal to Sma distinct from S. a. The series of things cìie is obtained ponencf /) a thing B out of another A, something out of the AB C, and so on, is unlimited. Why do you supposed to get a last group you can imagine a 'else B out of A (a). b. A series may contain limited or unlimited as part another set unlimited. In fact when we say that a series is limited does not mean that it can not contain another series unlimited as part (def. II, 25), because it is limited only from the fact that a first and last object (final I, 34), but this does not by any property on the objects intermedi (23). In the case of the theorem a, A (or B} can also be a limited or unlimited all obtained from a limited or unlimited series of series limited or unlimited considered each as an object. If you did everything MN where M is given by an unlimited series, MN is a limited series, and in this second series M is the first thing. Or if the se-ries M a first object A, the MN series was the first to object A and object thyme N. ul-Def. If ABCD ... in succession, A'B'CD '... limited or no one has A = A' , B = B \ CC ", D = JD 'etc.. they say that things are orderly series or equal, respectively.
Page 15 Page 15CAPITOLO II. CHAPTER II. Prime proprietà delle forme matematiche astratte. Basic properties of abstract mathematical forms. I- Caratteri delle forme o grandezze matematiche astratte e concrete. The font-sizes or shapes of abstract mathematics and concrete. 38, 0ss, /. 38, 0SS, /. Le cose che vogliamo d'ora innanzi considerare oltre i contrassegni di tutto e di parte, di ordine o di serie hanno anche per contrassegno il modo con cui sono poste o date (9). The things that we will henceforth consider both marks everything and part of order or series have also to mark the way in which they are located or dates (9). L'ordine ci assicura quando una cosa è posta prima o dopo di un'altra, il modo riguarda invece le altre relazioni possibili di posizione (def. VI, 9 e def. IV, 8) che supponiamo esistano e non siano contenute nel concetto di ordine. The order gives us when something is placed before or after another, the way regards the other possible relations position (def. VI, 9, and def. IV, 8) and suppose there are not contained in the concept order. Questa ipotesi non contraddice ai principii precedenti dovendo essere que- ste relazioni di posizione indipendenti dalle altre. This hypothesis does not contradict the principles of previous ste-reports having to be this independent position from the other. Es. 1. Example 1. Posta l'idea A% ripeto l'idea A e poi ancora l'idea A. Post the idea to repeat the idea% A and then again the idea A. Se si tien conto del tempo trascorso in ogni ripetizione si ha una relazione di posizione non compresa nel concetto di semplice successione e di ordine, poiché il tempo trascorso nella prima ripetizione può essere differente da quello trascorso nella seconda. If one takes into account the time spent in each repetition has a positional relationship is not included in the concept of simple succession and order, because the time spent in the first iteration may be different from that spent in the second. Es. 2. Example 2. Io pronuncio prima la vocale aa voce bassa e poi pronuncio la vocale e a voce alta; l'altezza della voce da una relazione di posizione non compresa nel con- cetto di ordine in cui pronuncio le vocali a ed e. I pronounce the vowel aa first softly and then loudly and speak the voice, the height of the entry to a position not included in the report with the concept of order in which they pronounce the vowels a and e. Noi supponiamo inoltre che questi contrassegni siano determinati per via di ipotesi o di costruzioni possibili *). We suppose further that these marks are determined for a hypothesis or possible constructions *). Def. Def. L Le cose i cui contrassegni sono tutto, parte, ordine e modo di po- sizione, o che si possono paragonare mediante questi contrassegni (8 e 9) si chiamano forme o graiidezze matematiche astratte; anche se si fa astrazione (7) da alcuni dei suddetti contrassegni. The things whose markings are all, part, order and position-way, or that can be compared using these markers (8 and 9) are called graiidezze abstract mathematical forms or, even if one disregards (7) by some of these markings. Ma finché non diremo diversamente intenderemo che le forme abbiano tutti i contrassegni considerati 2). But until we say otherwise shall understand that the forms have considered all the marks 2). 1) Abbiamo già detto nella prefazione a quali condizioni devono soddisfare un'ipotesi, una co- struzione o una dimostrazione matematica. 1) We have already said in the preface to what conditions must satisfy a hypothesis, a co-construction or a mathematical proof. Qui basta logicamente la semplice ipotesi che possono esi- stere tali relazioni all'infuori del concetto di ordine. Here just the simple hypothesis that can logically existing stere these relationships outside the concept of order. Gli esempi citati sono un di più, ma l'ipotesi non è dipendente da essi. The examples cited are a plus, but the hypothesis is not dependent on them. Abbiamo qui evitato di ricorrere ad esempi geometrici appunto per allon- tanare il sospetto che il modo con cui sono poste le parti nel tutto sia necessariamente dipendente dall'idea di spazio. Here we have avoided resorting to geometric examples just for Allon-tanare suspect that the way in which they are located in all parts is necessarily dependent on the idea of space. Al n. At n. 41 ricorriamo anche ad esempi tratti dai corpi e dalle loro qualità. 41 also have recourse to examples taken from the bodies and their quality. 2) Questa definizione delle forme matematiche astratte vale certamente per tutte quelle che noi considereremo, ma non intendiamo però che questa definizione debba essere assoluta e quindi circo- scriva fin d'ora il campo della matematica. 2) This definition of abstract mathematical forms certainly applies to all those that we consider, but not mean, however, that this definition should be absolute and circus-write from now on the field of mathematics. Come ho avvertito nella nota del n. As I warned in the memo of n. 4 non cerco defini- zioni o spiegazioni che valgano in ogni caso, ma soltanto nei casi che mano mano si presentano. 4 definitions shall not seek or explanations that apply in every case, but only in proportion as cases arise. Eu- clide non spiega in nessuna parte dei suoi Elementi il concetto di grandezza, come del resto non ne spiega molti altri. Euclid does not explain in any part of its elements the concept of magnitude, as the rest does not explain many others. H. H. Grassmann chiama grandezza ogni cosa che deve essere posta uguale o disu- guale ad un'altra cosa (Lehrbuch der Arithmetik, Berlin 1861, p. i). Grassmann calls greatness everything that must be set equal to or resulting health Guale another thing (Lehrbuch der Arithmetik, Berlin 1861, p. I). Questa definizione per la grandezza matematica, accettata anche da Stolz (1. ep 5) a me pare troppo ristretta nel senso in cui è intesa da Grassmann nel libro suddetto il concetto dell'uguale; mentre in generale è invece indeterminata, se non si dice rispetto a quali contrassegni sono uguali o disuguali e se non si aggiunge anche che deb- bano potersi determinare nei loro stati onde si rendano suscettibili di confronto le loro modificazioni. This definition for the mathematical quantity, also accepted by Stolz (1. Ep 5) seems to me too narrow in the sense understood by Grassmann in the book that the concept of equal, while in general is rather indefinite, if not stated with respect to such markers are equal or unequal, and if you do not add deb-Ban also be able to determine their states in order to render it likely to compare their changes. Per noi questi contrassegni sono tutto e parte ordine e modo di posizione. For us these are all signs and order and the order position. Secondo Stolz (1. e. pag. 2) tutte le cose che sono confrontate (verglichen) con una cosa si dicono omogenee (glejchartige) e for- According to Stolz (1. And. P. 2) all the things that are compared (verglichen) with a thing they say is homogeneous (glejchartige) and for-
Page 16 Page 1616 Def. 16 Def. IL Se ad un concreto (oggetto reale esistente fuori del pensiero) cor- risponde una forma matematica astratta, l'oggetto dato si chiama forma ma- tematica concreta 1). If IL to a concrete (real object existing outside of thought) cor-responds an abstract mathematical form, the given object is called shape-but real issue 1). 2. 2. Serie limitate o illimitate Serie limitate o illimitate di prima specie. Series limited or unlimited limited or unlimited series of the first kind. 39. 39. Def. Def. I. I. Le forme di un gruppo o di una serie, se teniamo conto del solo fatto che esse appartengono al gruppo o alla serie (def. IV, 13, o def. I, 27 e def. I, 29, 7) le chiameremo elementi del gruppo o della serie. The forms of a group or series, if we consider the mere fact that they belong to the group or series (def. IV, 13, or final. I, 27 and def. I, 29, 7) may be called the elements of group or in the series. Def. Def. IL Diremo che una serie segue tiri altra serie quando ogni elemento della prima segue ogni elemento della seconda (21), e diremo che la seconda serie precede la prima. THE We say that a series follows shots other set when each element of the first follows each element of the second (21), and we will say that the second set before the first. a. a. Una serie limitata jS che segue una serie limitata a da colla prima una serie limitata 7. A limited number jS following a limited series with the first of a limited edition 7. Difatti nell'ordine della serie risultante (aj8) = y gli elementi di a pre- cedono quelli di ]3, e gli elementi di ]3 seguono quelli di a (21). In fact, in the order of the resulting series (aj8) = y elements to precede those of] 3, and the elements of] 3 follow those in (21). Poiché gli ele- menti di ae j3, eccetto l'ultimo di /5, precedono questo elemento in 7 (21), e in 7 non vi sono altri elementi oltre a quelli di ae jS (II, 29; def. 26 e oss. 28), l'ultimo elemento di ]3 non ha in 7 elementi che lo Seguono; e perciò è l'ul- timo elemento di 7 (def. 22 e def. I, 32). Since the elements of a and j3, except the last of / 5, prior to this element in 7 (21), and 7 there are other elements besides those of a and jS (II, 29; final. Oss 26 and . 28), the last element of] 3 in 7 has no elements that follow, and so it is on the last element of 7 (def. 22 and def. I, 32). a'. to '. Una serie illimitata ]3 che segue una serie limitata o illimitata a da colla prima una serie illimitata 7. An unlimited number] 3, which follows a limited or unlimited by an unlimited series with the first 7. Difatti l'ordine di ae jS ci da l'ordine della serie 7 (def. II, 16 e 19), e poiché ]5 segue a, e jS non ha un ultimo elemento (def. II, 32), non lo ha nep- pure 7. In fact, the order of a and jS gives us the order of the series 7 (def. II, 16 and 19), and since] 5 follows a, jS, and has no last element (def. II, 32), has not n and p-well 7. Se lo avesse, esso sarebbe un elemento di /5 ; ma in jS vi è un elemento che lo segue che appartiene pure nello stesso ordine a 7 (def. II, 32), dunque è assurdo che 7 abbia un ultimo elemento (IV, 8). If he had, it would be an element of / 5; in jS but there is an element that follows the same order, which also belongs to 7 (def. II, 32), therefore it is absurd that 7 has a last element (IV, 8). a". In una serie limitata la serie che segue una serie limitata, parte della serie data, è pure limitata. Difatti se fosse illimitata la serie data sarebbe illimitata (a'). mano un sistema di grandezze. Ma tutte le cose possono essere confrontate con una cosa data, per- ché appunto dal confronto risulta che sono o non sono la cosa data (IV, 8} e il sistema di grandezze omogenee matematiche non ci pare cosi ben definito (Vedi def. Ili, n. ili). Stolz aggiunge che due cose siccome non possono essere uguali in ogni loro contrassegno è troppo dire, secondo Grassmann, che due cose sono uguali quando in ogni giudizio si può porre runa al posto dell'altra, e che nel suo libro ciò avviene soltanto nelle formule (1. ep 2). Cioè giusto, ma bisogna osservare che due cose si possono dire identiche od uguali quando il concetto dell'una è il concetto dell'altra considerata cia- scuna in sé e non in relazione di posizione con altre cose (def. IH, oss. II, HI, 91, oss. Ili, 58). Grass- mann però nella sua Ausdehnungslehre (Leipzig 1844) da, appoggiandosi sul criterio del discreto e del continuo, un concetto più determinato delle grandezze matematiche, ed osserva che per le forme bi- sogna stabilire diverse relazioni di uguaglianza e di diversità. DU Bois Reymond nel libro Die Allg. Functionentheorie (Tiibingen 1882), si occupa dei concetti fondamentali matematici : Grandezza, limite, argomento e funzione; ma non definisce astrattamente il concetto di grandezza (1. e. 14). studia una grandezza fondamentale che riferisce alla rappresentazione della retta e che non definisce astratta- mente in tutte le sue parti. Su ciò avremo occasione di ritornare quando tratteremo della nostra for- ma fondamentale (vedi 2a nota, 71). 1) Da ciò o chiaro che per studiare con rigore logico le forme matematiche concrete bisogna per lo meno stabilire i principi fondamentali delle forme astratte che corrispondono alle prime,in quanto che noi ragioniamo non già sugli oggetti reali ma sulle corrispondenti rappresentazioni mentali (4). a. "In a limited series that follows a short list, the given series, is also limited. In fact if it were unlimited it would be given unlimited series (a '). a system of hand sizes. But all things can be compared with a given thing, precisely because-for the comparison shows that are or are not the given thing (IV, 8} and the system of homogeneous quantities math does not seem so well-defined (see def. Ill, no. ill). Stolz adds that two things can not be the same as if each marker is too much to say, according to Grassmann, that two things are equal in every judgment when you can put in place of the rune, and in his book that this only happens in formulas (1. ep 2). That is right, but it should be noted that two things you can say the same or identical when the concept is the concept of one each of the other scuna considered in itself and not the position in relation to other things ( final. IH, pers. II, HI, 91, pers. Ill, 58). Grass-mann, however, in its Ausdehnungslehre (Leipzig 1844) by, leaning on the criterion of the discrete and continuous, a more specific concept of mathematical magnitudes, and notes that forms bi-dreams establish different relations of equality and diversity. du Bois Reymond in his book Die Allg. Functionentheorie (Tubingen 1882), deals with the fundamental mathematical concepts: size, limit, argument and function, but does not define the abstract the concept of magnitude (1. and. 14). study a fundamental quantity that relates to the representation of the line that defines the abstract-mind in all its parts. On this occasion we will come back when we treat our for-but the fundamental ( see second note, 71). 1) From this clear or logical rigor with which to study the mathematical forms concrete need at least to establish the fundamental principles of abstract forms that correspond to the first, in that we reason about objects not real but the corresponding mental representations (4).
Page 17 Page 1717 a'". La serie che segue una serie limitata in una serie illimitata a è pure illimitata. Difatti se fosse limitata darebbe colla prima una serie limitata ( ). Def. IH. Divo che una serie illimitata che ha un primo elemento è illi- mitata di la specie se le sue parti limitate aventi per primo elemento quello della serie data SODO di prima specie (def. 1, 32; def. II, 25 e 35). b. Ogni serie limitata di una serie illimiltata di la specie è di la specie. Se la serie limitata /? ha il primo elemento nel primo elemento della se- rie illimitata essa deve soddisfare a questa proprietà (def. HI). Se non ha lo stesso primo elemento significa che nella serie illimitata esiste una serie x che la precede (def. IL), Se 0 non è limitata di la specie (35) significa che deve contenere come parte una serie illimitata (35), ma la serie afi è limitata (a) collo stesso primo elemento della serie illimitata di 1* specie, dunque essa conterrebbe come parte una serie illimitata (e, 26; oss. 28), il che è assurdo (def. Ili e 35). e. La serie immersa di una serie limitata di la specie è pure limitata di la specie. Difatti sia ABCD....LM la serie data che ha A come primo ed M come ultimo elemento (10, 16 e def. I, 32). La serie inversa ML....DCBA è limitata perché M è il primo ed A è 1' ultimo elemento di essa (a, 33), Ora se la se- conda serie contenesse una serie illimitata ad es. ML.....X..... precedente la serie DCBA (def. II), nella serie ML.....X.... non vi sarebbe un ultimo elemento (def. II, 32) e perciò nella serie data D non avrebbe un elemento consecutivo seguente (24), perché se lo avesse esso sarebbe l'ultimo elemento della serie ML....X che precede DCBA nella serie inversa ( ', 33), e quindi la serie data non sarebbe limitata di prima specie (35). d. La serie che segue una serie limitata in una serie illimitata di la spe- cie a è pure illimitata di la specie. Difatti è illimitata ( "); se non fosse illimitata di la specie dovrebbe contenere almeno una serie illimitata e degli elementi fuori di questa serie (35 e def. III). 17 to '. "The series which follows a limited series in an unlimited series a is also unlimited. Indeed if it were limited would glue before a limited range (). Def. IH. Divo that an unlimited series which has a first element is unlimited - especially if the bounded of its parts having limited to the first element of the series SODO date of the first kind (def. 1, 32; final. II, 25 and 35). b. Each limited set of a series illimiltata of the species is the species. If the limited series /? has the first element in the first element of the se-ries unlimited it must satisfy this property (def. HI). If you do not have the same first element in the series means that there is a limitless number x that precedes it (final IL) If 0 is not limited to the species (35) means that it must contain as part of an unlimited series (35), but the series afi is limited (a) with the same first element of the unlimited series 1 * species, then it would contain as part of an unlimited series (and, 26; oss. 28), which is absurd (def. Ili and 35). and. series immersed in a limited range of the species is also limited of the species. fact is ABCD .... LM series to date that has A as the first and the last element M (10, 16 and final. I, 32). ML Reverse Series .... DCBA is limited because M is the first and A is 1 'last element of it (33), Now if the sec-ond series contain an unlimited number eg. ML ..... X. .... DCBA previous series (final . II), the ML series ..... X. ... there would be a last element (def. II, 32) and so on in the series would not have a D next consecutive element (24), because if he it would be the last element of the ML series .... X preceding DCBA in inverse series (', 33), and then the series would not be limited date of the first kind (35). d. The series which follows a limited series in an unlimited series of the species in the species is also unlimited. fact is unlimited (") if it were not unlimited species should contain at least one unlimited series and items out of this series (35 and def. III ). Ma siccome gli elementi di essa sono per dato elementi di a, a non sarebbe illimitata di la specie (def. I, li 25 e def. III). But since the elements of it are given to elements of a, not to be unlimited of the species (final I, 25 and final them. III). e. and. Una serie illimitata contenuta in una serie illimitata di I* specie è pure di la specie. An unlimited number contained in an unlimited series of * The species is also of the species. Dim. analoga alla precedente (def. I, 25). Size similar to the preceding (final I, 25). f. f. Ogni sottogruppo di un gruppo ordinato naturale è pure un gruppo or- dinato naturale. Each subgroup of a group is also a group ordered natural or natural-ordinated. Difatti se non fosse tale la serie dei suoi elementi sarebbe per lo meno illimitata di la specie (25; oss. 28; 35, def. III.), e quindi la serie del gruppo dato conterrebbe una serie ilimitata contro l'ipotesi (35 e oss. 28; def. II, 25) g. Indeed if it were not that the number of its components would be at least unlimited of the species (25; obs. 28; 35, final. III.), And then the series of the given group contains a series ilimitata against the hypothesis (35 and oss. 28; final. II, 25) g. Ogni gruppo naturale (A) che contiene come parte un gruppo (B) col primo elemento nel primo elemento di (A), si ottiene da (B) colla semplice unione successiva di altri elementi. Each natural group (A) which contains as part of a group (B) with the first element in the first element (A), is obtained from (B) with the simple union next of other elements. O in altre parole la serie degli elementi di (A) che segue (B) è limitata di la specie (def. II; 35; def. I, 26; oss. 28; def. Il, 25). Or in other words the series of the elements of (A) which follows (B) is limited to the species (final II; 35; final. I, 26; obs. 28; final. The, 25). Se non lo fosse do- If it is not do-
Page 18 Page 1818 vrebbe contenere almeno una serie illimitata, e quindi (A) non potrebbe es- sere un gruppo naturale (e, 26; 35). 18 vrebbe contain at least one unlimited series, then (A) could not be es-a natural group (and, 26, 35). h. h. Se (A), (B) sono sottogruppi qualunque di un gruppo ordinato (C) aventi per primo elemento quello di (O, e non tutti gli elementi di (B) sono elementi di (A\ (A) é^ottogruppo di (B). Significacene (B) ha elementi che seguono quelli di (A) perché ogni ele- mento che precede in (C) un elemento qualunque di (A] appartiene ad (A) (def. 21, def. II, 27 e oss. 28); dunque ogni elemento di (A) precede ogni ele- mento di (B) (def. 21 e oss. 28), dunque A) è parte di ( )(def. II, 27). i. I sottogruppi di un gruppo ordinato (A) illimitato di la specie die si ottengono dal primo elemento unendo successivamente gli elemeuti del gruppo al precedente sottogruppo, formane una serie illimitata di 1* specie. Tutti questi sottogruppi per dato hanno lo stesso primo elemento (16, def. II, 27). Ciascuno di essi deve essere un gruppo ordinato naturale, (def. Ili; 26 e 35). Se tutti i sottogruppi suddetti formassero una serie limitata vi sarebbe un ultimo sottogruppo (B) di (A), il cui ultimo elemento X sarebbe anche ulti- mo elemento di (A), perché se vi fosse in (A) un elemento Y consecutivo seguente di -X, il sottogruppo (B) non sarebbe I1 ultimo ma bensì (B) Y (22) ; dunque il gruppo (A) sarebbe limitato contro I1 ipotesi. La serie deve essere il- limitata di la specie, che altrimenti conterrebbe un sottogruppo limitato che non sarebbe di la specie e per dato parte di (A), il che è assurdo (6). I. Data una serie limitata o illimitata di la specie ABCD....LM.... per di- mostrare che una proprietà P vale per tutte le forme della serie basta dimostrare: 1. Che P vale per la prima forma A della serie. 2. Che supposto valga per una forma X scelta ad arbitrio nella serie vale anche per la consecutiva seguente. Supponiamo che le forme della serie data che hanno la proprietà P diano una serie $*, la quale per (1) e (2) sarà parte della serie data da (def. II, 25). La $' non può essere limitata perché per ogni forma data di essa valendo la pro- prietà P vale anche per la consecutiva seguente di d che appartiene perciò alla 8* (2). Ma se in vi fossero altre forme non contenute in ff, non sarebbe il- limitata di la specie perché conterrebbe almeno un sottogruppo limitato che non sarebbe di la specie (def. Ili); quello cioè dato da ^ e dall'elemento di $ fuori di $; dunque ecc. T. Se ima proprietà P vale per ogni forma data di una serie illimitata di la specie vale per tutte le forme della serie. Difatti se vale per ogni forma data X vale anche per la consecutiva se- guente, che è la prima forma dopo X, e quindi il teor. è dimostrato (O 'X i) 11 sig. B. Efdmann già conosciuto dal pubblico matematico pel suo lavoro Die Axlome der Geo- metrie (1887), nella sua Memoria Zur Theoriedes Syllogismus u. der Induktion. Phti. Aufsàtze-Eduard Zeller 1887. pag. 197-238 osserva che è inesatto chiamare la dimostrazione secondo le due regole di I dimostrazione per induzione completa, perché l'induzione contiene sempre un' ipotesi e cioè che una verità che ha luogo in alcuni casi di una serie valga anche negli altri casi della serie ; la dimostra- zione egli dice o perfettamente deduttiva sebbene il criterio direttivo sia induttivo. Bisogna però di- mostrare come abbiamo fatto noi che la serie $ è contenuta nella serie 5\ come ^ o contenuta in . Come si vede però I è una conseguenza immediata delle def. della serie limitata e illimitata di 1 spe- cie. Nel nostro ordine di idee, che ci pare il più naturale nella costruzione delle prime serie, limi- tate e illimitate, '3, 14, 15, 16, oss. 35, def. Ili), il principio suddetto deriva da questa costruzione come proprietà speciale di queste serie. If (A), (B) subgroups are any of an ordered group (C) having as first element of the one (W, and not all elements of (B) are elements of (A \ (A) is ^ ottogruppo of ( B). Significacene (B) has elements which follow those of (A) because each ele-ment which precedes in (C) any one element of (A] belongs to (A) (def. 21, final. II, 27 and oss 28). Thus every element of (A) before each ele-ment of (B) (def. 21 and oss. 28), then A) is part of () (def. II, 27). i. I subgroups of an ordered group (A) Unlimited species are obtained from the first day after the elemeuti element joining the group in the previous subgroup, formane an unlimited number of 1 * species. All these subgroups are the same as the first element (16, final. II, 27). Each of them must be a natural ordered group, (final Ili; 26 and 35). If all the above-mentioned subgroups formed a limited range, there would be a last subgroup (B) of (A), the whose last element X would also be ULTI-th element of (A), because if there were in (A) a component of the following consecutive Y-X, the sub-group (B) would not last but rather I1 (B) Y (22) ; therefore, the group (A) would be restricted against I1 hypothesis. The series must be the-limited the species which would otherwise contain a limited subset that would not be of the species and for the given part of (A), which is absurd ( 6). I. Given a limited or unlimited number of species of ABCD .... .... for LM-show that a property P is true for all forms of the series is enough to prove: 1. What is true of the first P A form of the series. 2. What is worth supposed to form a X chosen arbitrarily in the series also applies to the following consecutive. Suppose that the shapes of the series date that have the property P give a series $ *, for which (1) and (2) will be part of the series given by (def. II, 25). The $ 'can not be limited because for any given form of it being valid the pro-property P is also true for the following consecutive therefore, belongs to that of d 8 * (2). But if there were other forms not contained in the acting, not the limited-species of the least because it would contain a limited subset of the species that would not have (def. Ill), namely that given by ^ and element of $ $ off, etc. So. T. If ima property P holds for any given form of an unlimited number of species applies to all forms of the series. In fact, if it holds for all forms on X is also true for the consecutive if-guente, which is the first form after X, and hence the theorem. is shown (O 'X i) 11 Mr. B. Efdmann already known to audiences for his mathematical work Die Axlome der geometries (1887), in his memory Zur Theoriedes Syllogismus u. der Induktion. Phti. Aufsàtze Eduard Zeller-1887. p. 197-238 observes that it is incorrect to call the demonstration according to two rules of the proof by complete induction, because induction always contains a ' hypothesis, namely that a truth that takes place in some cases a series of cases also applies in other series, the show-tion he says or perfectly although the guiding standard is deductive-inductive. need to demonstrate, however, as we have done that series contained in the series is $ 5 \ ^ or as contained in the. As you can see though I is an immediate consequence of the def. of limited and unlimited 1 species. In our line of thinking, which seems the most natural in construction of the first series, limited and unlimited nannies, '3, 14, 15, 16, pers. 35, def. III), the above principle is derived from this construction as a special property of these series.
Page 19 Page 1919 4- Legge associala di un gruppo ordinato Come V operazione dell'unire possa, non essere un'operazione a senso unico. 19 4 - Law associala an ordered group uniting As V operation can not be a one-way operation. 40. 40. a. a. Dati più sottogruppi di un gruppo ordinato che non hanno alcun elemento comune ma che contengono tutti gli elementi del gruppo ì il gruppo può ritenersi dato dall'unione successiva dei sottogruppi nell'ordine in cui si se- guono nel gruppo dato. Data subsets of an ordered group who have nothing in common but which contain all the elements of the group ì the group can be considered as the union of the following subgroups in the order if you guono-group data. (Legge associativa dell1 unire). (Associative Law dell1 merge). Si ha infatti: (ABC) D = ((AB) C)D== (AB) CD = (A (BC)) DE=A(BC)D==A ((BC) D) = ==A(B (CD)) == (AB) (CD) = ABCD (a, 29). In fact we have: (ABC) D = ((AB) C) D == (AB) CD = (A (BC)) DE = A (BC) D == A ((BC) D) === A ( B (CD)) == (AB) (CD) = ABCD (a, 29). Supponiamo che ripetendo successivamente questa dimostrazione la pro- prietà suddetta valga per il gruppo ordinato naturale dato dalla serie ABCD.... Suppose then repeating this demonstration pro-property that holds for the group as ordered by the natural series ABCD .... A^. A ^. Si avrà perciò : (ABCD....AJ BI == ABCD.^A^ intendendo col simbolo (ABCD.. ..A^) B^ che Bl è unito al tutto (ABCD....A,) avente per ipotesi la suddetta proprietà, mentre col simbolo ABCD....A1B1 s'in- tende che Bl è unito ad Au già unito a ecc., già unito a D, già unito a C, già unito a B già unito ad A. Si avrà perciò: ((ABCD....AJ B,) C, = (ABCD....AJ B (a, 29). ~ ABCD....AÌB ( , 9; i, 29). E siccome per ipotesi si ha ad es.: ABCD....MN....A ==(ABCD....M) (N....A ) si ha pure : ABCD^A^^ = (ABCD^.M^N.^.A^) C, = (ABCD....M)(N....A,B1C1). Vale a dire si possono togliere le parentesi del gruppo naturale dato dalla serie ordinata ABCD^.^B^ se si possono togliere nel gruppo dato dalla serie ABCD^^A^. Ma questo gruppo si ottiene dal gruppo consecutivo pre- cedente coli' unione di un altro elemento (def. I, 26; oss. 28), e siccome per il gruppo dato dalla serie ABC vale questa proprietà (IIlt 29), così vale anche per ogni gruppo limitato di un gruppo illimitato di la specie (def III, i, I 39). Si vede facilmente che la proprietà vale per tutto il gruppo (Z*, 39). 11 teorema vale anche nel caso che la serie delle forme che compongono il gruppo ordinato non sia di la specie. Difatti il tutto che deriva da una serie illimitata di 1* specie (oss. 28), e che indicheremo con Ted ha la proprietà sud- detta, va consideralo come una sola forma alla quale vengono unite altre forme. Se si unisce a T un1 altra forma A' si ha il tutto TA'. Ma T è anche TT'\ ove T è un sottogruppo limitato di Te la cui serie di elementi ha lo stesso primo elemento, e T" è il sottogruppo rimanente; quindi avremo: In altre parole un gruppo illimitato in unione con altre forme viene scom- posto in una serie limitata di sottogruppi che contengono tutti gli elementi We thus have: (... AJ ABCD. BI == ABCD. ^ A ^ meaning the symbol (ABCD. ... A ^) B ^ Bl, which is joined to all (... ABCD. A) having as hypothesis that the property while under the symbol ABCD .... s'in A1B1-tents that Bl is combined with Au, etc. already joined., already joined to D, have joined to C, have already joined together to B to A. It will therefore have: ((ABCD. ... AJ B) C = (AJ ABCD. ... B (a, 29). ~ ABCD .... AIB (, 9; i, 29). And since hypothesis we have for eg.: ABCD .... MN .... A == (ABCD. ... M) (No ... A) you did well: ABCD ^ A ^ ^ = (^ ABCD . M ^ N ^. A ^) C = (M ABCD. ...) (... N. A, B1C1). That is to say you can remove the brackets from the natural group given ordered set ABCD ^. ^ B ^ if you can remove in the group given by the series ABCD ^ ^ A ^. But this group is obtained from the previous consecutive group coli 'union of another element (def. I, 26; oss. 28), and since for the group given by the ABC series is this property (IIlt 29), applies to each group of a limited group of species Unlimited (def III, i, I 39). It is easily seen that the property holds for the whole group (Z *, 39). theorem 11 also applies in the case that the series of forms that make up the ordered group is not of the species. In fact, all that is derived from an unlimited series of 1 * species (oss. 28), and that Ted has the property denoted by the south-called, should consider it as one form of which are joined by other forms. If T joins other form UN1 A 'has all the TA'. But is TT T '\ where T is You a limited subset of the set of elements which has the same first element, and T "is the remaining subset, then we have: In other words, an unlimited group in conjunction with other forms will disappear is placed in a limited number of subgroups that contain all the elements
Page 20 Page 2020 del gruppo dato e senza aver alcun elemento comune, ea questa serie in unione colla prima delle forme date è applicabile il principio di associazione. 20 of the given group and without any common element, and this set in union with the first forms of dates apply the principle of association. Se la serie delle altre forme date non avesse una prima forma si lascia scom- porre anch'essa in una serie limitata di sottogruppi, di cui essa rappresenta l'unione successiva (26), II teor. If the series of other dates did not have a first form is left will disappear also put in a limited number of subgroups, of which it represents the union later (26), theorem II. è così in ogni caso dimostrato. is thus in any case shown. Oss. Oss. S'intende che T unire si riferisce qui a cose già date in posizione, e nel senso del semplice considerare insieme. Means that T refers here to join what is already given in position, and the sense of simple to consider together. 40. 40. Oss. Oss. Se nell'operazione dell'unire considerando come condizioni di essa (def. I, 10) il modo di posizione delle parti fra loro e l'ordine di esse (oss, e def. I, 38). If the transaction considering uniting as a condition of it (def. I, 10) so the position of the parties together and order them (oss, and def. I, 38). allora evidentemente il tutto dipenderà dal modo e dall'ordine con cui sono unite le sue parti e l'unione non sarà più a senso unico, potendo essere diversi gli ordini ei modi di unione delle parti. then obviously it all depends on the manner and order in which the parts are joined and the union will no longer be a one-way, and may be different orders and ways of joining the parts. Da ciò si deduce che se le parti A, JB, C, D di un tutto sono ordinatamente uguali alle parti di un altro tutto (def. 37), non risulta perciò che il primo tutto sia uguale al secondo ; bisogna che siano anche gli stessi T ordine e il modo di posizione delle parti nel tutto (def. Ili, 9). From this it follows that if the parties A, JB, C, D of a whole are neatly equal to the parts of another round (final 37), it is not, therefore, that the first round is equal to the second; must also be T the same order and position of the parties in the way of everything (def. Ill, 9). Può anche darai che il tutto ABCD sia identico al tutto A'ITC'D'* ma non sia identico al tutto D* C1 A' inverso al prece- dente. It can also give you the whole ABCD is identical to all A'ITC'D '* but not identical to the whole D * C1 A' reverse the previous year. E perciò quando diciamo forme uguali le dobbiamo intendere tali nell'ordine in cui sono uguali, dato, come dobbiamo suppore da principio e in generale, che in un altro ordine non siano uguali. And so when we say we are to understand these forms of the same order they are equal, since, as we must presume from the beginning and in general, in another order are not equal. Es. 1. Example 1. Colle stesse pietre di mosaico di colore diverso e supposte uguali ri- spetto agli altri loro contrassegni si possono formare diversi mosaici. Colle very stones of the mosaic of different color and suppositories equal compared to their other re-marks can form different mosaics. Possono es- sere poste nello stesso ordine rispetto alla loro successione e in modo differente, (formando disegni diversi) ; o nello stesso modo (formando lo stesso disegno.) e in or- dine differente. They can eg be-placed in the same order with respect to their sequence, and in a different way, (forming different designs), or in the same manner (forming the same design.) And in or-dyn different. La differenza di ordine è data in tal caso dalla differenza di colore. The difference in order is given in this case by the difference in color. Es. 2. Example 2. Coi pezzi di un bicchiere rotto unendoli insieme in un dato ordine e in un dato modo si ottiene il bicchiere primitivo (fatta astrazione dalie leggi fisiche), ma unendoli altrimenti si ottiene in generale un altro tutto non identico al bicchiere dato. With pieces of broken glass by uniting together in a certain order and in a certain way you get the original glass (quite apart dahlias physical laws), but uniting them otherwise you'll get another round in general not identical because the glass. 5. 5. Corrispondenza univoca, e nel medesimo ordine fra più gruppi. One correspondence, and in the same order among multiple groups. 40. 40. Def. Def. I. I. Quando tra gli elementi A e X, B e 7, C e Z ecc., che appar- tengono rispettivamente ai gruppi (A) e (^4') esiste o si stabilisce una rela- zione qualsiasi comune (def. IV, 8) e tale che dato un elemento del primo gruppo qualunque (def. Vili, 13) sussista qnesta relazione rispetto ad uno o più elementi del secondo gruppo, si dirà che i gruppi si corrispondono secondo la relazione suddetta. When the elements of A and X, and 7 B, C and Z etc.., That they belong to groups, respectively (A) and (^ 4 ') There is established or a report every common (def. IV, 8 ) and such that a given element of the first group any (final VIII, 13) there qnesta relationship with respect to one or more elements of the second group, it will be said that the groups correspond to each other according to the equation above. Gii elementi A e X, B e Y, C e Z ecc. Gil elements A and X, B and Y, C and Z etc.. si dicono elementi corrispondenti dei gruppi dati. corresponding elements are called groups of data. Def. Def. IL Se ad ogni elemento A del primo gruppo corrisponde un solo elemento A' del secondo, e ad ogni elemento A' di questo corrisponde lo stesso elemento A del primo e questo solo, si dice che gli elementi dei gruppi dati si corrispondono univocamente, e la corrispondenza si chiama univoca e re- ciproca o soltanto univoca 1). IL If every element of the first group corresponds to one element A 'of the second, and each element A' of this is the same item at the first and only this, it is said that the elements of the data groups correspond uniquely, and correspondence is called unique and re-reciprocal or just unique 1). 1) Noi non ci occupiamo che di queste corrispondenze univoche, e quindi quando parleremo di corrispondenze univoctie intenderemo anche reciproche. 1) We are not concerned that these unique matches, and then when we talk about matches univoctie shall understand each other well. La reiasione di corrispondenza è qualunque The correspondence is any reiasione
Page 21 Page 212t Oss. 2t Oss. ì. ì. Nessun elemento di un gruppo significa che si fa astrazione da ogni ele- mento del gruppo (7 e 29), quindi nessun eleménto non è elemento del gruppo (IV. 8;; dunque non può essere che ad un elemento del gruppo nella corrispondenza univoca corrisponda nessun elemento dell' altro gruppo. Es. 1. Così fra le forme ei loro segni vi è una corrispondenza univoca se ad ogni segno corrisponde una cosa e ad una cosa un segno (5). Oss. IL Se i grappi (A) e (#) sono ordinati e si corrispondono univocamente in modo 1 che gli elementi corrispondenti siano compresi fra elementi corrispondenti, e quando essendo limitati il primo elemento s'intenda compreso fra l'ultimo e il se- condo, e l'ultimo fra il primo e il consecutivo antecedente (24) dell1 ultimo (penultimo), 2 che agli elementi che precedono un dato elemento corrispondono elementi che precedono l'elemento corsispondente al dato, è giustificato dire che i gruppi (A) e (/?) si corrispondono nel medesimo ordine. Difatti la posizione relativa degli elementi corrispondenti nei gruppi rispetto alla definizione 21 (14, 16 def. VII, 8) è la stessa ') Def. No part of a group means that we abstract from every element of the group (7 and 29), then nothing is not an element of the group (iv. 8;; therefore can not be that a group element in the unique match matches any element of 'other group. Example 1. So between forms and their signs if there is a unique match for each sign is one thing and one thing a sign (5). Oss. THE grappi If (A) and (#) are sorted and uniquely correspond to 1 and the corresponding elements are included between corresponding elements, and when we are restricted to the first element we mean between the last and if the second-, and the last of the first and consecutive antecedent (24) dell1 last (penultimate), 2 than to the foregoing elements match a given element preceding the element corsispondente to the data, it is justified to say that the groups (A) and (/?) correspond in the same order. In fact, the relative position of the corresponding elements in the groups with respect to the definition 21 (14, 16 final. VII, 8) is the same ') Def. Ilf. Ilf. Circa i gruppi (A) e (B) che soddisfano alle condizioni dell' oss. About the groups (A) and (B) that satisfy the conditions of 'oss. precedente, si dice che si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine. earlier, it says that you are uniquely and in the same order. Se è soddisfatta soltanto la prima condizione dell'osservazione II diremo che (A) e (5) si corrispondono univocamente in ordine inverso. If only the first condition is satisfied we say that observation II (A) and (5) is uniquely correspond in reverse order. Es. 2* Una serie di cose e la serie dei concetti corrispondenti (4), si corrispon- dono univocamente e nel medesimo ordine. Example 2 * A number of things and the corresponding number of concepts (4), is uniquely and correspond in the same order. Es. 3. Example 3. Se dati i gruppi ABCDE, A'B CD'E1 si fa corrispondere C' ad A, D' a J5, E1 a C, A ad D, ad E, e inversamente; i gruppi si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine. If data groups ABCDE, A'B CD'E1 it matches C 'to A, D' to J5, E1, C, A to D, E, and inversely, the groups are uniquely and in the same order. Es. 4. Example 4. Se invece nel caso precedente si corrispondono A e J5', B e D', C e -4% D e E', E e ', i gruppi si corrispondono univocamente ma non nello stesso ordine. If, however, in the previous case correspond to A and J5 ', B and D', C and -4% D and E ', E, and', the groups correspond uniquely but not in the same order. a. a. In grappi (A) e (B) ordinati che si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine o in ordine inverso ad elementi consecutivi nell'imo corri- spondono elementi consecutivi nell'altro. In grappi (A) and (B) that are uniquely arranged and in the same order or in reverse order to nell'imo consecutive elements correspond consecutive elements in the other. E inversamente; Se si corrispondono a uno a uno gli elementi consecutivi i gruppi si cor- rispondono univocamente e nello stesso ordine o in ordine inverso. Conversely, if you match one by one the items consecutive groups are uniquely cor-respond in the same order or in reverse order. Difatti se agli elementi consecutivi AB qualunque dell' uno (def. Vili, 13)2) corrispondessero elementi non consecutivi dell'altro, l'elemento X corri- spondente ad un clemente X1 compreso fra gli elementi A' e B' (def' I, 23, 24) per ipotesi non sarebbe compreso fra A e 2? In fact, if the elements of any consecutive AB 'a (def. VIII, 13) 2) corresponded nonconsecutive items of the other, the element X corresponding to a merciful X1 between the elements A' and B '(def' I, 23, 24) for hypothesis would not be included between A and 2? ei gruppi non si corrisponde- rebbero nel medesimo ordine o in ordine inverso (def. Ili e oss. II). and groups do not correspond-rebbero in the same order or in reverse order (def. Ili and oss. II). Se pòi si corrispondono ad uno ad uno gli elementi consecutivi, ad ogni elemento X compreso fra gli elementi qualunque A e B nel primo corrisponde un elemento JT compreso fra gli elementi corrispondenti A' e I? If you then correspond, one by one consecutive elements, each element X between any elements A and B in the first element corresponds to a JT between the corresponding elements A 'and I? ; e perciò anche la proprietà inversa è dimostrata (def. HI e oss. II). , And therefore also the inverse property is proved (def. HI and oss. II). b. b. Se i gruppi ordinatilo serie limitate) di prima specie ABCD....LM, A'B'C jy..t.L'M' si corrispondono univocamente, nel medesimo ordine o in ordine in- verso, in modo che di primo e secondo elemento del primo gruppo corrispon- dono ordinatamente il primo e il secondo elemento del secondo gruppo, gli ul- timi elementi si corrispondono fra loro. If the groups ordinatilo limited series) of the first species ABCD .... LM, jy .. t.L A'B'C 'M' is uniquely correspond, in the same order or in order in-line, in such a way that at first and second element of the first group correspond neatly the first and the second element of the second group, the ul-timi elements correspond to each other. 1) vedi npta, 9 e 4, cap. 1) see NPTA, 9 and 4, ch. IV. IV. 2) Questa def. 2) This final. vale sia per la serie come per il gruppo ordinato. applies both to the series as for the ordered group.
Page 22 Page 22Difatti ali1 ultimo elemento M delia serie del primo gruppo per la corri- spondenza univoca deve corrispondere un solo elemento della serie del secondo gruppo. In fact ALI1 last element M Delia series of the first group for the univocal correspondence must correspond to a single element of the series of the second group. Se ad M corrisponde un elemento X' precedente di 3f, ultimo elemento del secondo gruppo (21 e 22), l'elemento consecutivo seguente di M, ossia A (oss. II. ) deve corrispondere a un elemento consecutivo di X (a). If M corresponds to an element X 'of the previous 3f, last element of the second group (21 and 22), the element following a row of M, ie A (oss. II.) Must correspond to an element in a row of X (a) . Ma l'elemento corrispondente ad A è A'. But the element corresponding to A is A '. Ora se A' è consecutivo seguente di X*, X è M' stesso (oss. II), e il teor. Now if A 'is a row of the following X *, X is M' the same (oss. II), and the theorem. è dimostrato. is shown. Se invece A' è il consecutivo antecedente di X* (24), X' è il secondo elemento del gruppo A'#C*Z)'....M.' If A 'is the antecedent of consecutive X * (24), X' is the second element of the group A '# C * Z)' .... M. ' Ma M non è il se- condo elemento B del primo gruppo che corrisponde al secondo elemento B' del secondo per i dati stessi del teorema; dunque se X* fosse #, all'elemento B' corrisponderebbero gli elementi distinti B ed M del primo gruppo, ciò che con- traddice alla corrispondenza univoca (def. II). But if M is not the second element-B of the first group corresponds to the second element B 'the second to the data of the theorem, so if it were # X *, the element B' and B correspond to distinct elements of the first M group, which contradicts to-one correspondence with (final II). e. and. In gruppi (A), (A') corrispondentisi univocamente i sottogruppi delV uno corrispondono univocamente ai sottogruppi dell' altro. In groups (A), (A ') corrispondentisi uniquely subgroups delV a uniquely correspond to the subgroups of' other. Sia (T) una parte del gruppo (A). Let (T) a part of the group (A). Ad ogni elemento di (T) come elemento di (A) (def. V, 13) corrisponde un elemento di (A'), e tutti gli elementi in (A') che corrispondono a quelli di (T) formano un gruppo (T) che è parte di (A'} (def. V, 13). Difatti ad un elemento Xdi (A) che non appartiene a (T) non può corrispondere in (A') un elemento di (T) perché a questo corrisponderebbe in (T) un altro elemento diverso da X, perché X è fuori di (T) (def. VI, 13) con- tro Tipotesi della corrispondenza univoca (def. II). Supponiamo ora che a (T) corrispondano i gruppi diversi (7*), (7") di (A). Perché siano diversi bisogna che l'uno contenga almeno un elemento X' fuori dell'altro, altrimenti (Tf) è (T") sarebbero lo stesso gruppo (#, 29). Sia X' contenuto in (2*) e fuori di (T"). All'elemento X corrispondente di -XMn (T) corrisponderebbero e l'elemento X in (T') e un altro elemento diverso da X9 in (Z7"), il che è pure contro l'ipotesi. d. In gruppi ordinati (A) e (A') corrispondentisi univocannente, nello stesso ordine o in ordine inverso, ad un sottogruppo dell'uno corrisponde un solo sot- togruppo deW altro. In gruppi che si corrispondono univocamente, ad un sottogruppo (I7) di (A) corrisponde un solo sottogruppo (T') di (A1) (e). Ma i gruppi (A) e (A') si corrispondono anche nel medesimo ordine o in ordine inverso, e quindi a ele- menti consecutivi dell' uno corrispondono elementi consecutivi dell' altro (a). Se A e B sono elementi consecutivi di (I7) e quindi di (A) (def. II, 27), gli elementi corrispondenti A'e in (A') appartengono a (T) (e). Dunque (T) è formato da elementi consecutivi di (A') epperciò è un sottogruppo di (A) (def II, 27). e. Gruppi corrispondenti univocamente ad un altro gruppo si corrispon- dono univocamente fra loro. Siano (A), (A') i gruppi corrispondenti univocamente al gruppo (A"). Ad ogni elemento X del primo corrisponde un elemento ^X" del terzo, ea que- sto elemento X" corrisponde un elemento X* del secondo. In questo modo si fa corrispondere l'elemento X all'elemento X', e inversamente all'elemento X P elemento X per mezzo del terzo gruppo (A"). Difatti rispetto al solo concetto di corrispondenza univoca X e X" si possono ritenere uguali fra loro, poiché non viene considerata la loro diversità, così X' e X", e quindi anche X e X' (e, 8): mentre altri elementi YJ F, Y", corrispondenti possono riguardarsi di- For each element of (T) as an element of (A) (def. V, 13) corresponds to an element of (A '), and all the elements in (A') that correspond to those of (T) form a group ( T) which is part of (A '} (final V, 13). In fact, to an element XDI (A) that does not belong to (T) can not match in (A') an element (T) because at this correspond in (T) another element different from X, because X is outside (T) (def. VI, 13) against Tipotesi of unique match (final II). Suppose now that a (T) match the groups different (7 *), (7 ") of (A). Why are different it is necessary that each contains at least one element X 'out of the other, otherwise (Tf) is (T") would be the same group (#, 29). Let X 'contained in (2 *) and out of (T "). The element of the corresponding X-Xmn (T) correspond, and the element X in (T') and another element different from X9 (Z7 "), which is also against the hypothesis. d. In ordered groups (A) and (A ') corrispondentisi univocannente, in the same order or in reverse order, to a subgroup of one corresponds to a single subgroup dew another. In groups which correspond uniquely, a subgroup (I7) of (A) corresponds to a single subgroup (T ') of (A1) (e). But the groups (A) and (A') is also correspond in the same order or in reverse order, and then in consecutive elements of 'a corresponding consecutive elements of the' other (s). If A and B are consecutive elements of (I7), and then of (A) (def. II, 27), the corresponding elements in A'e (A ') belong to (T) (e). Therefore (T) is formed by consecutive elements of (A') epperciò is a subgroup of (A) (final II, 27 .) and. Groups corresponding uniquely to another group is uniquely correspond to each other. Let (A), (A ') groups corresponding uniquely to the group (A "). For each element X of the first corresponds to an element X ^ "of the third, and this I-element X" is an element X * of the second. In this way the element is made to correspond to the element X X ', and inversely to the element XP element X by means of the third group (A "). In fact, compared to only concept of univocal correspondence X and X" can be considered equal to one another, is not considered because their diversity, so X 'and X ", and therefore also X and X' (and 8): while other elements YJ F, Y ', may be regarded corresponding di-
Page 23 Page 2323 versi da X, X', X" essendo rispettivamente distìnti da essi (def. I, 13; def. V, 8; oss. Ili, 9). f. Gruppi ordinati corrispondenti univocamente e nello stesso ordine ad un altro gruppo si corrispondono univocamente e nello stesso ordine fra loro. La dina, è analoga alla precedente tenendo conto della def. III. Oss. Nella corrispondenza univoca e del medesimo ordine o di órdine inverso al grappo ordinato possiamo sostituire la serie di esso e inversamente, perché in questa corrispondenza non si tien conto di ciò che distingue il gruppo dalla serie (oss. 28). 43, a. Ogni gruppo ordinato naturale si può far corrispondere univoca- mente e nel medesimo ordine ad un solo sottogruppo di un gruppo ordinato qualunque illimitato di la specie facendo corrispondere al primo elemento del primo un elemento dqto qualunque del secondo. Difatti siano (A) ABCD....M il gruppo ordinato naturale (35) e (A') = A'B'CD'^M'NN'.,., il gruppo ordinato illimitato di la specie. Posso far corri- spondere al primo, secondo, terzo.... elemento di (A) il primo, secondo, ter^ zo.... elemento di (A1) ; vale a dire ali' elemento consecutivo seguente di un elemento qualunque X di (A) posso far corrispondere l'elemento consecu- tivo seguente dell'elemento corrispondente X'. Se in questa corrispondenza al- l'ultimo elemento M di (A) corrisponde un determinato elemento M' di (4*), il teorema è dimostrato perché essendo M' dato, il gruppo A'BC'D'....M' è un gruppo limitato e perciò di prima specie (def. Ili, 39). Se invece ad M non cor- risponde alcun elemento dato di (Af), vi deve essere però un ultimo ele- mento X di (A) cui corrisponde un elemento determinato X* di (A); perché per lo meno X è A, cui corrisponde A'. Ma in (.A1) l'elemento X'ha un elemento consecutivo seguente (24) essendo il gruppo (A') illimitato di la specie (def. Ili, 39), ea questo elemento corrisponde il consecutivo seguente di X in (A), che è compreso per ipotesi fra X e M. Dunque X non può essere l'ultimo elemento di (A) cui corrisponde un elemento determinato di (A'), eccetto che X non sia I1 ultimo elemento stesso di (A). Non può essere che ad (4) corrispondano sotto- gruppi diversi (B) e (B') di (A'), uno dei quali dovrebbe contenere un elemento almeno fuori dell'altro (b, 29), e quindi ad un elemento di (A) non corrispon- derebbe un solo elemento di (B) e (ff) ossia di (A). Il teorema è dunque di- mostrato. È chiaro che la dimostrazione vale ugualmente se invece di far corri- spondere l'elemento A all'elemento A' di (A) si fa corrispondere ad un altro elemento qualunque dato X1 di (A). b. Un gruppo ordinato illimitato di la specie si può far corrispondere uni- vocamente e nel medesimo ordine ad un altro gruppo ordinato illimitato di la specie. Siano ABCD....N...., A' CD'....N'.... le serie dei gruppi dati coi primi ele- menti A e A'. Ad ogni serie limitata ABC....N della prima si può far corrispon- dere univocamente e nello stesso ordine una serie limitata ABC*..N della se- conda ed una sola facendo corrispondere i primi elementi e gli elementi con- secutivi fra loro (a)., Dunque ad ogni elemento dato N del primo gruppo cor- risponde in tal modo un solo elemento N' del secondo, e inversamente, perché 23 lines from X, X ', X "being distinct from them, respectively (def. I, 13; final. V, 8; oss. Ill, 9). F. Groups corresponding uniquely ordered in the same order, and to another group uniquely correspond to each other and in the same order. The dynamic is similar to taking into account the previous final. III. Oss. In one correspondence, and the same order or reverse order to replace the set Grappo we ordered it, and conversely, because this correspondence we consider what distinguishes the group from the series (oss. 28). 43, a. Each group can be ordered to match unique natural-mind and in the same order to a single subgroup of a group ordered any unlimited the species by matching the first element of the first element dqto any of the second. fact are (A) ABCD .... M the natural ordered group (35) and (A ') = A'B'CD' ^ M'NN '.,., the ordered group unlimited of the species. Can I corre-spond to the first, second, third .... element (A) the first, second, b ^ z .... element (A1) ; ie wings 'following consecutive element of any one element X of (A) I can match the element consecutive follow-tive of the corresponding element X'. If in this correspondence to-the last element of M (A) corresponds to a given element M 'of (4 *), the theorem is demonstrated because being M' given, the group A'BC'D '.... M' is a group limited and therefore of the first kind (final Ill, 39). If not cor-responds to M any given element of (Af), however, there must be a last ele-ment X of (A) which corresponds to a certain element X * of (A); because at least X is A, which corresponds to A '. But in (. A1), the element X'ha an element in a row following (24) being the group (A') of the unlimited species (final Ill, 39), and this element corresponds the following row of X in (A), which is included for hypothesis between X and M. Therefore X can not be the last element of (A) which corresponds to a given element of (A '), except that X is not I1 last element of the same (A). can not be that to (4) correspond to different sub-groups (B) and (B ') of (A'), one of which should contain at least one element out of the other (b, 29), and then to an element of (A) does not correspond these being only one element (B) and (ff), ie of (A). The theorem is thus shown-. It is clear that the demonstration applies equally if, instead to correspond with whichever the A element to the element A 'of (A) is made to correspond to another element of any given X1 (A). b. An ordered group of the species can be unlimited match uni-ing and quantifying and in the same order to another group ordered the unlimited species. Let ABCD .... N. ..., A 'CD' .... N '.... the number of data sets with the first elements to and A '. For each series limited .... ABC N of the first one can be uniquely correspond-ing in the same order and a limited series ABC * .. N of the sec-ond and only one by matching the first elements and the elements -consecutive with each other (a)., So at every given element N of the first group cor-responds in this way only one element N 'of the second, and conversely, because
Page 24 Page 2424 ogni elemento # (JV*) determina un solo gruppo formato dagli elementi che lo precedono e da N (JV) (def., 6, 21). Each element # 24 (JV *) leads one group formed by the elements which precede and N (JV) (def., 6, 21). Ciò vale per tutti gli elementi dei gruppi dati (i, I, 39); e per la corrispondenza delle serie di essi, ad elementi consecu- tivi dell'uno corrispondono elementi consecutivi dello stesso nome dell'altro (24) e quindi i gruppi dati si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine (a, 42). This applies to all the elements of the data groups (i, I, 39), and for matching the series of them, for consecutive elements of one-tives correspond consecutive elements of the same name of the other (24) and thus the groups data correspond uniquely and in the same order (a, 42). b*. b *. Un gruppo ordinato illimitato di la specie si può far corrispondere uni" vocamente e nello stesso ordine ad ogni gruppo ordinato illimitato contenute nel primo. Pechè ogni gruppo ordinato illimitato contenuto in un gruppo illimitato di la specie è pure di la specie (e, 39), e quindi il teor. è dimostrato (b). e. Se i gruppi ordinati (A) e (A') si corrispondono univocamente, nel me- desimo ordine o in ordine inverso, (A') è limitato o illimitato secondo che (A) è limitato o illimitato. Sia (A)^ABCD....M, (A') = A'#C7)'...jr..... Al primo elemento A di (A) (16) corrisponde uno ed un solo elemento ad es. A' dì (A) (def. Ili, 42), e al consecutivo seguente B di A in (A) corrisponde un elemento consecutivo di A1 in (A) (a. 42), ad es. il consecutivo seguente B'. Se X e X* sono ele- menti COITI spendenti qualunque (def. Vili, 13 e def. I, 26), al consecutivo se- guente Y di X, se esiste, deve corrispondere il consecutivo seguente Y' di X\ perché non gli può corrispondere il consecutivo antecedente essendo X com- preso fra A e Y (def. Ili, 42). All'ultimo elemento M di (A) corrisponde un elemento M' di (A'); e poiché M ha per consecutivo seguente A (oss. n, 42). ad A deve corrispondere il consecutivo seguente di M'. Ma se (A') non ha ul- timo elemento (22) il consecutivo seguente di M* non è A', e quindi ad A non corrisponderebbe un solo elemento di (A'), contro il dato (def. Ili, 42). Lo stesso accadrebbe se (A1) non avesse il primo elemento ed avesse l'ultimo ad es. M'; agli elementi che precedono A' in (A') (21) non corrisponderebbero elementi di (A), ea maggior ragione se (A') non avesse né primo né ultimo elemento, il che è contro l'ipotesi (def. Ili, 42). Dunque quando all'elemento B di (A) corrisponde il consecutivo seguente B di A' in (A'), il gruppo (A'), è limitato (def. I, 32 ; oss. 23). Se invece all'elemento B corrisponde l'elemento consecutivo antecedente di A' in (A') (24) basta considerare il gruppo inverso (def. 1,33; def. I, 26). Si dimostra nello stesso modo che esso è limitato, e quindi anche (A) (b, 33). Se (A) è illimitato, (Af) non può essere limitato perché lo sarebbe anche (A). Il teorema è così in ogni caso dimostrato. e. Ogni gruppo ordinato (A) che corrispoude univocamente, nel medesimo ordine o in ordine inverso, ad un gruppo naturale (A), è un gruppo naturale. Perché ogni sottogruppo di (A) corrisponde ad un sottogruppo di (A') (d, 42), il quale è limitato e non contiene alcun sottogruppo illimitato fdef. 35 e oss. 42), dunque ogni sottogruppo di (A) è limitato e non contiene alcun sot- togruppo illimitato (e), dunque e' (def. 35 e oss. 42). e". A group ordered the unlimited species can match each "ing and quantifying the same order and each group contained in the first ordained unlimited. Peche each group ordered Unlimited Unlimited contained in a group of species is also of the species (and 39) , and then the theor.. is shown (b). and. If the ordered groups (A) and (A ') is uniquely correspond, in the me-desimo order or in reverse order, (A') is limited or unlimited according as (A) is limited or unlimited. Both (A) ^ ABCD .... M, (A ') = A' # C7) '... jr ..... At the first element A of (A) (16 ) corresponds to one and only one element eg. A 'day (A) (def. Ill, 42), and the following consecutive B of A in (A) represents an element in a row of A1 in (A) (a. 42) , eg. the row below B '. If X and X * are elements spenders any copulations (def. VIII, 13, and def. I, 26), if the row-guente Y of X, if it exists, must correspond the row below Y 'of X \ because he can match the X com-row before being taken between A and Y (def. Ill, 42). the last element of M (A) represents an element M' of (A '); and since M has the following consecutive A (oss. n, 42). A must correspond to the following row of M'. But if (A ') has no thymus-ul element (22) following the row of M * is not A ', and then to A does not correspond to a single element of (A'), against the data (def. Ill, 42). The same would happen if (A1) had not had the first element and the last to es. M ', the elements preceding A' (A ') (21) does not correspond to items (A), and a fortiori if (A') had neither first nor last element, which is against the hypothesis (final Ill, 42). Therefore, when the element B of (A) corresponds to the following consecutive B-A '(A'), the group (A '), is limited (final I, 32; obs. 23). If the element B corresponds to the element consecutive antecedent of A '(A') (24) suffices to consider the inverse group (final 1.33; final. I, 26). It is demonstrated in the same way that it is limited, and therefore also (A) (b, 33). If (A) is unlimited, (Af) may not be limited because it would also (A). The theorem is thus in any case shown. and. each ordered group (A) that uniquely corrispoude, in the same order or in reverse order, to a natural group (A), is a natural group. Because each sub-group of (A) corresponds to a subset of (A ') (d, 42), which is limited and does not contain any subgroup unlimited FDEF. oss 35 and 42)., then every subgroup of (A) is limited and does not contain any subgroup Unlimited (s), and thus' (def. 35 and oss. 42). and ". Ogni gruppo ordinato (A) che ha un primo elemento e corrisponde uni" vocamente e nello stesso ordine ad un gruppo illimitato (A') di la specie^ è il- limitato di la specie. ' Each ordered group (A) that has a first element and corresponds to one "ing and quantifying and in the same order to a group unlimited (A ') of the species-^ is the limited amount of the species.'
Page 25 Page 25Dìfatti ogni sottogruppo limitato di (A) è un gruppo limitato di la spe- cie (d, 42; ee e'), dunque og|i Sottogruppo limitato di (A) col primo elemento nel primo elemento di (A) è limitato di la specie, e quindi il teorema è dimo- strato (def. WJ, e 0 S^4?X; si , ^ v ^ ?; ;: i 44. De/1. I. Quando gli elementi di un gruppo corrispondono agli elementi del gruppo stesso si dice cile1 il'g^upVio fef trasforma in sé medesimo, e si dice che la trasformazione è univoca quando ad ogni elemento del gruppo corri- sponde uno ed un solo elemento dello stesso gruppo ea questo corrisponde il primo elemento e questo solo. Si dice che la trasformazione è univoca e dello stesso ordine se il gruppo è ordinato e gli elementi corrispondenti sono compresi fra elementi corri- spondenti e ad ogni elemento X che precede un elemento qualunque Y corri- sponde un elemento X' che precede l'elemento corrispondente Y'. Def. IL II caso più setfcpliee di una tràsfortilàzìone univoca è quello in cui ogni elemento del gruppo corrisponde a sé stesso. In tal caso la trasfor- mazione si chiama corrispondenza o trasformazione di coincidenza. Oss. Nelle corrispondenze qui stabilite non si tien conto evidentemente del modo con cui sono posti gli elementi dei gruppi corrispondenti (oss. I, 38). In fact, each limited subset of (A) is a limited group of the species (d, 42; ee and '), thus og | Subgroup the limited amount of (A) with the first element in the first element (A) is limited to the species, and then the theorem is demonstrated (def. WJ, S and 0 ^ 4? X, is, ^ v ^?;;: the 44. De / 1. I. When the elements of a group correspond to elements of the group is said cile1 il'g ^ fef upVio into himself, and says that when the transformation is unique to each group element corresponds one and only one element of the same group and this is the first element and this alone. It is said that the transformation is unique and of the same order if the group is ordered and the corresponding elements are between elements corresponding to each element and any element X that precedes Y corresponds an element X 'before the corresponding element Y '. Def. II THE case of a setfcpliee tràsfortilàzìone unique is that in which each element corresponds to the group itself. In this case the transformation is called correspondence or transformation of coincidence. Oss. In matches Here we consider not established clearly the way in which places are the elements of the corresponding groups (oss. I, 38).
Page 26 Page 26CAPITOLO III. CHAPTER III. Il numero nella sua prima formazione. The number in its first formation. Numeri naturali. Natural numbers. 1. 1. Primo concetto di numero. First the concept of number. 45. 45. Def. Def. /. /. Unità si chiama una cosa qualunque X data (6) considerando che è una anziché più cose (2, oss. 8), facendo astrazione dagli altri suoi con- trassegni (9, 7). Unit is called one thing any given X (6) Whereas it is a rather more things (2, obs. 8), in isolation from its other with-trassegni (9, 7). a. a. Cose distinte considerate come unità sono uguali. Distinct things considered as a unit are the same. Invero si considerano rispetto al solo contrassegno uno (def. I; oss. III. 9); quindi il concetto uno dell'una è il concetto uno dell'altra, dunque a. Indeed we consider than just a flag (def. I, oss. III. 9), so the concept is a concept of one of the other one, therefore. (def. VI, 8). (Def. VI, 8). Def. Def. IL Dato un gruppo ordinato di oggetti ...ABCDE... THE Given an ordered group of objects ABCDE ... ... qualunque (26; 6,37), e se si considera ciascuno di questi oggetti come unità (def. I) e facendo astrazione dal modo con cui sono posti, non però dal loro ordine (7 ; def. I, 38), in modo che oggetti distinti danno unità distinte, il gruppo ordinato di unità che così risulta si chiama numero del gruppo dato 1). any (26, 6.37), and if we consider each of these objects as a unit (def. I) and abstracting from the way in which they are placed, but not by their order (7; final. I, 38), so that distinct objects damage distinct units, the orderly group of units so that it is called number of the group given 1). b. b. Gli elementi del gruppo ordinato (A) e le unità del numero cui da ori- gine sì corrispondono univocamente e nel medesimo ordine. The elements of the ordered group (A) and the units from which the number origin yes correspond uniquely and in the same order. Difatti gli elementi del gruppo e le unità del numero si corrispondono univocamente perché ad ogni elemento A del gruppo corrisponde una sola unità del numero, ea questa unità corrisponde così il solo elemento A, poi- ché è data da questo solo elemento del gruppo (def. II), inoltre a un elemento C che segue A e precede B corrisponde un1 unità che segue I1 unità corrispon- dente ad A e precede quella corrispondente a B (def. li; def. Ili, 42). In fact, the elements of the group and the units of the number will correspond uniquely because each element of the group A corresponds to one unit of the number, and this unit is thus the only element A, then-because it is given by only this element of the group (final . II), also to an element A and C which follows precedes B corresponds UN1 unit that follows I1 units corresponding to A and preceding the one corresponding to B (final them; final. Ill, 42). ti. you. Ai sottogruppi di un gruppo ordinato corrispondono i numeri che sono partì del numero corrispondente al gruppo (def. II ; d, 42 e def. II, 25). For the subgroups of an ordered group match the numbers that are left of the number corresponding to the group (def. II d, 42 and def. II, 25). Oss. Oss. II. II. L'unità è parte di tutti i numeri ( ', def. I), ed è il numero corrispon- dente ad un gruppo di un solo elemento (def. Ili, 13; 19; 26). The drive is part of all the numbers (', final. I), and is the number corresponding to a group of only one element (final Ill, 13; 19; 26). 1) Ciò non significa che ogni forma che chiameremo numero debba dedursi in questo modo (Vedi notan. 4), come non significa che ci riferiamo soltanto al numero intero finito (Vedi 2 e 3 Gap. vi). 1) This does not mean that any form which we call number should be deducted in this way (See Notan. 4), as it does not mean that we refer only to finite integer (See two three Gap. Vi). Scegliendo come def. Choosing as final. del numero la seguente: Si dice che i gruppi ordinati qualunque (A) e (B) han- no lo stesso numero quando si possono far corrispondere univocamente e nel medesimo ordine (def. ir, 42) si incontrerebbe il difetto già notato altrove che si introdurrebbe il concetto d'identità (def. VI,8), senza sapere se è in questo caso applicabile. number of the following: It is said that any ordered group (A) and (B) have the same number-no when you can match uniquely and in the same order (def. ir, 42) will meet with the defect noted elsewhere that we introduce the concept of identity (def. VI, 8), without knowing whether it is applicable in this case. Ciò potrebbe però essere giustificato facilmente. This could however be easily justified. Ma cosi il numero verrebbe introdotto come un modo di dire per esprimere il concetto della corrispondenza univoca e del medesimo ordine, che non è ancora quello di numero da noi definito (def. llt 42, def. Il e oss. I). But so the number would be introduced as a way of saying to express the concept of unique match and the same order, which is not yet what we call the number (def. 42 llt, def. And the oss. I). È chiaro poi che nella nostra genesi il numero intero in generale e in particolare quello naturale (46) deriva dalle operazioni e dai concetti determinati e comuni del cap. It is also clear that our genesis in the integer in general and in particular the natural one (46) is derived from operations and certain concepts and common cap. i. the.
Page 27 Page 272 o. Or 2. tfumerì le unità dei quali si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine, e di cui l'uno non è parte o uguale ad una parte dell'altro, sono uguali. tfumerì the units of which correspond uniquely and in the same order, and one of which is not part of or equal to a part of the other, are equal. Se (A) e (B) sono gruppi ordinati dati di elementi, (A') e ( ) le loro rap- presentazioni mentali (4), (A) e (A'), (B) e (#) si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine (es. 2, 42). If (A) and (B) are ordered groups of data elements, (A ') and () their rap-mental presentations (4), (A) and (A'), (B) and (#) correspond uniquely and in the same order (eg 2, 42). Se si tien conto di questa sola corrispon- denza come contrassegno di confronto fra i gruppi (A) e (B) (def. I, 9) e se i gruppi (A) e (B) si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine se corri- spondono univocamente e nel medesimo ordine ad (A'), e quindi rispetto al suddetto contrassegno sono uguali (def. I, 9). If one takes into account only this correspondence as a mark of comparisons between groups (A) and (B) (def. I, 9) and whether the groups (A) and (B) correspond uniquely and in the same order if correspond uniquely and in the same order to (A '), and then with respect to said marking are equal (def. I, 9). Ma se si tien conto altresì, come si deve fare in generale (def. I, 88) della diversità degli elementi, e della diversità del modo di posizione fra gli elementi e da quella che risulta dall'essere un gruppo parte o uguale ad una parte del- l'altro (def. II, 27), allora i gruppi (A) e (B) non sono più in generale uguali colla sola corrispondenza univoca e del medesimo ordine. But if one takes into account also, as you must do in general (def. I, 88) of the elements of diversity, and diversity of the way position between the elements and from that resulting from being part of a group or equal to a -part of the other (final II, 27), then the groups (A) and (B) are not in general equal glue alone and univocal correspondence of the same order. Nei numeri di (A) e di (B) considerati come gruppi dati di unità (def. I e def. II), gli elementi sono uguali (a), ed è escluso il modo di posizione fra gli elementi (def. II) mentre non è escluso il terzo contrassegno di confronto. In the numbers of (A) and (B) considered as groups of data units (def. I and final. II), the elements are equal (a), and is excluded the way position between the elements (final II) while it is not excluded the third mark for comparison. Se questa diversità non esiste e vi è la corrispondenza univoca e nel medesimo ordine come ammette la tesi, i numeri di (A) e (B) sono uguali (def. Ili, 9). If this difference does not exist and there is a unique match, and admits in the same order as the thesis, the numbers of (A) and (B) are equal (def. Ill, 9). Oss I. Oss I. Se il numero si fa dipendere invece dalla sola corrispondenza univoca e del medesimo ordine, o anche dalla sola corrispondenza univoca i numeri di (A) e di (B) sono ugnali se vi è nel primo caso la corrispondenza univoca del medesimo ordine, e la sola corrispondenza univoca nel secondo caso. If the number is made to depend instead only by the univocal correspondence and of the same order, or even by the single unique match the numbers of (A) and (B) are ugnali if there is in the first case the univocal correspondence of the same order, and the single unique match in the second case. 2. 2. Operazione del numerare. Operation of the number. Gruppi e numeri naturali. Groups and natural numbers. Addizione. Addition. 46. 46. Def. Def. I. I. L'operazione colla quale si determina il numero di un gruppo ordinato (def. II, 45), si chiama operazione del numerare o del contare. The operation by which it determines the amount of an ordered group (def. II, 45), is called the task of counting or numbering. Def. Def. II. II. Ai gruppi ordinati naturali (35, oss. 28) corrispondono numeri che chiameremo numeri naturali (def. II, 45). For the natural ordered groups (35, pers. 28) match the numbers that we call natural numbers (def. II, 45). Oss. Oss. I. I. Il numero nella 8ua 'prima costruzione, o il numero naturale, è runione successiva di più unità ottenute colla semplice ripetizione limitata dell'unità (def. I, oss. 35 e def. 15). The number in the 8UA 'first construction, or the natural number, is next runione more units obtained with the simple repetition of the unit limited (final I, obs. 35 and final. 15). a. a. Ogni parte di un numero naturale è pure un numero naturale (/. 39 e def. I). Each part of a natural number is also a natural number (. / 39 and final. I). b. b. I numeri naturali si possono far corrispondere univocamente e nel me- desimo ordine ai sottogruppi di un gruppo ordinato illimitato di 1* specie ed aventi con questo lo stesso primo elemento. The natural numbers can be uniquely and match in order for me desimo-subgroups of an ordered group of 1 * unlimited with this species and having the same first element. Sia (A) il gruppo naturale corrispondente ad un numero dato, (B) il gruppo ordinato illimitato di la specie. Both (A) the natural group corresponding to a given number, (B) the ordered group of the unlimited species. Il gruppo (A) si può far corrispondere univocamente e nello stesso ordine ad un sottogruppo (A') di (B) collo stesso The group (A) can match and in the same order uniquely to a subset (A ') of (B) with the same
Page 28 Page 2828 primo elemento { , 43), e quindi le unità del numero si possono far corrispon- dere univocamente e nello stesso ordine al gruppo (-4) (f. 42). First element {28, 43), and therefore the number of units can be made to correspond-ing uniquely and in the same order to the group (-4) (f. 42). e. and. Tutti i numeri naturali nel modo indicato dal teor. All natural numbers as indicated by the theorem. b formano una serie illinntata di 1* specie. b form a series of 1 illinntata * species. Segue immediatamente dalla def. Follows immediately from the def. I e da i. I and i. 39. 39. Def. Def. III. III. Chiameremo questa serie, per seguire i1 uso comune, serie natu- rale dei numeri naturali e la indicheremo col segno (I). We will call this series, to follow i1 commonly used by natural series of natural numbers and denote by sign (I). e'. and '. Ogni numero naturale si ottiene colla semplice unione successiva limitala dell'unità ad un numerò precedente nella serie (I) *) (C; def. II, ht g, 39). Every natural number is obtained by simple union limitala next to a numbered unit in the previous series (I) *) (C, def. II, ht g, 39). 47. 47. a. a. L'operazione dell'unire l'unità (e quindi successivamente delle unità di un numero') o un numero all'unità o ad un numero, è a senso unico. The operation of uniting the unit (and then subsequently the units of a number ') or a number to the unit or a number, is one-way. L'unione semplice è un'operagione a senso unico (I, 29; def. II, 11); il gruppo ordinato di unità che ne deriva può dipendere dall'ordine e dal modo con cui sono posti i suoi elementi (def I, 38). The union is un'operagione simple one-way (I, 29; final. II, 11); the ordered group of units which results may depend on the order and the manner in which are placed its entirety (final I, 38). Ma l'ordine è in tal caso già stabilito, poiché ad es. But the order is already established in this case because, for example. al tutto (ABCD) si unisce l'elemento E. at all (ABCD) joins the element E. Il numero non dipende dal modo con cui sono posti gli elementi del gruppo corrispon- dente (def. II, 45), quindi il teor. The number does not depend on the way in which are placed the elements of the group corresponding (final II, 45), then the theorem. è dimostrato. is shown. Def. Def. I. I. L'unione di un numero ad un altro numero (def. Il, 45 e def. I, 26) si chiama addizione, e il risultato si chiama somma del secondo numero al primo. The combination of a number to another number (def. The, 45, and def. I, 26) is called addition, and the result is the sum of the second issue first. I numeri dati si chiamano sommandi o addendi. The numbers are called sommandi or addenda. Ind. I. Ind. I. Useremo il segnò H- per questa operazione. We will use the H-marked for this operation. Oss. Oss. 1. 1. 11 gruppo ordinato (k)) (B)] se (A), (B) rappresentano i numeri eo rappresenta la somma af Mind. 11 ordered group (k)) (B)] if (A), (B) represent the numbers and o represents the sum f Mind. 27). 27). lud. lud. IL Indicheremo l'unità col segno 1. IL will denote the unit 1 with the sign. Ind. IH. Ind. IH. Il primo numero dopo l'unità si ottiene dall'unione dell'unità ripetuta all'unità cioè; * + l che indicheremo col segno 2 (due), e quindi: 1*1-2 (b, 9), il primo numero dopo 2 è 2 + 1 che indicheremo col segno 3 (tre), e quindi : 2+1=3 Così il primo numero dopo il tre è 3 -f 1, che indicheremo col segno 4 (quat- tro), ed avremo: 3+1=4 e cosi via. The first number after the unit is made from the drive unit that is repeated, * + l denoted by the sign 2 (two), and then: 1 * 1-2 (b, 9), the first number after 2 2 + 1 is denoted with the sign of 3 (three), and then: 2 +1 = 3 So the first number after the three is 3-f 1, which we denote with the sign of 4 (four), and we have: 3 +1 = 4 and so on. In generale dato un numero indicato con m il numero successivo della serie (I) sì indica con m 4-1. In general, given a number indicated by m the next number in the series (I) with m indicates yes 4-1. I numeri dedotti dalla ripetizione limitata dell'unità e che si seguono secondo l'ordine della serie (I) sono indicati come segue: (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11... The numbers put forward by the limited repetition of the unit and which are followed according to the order of the series (I) are indicated as follows: (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 20, 21... 20, 21 ... 100. 100. 101... 101 ... 200... 200 ... i) il nostro gruppo ordinato illimitato qualslasi che ha un primo elemento (26) e nel quale ogni elemento dato ha un solo elemento consecutivo seguente e uno antecedente (24) soddisfa alle prime 8 delle 9 proprietà che il sig. i) our group ordered unlimited qualslasi which has a first element (26) and in which each data element has only one element and a row following one preceding (24) satisfies the first 8 of the 9 properties that Mr. Peano da come assiomi nei suoi Arith. By Peano axioms as in his Arith. Principia (1889) per il segno N (numero), alcuni dei quali sono però proprietà logiche generali come ocra/ se a=b si deduce b=a; se ab, 6=c si deduce a=c, che corrispondono alle proprietà I, def. Principia (1889) for the sign N (number), some of which are, however, as general logical properties ocher / if a = b we deduce b = a; if ab, c = 6 we deduce a = c, which correspond to the properties I , def. Vi ; d. I d. e del n 8. and No. 8. La proprietà 5 1 del sig. 5 1 The property of Mr. Peanò esprime che l'uguaglianza ha luogo relativamente al solo concetto dì numero, (vedi l'oss. IV, del nura. 47). Peano which expresses the equality takes place only with regard to the concept of number, (see the oss. IV, the nura. 47). La proprietà 9 ( i) esprime appunto la nostra proprietà I. Property 9 (i) precisely expresses our property I. del n. of n. 39. 39. Come ulteriore pro- prietà caratteristica del gruppo ordinato illimitato che ha un primo elemento noi abbiamo invece la def. As a further pro-properties characteristic of the ordered group unlimited which has a first element we have instead the final. di serie e quindi di gruppo illimitato di i. Series and then the group unlimited. specie (Vedi nota n. 39 e 50/. species (See note no. 39 and 50 /.
Page 29 Page 2929 e si chiamano successivamente uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove, dieci, undici.,, venti, ventuno... 29 and are named after one, two, three, four, five, six, seven, eight, nine, ten, eleven., Twenty, twenty-one ... cento, cento e uno... one hundred, one hundred and one ... duecento... two hundred ... l) Def. l) Def. IL I segni (cifre) che servono ad indicare i numeri si chiamano pure numeri 2). THE Signs (numbers) that serve to indicate the numbers are called even numbers 2). Oss. Oss. IL I punti in (I) occupano il posto degli altri numeri della serie. THE points in (I) take the place of the other numbers of the series. Oss. Oss. III. III. Si usano pure delle lettere ad es. We also use the letters eg. a, 6, ecc. a, 6, etc.. per indicare i numeri della serie (i; ; ma mentre ad es. 9 indica un numero di posto determinato della serie (I), a indica invece un numero qualunque di essa (def. VII!, 13, 19), ed a si chiama pure un numero. Quando però si dice che è dato un numero a di (I) s' intende in generale un numero qualunque di (I) (def, Vili, 13 e 19), ma che rappresenta in ogni operazione lo stesso numero di (I). b. Se aeb rappresentano lo stesso numero di (I), aeb, considerati come dite numeri, sono uguali. Difatti possono sostituirsi uno all'altro, epperò scriveremo a = b da cui b = a (b, 9 ; d, 8). Oss. IV. Ci basta pei soli numeri il segno = non considerando tra essi altra uguaglianza (oss. I, 9) 3). to indicate the numbers of the series (i;; but while eg. 9 indicates a number of determined place of the series (I), indicates any number of it (final VII!, 13, 19), and is also calls a number. When, however, is said to be given a number of (I) s' mean in general any number of (I) (final, VIII, 13 and 19), but which represents in each operation the same number of (I). b. If a and b represent the same number of (I), and b, say, considered as numbers, are equal. fact can substitute for one another, epperò write a = b where b = a (b, 9 d, 8). Oss. IV. It just numbers pei just the sign = between them without considering other equality (oss. I, 9) 3). _ , e. _, And. Due numeri uguali ad un terzo sono uguali fra loro* Cioè se az= , = c si ha azsc. Two numbers equal to one-third are equal to each other * That is, if z =, = c we have azsc. Se a, b, e sono segni di uno stesso gruppo di unitala proprietà è conse- guenza di , 9. If a, b, and are signs of a same group of unitala property is consequence of, 9. Se invece a, bee sono gruppi di unità distinti allora la pro- prietà è conseguenza del teor. If, however, a, b and c are distinct groups of units then the pro-property is a consequence of the theorem. e, 8. and, 8. Oss. Oss. V. V. Se bastasse la sola corrispondensa univoca o del medesimo ordine per l'uguaglianza dei numeri (oss. I, 45) aeb; beo sì corrisponderebbero nel secondo caso univocamente e nel medesimo ordine, e quindi anche aee (f, 42) e quindi a~ e. If enough alone corrispondensa unique or of the same order by the equality of the numbers (oss. I, 45) and b; beo yes would correspond in the second case uniquely and in the same order, and therefore also EEE (f, 42) and then to ~ and. Così se bastasse la sola corrispondenza univoca (oss. I, 45). So if enough alone-one correspondence (oss. I, 45). d. d. Se az=a',b=sb' si ha Ossia: Se a numeri ugnali si sommano numeri uguali si ottengono nu- meri uguali. If z = a ', b = sb' That you have: If ugnali numbers to add up the same numbers are obtained nu-mer alike. Difatti siano (A) e (A'), (B) e (S) i gruppi corrispondenti ai numeri aa \ be b'. In fact, are (A) and (A '), (B) and (S) groups corresponding to the numbers aa \ b and b'. Il gruppo che si ottiene dall'unione del gruppo (B) al gruppo (A)/ cioè [(A) ( )], rappresenta il numero a + b (oss. I); il gruppo [(A') (#)] rappresenta il numero a' + b'. The group which is obtained by the union of the group (B) to the group (A) / namely [(A) ()], represents the number a + b (oss. I); the group [(A ') (#) ] stands for the '+ b'. Ma siccome a = a\b=:b' si ha a -f- b = a' -f- b' perché l'addi- zione è a senso unico (a) e non si tien conto d'altra parte della diversità di posizione fra le unità dei numeri e quindi dei gruppi (def. II, 45 e 41). But since a = a \ b =: b 'has a-f-b = a'-f-b 'because the addi-tion is one-way (a) and no account is taken of diversity on the other hand position between the units of the numbers, and then the groups (final II, 45 and 41). 1) Qui, se io non avessi bisogno dei concetti due, tre, ecc. 1) Here, if I did not need the two concepts, three, etc.. e se non fosse poi opportuno adope- rarli nel discorso, mentre li abbiamo esclusi fino ad ora, avrei potuto lasciare impregiudicata la questione del sistema di numerazione. and if not then should Adope rarli-in speech, while we have excluded up to now, I could leave open the question of the number system. Trattando completamente la teoria dei numeri interi, que- sto punto dovrebbe essere trattato con maggiore diffusione mentre altre considerazioni precedenti trattando esclusivamente questa teoria potrebbero essere tralasciate o semplificate. Fully treating the theory of integers, is now safe should be treated with greater spread and other considerations before treating only this theory may be omitted or simplified. 2) i tedeschi hanno due vocaboli distinti pei numeri. 2) the Germans have two words pei distinct numbers. Per quelli che si ottengono contando gli oggetti di un gruppo usano la parola Anzahl per i segni che li indicano il vocabolo zahl , ei due concetti sono ben distinti. For those that are obtained by counting the objects in a group use the word Anzahl for signs that show them the word Zahl, and the two concepts are distinct. 3) Questa Indicazione diversa di uno stesso numero occorre spesso nelle operazioni numeriche quando prima o durante un'operazione si considera un numero che pure appartenendo alla serie (i) ed essendo sempre lo stesso, è indeterminato. 3) This indication of a different number often occurs in the same numerical operations before or during an operation when you have a number that also belong to the set (s) and being always the same, is indeterminate. E se vi e ancora un altro numero indeterminato, può darsi che eseguite le operazioni si trovi per l'imo e per l'altro lo stesso numero di (I). And if there is yet another undetermined number, it may be that all is done you are the ith and the other the same number of (I). Ciò avviene anche per es. This also happens eg. nelle dimostrazioni per assurdo quando i risultati di due operazioni numeriche si vo- gliono dimostrare uguali, ammettendo che non rappresentino lo stessa numero di ([) ed indicandoli perciò nella dimostrazione con segni diversi. demonstrations ad absurdum when the results of two numerical operations are vo-gliono prove equal, it might not represent the same number of ([) and so highlighting them in the demonstration with different signs.
Page 30 Page 3030 Oss. 30 Oss. VI. VI. Se bastasse la sola corrispondenza univoca e ne! If enough alone and unique match! medesimo ordine per l'uguaglianza dei numeri (oss. 1,45) i gruppi aea' ; be V si corrisponderebbero uni- vocamente e nel medesimo ordine, e quindi anche i gruppi a + a', b + V perche questi non contengono altri elementi che non siano in ae a', oeb' (II, 29), e perciò anche in tal caso af- af = -f '. same order by the equality of the numbers (oss. 1.45) groups a and a '; b and V correspond-ing and quantifying each and in the same order, and therefore also the groups a + a', b + V because these do not contain other elements that are not in a and a ', EPO' (II, 29), and therefore also in this case f =-f-f '. Slmilmente se bastasse la sola corrispondenza univoca (ose. I, 45;. Def. IIL Gli elementi di un gruppo ordinato naturale che corrisponde al numero n corrispondono successivamente ai numeri 1, 2.., nl,n delle serie, (I) (a, 43; i 39; e, 46; 6, 43). L'ultimo elemento lo diremo perciò l'elemento nno (ennesimo) del gruppo. Def. IV. Ripetere un'operazione b (o un numero b di) volte significa che considerata ogni ripetizione (15) come un oggetto rappresentante l'unità, il numero che si ottiene da queste ripetizioni è bl). Similarly, if only enough unique match (ose. I, 45,. Def. IIL The elements of an ordered group which is the natural number n then correspond to the numbers 1, 2 .., nl, n series, (I) ( , 43, to 39, and 46, 6, 43). The last element we will say so the element nno (another) group. Def. IV. Repeat operation b (or a number of b) times means that considered each repetition (15) as an object representing the unit, the number you get from these repetitions is bl). e. and. La somma a -f- b è un numero che si ottiene sommando successivamente le unità di b ad ae ai numeri che cosi si ottengono. The sum a-f-b is a number which is obtained by adding thereafter the unit to a and b so that the numbers are obtained. Siano (A) e (B) i gruppi corrispondenti ai numeri aeb\ [(A)(B)} rap- presenta il numero a -f- b (oss. I). Are (A) and (B) the groups corresponding to the numbers a and b \ [(A) (B)} repre-sents the number a-f-b (oss. I). Il numero af-1 si ottiene unendo ad (4) il primo elemento di (B) (def. II, 45 e ind. Ili); il numero (a -4-1)4-1 unendo al gruppo così ottenuto il se- condo elemento di (B). The number f-1 is obtained by joining to (4) the first element of (B) (def. II, 45 and ind. Ill), the number (a -4-1) 4-1 joining to the group so obtained if the - second element (B). Ripetendo l'operazione b volte, useremo tutti gli ele- menti di (B). Repeating the operation b times, we will use all elements of (B). Ma il gruppo cosi ottenuto è [(A) (B)] (a. 40), dunque e (def. II, 45). But the group so obtained is [(A) (B)] (a. 40), and therefore (def. II, 45). Oss. Oss. VII. VII. Bisogna tener presente che: (A)(B) EE^A! Keep in mind that: (A) (B) EE ^ A! A2...Aa ) (#1 B2..Bb ) = (Al A2...A BJ (52 B3 B4... Bb ) ecc. ==Al A2 A3..Ba Bl B2..Bi (a, 40 e def. li, 45). f. Dati tre numeri a, by e si ha: (a -f- ) -fe iz: a -J- (6 -f- c) = -f -fe (legge associativa). Essa vale anche per un numero qualunque di sommandi (def. II. 45 e a. 40; e, 46)2). A2 ... Aa) (Bb .. # 1 B2) = (Al A2 ... A BJ (52 B3 B4 ... Bb) etc.. == Al A2 A3 Bl B2 .. Ba .. Bi (a, 40 and final. li, 45). f. Given three numbers a, by and has: (a-f-)-f iz: a-J-(6-f-c) =-f-f (associative law ). It also applies to any number of sommandi (final II. 45 and a. 40; and, 46) 2). Ose. Ose. Vili. VIII. D'ora innanzi in questo capitolo e nei seguenti finché non diremo diversamente considereremo soltanto i numeri naturali e li chiameremo perciò anche nunreri soltanto. Henceforth in this chapter and the following until we say otherwise we will consider only the natural numbers and call them so well nunreri only. 48. 48. a. a. In un gruppo ordinato naturale dato, ogni elemento può essere con- siderato al posto di ogni altro mediante lo scambio di posto di elementi con- secutivi. In the natural order as a group, each element can be with-siderato instead of each other through the exchange of post-consecutive elements. 1) Ciò dimostra che per lo meno non è chiara l'osservazione di G. 1) This shows that at least is not clear observation of G. cantar (Zeitschrift far Philo- sophie v. Pielite, voi. 91 pag. 252) ove dice : l'addizione di uni (Einsen) non può servire alla definizione del numero, perché non si può dire quante volte devono essere sommati senza il numero stesso che si vuoi definire. sing (Zeitschrift to Philo-sophie st. Fichte, you. page 91. 252) where it says: the addition of one (Einsen) can not serve to define the number, because you can not say how many times must be added without the number the same that you define. Il numero in generale secondo la nostra def. The number in general, according to our def. II, n. II, n. 45, o ottenuto come gruppo ordi- nato dalP operazione dell'unire successivamente un oggetto ad un altro, senza che vi sia bisogno di dire quante volte noi ripetiamo questa operazione. 45, or obtained as a group task uniting ordinary dalP born after an object to another, without any need to say how many times we repeat this operation. Se si tratta poi di un numero particolare si può ottenere col l'addizione di unità. If it is then a particular number can be achieved with the addition of units. H numero 2 si ottiene ripetendo una volta Punita, il numero 3 ri- petendo due volte Punita, e cosi via. H number 2 is obtained by repeating once Punished and the number 3 re-petendo twice Punished, and so on. E supposto determinato cosi un numero qualunque che indico con n \, il numero n si ottiene da l ripetendo nl volte Punita. And assuming certain so any number that I indicate with n \, the number n is obtained by repeating the nl times Punished. 2) H. 2) H. Grassmann ammette la legge associativa dei numeri, come segni pel seguente caso : a+6) .4- i = a -r- + l come anchefa + b) -4- e = a-4-ft-tc (Lehr. d. Arith. 1861, p. 2e 4). Grassmann's law allows membership numbers, as signs PEL following case: a +6) .4 - i = a-r-+ l as anchefa + b) -4 - e = a-4-ft-tc (d Lehr. . Arith., 1861, p. 4 second). vedi anche ad es. see also eg. HanKel 1 ee %el- (Das zfihlens und. Messen. Phil. Auf. Eduard Zeller), Pcano (1. e.), ecc. Hankel and 1% ee-(und Das zfihlens. Messen. Phil. Auf. Eduard Zeller), Pcano (1. And.), Etc..
Page 31 Page 3131 La proprietà è chiara per il gruppo ordinato AB, che corrisponde al nu- mero 2 (def. I, 46; ind. Ili, 47), basta considerare prima B e poi A (3 e 20), ossia scambiare nella nostra mente il posto di B con quello di A (def. I, 33). 31 The property is clear for the ordered group AB, which corresponds to the number 2 (def. I, 46; ind. Ill, 47), just consider the first B and then A (3 and 20), ie share in our minds the place of B with that of A (final I, 33). Supponiamo che ciò valga per il gruppo di elementi ordinato ABCD...MN (1) che corrisponde ad un numero n, e consideriamo il gruppo ABCD... Suppose that this applies to the group of items ordered ABCD ... MN (1) which corresponds to a number n, and consider the group ABCD ... MNNT = (ABCD...M) (NN1) (2) (a, 40), cui corrisponde il numero n -f- 1 (ind. Ili, 47). MNNT = (ABCD. .. M) (NN1) (2) (a, 40), which corresponds to the number n-f-1 (ind. Ill, 47). Lasciando al medesimo posto in questo gruppo gli elementi ehe prece- dono NN*, per quanto si è detto sopra, si possono scambiare fra loro N e N', e si ha il gruppo: (ABCD... M)(NN*) = (ABCD... MN1} N= ABCD... MN'N (a, 40). E siccome per ipotesi il posto di N si può scambiare nel gruppo (1) col posto di qualunque elemento che lo precede, così potremo scambiare N1 in ABCD... MN1 col posto di qualunque altro elemento del gruppo ABCD... M; e poi considerato un elemento al posto di JV* in ABCD... MN'N lo potremo scambiare con N, che è il posto di N* nel gruppo dato (2). Ma la proprietà è vera per AB, è vera dunque per ogni gruppo naturale (a, 43; ie 19 39). b. Cambiando l'ordine degli elementi di un gruppo ordinato J) si ottiene un gruppo che corrisponde univocamente al primo facendo corrispondere ogni ele- mento a sé stesso. Leaving the same place in this group the elements EHE previous gift NN *, as has been said above, can be exchanged between their N and N ', and there is the group: (ABCD. .. M) (NN *) = (MN1 ABCD. ..} N = ABCD ... MN'N (a, 40). And as for the hypothesis place of N can be exchanged in the group (1) with the place of any element which precedes it, so we can exchange in ABCD N1 ... MN1 with the place of any other element of the group ABCD ... M, and then considered an element in place of JV * in ABCD ... MN'N we can exchange with the N, which is the place of N * in the given group (2). But the property is true for AB, it is therefore true for every natural group (a, 43, ie 19 39). b. Changing the order of the elements of an ordered group J) get a group that uniquely corresponds to the first matching each ele-ment to himself. Perché ogni elemento dell' uno è elemento dell' altro (II, 29), ossia non vi è alcun elemento dell'uno che non sia elemento dell'altro; e quindi ad ogni elemento dell'uno, corrispondendo a sé stesso, corrisponde un elemento del- l'altro, vale a dire si ha fra 5 due gruppi una corrispondenza univoca (def. II, 42). Because every element of 'is an element of' other (II, 29), ie there is no evidence of one who is not part of the other, and therefore every element of one, corresponding to itself, is a -element of the other, that is to say it has two groups of between 5 a unique match (final II, 42). e. and. Dato un gruppo ordinato naturale scambiando di posto degli elementi consecutivi si ottengono tutti i gruppi ordinati formati cogli elementi del primo. Given an ordered group instead of exchanging the natural elements that produce all the consecutive ordered groups formed with the elements of the first. Sia dapprima dato il gruppo ordinato AB =(A), che contiene i soli ele- menti A e B. Is first given the ordered group AB = (A), which contains only the elements A and B. Sia (A') un altro gruppo ordinato con questi stessi elementi. Is (A ') another group ordered with these same elements. Se il primo elemento A1 di (Ar) è A, siccome (A') deve avere anche l'elemento B, si ha (A') = (A) (II, 6, 29). If the first element of A1 (Ar) is A, as (A ') must also have the element B, we have (A') = (A) (II, 6, 29). Se invece Af è B, allora # secondo elemento di (A') è A, perché non contiene altri elementi oltre A e B (II, 29). However, if Af is B, then # the second element of (A ') is A, because it contains elements other than A and B (II, 29). Un terzo gruppo è escluso perché supposto che esista non può essere che (A) o (A')5 dovendo essere A o B il primo elemento di un terzo gruppo cogli elementi A, B, e quindi -B o A il secondo elemento, non potendo averne altri (IL 29). A third group is excluded because supposed that there can not be that (A) or (A ') 5 having to be A or B the first element of a third group with the elements A, B,-B or A, and then the second element, not being able to have others (IL 29). Supponiamo ora che il teorema sia vero per un gruppo naturale: (A) = ABCD...X e sia dato un gruppo indipendentemente dal numero che rappresenta (B)=ABCD...NP = (A)P (a, 40) e consideriamo un altro gruppo ordinato formato cogli elementi di (B), cioè : j) Cambiando l'ordine ecc. Suppose now that the theorem is true for a natural group: (A) = ABCD ... X and is given a group regardless of the number that represents (B) = ABCD ... = NP (A) P (a, 40) and consider a more ordered group formed with the elements of (B), ie: j) changing the order etc. significa considerare gli elementi dati in qn ordine diverso- means considering the data items in different order qn-
Page 32 Page 32In (#) l'elemento P occupa un dato posto, e si può scambiare con P me- diante scambi di elementi consecutivi (a\ e si abbia così il gruppo ordinato: ( *)== A* BTC'...N"P ove A"B"C"...N" sono gli elementi di (A) indipendentemente dal loro ordine (II, 29) Facendo gli scambi inversi da (#') si ottiene ( ') (def. I, 33), Basta osservare che consideriamo P successivamente nei posti ad es. degli elementi che lo seguono in (#) (24, , 35); che quando P occupa il posto del suo conse- cutivo antecedente, ogni elemento che seguiva P è pensato nel posto del suo consecutivo antecedente ; e che poi si considera P successivamente nel posto degli elementi precedenti (21) finché occupa il posto di P, e che dopo questi scambi ogni elemento che seguiva dapprima P occupa il posto del consecutivo seguente nell'ordine dato; vale a dire dopo l'operazione ogni altro elemento che non sia P o P1 occupa lo stesso posto (a. 33). L'operazione inversa ci da perciò il gruppo primitivo (JBJ. Dunque (#) si ottiene da (B") con uno scambio di elementi consecutivi, ma (#') si ottiene per ipotesi colla stessa operazione da (B), dunque (#) si ottiene da (J5) con scambi di elementi consecutivi. Dunque se il teorema vale per il gruppo (A) vale per il gruppo (A) P; ma esso vale per il gruppo AB, dunque vale per tutti i gruppi ordinati naturali (a, 43, ie I, 39). d. Se due gruppi ordinati si corrispondono unìvocamente, ad ogni elemento dell'uno sì può far corrispondere un elemento dell'altro scelto ad arbitrio, mantenendo la corrispondenza univoca fra gli altri elementi. Supponiamo che X e Y siano elementi qualunque del primo gruppo (def. Vili, 13) (che sono sempre distinti quando non si dice diversamente (oss. I, 8)); e ad essi corrispondono gli elemenli X' e T del secondo gruppo. Siccome pos- siamo scambiare di posto Y con X (a) ali' elemento Y corrisponderà con questo scambio l'elemento X' nel secondo gruppo, perché gli elementi X e Y, X*e Y sono considerati separatamente dagli altri (7), i quali si corrispondono come prima. Facendo dunque corrispondere ad X l'elemento Y, i rimanenti elementi (7) si corrispondono univocamente. Il teor. è dunqu$ dimostrato. d'. Se in due gruppi ordinati naturqli che si corrispondono univocamente ab elementi qualunque dell'uno si fanno corrispondere b elementi dell'altro, i rimanenti elementi si corrispondouo univocamente. Siano Al Ay.. Ab ... Am, A\ A'2... A'*... Am i due gruppi dati. Ad un elemento del primo ad es. Ax si può far corrispondere un ele- mento qualunque dato X del secondo, i rimanenti elementi si corrispondono univocamente (d). Facendo astrazione dagli elementi Aì e X, e ripetendo l'o- perazione b volte pei gruppi dati dai rimanenti elementi (def. IV, 47), i gruppi di elementi rimanenti dopo ciascuna di queste ripetizioni si corrispondono uni- vocamente (d)9 e quindi anche dopo la b* ripetizione (def. Ili, 47; ?, 39). e. Se gli elementi di due gruppi ordinati naturali si corrispondono univo - camente e nel medesimo ordine, cambiando l'ordine di uno qualunque di essi, si corrispondono univocamente. Siano ABC... M, ABC...M' i gruppi dati, e sia A' 'C'M" un altro gruppo ordinato ottenuto cogli elementi del primo. Siccome il gruppo A"ff' ? .] " i In (#) the P element occupies a certain place, and you can share with me P-exchanges by means of successive elements (a \ and so the group has ordered: (*) A * BTC == 'N ... "P where A" B "C" ... N "are the elements of (A) regardless of their order (II, 29) Taking the inverse of exchanges (# ') we obtain (') (def. I, 33 ), then P is enough to observe that we consider in such places. of the elements that follow in (#) (24, 35), when P takes the place of its conse-cutivo before, each element in the thought that P is followed instead of its previous row, and then P is considered later in the place of the previous items (21) while holding the post of P, and that after this exchange that followed each element P takes the place of the first row following the order given; ie after the operation of any other factor other than P or P1 occupies the same position (a. 33). The reverse gives us therefore the primitive group (JBJ. So (#) is obtained from (B ') with an exchange of consecutive elements, but (# ') is obtained by hypothesis with the same operation from (B), then (#) is obtained from (J5) with exchanges of consecutive elements. So if the theorem is true for the group (A ) applies to the group (A) P, but it applies to the AB group, therefore, applies to all natural ordered groups (a, 43, ie I, 39). d. If two ordered groups correspond uniquely, to each element of one so it can match an arbitrarily chosen element from the other, keeping the other one correspondence between the elements. Suppose that X and Y are any elements of the first group (def. VIII, 13) (which are always different when are said differently (oss. I, 8)), and they correspond to the elemenli X 'and T of the second group. Since we may exchange the places of Y with X (a) wings' Y element corresponds with this exchange element X 'in the second group, because the elements X and Y, X * and Y are considered separately from the others (7), which correspond as before. By then the element Y correspond to X, the remaining elements (7) is uniquely match. the theorem. $ dunqu is shown. d '. If naturqli sorted into two groups that correspond uniquely ab elements of one should make any of the other elements correspond to b, the remaining elements are uniquely corrispondouo. Let Al Ay. . Ab Am ..., A \ A'2 ... A '* ... Am the two data groups. For an element of the first example. Ax can match an ele-ment of the second any given X, the remaining elements correspond uniquely (d). By abstracting from the elements AI and X, and repeating b times the o-operation pei data sets from the remaining elements (def. IV, 47), groups of elements remaining after each of these repeats each correspond-ing and quantifying (d) 9 and therefore even after the repetition b * (final Ill, 47;?, 39). and. If the elements of two ordered groups natural correspond univocal - cally and in the same order, changing the order of any one of them, will correspond uniquely. Let ABC ... M, ABC ... M 'data groups, and both A' 'C'M "another ordered group obtained with the elements of the first. Since the group A 'ff'?.] "the
Page 33 Page 33può far corrispondere univocamente al gruppo ABC... can match uniquely to the group ABC ... M (6), e A'ffC...M' per dato corrisponde univocamente al gruppo ABC..M, i gruppi A"ff'C?'.. M", A'B'C..M' si corrispondono univocamente (e, 42). M (6), and A'ffC ... M 'to figure corresponds univocally to the ABC group .. M, the groups A "ff'C?' .. M", A'B'C .. M 'correspond univocally (and 42). f. f. Un gruppo naturale non può corrispondere univocamente ad un suo sottogruppo. A natural group may not correspond uniquely to a subgroup. Ciò è evidente per il gruppo AB perché non può corrispondere univo- camente ad un solo elemento A o B, altrimenti A o B non avrebbe elemento corrispondente nel sottogruppo dato, che in questo caso sarebbe di un solo elemento (def. Ili, 13 e oss. I, 42). This is evident for the AB group because it can not match univocal-cally to a single element A or B, or A or B would not have corresponding element in the given subset, which in this case would be of only one element (final Ill, 13 and oss. I, 42). Se tale proprietà ha anche un gruppo (4) si dimostra facilmente che l'ha anche il gruppo (A) B, cioè il gruppo dato, dal- l'unione di un altro elemento B al gruppo (A). If this property also has a group (4) is easily demonstrated that also has the group (A) B, that is, the group given, by-the union of another element to the group B (A). Supponiamo il contrario, e sia (A') una parte di (A) B, tale che si possano far corrispondere univocamente gli elementi di (A') con quelli di (A) B. Suppose the contrary, and both (A ') a part of (A) B, that can be uniquely to match the elements (A') with those of (A) B. Si presentano due casi: o B non è compreso in (A9) o lo è. We present two cases: either B is not included in (A9) or it is not. Nel primo caso all'elemento B si può far corrispon- dere un elemento qualunque ad es. In the first case the element B can correspond-ing to any one element eg. l'ultimo di (Af) (d), supposto che (A') sia ordinato. the last of (Af) (d), assuming that (A ') is ordered. Indicando questo elemento con B' e con (A") la parte rimanente di (A'), (A") corrisponderebbe univocamente ad (A) (d) contro l'ipotesi. Indicating this element with B 'and with (A ") the remaining part of (A'), (A") corresponds uniquely to (A) (d) against the hypothesis. Se invece B fosse compreso in (A'), stabilita la corrispondenza fra (A1) e (A) B, si po- trebbe far corrispondere B a sé stesso (d); e quindi di (A') rimarrebbe una parte (A") che corrisponderebbe anche in questo caso ad (A) (d) contro l'ipotesi. 11 teorema se vale per (A) vale anche per (A) B ; ma vale pel gruppo di elementi AB, dunque vale per tutti i gruppi naturali ( , 43; ee I, 39). g. Se due gruppi naturali si corrispondono univocamente e nello stesso or- dine essi rappresentano numeri uguali. Non può darsi che due gruppi naturali e quindi anche due numeri (def. II, 45) si corrispondano univocamente e nel medesimo ordine e l'uno sia parte od uguale ad una parte dell'altro, perché questo corrisponderebbe univoca- mente e nel medesimo ordine quindi anche univocamente ad una sua parte, contro f; dunque g (e, 45) h. Qualunque sia r ordine in cui si considerano gli elementi di un gruppo ordinato naturale esso rappresenta lo stessq numero. Siano A e B gli elementi del gruppo (A), la, 16 le unità del numero corrispondente la-M (def. I, 46; ind. Ili, 47). Agli elementi , A possiamo far corrispondere univocamente le stesse unità 10, 1 perché fatto corrispon- dere B a \a 9 l'elemento A non può corrispondere che a 1 (d). La corrispon- denza univoca può ritenersi in tal caso anche dello stesso ordine (oss. II, def. Ili, 42). Supponiamo ora che la proprietà sia vera per un gruppo naturale qua- lunque dato (M) = ABCD...M e fjt = la U lc ld... \m sia la serie delle unità corrispondenti agli elementi di (M); il numero corri- spondente sia: m== la 4- U + le + ld 4-... 4- lm (def. II, 45; ind. I, oss. Ili, 47) Sia dato il gruppo: (M) N = ABCD.., MN (a, 40) 3 However, if B is included in (A '), established the correspondence between (A1) and (A) B, is bit-trebbe to match B to itself (d), and then of (A') would remain a part (A ") that also in this case would correspond to (A) (d) against the hypothesis. 11 theorem holds for (A) also applies to (A) B; but applies PEL group of AB units, therefore, applies to all groups natural (, 43, ee, 39). g. If two groups are uniquely natural and dine in the same or-equal numbers they represent. It may be that the two groups and thus two natural numbers (def. II, 45) will correspond uniquely and in the same order and each is a party or equal to a part of the other, because this would correspond uniquely-mind and therefore also in the same order univocally to a part thereof, against f; therefore g (s, 45) h. Whatever r order in which you consider the elements of an ordered group it represents the stessq natural number. Let A and B the elements of the group (A), the, 16 units of the number corresponding to the-M (final I , 46; ind. Ill, 47). to the elements, A we can uniquely to match the same units 10, 1 because it is made correspond-ing to B \ to 9 the element A can not match that to 1 (d). The corresponding - law can be considered unique in this case also the same order (oss. II, def. Ill, 42). Suppose now that the property is true for a natural group-lunque here since (M) = M and FJT ABCD ... = U lc ld ... \ m is the number of units corresponding to the elements of (M), the corresponding number is: m == the 4 - U + the + ld 4 - ... 4 - lm ( final. II, 45; ind. I, oss. Ill, 47) Consider the group: (M) N = ABCD .., MN (a, 40) 3
Page 34 Page 3434 cui corrisponde la serie di unità (A \n = la 1 lc la ... 1 m In e il numero m + ln = la -f 1 + 1* 4- ld +..- + lm + In Se inverto l'ordine di M ed JV, vale a dire il posto di M con quello di JV, il che è possibile (a), ho il gruppo: ABCD... NM (1) e quindi facendo corrispondere agli elementi che precedono N le stesse unità la 1 le !* che precedono lm come pel gruppo ABCD... MN e ad JV l'unità lm, all'elemento M dovrà corrispondere l'unità ln (d); e quindi al gruppo ABCD... NM corrisponderà lo stesso numero m+ln (def. IL 45, f. 42 e #). Ma nel gruppo ABCD... N si può scambiare il posto di N mediante scambi di elementi consecutivi con quello di qualunque altro elemento precedente ( ) senza che per ipotesi cambi il numero corrispondente. Così scambiando poi di posto ognuno di questi elementi quando occupa il posto di N con M in (1), per ciò che. si è detto testé al gruppo corrisponderà lo stesso numero. Ma in questo modo si ottengono tutti i gruppi ordinati dati dagli elementi del gruppo (M) N (e), dunque se il teorema è vero per il gruppo (M) vale anche pel gruppo (M) N; ma vale pel gruppo AB dunque vale per tutti i gruppi ordinati natu- rali (a, 43; ie ?, 39). l). 34 which corresponds to the number of units (A \ n = 1 to m ... 1 In the lc and the number m + ln =-f 1 + 1 * 4 - .. ld + - + In + lm If I reverse the 'order of M and JV, ie the place of M with that of JV, which is possible (a), the group I: ABCD ... NM (1) and then by matching the elements preceding the same N the unit 1 the! * preceding lm as PEL group ABCD ... MN and to JV unit lm, the element M must match the unit ln (d), and then to the group ABCD ... NM will match the same number m + ln (def. IL 45, f. and # 42). But the group ABCD ... N can be exchanged instead of N through exchanges of consecutive elements with that of any other previous item () without having to hypothesis changes the corresponding number. Thus exchanging then place each of these elements when it occupies the place of N with M in (1), for what. has been said above-group will correspond to the same number. But in this way we get all groups sorted data by group elements (M) N (e), so if the theorem is true for the group (M) is also applicable PEL group (M) N, but it PEL Group AB is therefore natural for all ordered groups - Funds (a, 43; ie?, 39). l). I) in generale nel numero degli oggetti di un gruppo non si tien conto dell'ordine di questi og- getti, e non si segue il metodo di derivare le proprietà del numero dalla corrispondenza coi gruppi ordinati, mentre se il numero deriva nella sua più semplice costruzione dalla funzione logica del nu- merare (45 e def. I, 46), esso dipende dall'ordine nel quale si contano gli oggetti del gruppo dato. I) in general in the number of objects in a group we consider the order of these ob-jets, and you do not follow the method of deriving the properties of the correspondence with the number ordered groups, while if the number comes in its most simple construction of the logic function of the nu-merare (45 and def. I, 46), it depends on the order in which there are objects of the given group. I nu- meri interi finiti (che corrispondono come vedremo ai nostri gruppi naturali) sono indipendenti dall'ordine degli elementi dei gruppi corrispondenti (Ti), ma ciò deve essere dimostrato, perché vi sono gruppi di elementi cui corrispondono i numeri transfiniti di a. The whole finite nu-mer (as we shall see that match our natural groups) are independent of the order of the elements of the corresponding groups (Ti), but this must be demonstrated, because there are groups of elements which correspond to the transfinite numbers. Cantar, pel quali non ha più luogo questa proprietà (Acta Math. voi 2 pag. 385,1883. Grundlagen einer Mannigfaltigkeitsiehre, Leipzig 1883 pag. 32 e seg. Zeitschrift fttr phil. v. Fichte Voi. 91 fase- I e 2 1887, ecc.). Cantor, owing which no longer takes place this property (Acta Math. You 2 p. 385.1883. Grundlagen einer Mannigfaltigkeitsiehre, Leipzig 1883 p. 32 et seq. Zeitschrift fttr phil. V. Fichte Vol 91-I and Phase 2 in 1887 , etc.).. Quanto dice clifford del teor. As the theorem says clifford. h. h. (Il senso comune nelle scienze esatte, Milano 1888) è una spiegazione empirica ma matematicamente suppone la proprietà medesima. (Common sense in the exact sciences, Milan, 1888) is an empirical explanation but mathematically implies the same property. Cosi ha ragione G. So right G. Cantar quando rileva l'a- nalogo difetto nello scritto di Kronecker (Phil. Aufs. Ed. zeller-Ueber den zahlbegriff, p. 268). Sing when it detects a fault in the writing-nalogo Kronecker (Phil. AUFS. Ed Ueber den zahlbegriff-Zeller, p. 268). peano (1. e.) non se ne occupa. Peano (1. and.) does not care. Per quanto so è lo Schrdder che ha il merito di aver trattata per primo una tale questione (Lehrbuch der Arith. u. Algebra. Leipz ig 1873). To know what is the Schrdder which has the merit of having treated the first to that question (Lehrbuch der Arith. U. Algebra. Leipz ig 1873). Da quanto egli dice nell' enunciato a pag. From what he says in 'statement on p. 8 pare che basti che siano le stesse cose che vengono contate in diversi ordini affinchè i numeri risul- tanti siano uguali; ma ciò ammette già il teor. 8 have more than enough that they are the same things that are counted in different orders so that the numbers are the same results-many, but that already admits the theorem. suddetto perché anche nelle due serie 1 2 3...n... this because even in the two series 1 2 3 ... n ... 23..-H... 23 ..-H ... i si hanno le stesse cose, ma i numeri sono diversi. i will have the same things, but the numbers are different. Cosi il teor. So the theorem. di pag. on p. 20 è enunciato in gene- rale, ma nella dimostrazione non completa comunicatagli dal prof. 20 is set out in general, but the proof is not complete communicated by prof. LùrotJt egli dichiara di avere am- messo tacitamente che si tratta di una molteplicità finita limitata (endlich begrenzte Menge) che non ci pare ben definita. LùrotJt he declares to have am-put tacitly assumed that it is a finite limited multiplicity (endlich begrenzte Menge) that there seems well-defined. Secondo noi la proprietà che ad un elemento non può corrispondere univocamente nessun elemento, analoga a quella che sckroder assume come assioma, o compresa nella corrispon- denza univoca stessa (oss. I. 48). In our opinion the property that an element can not correspond uniquely no element, analogous to that which takes as sckroder axiom, or included in the same univocal correspondence (oss. I. 48). a. a. cantar distingue due specie di numeri : il Cardinalzahl o Màchtigkeit (potenza) e l'Idealzahl. sing distinguishes two kinds of numbers: the Cardinalzahl or Màchtigkeit (power) and the Idealzahl. il Cardinalzahl secondo Cantar si ottiene da una molteplicità di cose facendo astrazione e dalle proprietà di queste cose e dair ordine di esse, e chiama uguali due molteplicità quando si corrispon- dono univocamente, e quindi ad esse corrisponde lo stesso Cardinalzahl ; L1 Idealzahl i* ottiene invece facendo astrazione dalle proprietà delle cose ma non dall'ordine in cui sono date o si consi- derano. the second Cardinalzahl Cantor is obtained from a variety of things in isolation and properties of these things and dair order them, and when you call the same two multiplicities correspond uniquely, and for approximately the same Cardinalzahl; L1 Idealzahl i * obtained instead by abstracting from the properties of things but not the order in which they are given or shall be deemed to. Il Cardinalzahl cosi definito non deriva certo dalla funzione logica del numerare poiché quando si conta si conta in un dato ordine salvo poi a vedere se cambiando V ordine del conteggio si ottiene lo stesso numero. The so called Cardinalzahl certainly not derived from the logic function of the number because when you count it counts in a given order, but then they see if changing the order of V is obtained by counting the same number. Anziché dire che due molteplicità fatta astrazione dal le proprietà delle cose che le compongono e dell'ordine di esso si chiamano uguali quando si corrispondono univocamente, nello stesso ordine o no, si può dimostrare che se due molteplicità sono identiche (def. VI, 8 e def. Ili, 9) esse si corrispon- dono univocamente e nello stesso ordine, e se una è contenuta nell' altra questa è contenuta nella prima; e se si tien conto soltanto della sola corrispondonza univoca fra una molteplicità e la sua rappresentazione mentale (4), sì dimostra pure che se due molteplicità si corrispondono univocamente senza tener conto che r una sia o no parte dell'altra, le due melteplicità sona uguali- Instead of saying that two multiplicity and quite apart from the properties of the things that make you call and order it the same when you are unequivocally, in the same order or not, it can be shown that if two are the same variety (def. VI, 8 and def. Ill, 9) they correspond uniquely and in the same order, and if one is included in 'other it is in the first, and if one takes into account only the one unique corrispondonza between a multiplicity and its mental representation (4), so also shows that if two multiplicity correspond uniquely without taking into account that r is or is not a part of the other, the two equal-person melteplicità
Page 35 Page 3535 Oss. 35 Oss. I. I. D'ora innanzi possiamo dunque non tener conto dell' ordine dei gruppi che corrispondono ai numeri naturali. Henceforth we can therefore not take into account the 'order of the groups that correspond to natural numbers. i. the. Due gruppi naturali cìie rappresentano lo stesso numero si possono far corrispondere univocamente. Two natural groups cìie represent the same number can be uniquely match. Siano A, B, C, D... Let A, B, C, D. .. M; A, B', C, Z)r,... And M, A, B ', C, Z) r, ... M1 i gruppi dati. M1 data groups. Le unità del numero di un gruppo corrispondono univocamente e nello stesso ordine agli elementi del gruppo (b, 45). The units of the number of a group correspond uniquely and in the same order to the elements of group (b, 45). Gli elementi del primo gruppo ordinato siano: " JA% - 3" An ( " ) e le unità del numero corrispondente al #2 3... an (a) perché le unità possiamo indicarle in tal caso anche con segni diversi da L La unità di (a) per dato corrispondono univocamente e nello stesso ordine agli elementi del secondo gruppo A\ A\ A'3... A'n = (A'). Siccome i gruppi (A) e (A) corrispondono univocamente e nel medesimo ordine al gruppo (a), così si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine fra loro (/; 42). Ma il nu- mero del primo gruppo non cambia se si cambia l'ordine dei suoi elementi (h), e cambiando quest'ordine i due gruppi si corrispondono univocamente (e). Dunque ecc. i'. Se due numeri naturali sono uguali le unità di essi si corrispondono univocamente (ie def. II, 46). I. Due gruppi naturali die si corrispondono univocamente rappresentano lo stesso numero (geh). I'. Se le unità di due numeri aeb si corrispondono univocamente, i due numeri sono uguali. m. La somma del numero b al numero a non cambia se si cambia l'ordine dei due numeri (legge commutativa). Dim. 1. Il numero a sia rappresentato dal gruppo (A) = ABC... M ed il numero b dal gruppo (A') = A'# 7... N' ; la somma a -f- b viene rappresentata dal gruppo [(A)(AJ] = ABCD...MACN' (oss. I, 47). Si abbia un altro gruppo (B) che corrisponda univocamente al gruppo [(A) (A)]. Se ai primi b elementi del secondo si fanno corrispondere gli ultimi b elementi del primo i rimanenti elementi si corrispondono univocamente ( ), e perciò devono essere a in am- bidue i gruppi (I). Ma i due gruppi (B) e [(A) (A')~\ rappresentano lo stesso nu- mero (I) dunque: a -fb = b + a Dim. 2. Il gruppo [(A')(A)] ha tutti gli elementi del gruppo [(^1)(A')] come questo ha tutti gli elementi del primo, perché ogni elemento del primo o del secondo appartiene ad (A) o (A) (li, 29); e quindi i due gruppi differi- scono solo per l'ordine e perciò si corrispondono univocamente (b) e rappre- sentano lo stesso numoro (I). Dim. 3. Supponiamo dapprima che ad un elemento A sia unito un gruppo AI A2 A3... AW+I di m -f- 1 elementi. Facciamo corrispondere l'elemento A all'elemento Al,Al all'elemento A2ì ecc. l'elemento Am-i all'elemento Am Am ad ^4m-Hi, vale a dire ogni elemento al suo consecutivo seguente nella serie A Al Ay.. Am-M. I gruppi A Aì A^... Am^ A, A2... Am+\ si corrispondono così uni- The elements are ordered in the first group: "JA% - 3" An (') and the number of units corresponding to the # 2 3 ... n (a) because the units can indicate them in this case with characters other than the L units of (a) given to uniquely correspond and in the same order to the elements of the second group A \ A \ A'3 ... a'n = (A '). Since the groups (A) and (A) correspond uniquely and in the same order to the group (a), it is uniquely and correspond with each other in the same order (/, 42). But the num-ber of the first group does not change if you change the order of its elements (h), and changing this order, the two groups correspond uniquely (s). etc. So. i '. If two natural numbers are the same units they correspond uniquely (ie final. II, 46). I. Two groups correspond uniquely natural day represent the same number (geh). I '. If the units of two numbers a and b correspond uniquely, the two numbers are equal. m. b The sum of the number to the number does not change if you change the order of two numbers ( commutative law). Dim 1. The number to be represented by the group (A) = ABC ... M and the number b from the group (A ') = A' # 7 ... N '; the sum a-f - b is represented by the group [(A) (AJ] = ABCD ... MACN '(oss. I, 47). It has another group (B) which corresponds uniquely to the group [(A) (A)]. If the first b of the second elements are made to correspond the last b elements of the first at the remaining elements correspond uniquely (), and therefore must be in am-bidue groups (I). But the two groups (B) and [( A) (A ') ~ \ represent the same num-ber (I) thus: a-fb = b + a Size 2. The group [(A') (A)] has all the elements of the group [(^ 1) (A ')] as this has all the elements of the first, because each element of the first or the second belongs to (A) or (A) (li, 29); and then the two groups differ only for the scono 'order and therefore correspond uniquely (b) and repre-senting the same numoro (I). Size 3. Suppose first that A is an element joined a group AI A2 A3 ... I AW + m-f- 1 elements. We match the A element to the element Al, Al element A2ì etc.. the element the element-Am Am Am ^ to 4m-Hi, ie each element in its row following in the Series A At Ay-M .. Am. Groups A to A ^ ... A ^ Am, A2 ... Am + \ is one-way match
Page 36 Page 3636 vocamente e nel medesimo ordine (a, 42), e quindi corrispondono allo stesso numero (J), cioè: 1 + m = m + I (1) Ammettiamo che il teorema sia vero per m ed n, m + n = n + m (2) Si ha (d, f, 47): w+ (n+1) = O+n) +1= (n+w*) +1= + (m+1) = (n+1) + w. Ing and quantifying 36 and in the same order (a, 42), and then correspond to the same number (J), ie: 1 + m = m + I (1) Let us assume that the theorem is true for m and n, m + n = n + m (2) It has (d, f, 47): w + (n +1) = W + n) +1 = (n + w *) + 1 = + (m +1) = (n +1) + w. Ma il teorema è vero per w + 1 (1), dunque il teorema vale in generale (e', 46; d. 39 Z, 39)1). But the theorem is true for w + 1 (1), therefore the theorem holds in general (and ', 46 d. Z 39, 39) 1). 3 Concetto di un numero maggiore o minore di un altro. 3 Concept of a greater or lesser number of another. Altre proprietà, dei numeri. Other properties of numbers. 49. 49. Def. Def. I. I. Se due gruppi naturali ABCD... If two natural groups ABCD ... N, A' CD'...N' non hanno lo stesso numero, nella corrispondenza univoca dei loro elementi consecutivi a cominciare dai primi cioè A e A, B e B', C e (7 ecc. vi sono elementi del- Tuno ad es. del primo a cui non corrispondono elementi del secondo, perché altrimenti rappresenterebbero lo stesso numero (h, 48). Si dice perciò che il pri- mo contiene più elementi del secondo, ed il secondo meno elementi del primo; oppure che il primo è maggiore del secondo e il secondo è minore del primo. Def. IL I numeri aeb che corrispondono ai due gruppi non essendo uguali si chiamano disuguali, e quello che corrisponde al primo dicesi mag- giore di quello che corrisponde al secondo, e questo minore del primo. Si scrive: a. Ogni gruppo ed ogni numero naturale è m iggiore di ogni sua parte (def. I, II; fé h, 48). 50. a. Se a numeri dati sommando numeri uguali si ottengono numeri uguali^ i numeri dati sono uguali. Siano (A) e (B) i gruppi corrispondenti ai numeri dati aeb, e si uni- scano rispettivameate ad essi i gruppi (A) e (J?% che rappresentano i due nu- meri a' e ì) uguali, che vengono sommati ad ae b. Si hanno i gruppi [(A) (A')] [(B) (#)] che rappresentando per ipotesi numeri uguali si corrispondono uni- vocamente (i, 48). Ma si corrispondono univocamente per la stessa ragione i gruppi (Ar) e (#), dunque si corrispondono anche univocamente i rimanenti gruppi (A) e (B} (d, 48); e quindi i loro numeri corrispondenti aeb sono uguali (/i, 48, e 6, 47). a. Se a numeri uguali sommando numeri dati si ottengono numeri uguali , i numeri dati sono uguali. Se aea' sono numeri uguali ebeb' i numeri aggiunti, eee' i risul- tati, si ha: ma si ha pure: (m, 48) i) La legge commutativa come si vede facilmente vale aqcbe per un numero qualunque flato U som m and i (2, 39). N, A 'CD' ... N 'have the same number, in the unique match of their consecutive elements starting from the first that A and A, B and B', C (7 etc.. There are elements of-priate eg. of the first to which do not match elements of the second, because otherwise represent the same number (h, 48). It is said therefore that the pri-mo contains more elements of the second, and the second less elements of the first, or that the first is greater than the second and the second is less than the first. Def. THE The numbers a and b which correspond to the two groups not being equal is called unequal, and that which corresponds to the first is called May-greater than that which corresponds to the second, and this less than the first. You write: a. Each group and each natural number m is iggiore its parts (def. I, II, h fe, 48). 50. a. If the given numbers are obtained by adding equal numbers equal numbers ^ the numbers given are the same. Let (A) and (B) the groups corresponding to the numbers a and b data, and joined to them rispettivameate Scano-groups (A) and (J?% which represent the two nu-mers to ' and i ') the same, which are summed to a and b. We have groups [(A) (A')] [(B) (#)] that for hypothesis representing the same numbers correspond to uni-ing and quantifying (i, 48). but is uniquely correspond to the same reason the groups (Ar) and (#), therefore it also correspond uniquely the remaining groups (A) and (B} (d, 48); and therefore their corresponding numbers a and b are equal (/ i, 48, and 6, 47). a. If at the same numbers are obtained by summing numbers given identical numbers, the numbers given are the same. If a and a 'are numbers equal ebeb' numbers added, eee 'the result-ments, it is has: but it also has: (m, 48) i) The commutative law as can be seen easily aqcbe applies to any number Flato U m and the sum (2, 39).
Page 37 Page 3737 e quindi si ricade nel teorema et. 37 and then falls in the theorem et. b. b. Se #= , 6 c si ha ac a=b, bca ce Se , bcoc Se a 0; ' si ha : e se ' ; b JJ + d -f 6' O'-fb Per dimostrare che se a a', ' si ha -4- b ' -4- ' si procede nel seguente modo. If # =, ac 6 c we have a = b, if there bca, bcoc If 0, 'we have: and if' b + d-f 6 J 'O'-fb To prove that if a', 'you have -4 - b' -4 - 'we proceed as follows. Siano (A) = A! Are (A) = A! -42...^o , (B)= Bl B2...B6 i gruppi che rappresentano i numeri ae ; il numero a-\-b è rappresentato dal gruppo [(A) ( )] = Aj 42...Aa Bl B2...Bb (oss. I, V, e, 47). -42 ... ^ Or, (B) = Bl B2 ... B6 groups which represent the numbers ae; the number a-\-b is represented by the group [(A) ()] = Aj 42 ... Aa Bb Bl B2 ... (oss. I, V, and, 47). Siano (A')= A'T A '2...A'a , (5')= ^ B'y..Btj) i gruppi rappresentanti i numeri a' e 6' ; il numero a' -{- 6' è rappre- sentato dal gruppo [(A') (JB')] = A'1 A'2...A'a B\ 2... Are (A ') = A A'T '2 A'a ..., (5') = ^ B'y .. BTJ) groups representing the numbers a 'and 6'; the number to '- {- 6 'is repre-sented by the group [(A') (JB ')] = '1 A'2 ... A'a B \ 2 ... B'i, . B'i,. Ma per ipotesi a a', 6 '; e se consideriamo i primi a' elementi del gruppo (A) ei primi b' ele- menti del gruppo (5), sia nell'uno che nell'altro rimangono altri elementi (def. I e II, 49) che non hanno in corrispondenza univoca elementi corrispon- denti in (A' , (#), e perciò nel gruppo [(A) (B)] vi sono elementi che in corri- spondenza univoca con [(A')(#)] non hanno in questo gruppo elementi corri- spondenti (II, 29); e perciò + ' 4- b' (def. I e II, 49). Analogamente si dimostrano le altre relazioni b, e, de Se a=a'9 bb' si ha a -fba -hb' Ossia: Se a numeri uguali (disuguali) si sommano numeri disuguali (uguali) si ottengono numeri disuguali. Questo teorema si dimostra in modo analogo al precederne. f. I numeri della serie (/) sono tutti disuguali. Nessuno di essi è maggiore degli altri. Considerando difatti un numero a determinato della serie dei numeri na- turali (e, def. HI, 46} i numeri che precedono a sono minori di a, perché i gruppi corrispondenti a questi numeri contengono meno elementi di quello corri- spondenti ad a (e, 46, def. I, e II, 49), sono invece maggiori quelli che seguono a. I numeri di (I) costituiscono così due classi di numeri rispetto ad , quelli mi- nori e quelli maggiori eccettuato a. L'ultima proprietà deriva dall'essere la serie (/) illimitata (def. II, 32 e def. I, II; e, 46). g. Se aa' vi è un solo numero x tale che a' 4- oc = a 1). I numeri aea' devono occupare in (I) due posti determinati (def. I, 20), 1) I teoremi di questo numero specialmente e, g come o, ci, 47 non è necessario darli con as- siomi speciali o con definizioni dei segni stessi. But by hypothesis to a ', 6', and if we consider the first to 'elements of the group (A) and the first b' elements of the group (5), both in the one that remains in the other elements (final I and II, 49) that do not have unique match elements corresponding in (A ', (#), and therefore in the group [(A) (B)] there are elements that in correspondence with unique [(A ') (#)] in this group do not have corresponding elements (II, 29), and therefore +' 4 - b '(def. I and II, 49). Similarly, other reports show b, c, de if a = a'9 bb 'it has a-FBA-hb' That is: If in equal numbers (unequal) are added unequal numbers (equal) are obtained unequal numbers. This theorem is demonstrated in a similar manner to precederne. f. I numbers of the series (/) are all unequal. None of them is greater than the others. Considering fact a number of specific serial numbers of the na-tural (and final. HI, 46} in the numbers above are smaller than a, because the groups corresponding to these numbers tend to be less than that corresponding to a (and, 46, def. I and II, 49), are greater than those which follow. The numbers of (I) thus constitute two classes numbers than those I-nori and those further exception to. The last property follows from the series (/) unlimited (def. II, 32, and def. I, II, and 46). g. If aa 'there is only one number x such that a' 4 - c = 1). numbers and a 'must fill in (I) two specific places (def. I, 20), 1) The theorems of this issue and especially , or g as, us, 47 is not necessary to give special axioms or definitions of the signs. Essi derivano dal principio di corrispondenza univoca dei gruppi rapp rasentativi. They derive from the principle of unique match of Rep. rasentativi groups.
Page 38 Page 3838 ea' deve precedere a (/*; e, 46). And 38 'must precede a (/ *; and, 46). Il numero a sì ottiene da d unendo a questo numero altre unità, cioè le unità di un altro numero (cr, 46 eg, 39). The number so obtained by combining this number of other units, ie units of another number (cr, 46 g, 39). Non vi possono essere due numeri xex (oc'^ cc) che godano questa proprietà. There may be two numbers x and x (c '^ cc) which enjoy this property. Difatti si deve avere od anche co + d = , a? In fact you should have and also co + d =, a? + #' = a (w, 48) e quindi x = od (a) Oss. + # '= A (w, 48) and so x = or (a) Oss. Se indichiamo la somma a + b con e si ha : a + = c (1) ove e è uà numero dato della serie (I). If we denote the sum a + b with and we have: a + = c (1) where e is the serial number given UA (I). L'uguaglianza (1) va considerata sotto due aspetti: oe è usato per indicare il nuovo numero a + b non avendolo fatto prima, come ad es. The equality (1) should be considered in two ways: either it is used to indicate the new number a + b, not having done it before, eg. col segno 2 abbiamo indicato la somma 1 + 1, con 3 la somma I + 1 + 1 ecc. 2 we have indicated with the sign of the sum 1 + 1, with the sum of the 3 + 1 + 1 etc.. ; oppure e è un numero già noto adoperato quale simbolo di un* altra operazione, per es. ; Or already known and is a number used as a symbol of a * other operation, eg. di un'altra somma ' + ', ed allora bisogna provare l'esattezza dell'ugua- glianza (I). any other sum '+', then we must prove the accuracy dell'ugua-lance (I). Es. Nell' uguaglianza: ll+l=i:12 il 12 indica il numero risultante da ir addizione di 1 al numero lì, e nulla vi è da dimostrare; bisogna invece dimostrare che 7+5-12 la quale ci da una proprietà fra i numeri 7, 5 e 12. Eg In 'Equality: ll + l = i: 12 on 12 shows the resulting number by adding 1 to the number ir there, and there is nothing to prove; instead must demonstrate that 7 +5-12 which gives us a property between the numbers 7, 5 and 12. E perciò basta scomporre i tre numeri nelle loro unità, e riflettere che le unità del numero 11 + 1 corrispondono ad una ad una a quelle del numero 7 + 5 (i9 48). And therefore enough to break down the three numbers in their units, and to reflect that the units of the number 11 + 1 correspond, one by one to those of the number 7 + 5 (i9 48). Difatti sia (A) ABCDEFG il -gruppo corrispondente al numero 7 e (A')~A'BCD'E quello che corrisponde al numero 5. In fact, both (A) the ABCDEFG-group corresponding to the number 7 and (A ') ~ A'BCD'E one that corresponds to the number 5. Il primo elemento di (A1) unito con (^4) da il gruppo corrispondente al numero 7 + 1 = 8 Rimane di (A') un gruppo (A")=.B'C'D'ff formato cogli elementi rimanenti di (-4'). Il primo elemento di (.4'') unito al gruppo (-4) ci da il numero 8+1 9. Del gruppo (A") gli elementi rimanenti formano un gruppo (A')^C'D E' il cui primo elemento (7 unito al gruppo ((A) A') B' = (A) (AB') (a, 40) da il numero 9 + 1 = 10. E così unito il penultimo elemento D' di (A1) al gruppo (-4) (A'ffC')si ha il nu- mero 10+1 = 11. E finalmente unendo l'ultimo elemento E' di (A') al gruppo (4) (ABffD') si ha il numero 11 + 1 = 12 che corrisponde al gruppo [(A) (A'ì\=ABCI EFGA'B'(fffE il quale rappresenta an- che il numero 7+5 (oss. I, e, 47), dunque 12=7+5. La dimostrazione del teorema pei numeri dati qualunque di (I) si fonda eviden- temente sulla regola di segnatura dei numeri o numerazione* la più comune delle quali è quella decimale. Ad es. si pone in questo sistema: dove x prende successivamente i segni 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Il numero succes- sivo al 19 si indica con 20 che si ottiene dall' unione di due gruppi di dieci elementi (decine) Così: 2# =20+cc (a?,=l, 2, 3, ____ 9). The first element of (A1) combined with (^ 4) from the group corresponding to the number 7 + 1 = 8 remains of (A ') a group (A ") =. B'C'D'ff format with the elements of the remaining (-4 '). The first element (.4'') joined the group (-4) gives us the number 8 +1 9. of the group (A ") the remaining elements form a group (A') ^ C 'D E' of which the first element (7 joined to the group ((A) A ') B' = (A) (AB ') (a, 40) by the number 9 + 1 = 10. And so united the penultimate element D 'of (A1) to the group (-4) (A'ffC') there is document number 10 +1 = 11. And finally joining the last element E 'of (A') to the group (4) ( ABffD ') it has the number 11 + 1 = 12 which corresponds to the group [(A) (A'ì \ = ABCI EFGA'B' (FFFE which represents an-that the number 7 +5 (oss. I, and , 47), then 7 +5 = 12. The proof of the theorem pei numbers given any of (I) is based on eviden-temente rule marking of numbers or numbers * the most common of which is the decimal. Eg. you arises in this system: where x takes successively the signs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9. The number following that to 19 is denoted by 20, which is obtained by 'union of two groups of ten elements (dozens) So: # 2 = 20 + cc (a?, = l, 2, 3, ____ 9).
Page 39 Page 3939 Analogamente un numero compreso fra quello corrispondente al gruppo compo- sto di dieci gruppi di 10 elementi (centinajo) e quello composto di due decine si in- dica con dove xy è un numero che precede il 100 nella serie (I). 39 Similarly a number between that corresponding to the group I-component of ten groups of 10 elements (centinajo) and the tens are composed of two in-say with where xy is a number that precedes the 100 in the series (I). Per dimostrare che 41+53=94 si osservi che 41 40+1, 53=50 + 3 e quindi 41 + 53=140 + 50+4 90+4=94 1). To demonstrate that 41 +53 = 94 it is noted that 41 40 +1, 53 = 50 + 3, and then 41 + 53 = 140 + 50 +4 90 +4 = 94 1). 4. 4. Sottrazione Moltiplicazione Divisione. Subtraction Multiplication Division. Numero zero. Number zero. 51. 51. Sottrazione. Subtraction. Def. Def. I. I. Se si ha a + == e (I) il primo numero a si dice differenza del se- condo b dal terzo e, e l'operazione colla quale si determina il numero a dai numeri ee si chiama sottrazione. If you have a + == and (I) the first number tells you the difference if-b from the second and third, and the operation by which it determines the number to the number e is called subtraction. Oss. Oss. I. I. Il numero a si ottiene evidentemente togliendo il numero b dal numero e (def. I. 7; def. Ili, oss. I e II, 31). The number is obtained by removing the course number and the number b (def. I. 7; final. Ill, pers. I and II, 31). Def. Def. IL II numero e, si chiama minuendo, b sottraendo, ea si chiama anche resto della sottrazione. THE number and II, called minuend, b subtracting, and is also called the rest of the subtraction. Possiamo anche dire: Def. We can also say: Def. /. /. La sottrazione di un numero b da un altro numero e maggiore di b significa trovare un numero a tale che sommato ab dia ea La sottrazione è V operazione inversa dell'addizione (12, def; I). The subtraction of one number by another number and b greater than b means finding a number that gives added pop and V is the inverse operation of addition subtraction (12, def, I). Jnd. JND. I. I. La sottrazione di b da e da per risultato e si indica nel se- guente modo: a^cb (2) essendo il segno di questa operazione. The subtraction of b from and for the result and it shows in the following way-if a ^ cb (2) being the sign of this operation. 1) m questa genesi del numero ci stacchiamo ad es. 1) m we separate this genesis of the number eg. dai sig. by Mr. Helmoltz, KronecKer e nedekind i quali (1. e), trattano prima del numero come puro segno (Zahl), e poi del numero come Anzahl cioè del numero degli oggetti di un gruppo. Helmholtz, Kronecker and nedekind which (1. S), treat as a pure sign before the number (Zahl), and then the number as Anzahl ie the number of objects in a group. Essi lavorano con questi segni stabilendo con annotazioni spe- ciali le loro leggi. They work with these signs with annotations by establishing spe-cial to their laws. Pur riconoscendo l'acutezza e l'importanza dei lavori dei tre valentissimi mate- matici, mi permetto di osservare che prima ancora di parlare di Anzahl essi usano continuamente nel discorso la parola uno (ad es. un oggetto A) la quale corrisponde ad un concetto fondamentale determinato e che da precisamenter Anzahl dell'oggetto A (def. 1,11,45)- L'Anzahl dell'oggetto A non è secondo me un segno o nome arbitrario scelto a caso per indicare il primo posto od oggetto di una serie (16, 20), ma è uno intendendo con questa parola il concetto che vi è legato. While recognizing the importance of the sharpness and valiant work of the three mathematicians, I would note that before you even talk about Anzahl they continually use the word in a discourse (eg. An object A) which corresponds to a fundamental concept and determined that precisamenter Anzahl object A (def. 1,11,45) - The Anzahl object A is not in my opinion a sign or arbitrary name chosen at random to indicate the first place or object of a series (16, 20), but is one which we intend the concept that there is linked. E in questo concetto non vi è l'indicazione dell'oggetto ad es. In this concept there is an indication of the object eg. Paolo, albero ecc. Paul, tree etc.. ina il giudizio che esprime la nostra mente, che è cioè uno anziché più oggetti (2). ine the judgment that expresses our mind, which is that one instead of multiple objects (2). L'addizione in Dedekind perde il suo significato del- l'unione successiva dell'unità ripetuta all'unità data (1. e, 44); o un'annotazione colla quale dal segno di un elemento di una serie (secondo noi illimitata dì i. specie) si ottengono per mezzo di ele- ganti teoremi i segni degli altri elementi seguenti, ci stacchiamo poi maggiormente dal sig. Addition in Dedekind loses its meaning-the union of the next unit on repeated unit (1. And 44), or a record with which the sign of an element of a set (in our day unlimited the. species) are obtained by means of high-binders theorems following the signs of the other elements, then we separate more from Mr. Peano (Arithmetices principia, nova methodo exposita. Torino 1889). Peano (Arithmetices principia, nova methodo exposita. Torino 1889). Fatta astrazione dal sistema di segni in- trodotto per meglio scindere e indagare le parti semplici di un gruppo di proprietà o di dimostrazioni matematiche quando però è possibile ridurle nel segni finora conosciuti nell'ordine che si crede mi- gliore, ma senza che sìa necessario, egli considera più che gli altri l'aritmetica come un sistema di segni assoggettati a certe definizioni, che per chi non conosce l'aritmetica sono scelte ad arbitrio (vedi pref. e appendice). Abstracting from the system of signs in-troduced to better investigate and separate the parts of a simple set of properties or mathematical proofs, but when you can reduce the signs so far known in the order that I believe-gliore, but without the need He sees more than other arithmetic as a system of signs subject to certain definitions, which for those unfamiliar with the arithmetic is arbitrarily chosen (see pref. and Appendix).
Page 40 Page 4040 b. 40 b. Il sottraendo è il resto della sottrazione del resto primitivo dal minuendo* Si ha infatti da (2) la (1), e la (1) ci da b+a=*c (m, 48) da cui 6= ea (3;. Dalla definizione stessa si ha: e. Per la sottrazione non vale la legge commutativa* Non si ha cioè bc=# perché è ce non si può togliere pel concetto di numero fin qui considerato un numero maggiore da un numero minore. d. La sottrazione è un'operaziene a senso unico. Vale a dire la sottrazione di un numero b da un numero e si eseguisce in un solo modo e da un solo risultato (def. II, 11). Si abbia infatti eb ss aeb = a' si avrà per la definizione stessa vale a dire a' è uguale ad a (a, 50). e. Se da numeri uguali si sottraggono numeri uguali si ottengono numeri uguali. Se 6=6', c=c', c si ha: eb=3c' b' Difatti ponendo cb=sa, c' b' =a' si ricava #4- =c, a'4-6'=c (def. I e ind.; ma b = b', c=ic' dunque a=#' (a, 50). f. Se da vi è un solo numero x tale che a oc = d. Vale a dire #'-{-#=# Per un altro numero a/ tale che ax' = a', sa- rebbe a' -f oc =2 a, e perciò a?' = x (a1, 50). g. Se da due numeri uguali si sottraggono numeri disuguali si hanno nu- meri disuguali. Sia aa? == 6, a oc == 6', af ^ x si ha b 4- x = a, b' -fx = a (def. I e ind.). Non può essere = ' altrimenti a? sarebbe uguale ax' contro l'ipotesi (a1, 50), dunque ecc. h. Togliendo da un gruppo di a elementi prima b elementi e poi e dal gruppo rimanente (ba, e ^ ab) è lo stesso che togliere (e -fb) elementi dal gruppo a. Siano C C'... B'ff... gli ultimi c + elementi del gruppo (X), e A' A"... gli elementi che li precedono in questo gruppo. Indicando con (A), (B), (C) i tre gruppi di (X), si ha: [(A)(C)1(B)=(A)[(C)(B)] = (X) (a, 40) dunque togliere gli ultimi b elementi (B), e dal gruppo rimanente [(^)(C)] gli ultimi e elementi (C), equivale a togliere gli ultimi e -f- b elementi [(C) (B)} dal gruppo (X), poiché il risultato in ambedue le operazioni è il gruppo (A)(d.) ti* 0 (c-|-6) = (a è) ?=( e) b (I; m, 48). Ind. IL II numero ( ) e lo indicheremo anche col simbolo a 6 ?. The subtrahend is the remainder of subtraction of the remainder primitive from the minuend * It has in fact from (2) the (1), and (1) there from b + a * c = (m, 48) from which 6 = and (3 ;. From the definition we have: and. For subtraction is not commutative law * You do not have that bc = # because there can not be removed PEL number concept hitherto considered a larger number from a smaller number. d. The subtraction is un'operaziene-way. That is the subtraction of a number b of a number and executes it in one way and only one result (def. II, 11). It has indeed b ff b = a 'there will be for the same definition that is to say a' is equal to a (a, 50). and. If equal numbers are subtracted by the same numbers are obtained by the same numbers. If 6 = 6 ', c = c', c is has: b = 3c 'b' = sa fact putting cb, c 'b' = a 'we get # 4 - = c, a'4-6' = c (def. I and ind., but b = b ' , c = ic 'then a = #' (a, 50). f. While there is only one number x such that a or c = d. That is to say # '- {- = # # To another number on / such that x '= a', know-would be to 'f-c 2 = a, and so on?' x = (a1, 50). g. If you subtract two numbers equal numbers are unequal is unequal nu-mer . Both aa? == 6, or c == 6 ', f ^ x we have b 4 - x = a, b' = a-fx (def. I and ind.). can not be = 'otherwise? would be equal to x 'against the hypothesis (a1, 50), therefore, etc.. h. removing from a group of elements at first and then b elements and the remaining group (ba, and ^ ab) is the same as remove (and - fb) elements from group a. Let C C '... ... B'ff the last c + elements of the group (X), and A' A "... the elements that precede them in this group. Indicating with (A), (B), (C) the three groups of (X), we have: [(A) (C) 1 (B) = (A) [(C) (B)] = (X) ( a, 40) thus removing the last elements of b (B), and the remaining group [(^) (C)] and the last elements (C), the equivalent of removing the last b-and f-elements [(C) ( B)} from the group (X), since the outcome in both operations is the group (A) (d.) ti * 0 (c-| -6) = (a is)? = (s) b (I; m, 48). Ind. IL The number () and also referred to by the symbol 6?.
Page 41 Page 4141 h". ab cesa e è (o, d; ìnd.). Oss. II. La proprietà (ab) . e = a (b -f- e) si può chiamare legge associati va dalla sottrazione. i. (a 6)-r-(a' 6') = (a + a') (6 + 6') (a 6, a' ') Se si ha infatti un gruppo di elementi composto di due sottogruppi ae a'9 togliere da essi rispettivamente i sottogruppi 6 eb' è lo stesso che togliere il sottogruppo 6-f-6' dal gruppo dato -}- ' poiché i due gruppi risultanti si corrispondono univocamente (cT, ?, 48). 52. Moltiplicazione. Oss. L Dato un gruppo di a elementi, come nuovo elemento possiamo conside- rare il gruppo stesso, e quindi la nuova unità sarà il numero corrispondente al gruppo (def. I, 45). E come ripetendo Punita e unendo questa air unità già data abbiamo ot- tenuto i numeri della serie (I), così ripetendo la nuova unità si ottiene un'altra serie di numeri. Ma evidentemente ciascuno di questi numeri è un numero della serie (I), Invero consideriamo il numero b rispetto alla nuova unità a ; esso non è che la somma del numero a ripeluto b volte o come si dice anche tante volte quante sono le unità di b. Def. I. L'operazione colla quale il numero a viene sommato tante volte quante sono le unità di un altro numero 6 si chiama moltiplicazione. Oss. IL La moltiplicazione non è dunque che un'addizione abbreviata. Def. II. Il risultato della moltiplicazione si chiama prodotto, e si indica con a X ; # e 6 i fattori, a moltiplicando, 6 moltiplicatore, essendo X il segno di questa operazione. Il prodotto si indica anche con ab o con ab. a. La moltiplicazione del numero a pel numero 6 è uri operazione a senso unico. 6. Il prodotto non cambia mutando l'ordine dei fattori. e. Se a X = e non vi è un altro numero b'^b tale che a X ' = e. e'. Se i prodotti di due numeri aeb per un terzo o per numeri uguali sono uguali, aeb sono uguali. d. Per la moltiplicazione vale la legge associativaf cioè Ind. I. Il prodotto (a X 6) X c si indica perciò anche col simbolo a XX c Queste proprietà, come altre, della moltiplicazione derivano dai teoremi analoghi dell1 addizione. e. (a'" a") b = a' b + a* b (legge distributiva). Se a1 + a"=za si ha evidentemente (m, e nota 3*, 48). 41 h. "Ab cesa and is (or, d; Ind.). Oss. II. The property (ab). E = a (b-f-e) can be called law associated goes from the subtraction. I. (A 6)-r-(a '6') = (a + a ') (6 + 6') (to 6, '') If there is indeed a group of elements consisting of two subgroups to and remove from a'9 these subgroups, respectively, 6 and b 'is the same as removing the sub-6-f-6' from the given group -} - 'because the two resulting groups correspond uniquely (cT,?, 48). 52. Multiplication. Oss. L Given a group with elements such as rare new element we considered the group itself, so the new unit will be the number corresponding to the group (def. I, 45). And Punished as repeating and combining this with air units have already given ot - given the numbers of the series (I), thus repeating the new unit gets another set of numbers. But obviously each of these numbers is a number of series (I), Indeed, consider the number b with respect to the new unit; it is not that the sum of the number b to ripeluto times or as it is also said many times as are the units of b. Def. I. The operation by which the number is added to many times as are the units of another number 6 is called multiplication. Oss. THE The multiplication an addition that is not so short. Def. II. The result of multiplication is called product, denoted by X, and # 6, the factors, multiplying, multiplying 6, X being the sign of this operation. The product is indicated with ab or ab. to. Multiply the number for the number 6 is uri-way operation. 6. The product does not change by changing the order of the factors. and . If X = and there is another number b '^ b such that X' = e. and '. If the products of two numbers a and b for a third or equal numbers are equal, and b are equal. d. This multiplication is the law that associativaf Ind. I. The product (X 6) X c is therefore also indicates the symbol c to XX These properties, like others, resulting from the multiplication theorems similar dell1 addition. and. (a ' "a") b = a 'b + a * b (distributive law). If a1 + a "= za is evidently (m, and note 3 *, 48). e perciò Pel segno basta applicare la formula i, 51 tenendo conto dei teoremi d, f, 47. Pel and therefore the sign just apply the formula, 51 taking into account the theorems d, f, 47.
Page 42 Page 4242 Def. 42 Def. III. III. Il numero ab sì chiama multiplo di a secondo il numero è, e ò è multiplo di 6 secondo il numero a; ae 6 si chiamano multipli di 6 o ba. The number so called ab multiple of the number is in seconds, and o 'is a multiple of the number to 6 seconds, a and 6 are called multiples of 6 or ba. Ind. IL II prodotto di a per si scrive anche col simbolo a2, il prodotto di az per a con a3; e in generale il prodotto di an~l per a si indica con an. Ind. II THE product for you to also writes under the symbol a2, az to the product of a with a3, and in general the product of an ~ l to n is denoted by. Def. Def. IV. IV. Il numero an si chiama potenza nma di a, w I1 esponente della potenza, ea la base. The number n is called nma power of a, w I1 exponent of the power, and the base. 53. 53. Divisione. Division. Def. Def. I. I. L1 operazione inversa della formazione di un gruppo con più gruppi uguali, equivale a quella di scomporre un gruppo in sottogruppi uguali, cioè di ugual numero di elementi quando ciò sia possibile. L1 reverse operation of the formation of a group with more equal groups, equal to that of decompose a group into subgroups equal, ie of the same number of elements when this is possible. (12, 31). (12, 31). Essa ci conduce all'operazione inversa della moltiplicazione che si chiama divisione. It leads us to the reverse operation of multiplication is called division. Vale a dire dato il prodotto a X b = oe il fattore , la divisione è queir operazione colla quale si determina l'altro fattore a. That is to say given the product to X b = o and the factor, the division is queir operation with which it is determined at the other factor. Def. Def. IL II risultato dicesi quoziente, e dividendo, b divisore, e si scrive c:be=*a essendo: il segno della divisione. IL The result is called the quotient and the dividend, b the divisor, and write c: = b and a * being: the sign of division. Def. Def. I'. I '. Si può anche dire: Dividere un numero e per un altro b significa trovare un n amere a tale che il prodotto di esso col numero b sia uguale a ?, o il numero delle volte che b è contenuto in e. You can also say: Divide one number and another to find a n ooms b means that the product of it with the number b is equal to?, Or the number of times b is contained in e. Da ciò risulta che e deve essere multiplo di b secondo il numero aa La divisione è un'operazione a senso unico. It follows that it must be a multiple of b y The second division is the number one way operation. Supponiamo si abbia: as=c: , a' = c:b si deve avere aXb = c, a'X = c (def. I), oppure X = e, bXa'~c (b, 52). Suppose we have: s = c:, a '= c: b is must have axb = c, c = a'X (def. I), or X = e, BXA' ~ c (b, 52). da cui a=a' (e, 52). from which a = a '(and 52). b. b. Numeri uguali divisi per numeri uguali danno numeri uguali. Like numbers divided by equal numbers give equal numbers. Difatti se a: = c, a':b' = cf, a = a', = ' si ha cb = c'.b' da cui e = e' (e', 52). For if a: = c, a ': b' = cf, a = a ', =' we have cb = c. 'B' where e = e '(e', 52). e. and. Per la divisione non vale la legge commutativa (def. I). For the division is not worth the commutative law (def. I). d. d. Se due numeri divisi per numeri uguali danno quozienti uguali i due numeri sono uguali. If two numbers divided by equal numbers give equal quotients of the two numbers are equal. Cioè se a:b =a' : b' e = ' si ha: a = a\ Difatti si ponga a: = c, ':#' = e (def. I) da cui a = .c, a' = '.e. That is, if a: b = a ': b' = and 'we have: a = a \ In fact, we put a: = c,': # '= e (def. I) where a =. C, a' = '. and. Ma essendo b = b' si ha a~a' (d, 47 e def. II 52). But since b = b 'has a ~ a' (d, 47 and def. II 52). eab : b = a. eab: b = a. Difatli ponendo ab:b=c si ha ab=cb (def. I), da cui ae (c\ 52). Difatli placing ab: b = c we have ab = cb (def. I), from which a and (c \ 52). f. f. (ac):(bc)=:a:b. (Ac) (bc) = a: b. Difatti si ponga (ac):(bc) = d, si ha ac = d. In fact, it puts (ac) (bc) = d, we have c = d. (bc) = (bd).c (6, d, 52). (Bc) = (bd). C (6, d, 52). da cui a = db ( , e', 52), e quindi a:b = d (def. I) e perciò anche a : b = (ac) : (bc) (d, 47 e def. II, 52) g. from which a = db (, e ', 52), and then a: b = d (def. I) and therefore also a: b = (ac): (bc) (d, 47 and final. II, 52) g. (a:c):(b:c) = a:b. (A: c): (b: c) = a: b.
Page 43 Page 4343 Sì ponga dc , ec *= è (def. I), si ha (dc) t (ec) = a:b (b) ed anche (dc) : (ec) d: e (p. Ma d = : e, e= :c (def. I) dunque (a: e): ( :e) = a: 6 (6) Ti. Per la divisione non vale la legge associativa. Non è cioè a:(b:c) = (a: b):c perché si ha a: (b : e) *= (ac) : be (a:b):ca:(cb) (f), mentre in generale non è (ac)ib = a:(cb). i. Per la divisione vale la legge distributiva. Difatti si ha (a : e db 6 : e) e = a ifc 6 (e, 52; def. I), e quindi dividendo per ei membri dell'uguaglianza si ha: (a3=b):c=a:c- b:c (Ti; 2, 8). Oss, Qui si suppóne che aeb siano divisibili per e (def. I). 54. Numero zero. a. I numeri della serie (2) si possono ottenere colla sottrazione di un nu- mero da un altro. Difatti se a è un numero qualunque di (I) e si unisce ad a un altro nu- mero -b si ha : a -f- b = e, da cui a = e b. Oss. I. Qui si presenta un caso particolare degno di nota che ci induce a intro- durre un nuovo numero. Se si toglie un numero da un altro numero ad esso uguale vale a dire se facciamo astrazione da esso (7), non si ottiene alcuno dei numeri della serie (I) ; si ha cioè che il gruppo corrispondente è un gruppo nullo o di nessun ele- mento (def. I, 31). Ma siccome ogni sottrazione da un numero di (1), non volendo fare rispetto a questa operazione, oppure rispetto alla corrispondenza coi gruppi, al- cuna eccezione conveniamo di dire che la sottrazione aa ci da un nuovo numero. Def. I. Il numero aa (oss. I) si chiama numero zero, e lo si indica col segno o, vale a dire aa=o (b, 9). b. aa = bb = o9 dove aeb sono numeri qualunque di (/). Difatti se al gruppo nullo che si ottiene togliendo b elementi da un gruppo di b elementi si aggiungono a elementi si ottiene un gruppo di a elementi, che altrimenti il gruppo nullo dovrebbe contenere esso stesso degli elementi contro l'ipotesi (II, 29). Dunque si ha pei numeri corrispondenti b b-\~a=a. Ma togliendo dal gruppo risultante il gruppo di a elementi si ottiene il gruppo primitivo, essendo l'operazione del togliere a senso unico (a, 11), quindi si ha bb -=.a a. Oss. IL Osserviamo che il segno o ha un significato ben diverso da quello che ha quando entra nel simbolo di un numero, come ad es. nel numero i 0, perché in tal caso viene posto di seguito ali9 unità per comodità di segnatura o di numerazione. e. Il numero zero è minore di tutti i numeri della seme (I). Perché è rappresentato da un gruppo che non ha elementi (def. I, e II, 49). 055, IH. Volendo ordinare tutti i numeri in una nuova serie mantenendo in essa la proprietà della (I), che i numeri precedenti un numero a sono minori di a, e quelli che lo seguono sono maggiori di a (cf, 46; f, 50), il numero o dovrà occupare il primo posto, e si avrà la serie Yes put 43 dc, and c * = you (def. I), we have (dc) t (c) = a: b (b) and also (dc): (c) d: e (p. But d =: and e = c (def. I) then (a: e): (: e) = a: 6 (6) Ti. For the division does not apply the law of association. It is not that is: (b: c) = (a: b): c because you have to: (b: s) * = (ac) b and (a: b): c: (cb) (f), while in general is not (ac) = ib to: (cb). i. For the division is the distributive law. In fact, it has (a: and db 6: e) and in ifc = 6 (and, 52; final. I), and then dividing by and members of 'equality we have: (a3 = b): c = a: b-c: c (I, 2, 8). Oss, The theory here is that a and b are divisible by e (def. I). 54. number zero. a. The numbers of the series (2) can be obtained with the subtraction of a nu-mer from another. In fact, if a is any number of (I) and joins to another nu-mer-b we have: at -f-b = e, where a = and b. Oss. I. Here we present a special case worthy of note that leads us to introduce a new number. If you remove a number from another number to it equals ie if we make abstraction from it (7), do not get any of the terms of the series (I); you namely that the corresponding group is a group of zero or no ele-ment (def. I, 31). But As each subtraction by a number (1), not wanting to do about this, or with respect to correspondence with the groups, cradle-to agree except to say that the subtraction aa us a new number. Def. I. The number yy (oss. I) is called the number zero, and is to be indicated with the sign or, namely aa = or (b, 9). b. aa = bb = o9 where a and b are numbers any of (/). In fact, if the group which is obtained by removing b zero elements from a group of b are in addition to the elements is obtained in a group of elements, which otherwise the null group should contain itself against the hypothesis of the elements (II, 29). Therefore it has pei numbers corresponding b-b \ ~ a = a. But removing the resulting group to group items then the primitive group, being the operation of removing one-way (a, 11), then you bb - =. a a. Oss. THE observe that the sign or have a very different meaning from what he has when he enters the sign of a number, eg. in the number 0, because in this case is placed below ali9 units for ease of signature or numbering. and. The number zero is less than the numbers of seeds (I). Why is represented by a group that has no elements (def. I and II, 49). 055, IH. Wanting to order all the numbers in a new series keeping in it the properties of (I), that the numbers a previous number are smaller than a, and those that follow are more of a (cf, 46 f, 50), the number or will occupy the first place, and the series will
Page 44 Page 4444 a') o, i, 2, 3 ..... 44 to ') o, i, 2, 3 ..... io, .... I .... 20 .... 20 .... 100 .... 100 .... m ..., d. m ..., d. adzos=a, o-\-a = a Di fatti le due relazionisi possono scrivere così: a (a à)=a,(a #) Il primo membro della prima uguaglianza riferendoci ai gruppi ci dice che al gruppo a non si è aggiunto alcun elemento; o dal gruppo di a elementi non si è tolto alcun elemento; nell'uno e nell'altro caso si ha dunque per ri- sultato il gruppo di a elementi. adzos = a, o-\-a = a relazionisi In fact the two can be written as follows: a (a a) = a, (a #) The first member of the first equality by referring to the groups tells us that the group has not add any factor, or by a group of elements has not taken any part, in either case is therefore to re insulted a group of elements. Il primo membro della seconda uguaglianza ci dice invece che dal gruppo a fu tolto lo stesso gruppo, il che ci da per risultato nessun elemento (def. I, 31), e che a questo risultato fu aggiunto un gruppo di a elementi. The first member of the second equality tells us that the group was taken from the same group, which gives us the result for any element (def. I, 31), and that this result was added to a group of elements. Anche in questo caso il risultato finale è un gruppo di a elementi (li, 29). Also in this case the end result is a group of elements to (li, 29). e. and. oX#=0X =0. oX # = 0X = 0. Perché ripetendo un gruppo che non ha elementi tante volte quante sono le unità contenute nel numero #, si ha sempre un gruppo senza elementi (15; oss. I, 52; 11,29). Because repeating a group that has no elements many times as the number of units contained in #, you always have a group without elements (15; oss. I, 52; 11:29). Perché ripetere un gruppo a nessuna volta significa che non si considera affatto (7, e 31). Why repeat a group at any time means that it is not considered (7, and 31). Oss. Oss. IV. IV. Se un gruppo nullo si considera nessuna volta, il che vuoi dire che non si considera, in questo senso non si ha alcun risultato (def. I, 31), e si ha: 0X0=0, f. If a group is considered null and void any time, which means that no one considers, in this sense does not have any results (def. I, 31), and has: 0X0 = 0, f. o : a = o : b = o Ciò risulta dalla definizione della divisione (53) e da eg 0:0 = a, o : os=6; o : 0 = o, o in parole: La divisione di o per o non è un'operazione a senso unico *). or: or a = b = or This follows from the definition of the division (53) and by g = 0:0 to, or: os = 6; or: 0 = or, or in words: The division of, or to or not is an one-way *). Ciò risulta analogamente da e' e dall'oss. This is similar to and 'and the OSS. IV. IV. Il teor. The theorem. e1 basta a dimostrare il seguente principio: h. e1 is enough to prove the following principle: h. Se con forme date eseguendo una data operazione si ottengono risultati uguali non deriva da ciò solo che le due fórme siano uguali se si fa astrazione nei risultati dalle forme date. If given forms with performing a given task does not derive the same results are obtained by the mere fact that the two forms are equal if we abstract from the forms given in the results. Oss. Oss. IV. IV. Non ci diffondiamo ulteriormente nelle operazioni dei numeri della se- rie (I) perché ne faremo pochissimo uso nei fondamenti della geometria, nostro scopo principale, e d'altronde le proprietà qui svolte sono le proprietà fondamentali di questi numeri. There we spread further into the operations of the numbers of the se-ries (I) because we will make very little use in the foundations of geometry, our main purpose, and besides, the properties are held here the fundamental properties of these numbers. Così faremo pei numeri che introdurremo in seguito. So we will introduce later pei numbers. 1) Si badi che g non è in contraddizione colia proprietà 6 ee del n. 1) is taken so that g is not in contradiction colia properties of n e and 6. 8, perché qui o ; o è un se- gno che non rappresenta una sola cova, ma da e risulta invece che rappresenta numeri, e quindi anche concetti (4), diversi. 8, because here or, or is a mark that does not represent a single hatching, but from and it appears that represent numbers, and therefore also concepts (4), different.
Page 45 Page 45CAPITOLO IV. CHAPTER IV. Dei sistemi di elementi e in particolare di quelli ad una dimensione. Systems of elements, and in particular those at one dimension. 1. 1. Considerazioni empiricbe sul continuo intuitivo rettilineo *). Empiricbe intuitive considerations on continuous straight *). 55. 55. Che cosa è il continuo? What is constant? Ecco una parola il cui significato senza biso- gno di alcuna definizione matematica tutti intendiamo, perché intuiamo il con- tinuo nella sua forma più semplice come contrassegno comune a più cose con- crete, quali sono, per dar esempio di talune fra le più semplici, il tempo e il luogo occupato nell'ambiente esterno dall'oggetto qui tracciato, od a quello di un filo a piombo, di cui non si tenga conto delle sue qualità fisiche e della sua grossezza (in senso empirico 2)). Here is a word whose meaning without re-port of any mathematical definition we mean all, because we sense the con-tinuous in its simplest form as a marker common to most things con-crete, which is, to give example of some of the most simple , the time and the place occupied by the object in the external path here, or that of a plumb line, which does not take into account its physical qualities and its thickness (in the empirical sense 2)). Rilevando le partico- flg. Noting the particular fig. i,0- aic- M cx **y larità di questo continuo intuitivo dobbiamo cercare una definizione astratta del continuo, nella quale non entri più come elemento necessario l'intuizione _________ o la rappresentazione sensibile, in modo che inver- flg. i, 0 - aic-M ** y cx polarity of this input we continuously seek an abstract definition of the continuum, which does not come more as a necessary element of intuition or representation _________ sensitive, so that winter-fig. 3, e 3. 3, and 3. X a1 samente questa definizione possa servire astratta- X' mente con pieno rigore logico alla deduzione di al- tre proprietà delio stesso continuo intuitivo. X a1 samente this definition can serve as abstract-X 'mind with the full rigors of logical deduction of the three-intuitive properties delio same continuum. Che que- ta definizione matematicamente astratta si possa dare, vedremo in seguito. What this ta-definition can be given mathematically abstract, we will see. D'altra parte se la definizione del continuo non è puramente nominale e vo- gliamo invece corrisponda a quello intuitivo suddetto, deve evidentemente sca- turire dall'esame di questo, anche se poi la definizione astratta in conformità a principii matematicamente possibili comprenderà questo continuo come caso particolare. On the other hand, if the definition of the continuum is not merely nominal, and vo-mend instead that corresponds to the intuitive, must evidently Turire sca-examination of this, even though the abstract definition in accordance with principles mathematically possible this will include continuous as a particular case. L'oggetto della fig. The object of Fig. 1, a si chiama rettilineo. 1, is called rectilinear. Esaminando dunque il con- tinuo (fig. 1, a) vediamo che si può ritenere composto di una serie di parti consecutive identiche , , c, d ecc. Examining the thus-with continuous (fig. 1, a) we see that it can be considered composed of a series of identical consecutive parts,, c, d etc.. disposte da sinistra verso destra, e che ciò vale entro certi limiti dell' osservazione. arranged from left to right, and that this is true within certain limits of 'observation. Le parti sono separate dalle croci segnate sull'oggetto stesso, e sono pure continue. The parts are separated from crosses marked on the object itself, and are also continuous. Inoltre scorrendo coll'occhio da sinistra verso destra osserviamo che le parti a, b, c, d come pure ab, bc, ed, ecc. Furthermore, with the eye scrolling from left to right we observe that the parts a, b, c, d as well as ab, bc, and, etc.. ; abc, bcd ecc. , Abc, bcd etc.. ecc. etc.. sono identiche da sinistra verso destra, e che que- ste particolarità hanno pure luogo da destra verso sinistra. are identical from left to right, and that this particularity-ste have also takes place from right to left. Si ha ancora che fra due parti consecutive aebec della serie abcd ecc. It still has that in two consecutive parts aebec series abcd etc.. non vi è altra parte, mentre ad es. there is no other part, while eg. fra le parti aec vi è la parte b\ 1} Per stabilire i concetti matematici possiamo benissimo ricorrere a nozioni acquistate empi- ricamente, senza poi che nelle definizioni stesse e nelle dimostrazioni dobbiamo farne alcun uso. between the parties is part b and c \ 1} To establish the mathematical concepts may very well resort to empirical knowledge acquired historically, no later than in the same definitions and proofs we make no use. 2) Vedi oss. 2) See oss. emp. emp. n. No. 1, parte I 1, Part I
Page 46 Page 4646 e se si fa astrazione dalla parte b, l'oggetto rettilineo non è più continuo. 46 and if we abstract from part b, the object straight is not as seamless. Ciò che vale per le parti aeb 1' osservazione ci assicura che vale fra due parti consecutive qualunque di una qualunque di esse, o in altre parole non vi è altro tutto colle stesse proprietà deJP oggetto rettilineo le cui parti separino due parti consecutive dell'oggetto stessono meglio del luogo da esso occupato (23 e def. II, 25). What is true for parts a and b 1 'observation assures us that any two consecutive parts of any of them, or in other words there is another hill all the same properties deJP straight object whose parts separating two shares consecutive object stessono better than the place it occupied (23 and def. II, 25). Oltre a ciò vediamo che tanto sperimentalmente (cioè con una serie limi- tata naturale (35) di scomposizioni), come anche astrattamente (vale a dire secondo ogni ipotesi od ogni operazione matematicamente possibile che non contraddica ai risultati dell'esperienza), noi possiamo arrivare ad una parte non ulteriormente scomponibile in parti (indivisibile), colla quale è composto il continuo (come è per il tempo un istante). In addition to this we see that both experimentally (ie with a series-limited natural (35) of decompositions), as well as abstract (namely in accordance with any hypothesis or any operation mathematically possible that does not contradict the results of the experiment), we can arrive at a party can not be further broken down into parts (indivisible), with which it is composed of the continuum (as is the time for a while). È poi la esperienza stessa che ci spinge a cercare l'indivisibile in modo da non poterlo ottenere praticamente, perché essa ci dimostra come una parte considerata indivisibile rispetto ad un'osservazione non lo sia più rispetto ad altre osservazioni eseguite con istrumenti più esatti o in condizioni diverse. It is then the same experience that drives us to seek the indivisible so that I can not get pretty, because it shows us as a party considered to be indivisible with respect to an observation is not more than other observations with instruments more accurate or different conditions. E ammessa la parte indivisibile noi vediamo che anche sperimentalmente pos- siamo ritenerla indeterminata, e perciò più piccola di qualsiasi parte data del- l'oggetto rettilineo. It allowed an indivisible part we see that we may regard it experimentally undetermined, and therefore smaller than any given part of the object straight. Occorre inoltre distinguere una parte data a del continuo dalle altre per poterla considerare indipendentemente da queste ; e se facciamo astrazione da essa, la parte rimanente bea ecc. It should also be given to distinguish one part of the continuum from the others because it can be considered independently of these, and if we abstract from it, the remainder of b and so on. nell'ordine bcd ecc., che indichiamo pel mo- mento con a, non possiamo considerarla come avente una parte comune con a. order bcd etc.., that PEL mo-ment we denote by a, we can not regard it as having a common part with a. Rimanendo la parte a al suo posto nel continuo per distinguerla dalla parte a dobbiamo immaginare qualche cosa, un segno (punto), che serva a indicare il posto di unione delle due parti, pur rimanendo inalterata la proprietà già so- pra osservata che cioè fra aea non vi è alcuna parte di altro tutto nel senso indicato. Keeping the part in place continuously in order to distinguish it from the part we have to imagine anything, a sign (dot), which serves to indicate the place where the two parties, while remaining unchanged the properties already observed that practical know-that is, between aea there is no part of another round in the direction indicated. Il segno che separa la parte a dalla parte a è dunque un prodotto della funzione di astrazione della nostra mente e di scomposizione del conti- nuo in parti, e non è parte dell'oggetto rettilineo; se fosse una parte a* di a consecutiva ad a, da sinistra verso destra potremmo ripetere fra aea la stessa considerazione. The sign that separates the part from the part of the function is therefore a product of abstraction of our minds and the continual breakdown in parts, and is not part of the object straight, if it were a part of a * in succession to to, from left to right we could repeat between aea the same consideration. Da questo punto di vista noi siamo dunque costretti ad ammettere che il segno di separazione o di unione fra aea, anche come ap- partenente al continuo non sia parte di esso. From this point of view we are therefore forced to admit that the sign of separation or union of aea, as ap-partenente the constant is not part of it. E si può ritenere come appar- tenente ad entrambe, considerate indipendentemente l'una dall'altra. And it can be considered as belonging to both lieutenant, considered independently of one another. Indicando con A, B, C ecc. Indicating with A, B, C, etc.. i segni di separazione delle parti aeb; bee; eed ecc. the signs of separation of the parts a and b; bee; eed etc.. (fig. 1, a), la parte b potremo indicarla col simbolo (AB), la parte e col sim- bolo (BC) ecc. (Fig. 1, a), part b we indicate it with the symbol (AB), the side and with the sym-(BC) etc.. Tutto ciò è suffragato dalla stessa osservazione. This is supported by the same observation. Supponiamo ad es. Suppose, for example. che la parte a dell'oggetto rettilineo sia dipinta in rosso, la parte rimanente a in bianco, supponendo inoltre che fra il bianco e il rosso non vi sia altro colore. that the straight part of the object is painted in red, the remainder in white, assuming also that between the white and red there is no other color. Ciò che separa il bianco dal rosso non può avere colore né bianco né rosso, e quindi non può essere parte dell'oggetto perché ogni sua parte è-per Ipotesi bianca o rossa. What separates the white from the red color can not be neither red nor white, and therefore can not be part of the object because each part is for hypothesis-white or red. E questo segno di separazione o di unione del bianco e del rosso si può anche considerare appartenente o alla parte bianca o alla rossa considerandole indipendentemente l'una dall'altra. And this sign of separation or union of white and red can also be considered belonging to the white or red or considering them independently. Se ora. If you now. si fa astrazione dal we abstract from
Page 47 Page 4747 colore il segno di separazione delle parti aea possiamo supporlo apparte- nente all'oggetto stesso. 47 color of the sign to separate the parts we can suppose aea-tion belonging to the object itself. Un altro esempio. Another example. Tagliamo un filo finissimo nel posto indicato da X con la lama sottilissima di un coltello e stacchiamo le due parti aea' (fìg. 1, a\ e supponiamo che si possa poi ricomporre il filo senza che si osservi il posto ove avvenne il taglio (fig. 1, e), in altre parole come se nessuna particella del filo andasse perduta; il che si ottiene apparentemente guardando il filo così ricomposto in certa lontananza da esso. Osservando ora la parte a da destra verso sinistra come indica la freccia della fig. 1, sopra a ; ciò che si vede della parte tagliata non è certamente parte del filo, come ciò che si vede di un corpo non è parte del corpo stesso. Analogamente succede se si guarda la parte a1 da sinistra verso destra. Se il segno X di separazione della parte a da a' supposto appartenente al filo stesso fosse parte di esso, guardando a da destra verso sinistra non si vedrebbe tutta questa parte, mentre ciò che se- para la parte a da a1 è soltanto ciò che si vede nel modo suindicato, quando si suppone poi ricomposto il filo l). Cut a very thin wire in the place indicated by X with the thin blade of a knife and detach the two parts and a '(fig. 1, a \ and suppose that we can then reconstruct the wire without any note took place where the cut ( fig. 1, s), in other words as if no particle of the wire would be lost; which apparently is obtained by looking at the wire so recomposed in a certain distance from it. Observing now the part from right to left as indicated by the arrow of Fig . 1, above; what is seen of the cut part is certainly not part of the wire, as what is seen of a body is not part of the body itself. Similarly happens if one looks at the part a1 from left to right. If the X mark of separation of part of a 'supposedly belonging to the wire itself was part of it, looking from right to left as you would see all this part, but what if the para-a1 is only part of what you see as above, when they are supposed then reassembled the wire l). L'ipotesi che il punto non è parte del continuo rettilineo (e nemmeno ha parti in sé 2) vuoi dire che tutti i punti che possiamo immaginare in esso, per quanti siano, non costituiscono uniti insieme il continuo, e scelta una parte (XX') piccola quanto si vuole dell'oggetto (fig. la a) (per il tempo un istante) e per quanto indeterminata vale a dire senza che X e X' siano fissi nel nostro pensiero l'intuizione ci dice che essa è sempre continua. The hypothesis that the point is not part of the continuous linear (and even has parts in itself 2) mean that all the points that we can imagine it, for those who are, are not joined together constantly, and choice of one side (XX ') as small as you want the object (fig. the a) (for the time an instant) and indefinite as it is to say without that X and X' are fixed in our thought intuition tells us that it is always continuous . Scorrendo poi coll'occhio da destra verso sinistra, o viceversa, vediamo che ogni punto occupa una posizione determinata sull'oggetto rettilineo, ea co- minciare da un dato punto non lo incontriamo più né da destra verso sini- stra né da sinistra verso destra, vale a dire l'oggetto rettilineo non ha nodi. Then rolling his eye from right to left, or vice versa, we see that every point on the object occupies a certain position, straight, and co-ranked by a given point does not meet the more-or from right to left or from left to right strategic , ie the object has no straight nodes. Vediamo inoltre che una parte per quanto piccola ad es. We also see that a small part as such. quella indicata da un trattino X apparentemente indivisibile (fig. 1, e) è limitata alla destra e alla sinistra da parti del continuo, e quindi da due punti. that indicated by a dash X apparently separated (Fig. 1, e) is limited to the right and left sides of the continuum, and then by two points. E siccome una parte costante limitata da due punti e indivisibile rispetto ad un'osservazione, può non esserlo rispetto ad altra osservazione, così siamo indotti anche sperimen- talmente ad ammettere che ogni parte limitata da due punti che rimangono sempre gli stessi nelle nostre considerazioni, sia pure divisibile in parti. And as a constant part limited by two points and indivisible with respect to an observation, can not be compared to other observation, so we also induced experimentally to admit that each party limited by two points remain the same in our considerations, albeit divisible into parts. Di più se consideriamo l'oggetto rettilineo da A verso destra possiamo ammettere che la serie di parti àbcd ecc. More if we consider the object straight from A to the right we can assume that the number of shares abcd etc.. in questo ordine sia illimitata (def. II, 32), perché dall'esperienza ripetuta siamo indotti a ritenere che, se non l'og- getto rettilineo il luogo però da esso occupato nell'ambiente esterno sia parte di un tutto illimitato. This order is unlimited (def. II, 32), because repeated experience we are led to believe that unless the subject-straight though the place it occupied in the external part of a whole is unlimited. Così da destra verso sinistra. So from right to left. Inoltre tra due punti anche indeterminati di posizione X e X' ma che non coincidono (def. V, 8) vi è sempre una parte continua. Furthermore, between two points also indeterminate position X and X 'but which do not coincide (final V, 8) there is always a continuous part. E poiché il continuo è 1} Vediamo dunque che l'idea del punto che non è parte del continuo o tutt'altro che una pura astraz:one, che non trovi giustificazione nell'esperienza stessa. And because the constant is 1} We see that the idea of the point which is not part of the continuous or anything but a pure astraz: one, that is not justified by the experience itself. Certo che facciamo uso della nostra facoltà di astrarre, ma o impossibile specialmente in matematica di non farne uso. Of course we do use our faculty of abstraction, but especially in mathematics or impossible not to use them. È quindi per lo meno inutile anche regolandosi secondo l'osservazione di ammettere che il punto sia il minimo sen- sibile dell1 empirista come fa il sig. Therefore, it is also useless By setting at least according to the observation point is to admit that the minimum sen-sible how does Mr. dell1 empiricist. Pasch (Vedi pref. e appendice). Pasch (see pref. And Appendix). 2) Noi non avremo però bisogno per lo svolgimento teorico della geometria di stabilire che il punto non ha in sé parti. 2) We will not, however, for the performance of the theoretical geometry to establish that the clause is not in itself shares. Dicendo in sé non intendiamo dire ciò che è una cosa indipendentemente da noi, ma ciò che è nella sua rappresentazione mentale (4). Telling in itself does not mean that is a thing apart from us, but what is in its mental representation (4).
Page 48 Page 4848 determinato matematicamente dai suoi punti, siamo indotti ad ammettere che fra due punti anche indeterminati, per quanto vicini essi siano, esista sempre almeno un altro punto distinto dagli estremi (def. V, 8). 48 mathematically determined by its points, we are led to admit that between two points also undetermined, although they are neighbors, there is at least another point distinct from the extreme (def. V, 8). A questa ipotesi siamo condotti inoltre dall'osservazióne che dato un punto X sull'o'ggetto rettilineo si guò immaginare una parte di esso (AB) che contenga X e tale che A e B si avvicinino sempre più a X senza mai coincidere con X, e che quindi si possono immaginare delle parti cogli estremi indeterminati quanto piccole si crede che contengano almeno un altro punto X oltre agli estremi. In this hypothesis, we also carried out by the observation that given a point X is straight sull'o'ggetto guo imagine a part of it (AB) containing X and such that A and B are approaching more and more to X without ever coincide with X , and therefore one can imagine the parties Seize extreme indeterminate how small it is believed that contain at least one other point X in addition to the extremes. Finalmente riceviamo l'impressione che neiroggetto rettilineo (flg. 1, a) intorno ad un suo punto B vi sono due parti (BA) e (BC) tali che considerata la prima da B verso A e la seconda da B verso C esse sono identiche, e che la parte (AB) percorsa de B verso A è identica alla stessa parte percorsa da A verso B (def. Ili, 9). Finally we get the impression that neiroggetto straight line (Fig. 1, a) around its point B there are two parts (BA) and (BC) considered such that the first from B to A and the second from B to C, they are identical, and that the part (AB) traveled from B to A is identical to the same part traveled from A to B (final Ill, 9). Tutti questi contrassegni dell'oggetto rettilineo si possono essi stabilire astrattamente senza bisogno di ricorrere alla intuizione? All these marks are straight object can they determine abstractly without having to resort to intuition? Se sì, sono essi suf- ficienti per distinguere il continuo come forma astratta da altre forme possi- bili? If yes, are they suf-ficient to distinguish the continuous form as abstract as to other possible forms-able? Oppure alcuni di essi non sono conseguenza necessaria degli altri seb- bene evidenti? Or some of them are not necessary consequence of other well-seb obvious? Ecco le questioni che dobbiamo risolvere in questa introduzione ; e noi vedremo che i contrassegni suindicati sono sovrabbondanti J). Here are the questions we have to solve in this introduction, and we shall see that the signs above are superabundant J). i) Ad es. i) Eg. G. G. cantar, DedeKind nei loro pregevolissimi lavori dicono che è arbitrarla la corri- spondenza univoca a partire da un punto delia retta fra i punti delia retta stessa ei numeri reali che costituiscono il continuo numerico ottenuto mediante una serie di definizioni astratte di segni, per quanto possibili arbitrarie sempre. sing, Dedekind extremely valuable in their work say it is arbitrarla the univocal correspondence from a point Delia straight line between the points Delia same straight line and real numbers which constitute the continuous numeric obtained by a series of abstract definitions of signs, as far as possible always arbitrary. A Dedekind sembra anche (1, e. pag. XII-XIII) che. A Dedekind also seems (1, e. P. XII-XIII) that. dati tre punti A, B, C non in linea retta in modo che i rapporti delle loro distanze siano numeri algebrici, i rap- porti delle loro distanze dai punti dello spazio dai tre punti alla distanza AB possano essere soltanto numeri algebrici di modo che lo spazio a tre dimensioni e quindi anche la retta sarebbero discon- tinui. given three points A, B, C not in a straight line so that the ratios of their distances are algebraic numbers, the rela-tions of their distances from points in space by three points at the distance AB can only be algebraic numbers such that the three-dimensional space and therefore also the straight line would be discontinuous tinui. Secondo Dedekind per chiarire anzi la rappresentazione dei continuo dello spazio occorre il continuo numerico (1. e.) Secondo me invece o il continuo intuitivo rettilineo mediante l'idea di punto senza parti rispetto al continuo stesso che serve a darci le definizioni astratte del continuo, di cui quello numerico non è che un caso particolare. According to Dedekind rather to clarify the representation of continuous space, the continued number (1. And.) In my hand or the continuous straight line through the intuitive idea of a point without parts to the same constant which serves to give us the abstract definitions of continuous , of which the number is merely a special case. In questo modo le definizioni non appariscono come uno sforzo della mente nostra, ma trovano la loro piena giustificazione nella rappresentazione sen- sibile dei continuo; del che bisogna certo tener conto nella discussione dei concetti fondamentali, senza uscire s'intende dal campo puramente matematico (vedi pref.). In this way, the definitions do not appear as an effort of our mind, but find their full justification in the representation of continuous sen-sible, which of course must be taken into account in the discussion of fundamental concepts, without departing from the purely mathematical means ( see pref.). E d'altronde sarebbe veramente meraviglioso che una forma astratta cosi complessa qual' è il continuo numerico ottenuto non solo senza la guida di quello intuitivo, ma come si fa oggi da alcuni autori. And besides, it would be really wonderful that so complex an abstract form which 'is the numerical constant obtained not only without the guidance of the intuitive, but as is done now by some authors. da pure definizioni di segni si trovasse poi T accordo con una rappresentaaione cosi semplice e primitiva qual1 o quella del con- tinuo rettilineo. by pure definition of signs is found then an agreement with T rappresentaaione so simple and primitive qual1 or that of the con-tinuous straight. 11 continuo intuitivo rettilineo è indipendente dal sistema di punti che noi vi possiamo immagi- nare, un sistema di punti considerato il punto come segno di separazione di due parti consecutive della retta o come estremo di una di queste parti, non può mai dare in senso assoluto tutto il conti- nuo intuitivo perché il punto non ha partì; soltanto, troviamo che un sistema di punti può rappre- sentare sufficientemente il continuo nelle ricerche geometriche. 11 intuitive continuous linear system is independent of the points that we we to imagine a system of points considered the point as a separator of two consecutive parts of the line or as an endpoint of one of these parts, can never give way absolute all-new intuitive accounts because the point has not ended; only, we find that a point system may represent sufficiently continuous in geometric research. Il continuo rettilineo non è mai com- posto dai suoi punti ma dai tratti che li congiungono due a due e che sono pur essi continui. The continuous straight line is never com-posed by his points but the figures linking them in pairs and that are themselves continuous. In questo modo il mistero della continuità viene ricacciato da una parte data e costante della retta ad una parte indeterminata quanto piccola si vuole, che è pur sempre continua, e dentro alla quale non ciò permesso di entrare più oltre colla nostra rappresentazione. In this way the mystery of continuity is driven back by a date and constant part of the straight line to a small part uncertain as desired, which is still continues, and inside which it is not allowed to enter more than glue our representation. Ed è in questo mistero che si ravvolge in fondo il concetto fondamentale di limite. And it is this mystery which wraps the full the fundamental concept of limit. Ma matematicamente, è bene rilevarlo, questo mistero non ha alcuna influenza, poiché ci basta la determinazione del continuo mediante un sistema ordinato ben definito di punti; però o altresì da osservare che la determinazione per punti o casuale perché l'in- tuizione del continuo l'abbiamo ugual mente senza di essa. But mathematically, it should detect it, this mystery has no influence, because we just continually through the determination of an ordered system of well defined points, however, and also to observe that the determination or random points because the intuition of the continuum in- we equally mind without it. Se si considera infatti il punto senza parti allora come si è detto facendo anche corrispondere a tutti i numeri reali conosciuti i punti del la retta a partire da un* origine, non otteniamo tutto il continuo. Indeed, given the point without parts then as was said by all the numbers also correspond to actual known points of the line from a * source, we do not get all the continuum. Se si considera il punto come parte quanto piccola si vuole ma costante, allora nemmeno tutti -numeri razionali sono rappresentabili sul seg- mento rettilineo a cominciare da uno dei suoi punti come orìgine ; eppure esso rimane continuo nel- If we consider the point as a small part of what you will, but constant, then not even all-rational numbers are represented on the straight line segment starting from one of his points as the origin, yet it remains constant in-
Page 49 Page 4949 2. 49 2. Elemento fondamentale Elementi e forme differenti di posizione e coincidenti in senso assolato o relativo, Leggi di determinazione oppure di esistenza o di costruzione delle forme. An essential component elements and various forms of overlapping sense and sunny position or relative, Read or determination of the existence or construction of forms. 56. 56. Ripigliamo le nostre considerazioni sulle forme astratte. Proceeded again on our consideration of abstract forms. Conv. I. Conv I. Il gruppo ordinato abc=a(bc)~(ab)c (III, ea, 29) ha per parti , b, e; ab, bc (def. II, 27). The orderly group abc = a (bc) ~ (ab) c (III, and a, 29) has parts, b, c; ab, bc (def. II, 27). Siccome è contrassegno di questo gruppo il modo con cui è posto a rispetto a bc e perciò anche la parte ab rispetto alla parte bc (def. I, 38), così conveniamo di dire che il gruppo abc si ottiene anche unendo la parte bc alla ab anziché dire che esso si ottiene dall'unione di bc ad a (III, 29). Since it is a sign of this group the way in which it is placed in relation to bc and therefore also the part ab with respect to the bc (def. I, 38), so we agree to say that the group abc is also obtained by combining the part to the bc ab instead of saying that it is obtained by the union of bc to to (III, 29). Con questa operazione b deve essere considerato però una sola volta. With this operation, b must be considered, however, only once. Diremo che b serve di separazione o di unione della parte ab dalla o colla parte bc nel tutto. We say that b is the separation or union of the ab or glue from bc part in everything. Così se si ha una serie di forme ....abcd....mn.... So if you have a variety of forms .... abcd .... mn .... z\... z \ ... illimitata conveniamo di dire che il gruppo ordinato che ne risulta (def. I, 26 e oss. 28) si ottiene an- che dall'unione della parte illimitata o limitata (mn. .x....) alla parte limitata o illimitata (....abcd....m) (a, 40) in modo però che la forma comune alle due parti deve essere considerata una volta sola. unlimited agree to say that the resulting ordered group (def. I, oss 26 and 28). that-you get an unlimited or limited part of the union (mn.. x ....) to the limited or unlimited (abcd .... .... m) (a, 40) so that the common form, however, both parties must be considered only once. Se finalmente sì considera il punto come parte indefinitamente piccola nello stato cioè di indeter- minata piccolezza, allora ad ogni numero reale corrisponde un punto senza assioma speciale. If yes finally sees the point as infinitely small part in the state that is indeterminate undermined smallness, then every real number corresponds to a point without special axiom. L' intui- zione spaziale ci dice in fondo che se (A) è la forma astratta corrispondente al luogo occupato dal- l'oggetto rettilineo non vi è nessun'altra forma astratta (B) della stessa natura di (A) di cui una parte separi due parti consecutive di (A) (22, 24). L 'intuitive spatial tells us that if at the bottom (A) is the abstract form corresponding to the place occupied by the object-rectilinear there is no other abstract form (B) of the same kind of (A) of which a part separates consecutive two shares of (A) (22, 24). Dire che la retta potrebbe essere discontinua e data da tutti i punti considerati senza parti, che rappresentano ad es. Say that the straight line may be discontinuous and date from all the points considered without parts, which represent eg. a cominciare da una data origine tutti i numeri algebrici, è ammettere per so un fatto che ripugna all'intuizione, e cioè che la forma astratta corrispondente alla retta appartenga ad un altra forma astratta possibile che com- prende in sé tutti i numeri reali, i cui elementi (che in essa sono parti, a, 27) separino quelli della prima. starting from a given source all algebraic numbers, is to admit I know for a fact that offends the intuition, namely that the abstract form corresponding to the line belongs to another abstract form possible that comprises in itself all the real numbers, whose elements (which are parts in it, a, 27) separating the first ones. E non solo in conformità a questo principio siamo costretti ad ammettere che a cominciare da un punto della retta tutti gli altri punti rappresentino i numeri reali, ma ad ammettere altresì vi siano in essa punti che corrispondano eventualmente ad altri possibili numeri compresi fra i nu- meri reali, rimanendo intatte le altre proprietà caratteristiche della retta. And not only in accordance with this principle we are compelled to admit that starting from a point on the line all the other points represent real numbers, but also to admit that there are points in it correspond to any other possible numbers between the nu- mere real, remaining intact other properties characteristic of the line. Osservo ancora che noi consideriamo la parte indefinitamente piccola indipendentemente dalla distinzione di numeri razio- nali e irrazionali, e che sarebbe per noi molto più arbitraria e incerta l'ipotesi che non tutte que- ste parti contengano almeno un punto oltre gli estremi. I also note that we consider the infinitely small numbers, regardless of the distinction of rational and irrational-tions, and that we would be much more arbitrary and uncertain hypothesis that not all of these these parts contain at least one point beyond the extremes. Di più. More. se si ha un proiettile che dal punto A vada a colpire il punto B in linea retta, dividendo il cammino di esso nella serie di parti JL _L+ _L JL + JL +JL 2' 2 ^ 22' 2 "^ 22 ^ 23' e se noi l'accompagniamo nella serie di queste parti non vediamo col pensiero uscire mai la punta del proiettile dalla serie stessa. Ma abbiamo però d'altra parte la rappresentazione del fatto che il proiettile colpisce il punto B, il quale è il limite a cui giunge la punta del proiettile, e (AB) è il limile della serie suddetta, nel senso cioè che finché la punta X del proiettile rimane nella serie si avvi- cina indefinitamente al punto B, ossia (XB) diventa piccola quanto si vuole. Cosi se si ha una serie di parti consecutive sempre crescenti sulla retta stessa, senza che essa a partire da un punto A oltre- passi un dato punto B nel campo della nostra osservazione, per rappresentarci tutta questa serie ab- biamo bisogno di uscire colla rappresentazione dalla serie e di rappresentarcela limitata ad un altro punto e compreso fra A e B ma fuori della serie, se (AB) stesso non è il limite della serie. E anche in questo caso ripugnerebbe all'intuizione l'ipotesi contraria. Si noti inoltre che l'intuizione è certo essenziale per la geometria, sebbene essa non debba entrare come elemento necessario sia nell'enun- ciato delle proprietà o delle definizioni sia nelie dimostrazioni (vedi pref.). Che vi siano sistemi discontinui di punti i quali soddisfino a tutte le proprietà dello spazio date dall'esperienza a quanto sappiamo non è stato ancora dimostrato; ma in ogni caso ciò non direbbe ancora nulla contro la continuità delle spazio. Per quali ragioni poi non si abbia a porre a base dei fondamenti della geometria il continuo nu- merico veggasi la prefazione e l'appendice e il n. Ii3 di questa introduzione. (Vjdi anche 2 nota nf 97 e 2 nota n. 96). 4 If you have a bullet from point A goes to hit the point B in a straight line, dividing the path of it in the number of shares JL _L + _L JL + JL + JL 2 '2 ^ 22' 2 "^ 22 ^ 23 'and if we accompany in the number of such shares does not see the thought ever leaving the tip of the bullet from the same series. But though we have representation on the other hand the fact that the bullet striking the point B, which is the extent to which reaches the tip of the projectile, and (AB) is the limile series above, in the sense that X until the tip of the projectile remains in the series will start to-china indefinitely to point B, ie (XB) becomes small as desired. Thus If you have a series of consecutive parts growing on the same line, without it starting from a point A over-pass a given point B in the field of our observation, to represent this whole series ab-biamo need to go out with the representation from series and rappresentarcela limited to another point and between A and B but outside of the series, if (AB) itself is not the limit of the series. And also in this case the hypothesis is contrary to intuition repugnant. Note also that intuition is certainly essential to the geometry, although it should not come as a necessary element is nell'enun-ciato properties or definitions is Nélie demonstrations (see pref.). That there are points of discontinuous systems that comply with all the properties of space as we know from experience to date has not yet been demonstrated, but in any case this does not even say anything against the continuity of space. For such reasons, then you do not have to lay the foundations of geometry based on continuous nu - Merico the preface and appendix compare p and n. II3 of this introduction. (2 Vjdi also known nf 97 and footnote 2. 96). 4
Page 50 Page 5050 57. 50 57. Def. Def. I. I. Per elemento fondamentale o per elemento intendiamo una prima forma qualunque data, e chiameremo elementi fondamentali tutte le forme ad essa identiche (def. Ili, 9) *). For essential element or any form we mean a first date, and call all the fundamental elements of identical shape to it (def. Ill, 9) *). Def. Def. IL Considerando più elementi dati distinti (def. V, 8) diremo anche che hanno una posizione diversa (oss. Ili e def. VI, 9). Considering THE most distinct data items (def. V, 8) we shall also have a different position (oss. and Ill def. VI, 9). Oss. Oss. I. I. In generale dunqne dovremo tener conto del modo con cui sono posti gli elementi (oss. I e def. I, 38). In general dunqne we take into account the manner in which are placed the elements (I and final oss.. I, 38). Def. Def. IIL Anziché dire un elemento diremo anche due o più elementi coin- cidenti 2). Rather than say an IIL say two or more elements involved cidenti 2). Due elementi invece che non sono lo stesso elemento ma potranno essere considerati in qualche modo come un solo elemento, si diranno coinci- denti rispetto al modo anzidetto. Two things however that are not the same element but may be considered somehow as a single item, you will say about the way the teeth coincide aforesaid. Se dovremo distinguere l'un caso dall'altro, di- remo che nel primo caso coincidono in senso assoluto o assolutamente, mentre nel secondo caso diremo che coincidono in senso relativo o relativamente. If we distinguish the case a second, to-oar in the first case in an absolute sense or absolutely coincide, while in the second case we will say that coincide in relative or relative. E se coincidono in senso relativo in diversi modi bisogna dire rispetto a quale di questi modi coincidono. And if they coincide in a relative sense in different ways than we must say which of these modes coincide. Oss. Oss. II. II. In generale però quando parleremo di due o più elementi intenderemo che non siano lo stesso elemento e quindi siano distinti. In general, however, when we speak of two or more elements shall understand that they are not the same element, and then are distinct. E se diremo due o più ele- menti qualunque intenderemo elementi distinti, qualunque siano le loro relazioni di posizione (def. Vili, 13), eccetto che non si dica diversamente. And if we say two or more elements shall understand any distinct elements, regardless of their positional relationships (def. VIII, 13), except that you do not say otherwise. Def. Def. IV. IV. In generale per foivna intenderemo in seguito un sistema deter- minato da elementi (def. 1, 11), sehbene anche l'elemento sia una forma (def. I). In general for foivna shall understand after a system deter-mined by elements (def. 1, 11), sehbene also the element is a form (def. I). Def. Def. V. V. Forme determinate da elementi differenti saranno dette forme di diversa posizione anche se identiche (oss. Ili e def. VI, 9); e coincidenti se i loro elementi coincidono (def. IH). Forms determined by these different elements are different forms of position even if identical (oss. and Ill def. VI, 9), and coincident if their elements coincide (def. IH). Ind. Indicheremo generalmente gli elementi con lettere maiuscole e le for- me con lettere minuscole. Ind. usually denote elements with uppercase and lowercase letters for-me. 58. 58. Def. Def. I. I. L'insieme dei contrassegni comuni di una forma che sono suffi- cienti a distinguerla dalle altre forme (def. I, 9 ed es. 10) e sono indipendenti fra loro, dicesi legge di determinazione della forma. The set of marks of a common form that they are sufficient to distinguish it from other forms (final I, 9 and eg. 10) and are independent of each other, is called the law for the determination of the shape. Def. Def. IL Se la forma si considera come data, la legge di determinazione si chiama legge di esistenza, se si considera invece come costruita (def. II, 10) dicesi legge di costruzione o di generazione della forma. IL If the form is considered as the date, the law of determination is called the law of existence, if we consider instead as built (def. II, 10) is called the law of construction or of form generation. Oss. Oss. I. I. Se gli elementi di una forma sono costruiti prima colla legge di costru- zione possiamo supporli poi dati (I, 18), e la legge di costruzione diventa legge di esistenza; se invece sono dati e si vuole costruirli, la legge di esistenza diventa legge di generazione. If the elements of a form are constructed with the first law of construc-tion can supposing then given (I, 18), and construction law becomes the law of existence, but if you have data and want to build them, the law of existence becomes law generation. Def. Def. III. III. La rappresentazione in parole della legge di determinazione di una forma dicesi definizione della forma. The representation in words of the law for the determination of a shape is called the definition of the shape. Oss. Oss. IL Possono forme diverse avere una comune proprietà, ma allora questa proprietà se serve a definire il loro tutto o insieme, non serve a determinare nes- suna di esse singolarmente, e oltre alla comune proprietà occorreranno altre pro- prietà speciali per determinare ciascuna di esse. THE different forms may have a common property, but then this property if it serves to define them all together or not used to determine nes-suna of them individually, and besides the common property will require further, special pro-property to determine each . Def. Def. IV. IV. Riferire una forma ad altre forme significa considerare il gruppo dato dalla prima colle forme date. To report a form other shapes means considering the group with the forms given by the first date. Queste si chiamano forme di riferimento. These are called forms of reference. 1) Qui non intendiamo dunque che l'elemento non abbia in sé parte alcuna. 1) Here, therefore, does not mean that the item is not in itself has no part. 2) Vedi anche def. 2) See also final. V, 8. V, 8.
Page 51 Page 51Oss. Oss. III. III. Siccome nelle forme identiche non possiamo tener conto della loro di- versità di posizione rispetto ad altre forme, non già però nei gruppi di forme iden- tiche (def. Ili, oss. Ili, 9 e oss. e def. I, 38; 41) ne consegue che, considerate in sé, la loro legge di determinazione è la medesima, ma non è generalmente più la medesima se si riferiscono ad altre forme, perché indicate le due forme identiche con aebe con e una forma di riferimento può essere che la forma ac non sia identica alla forma bc. Since the forms are identical, we can not take account of their di-versity of position relative to other forms, but not in groups of identical policies forms (def. Ili, pers. Ill, 9 and oss. And def. I, 38; 41) it follows that, considered in themselves, their law of determination is the same, but it is not generally the same if they relate to other forms, because the two identical shapes indicated with a and b and with a form of reference that can be the ac form is not identical to the shape bc. Def. Def. V. V. Invece di dire che gli elementi di una forma sono dati o costruiti con una data legge diremo anche che in virtù di questa legge, da uno o più elementi della forma 'nascono o si ottengono gli altri elementi. Instead of saying that the elements of a form or data are constructed with a given law will say that even in virtue of this law, by one or more elements of the form 'arise or are obtained other items. Def. Def. VI. VI. Dicesi anche di ogni forma che è la rappresentazione della sua legge di determinazione. It is said also that every form is the representation of his law determination. 3. 3. Determinazione delle forme Corrispondenza, d'identità, delle forme Concetto di maggiore e di minore. Determination of forms of correspondence, identity, the concept forms of major and minor. 59. 59. a. a. Si possono immaginare delle forme indipendenti che contengano un elemento dato qualunque e soltanto questo elemento. You can imagine the independent forms that contain a given element whatsoever and only this element. Dato un elemento A si possono immaginare più forme che abbiano in comune il solo elemento A (def. VII, 13) perché data una forma f che contiene A, si possono immaginare altri elementi fuori di fe indipendenti da f (a, 37), i quali con A danno un' altra forma f indipendente da f (def. IV, 57 e def. II, 10). Given an element A can be imagined more forms that have in common only the element A (final VII, 13) because given a form that contains f A, one can imagine other elements outside of f and independent from f (a, 37), with which to make an 'other form independent of f f (def. IV, 57, and def. II, 10). Si può supporre che A non determini da solo altri elementi distinti da A in modo che ogni forma che contiene A contenga anche gli altri, perché in tal caso come elemento si potrebbe considerare il gruppo di questi elementi (defì- niz. I, 57). It can be assumed that A does not result from only other distinct elements from A so that any form that contains A contains also the other, because in that case as an element one could consider the group of these elements (defined Niz. I, 57) . a'. to '. Gli elementi di una forma, e quindi la forma sfessa sono detemiùuiti dalle forme indipendenti die li contengono. The elements of a shape, and therefore the shape sfessa detemiùuiti shapes are independent die containing them. Ho detto anche la forma, perché essa è determinata dai suoi elementi ( lef. IV, 57). I also called the form, because it is determined by its elements (lef. IV, 57). Oss. Oss. Le forme si possono ritenere dunque determinate da altre forme (def. I, 11). The forms can be considered, therefore, determined by other forms (def. I, 11). 60. 60. a. a. Forme date, determinate da forme identiche, sono identiche. Given forms, determined by identical shapes are identical. Oss. Oss. I. I. L'ordine e il modo con cui sono poste alcune delle forme determinatrici Cdef. The order and the manner in which they are located some of the forms determinatrici CDEF. I, 38) si possono ritenere determinati dalle altre forme determinatrici (a', 59,). I, 38) can be considered as determined by other forms determinatrici (a ', 59,). ci. there. Se forme identiche determinano altre forme, queste forme sono identiche. If the same result in other forms, these forms are identical. Difatti le due forme risultanti sono determinate da forme identiche ( ). In fact, the two resulting forms are determined by identical shapes (). a". Se forme determinate da altre forme non sono identiche, le seconde forme non sono identiche. Se lo fossero, determinerebbero forme identiche (a). a'". a. "If certain forms from other forms are not identical, the latter forms are not identical. If they were, would result in identical shapes (a). to '". Forme costruite colla stessa operazione mediante forme identiche sono identiche. Forms constructed with the same operation using identical shapes are identical. Oss IL Neir operazione riteniamo compreso anche l'ordine delle forine genera- trici e il modo con cui sono poste (def. 1, 38) se ad essi non si accenna esplicita- mente. Oss THE Neir operation we also included the order of forine generates-ric and the way in which they are located (def. 1, 38) if they fail to mention it explicitly. È inutile anche dire che l'operazione è a senso unico (def. Il, 11) perché se desse i risultati Y} Y1, Y' ecc. Needless to say also that the operation is one-way (def. Il, 11) because if it gave the results Y1} Y, Y ', etc.. sarebbe a senso unico rispetto a tutto il risultato Y, Y,Y" ecc. would be one way than all the result Y, Y, Y ', etc..
Page 52 Page 5252 Se non lo fossero non lo sarebbero neppure le forme risultanti (alv). 52 If they were not would not the resulting forms (alv). I principi ae a'" sono conseguenza immediata della definizione d'iden- tità (def. VI, 8; def. Ili e oss. Ili, 9) perché da ao da a'" segue che le condi- zioni di determinazione delle forme sono tutte uguali (def. I, 11) e quindi an- che tutti i contrassegni che servono a distinguere le due forme dalle altre (def. I, 9); e perciò queste forme sono identiche (def. Ili, 9). The principles and a '"is an immediate consequence of the definition of identities (def. VI, 8, def. Ili and oss. Ill, 9) or because of a'" it follows that the conditions of determination of the forms are all the same (final I, 11) and then an-that all the marks which serve to distinguish the two forms from the other (final I, 9), and therefore these forms are identical (final Ill, 9). Oss. Oss. III. III. Nel principio a le forme si considerano come date, in a"r si considerano come costruite. I principii aea* sono in fondo un solo principio riguardato sotto aspetti diversi, in quanto che anche l'operazione con cui si ottiene un dato risultato si può ritenere data dalle forme (condizioni, 10) che determinano le forme costruite (a, 59 e I, 18). 7IV. Forme non identiche colla stessa operazione danno forme non identiche. Perché le condizioni di determinazione delle forme risultanti non sono tutte identiche (def. Vili, 8; def. I, 11). #v. Se da forme date colla stessa operazione si ottengono forme identiche, le forme date sono identiche. avl. Se da forme date colla stessa operazione si ottengono forme non iden- tiche, le forme dette non sono identiche. Difatti se lo fossero lo sarebbero anche le forme risultanti ( '"). In principle forms are considered as given in to "r are considered as built. Aea * The principles are basically one principle involved in different aspects, as also the process by which we obtain a given result can be believe date from the forms (conditions, 10) which determine the forms constructed (a, 59 and I, 18). 7IV. Forms not identical with the same operation give forms not identical. Because the conditions of determination of the resulting forms are not all identical ( final. VIII, 8; final. I, 11). # v. If forms by dates with the same operation is obtained identical shapes, the shapes dates are identical. avl. If forms by dates with the same operation are obtained forms not identical policies , these forms are not identical. In fact if they did they would also be the resulting forms ('"). flvi1. flvi1. Se da forme identiche con date operazioni si ottengono forme identi- ci le, le operazioni sono identiche. While identical shapes with given operations are identical we get the forms, the operations are identical. Difatti se non lo fossero le condizioni di determinazione non sarebbero le stesse (def. II, 10), e le forme risultanti non sarebbero identiche (def. Vili, 8). In fact, if they were not the conditions for the determination would not be the same (final II, 10), and the resulting forms would not be identical (final VIII, 8). Oss. Oss. IV. IV. È da osservare come abbiamo fatto altrove (0, 54) che non risulta da v che due forme non identiche non possano determinare colla stessa operazione forme identiche quando però queste si considerino indipendentemente dalle forme generatrici; né in ciò vi è alcuna contraddizione con aiv. It should be noted that we have done elsewhere (0, 54) which is not to see that two forms are not identical with the same operation can not create identical shapes but when you consider these forms regardless of the generators, nor in that there is no contradiction with aiv. (oss. V, 9). (Oss. V, 9). b. b. Alle forme di ima forma data si possono far corrispondere univocamente e nello stesso ordine forme identiche di un' altra forma identica alla data. To the forms of ima given shape can be made to correspond uniquely and in the same order identical shapes of a 'other form identical to the date. Difatti se due forme aeb sono identiche esse corrispondono allo stesso concetto e rispetto a tutti i loro contrassegni, considerate ciascuna in sé (def. VI, 8; 4; oss. Ili, 9; oss. II, 58). In fact, if two forms a and b are identical and they correspond to the same concept with respect to all their marks, each considered in itself (def. VI, 8, 4, oss. Ill, 9; oss. II, 58). Ad ogni elemento A di a corrisponde una rappre- sentazione Cin e, o un elemento di e, ea questo I1 elemento A come anche un elemento B di b (es. 2,42). For each element of A corresponds to a representation Cin and, or an element and, I1 and this element A as well as an element B of b (eg 2.42). Le forme aeb, che sono date da gruppi di elementi (def. IV, 57) corrispondono cosi univocamente ae, e quindi anche fra loro (e, 42). The shapes and b, which are given by groups of elements (final IV, 57) correspond to and so uniquely, and thus also between them (and 42). Di più se è data una serie di elementi di a ad essa corrisponde una serie di elementi di e che corrispondono ai primi univocamente e nello stesso ordine (es. 2, 42). More if it is given a set of elements to it corresponds to a series of elements and that uniquely correspond to the first and in the same order (eg 2, 42). Alla serie di e corrisponde nello stesso modo una serie di elementi di b; dunque gli elementi delle due serie aeb si corrispondono univocamente e nello stesso ordine (/", 42). È in questo senso che alle forme di a corrispondono univocamente e nello stesso ordine le forme di b. Si può dire anche cosi: siccome fra le forme aeb non si tien conto della diversità di posizione rispetto ad altre forme (oss. Ili, 9; oss. Ili, 58), nella relazione di identità possiamo considerare, fatta astrazione da questa diversità, che ogni elemento dell'una coincida con un elemento dell'altra, e viceversa ; vale a dire che sia un elemento dell'altra (def. Ili, 57). Def. L Fra gli elementi e le forme di due forme identiche si stabilisce And corresponds to the series of in the same way a number of elements of b; therefore, the elements of the two series a and b correspond uniquely and in the same order (/ ", 42). Is in this sense that the forms of uniquely correspond to and at the same Order forms b. One can also say so: as between forms a and b do not we take into account the different position compared to other forms (oss. Ill, 9; oss. Ill, 58), we consider the relation of identity, quite apart from this difference, that each element of one coincides with an element of the other, and vice versa, that is to say that it is an element of the other (final Ill, 57). Def. L Among the elements and the forms of two identical shapes is established
Page 53 Page 5353 così una corrispondenza unìvoca e dello stesso ordine mediante il concetto e, che si chiama corrispondenza d'identità o di uguaglianza. 53 is a unique match of the same order and using the concept, which is called identity or equality matching. Oss. Oss. V. V. Non è escluso che una tale corrispondenza fra due forme si possa sta- bilire in più modi. It is possible that such a correspondence between two shapes can bilire-is in many ways. Oss VI. Oss VI. Le forme corrispondenti di due forme identiche sono identiche, come deriva da e dalla def. The corresponding forms of two identical shapes are identical, and as a result of the final. I. I. b'. b '. Se in forme identiche con forme corrispondenti si eseguisce la stessa ope- razione le forme risultanti sono identiche. If forms are identical with corresponding forms will be made to the same opera-tion the resulting forms are identical. Se da forme corrispondenti di due forme identiche con la stessa opera- zione si ottengono altre forme queste sono identiche (oe a'"). b". If on the corresponding forms of two identical shapes with the same opera-tion are obtained these other forms are identical (to herself. '") B". Se le parti di una forma disposte in una serie illimitata corrispondono univocamente e nello stesso ordine a parti di un'altra forma ordinatamente identiche alle prime, le due forme sono uguali relativamente alle serie di parti date. If the parts of a shape arranged in an unlimited series correspond uniquely and in the same order to parts of another form neatly identical to the first, the two forms are equal regard to the series of given parts. Invero se si considerano due serie di parti identiche corrispondenti delle due forme: ....ABCDEF.... Indeed if we consider two sets of identical parts of the corresponding two forms: ABCDEF .... .... in modo che A=A', B=B', AB=A'B', AC A'C,.... so that A = A ', B = B', AB = A'B ', AC A'C, .... ecc. etc.. ABC^A' C', ....ABCD=A'B'C'D'..., le due serie determinano due forme uguali perché queste vengono determinate nello stesso modo da forme ordinatamente identiche, o meglio dalle due se- rie (a). ABC ^ A 'C', ABCD = A'B'C'D .... '..., the two series lead to two forms of the same because these are determined the same way by identical forms neatly, or better if the two- Rie (a). Abbiamo detto uguali relativamente alla serie di parti (def. IV, 9) perché date le forme indipendentemente dalle serie, esse possono essere non identi- che nel senso che una di esse sia parte dell'altra senza essere cioè tutta que- st'altra, vale a dire senza che ogni elemento della seconda sia anche elemento della prima (def. II, 27, oss. II, 9). We said the same relation to the number of shares (def. IV, 9) because given the forms independently of the series, they may not be identical in the sense that one of them is a party without the other-that is, all this st'altra , that is to say, without any element of the second element is also the first (final II, 27, obs. II, 9). 05 . 05. VII Se una o ciascuna delle forme è composta di una serie limitata di parti contenente come parte una serie illimitata di parti ( , 37; def. II, 27 e def. I. 38,) nelle condizioni del teor ", allora l'uguaglianza ha luogo soltanto rispetto alle serie di parti uguali (def. Ili, IV, 9). e. Forme identiche ad una terza sono identiche fra loro (e, 8; def. Ili, 9; def. I, 38). Oss. V. Questi principi valgono evidentemente anche nel caso dell' uguaglianza in senso relativo, quando essa riguarda i soli contrassegni comuni delle forme che sì confrontano (def. II, 9), poiché in questo caso sono sostituibili rispetto a questi contrassegni nella relazione di uguaglianza (def. IV, 9). Oss. VL È chiaro che i principi suddetti danno l'identità di due forme mediante l'identità di altre forme, e quindi se dovessero servire per stabilire Videntilà di tutte le forme conterrebbero una petizione di principio. Vedremo al n. 71 come possano servire colla considerazione della forma fondamentale. Veggasi le parti I, II; ad es.: cap. I, 14. VII If one or each of the forms is composed of a limited number of parts containing as part of an unlimited series of parts (37; final. II, 27 and final. I. 38,) under the conditions of the theorem ", then the equality takes place only with respect to number of shares equal (def. Ill, IV, 9). and. forms identical to a third are identical to each other (and, 8, def. Ill, 9, def. I, 38). Oss. V. These principles are also clearly in the case of 'equality in a relative sense, when it affects only the markings of the common forms that yes compare (def. II, 9), since in this case are replaceable with respect to these markers in relation to equality (def. IV, 9). Oss. VL is clear that these principles provide the identity of two ways using the identities of other forms, and then if they were used to determine Videntilà of all forms contain a statement of principle. We will see at n. adhesive 71 may serve as a fundamental form of consideration. compare p Parts I, II, for example.: Ch. I, 14.
Page 54 Page 5454 61. 54 61. Def. Def. I. I. Se sì ha una forma e ottenuta coli* unione di una forma b ad una forma a (def. I, 26), la forma e (tutto) si dice maggiore di e (parti), e che aeb sono minori di e ; e si scrive : c ossia ac ; c ossia c (1) i). If yes has a form and obtained coli * b union of a form to a form in (final I, 26), and the shape (round) is said greater than and (parts), and that a and b are smaller than and; and you write: ie c c c c ie (1) i). De/". IL Così se e' si ottiene da d unendo ad essa V nello stesso modo che b è unito ad #, essendo a=#, = ' (2) si ha CEEC' (aiv 60) . (3). Diremo che e è maggiore di ' e di b'; e ft', ' minorici e; e scriveremo: ca' ossia ' e ; c ' ossia ' c (4). Oss. 7. Per la stessa ragione aeb sono minori di e' e quindi c' a, ossia a cf, ; cr ossia bc' (5). . IZ concetto di maggiore e di minore fra le forme è indipendente dalla relativa posizione delle forme fra loro. Difatti secondo (1), (2), (3), (4) nella relazione c ossia ac possiamo sostituire aeo ad a una forma identica qualunque (oss, III, 58) e' od (def. Vili, 13). u. Se oab non è a = b (j\ 8). b'. Se a=b non è a^b 2) perché se fosse a^b non potrebbe essere a=b (b). e. Se a^b non è a^b. Difatti a si ottiene nel primo caso dall' unione di una forma y alla forma bo ad una forma identica ab (def. I o II), e se fosse , b si otterrebbe dal- l'unione di una forma x alla forma ao ad una forma identica ad a, dunque b si otterrebbe dall' unione della forma x alla forma (by), e quindi si avrebbe ( /#)= ( , 40) ciò che è assurdo (def. Ili, 8; def. I e 6). Se non è , perché se ciò fosse per quanto si è detto testé non sarebbe # . d. Se è ac, e si ha # c. Difatti in a vi è una parte d identica ab senza che a' sia tutto a, al- trimenti sarebbe = (def. I eo). In b vi è una parte b' identica ae che non è b, epperciò in a vi è una parte identica aee quindi anche in a (b, 60). Dun- que ft C. d'. Se è rt , c si lui ac (d). 1) Non occorre dunque dare un assioma come fa Euclide per dire che il tutto è maggiore della sua parte e la parte è minore del tutto. Ciò è una definizione, e la (1) si basa sull'operazione dell'u- nire nella sua più semplice espressione (I, 29), e della quale fa uso anche Euclide negli altri suoi as- siomi o nozioni comuni senza alcuna spiegazione. 2) Con questo doppio segno intendiamo che ha luogo runa oppure P altra disuguaglianza. De / ". THE Thus if and 'd is obtained by joining to it in the same way that V b is joined to #, being a = #, =' (2) it has CEEC '(aiv 60). (3). We say that e is greater than 'and b', and ft ',' minorici and, we write: ca 'or' and c 'or' c (4). Oss. 7. For the same reason and b are smaller than and 'and then c' to, ie to cf,; cr ie bc '(5) .. IZ concept of greater and lesser of the forms is independent of the relative position of the forms between them. fact second (1), (2 ), (3), (4) c in the report that we can replace ac AEO in a form identical to any (oss, III, 58) and 'od (def. VIII, 13). u. If oab is not a = b (j \ 8). b '. If a = b is a ^ b 2) because if it could not be a ^ b = b (b). and. If a ^ b is a ^ b. in fact is obtained from the former 'union of a form y bo to form a shape identical to ab (def. I or II), and if it were,-b would be obtained from the union of a form x to the form or a form identical to a, then b would be obtained by 'merging to form the form x (by), and then you would (/ #) = (, 40) which is absurd (def. Ill, 8, def. I and 6) . If not, because if it were not for what you have just said would not be #. d. If ac, and has c #. in fact there is a part of the same ab without that 'everything is in - trimenti would = (final I o). In b there is a part b 'which is not identical to and b, in a epperciò there is an identical part EEE therefore also in a (b, 60). Dun-que ft C . d '. If rt is, he is ac c (d). 1) There must therefore be given as an axiom Euclid is to say that the whole is greater than its part and the part is less of everything. This is a definition, and (1) is based on the operation of U-ne in its simplest expression (I, 29), and which also uses in his other Euclidean axioms or common notions, without any explanation. 2) With this double sign mean that the place P rune or other inequality.
Page 55 Page 5555 Ò3s. 55 Ò3s. ti. you. Se abebc risulta soltanto che in e in e vi sono parti identiche a 6, ma non risulta punto che in e vi sia una parte identica ad a, o in a una parte identica ae ]). If abebc is only that in and in and there are parts identical to 6, but is not the point that in and there is a part identical to a, or to a part identical ae]). e. and. Se a~beb^c si ha a'Sc. If a ~ b and b ^ c we have a'Sc. Ciò deriva con un analogo ragionamento del precedente dalle def. This follows a similar argument from the previous final. I e IL 4. I and IL 4. Sistema ad una, dimensione Segmenti del sistema, loro estremi Segmento indivisibile Versi del sistema Sistema semplice ad una dimensione chiuso od aperto Prolungamenti di un seg- mento nel sistema. System by one dimension segments of the system, their extreme segment of the system System indivisible Verses simple one-dimensional closed or open Extensions of a segment in the system. 62. 62. Def. Def. I. I. La forma data da una serie qualunque di elementi che ha o non ha un primo ed ultimo elemento e il cui ordine a cominciare da un suo ele- mento qualunque (def. 21) è contrassegno dato della forma (def. I, 38), e dalla serie inversa, chiamasi sistema ad ima dimensione 2). The form given by any number of items that have or do not have a first and last element and whose order starting with any one of its ele-ment (def. 21) since it is a sign of the form (def. I, 38), and the inverse series, is called system ima size 2). Oss. Oss. I. I. Elementi consecutivi della forma sono quelli consecutivi nell'ordine dato o nell' ordine inverso (24 ; def. I, 33), in modo che considerati gli elementi in un altro ordine quelli consecutivi in questo nuovo ordine non sono più tali per la forma data, poiché l'ordine delle serie di elementi della forma a cominciare da un suo elemento-è già stabilito (def. I, 26). Consecutive elements of the form are consecutive in the order given, or in 'reverse order (24; final. I, 33), so that the elements considered in a different order at different times in this new order are no longer those for the given form because the order of the number of elements of the form starting with an element-is already established (def. I, 26). Oss. Oss. IL Le parti della forma oltre gli elementi .. THE parts of the form elements as well .. .A, B, C, D...., sono anche AB, BC, CD ecc. . A, B, C, D. ..., are also AB, BC, CD, etc.. ABC, BCD..... ABC, BCD ..... ecc. etc.. (def. I, 38; def. II, 27). (Def. I, 38; final. II, 27). Oss. Oss. III. III. L'ordine degli elementi della forma determina l'ordine in cui si se- guono tutte le sue parti AB, BC, CD ecc., ABC, BCD ecc., e l'ordine di ciascuna di queste parti, poiché in quello della forma C segue B, D segue C ecc. The order of the elements of the form determines the order in which-if guono all its parts AB, BC, CD, etc.., ABC, BCD etc.., And the order of each of these parts, as in that of the form C follows B, D follows C etc.. CI* 18 ; def. CI * 18; final. I, 21; def. I, 21; final. II, 39). II, 39). Def. Def. IL L'ordine dato e l'ordine inverso rispetto ad un elemento qualun- que del sistema si chiamano versi del sistema, e uno qualunque di essi si dice opposto all'altro. THE The order given and the reverse order compared to an element of the system In whatever they are called lines of the system, and any one of them is said opposite each other. Def. Def. III. III. Ogni parte del sistema che contiene almeno due elementi di- stinti si chiama segmento del sistema 3). Each part of the system that contains at least two elements of faded-called segment of the system 3). Def. Def. IV. IV. Se gli elementi A e E limitano un segmento essi si chiamano estremi, termini o limiti del segmento. If the elements A and E limit a segment they call extreme conditions or limits of the segment. Indicheremo il segmento con (AB). We will denote the segment with (AB). Quando non si dirà diversamente intenderemo sempre che un segmento Sia limitato da due elementi determinati. When not always tell otherwise shall understand that a segment Both limited by two elements determined. 1) Da quanto abbiamo detto ai n. 1) From what we have said no to. 3e9 e sull'operazione dell'unire (29e 38 e 41) nei numeri di que- sto paragrafo risulta chiara la indeterminatezza dei cosldetti assiomi di Euclide sulle grandezze (vedi trad. di setti e Brioscfrì libro I) che nel testo greco tradotto da Heìberg sono però chiamati nozioni comuni (vedi pref.). 3E9 and the operation of uniting (29th 38 and 41) numbers in this paragraph is clear-I am the indeterminacy of cosldetti axioms of Euclid on the magnitudes (see trans. Of septa and Brioscfrì Book I) in the greek text translated by Heiberg however, are called common notions (see pref.). 2) Si badi che qui il concetto di dimensione non contiene quello di misura, che verrà spiegato più tardi. 2) Care must be taken here that the concept of dimension does not contain one of measurement, which will be explained later. Sarà opportuno che nel corso del lavoro il lettore rammenti che il vocabolo forma indica gli oggetti matematici in generale fdef. Will be appropriate in the course of the work the reader remember that the word indicates the form of mathematical objects in general FDEF. i. the. 38), mentre il gruppo (13), la serie (19), il gruppo ordinato (26), il sistema ad una dimensione, sono in fondo oggetti diversi che possono essere indicati col vocabolo forma. 38), while the group (13), the series (19), the ordered group (26), the system to a size, are at the bottom of different objects that can be indicated with the word shape. Cosi ad es. Thus eg. : il sistema ad una dimensione può essere chiamato anche gruppo ordinato se lo si considera soltanto in un solo verso (veggasi anche nota n. 4). : The system can also be called a dimension ordered group if considered only in one direction only (compare also footnote. 4). 3) Questo vocabolo geometrico non significa già che qui intendiamo un segmento rettilineo o cur- vilineo, e nemmeno un segmento continuo, perché gli elementi ABCD.... 3) This word does not mean geometrical already here we mean a straight line segment or cur-vilineo, and not a continuous segment, because the elements ABCD .... sono distinti e qualunque. are distinct and whatever.
Page 56 Page 5656 Def. 56 Def. V. V. Se nella forma data fra due elementi A e B nell* ordine di essa non vi sono altri elementi della forma stessa (23), il segmento (AB) lo chia- meremo segmento indivisibile. If in the given form between two elements A and B * in order to it there are other elements of the same shape (23), the segment (AB) the call-segment meremo indivisible. Def. Def. VI. VI. Se di un sistema ad una dimensione dato l'elemento A co- struiamo l'elemento consecutivo B, poi l'elemento consecutivo C ecc., nel verso ABC ecc., diremo anche che applichiamo la legge di costruzione del sistema a cominciare dall'elemento A nel verso dato (def. II, 58). If a system at a given size of the element A co-struiamo element row B, then the element in row C, etc.., Etc. in to ABC., We will say also that we apply the law to build the system from starting ' A data element in the verse (def. II, 58). Def. Def. VII. VII. Per segmenti consecutivi in un dato verso del sistema inten- deremo due segmenti dei quali il secondo estremo del primo è primo estremo del secondo nel verso dato. For consecutive segments in a given direction of the system intend deremo two segments of which the second end of the first is the first end of the second in the direction given. Oss. Oss. IV. IV. Come ogni forma dipende dalla sua legge di determinazione (58), così da questa dipendono anche le relazioni di posizione tra gli elementi di essa. Like any form depends on its law for determining (58), so that this also depend on the positional relationships between the elements of it. E quindi in generale se due sistemi ad una dimensione hanno due elementi A e B comuni non significa per questo che i segmenti determinati da A e B nei due sistemi debbano essere identici, poiché si può supporre a priori senza contraddizione, che le leggi di determinazione siano diverse. So in general if two one-dimensional systems have two components A and B common does not mean however that certain segments A and B in the two systems should be identical, since it can be assumed a priori, without contradiction, that the laws of determination are different. Avremo fra poco una conferma a posteriori della no- stra osservazione, (Vedi nota n. 64). We will soon post a confirmation of non-strategic observation, (See note no. 64). Del resto abbiamo frequenti esempi nel mondo esterno di tale diversità. Besides, we have frequent examples of this diversity in the outside world. 63. 63. Def. Def. I. I. Se applicando la legge di costruzione a cominciare da un ele- mento A di un sistema ad una dimensione dopo avere ottenuti tutti gli altri ele- menti si ottiene di nuovo (o si riproduce) quell'elemento ; il sistema si dice chiuso; al contrario dicesi aperto. If applying the law of construction beginning with an ele-ment in a one-dimensional system obtained after all other elements is obtained again (or play) that element, the closed system is said to the contrary is called open. et. et. Il sistema ad una dimensione chiuso si può considerare come un seg- mento cogli estremi coincidenti in un elemento qualunque di esso. The one-dimensional closed system can be considered as a segment ends coincident Take any one element of it. Tale proprietà è una conseguenza immediata della def. This property is an immediate consequence of the final. I, delle def. I, of the final. Ili, IV, n. Ill, IV, n. 62 e delle def. 62 and the final. Ili, 57, def. Ill, 57, def. Vili, 13. VIII, 13. ci. there. Un sistema ad una dimensione che ha un primo elemento ed è illimitato è sempre aperto. A system to a size that has a first member and is unlimited is always open. Difatti se fosse chiuso si potrebbe considerare come un segmento coi due estremi coincidenti nel primo elemento del sistema ed avrebbe un ultimo ele- mento e non sarebbe quindi illimitato (def. II, 32 e oss. 28). In fact if it were closed it could be considered as a segment coinciding with the two extremes in the first element of the system and would last ele-ment and is therefore not unlimited (def. II, 32 and oss. 28). Def. Def. IL Se in un sistema ad una dimensione chiuso od aperto nessun ele- mento è ripetuto (nel primo caso prima che si ottengano tutti gli altri ele- menti) il sistema dicesi semplice, oppure semplicemente chiuso o semplicemente aperto. IL If a one-dimensional closed or open any ele-ment is repeated (in the first case before you get all the other elements) the system is called simple, or just simply opened or closed. E nel caso sia aperto quando non si dirà diversamente intenderemo che il sistema non abbia un primo e un ultimo' elemento, ossia non abbia ele- menti che lo limitino. And in the case is open when not tell otherwise shall understand that the system does not have a first and a last 'element, ie does not have elements which limit. Otts. Otts. 7. 7. Considerando il sistema chiuso come tutto dato esso non ha elementi che lo limitano, come lo è un segmento (AB) (def. IV, 62). Considering the closed system as a whole since it does not have elements which limit, as is a segment (AB) (def. IV, 62). Appare subito come talo quando lo consideriamo da un elemento dato di esso. It soon as talo when considered from a given element of it. Possiamo dire nel primo caso che esso è illimitato, ma bisogna osservare che non lo è nel senso che le sue serie (def. I, 62) illimitate abbiano un primo od ultimo elemento oppure che a cominciare da un loro elemento siano illimitate nel senso suddetto (def. II, 32 e 33). We can say in the first case it is unlimited, but can comment that it is not in the sense that its number (def. I, 62) have an unlimited first or last element, or that starting with one of their element are unlimited in the sense that (def. II, 32 and 33). Sotto questo aspetto il sistema chiuso è invece limitato da due elementi coincidenti in uno qua- lunque dei suoi elementi dati (a). In this aspect the closed system is however limited by two coincident elements in a side-lunque of its data items (a). 6. 6. Il sistema chiuso si può considerare come un sistema illimitato a co- minciare da un suo elemento qualunque dato. The closed system can be considered as a system with unlimited co-ranked with an element of any data.
Page 57 Page 575? 5? Difatti dopo aver ottenuto a cominciare dall'elemento dato A in un verso stabilito tutti gli altri elementi e quindi di nuovo l'elemento A (def. I), basta con- siderare A dopo questa operazione come un elemento A' diverso da A (oss. Ili, 9), e così per tutti gli altri elementi che si ottengono colla ripetizione del- l'operazione suddetta. In fact, after having obtained starting from the element in a given A to set all other elements and then back to the element A (def. I), with just-siderare A after this operation as an element A 'different from A ( oss. Ill, 9), and so for all other elements that are obtained with the repetition of the operation said. E ottenuto A' lo si indica con A", e così via illimi- tatamente (def. II, 32). e. In un sistema ad una dimensione semplicemente aperto un elemento lo scompone (divìde) in due parti illimitate, runa in un verso V altra nel verso opposto a cominciare dall'elemento dato. Ciò risulta immediatamente dalla definizione stessa del sistema, che esso non ha cioè elementi che lo limitano nei due versi (def. II, 63). d. In un sistema semplice ad mia dimensione i cui elementi sono: ....AH-D.... AH).... Af- .... A'-1).... AAW.... A 2 .... A(*).... 1) scelto un primo elemento A ed uno dei suoi consecutivi, se esiste, ad es.: A*1), come secondo elemento, il verso del sistema è determinato. Il sistema ha due versi rispetto ad ogni suo elemento (def. II, 6?). Se è dato il consecutivo AW di A che deve seguire A , uno dei due versi del sistema è pienamente determinato. Perché se il sistema è chiuso ogni altro suo ele- mento X può considerarsi dopo di A e Al1), e precederà un altro elemento qualunque Y del sistema se sarà compreso fra A e Y, A 1) e Y (23), il che è dato (def. I, 62). Se il sistema è aperto A Io divide in due parti, che non hanno alcun elemento comune trattandosi di un sistema semplice (e). Considerando quindi A come primo elemento della parte ove si trova A(l\ ogni altro elemento X di essa è dopo di A e .AW e precede ogni altro elemento Yse è compreso fra A e Y. Gli elementi dell'altra parte precedono A e A*1), e uno qualunque X di essi segue ogni altro elemento Y se X è compreso fra Y e A. In questo modo si determina dunque il verso Gli elementi ....A...^-1).... A(-2L.. AH).... determinano il verso opposto. e. Un verso del sistema a cominciare da un elemento A determina un verso a cominciare da ogni altro elemento B del sistema. Difatti sia A...^1).... A s).... A(SH).... il verso a cominciare da A. Se B è ad es. : dopo di A, supponiamo sia A s), è determinato il verso AK... A(S+A) ..... Se non è dopo di A ed è ad es.: AH), e se il sistema è chiuso si cade nel caso prece- dente, perché si può considerare che sia anche dopo di A nel verso dato (def. II), e si ha pel casoprecedente il verso AH).... A -s+i).... A.... Se il sistema è aperto è determinato il sistema ....A.-.-AH).... AM.... inverso al precedente (def. I, 33), e quindi il suo verso A....AH).... AH)...., e perciò anche pel caso precedente il verso AH).... AH*1)...., dunque anche il verso opposto AH)....AH)....A (def. 11,62). f. Se un sistema semplice ad una dimensione jS è contenuto in un altro sistema analogo a, un verso del primo determina un verso qualunque del se- condo. 1) i segai ...,{-s).....(-2) (-1) (i) (2).... (s) non hanno per ora alcun significato numerico. And obtained A 'is to be indicated with A ", and so on unlimited tatamente (final II, 32). And. In a system to a size simply open an element it decomposes (splits) into two parts unlimited, rune in a V towards the other in the opposite direction starting from the element data. This results directly from the definition of the same system, namely that it does not have elements that limit in the two directions (final II, 63). d. In a simple system to my dimension whose elements are: .... .... D-AH AH) .... .... Af-A'-1) .... .... AAW A 2 .... A (*) .... 1) choosing a first element A and one of its consecutive, if it exists, eg.: A * 1), as the second element, the direction of the system is determined. The system has two lines with respect to every element (def. II, 6?). If given the row of A that AW should follow A, one of two ways the system is fully determined. Because if the system is closed every other ele-ment's X can be considered after A and Al1), and precedes another element of the system if any Y will be between A and Y, A 1) and Y (23), which is given (final I, 62). If the system is open A I divided into two parts, which have no common element since it is a simple system (s). Considering then A as the first element of the part where is A (l \ every other element X of it is after A and. AW and precedes every other element YSE is between A and Y. The elements of the other party foregoing A and A * 1), and any one of them X follows every other element Y if X is between Y and A. In this way it therefore determines the elements to .... A. .. ^ -1) .... A (-2L .. AH) .... determine the opposite direction. and. A verse of the system starting from a A element causes a line beginning with any other element B of the system. fact is A. .. ^ 1) .... A s) .... A (SH) .... the verse beginning with A. If B is, for example.: after A, we assume that A s), is given to the AK ... A (D + A) ..... If it is not after A and is eg.: AH) , and if the system is closed it falls in the previous case, because we can consider that even after both of A in the direction given (final II), and it has for the casoprecedente towards AH) .... A-s + i) .... A. ... If the system is open is determined by the system .... A -.-AH) .... AM .... opposite to the previous (def. I, 33 ), and therefore its toward A. ... AH) AH ....) ...., and therefore also to the previous case the PEL AH) AH .... * 1) ...., thus also the opposite direction AH) AH ....) .... A (final 11.62). f. If a simple system to a dimension jS is contained in another system similar to a verse of the first determines a verse if any of the-second. 1) the Segal ..., {-s) ..... (-2) (-1) (i) (2) .... (s) does not have any meaning for the time numerically.
Page 58 Page 5858 Siano A e B due elementi consecutivi del sistema jS nel suo verso dato (def. I, 25 e def. II, 62). 58 Let A and B be two consecutive elements of the system in his verse as jS (def. I, 25 and final. II, 62). Se fra A e B in a (23) non sono contenuti altri ele- menti, A e B sono pure consecutivi di a (24), e quindi l'ordine in cui si seguono AB in j5 da anche l'ordine in cui si seguono gli stessi elementi in a (d). If between A and B in (23) are not contained other elements, A and B are also consecutive to (24), and therefore the order in which they follow AB j5 from the order in which follow the same elements in to (d). Se invece fra A e B in a sono compresi altri elementi (23), per es. If, however, between A and B are included in other elements (23), eg. : A'A"....#, al- lora l'ordine AB del sistema j3 determina l'ordine in cui si seguono gli ele- menti AAA'....B'B di a. Dato invece l'ordine degli elementi AA'A'...B?B di a è evidentemente determinato l'ordine in cui si seguono gli elementi AB di jS. f. Si può dire che i sistemi ]3 ea hanno nel caso precedente lo stesso verso o versi uguali. Indichiamo con ....A^.A',....^'!.. i posti occupati dagli elementi di a (20). Un verso di a determina un verso del sistema ....AiA'iA'V..., e questo stesso verso è determinato dal verso corrispondente del sistema 0 a cominciare da un suo elemento qualunque, che è elemento di a. Possiamo dunque dire che i versi considerati di ae /3 sono uguali, perché corrispondono al medesimo verso del sistema ....A|....AV...A"i.... : A'A ".... # in the order AB-lora j3 system determines the order in which the following elements AAA '.... B'B a. Since the order instead elements AA'A '... B? B a is evidently determined the order in which you follow the elements of AB jS. f. One can say that systems] 3 in the previous case and have the same verse or verses equal. .... Denote by A ^. A ', .... ^'! .. the places occupied by elements in (20). A verse of one hand to determine the system .... AiA'iA 'V. .., and this same direction is determined by the system corresponding to 0 to start with any element thereof, which is part of a. We can therefore say that the verses considered a and / 3 are equal, because they correspond to the same into the system .... A | .... A ... AV 's .... ossia perché possono sostituirsi l'uno ali'altro nella determinazione del verso di ....A'i....A"t.... (def. VII, 8; nota n. 9). f\ I versi di un sistema semplice sono indipendenti doli' elemento dato dal quale si considerano. Difatti considerando il sistema a da due elementi qualunque B e C, un verso a cominciare da B determina un verso a cominciare da C (e), e si ot- tengono così due sistemi feya cominciare da B e C che appartengono al sistema ae che determinano un verso di esso (def. I, 62, def. II, 27 ef). I due sistemi a cominciare da A e da B hanno lo stesso verso (/"), dunque ciò si- gnifica che è indifferente cominciare da B o da C per determinare i versi di a. ie it can replace the one ali'altro in determining the direction of A'i .... .... A "t .... (def. VII, 8; note no. 9). f \ Verses of a simple system are independent doli 'data element from which shall be considered. fact, considering the system in any of two elements B and C, a line beginning with B determines a line starting from C (s), and is ot-take Thus two systems Feya beginning with B and C which belong to the system that determine a ae towards it (final I, 62, def. II, 27 f). The two systems starting from A and B have the same direction ( / "), therefore this is-means that it is indifferent to start from B or from C to determine the lines of a. f" Ogni segmento del sistema semplice ad una dimensione ha due versi che sono i versi del sistema. Perché ogni segmento del sistema è un sistema che appartiene al dato (def. Ili, I, 62 e 27). 64. a. Dato un segmento limitato a due estremi A e B di un sistema sem- plice ad una dimensione, uno d?i versi di esso si può ritenere determinato da uno dei suoi estremi, e Valtro verso dall'estremo rimanente. Il segmento non può contenere alcuna parte chiusa altrimenti un ele- mento del segmento e quindi del sistema sarehhe ripetuto, mentre il sistema contiene altri elementi fuori del segmento suddetto, e quindi esso non sarebbe semplice (def. Ili, 62 e def. II 63). Uno dei versi del segmento (AB) può ritenersi determinato evidentemente dall'elemento A e il verso opposto dall'altro estremo, perché considerando come primo elemento A, gli altri elementi del segmento seguono A, ed un elemento X precede un altro elemento Y se X è compreso fra A e Y (def. I, III, 62). Ind. I. Quando non si dirà diversamente intenderemo che il simbolo (AB) determini anche un verso di questo segmento, quello cioè che si ottiene co- minciando da A. Si otterrà il verso opposto cominciando dall'elemento B. b. Nel sistema semplicemente aperto bastano due elementi per determinare un segmento limitato da essi. f "Every segment of the simple one-dimensional two verses are the verses of the system. Because each segment of the system is a system belonging to datum (def. Ill, I, 62 and 27). 64. a. Given a segment limited to two extremes A and B of a system sim-ple one-dimensional, an d? verses of it may be considered determined by one of its sides, and towards the extreme Valtro remaining. This segment can not contain any part closed otherwise an element of the segment and then the system sarehhe repeated, while the system contains other elements out of that segment, and then it would not be easy (def. Ill, 62, and def. II 63). One of the verses in the segment (AB) can be considered obviously determined by the element A and the direction opposite the other extreme, because whereas as the first element A, the other elements of the following segment A, and an element X precedes another element Y if X is between A and Y (def. I, III, 62). Ind. I. When you say otherwise shall understand that the symbol (AB) also determines a line in this segment, that is what you get from co-minciando A. You will get the the opposite direction starting from the element B. b. In the system simply opened just two elements to determine a segment limited by them.
Page 59 Page 5959 Dìfattì dato il sistemai .... 59 fact, given the settled .... ....A....B....C....É'.... B. ... C. ... A. .... It is ... '.... (1) Se si considerano due elementi A e C, essi determinano nel sistema le tre parti: A....B....C, A...JS1...., C....#'.... (1) If we consider two elements A and C, they determine the system in three parts: A. ... B. ... C .... A. .. JS1, C # ... '. ... di cui una soltanto ha per estremi A e C; le altre due hanno un solo estremo e sono illimitate (e, 63). of which one only has to extremes A and C, the other two have only one end and are unlimited (and 63). b'. b '. Un verso del sistema semplicemente aperto è determinato doli* ordine di due elementi. A verse of the system is determined simply opened doli * order of two elements. Siano A e C' i due elementi nell'ordine in cui si seguono i loro segni; essi determinano il segmento (AC) e il verso da A a C, e quindi anche un verso del sistema (a, ind. I; f" 63). e. bue elementi di un sistema ad una dimensione semplicemente chiuso determinano due segmenti che insieme uniti in un dato verso costituiscono l'in- tero sistema. Ciò risulta dal ragionamento del teor. b quando B e B" in (1) coinci- dono (def. II, 57). Let A and C 'the two elements in the order you follow their signs, they determine the segment (AC) and the direction from A to C, and then to a system (a, ind. I f " 63). and. ox elements of a system to a dimension closed simply determine that two segments joined together to constitute in a given in the entire system. This follows from the argument of the theorem. b when B and B "in (1) coincide gift (def. II, 57). Si hanno cioè i due segmenti: A....B....C, C.... It has two segments namely: A. ... B. ... C, C ... ....A i). .... A i). e'. and '. Per determinare un segmento del sistema semplicemente chiuso basta dare oltre gli estremi un altro elemento di esso. To determine a segment of the system simply closed just beyond the extreme to another element of it. Perché per individuare il segmento A....B....C dando oltre gli estremi A e C l'elemento B,questo elemento non può essere compreso nell'altro segmento ?....#....A determinato da A e C, essendo il sistema semplice (def. II, 63). Because to find the segment A. ... B. ... C giving beyond the ends A and C B element, this element can not be understood in the segment? .... # .... A determined from A and C, being the simple system (final II, 63). Ind. II. Ind. II. Un segmento di questo sistema determinato da tre elementi ABC essendo A e C gli estremi lo indicheremo col simbolo (AJ5C). A segment of this system determined by three elements ABC where A and C indicate the extremes with the symbol (AJ5C). Oss. Oss. I. I. Quando dunque si considera il segmento isolatamente dal sistema come ente a sé basta il simbolo (AC); se invece lo si considera unitamente al sistema a cui appartiene bisogna indicarlo col simbolo (ABC). So when one considers the segment in isolation from the system as an entity in itself just a symbol (AC), and if it is considered together with the system to which it belongs must do this with the symbol (ABC). Si può indicarlo anche in que- sto caso col primo simbolo, ma allpra bisogna dire espressamente in quale dei due versi del sistema si deve considerarlo a cominciare da A per togliere ogni indeter- minatezza. It may also indicate in this case-I'm with the first symbol, but allpra must say specifically which of the two lines of the system you should consider starting with A to remove any indeterminate minatezza. d. d. Un verso di un sistema semplicemente chiuso viene determinato da tre elementi ABC; il verso opposto viene determinato dagli elementi GB A neir or- dine in cui si seguono i loro segni. A verse from a closed system simply is determined by three elements ABC; the opposite direction is determined by the elements or GB-A neir order in which you follow their signs. Essendo infatti il segmento (ABC) pienamente determinato (e') è determi- nato anche uno dei suoi versi se si comincia da A (a), e il suo verso opposto se si comincia da C; e quindi vengono così determinati anche i versi del si- stema mediante i tre elementi ordinati ABC e CBA (f, 63). For since the segment (ABC) fully determined (e ') is also determined on one of his verses, if we start from A (a), and its opposite direction if you start from C, and then the verses are so determined also the sys-tem through the three elements ordered ABC and CBA (f, 63). d'. d '. Se ABC sono tre elementi ordinati di un sistema semplicemente chiuso 1) Qui abbiamo una conferma di quanto abbiamo osservato al n. If ABC are three elements of an ordered system simply closed 1) Here we have a confirmation of what we observed at n. 62 (oss. IV):, e cioè che i due segmenti A....B.. 62 (oss. IV):, namely that the two segments ... A. B.. .C, C....Br....A determinati da due elementi A ee nella forma semplicemente chiusa possono non essere uguali, perché se lo fossero basterebbe prendere in uno di essi ad es. . C, Br ... ... C. At defined by two elements A and e in the form closed simply may not be equal, because if they were, it would be enough to take in one of them eg. : A....B....C un elemento A' distinto da A e C e si avrebbe : (Ar.....B....e?) (A....B....C) (def. I,6i) ed anche ed essendo per ipotesi (A....B....c)=f C....B'....A) sì ha: (A'..,.B.. .c) (C....B'....A) e quindi (A'....B...,C) (C. ..B-....A') (d',62). A. ... B. ... C an element A 'distinct from A and C and you would: (Ar. .... B. ... and?) (A. ... B. .. . C) (def. I, 6th) and well being by hypothesis (A. ... B. ... c) = f B C. ... '.... A) yes it: (A' ..,. B. .. c) (C. ... B '.... A) and then (A' .... B. .., C) (B-... C. .. . A ') (d', 62).
Page 60 Page 60i gruppi ordinati BOA, CAB determinano lo stesso verso di ABC\ mentre i gruppi CBA, BAC, ACB determinano il verso opposto. the ordered groups BOA, CAB determine the same direction of ABC \ while the groups CBA, BAC, ACB determine the opposite direction. Invero, gli elementi B e C del segmento (ABC) sono estremi di un solo segmento (BC) che appartiene al segmento dato (27), e il verso di (AC) a co- minciare da B è lo stesso verso del segmento (ABC) a cominciare da A ( ; fef\ 63). Indeed, the elements B and C of the segment (ABC) are ends of a single segment (BC) that belongs to the given segment (27), and the direction of (AC) to co-ranked by B is the same direction of the segment ( ABC) starting with A (, f and f \ 63). Così è del segmento (AB) di (ABC). So is the segment (AB) of (ABC). La seconda parte del teo- rema deriva dalla dimostrazione precedente e da d. The second part of theo-rows is derived from the previous demonstration and by d. 65. 65. a. a. Dato un segmento (AC) in un sistema semplice ad una dimensione gli altri segmenti a cominciare da A nel verso di (AC) sono minori o maggiori di (AC). Given a segment (AC) in a simple system to a dimension other segments starting from A in the direction of (AC) are smaller or larger than (AC). Se il sistema è illimitato da A9 vi è sempre nel verso dato un segmento (AC) che contiene (AC) senza che C e C coincidano. If the system is unlimited A9 is always given to a segment (AC) containing (AC) without C and C coincide. La prima proprietà deriva immediatamente dalla definizione del sistema ad una dimensione semplice (def. II, 63 e def. I, 62) o dalle proprietà della se- rie di elementi (def. I e , 36) e dalla def. The first property is derived directly from the definition of the system to a dimension simple (final II, 63 and final. I, 62) or from the properties of the se-ries of elements (I and def., 36) and the final. I, 61. I, 61. L'ultima parte del teorema è pure evidente, perché se C" e C fossero un solo elemento il sistema non sa- rebbe più illimitato, in quanto che abbiamo sempre supposto che si tratti di elementi distinti (def. I, 62, def. II, 32; def. V e oss. I, 8 o oss. II, 57). Oss. I. L'ultima proprietà ha pure luogo per il sistema chiuso se a cominciare da un elemento A lo si considera come illimitato nel senso del teor. , 63. b. Dato il verso in cui si seguono gli elementi di un sistema qualunque ad una dimensione esso si può sempre considerare come un sistema semplice (def. II, 63, def. I, 62 ea, 36). 66. Def. Si abbia la parte (AB) del segmento (A-^Bi) di un sistema ad una dimensione semplice nel verso (AtABBi); se A{ e A, B e Bl non sono il me- desimo elemento le parti (AAt), (,BBt) si chiamano prolungamenti del segmento (AB) nei due versi del sistema; cioè la parte (BB,) nel verso AiABB^ la parte (AAi) nel verso opposto. 5. Applicazione del linguaggio del movimento ai sistemi ad una dimensione 67. Def. I. Invece di dire che dall'elemento A applicando la legge di costru- zione di un sistema ad una dimensione (A) ....A -5 ....A(-2)....AH)....4.... A(i)....A(2L,.A(-s).... si ottengono in un dato verso gli elementi Af1), A(2) ecc. del sistema (def. VI, 62) diremo che A....AW....AW.... sono posizioni differenti di uno stesso elemento X che si muove secondo la legge del sistema, come un corpo cambia la sua po- sizione nel mondo esterno, senza però intendere che effettivamente l'elemento goda questa proprietà, imperocché l'elemento è una forma astratta e senza al- cun significato o contenuto speciale (def. I, 57). Def. IL Siccoma nel sistema ad una dimensione semplice abbiamo due versi che sono determinati a cominciare da un elemento qualunque di esso, noi diremo anche; un elemento può generare un sistema dato ad una dimen- The last part of the theorem is also evident, because if C 'and C were only one element of the system it would not be as unlimited as we have always assumed that it is distinct elements (def. I, 62, def. II, 32, def. V and oss. I, 8 or oss. II, 57). Oss. I. The last property also takes place for the closed system when starting from an element in it is considered as unlimited in the sense of theor.., 63. b. Since the direction in which the following elements of a system to any one dimension it can always be regarded as a simple system (final II, 63, def. I, and 62, 36). 66. Def. It has the part (AB) of the segment (A-^ Bi) of a system to a simple dimension in the direction (AtABBi); {if A and A, B and Bl are not the me-desimo element parts (AAT), (, BBT) are called extensions of the segment (AB) in the two verses of the system, ie the part (BB) in the direction AiABB ^ part (AAI) in the opposite direction. 5. Applying the language of movement to systems to a dimension 67. Def. I. Instead of saying that the element A by applying the law of construction of a system to a dimension (A) .... .... At A -5 (-2) AH ....) .... 4 .... A (i) .... A (2L,. A (-s) .... are obtained in a given towards the elements Af1), A ( 2) etc.. system (final VI, 62) we will say that A. ... AW AW .... .... are different positions of the same element X which moves according to the law of the system, such as a body changes its position-in the outside world, without understanding that the item actually enjoy this property, Inasmuch as the element is an abstract form and without the cun-special meaning or content (def. I, 57). Def. IL Siccoma system in one dimension we have two simple ways that are determined to start from any one element of it, we will say also, an element can generate a given system to a size
Page 61 Page 6161 sione nei due versi opposti movendosi da un elemento di esso secondo la legge di generazione del sistema (def. II, 58). 61 sion in the two opposite directions moving about by an element of it according to the law of generation of the system (final II, 58). Def. Def. III. III. La prop. The prop. : il sistema ad una dimensione ]S che appartiene al si- stema analogo a è diretto nello stesso verso o ha la stessa direzione di a si- gnifica che j3 ea hanno lo stesso verso (/*, 63). : The system to a dimension] which belongs to the S-system is similar to is directed in the same direction or has the same direction in It means that j3 and have the same direction (/ *, 63). Def. Def. IV. IV. La prop.: I prolungamenti di un segmento (AB) di un sistema ad una dimensione vengono generati da un elemento che si muove secondo la legge del sistema nell'uno o nell'altro verso partendoci due estremi di esso, significa che i prolungamenti (BBi), (AAt) (66) si ottengono in uno e nell'al- tro verso applicando la legge di costruzione del sistema (def. II, 58 e def. VI, 62J a cominciare dagli elementi estremi di (AB) (def. IV, 62). Def. V. La prop. : nel sistema semplicemente chiuso a partire da un ele- mento A dopo aver percorso l'intero sistema in una data direzione o nella di- rezione opposta si ritorna all'elemento di partenza senza essere passati più d'una volta per un altro elemento del sistema; oppure anche la prop.: se un elemento parte dall'elemento A in un verso o nel verso opposto e dopo aver percorso l'intero sistema ritorna nella posizione primitiva o iniziale o di par- tenza, senza essere passato più d'una volta per un altro elemento, esprimono in altre parole la definizione del sistema semplicemente chiuso (def. II, 63). Def. VI. Se in un sistema ad una dimensione si considerano in uri dato verso i segmenti: (AAW) (AAfm-D) .... (AAO) e riguardando successivamente A(m\ A^m~l\ ....A*1) come posizioni di uno stesso elemento X (def. I) diremo che X si avvicina ad A. Se invece le posizioni di X sono successivamente A MA (*).... Alw) diremo che X si allontana da A. The prop.: The extensions of a segment (AB) of a system to a size are generated by an element that moves according to the law of the system in either towards partendoci two ends of it, means that the extensions ( BBi), (AAT) (66) are obtained in a tro-and out in the law applying to the construction of the system (def. II, 58, and def. VI, 62J starting with the extreme elements of (AB) (final . IV, 62). Def. V. The prop.: simply shut the system from an ele-ment A after having taken the entire system in a given direction or in opposite di-rection is back in the starting element without passing more than once for another element of the system, or even the prop.: If an item in the element in one direction or in opposite directions and having run the whole system returns to its original position or initial or of departure, without having passed more than once for another element, expressed in other words, the definition of the system simply closed (final II, 63). Def. VI. If in a system to a size are considered uri given in to the segments: (AAW) (AAfm-D) .... (AAO) and then covering A (m \ A ^ m ~ l \ .... A * 1) as positions of the same element X (def. I) we say that X is close to A. If the positions of X then A is MA (*) .... Alw) we say that X moves away from A. Def. Def. VII. VII. Così se consideriamo i segmenti (AAW), (A(l)AW) ecc. So if we consider the segments (AAW), (A (l) AW) etc.. consecu- tivi nel medesimo verso potremo dire che sono posizioni differenti di un seg- mento (XY) nel verso dato che si muove o varia nel sistema. consecu-tive in the same direction we can say that they are different positions of a segment (XY) in the direction as it moves or changes in the system. Il segmento (XY) si chiama in tal caso segmento variabile per distinguerlo da un segmento (AAM) dato che è sempre lo stesso nelle nostre considerazioni e si chiama costante. The segment (XY) is called in this case to distinguish it from a variable segment segment (AAM) as it's always the same in our considerations and is called constant. I segmenti (AAO)), (AAW), (AA(3 ) ecc. si chiamano stati del segmento va- riabile (AX). Oss. Ciò non significa però che i segmenti (AA(i}\ (A(l)A(ty) ecc. debbano es- sere identici. Noi non intendiamo d'introdurre in questo paragrafo nuovi principi, ma di espri- mere con altre parole quelli già spiegati o definiti, tanto è vero elio di questo pa- ragrafo potremmo, volendo, far di meno '). i) Una delle forme concrete più semplici ad una dimensione è il tempo. Una successione di cose, come già ho detto (nota n. 19) non è il tempo, ma il tempo è necessario per potere pensare successi- vamente a queste cose diverse o perché possano aver luogo successivamente gli avvenimenti nel mondo esterno ed interno. Essendo dato un sistema ad una dimensione possiamo, se vogliamo, sup- porre che gli elementi considerati siano ottenuti nella medesima parte di tempo applicando la legge di costruzione del sistema in modo che da A nasca A' (def. v, 58), e nella stessa parte di tempo da A' nasca A", e cosi via. In tale ipotesi i segmenti (AA'), (A')(A") ecc. sono dedotti nella mede- sima parte di tempo, ma non per questo deriva da ciò che essi debbano essere uguali, mentre potreb- bero essere generati in parti non uguali di tempo ed essere identici. La nostra mente può considerare gli elementi consecutivi oi segmenti di un sistema ad una dimensione nella medesima parte di tempo The segments (AAO)), (AAW), (AA (3) etc.. Been called variable-segment (AX). Oss. This does not mean that the segments (AA (i} \ (A (l) A (ty) etc.-es should be identical. We do not intend to introduce new principles in this paragraph, but to express r with other words those already explained or defined, so much so that pa-helium ragrafo could, wanting , do less'). i) One of the simplest forms to a concrete dimension is time. A succession of things, as I said (note no. 19) is not the time, but time is needed to be able to think success-tively to these different things or that they may take place after the events in the external and internal worlds. Being given a one-dimensional system we can, if you will, sup-pose that the elements under consideration are obtained in the same time applying the law construction of the system so that arises from A A '(final v, 58), and in the same part of time from A' is born A ", and so on. In this case the segments (AA '), (A' ) (A ") etc.. beacons are deducted in the nth time, but not for this comes from what they should be equal, while shaft-could be generated in equal parts of time and being identical. Our minds can consider the consecutive elements or segments of a system to one dimension in the same part of time
Page 62 Page 6262 CAPITOLO V. 62 CHAPTER V. Della forma fondamentale. The basic form. I- Definizione del sistema, ad una, dimensione omogeneo in un dato verso, e sue prime proprietà. I-Definition of the system, to a, homogeneous size in a given direction, and its first properties. 68. 68. Def. Def. I. I. Se in un verso di un sistema ad una dimensione esistono due segmenti identici ad ogni segmento dato nello stesso verso, aventi l'uno per primo l'altro per secondo estremo un elemento qualunque dato A, il sistema si dirà omogeneo nel verso dato 1). If in one direction to a dimension of a system there are two identical segments with each segment given in the same direction, with the first one the other for a second end element any given A, the system will be said homogeneous in the direction given 1) . a. a. Il sistema omogeneo in un dato verso, se è aperto, è illimitato in am- bedue i versi a partire da un suo elemento qualunque. The homogeneous system in a given direction, if it is open, is unlimited in am-bedue verses from any element thereof. Difatti da un suo elemento A nel verso dato non vi può essere un ultimo elemento X (22) perché dato un tale elemento X, esiste nel verso dato un segmento (XY) identico a qualunque altro segmento del sistema nel verso dato, ad es. In fact, by one of its element A in the direction given there can be a last element X (22) because since such an element X, to exist in a given segment (XY) identical to any other segment of the system in the direction given, eg. ad (AX) (def. I). to (AX) (def. I). Né può essere limitato nel verso opposto perché ogni elemento X del sistema è anche secondo estremo di un segmento identico ad (AX) nel verso stabilito. Neither can be limited in the opposite direction because every element X of the system is also the second endpoint of a segment identical to (AX) in the direction established. Osa. Osa. L Anche se è chiuso lo possiamo considerare come aperto (6, 63). Even if L is closed we can consider it as an open (6, 63). b. b. Scelto un elemento X qualunque del sistema omogeneo in un dato verso e dato un segmento (AB) diretto in questo verso9 vi è un solo segmento uguale ad (AB) nello stesso verso di cui X è il primo o il secondo estremo. An element X selected any of the homogeneous system in a given direction and given a segment (AB) directed in this verso9 there is only one segment equal to (AB) in the same direction where X is the first or the second end. Difatti essendo dato il verso del sistema omogeneo ad una dimensione si può sempre ritenere come un sistema semplice (6, 65). In fact, being given to the homogeneous system to a size you can always feel like a simple system (6, 65). Ora a partire da X nel verso considerato come primo elemento vi è un segmento (XY) identico ad (AB) (def. I), e poiché ogni altro segmento nel medesimo verso a partire da X è maggiore o minore di (XY) (a, 65) si ha che (XY) è il solo segmento iden- tico ad (AB) nel verso del sistema, perché le relazioni A oppure AB escludono la relazione A = B (6, 61). Now from X in the direction considered as the first element there is a segment (XY) identical to (AB) (def. I), and since every other segment in the same direction from X is greater or less than (XY) ( a, 65) we have that (XY) is the only segment to iden-tico (AB) in the direction of the system, because the A or AB reports exclude the relation A = B (6, 61). e. and. Se nel sistema omogeneo si hanno due segmenti (AC), (A'C') nel verso o successivamente in parti di tempo diverse. If in the homogeneous system there are two segments (AC), (A'C ') in the direction or subsequently in different parts of time. Noi veniamo col linguaggio del movimento a dotare l'elemento di questa facoltà del pensiero, e supponiamo perciò che sia l'elemento stesso o il seg- mento che acquista successivamente le posizioni degli altri elementi o degli altri segmenti, anche se il sistema non o continuo (I. 18). We come with the language of movement to provide the element of this faculty of thought, and we assume therefore that it is the element or segment that buys then the positions of other elements or of other segments, even if the system fails or continuous (I. 18). Il risultato è il medesimo, soltanto la dicitura ne guadagna in chiarezza e comodità, ma per la precisione o bene usare questo linguaggio nella geometria coi dovuti riguardi per non confondere questo movimento nominale con quello reale dei corpi (vedi prefaz. e parte I). The result is the same, only the marked gains in clarity and convenience, but for the accuracy or good to use this language in the geometry with due regard for the movement not to be confused with the real face of the body (see Preface. And Part I). i) Esamineremo in seguito se le parti di questa definizione sono indipendenti, osserviamo in- tanto che il concetto del sistema ad una dimensione o più generale di quello omogeneo, perché non mancano sistemi ad una dimensione, come ad es: la maggior parte delle curve geometriche, i quali non godono la proprietà del sistema omogeneo. i) examine whether the later parts of this definition are independent, we observe in-so much so that the concept of the system to a dimension or more general than homogeneous, because there are systems to a dimension, such as: the majority of the curves geometry, which does not have the properties of the homogeneous system. Che non basti poi un solo segmento dato si vede subito supponendo il sistema composto di una serie limitata o illimitata che contenga come parte una serie illimitata (vedi oss. il, 81). That is not enough then only one segment as one sees at once assuming the system consists of a limited or unlimited, containing as part of an unlimited series (see oss. A, 81).
Page 63 Page 6363 dato scomposti nelle parti consecutive (AB) (BC), (A'J5r) (#C") e (AB) = (A'#) (BC) = (B'C), è (AC) = (A'C1) Difatti a partire da A' nel verso dato vi è un segmento ed uno solo uguale ad (AC) (b) il quale, per la corrispondenza d'identità con questo segmento, deve scomporsi in due segmenti (A'B*), (B'C") rispettivamente identici ad (AB) e (BC) (b, 60). 63 since broken up in consecutive parts (AB) (BC), (A'J5r) (# C ") and (AB) = (A '#) (BC) = (B'C), is (AC) = (A 'C1) In fact, starting from A' in the direction given there is a segment and only one equal to (AC) (b) which, for the correspondence of identity with this segment, must be broken down into two segments (A'B * ), (B'C '), respectively, identical to (AB) and (BC) (b, 60). Ma si ha pure (A'B") = (A' ), (B"C") = (B'C') (e, 60); dunque B" deve coincidere con B e C" con C' ( ), e perciò (A'C") con (A'C') (def. V, 57; , a, 65; def. I, 61). But it also has (A'B ') = (A'), (B "C") = (B'C ') (and, 60); therefore B "must coincide with B and C" with C' () , and therefore (A'C ') with (A'C') (def. V, 57;, a, 65; final. I, 61). e. and. Il sistema omogeneo è un sistema semplicemente chiuso od aperto. The homogeneous system is simply a closed or open. Supponiamo che A sia un elemento ripetuto nel sistema, e siano (BA) e (AC) due segmenti nel verso di esso che abbiano l'elemento A comune, il che è possibile immaginare essendo il sistema illimitato nei suoi due versi (a). Suppose that A is a repeating element in the system and are (BA) and (AC) in two segments to it which have the common element A, which you can imagine since the system is unlimited in its two lines (a). Ogni altro elemento A' si può considerare come elemento comune di due altri segmenti (B A') e (A' C} dello stesso verso e rispettivamente identici a (BA) (AC) (def. I); e siccome (BC) = (HO) (e) l'elemento A' ha in (B'C') la stessa proprietà che ha A in (BC) (b, 60). Dunque se A è ripetuto lo è anche A' e perciò o il sistema si riduce a un solo elemento, ciò che è escluso, nel concetto stesso del sistema ad una dimensione che si compone di elementi distinti, salvi casi eccezionali (def. I, 62 e oss. I, 57); oppure il sistema è considerato più volte; ed in questo caso il sitema considerato una sola volta è semplice (def. I, 62); e siccome il sistema non è limitato da d uè elementi (a) ne consegue che è semplicemente chiuso od aperto (def. I e II, 63). e" Gli elementi del sistema a partire da due elementi dati A e A si cor~ rispondano univocam,ente e nel medesimo ordine nel verso dato. Basta far corrispondere A ad A', e A' ad A, e ad ogni elemento X a par- tire da A nel verso dato si faccia corrispondere l'elemento X1 a partire da A' nel medesimo verso in modo che (AX) = (A'X') (def. I). Se X precede A nel verso dato, basterà considerare X' tale che in questo verso sia (XA) = (X'A) (def. I). In tal modo la corrispondenza univoca è pienamente stabilita la quale è anche dello stesso ordine (def. Ili, 42). Difatti se si ha: (AB) (AX) (AC) si deve avere pure: (A' ) (A'X') (A'C') (a, 61) e'" I segmenti indivisibili, se esistono, sono uguali. Siano (AB) e (XY) i segmenti indivisibili (def. V, 62). Nel verso di (XY) possiamo considerare a partire da X un segmento (XY^^(AB) (def. II, 61, def. I). Se (AB), e perciò (XYi), non è uguale a (XY) (h, (8, è (XYfì maggiore o minore di (XY) (e, a, 65). Se (XYl) (XY), l'elemento Yl appartiene al segmento (XY) (def. I, 61, def. I, 62 e def. II, 27), e perciò (XY) non sarebbe indivisibile contro l'ipotesi. Così se fosse (XY) ^(AB). Def. IL D'ora innanzi per elementi consecutivi di un sistema omogeneo inten- deremo anche quelli di un altro sistema omogeneo nello stesso verso che appar- tiene al primo (def. I, 27; def. I, 62 e def. I), i cui elementi consecutivi sono se- parati da elementi del primo sistema (23). Oss. I. Risulta immediatamente dalla definizione stessa che gli estremi dei All other elements A 'can be considered as a common element of two other segments (B A') and (A 'C} the same direction and, respectively, identical to (BA) (AC) (def. I), and as (BC) = (HO) (e) the element A 'has in (B'C') has the same properties that A in the (BC) (b, 60). Thus if A is repeated so is A 'and so either the system is reduced to one element, what is excluded, the concept of one-dimensional system that consists of distinct elements, apart from exceptional cases (def. I, 62 and oss. I, 57), or the system is considered several times, and in this case the sitema considered only once is simple (final I, 62), and since the system is not limited by T WO elements (a) it follows that it is simply closed or open (def. I and II, 63). and "The elements of the system from two data items A and A is correlated to respond ~ univocam, body and in the same order in the direction given. Just to match A to A ', and A' to A, and to each element X in par-tire in the direction given by A is made to correspond the element X1 from A 'in the same direction so that (AX) = (A'X') (def. I). If X precedes A in the direction given, will suffice to consider X 'such that in this verse is (XA) = (X'A) (def. I). In this way the unique match is fully established which is also of the same order (final Ill , 42). In fact, if you have: (AB) (AX) (AC) must also have: (A ') (A'X') (A'C ') (a, 61) and' "The indivisible segments if they exist, are equal. Let (AB) and (XY) indivisible segments (def. V, 62). the reverse of (XY) can be considered a segment from X (xy ^ ^ (AB) (def. II, 61, def. I). If (AB), and therefore (XYi), is not equal to (XY) (h, (8, is (XYfì greater or less than (XY) (e, a, 65) . If (XYL) (XY), the element Yl belongs to the segment (XY) (def. I, 61, def. I, 62 and final. II, 27), and therefore (XY) does not differentiate against ' hypothesis. Thus if (XY) ^ (AB). Def. THE Henceforth for consecutive elements of a homogeneous system intend deremo also those of a more homogeneous system in the same direction that takes belonging to the first (def. I , 27; final. I, 62 and final. I), whose elements are consecutive if-wallpaper by elements of the first system (23). Oss. I. It follows immediately from the definition that the extremes of
Page 64 Page 6464 segmenti consecutivi uguali nel verso del sistema omogeneo si possono pure consi- derare come elementi consecutivi. 64 equal consecutive segments in the direction of the homogeneous system can be considered well-derare as consecutive items. 69. 69. a. a. Se dite segmenti (AJ5), (CA) di uno o due sistemi qualunque ad una dimensione sono identici considerati in un dato verso, sono identici anche nel verso opposto. If you say segments (AJ5), (CA) of one or any two systems are identical to a size considered in a given direction, are identical also in the opposite direction. Difatti stabilita la corrispondenza d'identità fra i due segmenti (be def. I, 60) a C corrisponde A, a D corrisponde J5, e (BA) e (DO) si ottengono dai segmenti (AB) e (CD) colla stessa operazione a senso unico, considerandoli cioè nel verso opposto a partire dagli elementi corrispondenti B e D ( ', 60). In fact established correspondence of identity between the two segments (final well. I, 60) corresponds to C A, D corresponds to J5, and (BA) and (DO) are obtained by the segments (AB) and (CD) with the same operation with a single, considering that in the opposite direction starting from the corresponding elements B and D (', 60). b. b. Il sistema ad una dimensione omogeneo in un dato verso è omogeneo anche nel verso opposto. The system to a homogeneous size in a given direction is also homogeneous in the opposite direction. Difatti dato un segmento qualunque (BA) diretto nel verso opposto del si- stema, a partire da un elemento X qualunque si possono considerare due seg- menti (ZX) e (XY) identici ad (AB) nel verso dato del sistema (def. I, 68), e quindi (XZ). In fact, given any one segment (BA) directed in the opposite direction of the sys-tem, starting from an element X any we can consider two segments (ZX) and (XY) identical to (AB) in the direction of the given system (final . I, 68), and then (XZ). (YX) che sono diretti nel verso opposto sono identici a (BA) (a). (YX) which are directed in the opposite direction are identical to (BA) (a). Il teor. The theorem. è dunque dimostrato (def. I, 68). is therefore demonstrated (final I, 68). b'. b '. Dato un elemento X qualunque del sistema omogeneo e dato un segmento (AB) in un dato verso, in questo verso vi sono due soli segmenti identici ad (AB) di cui X è estremo comune. Given an element X any of the homogeneous system, and given a segment (AB) in a given direction, in this verse there are only two identical segments to (AB) of which X is extremely common. A partire da X nel dato verso (def. I, 68) il teorema è niente altro che b, 68. From X in the given direction (def. I, 68) the theorem is nothing but b, 68. Ma esistono pure due e due soli segmenti (Y*X) e (XY) nel verso op- posto identici a (BA) coli'estremo comune X (b; b', 68). But there are also two and only two segments (Y * X) and (XY) in the direction op-place identical to (BA) coli'estremo common X (b, b ', 68). e. and. Il sistema omogeneo aperto a partire da un suo elemento A in un dato verso è identico a partire da \m altro elemento qualunque A' nel medesimo verso rispetto alla disposizione in serie delle sue parti limitate. The homogeneous system open from one of its element A in a given direction is identical from \ m any other element A 'in the same direction with respect to the series arrangement of its parts limited. Invero, fatti corrispondere gli elementi A e A' fra di loro e ai segmenti consecutivi a partire da A i segmenti consecutivi uguali a partire da A' nel medesimo verso, che si limitano fra loro (def. VII, 62), le due serie di segmenti si trovano nelle condizioni del principio b" del n. 60. Oss. I. Si badi bene che le parti del sistema a partire da A e A nel verso dato non si possono dire identiche (def. Ili, 9) senz'altro, cioè senza una convenzione spe- ciale, perché si verrebbe alla contraddizione che il tutto A è identico alla sua parte J3, e cioè che A è e non è A (def. I, 62, def. II, 27 e def. VI, 8), in quanto che le re- lazioni AB, AB escludono la relazione A = B ( , 61). d. Ss il sistema omoge neo è chiuso il teorema (e) sussiste in senso assoluto. Difatti due elementi A e B dividono il sistema in due parti (e, 64), e scelto un elemento C tale che in un dato verso sia (AB) = (BC) e potendo considerare da C nel verso ABC un segmento (CJ5f) identico all'altro segmento determinato dagli elementi A e J5, cioè (BA), (def. I, 68; b, 69) i risultati sono identici (e, 63). Ma gli estremi del segmento risultante nel primo caso coin- cidono in A, dunque dovono coincidere anche nel secondo, vale a dire l'ele- mento B'f deve coincidere con B. Conv. I. Siccome trattiamo il sistema omogeneo nella ricerca delle sue pro- prietà fondamentali come sistema aperto o chiuso, così senza far distinzioni tra il sistema aperto e il sistema chiuso rispetto alle proprietà (e) e (d) con- veniamo di dire che anche la parte del sistema omogeneo aperto a partire da Indeed, the facts match the elements A and A 'each other and to consecutive segments starting from A, the consecutive segments equal starting from A' in the same direction, which are confined between them (final VII, 62), the two series segments are in the conditions of the principle b "of n. 60. Oss. I. Mind you that parts of the system from A and A in the direction since one can not say the same (def. Ill, 9) certainly ' another, that is, without a spe-cial Convention, because it would be contradictory to the whole part of A is identical to J3, namely that A and not A (def. I, 62, def. II, 27 and final. VI, 8), since the re-lations AB, AB exclude the relation A = B (, 61). d. Ss neo homogeneous system is closed the theorem (s) exists in an absolute sense. In fact, two elements A and B divide the system into two parts (and 64), and an element chosen C such that in a given towards both (AB) = (BC) and being considered by C in the ABC towards a segment (CJ5f) identical to the other segment determined by the elements A and J5, that is, (BA), (final I, 68 b, 69) the results are identical (and 63). But the extremes of the segment resulting in the first case involved cidono in A, therefore tomore match in the second, namely the whip-B'f must match Conv B. I. Since we treat the homogeneous system in search of his pro-fundamental properties as open or closed system, so without making distinctions between open system and the system closed with respect to the properties (e) and (d) with-we come to say that also the part of the homogeneous system open from
Page 65 Page 6565 un suo elemento in un dato verso è uguale alla parte dello stesso sistema a partire da un altro elemento A' nel verso considerato, purché però, quando fa bisogno, l'uguaglianza delle due parti si debba interpretare nel senso del teo- rema el). 65 an element in a given direction is equal to the same system from another element A 'in the verse under consideration, provided, however, when it's needed, the equality of the two parties should be interpreted in the sense of theo-rows and ). 2. 2. Prime proprietà del sistema identico nella posizione delle sue parti. First properties of the system in the identical position of its parts. 70. 70. Oss. Oss. I Da quanto precede non risulta che 36 si ha in un verso dato (A('S)....A)~(A. sia pure (1) e tanto meno (A....A(*))=(A *)....A) (2} La seconda relazione implicherebbe evidentemente la prima. Ora l'essere un tutto, ad es. ABCDE identico ad un tutto A'B C' D'E", non significa che lo stesso tutto ABGDE sia identico al tutto E'D'C'BA (oss. 41;. E se il segmento (AB) del sistema omogeneo non è uguale allo stesso segmento considerato nel verso opposto cioè (BA), le proprietà del sistema omogeneo (def. I, 68) rimangono inalterate. Frequenti esempi si hanno in geometria di segmenti di curve che non sono uguali agli stessi segmenti considerati nel verso opposto 2). Dunque: Anche se il sistema è omogeneo in un dato verso e nel verso opposto (6, 69) ciò non significa che il sistema in un verso a partire da un suo elemento qualunque sia identico al sistema nel verso opposto. Ora vogliamo che il nostro sistema sia assoggettato anche a questa proprietà. Def. /. Se un sistema omogeneo ad una dimensione a partire da un suo punto dato A in un verso è identico al sistema considerato dallo stesso punto nel verso opposto, lo chiameremo sistema identico nella posizione delle sue parti. 3) 1) Nei trattati di,gf ometria elementare cogli assiomi esprimenti che una figura può muoversi rima- nendo invariabile, rimanendo quindi conservate tutte le relazioni di tutto e di parte, e che la retta (che si considera aperta) può ruotare intorno ad un suo punto fino a passare per un punto qualunque dello spazio, non si evita la contraddizione dell'oss I. la quaie però non ha alcuna influenza finché si ri- mane nel campo finito di un1 unità, come meglio si vedrà in seguito. (Vedi anche pref.). 2) Si immaginino ad es. secondo uaa legge determinata degli archi identici consecutivi di curva, ad es. di ellisse. Considerando soltanto gli estremi, le cui relazioni di posizione sono date appunto dagli archi di ellisse di cui sono estremi, essi costituiscono un sistema ad una dimensione omogeneo in un verso, senza che in generale da un elemento A esso sia identico allo stesso sistema nel verso op- posto. Daremo in seguito il principio del continuo (ip. VI, Vili) per il sistema omogeneo, ma mentre potremo dimostrare la divisibilità in parti uguali di un segmento dato (AB) e la legge com- mutativa della somma di segmenti, per la dimostrazione della proprietà (AB)=(BA) ci occorrerà ap- punto la definizione del sistema identico nella posizione delle sue parti (Vedi oss. li, 81). 3) La proprietà che distingue il sistema omogeneo in uà dato verso e quella che distingue il si- stema identico nella posizione delle sue parti dagli altri sistemi ad una dimensione le abbiamo ri- scontrate sull'oggetto rettilineo limitatamente all'osservazione. Soltanto che qui è da osservare che il nostro sistema identico della posizione delle sue parti non è necessariamente continuo come si con- sidera la retta, e che le nostre definizioni sono indipendenti dail' osservazione. È inoltre da aggiun- gere che mentre l'oggetto rettilineo è un oggetto limitato di prima specie rispetto alle sue parti con- secutive, non è necessario di supporre questa proprietà per il nostro sistema. Le proprietà date dalle definizioni I, 68 e I, 70 si ammettono pure sotto altra forma nei trattati di geometria elementare per la retta, facendo uso dell'assioma del movimento delle figure senza deformazione, anzi si va più in là perché si ammette la seconda proprietà per ogni punto della retta, mentre basta ammetterla per un punto solo, e rimanendo nel campo finito di un'unità, come avviene nei trattati suddetti., basta ammet- terla per un solo segmento limitato, come pure basta ammettere là def. i, 68 per un solo [segmento dato {Vedi oss. II, 81). Noi dimostreremo iu seguito che (AB) r rffiA), che pure si da come assioma (Vedi n. 99 e 104). 5 I From the foregoing it appears that 36 is not in one direction has given (A ('S) .... A) ~ (A. albeit (1) and much less (A. ... A (*)) = (A *) .... A) (2} The second report clearly implies the first. Now being a whole, eg. ABCDE identical to a whole A'B C 'D' E ', does not mean that the ABGDE same everything is identical to all E'D'C'BA (oss. 41;. And if the segment (AB) of the homogeneous system is not equal to the same segment considered in the opposite direction ie (BA), the properties of the homogeneous system (def. I, 68) remain unchanged. Frequently there are examples in the geometry of curved segments that are not considered equal to the same segments in the opposite direction 2). So: Even if the system is homogeneous in a given direction and in the opposite (6, 69) that does not mean that the system in one direction from any element thereof is identical to the system in the opposite direction. Now we want our system is also subject to this property. Def. /. If a homogeneous system to a dimension from a given point A in his one hand is identical to the system in question from the same point in the opposite direction, the system call in the identical position of its parts. 3) 1) In the treatises, gf ometria elementary Seize axioms expressing that a figure can move nendo remaining invariable, and therefore remains preserved all the reports of all and part, and that the straight line (which is considered open) can rotate around a point up to its passing through any point of space, not avoids the contradiction OSS I. the quaie however has no effect until it re-mane in the finite field of UN1 unit, as will be seen later. (See also pref.). 2) Imagine eg. second UAA given law of identical consecutive arcs of curve, eg. ellipse. Considering only the extremes, in which the relations of position are given precisely by the arcs of an ellipse of which are extreme, they constitute a one-dimensional homogeneous in one direction, without that in general by an element A it is identical to the same system in the direction op-place. We will give as a result of the principle of continuous (ip. VI, VIII) for the homogeneous system, but as we will show the divisibility of equal parts of a given segment (AB) and the com-mutative law of the sum of segments, for the proof of property (AB) = (BA) we need to ap-point the definition of the system in the same position of its parts (See oss. them, 81 ). 3) The property that distinguishes the homogeneous system in AU given to and what distinguishes the sys-tem in the same position of its parts from other systems in one dimension we have re-rectilinear object collided limited observation. Only Here it is worth noting that our system is identical position of its parts is not necessarily constant as with the straight-siders, and that our definitions are independent dail 'observation. It is also to add to add that while the object straight is a finite object of the first kind with respect to its parts-secutive, it is not necessary to assume this property to our system. The property dates from the definitions I, 68 I, 70, also admitted in another form in the Treaties of elementary geometry for the line, making use of the axiom of motion pictures without distortion, rather it goes further because it admits the second property for each point on the line, while admitting to just one point, and staying in a finite field ' units, as happens in these treaties., just admitting terla limited to one segment, as well as admitting there is enough def. i, 68 for a single [See line segment {oss. II, 81). iu We prove below that ( AB) rffiA r), which also will be as an axiom (see n. 99 and 104). 5
Page 66 Page 6666 a. 66 to. La parte del sistema identico nella posizione delle sue parti a comin- ciare da un suo elemento dato A in un verso qualunque è uguale alla parte dello stesso sistema considerata da un altro elemento dato qualunque A' nel- runo come nell'altro verso. The part of the system which is identical in the position of its parts to comin-Ciare by one of its data element A in one direction is equal to any part of the same system considered by another element given any A 'in-brown as in the other direction. Sia AT elemento rispetto al quale il sistema in un verso è identico al si- stema nel verso opposto (def. I). Both AT element with respect to which the system in one direction is identical to the sys-tem in the opposite direction (def. I). Il sistema essendo omogeneo in uno e neir al- tro verso (def. I, e , 69) la parte di esso in uno o nel!1 altro verso a partire da A' è uguale alla parte del sistema considerata da A nello stesso verso (e, d, conv. I. 69), ina anche da A nel verso opposto (def. I, e, 60); e quindi per la stessa ragione la parte del sistema a partire da A in un verso è uguale alla parte del sistema da A nel verso opposto. The system being in a homogeneous and neir-other towards (final I, and, 69) the part of it in one or in! 1 other towards starting from A 'is equal to the part of the system considered by A in the same direction (c, d, conv. I. 69), ina also by A in the opposite direction (final I, and, 60); and then for the same reason the portion of the system starting from A in one direction is equal to the part of the system by A in the opposite direction. a'. to '. Dato un elemento qualunque X del sistema identico nella posizione delle sue parti, in uno e nell'altro verso esiste un segmento identico ad un segmento dato (AB) (a; b, 60). Given an element X of the system which is identical in any position of its parts, in one and in the other direction there is a segment identical to a given segment (AB) (a, b, 60). a". Un elemento qualunque di un sistema aperto identico nella posizione delle sue parti lo divide in due parti che a partire da esso sono identiche (e, 63; a; conv. I, 69). Def. II. Nel sistema ad una dimensione identico nella posizione delle sue parti possiamo considerare a cominciare da un elemento dato quale primo estremo, in uno e nell'altro verso, una serie di segmenti limitati identici con- secutivi. Applicando quindi il linguaggio del movimento (def. VII, 67) possiamo dire: In un sistema ad una dimensione identico nella posizione delle sue parti una sua parte può muoversi o scorrere mantenendosi identica a sé stessa ossia mantenendosi invariabile. Oss. II. Da quanto precede non risulta ancora che abbia luogo la proprietà (2) dell'osservazione I qualunque sia il segmento (A.... A(s)). Se (A... AW) è un segmento indivisibile di un sistema ad una dimensione identico nella posizione delle sue parti (def. V, 62), nel verso opposto a partire da A(s) possiamo considerare un segmento (A(s)A') identico ad (AA(sì). Se A' non coincidesse con A significherebbe che or ele- mento A' sarebbe contenuto 'm(Ais) A) o ciò che è lo stesso in (AAW, oppure l'elemento A sarebbe contenuto in (A($) A), essendo il sistema semplicemente chiuso od aperto (def. I; e', 68; def. II, 63; , 36 eb\ 33). E ciò non può essere perché (AAW) e (A(s)A') sono per ipotesi indivisibili (def. V, 62). Quindi la proprietà (2) resta dimo- strata per il segmento indivisibile. Facilmente la si dimostra poi per ogni seg- mento composto di un numero n qualunque dato della serie (I) di segmenti indivi- sibili consecutivi (def. VII, 62); ma perora non possiamo dimostrarla per un segmento qualunque senza premettere molte altre considerazioni l). 3. Ancora della identità di due forme. Forma, fondamentale. Necessità, di essa. Ipotesi I e IL 71. Oss. LI principi aea" del n. to ". any An element of an open system identical to the position of its parts divides it into two parts which are identical from it (and, 63; a; conv. I, 69). Def. II. In the system to a identical size in the position of its parts can be considered to start from a given element as a first extreme, in one and the other way, a series of identical segments with limited-consecutive. then applies the language of movement (final VII, 67) we can say: In a system with a size identical to the position of its parts to be part of it may move or scroll remaining identical to itself or remaining steady. Oss. II. From the foregoing it is still not taking place the property (2) of 'The observation whatever segment (A. ... A (s)). If (A. .. AW) is a segment of an indivisible system to a size identical to the position of its parts (def. V, 62) in the opposite direction from A (s) we can consider a segment (A (s) A ') is identical to (AA (yes). If A' does not mean that coincide with A or ele-ment A 'would be contained' m (AIS) A) or what is the same in (AAW, or the A element would be contained in (A ($) A), since the system is simply closed or open (final I; and ', 68; final. II, 63;, 36 b \ 33). And this can not be because (AAW) and (A (s) A ') are assumed to be indivisible (def. V, 62). Then the property (2) is demon- strata for the segment indivisible. Easily the proves then for each segment composed of a number n of any given series (I) of individual segments wheezing consecutive (final VII, 62), but advocates we can not prove to a segment without any preface the many other considerations). 3. Even the identity of two forms. Form, which is crucial. need of it. Hypothesis and IL 71. Oss. LI aea principles "of n. 60 sulle forme identiche, dai quali abbiamo derivato sotto forma diversa o per dimostrazione gli altri principi dello stesso nu- mero, essendo derivati essi stessi dal principio d* identità A =5 A applicato a forme di- 1) Vedi u. 60 on identical shapes, from which we derived in a different form or other proof of the same principles num-ber, being derived from the principle themselves identity d * A = 5 A applied to forms of-1) See u. 99 e 104. 99 and 104.
Page 67 Page 6767 stinte (def. V, e VI. 8; def. Ili, oss. Ili e IV, 9; def. I, 38; oss. Ili, 58; oss. I, , 59), si appoggiano sull'identità di altre forme, come già osservammo al n. 67 faded (def. V, and VI. 8, def. Ill, pers. Ill and IV, 9; final. I, 38; oss. Ill, 58; oss. I, 59), rely on the identity of other forms, as already observed at n. 60 (oss. VI). 60 (oss. VI). Per non cadere quindi in un circolo vizioso e rendere possibile T applicazione di quei principi nella costruzione delle forme dobbiamo ammettere che per una forma almeno sia stabilita l'identità fra le sue parti in base alla def. So as not to fall into a vicious circle and T can make application of those principles in the construction of the forms we have to admit that at least one form is established the identity of its parts according to the final. VI del n. No VI. 8 senz'altro, o in altre parole dobbiamo ammettere che le forme da noi considerate siano determinate, costruite o costruibili per mezzo di una forma almeno. 8 doubt, or in other words, we must admit that the forms that we consider are determined, constructed or constructible by means of a form at least. Ip. Ip. I. I. Vi è una forma che serve a determinare tutte le altre. There is a shape that serves to determine all the others. Chiameremo questa forma forma fondamenlale. We will call this form fondamenlale form. Le forme fondamentali sono identiehe i). The basic shapes are the identiehe). Oss. Oss. II. II. Gli elementi di una forma qualunque, e perciò la forma stessa, sono deter- minati in posizione da altre forme (oss. I, 59 e oss. Ili 60). The elements of a form whatsoever, and therefore the same shape, are determined on the position from other forms (oss. I, 59 and obs. Ill 60). Anche sotto questo rispetto il caso più semplice è quello in cui siano determinati da tutte le forme identiehe ad una data, che li contengono, o, come diremo anche in questo caso o in casi simili, da una sola forma, considerando un individuo per la classe. Even in this respect the simplest case is one in which are determined by all forms identiehe on a date, that contain them, or, as we shall also in this case or similar cases, by a single form, whereas an individual for the classroom. Oss. Oss. III. III. Per le altre forme l'identità deve risultare dalla loro costruzione per mezzo della forma fondamentale, o in altre parole: Le relazioni fra le diverse forme e fra le parti di una forma stessa (def. I, 38) si riducono a relazioni fra le parti di una o più forme fondamentali date. For other forms of identity should be built through their most basic form, or in other words: The relationships between the different forms and between the parties to the same form (def. I, 38) are reduced to relations between parts of one or more basic forms dates. La forma fondamentale non può essere determinata da altre forme. The basic form can not be determined from other forms. Questo in fondo significa l'ipotesi I. This basically means the hypothesis I. Infatti per la ip. In fact, for the ip. I stessa essa può essere determinata soltanto da altre forme ad essa identiehe o dalle forme che essa stessa determina o serve a costruire, o in altre parole da sé stessa; altrimenti si cadrebbe in un circolo vizioso. The same it can be determined only from other forms or shapes to it identiehe it determines itself or serves to build, or in other words, by itself, otherwise it would fall into a vicious circle. E quindi le sue proprietà non possono dipendere dalia sua costruzione per mezzo di altre forme perché la sua costruzione dipende dalle sue proprietà (def. II, 10). And thus its properties can not depend on its construction dahlia through other forms because its construction depends on its (def. II, 10). Ip. Ip. IL La forma fondamentale è un sistema ad una dimen- sione identico nella posizione delle sue parti. THE The basic form is a system to a dimension identical to the position of its parts. Oss. Oss. IV. IV. Spiegheremo alla fine le ragioni di questa scelta. We will explain the reasons at the end of this range. La forma fondamen- tale non è però ancora determinata pienamente fra le altre forme; sappiamo soltanto che è un sistema ad una dimensione indentico nella posizione delle sue parti (def. I, 70) chiuso od aperto (e', 68). The fundamental form that is not yet fully determined among other ways, we know only that it is a one-dimensional indentical to the position of its parts (def. I, 70) closed or open (e ', 68). Finché non sarà determinata fra questi sistemi, tutte le sue proprietà, che svolgeremo nei numeri seguenti, valgono tacitamente anche per tutti i sistemi ad una dimensione identici nella posizione delle loro parti e non identici ad essa 2). Until it is determined between these systems, all his property, which will conduct the following numbers, even tacitly valid for all systems to a size identical to the position of their parts is not identical to it and 2). 1) Questa ipotesi rappresenta un certo grado di necessità per la trattazione matematica della forme astratte (38) più delle altre che riguardano le proprietà particolari della forma fondamentale, e per stabilire le quali ci serve sempre di guida il continuo rettilineo intuitivo senza |per questo porci restrizioni non consentite dalla libertà del pensiero matematico (Vedi pref.). 1) This hypothesis represents a degree of necessity for the mathematical treatment of the abstract shapes (38) more of the others that relate the particular properties of the basic form, and to determine which there always serves to guide the continuous rectilinear intuitive without | for this restrict us not permitted by the Freedom of mathematical thinking (see pref.). 2) DW Bois Reymond (I. e. pag. 15) ricorre anche lui ad una forma fondamentale (Grundform ) che chiama grandezza lineare. 2) DW Bois Reymond (I. e. Page 15). He uses a basic form (Grundform) that calls linear size. Egli ha però soltanto in vista l'analisi, e perciò la sola grandezza nume- rica, mentre noi consideriamo come contrassegno essenziale delle nostre forme la diversità di posizione di esse (def. i, 38 e ad es. def. Il, 45). He has, however, only in view of the analysis, and therefore only the numerical magnitude-rica, while we regard as distinguishing aspect of our forms different positions with them (def. i, 38 and such. Def. Il, 45) . Di più per stabire i suoi principi l-Vl della grandezza lineare (pag. 44-48) egli non solo ricorre alla rappresentazione sensibile delia retta, come facciamo noi e abbiamo fatto per stabilire le proprietà del sistema identico nella posizione delle sue parti, ma l'enunciato di questi principi non è sempre reso indipendente dalla rappresentazione (come il principio IJ in modo che o necessario ricorrere all'osservazione per costruire coi principi dati il concetto della sua grandezza lineare. E questo è ciò che non facciamo e non dobbiamo fare. DBR a pag. 47 dichiara però che non ha inteso di ridurre per via logica i suoi principi al minor numero possibile, sebbene anche questo sia uno dei problemi fondamentali della matematica. D'altra parte egli non si occupa di definire e di spiegare astrattamente i concetti dei quali in questi principi fa uso (Vedi nota n. 85). Osservo inoltre che finché trattiamo la forma fondamentale come sistema identico nella posizione delle sue parti essa corrisponde in sé non solo alla retta, ma anche, ad es. al cerchio. Stabire more to its principles of linear size l-Vl (p. 44-48) he uses not only the sensible representation Delia straight, as we do and we had to determine the properties of the system in the same position of its parts, but the enunciation of these principles is not always made independent from the representation (such as the principle IJ so that either need to use observation data to build the concept with the principles of its linear size. And this is what we do and we must not do . DBR on p. however, that 47 states did not intend to reduce to its principles of logic at the lowest possible number, although this is one of the fundamental problems of mathematics. On the other hand, he is not concerned to define and explain abstract the concepts of which in these principles makes use (See footnote. 85). also note that until we treat the basic form as a system identical to the position of its parts it is in itself not only to the straight line, but also, eg. to the circle .
Page 68 Page 6868 4. 68 4. Operazioni dell'unire e del togliere sulla, forma, fondamentale e loro nuovo significato. Operations and remove on uniting, form, and their new fundamental meaning. Segmento nullo. Segment no. Altra, indicazione di un segmento percorso nei suoi due versi, Relazioni fra tre elementi qualunque della forma. Other, indicating a path segment in its two verses, relations between three elements of any shape. 72. 72. Oss. Oss. I. I. Per il senso in cui abbiamo usato fin qui l'operazione dell'unire (def. I e oss. 13; def. I, 26 e I, II, 29) la forma risultante dall'unione sulla forma fondamentale di un segmento (BC) ad un segmento (AB) aventi un solo elemento comune #,deve avere per elementi tutti gli elementi delle forme unite. For the sense in which we used to date the task of uniting (def. I and oss. 13; final. I 26 and I, II, 29) the shape that results from the basic form of a segment (BC ) to a segment (AB) having a single common element #, must have elements for all the elements of the forms together. Per ora dunque non è possibile che in questa operazione (BA) e (BC) siano di verso opposto, perché essendo la forma fondamentale un sistema semplice, in questo caso dovendo essere C prima di B nel verso di (AB) (ind. I, 61, f"? 63), o C coinciderebbe con A^ o C sarebbe conte- nuto in (BA), vale a dire in (AB), oppure A sarebbe contenuto in (BC) (def. I, 70; e, 68; def. Il, 63 ; 6, 36 e ', 33): in ogni caso avrebbero dunque i segmenti (AB) e (BC) più di un elemento comune. Il risultato inoltre dell'unione snlla forma fondamentale del segmento (BC) al segmento (AB) dello stesso verso è il segmento (AG) che ha per parti consecutive (AB) e (BG) (def, VII, 62;. Def. I. Addizionare o sommare (BC) ad (AB) significa unire il segmento (BC) al segmento (AB). Questa operazione (addizione del segmento (BC) al seg- mento consecutivo (AB) (def. VII, 62) la indicheremo così: (AB)-\-(BC)^(AC), usando per essa il segno + come per l'addizione dei numeri (ind. I, 47). Def. IL 11 segmento (AG) si chiama somma del segmento (BC) al seg- mento (AB). a. L'addizione di due segmenti nella forma fondamentale è un'opera- zione a senso unico. La posizione e l'ordine dei segmenti sono stabiliti (def. I), e quindi a (def. I; 29 e 41). b. Somme di segmenti rispettivamente uguali sono uguali (def. I ; e, 68). 055. //. Per ottenere dunque il segmento (AG) basta dato (AB) percorrere il segmento (BG) nel verso di (AB) a partire da B. 73. a. Se è (AC) = (AB)+(BC) e nel verso di (AC) si sceglie il segmento (AC)=(BC),è(AC') i(ACYì e se si sceglie il segmento (A'C)=(AB), è (A'C) (AC). Perché è (BC) (AC) (def. I, 61) ed essendo (AG*) = (BC) (def. I, 68 e 6, 69; def. I, 70) si ha (ACr) (AC) (def. II, 61). Per la stessa ragione (A'C) (AC) *). b. Dati due segmenti (AB), (A'B) della forma fondamentale, non identici, runo è maggiore o minore dell'altro. Difatti nel verso di (A'#) si può considerare a partire da A un segmento (A'B") identico al segmento (AB) (def. I, e a', 70). Siccome B" non può coincidere con B', perché (A' ') non è identico ad (A'tf) (h, 8) esso deve es- sere contenuto nel segmento (AB'), oppure # deve essere contenuto nel segmento (A'B") (def. I, 70; e', 68; def. 11,63 eb, 36). Nel primo caso è 1) Ciò non significa ancora che (CC) sia identico nel 1. caso ad (AB). (Vedi n. 99 e 104). For now, therefore, it is not possible in this operation (BA) and (BC) are in the opposite direction, because being the basic form of a simple system, in this case having to be C before B in the direction of (AB) (ind. I , 61, f "? 63), or C coincide with A or C ^ would count-content in (BA), ie (AB), or A would be contained in the (BC) (def. I, 70; and , 68, def. Il, 63, 6, and 36 ', 33): in any case would, therefore, the segments (AB) and (BC) as a common element. The results also indicate union snlla fundamental form of the segment ( BC) to the segment (AB) of the same direction is the segment (AG) which has for consecutive parts (AB) and (BG) (final, VII, 62;. Def. I. add or sum (BC) to (AB) means connecting the segment (BC) to the segment (AB). This operation (addition of the segment (BC) to the segment row (AB) (def. VII, 62) indicate the way: (AB) - \ - (BC) ^ (AC), using the + sign for it as for addition of numbers (ind. I, 47). Def. THE 11 segment (AG) is called the sum of the segment (BC) to the segment (AB). a. The addition of two segments in the basic form is an operation in a single direction. The position and the order of the segments are established (def. I), and then to (final I; 29 and 41). b. Sums of equal segments respectively are equal (def. I; and 68). 055. / /. To obtain therefore the segment (AG) is sufficient data (AB) along the segment (BG) in the direction of (AB) to B. from 73. to. If it is (AC) = (AB) + (BC) and in the direction of (AC) is chosen segment (AC) = (BC), is (AC ') i (ACYì and if you choose the segment (A'C) = (AB), is (A'C) (AC). Why is (BC) (AC) (def. I, 61) and being (AG *) = (BC) ( final. I, 68 and 6, 69, def. I, 70) we have (ACR) (AC) (def. II, 61). For the same reason (A'C) (AC) *). b. Data two segments (AB), (A'B) of the basic form, not identical, Runo is greater than or less than the other. In fact, in the direction of (A '#) can be considered from a segment A (A'B' ) identical to the segment (AB) (def. I, and a ', 70). Since B "can not coincide with B', because (A '') is not identical to (A'tf) (h, 8) it must be es-content in the segment (AB '), or # must be in segment (A'B') (def. I, 70; and ', 68; final. 11.63 b, 36). In the first case is 1) This does not mean that (CC) is identical in 1. case to (AB). (See n. 99 and 104).
Page 69 Page 69e nel secondo (ASf)^(AB") (def. 1,61), e perciò anche nel primo caso (A'B') (AB) e nel secondo (A'#) (AB) (def. li, 61). e. Per vedere se un segmento (A'B') è maggiore, uguale o minore di un segmento (AB) è indifferente considerare un segmento uguale ad (AB') nel verso di (AB) a partire da A come primo estremo o da B come secondo estremo. Questo teorema risulta dal teorema b combinato col teorema ae dalla def. II, 61. d. Dato un segmento (AB) e una sita parte (CD) di citi nessun estremo coin- cide in A o in B, si ha (AB) (CD). Difatti nel verso di (AB) a pai-tire da A gli elementi A, C, D, B si se- guono nell'ordine ACDB (def. Ilf, II, I, e oss. Ili, 62; /"", 63) si ha: (A ) (AD), (AD) (CD) (23, def. I, 61), e quindi (AB) (CD) (d,61). e. Se un segmento (AB) è maggiore di un altro segmento (CD), (BA) è mag- giore di (DC). (CD) è uguale ad una parte di (AB), (def. II, 61), ea questa possiamo sostituire nel verso di (AB) il segmento (AB) = (CD) di (AB) (e). Ora si ha (BA) (BA) (def. I, 61) dunque (BA) (DC), essendo (DC)~(BA) (a, 69 e def. II, 61). f. Se a segmenti (AB), (A'B') uguali si addizionano i segmenti (BC) = (B'C1) dello stesso verso, si ha: (AC) EE (A'C) II teorema è evidente se (BC)~(B'C') (e, 68; def. I). Se (Bty ( (?) e si considera (BC')^(BC) nel medesimo verso, l'elemento C" deve cadere fra B e C perché (BC) (BC') (def. II, 61), e quindi (AC")~(A'r) (AC) (e. 68; def. I, 61). Analogamente se è (BC) (B'C). g. Dati due segmenti (AB) e (A'B'), se il primo è maggiore, uguale o mi- nore del secondo, sommando ad ambedue rispettivamente i segmenti (BC) e (BC) uguali e dello stesso verso di (AB) e (A11?), la prima somma è maggiore, uguale o minore della seconda. Se (AB) = (AB') il teorema è dimostrato (e, 68). Se (AB)XA'B') si con- sideri a partire da A nel verso di (AB) (ind. I, 64; /"", 63) un segmento (AB') uguale ad (A'B?) (#', 70); l'elemento B" sarà contenuto fra A e B senza coin- cidere con B (def. II, I, 61). Da ciò si deduce che B è fra B" e C, perché non appartenendo ad (AB") (def. I, 70; e 68; def. II, 63 eb, 36) ed essendo elemento di (AC) deve appartenere a( 'T) (def. I, 70; def. I, 27 e li, 29), senza essere B". Aggiungendo ad (AB) e ad (AB?') i segmenti (BC) e (B"C") uguali dico che: (AB) + (BC) (AB')+(B"C') ossia (AC) (AC") Difatti l'elemento C" deve essere compreso in (B"C) senza essere C, perché B è in (B"C), altrimenti il segmento (B"C") sarebbe maggiore di (BC) (def. I, 61 ed). Essendo C" compreso in (B"C)9 che è parte di (AC), C" è compreso in (AC), and in the second (ASF) ^ (AB ") (def. 1.61), and therefore also in the first case (A'B ') (AB) and in the second (A' #) (AB) (def. them, 61). and. To see if a segment (A'B ') is greater, equal to or less of a segment (AB) is indifferent to consider a segment equal to (AB') in the direction of (AB) from A as B as the first end or second end. This theorem follows from theorem combined with Theorem a and b the final. II, 61. d. Given a segment (AB) and a part located (CD) cite no end in A coincides or B, are (AB) (CD). In fact, in the direction of (AB) to pai-tire by A the elements A, C, D, B is-whether guono order ACDB (final Ilf, II, I, and obs. Ill, 62; / "", 63) one has: (A) (AD), (AD) (CD) (23, def. I, 61), and then (AB) (CD) ( d, 61). and. If a segment (AB) is greater than another segment (CD), (BA) is higher than (DC). (CD) is equal to a part of (AB), (final . II, 61), and this can change in the direction of (AB) the segment (AB) = (CD) (AB) (e). Now we have (BA) (BA) (def. I, 61) thus (BA) (DC), being (DC) ~ (BA) (a, 69 and final. II, 61). f. If segments (AB) (A'B ') are added together equal segments (BC) = (B'C1) towards the same, we have: (AC), EE (A'C) theorem is evident if (BC) ~ (B'C ') (and, 68; final. I). If (BTY ((?) and is considered (BC ') ^ (BC) in the same direction, the element C "must fall between B and C because (BC) (BC') (def. II, 61), and then (AC ") ~ (A'r) (AC) (c. 68; final. I, 61). Similarly if it is (BC) (B'C). g. Given two segments (AB) and (A'B ') , if the first is greater, equal or I-nore of the second, respectively adding to both the segments (BC) and (BC) of equal length and the same direction (AB) and (A11?), the first sum is greater than, equal or less than the second. If (AB) = (AB ') the theorem is shown (and 68). If (AB) XA'B') is with-Sideri starting from A in the direction of (AB) (ind. I, 64; / "", 63) a segment (AB ') equal to (A'B?) (#', 70), the element B "will be contained between A and B without coin-cidere with B (final . II, I, 61). From this it follows that B is between B 'and C, because they belong to (AB ") (def. I, 70, and 68 def. II, 63 b, 36) and being element (AC) must belong to ('T) (def. I, 70; final. I, 27 and them, 29), without being B ". Adding to (AB) and (AB?') segments ( BC) and (B "C") equal to say that: (AB) + (BC) (AB ') + (B' C ') ie (AC) (AC ") Indeed, the element C" must be understood in ( B "C) without being C, because B is at (B" C), otherwise the segment (B "C") would be greater than (BC) (def. I, and 61). Since C "included in (B" C) 9 which is part of (AC), C "is included in (AC),
Page 70 Page 7070 (e, 27; def. I, 62 e def. I, ?0), e quindi (AC) (AC") (def. I, 61). Ma (ÀC") == (A' ?), dunque (AC) (A' T) (e, 68; def. II. 61). 70 (and 27; final. I, 62 and final. I? 0), then (AC) (AC ") (def. I, 61). But (BC") == (A '?) So (AC) (A 'T) (and, 68; final. II. 61). Così resta dimostrata anche la terza parte del teorema. Thus is demonstrated the third part of the theorem. g\ Se nel primo caso di g si ha : la prima somma è maggiore della seconda. g \ If in the first case of g we have: the first sum is greater than the second. Se è (BC,) == (B'C) nel verso di (AB) (ind. I, 64 ef", 63) si ha : (AB)+(BCi) (f), dunque: (d, 61). g". If it is (BC) == (B'C) in the direction of (AB) (ind. I, 64 ef ", 63) one has: (AB) + (BCI) (f), then: (d, 61 ). g ". Secondo i tre casi (AB) = (A'B') si ha (AB)+(AB) = (A'B')+(A'B') (g, g'). According to the three cases (AB) = (A'B ') we have (AB) + (AB) = (A'B') + (A'B ') (g, g'). g'". Se a segmenti uguali (AB), (A' I?) sommando altri segmenti (BC), (B'C) si ottengono segmenti uguali, (BC) e (B'C) sono uguali. Difatti si ha: (AB)+(BC) ~ (AC), (A'ff) + (ffC) = (AC) Se fosse (BC) (ffC) non si potrebbe avere (AC)^(A'C') (fi b, 61). glv. Se ai segmenti (AB), (A'B') sommando segmenti uguali si ottengono ri- sultati uguali, si ha (AB) = (A'B'). Difatti se fosse (AB) (A'B') essendo (BC) = (ffC), sarebbe: (g) il che in ogni caso è assurdo (b', 61). gv . Se ai segmenti (AB), (A'B'), essendo (AB) (A'B'), sommando i segmenti (BC) e (B'C) si ottengono risultati uguali, deve essere (BC) ^(B'Cf). Non può essere (BC)=(B'C) (ge b', 61), né può essere (BC) (B'C) (g ; b', 61), dunque (BC) (B'C') (b). 74. Oss. I. Togliere nella forma fondamentale un segmento (BC) da un seg- mento (AC) significa nel senso fili qui usato, scomporre (AG) in due parti consecu- tive di cui l'ultima sia (BC) e far poi astrazione da (BC) ; e togliere un segmento (AG) dal segmento (AC) significa fare astrazione dal segmento stesso (7, def. I, conv. 31). Possiamo anche dire: Togliere nella forma fondamentale un segmento (BC) da un segmento maggiore (AG) significa determinare un segmento (AB) di (AG) al quale sommato (BC) si otten- ga (AG). Def. I. Questa operazione la chiameremo in tal caso sottrazione del seg- mento (BC) dal segmento (AC), e la indicheremo così: (AB)~(AC)-(BC) (1) usando per essa il segno come per la sottrazione dei numeri (ind. II, 51). Il segmento (AB) si chiama differenza o resto. a. L'operazione del togliere un segmento (BC) da un segmento (AC) è a senso unico. Difatti supponiamo si possano ottenere due segmenti (AB), (AB') diversi, sarebbe : (AB) + (BC) ~ (AC) (AB') + ( C) = (AC) essendo (B'C) per ipotesi identico a (BC). Vale a dire l'addizione alle forme g '. "If in equal segments (AB), (A' I?) adding other segments (BC), (B'C) are obtained equal segments, (BC) and (B'C) are equal. In fact, it has : (AB) + (BC) ~ (AC), (A'ff) + (ffc) = (AC) Had (BC) (FFC) could not have (AC) ^ (A'C ') (fi b, 61). GLV. If the segments (AB), (A'B ') by adding equal segments are obtained re-sults equal, we have (AB) = (A'B'). Indeed if it were (AB) ( A'B ') being (BC) = (FFC), would be: (g) that in each case is absurd (b', 61). gv. If the segments (AB), (A'B '), being (AB) (A'B '), summing the segments (BC) and (B'C) equal results are obtained, must be (BC) ^ (B'Cf). It can not be (BC) = (B'C ) (g, b ', 61), nor can it be (BC) (B'C) (g, b', 61), then (BC) (B'C ') (b). 74. Oss. I. Remove fundamental form in a segment (BC) by a segment (AC) means in the sense wires used here, disassemble (AG) in two consecu-tive of which is the last (BC) and then to abstract from (BC) , and remove a segment (AG) from the segment (AC) means to disregard the same segment (7, def. I, conv. 31). We can also say: Remove the fundamental form a segment (BC) by a greater segment (AG ) means determining a segment (AB) of (AG) to which added (BC) are obtained-ga (AG). Def. I. This operation will call in this case, subtraction of the segment (BC) from the segment (AC) , and denoted as follows: (AB) ~ (AC) - (BC) (1) using the sign for it as for the subtraction of numbers (ind. II, 51). segment (AB) is called the difference or remainder. a. The operation of removing a segment (BC) by a segment (AC) is one-way. Indeed suppose you could get two segments (AB) (AB ') different, would: (AB) + (BC) ~ (AC) (AB ') + (C) = (AC) being (B'C) for hypothesis identical to (BC). That is to say the addition to the forms
Page 71 Page 7171 (AB), (AB') di (BC), (B'C) (che è a senso unico (a. ?2)) darebbe forme identiche, ciò che è assurdo (#, 73; b', 61). 71 (AB), (AB ') to (BC), (B'C) (which is one-way (a.? 2)) would give identical shapes, which is absurd (#, 73 b', 61) . Oss. Oss. I. I. Per togliere il segmento (BC) dai segmento (AG) basta dunque percor- rere il segmento (GB) nel verso opposto di (AG). To remove the segment (BC) by segment (AG) just so percor RERE-segment (GB) in the opposite direction of (AG). b. b. Dati due segmenti (AB) e (AB1), se il primo è maggiore, uguale o mi- nore del secondo, sottraendo rispettivamente da essi i segmenti (CB) e ((? ) uguali e diretti nello stesso verso di (AB) e (AB1), la prima differenza è mag- giore, uguale o minore della seconda. Siccome si ha: (AB) = (AC) -f (CB), (A'ff) = (A'C') + (C'B) se nel primo caso non fosse (AC) (A'C), il segmento (AB) non potrebbe esse- re maggiore di (A'B) (g, 73; b, e, 61). Così negli altri due casi. 75. a. (AB) = (AB) + (BC) (BC) = (BC) (BC) -f (AB). Difatti togliere una cosa già posta da un risultato nullo (7 e 31) e quindi rimane (AB), aggiungendo ad essa e togliendo poi la parte (BC). Così aggiun- gendo a nessun segmento il segmento (AB), si ha (AB). . In un verso dato si ha (AA) = (AC) (AC). Difatti basta supporre che A e B coincidano in (1) del n. 74 (def. Ili, 57). e. Il risultato dell'operazione (AC) (AC) è indipendente dal verso in cui è percorsa la parte (AC) da A. Difatti dato (AC), nel verso opposto nel sistema a partire da A si può considerare un segmento (AC") identico ad (AC), (a', 7Q), e poiché l'operazione (AC) (AC) è a senso unico, (a, 74, oa, 11,), ossia si percorre tutto (AC) nel verso opposto a partire da C, ne viene che i risultati di questa operazione in (AC*) e (AC) sono identici (a'", 60 ob, 74). 76. Def. I. Siccome (AC) (BC) da in generale un segmento della forma fondamentale se è (AC) (BC), onde non fare alcuna eccezione (come pel nu- mero zero), anziché dire che (AC) (AC) non da un segmento della forma (def. Ili, 62) diremo che da un segmento nullo o zero. E scriveremo come pei numeri (AA) = (AC) (AC)EEO (1) a. (AC) (AC)=(A'C) (A'Cf) essendo (AC) e (AC?) due segmenti qualun- que dello stesso verso o di verso opposto. Difatti (AC) - (A'C') + (AC) = (AC) ( , 75) da cui (A1 C) (A' C) = (AC) - (AC). (b, 74) Oss. L Poiché tutti gli elementi sono identici (def. I, 57) ei segmenti finora con- siderati contengono almeno due elementi distinti (def. Ili, 62), mentre il segmento nullo non ha elementi, si ha: L'elemento rappresenta il segmento nullo ( , 75 e (I)). 77. Def. I. Non tenendo conto della relazione di tutto e di parte (def. I, 61) possiamo riguardare l'operazione del togliere il segmento (BC) dal segmento (AC) come un'unione del segmento (CB) al segmento (AC) conservando per questa nuova unione lo stesso segno, percorrendo (AC) e (CB) nel loro verso, anche essendo (CB) di verso opposto ad (AC) (pss. I, 72). A___B____C Given two segments (AB) and (AB1), if the first is greater, equal or I-nore of the second, respectively subtracting from them the segments (CB) and ((?) Of equal length and directed in the same direction (AB) and (AB1), the first difference is higher, equal to or less than the second. Since we have: (AB) = (AC)-f (CB), (A'ff) = (A'C ') + (C 'B) if the former were not (AC) (A'C), the segment (AB)-they could not D major (A'B) (g, 73 b, and 61). So in other two cases. 75. a. (AB) = (AB) + (BC) (BC) = (BC) (BC)-f (AB). In fact, one thing has already been put off by a null result (7 and 31) and then stays (AB), adding to it and then remove the part (BC). So by adding the segment to any segment (AB), we have (AB) .. In one way it has given (AA) = (AC ) (AC). In fact, just assume that A and B coincide in (1) of n. 74 (def. Ill, 57). and. The result of (AC) (AC) is independent of the direction in which it traveled part (AC) from A. In fact, since (AC), in the opposite direction in the system from A can be considered a segment (AC ") is identical to (AC), (a ', 7Q), and since the operation (AC) (AC) is a one-way, (a, 74, or, 11,), which covers the entire (AC) in the opposite direction from C, it follows that the results of this operation in (AC *) and (AC) are identical ('', 60 b, 74). 76. Def. I. Since (AC) (BC) from a segment of the general fundamental form if it is (AC) (BC), in order not to no exception (PEL as mere nu-zero), instead of saying that (AC) (AC) from a segment of the form (def. Ill, 62) say that a segment of zero or zero. And write as pei numbers (AA) = (AC) (AC) EEO (1) a. (AC) (AC) = (A'C) (A'Cf) being (AC) and (AC?) In whatever two segments of the same direction or towards opposite. fact (AC) - (A'C ') + (AC) = (AC) (, 75) where (A1 C) (A' C) = (AC) - (AC). (b, 74) Oss. L Since all the elements are identical (final I, 57) and the segments so far with-siderati contain at least two distinct elements (final Ill, 62), while the segment has no zero elements, one has: The element is the segment zero (75 and (I)). 77. Def. I. Not taking into account the report of the whole and part (def. I, 61) we can relate to the operation of removing the segment (BC) from the segment ( AC) as a union of the segment (CB) to the segment (AC) for maintaining this new union the same sign, crossing (AC) and (CB) in their hand, even as (CB) in the opposite direction to (AC) ( pss. I, 72). A___B____C
Page 72 Page 72Oss. Oss. I. I. Questa definizione si può anche giustificare considerando che (CÈ) sia diretto nello stesso verso di (AG), e quindi gli elementi di (BC) ripetuti due volte; e anziché considerare come risultato dell'unione (AC)-\-(CB) (GB) considerato delio stesso verso di (AC)^ si consideri come risultato soltanto il segmento (AB). This definition can also justify considering that (EC) is directed in the same direction (AG), and therefore the elements of (BC) repeated twice, and instead considered as a result of the union (AC) - \ - (CB) (GB) considered delio same direction (AC) ^ consider only result in the segment (AB). Natural- mente in questo caso l'unione non ci da il tutto dalle parti, poiché (AB) non è il tutto (AC) + (CB) trascurando in esso la parte (BC) + (C#), considerata quest'ultima nello stesso verso nel senso suindicato. Natural-mind in this case the union does not give us all by the parties, (AB) is not the whole (AC) + (CB) neglecting the part in it (BC) + (C #), the latter considered same direction as indicated above. # a. # A. (AC)+(CB) = (AC)-(BC) (i) essendo (CB) di verso opposto ad (AC) (def. I; def. I, 74). (AC) + (CB) = (AC) - (BC) (i) being (CB) in the opposite direction to (AC) (def. I; final. I, 74). a'. to '. (BC) + (CB) = (BC) (BC) = o (2) Basta far coincidere in (1) A con C a. (BC) + (CB) = (BC) (BC) = or (2) is enough to coincide in (1) A with C to. o + (CB) = o (BC) (3) Basta far coincidere in (1) A con C ((1), 76). or + (CB) = or (BC) (3) Just to coincide in (1) A with C ((1), 76). Oss. Oss. IL La relazione (2) non significa però che (BC)e (GB) siano identici, perché (BC)+(CB) significa che da (BC) si toglie il segmento (BC) o si fa astrazione da (BC), il che da (BC) = (BC) ma non già (BC) = (CB). IL The relation (2) does not mean that (BC) and (GB) are identical, because (BC) + (CB) means that (BC) removes the segment (BC) or abstracts from (BC), that from the (BC) = (BC) but not (BC) = (CB). E se ciò s'intende tacitamente, si ammette una proprietà che noi dimostreremo in seguito. And if that means tacitly admits is a property that we will prove later. Def. Def. IL Ma siccome ad un segmento (AC) si può addizionare un segmento qualunque (CB) per l'estensione data a questa operazione, ciò vale anche se (CB) è diretto in verso opposto ad (AC), e quindi estendiamo l'operazione del togliere supponendo che (BC) sia maggiore di (AC), e per risultato della sot- trazione si ha il segmento (AB) percorso in tal caso nel verso (CB). THE But as a segment (AC) may be added any one segment (CB) for the extension given to this operation, this applies even if (CB) is directed in the opposite direction to (AC), and then extend the operation remove the assumption that (BC) is greater than (AC), and for the result of sub-traction has the segment (AB) path in this case in the direction (CB). b. b. Addizionare il segmento (BC) ad un segmento (AC) o togliere il segmen- to (CB) da un segmento (AC) sono operazioni identiche. Add the segment (BC) for a segment (AC) or disconnect the segment-to (CB) by a segment (AC) are identical operations. Ciò risulta immediatamente dall'estensione data alle operazioni dell'u- nire e del togliere (def. I e II). This follows immediately by the extension given to the operations and remove the U-ne (def. I and II). V. V. L'operazione d'ir unir j nel nuovo senso è pure a senso unico. The operation of ir j unite in the new sense is also one way. Ciò deriva immediatamente da, be dalle proprietà a, 72 ea, 74 e e', 68 e , 65). This derives from immediately, by the properties to be, 72 and, 74 and e ', 68 and 65). e. and. +(CB) = (BC) (4) Deriva dalla (3) e dal principio a'" del n. 60 e da #. Oss. IIL II segno -f- significa che (CB) deve essere percorso nel verso da C a B; il segno noi secondo membro dell'identità significa che (BC) deve essere percorso nel verso opposto da C a B. Imi. I. Per indicare che un segmento (CB) isolato dal sistema deve es- sere percorso nel suo verso a cominciare quindi da C non occorrono segni spe- ciali (imi. I, 64) e quindi possiamo porre senza ambiguità + (CB) = (CB) (5) Ma se vogliamo indicare il segmento (CB) nel suo verso collo stesso sim- bolo (BC) bisognerà premettere il segno , affinchè sia determinato che bisogna percorrere il segmento (BC) da C verso B, ossia nel verso opposto. Abbia- mo dunque: e'. (CB) = -(BC) (4') la quale deriva anche da (4) mediante la (5) (b, 9). e". + (CB) = (BC) (4) derives from (3) and by the principle to '"of n. 60 and by #. Oss. IIL The sign-f-means (CB) must be traversed in the direction from C B, the second member of the identity sign we mean that (BC) must be traversed in the opposite direction from C to B. Imi. I. To indicate that a segment (CB) isolated from the system-eg must be in its path towards starting from C then no need for signs equip-ment (imi. I, 64), and then we can put unambiguously + (CB) = (CB) (5) But if we want to indicate the segment (CB) in its neck towards the same sim - Bolus (BC) must precede the sign, so you must take is determined that the segment (BC) from C to B, ie in the opposite direction. Have So-mo: e '. (CB) = - (BC) (4' ) which also comes from (4) through (5) (b, 9). and ". (AC) -f (CB) = (AC) + (- (BC)) = (AC) - (BC) (AC)-f (CB) = (AC) + (- (BC)) = (AC) - (BC)
Page 73 Page 73Èasta sostituire in (1) in luogo dì (CB), (BC) chiudendolo in parentesi. Èasta replace in (1) in a day (CB), (BC) closing in parentheses. Def. Def. ITI. ITI. Finora abbiamo considerato segmenti consecutivi della forma di- retti nel medesimo verso (def. VII, 62). So far we have considered the form of consecutive segments of the righteous-in the same direction (def. VII, 62). Per la estensione data all'operazione dell'unire chiameremo consecutivi anche quei segmenti che hanno un estremo comune e sono di verso opposto. For the extension of this operation will call uniting consecutive even those segments which have a common end and are of opposite direction. d. d. Per l'addizione e la sottrazione dei segmenti consecutivi nella forma fondamentale vale la legge associaiiva. For addition and subtraction of consecutive segments in the basic form is the law associaiiva. Si ha cioè: [(AB) + (BC)] + (CZ ) ==(AB)+ [(BC) + (CD)] (6) In questa formola è compreso anche il caso della sottrazione quando l'ad- dizione si considera nel senso della def. It has namely: [(AB) + (BC)] + (CZ) == (AB) + [(BC) + (CD)] (6) In this formula is also included in the case of the subtraction when the ad- diction is considered in the sense of def. I. I. Difatti si ha: (BC)-\-(CD) = (AC) + (CD) ~ (AD) = (AB) -f (BD) (V ; e, 8 oe, 60) e. In fact we have: (BC) - \ - (CD) = (AC) + (CD) ~ (AD) = (AB)-f (BD) (V; and, 8 oe, 60) and. (AB) + (BC) + (CB) = o qualunque siano i tre elementi A, B, C. (AB) + (BC) + (CB) = or whatever the three elements A, B, C. Difatti dalle relazioni (AB) 4- (BC)~(AC), (AC)- (AC) = o (def. I, e def. I, 76) si ha: (AB) + (BC) (AC) = o (b, 74) Ma togliere il segmento (AC) equivale a sommare il segmento (CA) ( ), dunque: (AB) + (BC) -f (CA ) = o (def. I) 78. In fact the relations (AB) 4 - (BC) ~ (AC), (AC) - (AC) = o (def. I, and def. I, 76) we have: (AB) + (BC) (AC) = o (b, 74) But removing the segment (AC) is equivalent to adding the segment (CA) (), then: (AB) + (BC)-f (CA) = o (def. I) 78. a. a. Se si addiziona il segmento (BC) al segmento (AB) a partire da un ele- mento qualunque della forma fondamentale si ha V identico risultato qualun- que sia il verso in cui si eseguisce l' operazion0. If one adds the segment (BC) to the segment (AB) from an ele-ment of any basic form it has V identical result In whatever is the direction in which it executes the 'operazion0. Supponiamo che (AB) e (BC) siano diretti nel medesimo verso (def. Ili, 67). Suppose that (AB) and (BC) are directed in the same direction (final Ill, 67). L'elemento da cui si parte sia dapprima A stesso, e supponiamo che l'addi- zione del segmento (BC) al segmento (AB) a partire da A sia eseguita in uno dei versi della forma. The element from which the first is A itself, and suppose that the addi-tion of the segment (BC) to the segment (AB) from A is performed in a verse form. Si ha (AC)^(AB) + (BC), e vi è un solo segmento (4 C) che gode tale proprietà nel verso dato (o, 68 ; , 69 e def. I, 70). It has (AC) ^ (AB) + (BC), and there is only one segment (4 C) which has that property in the direction given (or, 68;, 69 and final. I, 70). A partire da A nel verso opposto vi è un solo segmento (ABi) = (AB) ( lef. I, 70, d 70), così pure un solo segmento (l?|Ci)) = (l?0), e infine un solo segmento (AC)~(AC). Starting from A in the opposite direction there is only one segment (ABI) = (AB) (lef. I, 70, d 70), likewise only one segment (l? | There)) = (l? 0), and Finally, only one segment (AC) ~ (AC). Dico che (AC) = (ACi). I say that (AC) = (ACi). Difatti (AC) deve essere come (AC) somma di due segmenti consecutivi dello stesso verso di (AC') (6, 60), il primo dei quali è uguale ad (A ), ossia (ABi) e il secondo uguale a (B^), ossia (^Q) (b, 69 e def. I, 70). In fact, (AC) must be such as (AC) the sum of two consecutive segments of the same towards (AC ') (6, 60), the first of which is equal to (A), ie (ABI) and the second equal to ( B ^), ie (^ Q) (b, 69 and def. I, 70). Se il segmento (BC) è diretto in verso opposto ad (AB) vale un analogo ragionamento (#IV, 73 opp. , 69 e #IV, 73). If the segment (BC) is directed in the opposite direction to (AB) applies a similar reasoning (# IV, 73 opp., # 69 and IV, 73). Finalmente è indifferente eseguire l'operazione da qualunque elemento dato X della forma come elemento A, poiché il sistema a partire da A in uno o nell'altro verso è identico allo stesso sistema a partire da X nello stesso verso o nel verso opposto (a, o ', 70). Finally it is indifferent perform the operation from any given element X of the form as element A, since the system starting from A in one direction or the other is identical to the same system from X in the same direction or in the opposite direction (to , o ', 70). Il teorema è dunque pienamente dimostrato. The theorem is thus fully demonstrated.
Page 74 Page 7474 a\ Se ai membri di una identità fra segmenti consecutivi si addiziona o da essi si sottrae un medesimo segmento i risultati sono identici. 74 to \ If members of an identity between consecutive segments is added or subtracted from them the same segment, the results are identical. Cioè se : (AB) + (BC) = (AB') -f- (ffC) si ha: (AB) + (BC) + (CD) = (A'B') + (B'C) + (C'D')9 essendo (CD) = (C' ). That is, if: (AB) + (BC) = (AB ')-f-(FFC) we have: (AB) + (BC) + (CD) = (A'B') + (B'C) + ( C'D ') 9 as (CD) = (C'). Di fatti si ha (AC) + (CD) = (A'C) 4- (OD') (a ; def. I e II, 77). In fact we have (AC) + (CD) = (A'C) 4 - (OR ') (a; final. I and II, 77). . . Si può sempre addizionare ad un segmentò (AB) uno ed un solo seg- mento (BC) per ottenere un segmento dato maggiore o minore di (AB) dello stesso verso o di verso opposto. One can always add up to a segment (AB) one and only one segment (BC) to obtain a given segment greater than or less than (AB) of the same direction or in the opposite direction. Sia (AC) il segmento uguale al dato, dello stesso verso o di verso op- posto di (AB) (a', 70; f", 63). Dati gli elementi A, B, C il segmento (BC) è pienamente determinato ed è uno solo sulla forma fondamentale (ip. II, def. I, 70; cr, 68 ea, 65), in modo che ogni altro segmento (BC1) dello stesso verso di (BC) sommato ad (AB) da un segmento diverso da (AC), se C e C non coin- cidono (def. Ili, 57 ; a, 65 ef, 73). 5. Segmenti multipli e summultìpli di un segmento dato della forma fondamentale, e loro simboli Scala, unità, origine e campo di essa Condizioni per V uguaglianza delle scale Uguaglianza relativa di due segmenti rispetto ad un' unita Segmenti tra- scurabili rispetto ad un altro segmento. 79. Oss. I. Supponiamo per maggiore semplicità che la forma fondamentale sia aperta; passeremo poi facilmente al caso della forma chiusa. Def. I. Se nella forma fondamentale aperta da un dato elemento A si considera un numero n (oss. V, 47) di segmenti consecutivi nel medesimo verso ed uguali ad un segmento dato (AB) dello stesso verso, il segmento risultante (AD) dall'addizione successiva degli n segmenti si chiama segmento multiplo del segmento dato (AB) secondo il numero n; e diremo che (AD) contiene n volte il segmento (AB). E diremo anche che un segmento (AC) è multiplo secondo il numero n di un altro segmento (A'B') della stessa o di un'altra forma fondamentale (ip. I) se è somma di n segmenti consecutivi ad (A'B'). Def. IL II segmento (AB) o (AB1) si chiama invece summultiplo di (AC) secondo il numero n. Se (AC) contiene, due, tre, quattro ecc. n volte (AB), dicesi doppio, triplo, quadruplo ecc. ennuplo di (AB) o di (A'B') ; e (AB), o (A'B1), metà, terzo, quarto ecc., parte ennesima di (AC). Ind. I. Un segmento (AC) multiplo secondo il numero n di un segmento (AB) lo indicheremo col simbolo (AB)n. Una parte ennesima di un segmento (AC), cioè (AB), la indicheremo col simbolo----- od anche (AC). , oppure (AC) . Is (AC) the segment equal to the figure, the same direction or towards op-place of (AB) (a ', 70; f ", 63). Given the elements A, B, C segment (BC) is fully and is determined only on a basic form (ip. II, final. I, 70; cr, 68 and, 65), so that every other segment (BC1) of the same towards (BC) added to (AB) from a segment other than (AC), if C and C does not coincide cidono (def. Ill, 57,, 65 f, 73). 5. summultìpli and multiple segments of a given segment of the basic form, scale and their symbols, units , origin and scope of its conditions for V equal scales on Equality of two segments with respect to a 'united segments between-negligible compared to another segment. 79. Oss. I. Suppose for simplicity that the basic form is open, we will then easily to the case of the closed form. Def. I. If the basic form of a given element open to considering a number n (oss. V, 47) of consecutive segments in the same direction and equal to a given segment (AB) of same direction, the resulting segment (AD) by the addition of the n segments next segment is called a multiple of the given segment (AB) according to the number n, and we will say that (AD) contains n number of times the segment (AB). And we will say that also a segment (AC) is a multiple according to the number n of another segment (A'B ') of the same or another basic form (ip. I) if it is the sum of n consecutive segments to (A'B'). final. THE II segment (AB) or (AB1) is called instead of summultiplo (AC) according to the number n. If (AC) contains two, three, four etc.. n times (AB), is called double, triple, quadruple etc.. ennuplo of (AB) or (A'B '), and (AB), or (A'B1), half, third, fourth etc.., yet another part of (AC). Ind. I. A segment ( AC) multiple according to the number n of a segment (AB) denoted by the symbol of the (AB) n. A nth part of a segment (AC), ie (AB), the denoted with the symbol ----- or even (AC .), or (AC).
Page 75 Page 7575 a. 75 a. nn Difatti ^ -, (AC). Indeed nn ^ -, (AC). , (AC) indicando la stessa parte (AB) possono so- stituirsi ad essa, cioè sono uguali fra loro ( , 9). , (AC) indicating the same part (AB) can know-stituirsi to it, ie they are equal to each other (9). a\ (AB) m ~ ^2 m = (AC). a \ (AB) m ~ m ^ 2 = (AC). -7- m = (AC) i (m = n) ( ; e 6, 9). -7 - M = (AC) i (m = n) (; and 6, 9). % % / ^ * (^4 C) Oss. %% / * ^ (C ^ 4) Oss. I. I. - m significa che il segmento risultante da questa operazione con- tiene m parti ennesime di (AG) Ind. II. - M means that the segment resulting from this operation with m-held shares latest in a series of (AG) Ind. II. Useremo anche il simbolo (AC) ~ per indicare questo risultato. We will also use the symbol (AC) ~ to indicate this result. n b. No b. (AB) m = m = (AC) m = (AC) = (AC) (AO , (, ? = ' nn ^ J nvynv ' nv m' m*). Difatti - - m, (AC) - , (AC) - i(AC) - , rappresentano lo stesso segmento, e quindi possono sostituirsi l'uno all'altro (b, 9). m V. Se m ~ n si ha (AC) = (AC) - . w Difatti se m=zn si ottiene da (AC) lo stesso segmento (AC) (def. II e I). "Ì7? "W ¥* Se mn si ha m = w 4- r (#, 50) e quindi (AC) = (AC) - -}- ( AC) (6), 9 i? dunque (AC) (AC) (def. I, 72 e def. I, 61). Analogamente se mn (def. I, % 74 e def. I, 61). b". (AC) ==o. vn (AC} Perché ciò significa che non si considera affatto il segmento v - (oss. I, 54). e. nnv nn Supponiamo dapprima che la parte ennesima (AB) di (AC) sia multipla secondo il numero n di un segmento (AB1). Si ha: e poiché si ha: = (b, 9). nn ^ E siccome (AJ5') è multiplo di (AB) secondo il numero ri si ha che (AC) è multiplo di (AB') secondo il numero nri (def. I, II, 52), ossia nn nn nn (AB) m = m = (AC) = m (AC) = (AC) (AO, (,? = 'Nn ^ J nvynv' nv m 'm *). Fact - m, (AC) - ( AC) - the (AC) - represent the same segment, and therefore can replace each other (b, 9). m V. If m ~ n we have (AC) = (AC) -. fact w if m = zn is obtained from (AC) the same segment (AC) (def. II and I). "i7?" W ¥ mn * If we have m = w 4 - r (#, 50) and (AC ) = (AC) -} - (AC) (6), 9 i? So (AC) (AC) (def. I, 72 and final. I, 61). Similarly, if mn (def. I, 74% and def. I, 61). b ". (AC) == o. vn (AC} Because this means that it is not considered the segment v - (oss. I, 54). and. nnv nn Suppose first that the nth part (AB) of (AC) is multiple according to the number n of a segment (AB1). It has: and since we have: = (b, 9). nn ^ And since (AJ5 ') is a multiple of (AB ) according to the number ri we have that (AC) is a multiple of (AB ') according to the number NRI (final I, II, 52), namely Nos nn
Page 76 Page 76e quindi (AC) 1 (AÒ) ,,^x 1 ^ , T rt virm = v ^ ri = (AC) rm ond. and then (AC) 1 (AO),, ^ x ^ 1, T = rt VIRM v ^ ri = (AC) rm ond. I ; , 9;. I;, 9;. nn nn nn ossia __sws 0 ^ n^ JL= (AC) -i- (ind. II, 52). nn nn nn ie __ sws 0 ^ n ^ = JL (AC)-i-(ind. II, 52). v Ite/*. Ite v / *. ///. / / /. Il segmento (AC) si chiama anche frazione di (AC) l). The segment (AC) is also called fraction (AC) l). % d. % D. Se un segmento della forma fondamentale è maggiore, uguale o minore di un altro segmento della stessa forma o di forme fondamentali diverse, un segmento multiplo del primo è maggiore, uguale o minore di un segmento multiplo dell'altro secondo lo stesso numero. If a segment of the basic form is greater than, equal to or less of another segment of the same shape or different basic forms, a multiple of the first segment is greater, equal or lower than a multiple of the other segment according to the same number. Sia (A5) = (A'#), dico che qualunque sia n, essendo n un numero dato dalla seria (I) (46), si ha : Sappiamo intanto che (AB) 4- (AB) = (A'tf ) + (AB') ( /', 73) ossia (AB)2 = (A'B')2 (ind. I). Let (A5) = (A '#), say that whatever n, where n is a number given by the serious (I) (46), we have: We know that while (AB) 4 - (AB) = (A'tf ) + (AB ') (/', 73) ie (AB) 2 = (A'B ') 2 (ind. I). Ora, se la proprietà ha luogo per un numero dato m si dimostra facil- mente pel numero m + l. Now, if the property is for a given number m is easily demonstrated for the number m + l. Difatti sia: (AB) m ~ (AB') m si ha: (AB) m + (AB) = (AB') m + (A'B') (ge /, 73) ossia (AB) (m + l) = (A' ) (m + 1). In fact, both: (AB) m ~ (AB ') m we have: (AB) m + (AB) = (AB') m + (A'B ') (g /, 73) ie (AB) (m + l) = (A ') (m + 1). (ind. I). (Ind. I). Ma il teorema vale per m = 2, dunque vale in generale per un numero n qualunque dato (e, 46 e I, 39). But the theorem holds for m = 2, so is true in general for any given a number n (s, 46 and I, 39). d'. d '. Se (AC), (A1 C) sono multipli secondo il numero n dei segmenti (AB), (A'B'), e (AC) = (AC) si ha: (AB) = (A'ff). If (AC), (C A1) are multiples according to the number n of segments (AB), (A'B '), and (AC) = (AC) we have: (AB) = (A'ff). 1) Qui si potrebbe definire il numero frazionario come supporremo fatto nei nostri fondamenti della geometria, senza occuparci però delle operazioni di essi. 1) Here you can define the fractional number as we assume that in our foundations of geometry, but without dealing with the operations of them.
Page 77 Page 7777 Se è (AC) = (A'C*), deve essere anche (AB) = (A'B'), perché altrimenti non potrebbe essere (AC) = (A'C") (d; ', 61). Se invece è (AC) (A'C') non può essere (AB) =(A'#), altrimenti sarebbe (AC)EE(A'C') (d, ; 61). Se fosse (AB) (A'B') sarebbe (ACJXA'C*) contro l'ipotesi (d; e, 61), dunque (AB) (A'B'). Da ciò risulta nel terzo caso (AB) (AB1). d". 77 If it is (AC) = (A'C *), must also be (AB) = (A'B '), because otherwise it could be (AC) = (A'C') (d; ', 61) . If it is (AC) (A'C ') can not be (AB) = (A' #), otherwise it would be (AC), EE (A'C ') (d,; 61). If it is (AB) (A'B ') would be (ACJXA'C *) against the hypothesis (d; and, 61), then (AB) (A'B'). This results in the third case (AB) (AB1). d ". Se si hanno n segmenti consecutivi nel medesimo verso (AAj), (AjA*) .... If you have n consecutive segments in the same direction (AAJ), (AJA *) .... (AAi) (A!A,) .......... (AAi) (A! A) .......... (An-iAn ) si ha: (AA!)^ (AAn) ; (An-iAn )n (AAn ). (An-ian) we have: (AA!) ^ (AAN), (An-ian) n (AAN). È chiaro che (AA!)2 (AA2) (/; 73; ind. I). It is clear that (AA!) 2 (AA2) (/, 73; ind. I). Supposto vero il teorema per n 1 lo è per n (y\ 73) ma esso è vero per -n = 2 dunque lo è per n qualunque (e, 46; Z, 39). Assumed true for the theorem it is for n 1 n (y \ 73) but it is true for-n = 2, therefore, it is for any n (s, 46; Z, 39). Analogamente si dimo- stra che (An-iAn)w (AAn) ( / e /; 73; e, 46; Z, 39). Similarly it is demon-strategic (An-ian) w (AAN) (/ e /, 73, and 46; Z, 39). e. and. Se(AB) = (AC) ed è (AB) = (AC) si ìia m = n, e reciprocamente, n ^^^ * ^ Difatti se (AB)~(AC) si ha m = n, perché se m = wr si ha: e quindi anche (AB) (def. I, II, 61) ciò che è assurdo ( ', 61). If (AB) = (AC) and (AB) = (AC) is iia m = n, and each other, n ^ ^ ^ ^ * In fact, if (AB) ~ (AC) we have m = n, because if m wr = we have: and therefore (AB) (def. I, II, 61) which is absurd (', 61). Analogamente se si suppone m ^; dunque m=zn (def. II, 49). Similarly if we assume m ^; therefore m = zn (def. II, 49). Se è (A (AC), non può essere m=^n altrimenti sarebbe (AB) = (AC) ( ', 79 e , 61). Né può essere m ^ perché essendo mz=zn-\-r si dimostra come precedentemente Yìl che (AC} (AC), e quindi anche (AB) (Aty (def. I, II, 61), il che è assurdo n (e, 61). Analogamente si dimostra che se è (AC)XAB) deve essere m n. Inversamente, se m = n si ha (A^) = (AC) (Jb', 79 e V, 61). Se m^n, (AC) ^ AC per le dimostrazioni precedenti, dunque ecc. ^* n ^^** 80. Def. I. A cominciare da un elemento A nella forma fondamentale in un dato verso si consideri una serie illimitata di la specie di segmenti consecu- tivi eguali ad un segmento dato (AB) (ip. II; , 68; def. Ili, 39). Questa serie si chiama scala, della quale (AB) si chiama unità di misura o unità, e l'elemento A, origine. Oss. I. Noi non facciamo per ora alcuna ipotesi sul segmento (AB) stosso, tranne quella dunque che è un segmento dato limitato da due estremi A e B (def, III e IV, 62). Osserviamo pure che nelle citazioni dei teoremi in appoggio alle dimostrazioni ci riferiamo al solo sistema ad una dimensione omogeneo, o identico nella posizione delle sue parti, e tralascieremo di rammentare che per l'ipotesi II la forma fonda- If it is (A (AC), can not be otherwise m = ^ n (AB) = (AC) (', 79 and 61). Nor can it be because being m ^ mz = zn-\-r shows yThe previously that (AC} (AC), and therefore also (AB) (Aty (final I, II, 61), which is absurd n (s, 61). Similarly it is shown that if it is (AC) XAB) m must be n. Conversely, if m = n we have (A ^) = (AC) (Jb ', and 79 V, 61). If m ^ n, (AC) AC ^ the previous demonstrations, etc. So. n ^ * ^ ^ ** 80. Def. I. Beginning with an A in the basic form in a given to consider an unlimited series of consecutive segments of the species-ment equal to a given segment (AB) (ip. II, 68; final. Ill, 39). This series is called the scale of which (AB) is called a unit or units, and the element A, origin. Oss. I. We do not make any assumptions for now the segment (AB) stosso, except that then that is a line segment bounded by two extremes A and B (final, III and IV, 62). We observe also that in the quotations in support of demonstrations of the theorems we refer to a single system homogeneous size, or identical in the position of its parts, and tralascieremo be remembered that for the hypothesis II the shape-based
Page 78 Page 7878 mentale è pure un sistema ad una dimensione identico nella posizione delle sue parti, e che questo è un sistema omogeneo (def. I, 70; def. I, 68). 78 mind is also a system to a size identical to the position of its parts, and that this is a homogeneous system (def. I, 70; final. I, 68). Def. Def. II. II. I secondi estremi dei segmenti della scala uguali all'unità li chia- meremo elementi di divisione della scala. The second ends of the segments of the scale equal to unity-meremo call them elements of division of the scale. Def. Def. HI. HI. Per campo della scala intendiamo il segmento illimitato della forma fondamentale determinato da tutti i segmenti consecutivi della scala nel verso di essa. For the scale field we mean the segment of unlimited basic form determined by all the consecutive segments of the scale in towards it. Oss. Oss. IL La scala è una serie e il campo di essa è il tutto ordinato che da essa deriva (oss. 28). The IL scale is a series of field and it is ordered that all comes from it (oss. 28). Quando non vi sarà luogo ad equivoci potremo sostituire Tuna pa- rola all'altra '). When there will be misunderstood we replace Tuna pa-rola other '). Def. Def. IV. IV. Questo segmento, essendo la scala illimitata di la specie (def. I), non ha un ultimo elemento (def. Ili 39). This segment, being the scale of the unlimited species (def. I), does not have a last element (final Ili 39). a. a. Il campo della scala è maggiore di ogni segmento limitato (BC) i cui estremi sono dati e appartengono ad esso, e di ogni suo segmento illimitato il cui primo estremo non conincide coir origine. The metering range is greater than any limited segment (BC) whose details are given and belong to it, and every segment whose first end is not unlimited conincide coir origin. Supponiamo che B coincida dapprima con A. Suppose first that B coincides with A. È chiaro che (AC) non è tutto il campo della scala, perché la serie che lo determina è illimitata (def. I, e def. Ili), e quindi se (C....X....) è la parte rimanente, si ha che il campo della scala è (AC)-\- (C....X....), e quindi è maggiore di (AC) e anche di (C....X....) (def. I, 61). It is clear that (AC) is not the whole field scale, because it determines the number is unlimited (def. I, and def. Ill), and then if (C ... X ...) is the remaining part, we have that the field of the scale is (AC) - \ - (X. C. ... ...), and then is greater than (AC) and also of (C. ... X.. ..) (def. I, 61). Se B non fosse A, il campo della scala sarebbe invece: e poiché è maggiore di (AC] ed (AC) è maggiore di (BC), il campo della scala è anche maggiore di (BC) (d, 61). b. I segmenti determinati dall'origine successivamente cogli elementi di di- visione della scala oi segmenti consecutivi stessi uguali all'unità (AB) corri- spondono ai numeri della serie (I) (def. I; b, def. Ili, 46; i, 39; ae , 43). b'. Gli elementi di divisione della scala a partire dall' origine corrispondono univocamente e nel medesimo ordine ai numeri della serie (I). Difatti essi corrispondono univocamente e nello stesso ordine ai segmenti consecutivi della scala uguali ad (AB) (c\ 68; be oss. I, 64) i quali corrispon- dono univocamente e nello stesso ordine ai numeri della serie (I) (b), dunque il teorema è dimostrato (/", 42). Ind. I. Possiamo dunque indicare gli elementi di divisione della scala a partire dall'origine coi numeri della serie (/), e quindi gli elementi di divi- sione della scala rappresentano sulla forma fondamentale i numeri della serie (/). e. L'origine rappresenta il numero zero. Difatti si ha (AB (AB) = o, e se (AB) rappresenta l'unità del numero (def. I, 45) si ha 1 1 = o (6, 54). D'altra parte si ha che l'elemento rappre- senta il segmento nullo (oss. I, 76), dunque l'elemento A rappresenta il nu- mero o. Oss. III. La rappresentazione degli elementi di una serie mediante i numeri di (I) non significa già che i segmenti consecutivi siano uguali, come succede nella scala della forma fondamentale. Rappresentando (AB) Punita 1 del numero, ogni multiplo di (AB) secondo il numero n, cioè (AB)n viene rappresentato sulla scala i) Vedi nota 2, 62, If B is not A, the field of the scale would be instead: and since it is greater than (AC] and (AC) is greater than (BC), the field of the scale is even greater (BC) (d, 61). B . The segments determined subsequently with the elements of the source of-scale view of the same or consecutive segments equal to unity (AB) correspond to the numbers of the series (I) (def. I. b, def. Ill, 46; i, 39; ae, 43). b '. The elements of division of the scale starting from' origin corresponds uniquely and in the same order to the numbers of the series (I). fact they correspond uniquely and in the same order to consecutive segments of the ladder equal to (AB) (c \ 68; be oss. I, 64) which correspond uniquely and in the same order to the numbers of the series (I) (b), then the theorem is proved (/ ', 42). Ind. I. We can therefore indicate the elements of division of the scale from the origin with the numbers of the series (/), and therefore the elements of division of the scale represent the numbers on the fundamental form of the series (/). and. The origin represents the number zero. In fact we have (AB (AB) = o, and if (AB) represents the number of units (def. I, 45) we have 1 1 = o (6, 54). D 'On the other hand there is the element that represents the segment zero (oss. I, 76), then the element A is the nu-mer or. Oss. III. The representation of the elements of a series using the numbers of (I) already does not mean that the consecutive segments are equal, as happens in the scale of the basic form. Representing (AB) Punished in the number 1, every multiple of (AB) according to the number n, ie (AB) n is represented on the scale i) See note 2, 62,
Page 79 Page 7979 dal numero n (def. I, ind. I, 79). 79 the number n (def. I, ind. I, 79). E quindi in siffatta corrispondenza i segmenti corri- spondenti ai numeri godono le stesse proprietà dei numeri di (t) rispetto ali' addi- zione e sottrazione (considerate queste nel senso dei numeri 72-73). And then in such correspondence segments corresponding to the numbers have the same properties of numbers (t) compared wings' addi-tion and subtraction (those considered in the sense of numbers 72-73). In tal caso la legge commutativa dell'addizione dei numeri vale senz'altro per l'addizione dei seg- menti consecutivi della scala (i, 48). In this case the commutative law of the addition of numbers that is certainly for the addition of consecutive segments of the scale (i, 48). Ciò non significa però che tale proprietà abbia luogo anche per l'addizione di due segmenti consecutivi qualunque nel caso che la forma oltre ai segmenti uguali all'unità (AB), o multipli di (AB), ne contenga anche altri. This does not mean, however, that this property takes place also for the addition of any two consecutive segments in the case that the form in addition to the segments equal to unity (AB), or multiples of (AB), it also contains other. Ind. IL Se esiste un segmento ennesimo (AB') di (AB), ogni segmento della scala uguale ad (AB) è composto di n parti uguali ad (AB') (def. le II, 79 eb, 60), e potremo indicare queste parti successivamente coi segni : 1 2 n 1 n _ n' m Q - . Ind. THE If there is a yet another segment (AB ') of (AB), each segment of the scale equal to (AB) is composed of n equal parts to (AB') (def. the II, 79 b, 60), and we indicate these parts later with signs: 1 2 n 1 n _ n 'm Q -. , - i* ~~~ . , - I * ~ ~ ~. j \QI /yi nnnnnnv ? j \ QI / yi nnnnnnv? / d. / D. Se (CD) è uguale ad un segmento limitato da due elementi dati del campo della scala di unità (AB) ed è (AB) (CD), vi è sempre un numero n della serie (I) tale che: (AB) n ^ (CD) ( AB) (n + l) È da osservare intanto che gli estremi del segmento a cui è uguale (CD) sono per dato elementi dati del campo della scala; e poiché questo è determi- nato da tutti i segmenti consecutivi della scala stessa (def. Ili), i suoi elementi dati o sono elementi di divisione (def. II) o appartengono a due segmenti con- secutivi (def. I, 62 e II, 29 e def. I, 27); imperocché se appartenessero ad un solo segmento uguale ad (AB) non sarebbe (AB) .(CD) (d, 73 e def. I, II, 61). If (CD) is equal to a limited segment of two elements of the data field of the scale unit (AB) and is (AB) (CD), there is always a number n of the series (I) such that: (AB) n ^ (CD) (AB) (n + l) is to be noted that while the ends of the segment that is equal to (CDs) are given for data items of the scale field, and since this is determined on consecutive segments from all the same scale (def. III), its elements are elements of data or division (def. II) or belong to two-consecutive segments (def. I, II and 62, 29 and final. I, 27); Inasmuch if they belong to only one segment equal to (AB) would not be (AB). (CD) (d, 73 and final. I, II, 61). Sia (AA') un segmento della scala uguale al segmento dato (CD) (def. I, 68 ee, 60); l'estremo A' essendo un elemento dato della scala apparterrà ad un segmento dato di essa, e quindi o sarà un elemento di divisione oppure sarà compreso fra due estremi di un tale segmento. Is (AA ') a segment of the scale equal to the given segment (CD) (def. I, ee 68, 60); the extreme A' being a given element of the scale will belong to a given segment of it, and then, or will be a division element or will be between two extremes of such a segment. Questi estremi corrispon- deranno a due numeri successivi nen -f- 1 determinati della serie (I) (b1), e quindi si avrà: oppure (AB)w (CD) (A )(n + l) (def. II, 61). These extremes corresponding deranno to two successive numbers n and n-f-1 determined in the series (I) (b1), and then we will have: or (AB) w (CD) (A) (n + l) (def. II, 61). 81. 81. a, I campi di due scale rispetto a due unità uguali sono uguali rela- tivamente alla serie dei segmenti delle due scale. a, The fields of the two scales with respect to two equal units are relatively equal to the number of segments of the two scales. Difatti si può stabilire una corrispondenza d' identità fra i segmenti con- secutivi uguali all'unità nell'una ei segmenti consecutivi uguali nell'altra scala, facendo corrispondere le origini fra loro (def. I, 60; d, 79), e quindi rispetto alla disposizione dei segmenti delle scale in serie, i campi di esse sono uguali ( ' e oss. IV, 61). In fact, you can establish a correspondence of 'identity between the segments with consecutive equal to unity in the one-and equal consecutive segments in the other scale, matching each other origins (def. I, 60 d, 79), and then compared to the arrangement of the segments of the stairs in series, the fields of them are equal ('and obs. IV, 61). b. b. Date due scale colle unità (AB) e (A'B*) tali che (A' ) (AB) (A' )n (AB) essendo n un numero qualunque della serie dei numeri naturali, i campi delle due scale sono uguali in generale rispetto alla serie dei segmenti delle due scale, Given two scales connected units (AB) and (A'B *) such that (A ') (AB) (A') n (AB) n is any number of series of natural numbers, fields of the two scales are equal in general than the number of segments of the two scales,
Page 80 Page 8080 Siano A e A le origini delle due scale. Let A and 80 A, the origins of the two scales. Nella prima si può considerare a partire da A nel verso della scala un segmento (AC) identico ad(A'tf) (a, 70), e quindi per le condizioni del teorema si ha: (1) (AC) (AB) (2) (AC) n (AB) (def. II, 61). In the first can be considered starting from A in the direction of the scale a segment (AC) identical to (A'tf) (a, 70), and then to the conditions of the theorem we have: (1) (AC) (AB) (2) (AC) n (AB) (def. II, 61). Dalla (1) si ha qualunque sia m (AC) m (AB) m (d, 79) dunque ogni segmento del campo della scala di (AC), a partire dair origine, è un segmento del campo della scala di unità (AB) (def. Ili, 80). From (1) it has whatever m (AC) m (AB) m (d, 79), therefore, each segment of the scale field (AC), starting dair origin, is a segment of the scale field of units (AB ) (def. Ill, 80). Ma si ha dalla (2) (AC)nm (AB)m (d, 79). But we have from (2) (AC) nm (AB) m (d, 79). dunque ogni segmento del campo della scala di (AB) è segmento della scala di (AC). therefore, each segment of the scale field of (AB) is a segment of the scale (AC). Ogni elemento dell'una è un elemento dell'altra e quindi i campi delle due scale di unità (AB), (AC) coincidono (def. Ili, 80; def. Ili e I, 62; b, 29), e la loro uguaglianza è assoluta (def. Ili, 9). Each element of the one is an element of the other and then the fields of the two scales of units (AB), (AC) coincide (final Ill, 80; final. Ill and I, 62 b, 29), and the their equality is absolute (def. Ill, 9). Ma pel teorema (a) relativamente alla disposizione in serie, la scala di unità (AC) è identica alla scala di unità (A'B') sulla stessa forma o in forme fondamentali diverse (ip, I; e, oss. V, 60 e conv. 69), dunque il teorema è di- mostrato. But for the theorem (a) for the series arrangement, the scale of units (AC) is identical to the scale of units (A'B ') on the same form or in several basic forms (ip, I, and, pers. V 60 and conv. 69), then the theorem is-shown. Dalla dimostrazione si ottiene dunque anche: b'. From the proof we therefore also get: b '. Date due scale colle unità (AB) e (A'B') tali che siano soddisfatte le re- lazioni (i.) e (2) sulla medesima forma fondamentale colla stessa origine e nel medesimo verso, esse coincidono (6; def. V, 57). Given two scales connected units (AB) and (A'B ') such that they satisfy the re-spectively (i.) and (2) on the same basic form with the same origin and in the same direction, they coincide (6; final. V, 57). b". Date due scale, se l'unità dell'una è multipla dell'altra, o se runa con- tiene un numero m di summultipli dell'altra, i campi delle due scale sono in generale uguali rispetto alle serie dei loro segmenti. Perché le loro unità (def. I, 80) soddisfano alle condizioni del teor. b. Di- fatti se Punita (AB) dell'una è identica all'unità (AB') dell'altra, b" è il teor. b ". Given two scales, if the unit is a multiple of one another, or if rune con-tains a number m of summultipli the other, the fields of the two scales are generally similar compared to the number of their segments . Because their units (def. I, 80) satisfy the conditions of the theorem. b. In-fact if Punished (AB) of the one is identical to the unit (AB ') of the other, b "is the theorem. a. a. Se (AB) = -------m (A#) (def. I, II, 79), scegliendo m in modo che sia mm n n (ea tale scopo basta prendere almeno m' = n -f- 1 (def. 1,52)), si ha (AB)m = 21 mm' = (Aff) ^- (AB), (6, ti, 79). If (AB) = ------- m (A #) (def. I, II, 79), choosing m so that it is nn mm (and for this purpose enough to take at least m '= n-f-1 ( final. 1.52)), we have (AB) = 21 mm m '= (Aff) ^ - (AB), (6, I, 79). lt IV Se invece è------- m (A#'), è pure mn (e, 79) e prendendo il multi- n pio di (AB') almeno secondo il numero m, si ha (A#)ra -------m= (AB). lt IV If it is ------- m (A # '), is also mn (s, 79) and taking the example of multi-n (AB') at least according to the number m, it has (A #) ra ------- m = (AB). n e. and n. Data una scala di imita uguale ad (AD) sulla forma fondamentale ed un altra di unità (A'B) e di origine A', se non vi è un numero n tale che (AD) n (A'B) se è (AD) (AB) oppure che (A'B) n (AD) se è (AD) (A'B) il campo della scala di unità (AD) non è uguale a quello di unità (A'B). Given a scale equal to mimics (AD) on the basic form and another unit (A'B) and origin of A ', if there is a number n such that (AD) n (A'B) if it is ( AD) (AB), or that (A'B) n (AD) if it is (AD) (A'B) the field of the scale unit (AD) is not equal to that of unit (A'B). Possiamo supporre che le scale di unità (AD) e (AB) abbiano la stessa ori- gine nella stessa forma fondamentale e nel medesimo verso (b, 70;ip. I eb, 60). We can assume that the scales of unit (AD) and (AB) have the same origin in the same basic form and in the same direction (b, 70; ip. I b, 60). Nel primo caso nel campo della scala di (AD) non vi è nessun segmento (AD)n che sia maggiore di (AB) qualunque sia il numero n della serie (/), e In the first case in the field of the scale (AD) there is no segment (AD) n that is greater than (AB) whatever the number n of the series (/), and
Page 81 Page 8181 quindi anche di qualunque segmento (AC) che soddisfa alle condizioni del teorema b rispetto ad (AB), ed è minore di (AB). 81 therefore also of any segment (AC) that satisfies the conditions of the theorem b with respect to (AB), and is less than (AB). Difatti se essendo (AC)m^(AB) fosse (AD) n (AC) si avrebbe (AD)nm^(AB) (d,79e d, 61) ciò che per dato non è. In fact, if it is (AC) ^ m (AB) was (AD) n (AC) there would be (AD) nm ^ (AB) (d, 79th d, 61) for what is not given. E chiaro dunque che la serie illimitata di la specie di segmenti consecutivi uguali ad (AD) e che costituiscono il campo della scala di unità (AD) (def. Ili, 80) non ha elementi nel campo della scala di origine A e di unità (AB). It is clear therefore that the unlimited series of the species of consecutive segments equal to (AD) and which constitute the field of the scale unit (AD) (def. Ill, 80) has no elements in the scale field of origin of units A and (AB). Il teorema è dunque in questo caso dimostrato ( ; ee oss. V, 60). The theorem is therefore proved in this case (ee obs. V, 60). Nel secondo caso si scorge invece che (AD) non è interamente nel campo della scala di unità (AB\ e quindi anche in quello di un segmento (AC) mag- giore di (AB) dello stesso verso di (AB), che soddisfa alle condizioni del teor. b rispetto ad (AB) (b'). Il teorema vale anche in questo caso per (AD) e per ogni segmento ad esso uguale (a; ee oss. V, 60). e'. Se il campo della scala di unità (A'B') è uguale a quello di (AB) vi è sempre un numero n tale che Il segmento (AB) è uguale ad un segmento che soddisfa alle condizioni del teor. b' rispetto ad (A'#), altrimenti il campo della scala di unità (AB) non sa- rebbe uguale a quello di unità (A'B') né in senso assoluto né relativamente alla serie dei segmenti delle due scale (e), dunque il teorema è dimostrato (d, 80). Def. I. Diremo che un segmento genera il campo di una scala di unità (BC) quando preso un segmento (BD) identico al dato e nello stesso verso di questa scala (b'9 69), il campo di essa coincide col campo della scala di unità (BD) (def. V, 57). d. Un segmento che genera il campo di una scala di un'unità qualunque (BC) soddisfa alla condizione del teor. b rispetto a (BC); e inversamente. Difatti possiamo considerare da B nel verso della scala un segmento (BD) uguale al dato (b'. 69). Il campo della scala di unità (BD) coincide per dato con quello di unità (BC) (def. I), e quindi (BD) non può soddisfare alle condizioni del teor. e, dunque soddisferà a quelle del teor. b (IV, 8). Inversamente, se il segmento dato soddisfa alla condizione del teor. b, (BD) genera il campo della scala di unità (BC) (b1 e def. I). ti. Ogni segmento che non genera il campo di una scala di uri unità qua- lunque (BC) soddisfa all'una o all'altra condizione del teor. e rispetto a (BC), e reciprocamente. Difatti il segmento dato non soddisfa alla condizione del teor. b rispetto a (BC), e quindi esso, od un segmento ad esso uguale, deve soddisfare ad una di quelle del teor. e (d, 79; IV, 8). e. Se (AD) soddisfa alla condizione : (AAO (n-ì) (AD) (AAì)n si ha pure : In the second case can be seen that instead (AD) is not entirely in the field of the scale unit (AB \, and then also in that of a segment (AC) May-greater than (AB) of the same direction of (AB), which satisfies under the conditions of the theorem. b with respect to (AB) (b '). The theorem also applies in this case for (AD) and for each segment equal to it (a; ee obs. V, 60). and'. If the the scale field of units (A'B ') is equal to that of (AB) there is always a number n such that the segment (AB) is equal to a segment that satisfies the conditions of the theorem. b' with respect to (A '#), otherwise the field of the scale unit (AB) it would not be equal to that of unit (A'B') or in an absolute sense or relatively to the series of segments of the two scales (s), then the theorem is demonstrated (d, 80). Def. I. We say that a segment generates the field of a scale unit (BC) when taken a segment (BD) identical to the figure and in the same direction of this scale (b'9 69), the field of it coincides with the scale field of units (BD) (def. V, 57). d. A segment that generates the field of a scale of any unit (BC) fulfills the condition of the theorem. b with respect to (BC), and inversely. In fact we can consider B in the direction of a segment of the scale (BD) as equal to (b '. 69). The field scale units (BD) coincides with that for a given unit (BC) (def. I), and then (BD) can not satisfy the conditions of the theorem. and, therefore, will satisfy those of theor.. b (IV, 8). Conversely, if the given segment fulfills the condition of the theorem. b, ( BD) generates the field scale units (BC) (b1 and def. I). you. Every segment that generates the field on a scale of units side-uri lunque (BC) meets one or other condition of theor.. and with respect to (BC), and reciprocally. In fact, the given segment does not satisfy the condition of the theorem. b with respect to (BC), and then it, or a segment equal to it, it must meet at one of those of theor. . and (d, 79, IV, 8). and. If (AD) satisfies the condition: (AAO (n-ì) (AD) (AAI) No, there's also:
Page 82 Page 8282 Sia costruita la scala di origine A e di unità (AAI). Both built 82 scale A and the source of unity (AAI). Si ha: (DA) ^(A,A) (n - 1} = (An-iA) ed anche (DA) ^(AlA)n = (AnA) (e, 73 e def. I, 61). f. Se A e B sono due elementi dati nel campo di una scala, il campo della scala a cominciare da A nel vzrsi di (AB) è uguale alla parte dello stesso campo a partire da B rispetto ad una serie di segmenti consecutivi di esso. Difatti considerando A e B come origini di due scale nello stesso verso e colla stessa unità (AB), i campi di queste due scale sono uguali rispetto alla disposizione in serie (a). Ma ogni elemento X del campo della scala di ori- gine B è un elemento del campo della scala di origine A, perché se non esistesse un numero n tale che fosse (AB)n^ (AX) non sarebbe neppure (BC)n (BX)9 essendo (BC) = (AB), perciò X non potrebbe nemmeno appartenere al campo della scala di origine B (d, 80). La uguaglianza ha luogo relativamente alla disposizione in serie ( ", oss.IV, 60). Il campo della scala di origine A contiene come parte quello di origine B (def. Ili, 80; def. II, 27) il che esclude l'uguaglianza assoluta A = J2, altri- menti vi sarebbe la contraddizione A è e non è A (III, 8 e oss. Ili, 9). Def. IL Essendo (AB) + (B....X....) = (B....X....) rispetto alla disposizione in serie dei segmenti dei campi delle scale di origine A e B e di unità (AB), si- gnifica che si può far astrazione da (AB) (7). Diremo perciò che (AB) è nulla o trascuràbile rispetto a (B.... X). f. Un segmento limitato (AB) qualunque del campo di una scala, o un segmento ad esso uguale, è trascurabile rispetto al segmento rimanente a co- minciare da B nel verso della scala stessa. Difatti se anche l'unità è (A' ), si può considerare come unità della scala rispetto al campo di essa il segmento (AB* stesso se soddisfa alla condizione del teor. b, e quindi è trascurabile rispetto alla parte rimanente (/*, def. II). Se invece non soddisfa a quella condizione, esso non può essere maggiore di ogni segmento limitato della scala e quindi anche del campo di essa, perché i suoi elementi appartengono per dato a questo campo (def. I, 61); dunque deve es- sere minore di ogni segmento (AB') che genera la scala (a*). Ma poiché (AB?) è trascurabile, a maggior ragione sono trascurabili le sue parti, perché se (AB) = (AJ3") -t-(5"#) (def. I, 72) si ha (A ') (A ") e (B"B') (def. I, 61), e se B' coin- cidesse con A e B" fosse distinto da A, sarebbe (AA) = o (def. I, 76) (AB"), il che è assurdo (def. I, ee, 61). Oss, I. Osserviamo che i teoremi 6, ', 6", e, c\ c , d ed e valgono subordinatamente all'esistenza sulla forma fondamentale di segmenti surnraultipli di un segmento dato (AB) o di segmenti minori o maggiori di (AB) che non siano né summultipli né mul- tipli di esso. Oss. II Osserviamo ancora che siccome finora abbiamo considerata la scala in un verso determinato a partire da un elemento dato (def. I, 80), così valgono gli stessi teoremi nel solo sistema omogeneo (def. I, 68j. Da ciò si vede che nella defi- nizione di questo sistema, se esso è dato da una sola scala di segmenti uguali a un dato segmento (AB), e che se (AD) (AB), (AD) non soddisfa al teorema e, basta considerare il solo segmento (AB). Colla definizione così ridotta si dimostrano il teor. aei teor, b, e, (dapprima pei soli segmenti uguali ad (AB) o minori di (AB)) ee? del It has: (DA) ^ (A, A) (n - 1} = (An-iA) and also (DA) ^ (Ala) n = (AnA) (and 73 and final. I, 61). F . If A and B are two data items in the field of a scale, the field of the scale starting from A in vzrsi of (AB) is equal to the part of the same field from B with respect to a series of consecutive segments of it. In fact, considering A and B as sources of two scales in the same direction and with the same units (AB), the fields of these two scales are equal with respect to the arrangement in series (a). But every element X of the scale field of origin B is an element of the scale field at the source, because if there was a number n such that (AB) n ^ (AX) is not even (BC) n (BX) 9 as (BC) = (AB) therefore, X could not even belong to the field of origin of the scale B (d, 80). The equality takes place relatively to the arrangement in series ("oss.IV, 60). The field of the scale of origin A contains as part of the Source B (def. Ill, 80; final. II, 27) which precludes the absolute equality A = J2, otherwise there would be a contradiction, and A is not A (III, 8 and oss. Ill, 9) . Def. Since IL (AB) + (B ... X ...) = (B ... X ...) than the series arrangement of the segments of the source fields of scales A and B and units (AB), It means that one can take abstraction from (AB) (7). therefore we will say that (AB) is zero or negligible compared to (B. ... X). f. A limited segment ( AB) of any field of a ladder, or a segment equal to it, is negligible compared to the remaining segment to co-ranked by B in the direction of the scale. In fact, even if the unit is (A '), can be considered as units of the scale relative to the field of it the segment (AB * itself if it meets the condition of the theorem. b, and then is negligible compared to the remainder (/ *, def. II). If, however, does not satisfy that condition, it does not can be greater than each segment of limited scale and thus also of the field of it, because its elements belong to given to this field (final I, 61); therefore must be smaller than of each segment (AB ') that generates the scale (a *). But since (AB?) is negligible, a fortiori are negligible its parts, because if (AB) = (AJ3 ")-t-(5" #) (def. I, 72) we have (A ') (A ") and (B' B ') (def. I, 61), and if B' coin-cidesse with A and B" was distinct from A, would be (AA) = or (final . I, 76) (AB "), which is absurd (def. I, ee, 61). Oss, I. We note that the theorems 6, ', 6', and c \ c, d and e apply subject existence on the basic form of segments surnraultipli of a given segment (AB) or smaller or larger segments of (AB) which are neither summultipli or multi-multiples of it. Oss. II still observe that because we have so far given the scale in a direction determined from a given element (final I, 80), so apply the same theorems only in the homogeneous system (final I, 68j. From this it is seen that in the definition of this system, if it is given by a single scale of equal segments in a given segment (AB), and that if (AD) (AB), (AD) does not satisfy the theorem, it suffices to consider only the segment (AB). Glue definition thus reduced prove the theor.. aei theor., b, and, (first pei alone to equal segments (AB) or smaller (AB)) e? of
Page 83 Page 8383 n. 83 n. 68. 68. Si danno poi le definizioni del n. We then give the definitions of n. 79 sui multipli e summultipli dei segmenti coi teor a, a', 6, ft", eee' dello stesso numero, e si assoggettano i segmenti del si- stema alla condizione del teor. b di questo numero, la quale esprime precisamente l'assioma cTArchimede. Dopo di che per l'applicazione ripetuta del teor. e, 68 (colla restrizione suindicata) si dimostra il teor. b per ogni segmento limitato del sistema Si dimostrano nello stesso modo i teor. e", e*" del n. 68; a, o, ', e, d del n. 69. Così basta limitare la definizione del sistema identico nella posizione delle sue parti (def. I, 70) non soltanto ad un solo elemento A, ma eziandio ad un solo segmento {AB) con un estremo in -4, in modo cioè che nel sistema vi sia un altro segmento (AB1) nel verso opposto identico ad (AB) ; dimostrando poi il teor. a' e quindi i teor. a1' ea del n. 70. Si dimostrano nello stesso modo i teor. dei n. 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78; i teor. b', d* ef, dv ed e del n, 79, e quelli del n. 80., tralasciando i teor. e, e, d d' di questo numero che sono in tal caso inutili, dando i teor. 6, b' per due segmenti (-41?), (A'B') qualunque che per l'assioma d'Archimede soddisfano già alla condizione del teor. bl). Si potrebbe limitarsi al solo sistema omogeneo ad una dimensione dando la de- finizione del sistema ad una dimensione identico nella posizione delle sue parti dopo aver dedotto le proprietà del sistema omogeneo continuo (vedi nota n. 99) trala- sciando frattanto le parti di quei teoremi, ad es. dei precedenti, che riguardano il sistema identico nella posizione delle sue parti. Limitandosi al solo campo di una scala, la via scientificamente migliore è quella qui indicata per non introdurre nelle definizioni proprietà sovrabbondanti, che si possono e quindi si devono dimostrare mediante le premesse. i) Mantenendosi nel campo di una scala (come si deve fare per ragioni didattiche in un trattato di geometria elementare per uso delle scuole liceali, almeno nella planimetria) la definizione del sistema identico nella posizione delle sue parti e quindi anche del sistema omogeneo bisogna modificarla in questo senso aggiungendo che non vi sono altri segmenti fuori del campo della scala, o in altre parole aggiungendo l'assioma che se (AB) e (CD) sono due segmenti rettilinei, e (AB) (CD) si ha sempre un numero n tale che (AC) n (CD). (Vedi pref.). il sig. Stolz, per quanto sappiamo, è stato il primo a richiamare l'attenzione dei matematici sopra questo assioma che ha chiamato giustamente assioma d'Archimede che il grande siracusano diede nel suo celebre trattato : De Sphaera et cylindro (O. Stolz zur Geometrie der Alten,insbesonders ueber ein Axiom des Archimedes. Math. Annalen Voi. XXII). (vedi nota n. 90 e nota 2 n. 97), 79 summultipli on multiple segments with a theorem, a ', 6, ft ", eee' of the same number of segments and are subjected to the condition of the sys-theorem. B of this number, which expresses precisely the ' axiom cTArchimede. After that for the repeated application of the theorem. and, 68 (with the restriction referred to above) shows the theor.. b for each limited segment of the system are demonstrated in the same way the theor.. and ", and *" of the n . 68; to, or, ', c, d of n. 69. Thus enough to limit the definition of the system in the identical position of its parts (final I, 70) not only to a single element A, but even to a single {segment AB) with one end in the -4, so that is that in the system there is another segment (AB1) in the opposite direction identical to (AB); then proving the theorem. a 'and then the theor.. a1' and of No. 70. It shows in the same way the theor.. of n. 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78; the theor.. b ', d * f, and dv and n, 79, and those of the no. 80., omitting the theorem. and, and, dd 'of this issue that are unnecessary in this case, giving the theorem. 6, b' for two segments (-41?), (A'B ') that any for the axiom of Archimedes already meet the condition of the theorem. bl). It could be limited to only one-dimensional homogeneous system, giving the de-finishing system to a size identical to the position of its shares, after deducting the properties of the system homogeneous continuous (see note no. 99) skiing meanwhile omitting parts of those theorems, eg. precedents affecting the system in the same position of its parts. confining itself to only a field scale, the way science is best shown here in order not to introduce redundant property definitions, you can and then you have to demonstrate by the premises. i) Keeping in a scale (as it should do for educational reasons in a treatise on elementary geometry for high school use of schools, at least in the plan) the definition of the system in the identical position of its parts and therefore also of the homogeneous system must change in this sense by adding that there are other segments outside the field of the scale, or in other words by adding the axiom that if (AB ) and (CD) are two rectilinear segments, and (AB) (CD) is always has a number n such that (AC) n (CD). (See pref.). Mr. Stolz, as far as we know, has been the first to draw the attention of mathematicians on this axiom has rightly called the great axiom of Archimedes of Syracuse gave in his famous treatise De Sphaera et Cylindro (O. Stolz zur Geometrie der Alten, insbesonders ueber ein des Archimedes Axiom. Math. Annalen Vol XXII). (see note no. No 90 and footnote 2. 97),
Page 84 Page 84CAPITOLO VI. CHAPTER VI. Segmenti finiti, infiniti, infinitesimi, indefinitamente piccoli e indefinitamente grandi. Segments finite, infinite, infinitesimal, infinitely small and infinitely large. Numeri infiniti. Infinite numbers. 1. 1. Ipotesi CITII) suir esistenza, di elementi fuori del campo di una, scala Segmenti finiti, infiniti e infinitesimi Segmenti finiti va- riabili Campo finito di una, scala Ipotesi (IV) sulla, determi- nazione dei segmenti infiniti Infiniti e infinitesimi di diversi ordini Loro proprietà, Campi infiniti Elementi limiti al- r infinito di diversi ordini. Hypothesis CITII) Suir existence of elements outside the range of a, finite-scale segments, infinite and infinitesimal segments is finite-field variables of a finite, scale hypothesis (IV) on, certain segments of the nation-Infiniti infinite and infinitesimals of different orders their property, Fields infinite elements r-limits to infinity of different orders. 82. 82. Oss. Oss. I. I. Non abbiamo fatto alcuna ipotesi pel segmento (AB), unità della scaia (def. I, 80J. Per le ipotesi I e II consideriamo la forma fondamentale come già data e assoggettata alla definizione del sistema identico nella posizione delle sue pani ; la quale definizione è indipendente dalle proprietà della serie che sono nel sistema stesso. La serie che determina la scala (def. I, 80) è illimitata di I* specie; d'altra parte possiamo immaginare che esistano delle serie limitate e illimitate che conten- gano come parte nna serie illimitata di 1* specie fdef. Ili, 39, e def. I, 27, a, , 37), dunque siamo condotti spontaneamente da questa considerazione ad assoggettare la forma fondamentale alla seguente condizione: Ip. We have not made any assumptions ELP segment (AB), a unit of scaia (def. I, 80J. For the hypotheses I and II we consider the basic form as already given and subject to the definition of the system in the same position of its breads, which definition is independent of the properties of the series that are in the system itself. The series that sets the scale (def. I, 80) is unlimited * The species, on the other hand, we can imagine that there are unlimited and limited editions that contain Gano as nes the unlimited series of 1 * species FDEF. Ill, 39, and def. I, 27, a,, 37), so we are naturally led by this consideration, subject to the basic form to the following condition: Ip. III. III. In un verso della forma fondamentale esiste almeno un elemento fuori del campo della scala rispetto ad ogni seg- mento limitato come unità. In a direction of the basic form exists at least one element out of the field of the scale with respect to each segment limited as a unit. a. a. Vi sono più elementi distinti fuori del campo di una scala. There are more distinct elements outside the field of a ladder. Perché dato uno di questi elementi per l'ipotesi II esso è estremo di due segmenti uguali ad un segmento dato e qualunque della scala stessa (def. I, 68). Because of these elements for a given hypothesis II it is two extreme segments equal to a given segment and any of the scale (def. I, 68). b. b. L'ipotesi III non contraddice alla definizione e alle proprietà del siste- ma identico nella posizione delle sue parti, e non deriva da esse. III The hypothesis does not contradict the definition and properties of the system but in the same position of its parts, and is not derived from them. Siccome intanto l'ipotesi riguarda la forma in un solo verso dato indi- pendentemente dal verso opposto, così basta che non contraddica alla definizione del sistema omogeneo per non contraddire a quella del sistema identico nella posizione delle sue parti (def. I, 70). Because while the assumption about the shape in one direction only given independently from the opposite direction, so just does not contradict the definition of the homogeneous system to not contradict that of the system in the same position of its parts (def. I, 70) . Ora, come ho osservato più su, la definizione del sistema omogeneo è indipendente dalla costruzione della scala, vale a dire non è detto che il sistema sia dato a partire da un dato elemento di esso da una sola serie illimitata di 1* specie di segmenti uguali, e che non possa es- sere composto da una serie di serie che a partire da ogni loro elemento siano illimitate di la specie (def. Ili, 39; #, 37). Now, as I observed more in the definition of the homogeneous system is independent of the construction of the scale, ie it is not said that the system is given starting from a given element of it by a single unlimited series of 1 * species of segments equal, and that it can not be-eg composed of a series of series that starting from each of their elements are unlimited of the species (final Ill, 39; #, 37). Il teor. The theorem. a del n. in the n. 68 ci dice appunto che il sistema omogeneo è illimitato nei suoi due versi, ma non dice che il 68 tells us precisely that the homogeneous system is unlimited in its two verses, but says that the
Page 85 Page 8585 sistema sia dato da una sola serie illimitata di là specie, come non stabilisce il contrario. 85 system is given by one unlimited series across species, as does not establish the contrary. Rimane a far vedere che si può applicare la def. It remains to show that we can apply the final. I, 68, che riguarda i soli segmenti limitati (def. IV, 6^), anche quando il si?tema omogeneo si compone di più serie illimitate. I, 68, which covers only limited segments (def. IV, 6 ^), even when you? Issue uniform consists of several series limitless. Dato un gruppo ordinato AT, che a partire da un suo elemento qualunque dato è illimitato di la specie (def. Ili, 39 e oss. 28), e che è dato da segmenti consecutivi uguali nell'ordine di esso, possiamo considerare N come un nuovo elemento dato (18), e poi un altro di questi elementi N' identico a JV, fuori di esso e indipendente da esso e non avente col primo alcun elemento fonda- mentale comune (def. I, 57 e a', 37). Given an ordered group AT, which from an element of any given species is unlimited (def. Ill, 39 and oss. 28), and is given by consecutive segments of the same order it, we can consider N as a new data element (18), and then another of these elements N 'identical to JV, outside it, and independent of it and not having any elements with the first fundamental common (final I, 57 and a', 37 ). Possiamo inoltre considerare le forme N e N' nell'ordine NN' (14). We can also consider the forms N and N 'in the order NN' (14). Nella serie NN* (19), N1 segue la serie N (14), e quindi ogni elemento di N precede N\ che è quanto dire che ogni elemento di N precede ogni elemento di 2V, od ogni elemento.di N1 segue N e quindi ogni elemento di N (def. II, 39 e 21). In the series NN * (19), N1 follows the series N (14), and then each element of N above N \ that is to say that every element of N precedes every element of 2V, or any elemento.di follows N1 and N therefore each element of N (final II, 39 and 21). Relativamente ai segmenti limitati di N o JV' la def. With regard to limited segments of N or JV 'the final. I, 68 è soddisfatta. I, 68 is satisfied. Poiché scelti gli elementi A e B fondamentali si può immaginare senza contraddirsi la serie di tre elementi ABC tali che (AB) = (BC\ così possiamo immaginare una serie di gruppi identici N, JV, N" non aventi alcun elemento comune tale che (NNI)^(NIN"). Ad ogni segmento limitato (AA) avente i suoi estremi A e A' rispettivamente in N e N* sarà uguale un segmento (ArA") col secondo estremo in A" (#, 60), imperocché in una corrispondenza d'identità fra (AW), (N'N"), N corrisponde ad N' e all'elemento A si può far corrispon- dere all'elemento A' e A' all'elemento A". Nel sistema a partire da un suo elemento vi è un solo segmento uguale ad un segmento dato nel verso di esso ( , 68); questa proprietà ha ancora vigore nel sistema (NN1). In questo modo sono soddisfatti il teor. b del n. 60 e quelli del n. 61 pei segmenti limitati. Non ci occupiamo dei segmenti illimitati di N e N' nel confronto fra i segmenti limitati, poiché i primi sono determinati da segmenti limitati e la loro uguaglianza relativa, come ad es. : dei segmenti illimitati (AB....X..,.), (B....X....) di N è data dall'uguaglianza dei segmenti limitati che li determi- nano ( ", 60). Se in due segmenti (AA'), (BB') ai segmenti limitati uguali nel- l'ordine dato dell'uno corrispondono univocamente enei medesimo ordine segmenti uguali dell'altro siamo giustificati di dire che i due segmenti sono identici, perché se non fossero tali non avrebbe luogo la suddetta proprietà, come abbiamo sopra osservato. Essendo N', indipendente da N la serie NN* è indipendente da N, cioè non è data da N senza l'atto che pone JV, dunque la proprietà dell'ip. Ili non deriva dalla sola N 1). 1) Abbiamo una prima rappresentazione della serie (NN1) considerando la retta percorsa in un dato verso, ad es. da sinistra verso destra, e poi considerando la stessa retta percorsa nello stesso verso, ma distinguendola in questa seconda operazione con iV, supponendo perciò che i punti di N' siano distinti da quelli di ir. Si possono considerare NN* anche come due rette parallele nel senso Euclideo, in modo che dopo aver percorsa una retta in un dato verso si percorra JVf nello stesso verso, e la distanza di due punti delle due rette si misuri nel verso dato percorrendo le due rette stesse. Vedi anche la rappresentazione geometrica alla nota n. 105. La serie di segmenti limitati delle serie NN'N"...., soddisfa alle prime 7 proprietà che il sig. Since the chosen elements A and B can be imagined without contradicting the fundamental series of three elements such that ABC (AB) = (BC \ so we can imagine a set of N identical groups, JV, N 'having no common element such that ( NNI) ^ (NIN "). For each segment limited (AA) having its ends A and A 'respectively in the N and N * will be equal to a segment (ARA") with the second end in A "(#, 60), Inasmuch in a correspondence of identity between (AW), (N'N "), N corresponds to N 'and A is the element may correspond-ing to the element A' and A 'to the element A". In the system starting from an element there is only one segment equal to a given segment in the direction of it (, 68); this property has yet force in the system (NN1). In this way the theorem are satisfied. b of n. 60 and those of the n. 61 pei segments limited. not take care of unlimited segments of N and N 'in the comparison between the segments limited, because the former are determined by limited segments and their relative equality, eg.: unlimited of the segments ( X. .... AB.,.), (B. ... ... X) of N is given by the equality of the segments limited them determined nano (", 60). If in two segments ( AA '), (BB') restricted to the same segments in the given order of one-match uniquely Bnei same order equal segments of the other we are justified to say that the two segments are identical, because if it were not such as would not occur the above properties, as we noted above. Since N ', N independent of the series NN * is independent of N, ie N is not given by the act that poses no joint venture, then the property ip. Ili is not derived from single N 1). 1) We have a first representation of the series (NN1) whereas the straight line traveled in a given direction, eg. from left to right, and then considering the same straight line traveled in the same direction, but distinguishing in this second operation with iV, therefore assuming that the points of N 'are distinct from those of ir. can be considered NN * also as two parallel lines in the Euclidean sense, so that after having traveled a straight line in a given verse percorra JVf in the same direction , and the distance of two points of the two lines is measured in the direction given along the same two lines. See also note no geometric representation. 105. The number of segments of the limited number NN'N "...., meets the first 7 properties that Mr. Pea- no da come assiomi per la serie dei numeri naturali (1. e., 1 vedi la nostra nota n. 45). Pea-not by as axioms for the series of natural numbers (1. And., See our note No. 1. 45). Se si li- mita N ad un primo elemento, la serie NN'N" .. soddisfa anche alla proprietà 8.a If you them mita-N to a first element, the series NN'N ".. also satisfies the property 8.a
Page 86 Page 8686 Def. 86 Def. I. I. Diremo che la forma fondamentale sì estende al di là dì ogni campo di scala esistente in essa. We say that the basic form yes extends beyond day every field of scale existing in it. Ind. I. Ind. I. Per indicare un elemento dato fuori del campo di una scala use- remo spesso il segno oo unito a qualche lettera. To specify a given element out of the field-scale use of a paddle-oo often the sign together with some letters. e. and. Dato un segmento con un estremo nel campo di una scala, se ha V altro estremo fuori di questo campo e nel verso di essa, esso è maggiore di ogni seg- mento limitato a due elementi dati del campo della scala; e reciprocamente. Given a segment with one end in the field of a ladder, if V has other end outside of this field and in towards it, it is greater than each segment limited to two elements of the data field of the scale; and reciprocally. Sia A l'origine, (AAT) Punita, A^ un elemento fuori del campo della scala nel verso di essa. A is the origin, (AAT) Punished, A ^ an element outside the field of scale in towards it. Non vi può essere un numero n tale che sia (AAt) n (AAJ, altrimenti A^ apparterrebbe al campo della scala stessa ( ', 81). E se (AD) è un segmento qualunque limitato del campo della scala di unità (AAt), il campo della scala di unità (AD) coincide con quello di unità (AAT) (#, 81), e non vi è alcun numero n tale che (AD) n sia maggiore di (AA^). Se il primo elemento del segmento dato non è A ma un altro elemento D qualunque del campo della scala, considerando a partire da D nel verso di essa un segmento qualunque (DD') limitato da un altro elemento U della scala di unità (AAT), il campo della scala di unità (DDf) e di origine D è uguale al campo della scala di unità (AAT) di origine A, rispetto alla corrispondenza univoca e nel medesimo ordine dei loro segmenti (d, 80; b, f, ti, 81); e poiché (DA^) è mag- giore di (DD') (def. I, 61) la prima parte del il teorema è dimostrata. Inversamente se (AB) è maggiore di ogni segmento limitato del campo della scala, B non può essere nel campo di essa (d^ 80). e1. Ogni segmento che serve a generare il campo di una scala è minore di ogni segmento avente un estremo nel campo della scala e I9 altro estremo fuori di esso e nel verso della scala. Perché il primo segmento è uguale ad un segmento del campo della scala col primo estremo nel!1 origine di essa (def. I, 81), e quindi il secondo segmento è maggiore del primo (e; def. I, 61). Def. IL Per distinguere i segmenti limitati a due estremi dati che generano il campo di una scala di unità qualunque (AAT) (def. 81) da quelli che non lo ge- nerano e sono maggiori di essi, chiameremo finiti i primi e infiniti attuali o infiniti i secondi rispetto all'unità data. Se i secondi sono invece minori dei primi si chiamano infinitesimi o infinitamente piccoli attuali, o infinitesimi soltanto, rispetto alla stessa unità. Ad es. l'unità (AAT) o un segmento qua- lunque limitato di una scala data è infinitesimo rispetto ad un segmento in- finito (AAJ (d, 81). Def. III. L'ipotesi III la chiameremo ipotesi di esistenza dei segmenti infiniti limitati *). i) Questa ipotesi soddisfa a tutte le condizioni di una ipotesi matematicamente possibile, che si riducono in fondo non a considerazioni d'ordine fllosofico snll'origine delie idee matematiche, ma ali' assenza ai ogni contraddizione. There can be a number n such that both (AAT) n (AAJ, otherwise A ^ belong to the field of the scale (', 81). And if (AD) is a segment of any of the limited field of the scale unit (AAT ), the field of the scale unit (AD) coincides with that of unit (AAT) (#, 81), and there is no number n such that (AD) n is greater than (AA ^). If the first element of the given segment is not A but another element D any of the field of the scale, whereas starting from D towards it in any one segment (DD ') limited by another element U of the scale unit (AAT), the field of scale units (DDF) and the source D is equal to the field of the scale unit (AAT) source A, with respect to one correspondence, and in the same order of their segments (d, 80 b, f, I, 81); and because (DA ^) is higher than (DD ') (def. I, 61) the first part of the theorem is demonstrated. Conversely if (AB) is greater than each segment of the limited field of the scale, B can not be in the range of it (d ^ 80). e1. Each segment which serves to generate the field of a scale is less than each segment having one end in the field of scale and I9 other end out of it and in the direction of the scale. Why the first segment is equal to a segment of the scale field with the first in the extreme, 1 origin of it (final I, 81), and then the second segment is greater than the first (and; final. I, 61). Def. IL To distinguish the segments limited to two extremes which generate the data field of a scale of any unit (AAT) (def. 81) from those that do not g-ses which and are more of them, we will call the first finite and infinite current or the second endless relation to the unit date. If the latter are instead smaller than the first are called infinitesimals or infinitely small current, or only infinitesimal, compared to the same unit. Eg. the unit (AAT) or a segment-side lunque limited On a scale is infinitesimal compared to a segment in-finite (AAJ (d, 81). Def. III. III The hypothesis we will call Assuming the existence of infinitely many segments limited *). i) This case meets all the conditions a hypothesis mathematically possible, it does not reduce down to considerations of philosophic snll'origine Delie mathematical ideas, but wings' to the absence of any contradiction. (Vedi pref.). (See Pref.). Rispetto poi alla rappresentazione di un segmento infinito, non l'abbiamo certamente se ci te- niamo nel campo della rappresentazione dei segmenti finiti successivamente uguali; ma se usciamo da questa serie possiamo rappresentarci, come vedremo, il segmento infinito limitato tale e quale come un segmento finito. Then compared to the representation of an infinite segment, we have not certainly if you ne-field representation of the segments subsequently finished the same, but if we get out of this series we can represent us, as we shall see, the small segment of the infinite as such as a finite segment. Succede qui una cosa analoga a quella che succede per la serie di segmenti sem- pre crescenti percorsa dalla punta del proiettile che da un punto A va a colpire un punto B. It happens here a similar thing to what happens to the series of pre-growing segments always traveled by the tip of the bullet that goes from point A to point B. hit a (vedi 6 nota n* 55). (See footnote 6 * 55).
Page 87 Page 87d. d. Ifn segmento infinito (o infinitesimo) rispetto ad un segmento dato (AAt) è maggiore (minore} di qualunque altro segmento (BC) che soddisfa alla con- dizione del teor. , 81 rispetto ad (AAT). Perché il segmento infinito (o infinitesimo) rispetto ad (AA^ soddisfa an- che ali' una o ali' altra condizione del teor. e, 81 (d, 81 e def. II) dunque an- che rispetto a (BC) (do rf, 61). d'. Un segmento infinito (o infinitesimo) rispetto ad un segmento dato è in- finito (o infinitesimo) rispetto a qualunque altro segmento finito col dato. Perché un segmento finito col dato (AAJ genera il campo della scala di unità (AAt) (def. II) ed è uguale ad un segmento di questo campo (def. I, 81), che soddisfa alla condizione del teor. è, 81 rispetto al segmento (AAt); dunque d(d). e. Ogni segmento maggiore di un segmento infinito è pure infinito, ed ogni segmento minore di un infinitesimo è pure infinitesimo (def. II; d1 ee, 81; d, o d', 61 e def. I, 81). f. Un segmento è finito, o infinito o infinitesimo rispetto ad un altro, e ognuno di questi tre casi esclude gli altri due. Siano (AB), (A'B') i due segmenti. Se sono uguali essi sono finiti (def. II; def. 81). Se è ad es. (AB) (A' ), o (AB) soddisfa alla condizione del teor. , 81, o non vi soddisfa (IV, 8). Nei primo caso (AB) e (A'#) sono finiti (d, 81 e def. II); nel secondo caso (A ) è infinito rispetto ad (AB), e (AB) infinitesimo rispetto ad (A'ff) (^, 81 e def. II). Se sono finiti, l'uno di essi non può essere né infinito né infinitesimo ri- Anche l'osservazione ci conduce del resto ad ammettere il segmento infinito limitato (che bi- sogna distingu ere dall'infinito comunemente usato.e in fondo a torto cosi chiamato, per indicare una grandezza finita variabile che diventa maggiore di ogni grandezza finita data). Osservo che se a è un oggetto rettilineo reale, peres. lo spigolo superiore dell'architrave di un lungo porticato ed in e vi è il. nostro òcchio, la scala di a, segnata per esempio dagli assi delle colonne, apparentemente non è una scala di segmenti uguali; e se d A AI A2 A3 O a è ad es. P intersezione del piano visuale ca con una lastra di vetro Oj /' . ' '^' ' verticale, la scala in a' e quella in a producono geometricamente la 123 stessa immagine sulla retina, cioè ae a1 sono apparentemente coincidenti. Ma li scala in a converge verso il punto o', punto d'intersezione del* raggio parallelo condotto da C allo spigolo a. Se Tizio si muove misurando la scala in a, la sua imma- gine f va sempre impiccolendosi. Mano mano che Tizio si allontana, se si muove in un mezzo per- fettamente omogeneo, è convinto che il suo corpo rimane sempre lo stesso anche se ciò in realtà non succedesse. Però noi apprezziamo la sua grandezza dalle successive immagini sulla lastra di vetro. Ora, se Tizio può immaginarsi che per noi la scala a ha apparentemente un punto 0' fuori di essa, egli sarà condotto evidentemente ad ammettere geometricamente che anche la scala a abbia un punto reale fuori di essa. Ma aggiungiamo subito, come abbiamo avvertito nella prefazione, che l'infinito attuale, e quindi anche l'infinitesimo attuale, hanno per noi un' esistenza puramente astratta, e reale in quanto sono un prodotto della nostra mente e derivano da un'ipotesi logicamente possibile: che perciò non vogliamo con questo sostenere l'ipotesi dell'esistenza materiale dell'infinito nell'ambiente esterno, come non sosteniamo la realtà materiale del nostro spazio generale. Ma se esistessero per un altro essere colla stessa logica nostra, le sue considerazioni sull' infinito non sarebbero diverse dalle no- stre. È da osservare poi ancora nel caso precedente, che r oggetto rettilineo è un sistema identico nella posizione delle sue parti, e che quindi rendendo le proprietà della retta come per la forma fou- damentale indipendenti dal concetto di scala, non solo vi è alcuna contraddizione a supporre che essa sia sempre un sistema identico nella posizione delle sue parti, ma sarebbe già un'ipotesi meno giustificata quella opposta. Le dimostrazioni di alcuni matematici contro i segmenti infiniti limitati a due estremi non reg- gono alla critica. (Vedi pref. ). Dedehind (Was sollen und sind die Zahlen ? pag. 17} stabilisce che un sistema S di elementi si chiama infinito quando si può stabilire una corrispondenza univoca (def. H,4?J fra S e una sua parte nel senso di parte usato da noi; in caso contrario, chiama S un sistema finito. Ma questa è una definizione comune a tutti i sistemi infiniti, perché l'infinito, come vedremo, am- mette forme diverse. La definizione nostra che si fonda sul concetto di scala, di maggiore e di mi- nore, è ugualmente inattaccabile e di più si presta meglio per le nostre ricerche. Quella di Dedehind non basterebbe poi da sola per la determinazicne dei nostri segmenti e anche pei numeri infiniti di G. Cantor. (Vedi pref.). Ifn segment infinite (or infinitesimal) with respect to a given segment (AAT) is greater (smaller} than any other segment (BC) that satisfies the condition of the with-theor.., 81 with respect to (AAT). Because the segment infinite (or infinitesimal) with respect to (^ satisfies an AA-wings that 'a wing or' other condition of the theorem. and 81 (d, 81 and def. II) so that an over-(BC) (C rf, 61). d '. A segment of infinite (or infinitesimal) relative to a given segment is in-finite (or infinitesimal) than any other segment ended with the data. For a finite segment with data (AAJ generates the field scale units (AAT) (final II) and is equal to a segment of this field (final I, 81), which fulfills the condition of the theorem. is, 81 with respect to the segment (AAT); therefore d (d). and. Each segment greater a segment of infinity is also infinite, and each segment is also less than an infinitesimal infinitesimal (def. II; d1 ee, 81 d, or d ', 61 and def. I, 81). f. A segment is finished, or infinite or infinitesimal compared to another, and each of these three cases excludes the other two. Let (AB) (A'B ') the two segments. If they match, they are gone (def. II final. 81) . If it is eg. (AB) (A '), or (AB) fulfills the condition of the theorem., 81, or are not satisfied (IV, 8). In the first case (AB) and (A' #) are finished (d, 81 and final. II) in the second case (A) is infinite with respect to (AB), and (AB) infinitesimal with respect to (A'ff) (^, 81 and final. II). If they are finished , one of them can be neither infinite nor infinitesimal re-observation also leads us to admit the rest of the segment limited infinity (bi-infinite dreams distingu ages commonly usato.e down wrongly so called, to indicate a variable finite size which becomes greater than any finite magnitude date). note that if a is a real object straight, peres. the upper edge of the architrave of a long porch and in and there is. our eye, the scale of a, marked for example by the axes of the columns, apparently is not a scale of equal segments, and if d A AI A2 A3 O is eg. P intersection of the plane view ca with a glass plate Oj / '.' ' ^ '' vertical scale in a 'and one in 123 to produce geometrically the same image on the retina, ie, a and a1 are apparently identical. But they scale to converge to a point or' point of intersection of the parallel beam * conducted by C to the edge. If Tom moves in a measuring scale, its imma-f origin is always impiccolendosi. proportion as Tom goes away, if it moves in for half-fectly homogeneous, is convinced that his body remains the same even if it does not really happen. But we appreciate his greatness by the successive images on glass plate. Now, if John Doe can imagine that for us the scale apparently has a point 0 'out of it, he course will be led to admit that even the geometrically scale has a real out of it. But once we add, as we warned in the preface, that the actual infinite, and therefore the infinitesimal today, we have a 'pure existence abstract and real as they are a product of our mind and are derived from a hypothesis logically possible: that so we do not want this material to support the hypothesis of the existence of the infinite in the external environment, as we do not support the material reality of our overall space. But if there were to be another with the same logic our, its considerations on 'infinite would not be different from the no-windows. It should be noted again in the previous case, that r rectilinear object is a system identical to the position of its parts, and thus making the properties of the straight line as for the shape fou-damental independent from the concept of scale, not only there is no contradiction to suppose that it is always a system identical to the position of its parts, but would be a ' less justified than the opposite hypothesis. Demonstrations of some mathematical infinite segments against two extremes is not limited to reg-Gono to criticism. (See Pref.). Dedehind (sollen Was sind und die Zahlen? p.} 17 states that a system S of elements called infinity when you can establish a unique match (def. H, 4? J between S and part of it to mean the part used by us, otherwise, call S a finite system. But this is a common definition all infinite systems, because the infinite, as we shall see, puts different forms-am. that our definition is based on the concept of scale, more and nore-I, is equally unassailable and more is better suited for our research. That of Dedehind then alone would not suffice for determinazicne of our segments and even pei infinite numbers of G. Cantor. (See Pref.).
Page 88 Page 88spetto all'altro, perché in tal caso non soddisferebbero alla condizione del teor. compared to the other, because in this case does not satisfy the condition of the theorem. b. b. 81 (IV, 8); così se l'uno è infinito o infinitesimo rispetto ali'altro non possono essere finiti; e finalmente se uno è infinito rispetto all'altro esso è maggiore di questo, mentre se fosse anche infinitesimo dovrebbe essere minore, ciò che è assurdo (e, 61). 81 (IV, 8), so if one is infinite or infinitesimal with respect ali'altro can not be finished, and finally if one is infinite respect to each other it is greater than this, while if it were also infinitesimal should be less, which is absurd (and 61). g. g. Due segmenti finiti con un terzo sono finiti tra loro. Finished third with two segments are finished with each other. Difatti se uno di essi fosse infinito rispetto all'altro sarebbe infinito an- che rispetto al terzo (d'}. Se uno fosse invece infinitesimo rispetto all'altro questo sarebbe infinitesimo rispetto al terzo, contro il dato (e) dunque ecc. h. Se un segmento è finito rispetto ad un altro, questo è finito rispetto al primo. Difatti il secondo fosse infinito (infinitesimo) rispetto al primo, il pri- mo sarebbe infinitesimo (infinito) rispetto al secondo (def. II), non finito /). In fact, if one of them is infinite compared to the other would be an infinite-that from the third (d '}. If one were infinitesimal compared to the other hand this would be infinitesimal compared to the third, against the figure (s), etc. So. H . If a segment is finished with respect to another, this is done with respect to the first. In fact, the second was infinite (infinitesimal) compared to the first, the first-mo would be infinitesimal (infinity) compared to the second (final II), not the finished /). i. the. L'addizione di due segmenti finiti (infinitesimi, o di cui uno è infinito^ del medesimo verso da un segmento finito (infinitesimo o infinito}. Siano (AB), (BC) i due segmenti finiti del medesimo verso che danno il segmento (AC). Esso è un segmento della scala di origine A e di unità (AB) (def. II; def. I 81, d, 80; d, 81). Se (AB) e (BC) sono infiniti, o anche un solo di essi è infinito, la pro- prietà è conseguenza di e (def. I, 72 e def. I, 61). Se sono infinitesimi e se non sono uguali, supponiamo (AB) (BC); allora (AB)2 (AB) + (BC) (f, 73). Ma (AB) 2 è minore di qualunque segmento finito (def. II; e', 81) ea mag- gior ragione (AB) -{- (BC) (d', 61). Dunque ecc. Def. IV. Poiché il campo della scala è a partire dall'origine maggiore di qualsiasi segmento finito dato di essa (a, 80) lo chiameremo pure infinito. Oss. HI. Il campo della scala è illimitato (def. Ili, 80) perché non ha un ultimo elemento che lo limiti nel verso della scala (def. II, 32), ed è infinito perché mag- giore di ogni segmento dato di essa (def. IV). I. Il campo di una scala è contenuto in un segmento infinito limitato con uno degli estremi nell'origine della scala senza poi essere questo stesso segmento. Difatti il campo della scala (AAJ è contenuto in un segmento limitato infinito (AA^), (def. II, ip. Ili) ma non coincide con tutto questo, perché per lo meno il segmento (AAM) contiene in più l'elemento Aw e perciò anche al- tri elementi distinti da A^ ( ). 83. Def. I. Se si ha una serie illimitata di segmenti limitati (A3T), (AX"),..... ed è (AX'X(AX"X...., potremo dire col linguaggio del movimento (def. VII, 67) che il segmento generatore o variabile (AX) diventa sempre maggiore, e chiameremo (AX) segmento variabile sempre crescente ; e che quindi X si al- lontana da A (def. VI, 67). Se invece si ha un ultimo stato, vale a dire se la serie dei segmenti data è limitata, il segmento (AX) si chiama variabile limitatamente crescente. Def. IL Se si ha invece una serie illimitata di segmenti limitati (AX') (AX") ...., diremo che il segmento generatore (AX) è variabile sempre decrescente o diventa sempre minore, e che l'elemento X si avvicina quindi all'elemento A The addition of two finite segments (infinitesimal, or which one is infinite ^ the same direction by a finite segment (infinitesimal or infinite}. Let (AB) (BC) finished the two segments of the same verse that gives the segment ( AC). It is a segment of the scale of origin A and units of (AB) (def. II; final. I 81, d, 80 d, 81). If (AB) and (BC) are infinite, or even one of them is infinite, the property is a consequence of pro-and (def. I, 72 and final. I, 61). If they are infinitesimal and if not equal, we assume (AB) (BC), then (AB) 2 (AB) + (BC) (f, 73). But (AB) 2 is less than any finite segment (final II, and ', 81) and May-day reason (AB) - {- (BC) ( d ', 61). etc. So. Def. IV. Because the field from the origin of the scale is greater than any given finite segment of it (a, 80) we will call the infinite well. Oss. HI. Field of Scale is unlimited (def. Ill, 80) because he has no last element in the direction that the limits of the scale (def. II, 32), and is infinite because greater May of each given segment of it (def. IV). I . The field of a scale is contained in a limited segment infinite with one of the extremes in the origin of scale without then be this same segment. In fact, the field of the scale (AAJ is contained in a limited segment infinity (AA ^), (final . II, ip. III) but does not coincide with this, because at least the segment (AAM) contains more element Aw and therefore also the tri-distinct elements of A ^ (). 83. Def. I. If you have an unlimited range of limited segments (A3T), (AX '), ..... and (AX'X (AX "X ..., we can say with the language of movement (def. VII, 67 ) that the segment generator or variable (AX) becomes more and more, and we will call (AX) variable segment growing, and that then X is the-distant from A (final VI, 67). If instead it has a final state, ie if the number of data segments is limited, the segment (AX) is called variable only growing. Def. IL If you have an unlimited number of segments rather limited (AX ') (AX') ...., say that the segment generator (AX) is variable always descending or becomes less and less, and that the element X is approaching then the element A
Page 89 Page 89(def. VI, 6?). (Def. VI, 6?). Se la serie è limitata il segmento (AX.) si chiama limitatamente decrescente. If the series is limited to the segment (AX.) is called only descending. Def. Def. III. III. Se le serie sono illimitate di la specie a partire da un loro seg- mento (def. Ili, 39), le variabili corrispondenti le diremo illimitate di la specie. If the number of the species are unlimited from their segment (def. Ill, 39), the variables corresponding to the species we say unlimited. Def. Def. IV. IV. La legge di costruzione della serie nei casi precedenti (def. II, 58) si chiama legge di variabilità del segmento (AX). The law of construction of the series in the previous cases (def. II, 58) is called the law of variation of the segment (AX). Def. Def. V. V. Il campo della scala è per noi un tutto costante dato (def. Ili, 80). The metering range is for us a constant whole data (def. Ill, 80). Immaginiamo di costruire questo campo colla sola operazione di ripetere i seg- menti consecutivi uguali della scala e di unirli successivamente in un tutto con quelli già posti (def. I, 26); come si è fatto pei numeri (def. II, 45) con questa differenza: che qui teniamo conto anche della diversità di posizione dei diversi segmenti e delle loro parti (38). Imagine building this field with the sole task of repeating segments of consecutive equal scale and then merge them into a whole with those already placed (def. I, 26), as was done pei numbers (def. II, 45) with this difference that here we also consider the different positions of the various segments and parts thereof (38). Con questa semplice operazione del ri- petere e dell'unire non solo non possiamo mai uscire dalla scala, ma ci riman- gono sempre altri segmenti finiti da considerare. With this simple task of re-uniting not only compete and we can never get out of the scale, but we always stay-Gono other segments to be considered finished. Il segmento che si ottiene dunque a partire dall'origine con questa operazione è un segmento variabile sempre crescente (def. I) che chiameremo campo finito della scala. The segment which is obtained therefore from the origin with this operation is a variable segment increasing (final I) which we shall call finite field of the scale. Oss. Oss. I. I. Il campo finito della scala non è dunque come il campo della scala un tutto dato e costante, ma è un ente che quando lo si considera è variabile (defi- niz. VII, 67) Def. The finite field scale is not so wide as the field of a given whole and constant, but is an entity that is when it is considered variable (defined Niz. VII, 67) Def. VI. VI. Di ogni segmento finito (AX) variabile sempre crescente e che di- venta maggiore di ogni segmento dato finito, diremo che cresce indefinita- mente o tende a diventare infinitamente grande o ha per limite il campo C della scala. Each finite segment (AX) of variable-growing and becomes greater than any given segment ended, we will say that the mind grows indefinitely or tends to become infinitely large or has to limit the scope of the C scale. E scriveremo lim (AX) = C. And we write lim (AX) = C. a. a. Il campo finito della scala ha per limite il campo della scala. The finite field of the ladder has to limit the scope of the scale. Perché non è che un segmento che soddisfa alla def. Why is not that a segment that satisfies the final. VI (def. V). VI (def. V). Def. Def. VII. VII. Diremo anche che il campo finito della scala è indefinitamente grande, intendendo però sempre, usando il verbo essere anziché il verbo di- ventare, che non è un tutto dato e costante. We will also that the finite field of the scale is indefinitely large, meaning, however, always using the verb to be instead of the verb-ventare, which is not a given whole and constant. Oss. Oss. II. II. Abbiamo dunque segmenti illimitati, come il campo C della scala che è dato e costante, e questo è infinito (def. IV, 82) e abbiamo segmenti illimitati non costanti e che tendono a diventare infiniti. So we have unlimited segments, as the field of the C scale is given and constant, and this is infinite (def. IV, 82) and we have unlimited non-constant segments and tend to become infinite. Non bisogna confondere dunque le due forme se non si vuoi cadere in contrad- dizioni. Do not confuse the two forms so if you do not want to fall into contradictory conditions. b. b. Il campo finito della scala è identico a quello determinato da qualunque segmento finito di esso come unità [f, 81 e def. The finite field scale is identical to that determined by any finite segment of it as a unit [f, 81, and def. V). V). Def. Def. Vili. VIII. Tutta la parte della forma fondamentale che contiene gli ele- menti all'infinito si chiama campo all'infinito rispetto all'unità data o alla scala di questa unità. All part of the basic form that contains the elements called infinity to infinity than the unit on the field or at the scale of this unit. b'. b '. Il campo all'infinito di una scala è pure il campo all'infinito di un'al- tra scala la cui unità è un segmento finito della prima e la cui origine giace nel campo della prima. The field at infinity on a scale is also the field of infinity between Jazzera-scale, whose unit is a finite segment of the first and the origin of which lies in the field of the first. Difatti i campi delle scale generate dai segmenti del campo dato coin- cidono a partire dall'origine ( ', 81), e quindi anche il campo all'infinito (def. Vili). In fact, the fields generated by the segments of the stairs of the field given coin-cidono from the origin (', 81), and therefore also the field to infinity (final VIII). E poiché se l'origine è un altro elemento dato, il campo della scala And as if the source is another data element, the field scale
Page 90 Page 9090 così ottenuto è contenuto nel primo e differisce dal primo soltanto pel segmentò che ha per estremi le due origini (a, 80), il teorema è dimostrato. 90 thus obtained is contained in the first and only differs from the first PEL segment which has as its extremes the two origins (a, 80), the theorem is shown. 84. 84. #. #. Se (AD) è finito rispetto ad un' unità (A AI), (2) A) è finito rispetto al- l'unità (AAj) (def. II, 82; eeb, d, 81). If (AD) is finished with respect to a 'units (A AI), (2) A) is finished with respect to the drive-(AAJ) (def. II, 82; c and b, d, 81). a'. to '. Se un segmento (AB) è infinito (o infinitesimo) rispetto ad un segmento (OD), il segmento (BA) è infinito (infinitesimo) rispetto a (DC). If a segment (AB) is infinite (or infinitesimal) with respect to a segment (OD), the segment (BA) is infinite (infinitesimal) with respect to (DC). Difatti (BA) non può essere finito rispetto a (DC), perché (AB) sarebbe finito rispetto a (CD) (a; f, 82); né (BA) può essere nel primo caso infinitesimo rispetto a (DC) perché scelto in (DC) un segmento (DDr) identico a (BA), (D'D) sarebbe contenuto in (CD) ( ', 69; e, 68; def. I, 61) e perciò (CD) sarebbe mag- giore di (D'D) cioè di (AB) (def. I, 61 ea, 69; def. II, 61) contro l'ipotesi. In fact, (BA) can not be finished with respect to (DC), because (AB) would end with respect to (CD) (a; f, 82); or (BA) can be in the first case infinitesimal with respect to (DC) because chosen in (DC) a segment (DDr) identical to (BA), (D'D) would be contained in (CD) (', 69; and, 68; final. I, 61) and therefore (CD) would be greater May- of (D'D) ie (AB) (def. I, and 61, 69; final. II, 61) against the hypothesis. Dun- que (BA) deve essere infinito rispetto a (DC) (/*, 82). Dun-five (BA) is to be infinite with respect to (DC) (/ *, 82). Se invece (AB) è infinite- simo rispetto a (CD), (BA) non può essere né finito, né infinito rispetto a (DC) (ae dim. preced.), dunque deve essere infinitesimo (/", 82). b. Dato un segmento (AA( )) rispetto all'unità (AA^), e costituita in esso la scala di origine A e di unità (AA\), e la scala di origine A( ) e di unità si ha sempre: essendo n un numero qualunque della serie dei numeri naturali e corrispon- dente agli elementi estremi dei multipli delle unità date secondo il numero n. 2) Se X' è un elemento del campo della scala di origine A{00 compreso fra gli elementi An-\(y ] An ), e se (AX) = (X'A^), ^elemento X è compreso fra gli elementi A^-i, An della scala di origine A. I) Intanto si ha che (A ) A) è infinito rispetto ad (At A) (a) e quindi anche ri- spetto ad (AA^00)) (def. II, 82). Dalla relazione (AO Aì(^) = (Al A) (1) si ha WA( ) = (AAJ (l')(a, 69). La esistenza del segmento (ALC*) A )) risulta dalla definizione stessa del sistema omogeneo (def. 1, 68; a, 82). Costruiamo la scala di origine A eoll'u- nità (AAj) nel verso (AA*00*), e la scala di origine A(M) nel verso opposto col- l' unità (A( ) A,) ( ', 69) cioè: AA^ A2 ..... An^1 ..... essendo (A(^Al(^) = (Al(MìA2(^)~.t..^(An.l(^An^)~ ..... e analogamente (AAJ = (A,A2) = .... = (A^A^) = . . . . (2) dico che si ha : (A( )A2(00)) = (A2A) (3) Difatti la (3) si può scrivere anche così: (A( -U^)) + (AjC-JV ) = (AgAJ + (A^) (def. I, 72) (3') Ma per le relazioni (1), (!'), (2) si ha: (^A,) = (A,A) = (A( )A1(-)) = (^(-U2 -)) (e, 60) e valendo dunque la (3') vale anche la (3) (e, 68). However, if (AB) is infinite-mum with respect to (CD), (BA) can be neither finite nor infinite with respect to (DC) (ae dim. PREVIOUS.), Must therefore be infinitesimal (/ ', 82). b. Given a segment (AA ()) with respect to the unit (AA ^), and formed in it the scale of origin of units A and (AA \), and the scale of origin A () and drive it has always : n being any number of the series of natural numbers and corresponding to the extreme elements of multiples of units given according to the number n. 2) If X 'is an element of the scale field of origin A {00 between the elements An - \ (y] An), and if (AX) = (X'A ^) ^ element X is between the elements A ^-i, An origin of the scale of A. I) Meanwhile, we have that (A) A) is infinite respect to (Ac A) (a) and then also re-compared to (AA ^ 00)) (final II, 82). From the relation (AO Ai (^) = (Al A) (1) it has WA () = (AAJ (l ') (a, 69). The existence of the segment (ALC *) A)) is the very definition of the homogeneous system (def. 1, 68, a, 82). We build A scale of origin eoll'u Community (AAJ) in the direction (AA * 00 *), and the scale of origin A (M) in the opposite direction with-l 'units (A () A) (', 69) ie: AA ^ ^ 1 An A2 ..... ..... being (A (Al ^ (^) = (Al (MìA2 (^) ~. t .. ^ (An.l (^ ^ An) ~ ..... and similarly (AAJ = (A, A2) = .... = (A ^ A ^) = .... (2) say who has: (A () A2 (00)) = (A2A) (3) Indeed, (3) can also be written as: (A (-U ^)) + (AJC-JV) = (AgAJ + (A ^) (def. I, 72) (3 ' ) But for relations (1), (! '), (2) we have: (^ A) = (A, A) = (A () A1 (-)) = (^ (-U2 -)) (s, 60) being valid and thus the (3 ') it is also (3) (and 68).
Page 91 Page 9191 Dalla (3) si ha poi i (AAj = (AJ*)A(**) (a, 69) (3") Se la relazione (3) è vera per n 1, cioè (A( An-i ) = (^ -i^) (4) è vera anche per n, cioè (A An);EE(AnA) (5) Difatti si ha: (AAn-^EECA^n) (d, 79) (6) e quindi (An-iA^UnA^ (a, 69) (6) e perciò la (4) ci da mediante la (6') (A^An^) = (AnAl) (e, 60) (4) Ora la (5) si può scrivere così: (A^Aw-il*)) + (A^it" A ) ~ (AnAJ + (A^) (def. I 72) e siccome (An.l(^An(^^iA(^Al^) = (AlA) ((1) e (2) ee, 60) per la (4') la (5) è dimostrata (e, 68). La (5) poi ci da: (AnC A( )) = (AAn) ( , 69) (5') 2) Si ha infatti da (5') (A. . . .An~iAn) = (An e per dato è 00)A(^) (def. I, 61) e perciò (AX) (AAn) ((5') e def. II, 61) (8) Dunque X è compreso nel segmento ( A An ) (e', 68; , 36 e def. I 61). Ma si ha: (AA -,) = (An-i aoU "')) ((4'), a, 69 e (6)) e siccome per dato è (AA^X^AO) (def. II, 61) ossia (AAn-i) (AX) ((7) e def. II, 61) dunque X è situato nel segmento (A^-i An), come volevasi dimostrare. e. Non può essere che un elemento dato X' del campo della scala di ori- gine A(0 ) di b' qualunque esso sìa, appartenga al campo della scala di origine A. Difatti essendo (A^)X') finito rispetto all'unità (A ") A^00)) ossia (Al A), (X' A( ) è finito rispetto all'unità (AA^ (ae (1)). Ma lo sarebbe pure (AJT) se X' appartenesse al campo della scala di origine A, e quindi il segmento (AX1) -f (XrA(Mì) = (AA(^) sarebbe finito rispetto all'unità (AAt) (t, 82) contro l'ipo- tesi del teorema. 91 from (3) there is then the (AAJ = (AJ *) A (**) (a, 69) (3 ") If the relationship (3) is true for n 1, ie (A (An-i) = (^-i ^) (4) is true for n, ie (A An), EE (AnA) (5) In fact we have: (EECA AAN-^ ^ n) (d, 79) (6) and then (An-iA ^ A ^ (a, 69) (6) and therefore the (4) there by means of the (6 ') (A ^ ^ An) = (Anal) (and 60) (4) Now the (5) can be written as follows: (A ^ * Aw-on)) + (A ^ en "A) ~ (AnAJ + (A ^) (I def. 72) and since (An.l (An ^ (^ ^ iA (Al ^ ^) = (Ala) ((1) and (2) ee, 60) for the (4 ') the (5) is demonstrated (and 68). The (5) then there from: ( ANC A ()) = (AAN) (, 69) (5 ') 2) It has in fact from (5') (A. ... An Ian ~) = (AN and for data is 00) A (^) (def. I, 61) and therefore (AX) (AAN) ((5 ') and def. II, 61) (8) Therefore X is included in the segment (A An) (e', 68;, 36 and final . I 61). But we have: (AA -,) = (An-the AOU "')) ((4'), a, 69 and (6)) and as for figure is (AA ^ ^ X AO) (def. II, 61) that (Aan-i) (AX) ((7) and def. II, 61), therefore X is located in the segment (A ^ An-i), QED. and. can not be that a given element X 'of the scale field of origin A (0) b' whatever it is, belongs to the field-scale source of A. In fact, since (A ^) X ') than the finished unit (A ") A ^ 00)) or (Al A), (X 'A () is finite with respect to the unit (AA ^ (ae (1)). But it would also (AJT) if X' belong to the field scale A source, and then the segment (AX1)-f (XRA (I) = (AA (^) would end with respect to the unit (AAT) (t, 82) against the hypothesis of the theorem.
Page 92 Page 9292 85. 92 85. Oss. Oss. I. I. Il teorema precedente dimostra che senza venir meno alla definizione del sistema semplicemente omogeneo (def. I, 68) e ali' ipotesi sull'esistenza dei seg- menti infiniti (ip. ITI, 82), il segmento (AA( )) può non contenere alcun altro elemento fuori dei campi delle due scale di origine A e A( ) che abbiamo testé considerate. The previous theorem shows that, without renouncing to the definition of the homogeneous system simply (def. I, 68) and wings' assumptions about the existence of infinitely many segments (ip. ITI, 82), the segment (AA ()) can not contain any other element outside the camps of the two scales of origin A and A () which we have just considered. Ora, in base a principi possibili noi dobbiamo costruire o porre la forma fondamen- tale od ogni sua parte a partire da una data unità, altrimenti non possiamo deter- minare tutte le sue proprietà o per meglio dire resterebbe indeterminato il passag- gio da un'unità data ad un segmento infinito, di cui l'ipotesi III ci da solo resistenza. Now, based on principles possible we have to build or place the fundamental form of this or any part thereof from a given unit, otherwise we can not deter-mine all of its properties or rather remain undetermined passage from a 'units given to a segment infinite, of which the hypothesis III there alone resistance. Anche ammesso che nel segmento (AA( ) vi siano elementi della forma fonda- mentale fuori dei campi delle due scale costruite nel teor, b non basta; perché po- sono esistere in (AA( )) altri segmenti infiniti rispetto ad (AAJ e infinitesimi ri- spetto ad (AA( )). Né ammesso questo principio deriva in quali relazioni stiano fra loro. Siamo dunque condotti a questa ipotesi : Ip. IV. Nel campo all'infinito rispetto ad un'unità (AAi) qua- lunque, scelto un elemento arbitrario A , nel segmento (AAf*1) 1 : esiste un elemento X tale che (AX) e (XA )) sono pure infiniti ri- spetto ad (AA,); 2 : esiste un elemento A'00) tale che qualunque sia X il segmento (AX) è finito rispetto ad (AA ). Even assuming that the segment (AA (), there are fundamental elements of the form fields out of the two scales constructed in the theorem, b is not enough, because there are little-in (AA ()) other than infinite segments (AAJ and infinitesimal compared to re-(AA ()). Neither this principle is admitted in such relationships are between them. We are thus led to this hypothesis: Ip. IV. In the infinite with respect to a unit (AAI) here-lunque , choose an arbitrary element A, in the segment (AAF * 1) 1: there exists an element X such that (AX) and (XA)) are also re-infinite compared to (AA) 2: there is an element A'00 ) such that whatever the segment X (AX) is finished with respect to (AA). a. a. L'ipotesi IV non deriva dalle precedenti proprietà della forma fonda- mentale, e non contraddice ad esse. The fourth hypothesis is not derived from earlier forms of the fundamental properties, and does not contradict them. Dato X vi sono due possibilità non contraddienti alle ipotesi 'che pre- cedono, e cioè che (AA( * ) sia finito o infinito rispetto ad (AX), come ad es. nella serie NN* della dimostrazione del teor. b, 82, un segmento limitato cogli estremi A e A' rispettivamente in N e N* è infinito rispetto ad un segmento (AB) cogli estremi in N* mentre un altro segmento (CD) di N è finito rispetto ad (AB). Nella seconda parte dell1 ipotesi si suppone dunque che vi sia un elemento A^00* tale che per ogni elemento X che soddisfa alla prima condizione, (AX) sia finito rispetto ad (AA*00)). Since X there are two possibilities to not contraddienti hypothesis' that precede, namely that (AA (*) is finite or infinite with respect to (AX), eg. In the series NN * demonstration of theorem. B, 82 , a limited segment Seize ends A and A 'respectively in N and N * is infinite respect to a segment (AB) Seize extremes in N * while another segment (CD) of N is finished with respect to (AB). In the second part dell1 hypothesis it is assumed therefore that there is an element A ^ 00 * such that for each element X which satisfies the first condition, (AX) is finished with respect to (AA * 00)). Che per un elemento X ciò possa essere non v'è dubbio, basta prendere (AA 0 = (AX) 2. Per ogni altro elemento Xl compreso fraX e A( ), se (AA( ) fosse infinito rispetto ad (AX3) lo sarebbe a maggior ragione rispetto ad (AX) (def II, 82), né può essere infinitesimo essendo maggiore di AX^ (def. I, 61 e def. li, 82), dunque deve essere finito rispetto ad (AXL) (f, 82). Per ogni elemento X2 compreso fra A e X, che non è situato nei campi delle scale di unità (AA,) o (AjA) di origine A e X nel segmento (AX), resta l'arbitrarietà che (AX2) sia finito o infinitesimo rispetto ad (AX) (def. II, 82). L'ipotesi sceglie il primo caso, e cioè che (AX2) sia finito rispetto ad (AX), e quindi anche rispetto ad (AA*00*) (g, 82). Le serie N corrispondenti agli elementi X, compresi nel segmento (A Al80)) (vedi dim. del teor. b, 82), formano un segmento di gruppi N identici i cui segmenti formati coi nuovi elementi ad es. (2Va N), (Na Nac )) sono finiti l'uno rispetto all'altro *). That for an element X, it can be no doubt, just take (AA 0 = (AX) 2. For any other element including FRAX Xl and A (), if (AA () is infinite with respect to (AX3) the would be more so than (AX) (def II, 82), nor can it be infinitesimal being greater than AX ^ (def. I, 61 and final. li, 82), therefore, must be done with respect to (AXL) (f , 82). For each element X2 between A and X, which is not located in the fields of the stairs of units (AA) or (AJA) source A and X in the segment (AX), which remains arbitrariness (AX2 ) is finite or infinitesimal with respect to (AX) (def. II, 82). The hypothesis chooses the first case, namely that (AX2) is finished with respect to (AX), and therefore also with respect to (AA * 00 * ) (g, 82). The N-series corresponding to the elements X, included in the segment (A AL80)) (see dim. of theor.. b, 82), form a segment of N identical groups whose segments formed with the new elements to eg. (2VA N), (Na Nac)) are finished respect to one another *). Def. Def. I. I. Questa ipotesi la chiameremo anche prima ipotesi di costruzione o di determinazione dei segmenti infiniti della forma fondamentale. This hypothesis will also call the first case of construction or determination of the segments of infinite fundamental form. Oss. Oss. IL Questa ipotesi include necessariamente in sé l'ipotesi III sull'esistenza dei segmenti infiniti data che sia la def. THE This assumption in itself necessarily includes the assumption III the existence of infinitely many segments is the final date. II, 82. II, 82. i) Una rappresentazione di questa ipotesi si ha ad es. i) A representation of this hypothesis we have eg. : quando si suppone che ogni punto di un segmento rettilineo intuitivo rappresenti uua serie N di punti. : When it is assumed that each point of a line segment represents intuitive uua number N of points.
Page 93 Page 9393 b. 93 b. Il segmento (XA( )) è pure finito rispetto ad (AA**)). The segment (XA ()) is also finished with respect to (AA **)). Difatti non può essere infinito rispetto ad (A 4^)) perché è contenuto in (AA 0 (def. II, 82 e def. 1, 61). Quindi se non è finito deve esser infinitesimo rispetto ad (AA( ) (f, 82) essendo infinito rispetto ad (AA,) (ip. IV). Dunque (XA^00)) deve essere anche infinitesimo rispetto ad (AX), che è finito rispetto ad (AAf00* (ip. IV; e?, 82). Consideriamo in (AX) un segmento (AX') = (XAC")) (def. I, 68). Il segmento (AX) è infinito rispetto all'unità, (A*00^00)) == (A,A) ( ', 84), dunque anche (A^X1) rispetto ad (A^JA^00)), perché (A( X) è per ipo- tesi parte del segmento (A^X?) (def. I, 61, e def. II, 82). Per conseguenza (XM( ) è infinito rispetto ad (AAJ (a'9 84); ma (AX*) è pure infinito rispetto ad (AAt) perché lo è (XAf ) ad esso uguale, e perciò l'elemento X' non può appartenere al campo della scala di origine A e di unità (AAT). Ma per l'ipo- tesi IV (AX), e quindi anche (XA ), deve essere finito rispetto ad (AA )) (def. II, 82) ne consegue dunque che è assurdo ammettere che (XA )) = (AX*) sia in- finitesimo rispetto ad (AAf00)), dunque b (/", 82). In fact it can not be infinite with respect to (A ^ 4)) because it is contained in (AA 0 (def. II, 82, and def. 1, 61). So if it is done must be infinitesimal compared to (AA () (f , 82) being infinite with respect to (AA) (ip. IV). Therefore (XA ^ 00)) should also be infinitesimal with respect to (AX), which is finished with respect to (AAf00 * (ip. IV; and?, 82). Consider in (AX) a segment (AX ') = (XAC ")) (def. I, 68). segment (AX) is infinite compared to unity, (A * 00 ^ 00)) == (A, A) (', 84), then also (A ^ X1) compared to (A ^ JA ^ 00)), because (A (X) is hypo-thesis on the segment (A ^ X?) ( final. I, 61, and final. II, 82). Consequently (XM () is infinite with respect to (AAJ (a'9 84), but (AX *) is also compared to infinity (AAT) because it is ( XAF) equal to it, and therefore the element X 'can not belong to the field of origin of the scale of units A and (AAT). But for the hypothesis IV (AX), and therefore also (XA), must be finite with respect to (AA)) (def. II, 82) it follows therefore that it is absurd to say that (XA)) = (AX *) compared to both in-finitesimo (AAf00)), then b (/ ', 82 ). e. and. I segmenti (AX) e (XA^) della seconda parte dell'ip. The segments (AX) and (XA ^) of the second part ip. IV soddisfano alla stessa proprietà dell'ipotesi IV. IV satisfy the same property of the hypothesis IV. Difatti essendo X un elemento ali'infinito rispetto all'unità (AAT) vi deve essere in (AX) un elemento X1 tale che (A3?) e (X'X) sono infiniti e (AX') e (X'Af*)) devono essere finiti rispetto ad (AA*00)) (ip. IV, ); (AX*) è dunque finito rispetto ad (AX) (g, 82). In fact, X being an element ali'infinito relation to the unit (AAT) there must be (AX) a component X1 such that (A3?) And (X'X) are infinite and (AX ') and (X'Af * )) must be finished with respect to (AA * 00)) (ip. IV), (AX *) is then finished with respect to (AX) (g, 82). Con un ragionamento identico a quello della dimostrazione del teor. By reasoning identical to that of the demonstration of the theorem. b si prova che (X'X) deve essere finito rispetto ad (AX). b is shown that (X'X) must be finite with respect to (AX). Ciò vale altresì pel segmento (XA( ). Difatti è infinito rispetto ad (AAT) (ip. IV) e vi deve essere in esso un elemento X" tale che (XX") (X"Af00)) sono infiniti rispetto ad (AAT) (ip. IV, 1 ). I segmenti (AX") e (X"A )) sono finiti ri- spetto ad (AA *)) (ip. IV, 2 e ), e quindi anche rispetto ad (XA ; (g, 82). Si immagini ora dato un segmento (AY) = (XX"); essendo (XX') infinito rispetto ad (AA^) lo sarà pure (AY) (def. II, 61; def. II, 82). Ma l'elemento X" deve essere compreso fra Ye A( , essendo (XX") (AX") (def. I, II, 61), e perciò (YA( )) (X"Af00)) (def* I, 61) è infinito rispetto ad (AA{). Dunque (AY) sarà finito rispetto ad (AA )) ea(X"A( ) (ip. IV e g. 82), e quindi anche (XX"). d. Ogni segmento (AA/* ) di (AA( ) coli'elemento A^00) nel campo della scala di origine A( e di unità (ATA) è finito rispetto ad(AA(("])9 e l'elemento A/*) soddisfa come A all'ipòtesi IV. Difatti (AAJ**) è infinito rispetto ad (AAX) (e, ,84). Il segmento (AA/00)) non può essere infinito rispetto ad (AA ) che lo contiene (def. II, 82 e def. I, 61), né può essere infinitesimo perché (AX) che è parte di (AA^ *)) (def. II, 27 e def. I, 62) è finito rispetto ad (AA ")) (ip. IV, def. II, 82) dunque (AA/00)) è finito rispetto ad (AA'**) (f, 82). This applies also ELP segment (XA (). Fact is infinite with respect to (AAT) (ip. IV) and in it there must be an element X 'such that (XX') (X "Af00)) are infinite with respect to ( AAT) (ip. IV, 1). segments (AX ") and (X" A)) are re-finished compared to (AA *)) (ip. IV, 2 s), and therefore also with respect to (XA ; (g, 82). Imagine now given a segment (AY) = (XX '); being (XX') with respect to infinity (AA ^) it will be well (AY) (def. II, 61; final. II , 82). But the element X 'must be between Ye A (, being (XX') (AX ") (def. I, II, 61), and therefore (YA ()) (X" Af00)) (* The final, 61) is infinite with respect to ({AA). Therefore (AY) is finished with respect to (AA)) and (X "A () (ip. IV and g. 82), and therefore also (XX "). d. Each segment (AA / *) of (AA () coli'elemento A ^ 00) in the scale field in the source (and drives (ATA) is finite with respect to (AA ((']) 9 and the element A / *) satisfies as A hypothesis IV. fact (AAJ **) is infinite with respect to (AAX) (and,, 84). The segment (AA/00)) can not be infinite compared to (AA) that contains it (def. II, 82, and def. I, 61), nor can it be infinitesimal (AX) which is part of (AA ^ *)) (def. II, 27 and final. I, 62 ) is finished with respect to (AA ")) (ip. IV, final. II, 82), therefore (AA/00)) is finished with respect to (AA '**) (f, 82). Ora per ogni elemento X tale che (AX) e (XA/00)) sono infiniti (ip. IV) si ha anche che (AX) e (XA f00)) sono infiniti (def. II, ed e, 82); e che (AX) e (XA )) sono finiti rispetto ad (AA )) (ip. IV, 2 eb) e perciò anche rispetto ad (AA^00)) (g, 82). Now for each element X such that (AX) and (XA/00)) are infinite (ip. IV) we have also that (AX) and (XA f00)) are infinite (final II, and e, 82); and that (AX) and (XA)) are finished with respect to (AA)) (ip. IV, 2 b) and therefore also with respect to (AA ^ 00)) (g, 82). Dunque (XA^00)) essendo infinito rispetto ad (AA1) è finito rispetto ad (AAj***) (b). Therefore (XA ^ 00)) being compared to infinity (AA1) is finished with respect to (AAJ ***) (b). Il teorema è perciò dimostrato. The theorem is therefore proved.
Page 94 Page 9494 e. 94 and. Ogni segmento (AAI C*))XAA W) e che soddisfa alla condizione dove n è un numero dato qualunque della serie (/), soddisfa alla proprietà dell'ipotesi IV. Each segment (AAI C *)) XAA W) and which fulfills the condition where n is a number given any of the series (/), satisfies the properties of the hypothesis IV. (AAjt00)) è finito rispetto ad (AA( ) .( ', 81 e def. II, 82), e (AA^) è finito rispetto ad (AAt (*)) (h , 82). Dato un elemento qualunque X tale che (AX) e (XA * ) siano infiniti essendo (AZ) e (ZA *)) finiti rispetto ad (AAt00)) (ip. IV, ), lo sono anche rispetto ad (AA^) (g, 82). (AAjt00)) is finished with respect to (AA (). (', 81 and final. II, 82), and (AA ^) is finished with respect to (AAT (*)) (h, 82). Since any element X such that (AX) and (XA *) are infinite being (AZ) and (ZA *)) finished with respect to (AAt00)) (ip. IV), are also compared to (AA ^) (g, 82 ). E poiché (AWAJ**) è al più finito rispetto al segmento (AA^ )), altrimenti (AAj (*)) sarebbe in- finito rispetto ad (AAW) (i, 82), se l'elemento X è contenuto in (AA/00)) il segmento (AX) è al più finito rispetto al segmento (A( AI (" ) (def. II, 82), e quindi anche rispetto al segmento (AA*00)), perché se fosse infinito lo sarebbe anche rispetto al primo (d'9 82). Dunque (AX) è anche in tal caso fi- nito rispetto ad (AAj (*)) e perciò anche (ZA! ( 0. se (XAfifi infinito ri- spetto ad (AAj) ( ,); ed il teorema è pienamente dimostrato. f. Tutti i segmenti infiniti rispetto all'unità (AAj) che soddisfano airip. IV sono fra loro finiti. Siano (AA^)), (AA2(^) due di questi segmenti, e sia (AA2 ) (AA.C**). Se non sono finiti significa che A2( ) non appartiene al campo della scala di unità (AA^00)) fip. Ili e def. II, 82), e perciò (AA/00)) sarebbe infinitesimo rispetto ad(AA2( )) (def. II, 82). Ma in tal caso A2 non soddisferebbe all'ultima pro- prietà dell'ip. IV, dunque (AA2( )) deve essere finito .rispetto ad (AA/00)). La proprietà vale anche per segmenti che non hanno lo stesso estremo A, per- ché si possono considerare segmenti uguali ai dati e dello stesso verso coli' e- stremo A (def. I, 68). Il teorema è dimostrato. g. Un segmento finito è nullo rispetto ad un segmento infinito. Sia dapprima (AA t00*) il segmento infinito e (AD) il segmento finito ap- partenente alla medesima scala e col primo estremo nell'origine della scala. Si vuoi dimostrare che (AA (")) rispetto al segmento (DA ( ). Il segmento (DA( ) contiene il campo della scala di unità (AD) e di origine D (I, 82), per il quale vale la stessa proprietà (/", 81). Unire ad un segmento af limitato o non un segmento limitato o illi- mitato e, e se a è nullo rispetto ab (def. II, 81), è lo stesso che unire ea 6, ossia in a+(b+c) a è nullo rispetto a (5-fc), dunque (AD) è nullo rispetto a(DA )- Si consideri ora in (AA ) un segmento (A ) A^00)) uguale ad (AjA), essendo (AAT) l'unità, e sia: (AD )EE(DA (tf, 69) e quindi D ") A )EE(AD) (a, 69). And since (AWAJ **) is at most with respect to the finished segment (AA ^)), otherwise (AAJ (*)) would be in-finite respect to (AAW) (i, 82), if the element X is contained in (AA/00)) the segment (AX) is at most finished with respect to the segment (A (AI (") (def. II, 82), and therefore also with respect to the segment (AA * 00)), because if it were infinite it would also be compared to the first (9 of 82). Therefore (AX) is also in this case fi-ned with respect to (AAJ (*)) and therefore also (ZA! (0. if (XAfifi infinite re-compared to (AAJ) (,) and the theorem is fully proved. f. All segments infinite compared to unity (AAJ) which satisfy airip. IV are each finite. Let (AA ^)), (AA2 (^) two of these segments, and let (AA2) (AA.C **). If you are not over means that A2 () does not belong to the field scale units (AA ^ 00)) fip. and Ill def. II, 82) , and therefore (AA/00)) would be infinitesimal compared to (AA2 ()) (def. II, 82). But in this case A2 does not satisfy the last pro-ip properties. IV, then (AA2 () ) must be finished. respect to (AA/00)). The property also applies to segments that do not have the same extreme A,-because it can be considered equal segments the data and of the same towards coli 'and extreme-A (final . I, 68). The theorem is proved. g. A finite segment is nil compared to an infinite segment. Both first (AA * t00) and the infinite segment (AD) the finite segment ap-partenente the same scale and with the first source end of the scale. We want to prove that (AA (")) compared to the segment (DA (). Segment (DA () contains the field scale units (AD) and the source D (I, 82) , for which it is the same property (/ ', 81). Add to a limited segment of f or a segment-committee, and limited or unlimited, and if a is zero than ab (def. II, 81), is the same that unite and 6, ie a + (b + c) is zero with respect to (5-fc), then (AD) is zero with respect to (DA) - Consider now (AA) a segment (A) A ^ 00)) equal to (AJA), being (AAT) unit, and either: (AD) EE (DA (tf, 69) and D ") A) EE (AD) (a, 69). Il segmento (DA) è finito rispetto ad (ATA) (a, 84), e quindi anche rispetto al segmento (A*00) A^ 0 (def. H, 82). The segment (DA) is finished with respect to (ATA) (a, 84), and therefore also with respect to the segment (A * 00) A ^ 0 (def. H, 82). E pel caso precedendo, siccome (A**) A) è infinito rispetto ad (AjA) ossia ad (A( A/00)) (a, 84), si ha: A) And for the preceding case, since (A **) A) is infinite with respect to (AJA), ie to (A (A/00)) (a, 84), one has: A)
Page 95 Page 9595 ossia (A*00) Df-O+CflO ) A)EE(DA) oppure anche (ADW) + ( ~)AW) = (AD( ) ( , 69) Vale adire unitx) ad UQ segmento infinito (AZM ) un segmento finito (JD(00) A'00)) il segmento finito è trascurabile rispetto al segmento infinito. 95 or (A * 00) + Df CflO-O) A) EE (DA) or even (ADW) + (~) AW) = (AD () (, 69) refer unitx Vale) at UQ infinite segment (AZM) a finite segment (JD (00) A'00)) the finite segment is negligible compared to the segment infinity. Così se togliamo il segmento (IX00) A } da (AA )) infinito rispetto al- l'unità (AAj), la parte rimanente (AD*00)) è uguale al segmento stesso. So if we remove the segment (IX00) A} to (AA)) with respect to the infinite-unit (AAJ), the remaining part (AD * 00)) is equal to the segment itself. Anche qui osserviamo che l'uguaglianza ha luogo in senso relativo e non in senso assoluto (oss. IV, 60). Here too we observe that the equality takes place in a relative sense and not in an absolute sense (oss. IV, 60). Finalmente consideriamo il caso in cui nessuno degli estremi del segmento finito (XY) coincida con un estremo di (AA( ) e in modo che né (AY) né (ZA( ) siano finiti rispetto ad AAV che altrimenti si avrebbe uno o l'altro dei casi precedenti (/i, 82). Dunque (AY) e (XAf J) sono infiniti rispetto ad ). Ma pel secondo caso si ha: e quindi (AA( ) == (AX) + (XY) 4- = [(AX) + (Xjyi + (YA *)) (d, 77) essendo . Oss. III. Osserviamo che non abbiamo fatto uso in questa dimostrazione della seconda parte deirip. IV, e che quindi (AA( )) è un segmento infinito qualunque dato. Def. IL Dire che i segmenti (AA * ), (A' AC0 ) sono uguali rispetto ali9 unità significa che essi sono uguali rispetto alla corrispondenza d'identità fra le parti finite nel campo della scala di questa unità (oss. IV, 60). /. Se ad un segmento (AA) finito si aggiunge un segmento infinito (A'A( ) dello stesso verso si ha lo stesso segmento infinito rispetto all'unità a partire dall'uno o dall'altro estremo A e A' (ge def. II). g". Se viene aggiunto o sottratto ad un segmento infinito (AAC*)) un seg- mento finito (A^AJ1*)) dello stesso verso f il segmento infinito rimane lo stesso rispetto all'unità (AAT) o ad un segmento qualunque finito dato. Cioè (AA(^) = (AAl(00)) Ciò risulta dalla dimostrazione del secondo caso del teor. g (def. II). Che valga poi per ogni segmento finito dato deriva dal fatto che i campi della scala aventi per unità segmenti fra loro finiti sono uguali (def. II, 82, b, 81 e def. II). Oss. IV. Ho detto che i segmenti (AA**)), (A( J A') vanno considerati nel me- desimo verso, perché per il concetto di scala fin qui stabilito ed esteso colle ip. Ili e IV i segmenti vanno considerati nel medesimo verso, i) L'idealista di DU Bois-Reymond (ie pag. 73-74} ammette la proprietà g come postulato. Ma evidentemente essa deve essere dimostrata dalla generazione stessa della grandezza lineare, perché nulla in senso assoluto è trascurabile, per non cadere nella contraddizione notata più volte A è e non è A. Egli l'enuncia in questo modo Due grandenze finite la cui differenza è infinitesima sono uguali . Cosi introduce gli infinitesimi senz' altra definizione. Su ciò ritorneremo in seguito (Vedi la nota n. 93 e U nota n. 96), Finally we consider the case where none of the details of the finite segment (XY) coincides with an endpoint of (AA (), and so that neither (AY) or (Z () are finite compared to AAV, which otherwise would have one or the ' Another of the previous cases (/ i, 82). Therefore (AY) and (XAF J) are infinite with respect to d). but for the second case we have: and then (AA () == (AX) + (XY) 4 - = [(AX) + (Xjyi + (YA *)) (d, 77) being. Oss. III. We observe that we have not used in this demonstration of the second part deirip. IV, and then (AA ()) is a segment infinite any data. Def. THE To say that the segments (AA *), (A 'AC0) are equal with respect ali9 units means that they are equal with respect to the correspondence of identity between the finished parts in the field of the scale of this unit (oss. IV, 60). /. If a segment (AA) is added over a segment infinity (A'A () of the same verse has the same relationship to the infinite segment starting from one or from ' other end of A and A '(g def. II). g. "If you added or subtracted to an infinite segment (AAC *)) a finite segment (A ^ * AJ1)) of the same to the segment f is infinite the same relation to the unit (AAT) or to a segment of any given finished. That is, (AA (^) = (AAI (00)) This results from the demonstration of the second case of the theorem. g (def. II). What is worth then for each finite segment data derives from the fact that the fields of the scale unit having as segments between them are equal finished (final II, 82, b, 81 and final. II). Oss. IV. I said that the segments (AA * *)), (A (J A ') is considered in-desimo to me, because the concept of scale hitherto established and extensive hill ip. Ill and IV segments are considered in the same direction, i) The idealist du Bois-Reymond (i and p. 73-74 g} admits the property as required. But obviously it must be demonstrated by the generation of the same linear size, because nothing in an absolute sense is negligible, not to fall into the contradiction A is noted several times A. He is not the states in this way grandenze Two finite difference is that the infinitesimal are the same. So certainly introduces infinitesimals' other definition. On this return later (See note no. U 93 and footnote. 96 ),
Page 96 Page 9696 h. 96 h. La differenza dì un segmento finito da un altro pure finito se non è nulla è finita rispetto all'unità. The difference in a finite segment from another well done if it is nothing compared to the unit is over. Se la differenza (def. I, 74) fosse infinitesima, sarebbe nulla rispetto al- l'unità (g). If the difference (final I, 74) was infinitesimal, would be nothing with respect to-the unit (g). Non può essere infinita, perché scelto nel maggiore a un segmento a' uguale al minore, a dovrebbe essere infinito rispetto ad a1 (def. II, 82), e quindi deve essere finita (f, 82). Can not be infinite, because selected from the greater to a segment to 'equal to the lesser, should be infinite respect to a1 (final II, 82), and therefore must be finished (f, 82). Oss. Oss. V. V. Distingueremo dunque fin d'ora i segmenti limitati identici in senso assoluto da quelli uguali rispetto ad un' unità di misura. So from now on we will distinguish the segments identical limited in an absolute sense than equal compared to a 'unit of measure. Il confondere un' identità coli' altra conduce a contraddizioni. The mistake a 'identities coli' other leads to contradictions. i. the. Due segmenti infiniti limitati sono uguali rispetto ad un segmento finito dato qualunque. Two segments are the same infinite limited compared to a finite segment as any. Difatti siano aebi due segmenti dati, se sono uguali in senso assoluto a maggior ragione sono uguali in senso relativo (9). In fact aebi are two data segments, if they are equal in the absolute sense a fortiori are equal in a relative sense (9). Sia dunqne ab (lo stesso sarebbe se fosse ) ee un segmento finito. Both dunqne ab (the same would be if it were) ee a finite segment. Colla costruzione della scala di unità e non possiamo confrontare aeb perché non sono nel campo della scala stessa, né sono questo campo essendo limitati (def. Ili, 80 e I, 82) e quindi rispetto alla sola unità possiamo dire soltanto che sono infiniti, che corrispondono cioè allo stesso concetto, e quindi sono uguali (def. VI, 8). By the construction of the scale of unity and we can not compare a and b because they are not in the same scale, nor are the field being limited (def. Ill, 80, and I, 82) and then compared to the single unit can only say that they are infinite, ie that correspond to the same concept, and therefore are equal (def. VI, 8). D'altra parte si ha che aggiungendo ad uno di esso, per es. On the other hand we have that by adding one to it, eg. 6, successi- vamente parti consecutive uguali ae nel verso della scala, queste sono sem- pre nulle rispetto all'unità e (#"), e quindi i segmenti risultanti rispetto ae sono ancora uguali. E anche se si considera più volte il nulla, in base a qual- siasi principio possibile, si ha sempre per risultato il nulla perché dal nulla, cioè dall' assenza di ogni elemento, anche ripetuto più volte, non nasce alcun elemento, sempre s'intende in senso relativo all'unità. Siccome poi i segmenti infiniti rispetto ae sono infiniti rispetto ad ogni altro segmento finito (a1, 82) il teorema è dimostrato. i. Gli elementi all'infinito coincidono in un solo elemento rispetto ad un segmento qualunque finito come unità. J). Def. III. L'elemento che rappresenta tutti gli elementi all'infinito rispetto ad un'unità data nel verso della sua scala a partire da una data origine lo chiameremo elemento limite all'infinito. $' Rispetto all'unità si può sostituire al campo della scala a partire dal- l'origine A il segmento (AA )), essendo A*00) il suo elemento limite all'infinito. Difatti tutti gli altri elementi X dati oltre A( * in (AA * ) sono rispetto all'unità data nel campo della scala, che come sappiamo è illimitato verso A . Il segmento (XA^*)) col crescere di (AX) diminuisce in senso assoluto e tende a diventare finito e quindi nullo rispetto ali' unità (g). E perciò possiamo scrivere anche in questo caso lim. (AX)=(AAW), come è lim. (AX)=C (def. VI, 83), perché (AA( ) e C si comportano ugualmente rispetto al segmento va- ii Non ammettendo l'ipotesi Hi, naturalmente gli elementi ali1 infinito e quindi i segmenti infi- niti non esisterebbero. Ma ammessa quella ipotesi, il campo della scala di un* unità qualunque (AA'}, ad es. di origine A, determina da solo il campo ali1 infinito cui tende il campo finito della scala. Vale adire gli elementi al l'infinito esistono anche rispetto alP unità (AAr) e ali1 origine A. Rimanendo dunque nel campo di una sola unità possiamo considerare gli elementi ali1 infinito nel verso dato come esistenti, e quindi rispetto ad essa coincidenti (i1) 6, success-tively consecutive parts equal to and in the direction of the scale, these are always pre-nil compared to unity and (# "), and then the resulting segments with respect to and are still the same. And even if it is considered most times nothing , based on any principle possible, it has always result because nothing from nothing, that by 'the absence of any element, even repeatedly, does not come any element, always understood in the sense on the unit. Since then countless segments with respect to and are infinitely more than any finite segment (a1, 82) the theorem is proved. i. infinite elements coincide in a single element with respect to any finite segment as a unit. J). Def . III. The element that represents all the elements with respect to an infinite time in the direction of its scale from a given source element will call limit to infinity. $ 'Compared to the unit you can replace the field of the scale from the origin-A, the segment (AA)), where A * 00) limit the element to infinity. In fact all the other elements X data over A (* in (AA *) are compared to ' given in units of the scale, which we know is unlimited towards A. segment (XA ^ *)) with the increase of (AX) decreases in the absolute sense and tends to become finite and therefore null compared wings' units (g). E therefore we can write in this case also lim. (AX) = (AAW), as is lim. (AX) = C (final VI, 83), because (AA () and C behave equally with respect to the segment is-ii Not admitting the hypothesis Hi, of course elements ALI1 infinite and therefore infi-nite segments do not exist. But admitted that hypothesis, the scale of a field of any units * (AA '}, eg. source A, determines only the field which tends ALI1 infinite scale of the finite field. Vale refer to the infinite elements are also compared AlP units (AAR) and ALI1 A. Staying home then in a single unit, we can consider the elements ALI1 infinity in the direction given as existing, and therefore with respect to it coincident (i1)
Page 97 Page 9797 riabile finito (AX), e non considerando fra C e (AAW) alcun'altra differenza si ha C=(AA ) (e, 60, oss. I, 9 e def. VII, 8). Over 97 variable (AX), and not considering between C and (AAW) is unlike any other has C = (AA) (e, 60, pers. I, 9, and def. VII, 8). 86. 86. Def. Def. I. I. Tutti i segmenti tìniti con un segmento dato sono finiti fra loro (g, 82). All segments tìniti with a given segment are finished with each other (g, 82). Li chiameremo segmenti della sfessa specie. We call them segments of sfessa species. Def. Def. II. II. Tutti i segmenti (AAi ) che soddisfano alla seconda parte ìel- l'ipot. All segments (AAI) which satisfy the second part of the ipot-iel. IV li chiameremo segmenti infiniti di 1 ordine rispetto ali'unità (AAJ. I segmenti infiniti di 1 ordine rispetto ad un segmento infinito di 1 or- dine li chiameremo segmenti infiniti di 2 ordine. E in generale un segmento infinito di 1 ordine rispetto ad un segmento infinito di (ml)mo ordine lo chiameremo segmento infinito di ordine m rispetto all'unità (AAI). Oss. I. Per ora m è un numero delle serie (I) (def. II, 46). Def. IH. Se un segmento è infinito di ordine m rispetto ad un altro, questo si chiama infinitesimo d'ordine m rispetto al primo. a. ì) I segmenti detta stessa specie di un segmento infinito di dato ordine sono infiniti del medesimo ordine. IV we shall call them infinite segments of 1 order with respect ali'unità (AAJ. infinite segments of 1 order with respect to a segment of 1 or infinite-dyn we shall call segments infinite order of 2. And in general, a segment of 1 infinite order with respect to an infinite segment (ml) m order we will call the infinite segment of order m with respect to the unit (AAI). Oss. I. For now m is a number of series (I) (def. II, 46). Def. IH . If a segment is infinite of order m with respect to another, this is called infinitesimal of order m with respect to the first. a. ì) The segments that same species of a segment of infinite given order of the same order are infinite. 2). 2). Segmenti infiniti del medesimo ordine sono fìttila medesima specie. Segments of the same order are infinite fìttila same species. Se si tratta di un segmento infinito di 1 ordine rispetto ad (AA^ la prima parte del teorema è un'espressione diversa dei teoremi e, e?, e del n. 85. Ma gli infiniti di m ordine sono per la stessa definizione infiniti di 1 ordine rispetto a un infinito di ordine m 1, dunque vale per essi il teor , 1) e quindi poiché i segmenti della stessa specie di un segmento infinito di m ordine sono di 1 ordine rispetto ai segmenti infiniti d'ordine m 1, essi sono infiniti di m ordine rispetto all'unità (AAj) (def. II). If it is a segment of 1 infinite order with respect to (AA ^ the first part of the theorem is a different expression of the theorems and, and?, And n. 85. But the endless order of m are the same definition for infinite of 1 order with respect to an infinity of order m 1, therefore, applies to them the theor., 1), and then because the segments of the same species of a segment infinite order of m are 1 order with respect to the segments of infinite order m 1, they are infinite order with respect to the unit of m (AAJ) (def. II). Per la 2a parte basta osservare che se uno dei segmenti fosse infinito rispetto ad un altro fra essi, esso non potrebbe soddisfare all'ip. For the second part just observe that if a segment is infinite than another among them, it could not satisfy PI. IV cogli altri rispetto ad un infinito d'ordine immediatamente inferiore. IV compared with the other to an infinite order immediately below. (Vedi anche /*, 85). (See also / *, 85). b. b. Un segmento a infinito di dato ordine rispetto ad un segmento dato o è infinito dello stesso ordine rispetto a tutti i segmenti della specie del seg- mentQ b. A segment of data to infinite order with respect to a given segment is infinite, or of the same order with respect to all segments of the species of the seg-mentQ b. Se si tratta di un segmento a infinito di 1 ordine, ciò è chiaro per il fatto che il segmento infinito di 1 ordine dipende soltanto dal campo della scala di unità be non dal segmento stesso (ip. Ili) perché i campi delle scale che hanno per unità due segmenti tìniti sono uguali (def. II, 82; d, b, 81). If it is a segment of 1 to infinity order, this is clear for the fact that the segment infinite order of 1 only depend on the scale field of units b and not from the same segment (ip. III) because the fields of the stairs that have per unit tìniti two segments are equal (def. II, 82; d, b, 81). Ora ciò avviene anche pei segmenti infiniti di ordine m, perché il campo infinito d'ordine m è determinato dal campo finito di unità b mediante le ip. Now what also happens pei segments of infinite order m, because the infinite field of order m is determined by the finite field units using the ip b. Ili e IV (def. II). Ill and IV (def. II). b'. b '. Tutti i segmenti della stessa specie di UM segmento b infinitesimo di or- dine dato rispetto ad un segmento a, sono infinitesimi dello stesso ordine. All segments of the same species of UM segment b infinitesimal or-dyn with respect to a given segment, are infinitesimal of the same order. Ciò deriva dal teor. This follows from the theorem. b colla def. b final glue. 111. 111. e. and. Se b è un segmento infinitesimo di ordine dato rispetto ad un segmento a, è infinitesimo dello stesso ordine rispetto a tutti i segmenti della specie dì a. If b is a segment infinitesimal of order with respect to a given segment, is infinitesimal of the same order with respect to all segments of the species at day. Perché tutti questi segmenti sono infiniti dello stesso ordine m rispetto al segmento b (a) e quindi b è infinitesimo dello stesso ordine m rispetto ad essi (def. III). Because all of these segments are an infinite number of the same order m with respect to the segment b (a) and then b is infinitesimal of the same order m with respect to them (final III). d. d. I segmenti rispetto ai quali un segmento a è infinito di un ordine dato sono della stessa specie, 7 The segments with respect to which a segment is infinite in a given order are the same species, 7
Page 98 Page 9898 Difatti se uno di essi e fosse infinito rispetto ad un altro di essi , il segmento a non sarebbe infinito dello stesso ordine rispetto ad essi (def. II, e ip. IV). 98 In fact, if one of them and were infinite with respect to another of them, the segment would not be infinite in the same order with respect to them (final II, and ip. IV). d'. d '. Segmenti infinitesimi dello stesso ordine rispetto ad un segmento a sono della stessa specie. Infinitesimal segments of the same order with respect to a segment are of the same species. DifattLa è infinito dello stesso ordine rispetto ai segmenti dati (def. Ili, d) Def. DifattLa is infinite compared to the same order data segments (def. Ill, d) Def. IV. IV. Il campo della scala che ha per unità un segmento infinito (in- finitesimo) d'ordine m rispetto ali1 unità (AA^ lo diremo campo all'infinito (in* finite-nino) d'ordine m rispetto ad (AAJ. Def. V. Il campo della scala di unità (AAj è contenuto in ogni segmento (A AW) di 1 ordine (Z, 82), e quindi lo chiameremo pure infinito di 1 ordine. Così il campo della scala ali'infinito d'ordine m è contenuto in ogni segmento in- finito d'ordine mf 1, e lo chiameremo campo infinito d'ordine m~\-1 ; e quando parleremo d'ora innanzi di segmenti infiniti, se non diremo il contrario, inten- deremo sempre segmenti limitati, come del resto si è già stabilito per gli altri sementi (def. IV, 62). Def. VI. Il campo finito che ha per unità un segmento infinito (infinitesimo) d'ordine m (def. V, 83) lo chiameremo campo infinito (infinitesimo) d'ordine m. Il campo finito rispetto all'unità primitiva (AAJ lo chiameremo anche campo infinito d'ordine zero. Oss. II Anche qui è da osservare, come pel campo finito rispetto ad un'unità (oss. I, 83) che mentre il campo all'infinito d'ordine m è un ente dato che rimane costante nelle nostre considerazioni, il campo infinito d'ordine m è variabile ed è rappresentato da un segmento infinito d'ordine m che diventa più grande di ogni segmento infinito dato dello stesso ordine, e che cresce indefinitamente nel campo all'infinito d'ordine m. Lo diremo indefinitamente grande d'ordine wf-1, senza confonderlo coli'infinitamente grande d'ordine w + 1. e. Il campo infinito o infinitesimo di un dato ordine rispetto ad un seg- mento a è infinito o infinitesimo dello stesso ordine rispetto ad ogni segmento della, stessa specie di a (6, ee def. VI). Def. VII. Per distinguere l'elemento limite all'infinito rispetto ad un segmento infinito di 1 ordine come unità, da quello rispetto all'unità primi- tiva (AAj) (def. Ili, 85) chiameremo il secondo, elemento limite all'infinito di 1 ordine; e il primo, elemento limite all'infinito di 2 ordine. E in generale chiameremo l'elemento limite rispetto ad un segmento in- finito di (ml)wo ordine come unità, elemento limite all'infinito di m ordine rispetto all'unità primitiva. f. L'elemento limite di m ordine rappresenta tutto il campo ali' infinito di m ordine rispetto ad un segmento infinito d'or dine (m 1) come unità (i, , 85). Oss. III. Questa distinzione degli elementi limiti rispetto ali' unità primitiva non significa altro che essi si riferiscono successivamente a segmenti infiniti di ordine diverso considerati come unità, poiché sappiamo già che limitandoci alla sola unità (A AI) abbiamo un solo elemento limite (i' 85). Così è spiegata l'apparente contraddi- zione che mentre al n. 85 abbiamo detto che rispetto all'unità (AAJ vi è un solo elemento limite, qui invece ne abbiamo altri. Così quando diciamo campi infiniti d'ordine dato rispetto ali' unità (AA^ non intendiamo già che questi campi siano distinti rispetto alla sola unità (Ad.!,), perché The field scale units for a segment that has infinite (in-finitesimo) of order m with respect ALI1 units (AA ^ we will say the field to infinity (in finite-nino *) of order m with respect to (AAJ. Def. V. The field of the scale unit (AAJ is contained in each segment (A AW) of 1 order (Z, 82), and then we will call well infinite order of 1. So the field of the scale ali'infinito of order m is contained in each segment in order finite-mf 1, and we will call infinite field of order m ~ \ -1, and when we will hereafter endless segments, unless we say otherwise, always intend deremo segments limited, as indeed it is already established for other seeds (def. IV, 62). Def. VI. The finite field units for a segment that has infinite (infinitesimal) of order m (def. V, 83) the call infinite field (infinitesimal) of order m. the finite field with respect to the unit early (we'll call it even AAJ infinite field of zero order. Oss. II Here it should be noted, as for the field ended with respect to a unit ( obs. I, 83) that while the field infinity of order m is an entity that remains constant given in our considerations, the infinite field of order m is variable and is represented by a segment which becomes infinite of order m greater than infinite because each segment of the same order, and which grows indefinitely in the field of order m to infinity. We'll say indefinitely large order wf-1, but do not confuse coli'infinitamente big order w + 1. and . Field infinite or infinitesimal of order with respect to a given segment a is infinite or infinitesimal of the same order relative to each segment, the same kind of a (6, e and final. VI). Def. VII. To distinguish the 'element limit to infinity with respect to a segment of infinite order as 1 unit, from the relationship to the first-tive (AAJ) (def. Ill, 85) call the second element of the infinite limit of 1 order, and the first element of the infinite limit of 2 order. And in general we will call the element of limitation with respect to a segment of in-finite (ml) wo order as a unit, item limit of infinite order with respect to the unit primitive m. f. element m limit order represents the whole field wings' m infinite order with respect to a segment of infinite or dyn (m 1) as a unit (i, 85). Oss. III. This distinction limits of the elements compared wings 'primal unity does not mean anything but then they refer to different segments of infinite order regarded as a unit, since we already know that limiting ourselves to one unit (A AI) have a single item limit (i' 85). Thus is explained the 'apparent contradiction that while the n-tion. we said that 85 relationship to the (AAJ there is only one item limit, but here we have others. So when we say the infinite fields of order as compared wings' units (AA ^ no already mean that these fields are different than the one unit (Ad.!,), because
Page 99 Page 9999 cadremmo evidentemente in contraddizione (A è e non è -4), ma intendiamo che sono distinti rispetto al principio deli'ip. 99 would fall clearly in contradiction (A is and is not -4), but we intend that are distinct from the principle deli'ip. IV applicato più volte. IV applied multiple times. Possiamo anzi dire: Rispetto all'unità (AA\) non esistendo che un solo elemento limite, per essa sola non esistono i campi infiniti di 2 , 3 ....n ... We can even say: Compared to the unit (AA \) since there is only one element of the limit, it alone does not exist an infinite number of fields 2, 3 .... n ... ordine, che si riferiscono ad altre unità ottenute coll'ip. order, which refer to other units obtained coll'ip. IV. IV. Oss. Oss. IV. IV. Quando dunque parleremo del campo all'infinito rispetto ad un'unità soltanto, dovremo intendere quello di 1 ordine in senso assoluto. So when we discuss the infinite field compared to only one unit, we will mean the order of 1 in an absolute sense. 2. 2. 'Sumeri infiniti e infinitesimi di diversi ordini, loro proprietà e simboli. 'Sumer infinite and infinitesimals of different orders, their properties and symbols. 87. 87. Oss. Oss. I. I. Come ogni elemento di divisione della scala a partire dairorigine rap- presenta un numero della serie (I) 1,2 .... As every element of the scale division from dairorigine repre-sents a number of series (I) 1.2 .... n (o, 6' e ind. 1,80), così il segno ooche serve ad indicare il posto di un elemento nel campo all'infinito (ind. I, 82) rappresenta un nuovo numero dato dall'insieme delle unità corrispondenti ai secondi estremi dei segmenti 1, 2, .,.. No (or 6 'and ind. 1.80), thus the sign ooche used to indicate the place of an element in the infinite (ind. I, 82) represents a new number given by the set of units corresponding to second ends of the segments 1, 2,., .. n .... No .... oo (def. 1,11,45). oo (def. 1,11,45). Le proprietà e relazioni dei numeri definiti in questo modo sono date da quelle dei segmenti che li rappresentano, le quali a loro volta esprimono le proprietà e le relazioni dei segmenti che questi numeri servono a determinare come vedremo in seguito. The properties and relations of the numbers defined in this way are given by those of segments that represent them, which in turn express the properties and relations of the segments that these numbers are used to determine as we shall see later. Def. Def. I. I. Questo nuovo numero lo chiamiamo infinito per distinguerlo dai numeri che rappresentano o possono rappresentare gli elementi del campo della scala, e che si chiamano finiti. This new number we call infinity to distinguish it from the numbers that represent or may represent the elements of the field scale, and are called finite. Per distinguere poi fin d'ora i numeri di (/) dagli altri numeri possibili finiti li chiameremo numeri interi e finiti. To distinguish then from now numbers (/) from other possible numbers finite whole numbers and call them finished. Oss. Oss. II. II. Per indicare che un numero è infinito soltanto, adopereremo come ab- biam fatto il segno oo ; se si tratterà poi di distinguere questi numeri fra di loro come gli elementi che rappresentano, accompagneremo, come si vedrà, il segno oo con altri segni speciali. To indicate that a number is infinite only, will work as ab-a sign that BIAM oo, if you will, then these numbers to distinguish between them as elements representing, accompany, as we shall see, the sign oo with other special characters. Siccome sono possibili altri numeri infiniti (vedi ad es. 3), finché non diremo diversamente intènderemo i nostri numeri infiniti, che sono sempre rappresentati da segmenti limitati da due estremi, e quindi i nostri teoremi sono dati per questi nu- meri soltanto. Since there are other possible infinite numbers (see eg. 3), until we say otherwise shall understand our infinite numbers, which are always represented by segments limited by two extremes, and therefore our theorems are given for these nu-mers only. Dall'oss. OSS. I si ha intanto: a. I is meanwhile has: a. Un numero infinito è maggiore di qualunque numero finito (e, e de- tìn. II, 82). An infinite number is greater than any finite number (and, de-and tin. II, 82). b. b. Fra un numero finito e uno dei nostri numeri infiniti vi sono in senso assoluto altri numeri infiniti (a, 82). Between a finite number and one of our infinite numbers there are in an absolute sense other infinite numbers (a, 82). e. and. Dato un numero qualunque infinito determinato, fra esso ei numeri fi- niti vi è un altro numero infinito tale che il numero che va ad esso sommato per ottenere il dato è pure un numero infinito. Since any number infinite determined, between it and the numbers fi-nite there is another infinite number such that the number that should be added to it to obtain the data is also an infinite number. E inoltre esiste sempre un nu- mero infinito tale che tutti gli altri numeri infiniti compresi fra esso e lo zero sono finiti rispetto al numero dato come unità (oss. II). And also there is always an infinite num-ber that all other infinite numbers of between it and zero are finite with respect to the number given as units (oss. II). In altre parole se il primo numero dell1 ultima parte del teorema è /3, e y il secondo, e si ha: In other words if the first number dell1 last part of the theorem is / 3, and y the second, and has:
Page 100 Page 100100 vi è sempre un numero n tale che Tn ]3 (ip. IV e , 85). 100 there is always a number n such that Tn] 3 (ip. and IV, 85). d. d. Un numero finito è nullo rispetto ad un numero infinito, non però in senso assoluto (def. I e oss. II; #, 85). A finite number is zero compared to an infinite number, but not in an absolute sense (def. I and oss. II #, 85). d1. d1. Se ad un numero a finito si somma un numero infinito jS si ha lo stesso numero j3 rispetto alla imita data ( /, 85). If a number is the sum over an infinite number jS it has the same number with respect to j3 mimics data (/, 85). Cioè d". Se si somma (o si sottrae} un numero finito a ad un numero infinito jS (o da un numero infinito^ il numero risultante è jS rispetto ali' unità data (g" , 85). Vale a dire Oss III L'operazione del sommare s'intende qui nel senso primitivo (def. 1, 72) non già nel senso della def. 1, 77. Non possiamo nemmeno qui parlare di togliere da un nu- mero finito un numero infinito, poiché non abbiamo ancora spiegato il senso di sot- trarre un numero maggiore da un numero minore, come invece lo abbiamo fatto pei segmenti (def. II, 77), il che faremo più tardi. (Vedi n. 113 e 114). e. La differenza di due numeri finiti è un numero finito *se non è nulla rispetto all'unità. In senso assoluto può essere infinitesima (oss. I, def. I, oss. II ; h, 85). f. Due numeri infiniti sono uguali rispetto ad un numero finito (i, 85). Def. II. Il numero oo si chiama numero infinito limile rispetto all'unità 1 (def. Ili, 85). f. Se oc è un numero finito sempre crescente si ha rispetto all'unità. lim#= = oo (f'9 85). se S rappresenta il numero corrispondente a tutta la serie dei numeri naturali (def. II, 46 e def. II, 45). 88. Def. I. I numeri finiti fra loro si chiamano numeri della stessa specie (oss. I, def. I, oss. II, 87 e def. I, 86). Def. IL I numeri corrispondenti ai segmenti infiniti di un dato ordine m si chiamano numeri infiniti di ordine m rispetto ali' unità numerica primitiva (oss. I, def. I, oss. II, 87 e def. II, 86). Def. III. Se un numero è infinito d'ordine m rispetto ad un altro nu- mero, questo si chiama infinitesimo d'ordine m rispetto al primo (def. Ili, 86). a. 1) Numeri della stessa specie di un numero infinito di dato ordine sono infiniti del medesimo ordine. 2) Numeri infiniti dello stesso ordine sono della stessa specie (oss. I, def. I, oss. II, 87 e , 86). D ie. "If we add (or subtract a finite number} to an infinite number jS (or an infinite number ^ jS the resulting number is compared wings 'drive on (g', 85). Namely Oss III The operation of addition is defined here in the primitive sense (def. 1, 72) not in the sense of def. 1, 77. We can not even be here talking to withdraw from a num-ber over an infinite number, since we have not yet explained the sense of sub-draw a larger number by a smaller number, as instead we did pei segments (final II, 77), which will later. (See n. 113 and 114). and. The difference two finite numbers is a finite number * if it is nothing compared to unity. In an absolute sense may be infinitesimal (oss. I, def. I, oss. II h, 85). f. Two infinite numbers are equal with respect to a finite number (i, 85). Def. II. oo The number is called infinite number limile than the unit 1 (def. Ill, 85). f. If c is a finite number is growing all over it ' units. # == lim oo (f'9 85). if S is the number corresponding to the whole series of natural numbers (def. II, 46, and def. II, 45). 88. Def. I. The finite numbers between them are called numbers of the same species (oss. I, def. I, oss. II, 87 and def. I, 86). Def. THE infinite numbers corresponding to the segments of a given order m are called infinite numbers of order m beyond wings' primitive numeric units (oss. I, def. I, oss. II, 87, and def. II, 86). Def. III. If a number is infinite of order m with respect to another num-ber, This is called the infinitesimal of order m with respect to the first (def. Ill, 86). a. 1) Numbers of the same kind of an infinite number of infinite order are given the same order. 2) infinite numbers of the same order are of the same species (oss. I, def. I, oss. II, 87, 86). b. b. Un numero a infinito di un dato ordine rispetto ad un numero b è infi- nito dello stesso ordine rispetto a tutti i numeri della specie di b (oss. I, def. I, oss. II, 87 eb, 86). A number to infinity of a given order with respect to a number b is infi-nite of the same order with respect to all the numbers of the species of b (oss. I, final. I, obs. II, 87 b, 86). b'. b '. Tutti i numeri della stessa specie di un numero b infinitesimo di ordine dato rispetto ad un numero a, sono infinitesimi dello stesso ordine (b', 86). All the numbers of the same species of a number b infinitesimal of order with respect to a given number, are infinitesimal of the same order (b ', 86). e. and. Se b è un numero infinitesimo di ordine dato rispetto ad un numero dato a, è infinitesimo dello stesso ordine rispetto a tutti i numeri della stessa specie di a (oss. I, def. I, oss. II, 87 ee, 86). If b is a number of infinitesimal order given with respect to a given number a, is infinitesimal of the same order with respect to all the numbers of the same species of a (oss. I, final. I, obs. II, 87 ee, 86).
Page 101 Page 101101 d. 101 d. 1 numeri rispetto ai quali un numero a è infinito di un dato ordine sono detta stessa specie (oss. I, def. I, oss. II, 87 ed, 86). 1 numbers with respect to which a number is infinite of a given order that are the same species (oss. I, final. I, obs. II, 87 and, 86). Oss. Oss. I. I. Abbiamo anche pel numeri da distinguere i campi delle scale dei nu- meri infiniti dal campo della scala dell'unità primitiva (def. IV, V, VI e oss. II, 86). We also distinguish PEL numbers from the fields of endless stairs of the nu-mer from the domain of primitive unit scale (def. IV, V, VI and oss. II, 86). e. and. Il campo infinito o infinitesimo di dato ordine rispetto ad un numero a è infinito o infinitesimo rispetto a tutti i numeri della specie di a (oss. I, def. I, oss. II, 87 ee, 86). The field infinite or infinitesimal of order with respect to a given number is infinite or infinitesimal compared to the numbers of species at (oss. I, def. I, oss. II, 87 ee, 86). f. f. Un gruppo illimitato di la specie è infinito. A Group unrestricted species is infinite. Difatti esso si può far corrispondere univocamente e nello stesso ordine alla serie dei segmenti consecutivi di una scala (def. I, 80), il cui campo è pure infinito (def. IV, 82 e 6, 43). In fact it can match uniquely and in the same order to the series of consecutive segments of a scale (final I, 80), whose field is also infinite (final IV, 82 and 6, 43). 89. 89. Ind. L Per distinguere gli elementi dei campi ali' infinito di ordine di- verso useremo segni diversi. The Ind. To distinguish the elements of the wings fields' infinite order-to we will use different signs. Indicheremo col simbolo comune oo1 o anche oo quelli all'infinito di Por- dine. Denoted by the symbol oo common OO1 or even infinite ones of Por-dine. Dato uno di questi elementi A i); gli elementi che si ottengono unendo o togliendo a cominciare da A( i) l'unità primitiva (AAJ li indicheremo coi simboli oo, -f 1, oo, -f 2 .... oo! -fn .... oo, 1, oo, 2 .... ooj n .... Prendendo come unità (AA i)) e costruendo la scala di origine A, indi- cheremo gli elementi di divisione coi segni: ooj . Since one of these elements A i), elements that are obtained by combining or eliminating beginning with A (i) the primitive units (AAJ will denote with the symbols oo, f-1, oo, oo-f 2 .... ! .... fn-oo, 1, oo, 2 .... n .... ooj Taking as units (AA i)) and build the staircase at home, regardless cheremo items with signs of division: ooj. 2, ooj . 2, ooj. 3 .... 3 .... oo1 . OO1. ^ n2. ^ N2. Def. Def. L Diremo che (AA( i)) contiene oo, volte l'unità (AAJ. a. n^ -t- oot n% = ool . n2 ib n^ = ooj . n2 rispetto al numero oo come unità, ove n^ e n2 sono numeri della serie (I) (d, 87). Ind. IL Gli elementi invece del campo all'infinito di 2 ordine li indi- cheremo col simbolo oo2, indicando con oo,2 il prodotto oo^ . oo1 che è rappre- sentato dal secondo estremo del segmento (AA^tì), il quale contiene ao1 volte il segmento (AA t)) (def. I). We say that L (AA (i)) contains oo, times the unit (AAJ. to. ^ N-t-oot% n = ool. Ib n ^ n2 = ooj. N2 compared to the number o or as a unit, where n ^ and n2 are numbers of the series (I) (d, 87). Ind. THE elements instead of the field to infinity of 2-cheremo order them indicated with the symbol oo2, indicating with oo, 2 ^ oo the product. OO1 which is repre-sented by the second endpoint of the segment (AA ^ tì), which contains AO1 times the segment (AA t)) (def. I). Avremo i numeri : ooj2 ib 1, ooj2 rb 2 .... We will have the numbers: ooj2 ib 1, 2 rb ooj2 .... ooj2 ib n .... ooj2 ib n .... oo^ -f- oo13 oo^ ooj dr 1 .... ^ f-oo-oo oo13 ooj dr ^ 1 .... ooj2 db ooj n} ib n2 ..., ooj2 . ooj2 ooj db ib n2 ... n}, ooj2. 2, .... 2, .... ooj2 . ooj2. 3, .... 3, .... oo^ n^ rb ooj n2 dt %, .... oo ^ n ^ rb ooj n2 dt%, .... ove nv n2, n% sono numeri della serie (/). where nv n2, n% are numbers of the series (/). b. b. mx -}- ooj m2 -f- oo,2 m^ = ao^ m% itr oo, n% it n-^ = oo^2 m% rispetto al numero oo^ come imita ; ove wv1? mx -} - ooj m2-f-oo, ao = 2 m ^ ^ m% itr oo, en n% n-^ oo ^ 2 = m ^ oo% compared to the number as mimics, where WV1? m2, w/3, wlf u2 sono numeri della serie (I) (d, SI). m2, w / 3, wlf u2 are numbers of the series (I) (d, SI). Ind. HI. Ind. HI. In generale indicheremo gli elementi del campo all'infinito di ordine m (def. IV, 86) col simbolo oow, e ponendo oo^^.oojzzzooj , avremo in questo campo gli elementi indicati dai numeri: j nì rb n oo, ove n, 1? In general we will denote the elements of the infinite field of order m (def. IV, 86) under the symbol OOW, and putting ^ ^ oo. Oojzzzooj, we will have in this field elements indicated by the numbers: j ni rb oo n, where n , 1? w2, ....,,nm sono numeri della serie (I) en^ n2, ...., nm possono es- sere zero. w2, ....,, nm are numbers of the series (I) n ^ n2, ...., es-nm can be zero. e. and. Si ha : 2 -f- ..... It has: 2-f-..... -I- QOjW-i W -I-i W-QOjW
Page 102 Page 102102 rispetto al numero oo,m come imita; dove m^ w2, *.,., mn, nl9 n21 ..è., mm numeri della serie (1) (d, 87). 102 relative to the number oo, m as mimics; where m ^ w2, *.,., Mn, NL9 n21 .. is., Mm numbers of the series (1) (d, 87). 055. 055. /. /. Il numero infinito limite rispetto ai numeri infiniti di (ml)wo or- dine, ossia il numero infinito limite di m ordine (def. li, 87) è rappresen- tato dal simbolo oo * il quale rispetto a un numero infinito d'ordine (m 1) rappresenta tutti i numeri infiniti d'ordine m (def. II, 87 e /*, 86). The limitation with respect to the infinite number of infinite numbers (ml) or wo-dine, which is the limit of infinite number of order m (def. them, 87) is represented by the symbol oo-tion * which compared to an infinite number of order (m 1) represents all the infinite numbers of order m (final II, 87 and / *, 86). 3 '). 3 '). Numeri transfiniti di Cantor Perché non possono applicarsi al confronto dei segmenti limitati della forma fondamentale. Why Cantor's transfinite numbers can not be applied to the comparison of limited segments of the basic form. 90. 90. Ip. Ip. I. I. Esiste un sistema 2 ad una dimensione nel quale vi è sempre un segmento identico ad un segmento qualunque (AB) in un dato verso, il cui primo estremo è un elemento X qualunque del sistema 2. There is a system 2 to a size in which there is always a segment identical to a segment of any (AB) in a given direction, whose first end is an element X any of the system 2. Oss. Oss. I. I. Non risulta da questa ipotesi che vi sia sempre un altro segmento uguale ad (AB) nel verso del sistema 2 il cui secondo estremo sia X, come ammette la ip. Does not follow from this hypothesis that there is always another segment equal to (AB) 2 system in the direction of the second end which is X, as acknowledged by the ip. II, (def. I, 68). II (final I, 68). Colla ipotesi precedente possiamo costruire una scala (def. I, 80) e possiamo quindi stabilire la seguente ipotesi ; Ip. With the previous assumptions we can construct a scale (def. I, 80) and we can then establish the following hypothesis; Ip. IL II campo di una scala nel sistema 2 (def. Ili, 80) determina un primo elemento fuori di esso nel Terso della scala* Oss. THE II field on a scale in the system 2 (def. Ill, 80) determines a first element out of it in Terso scale * Oss. II. II. Per dimostrare la possibilità di questa ipotesi, in luogo delle due scale complete N e N' della dimostrazione del teor. To demonstrate the feasibility of this hypothesis, instead of two full scales N and N 'the proof of the theorem. 6, 82 senza cioè un primo segmento uguale alP unità primitiva, basta considerare invece che le due scale N e N' siano limitate dalle loro origini, e che r origine di N' sìa pienamente determinata da JV, e sia il solo primo elemento che segue quelli di N. 6, a first segment 82 that is without equal AlP primitive units, rather than just consider the two scales N and N 'are limited by their origins, and that r source of N' is fully determined by JV, and is only the first element follows those of N. Il segmento (AA^) essendo A l'origine fondamentale e A^ l'elemento dell'ipo- tesi rappresenta appunto il campo della scala data. The segment (AA ^) being the origin A key element of the IPO and A ^-theory is precisely the field scale data. Oss. Oss. III. III. Il segno co che indica questo nuovo elemento si chiama pure numero, e come ogni numero n è il numero degli elementi di divisione AlA i....An della scala (def. II, 80), così w è il numero di tutti gli elementi del gruppo A^.... The co sign that indicates this new element is also called number, and as each number n is the number of elements of the division Ala .... An scale (final II, 80), so w is the number of all elements of the group A ^ .... An .... An .... A^ (def. I, II, 45). A ^ (def. I, II, 45). a. a. Il numero eo è maggiore di tutti i numeri interi finiti, ed ogni numero intero minore di w è finito. The number and o is greater than all integers finished, and every integer less than w is finished. Perché il gruppo Alm... Why does not Alm ... A^ contiene tutti i gruppi naturali limitati dai quali derivano i numeri naturali (def. II, 46), e perché un gruppo naturale non può corrispondere univocamente e nel medesimo ordine al gruppo Aì.... A ^ contains all the natural groups which are derived from limited natural numbers (def. II, 46), and because a natural group and may not correspond uniquely to the group in the same order .... A che non è naturale (e", 43; def. 35 e oss. 28). La seconda parte deriva dall'ip. II stessa. Def. IL II numero co si chiama infinito o transfinito di Cantor. 2). 1) Segniamo questo paragrafo con un asterisco perché dei numeri di G. Cantor non facciamo alcun uso nei fondamenti della geometria, né altrove in questa introduzione salvo il confronto coi nostri numeri infiniti, quindi noi abbandoneremo Tip. li; la ip. I è già contenuta nella ip. II, 71. 2) Vedi ad es. Acta Mathematica Voi. 2 pag. 381 e seg. Grundlagen einer allg. Mannigfaltigkeits- lehre, zeits. f. Ph. v. Pichte 1. e., ecc. Cantor definisce però il suo nnmero tì come Segno che rappresenta tutta la serie (I) nella sua What is not natural (and ", 43, def. And 35 obs. 28). The second part derives the ip. II itself. Def. IL The number co is called infinite or transfinite Cantor. 2). 1) we score this section with an asterisk because of the numbers of G. Cantor do not no use in the foundations of geometry, or elsewhere in this introduction unless the comparison with our infinite numbers, then we abandon Tip. them; the ip. I is already contained in ip. II, 71. 2) See, for example. Acta Mathematica Vol 2 p. 381 et seq. Grundlagen einer allg. Mannigfaltigkeits-Lehre, zeits. f. v Ph.. Fichte 1. and., etc.. But Cantor sets its nnmero tì as a sign that represents the entire series (I) in its
Page 103 Page 103103 Oss. Oss 103. IV. IV. La distinzione che vi è tra il nostro numero infinito e il numero w di Cantor è che non vi è nessun primo nostro numero infinito (b. e oss, II, 87), mentre nei numeri infiniti di Cantor co è il primo in senso assoluto; cioè dato uno dei no- stri numeri infiniti determinati, ad es. The distinction there is between our infinite number and the number w of Cantor is that there is no infinite number, our primary (b. and oss, II, 87), while in infinite numbers of co Cantor is the first in an absolute sense , that is, given an infinite number of non-ters determined, for example. : 001, vi sono ad es.: i uumeri OOT n distinti da e !, e compresi fra i numeri finiti e il numero o^ (23 . b. Non si può rappresentare in senso assoluto col numero w un elemento all'infinito del sistema omogeneo. Perché scelto un elemento A^ nel segmento (AA^ ) intinito vi sono sem- pre altri elementi all'infinito che non coincidono con ^tó ad es. tutti gli ele- menti della scala d' origine (A^ e di unità (AA}) del teor. 6, 84. e. Rispetto ad un numero finito come unità il numero oo è il numero w. Difatti rispetto ad un numero finito il numero oo rappresenta tutti i nu- meri all'infinito (#, 87), ed è quindi il primo e anche l'ultimo numero infinito. e'. Il numero co si può chiamare il numero di tutti i numeri interi finiti. Difatti si ha indicando questo numero con S S w ( /', 87 ee). Def. IL II numero di un gruppo ordinato ottenuto coir applicazione delle ipotesi precedenti dipende soltanto dalla corrispondenza univoca e del mede- simo ordine fra gli elementi del gruppo e le unità del numero corrispondente (def. II, 45). {Vedi oss. I, 93). d. Si ha: Difatti i gruppi ^1A2....An...., AnAn+i.... (1) si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine, essendo illimitati di la specie (e, 46; 6?, 39; 6', 43) e quindi si corrispondono anche nello stesso modo A,A2.... An .-A, A successione naturale (Acta Math. p. 385) oppure come il risultato dell'astrazione dell1 insieme dei nu- meri di essa nel loro ordine considerati come elementi (Zeis. f. Phil. Voi. 91, pag. 84). Aggiungendo altre unità collo stesso principio ottiene i suoi numeri eo-hl, con-2........2 td... eco. B col terzo princìpio di formazione separa i suoi numeri transfiniti in classi. La prima classe è data dai numeri della serie (I). La seconda classe è data da quei numeri infiniti tali che il sistema di numeri che precedono nelle serie dei numeri ottenuti uno qualunque della classe a partire da 1, corrisponde univocamente alla serie (i), o, come dice cantar^ che è della stessa potenza di fi). : 001, there are, for example.: No distinct from the uumeri OOT and!, And understood between the finite numbers and the number o ^ (23. B. Can not be represented in an absolute sense with an infinite number of w homogeneous system. Why choose an item in the segment A ^ (AA ^) intinito there are always other factors pre-infinity that do not coincide with ^ tó eg. all elements of the scale of 'origin (A ^ and units (AA}) of the theorem. 6, 84. and. Compared to a finite number as the unit number is the number w oo. fact with respect to a finite number oo represents infinity all the nu-mer (#, 87), and is therefore the first and the last infinite number. and '. co number you can call the number of all finite integers. In fact giving you this number with SS w (/', 87 ee) . Def. IL The number of an ordered group coir obtained applying the above assumptions depends only on the unique match and beacons-th order among the elements of the group and the corresponding number of units (def. II, 45). See {oss. I, 93). d. You have: In fact the groups .... An .... ^ 1A2, Anan + i .... (1) correspond uniquely and in the same order, the species being unlimited (and , 46; 6?, 39; 6 ', 43) and therefore correspond also in the same manner A, A2 .... An.-A, A natural succession (Acta Math. p. 385) or as the result of' abstraction dell1 set of nu-it merely considered as elements in their order (f Zeis.. Phil. Vol 91, p. 84). adding other units with the same principle gets its numbers hl eo-with-2 .. td ...... 2 ... echo. B with the third principle in training between his transfinite numbers in classes. The first class is given by the numbers of the series (I). The second class is given by these infinite numbers such that the system of the above numbers in the series of numbers obtained by any one of the class from 1, corresponds univocally to the series (i), or, as sing ^ that is of the same power fi). Dimo- stra che la classe (II) non ha la stessa potenza della fi) ed ha la potenza Immediatamenle superiore. Dimo-strategic that the class (II) does not have the same power of the fi) and has the power Immediatamenle higher. Il sistema dei numeri che precedono un numero della terza classe a partire da i è d'ugual potenza della seconda classe, e cosi via. The system of numbers that precede a number of the third class from i is of equal power of the second class, and so on. Ma l'ipotesi da noi qui data è data pure da cantar, laddove dice (Zeits. f. Phil. v. Pichte, 91 fase. 1, pag. 97) : Denken wir uns aber statt der endlichen Linien AB in derselben Richtung und mit demselben Anfangspunkte eine act. But the hypothesis to date has given us here to sing well, where it says (Zeits. f. Phil. V. Fichte, 91 phase. 1, p. 97): Denken aber wir uns statt der endlichen Linien AB derselben Richtung und mit eine demselben Anfangspunkte act. unendliche Linie AO, die ihren ziehl- punkt O in Unendiichen hat, ecc. unendliche Linie AO, die ihren Ziehl-punkt O Unendiichen hat, etc.. ; e poi : Da die gedachte act. And then: From day gedachte act. unendl. unendl. Gerade AO, ihrer Gròsse nach, der von m ir mit to bezeichneten kleinsten transfinite!! Gerade AO, Grosse nach Ihrer, von der m ir mit to bezeichneten kleinsten transfinite! Ordnungszahl entspricht, ecc. Ordnungszahl entspricht, etc.. Gli elementi della serie NN\ essendo N e tf limitate dalle loro origini, come quelli di tutta la se- rie dei numeri transfiniti di Cantor, soddisfano anche essi ai primi otto assiomi del sig. The elements of the series NN \ N and tf being limited by their origins, like those of the whole se-ries of Cantor's transfinite numbers, they also satisfy the first eight axioms of Mr. Peano (vedi nota 1, 82) ; per la serie suddetta non vale però il principio della dimostrazione da na nH-l. Peano (see note 1, 82); for the series that is not true, however, the principle of proof by the na-nH. Per esclu- dere la possibilità della serie suddetta o della serie dei numeri di Cantor basterebbe aggiungere alle otto proprietà suddette un' altra proprietà, e cioè che se a è un numero qualunque della serie,o 1 è pure un numero diverso da a. To exclude the possibility that the series or of the series of numbers Cantor would be sufficient to add to the eight above properties an 'other property, namely that if a is any number in the series, or 1 is also a number other than a. Da ciò è chiaro che colle otto proprietà date da Peano, vi sono diverse possibilità : la serie Ntf in cui N e N* sono limitate da un elemento, ed N' è la prima serie dopo 2VT; senza cioè che fra N e tf vi siano altre serie identiche a IV e N1, come pure vi è la possibilità che fra N es* vi siano invece al- tre serie identiche a N1 ; poi ta nostra che N' non abbia un primo elemento e fratf e N* vi siano altre serie N' assoggettate all'ipotesi IV come in lo....1) vi sono infiniti altri numeri. From this it is clear that the hill eight properties given by Peano, there are several possibilities: the series Ntf where N and N * are limited to one element, and N 'is the first series after 2VT, ie without including N and tf there other series are identical to IV and N1, as well there is the possibility that between N * eg there are instead to the three series-identical to N1; then ta our that N 'has a first element and fratf and N * there are other N series' subject hypothesis as the IV .... 1) there are infinite numbers. Scelto uno di questi sistemi naturalmente non sono possibili con esso gli altri. Selected one of these systems are of course not possible with it the other. Ma ciò non significa che se uno è possibile, gli altri siano in sé falsi. But that does not mean that if one is possible, others are false in itself.
Page 104 Page 104104 rappresentando il numero tà con un grappo illimitato dì là specie avente per primo elemento limite un altro elemento A w, come abbiamo supposto (ip. II). Ty with the number 104 represents a species having Grappo unlimited day beyond the first element to another element w limitation, as we assumed (ip. II). Ai due di gruppi di (1) corrisponde dunque lo stesso numero co (def. II). The two groups of (1) thus corresponds to the same number co (def. II). Ma in senso assoluto il primo si ottiene dal secondo coll'aggiunta degli elementi A^.... But in an absolute sense you get from the first second the adding of the elements A ^ .... An , dunque si ha : n -f- = co. An, then we have: n =-f-co. Invece i due gruppi Aj^lg.... Instead, the two groups Aj ^ lg .... An ....,, A2A3.... An ....,, A2A3 .... A} oppure secondo la nostra ipotesi A,A2.... A} or according to our hypothesis A, A2 .... AW, A2A3....AfdAl non possono corrispondersi univocamente e nel medesimo ordine, perché fatto corrispondere ad Aì nel secondo gruppo l'elemento A2, ad A2, A3, e cosi via; ad Al nel secondo gruppo non corrisponde alcun elemento nel primo, e quindi si ha: Oss. AW, A2A3 .... Afdal mating can not be uniquely and in the same order, because it is made to correspond to AI in the second group the element A2, to A2, A3, and so on; to Al in the second group does not match any item in the first , and then we have: to Oss. V. V. In senso assoluto i nostri numeri wf o^ e oo^hw sono distinti dal nu- mero e ! In an absolute sense our numbers and wf o ^ oo ^ hw are distinct from mere nu-e! ma sono gli stessi rispetto all'unità 1 (o ad un numero finito come ujaità), come rispetto all'unità corrispondente al gruppo rappresentante il numero QO (de rf, 87). but are the same relation to the unit 1 (or to a finite number as ujaità), as compared to the unit corresponding to the group representing the number QO (de rf, 87). Oss. Oss. VI. VI. Un' operazione eseguita col numero co equivale ad un' operazione ese- guita successivamente con tutti i numeri delia serie (I) nel suo ordine naturale (ind. Ili, 47). A 'co operation performed with the number equates to a' task per-formed later with all the numbers Delia series (I) in its natural order (ind. Ill, 47). e. and. Non m è un primo segmento infinito di ordine co ; né vi è un campo di segmenti limitati, ad es.: (AA^i10)), di ordine co, se deve esistere un elemento X tale che (AX) e (XA( iw)) siano finiti rispetto ad (AA^i^)\ma si può applicare ripot. M is not a first segment of infinite order co; nor is there a limited field of segments, eg.: (AA ^ i10)), co-order, if there must be an element X such that (AX) and (XA ( iw)) are finite with respect to (AA ^ i ^) \ but you can apply ripot. IV dì determinazione dei segmenti infiniti nella forma fondamentale un numero infinito della nostra serie. IV daily determination of segments in infinite fundamental form an infinite number of our series. Se fosse (AA( W) ) il primo segmento d'ordine co rispetto all'unità (AAT),ogni segmento (AX) di (AA( *(d ) sarebbe infinito d'ordine finito, perché (AA***0) ) è determinato dalla serie dei campi infiniti d'ordine finito, e quindi ogni ele- mento X determinato di (AAf00^ ) cadrebbe in uno di questi campi, essendo A( w) il primo elemento in senso assoluto all'infinito di ordine co. Ma nel segmento (AA(oottì ) possiamo considerare un segmento (A*0010 ) Aì ( W)) = (A1A) (def. I, 68 e 6, 69) in modo che A^00 * è un elemento distinto da A^ w in senso assoluto; e per la proprietà dell'elemento X, (AA^^Jdeve essere infinito d'ordine finito rispetto all'unità (AAj). Siccome (AA( W ) è contenuto, ad es. nel segmento (AA/00*^). 2 il quale è finito rispetto ad (AA/00*0)) (def. II, i, 82) e quindi è infinito dello stesso ordine rispetto ad (AAj) (def. IV, a, 86), così (AA W) è pure infinito dello stesso ordine, non po- tendo essere né di ordine superiore né inferiore (def. II, 82), contro l'ipotesi. Supposto ora che vi sia un campo di elementi tali che preso uno di essi ad es. A^i10), (AA{ iw)) sia infinito d'ordine , e costruiti i campi infiniti d'or- dine finito intorno a questo elemento i cui elementi saranno espressi dai mi- meri Gol ^ ìmnl- m~ìn2- ....' If it were (AA (W)) the first segment of order with respect to the unit co (AAT), each segment (AX) of (AA (* (d) would be infinite of finite order, because (AA 0 *** )) is determined by the number of infinite fields of finite order, and every ele-ment of X given (AAf00 ^) would fall into one of these fields, since A (w) the first element in an absolute sense of infinite order co. But in the segment (AA (oottì) we can consider a segment (A * 0010) AI (W)) = (A1A) (def. I, 68 and 6, 69) so that A ^ 00 * is a discrete element A ^ w in an absolute sense, and for the properties of the element X, (AA ^ ^ Jdeve infinite being of finite order with respect to the unit (AAJ). Since (AA (W) is contained, eg. in the segment (AA/00 * ^). 2 which is finished with respect to (AA/00 * 0)) (final II, i, 82) is infinite, and then the same order with respect to (AAJ) (def. IV, , 86), so (W AA) is also infinite of the same order, while non-tend to be either lower or higher order (def. II, 82), against the hypothesis. Suppose now that there is a field of elements such who took one of them eg. A ^ i10), (AA {iw)) is infinite order, and made the fields of infinite or finite-dine around this element whose elements will be expressed by mere me-Goals ìmnl ^-m ~-in2 .... ' :nm+i, l'elemento X dovrebbe essere com- : Nm + i, the element X should be com-
Page 105 Page 105105 preso fra i campi d* ordine finito ei campi oo^ xf* n^ oo^-1^ .... 105 taken from the fields and fields of finite order * xf * ^ oo ^ oo ^ n ^ -1 .... nm+\, qualunque sia m, e quindi (AX) e (XA^i ) dovrebbero essere di un ordine infinito che non può essere per ipotesi w, né wn essendo wn = , per- ché X non appartiene al suddetto campo intorno ad A^i10); né può essere di un ordine inferiore ao perché sarebbe di ordine finito contro il dato. nm + \, whatever m, and then (AX) and (XA ^ i) should be of an order infinite that can not be assumed to w, nor wn being wn =, for-because X does not belong to the said field around A ^ i10), or can be of a lower order or of finite order because it would be against the data. Il teo- rema è dunque dimostrato nelle sue due prime parti. The theo-rows is then shown in its first two parts. Per dimostrarlo nella 3a parte si osservi che in un segmento (AA*00'001) ) si può sempre scegliere un elemento X tale che (AX) e (XA(c"lt*1) ) siano finiti rispetto ad (AA( i 1}) per la proprietà stessa del numero oo1? perché il segmento (AA^i*1) ) è infinito di 1 ordine rispetto al segmento (AA*00!001" J ) e i segmenti infiniti di 1 ordine rispetto ad un dato soddisfano ali' ipotesi IV (def. II, 86). To prove the third part, observe that in a segment (AA * 00'001)) you can always choose an element X such that (AX) and (XA (c "l * 1)) are finite with respect to (AA (i 1}) for the property of the same number OO1? because the segment (AA ^ i * 1)) is infinite than 1 order with respect to the segment (AA * 00! 001 "J) and the segments of 1 infinite order with respect to a given meet Wings' fourth hypothesis (def. II, 86). Osa. Osa. VII. VII. Applicare l'ipotesiIV annumero o^ di volte è l'operazione che si e- seguisce per ottenere da (AA{) l'unità (AAC*1 )). Apply ipotesiIV annumero o ^ times is the operation that you e-seguisce to get from ({AA) unit (AAC * 1)). Essa ha dunque un senso deter- minato 1). It therefore makes sense given training 1). l) G. l) G. Cantar (Zeit. fiir. Ph.9l fas. I p. 112,od anche zur Lehre vou Transflniten. Halle 1890) da un teo- rema sull1 impossibilità della grandezza lineare infinitesima attuale che ha per immagine un segmento rettilineo continuo limitato, basando la dimostrazione sui suoi numeri transfiniti; e ritenendo vero in generale il suo teorema dimostra l'assioma V d'Archimede per i segmenti rettilinei (nota n. Si), il quale significa secondo la nostra def. Cantor (Zeit. fur. Ph.9l fas. P. 112, or even zur Lehre vou Transflniten. Halle 1890) by Theo-rema sull1 impossibility of infinitesimal linear size for the current image that has a continuous line segment limited, basing demonstration on his transfinite numbers, and true belief in general his theorem proves the axiom of Archimedes V for straight line segments (note no. Si), which means according to our def. 11,82 e il teor. 11.82 and the theorem. ,8l che sono finiti o della stessa specie (def. 1,86). , 8l that are finished or the same species (def. 1.86). Sebbene non dia la dimostrazione completa egli parte, pare, dal concetto che ogni grandezza lineare che è infinita debba essere rappresentata da uno dei suoi numeri transfiniti, e quindi dice che per certi teoremi su questi numeri sì può dimostrare che se esistesse una grandezza infinitesima la grandezza ?v qualunque sia y fra i suoi numeri transfiniti, rimarrebbe sempre più piccola di ogni grandezza finita, e che perciò non può diventare finita qualunque sìa v; e applica questa dimostrazione alla retta, ora, la retta, ha tutte le proprietà del sistema omogeneo nel campo dell'unità lineare sensibile, anzi fu il continuo intuitivo rettilineo (55) che ci guidò a stabilire la definizione del sistema omogeneo (68) e del sistema identico nella posizione delle sue parti (70) indipendentemente però dal concetto di sca- la (def. I, 80). Although he does not give the complete proof, it seems, from the concept that every linear magnitude which is infinite should be represented by one of his transfinite numbers, and then says that for certain theorems on these numbers, so it can be shown that if there were an infinitesimal size of the greatness? v y whatever between his transfinite numbers, would still be smaller than any finite magnitude, and therefore can not get over whatever v, and applies this demonstration of right now the line has all the properties of the system homogeneous in the field of the linear unit sensitive and indeed was the continuous intuitive straight (55) which led us to establish the definition of the homogeneous system (68) and the system is identical to the position of its parts (70) but independently from the concept of sca- the (final I, 80). Ora ammettendo 1' infinito attuale sulla retta la prima ipotesi che si presenta è quella che essa conservi la sua omogeneità anche all'infinito, e che quindi i suoi punti ali'infinito siano assoggettati alla definizione del .sistema omogeneo, indipendentemente, come dissi, dal concetto di finito e di infinito che deriva da quello di scala. Now assuming 1 'actual infinity on the line the first suggestion that presents itself is that it retains its consistency even indefinitely, and that therefore their points ali'infinito are subject to definition. Homogeneous system, regardless, as I said, the concept of finite and infinite which is derived from that scale. In questo caso abbiamo sopra dimostrato ( ef) che i suoi punti all'infinito non si lasciano rappresentare dai numeri transfiniti di cantar e si devono rappre- sentare invece coi nostri numeri infiniti. In this case we have shown above (f) that its points at infinity do not allow themselves to be the transfinite numbers to sing, and must be as representative of our hand with infinite numbers. Coir ipotesi invece di cantar che i punti all'infinito della retta siano rappresentati dai numeri o , * -f-1 ecc., che perle considerazioni sopra svoite ritiene ne- cessaria quando si ammette l'infinito attuale (vedi anche Zeits. ftìr Phis. 1. e. fase. 1, ove confuta le ragioni del prof. Guteberlet contro l'infinito limitato, e la nostra nota 2 n. 82 e pref.) la retta non mantiene nei punti ali' infinito la sua omogeneità e intorno ai punti all'infinito non possono essere quindi conservate le proprietà che derivano dall'esperienza. Coir hypotheses instead of singing which the points at infinity of the line are represented by numbers or, *-f-1 etc.., Pearls above considerations that it believes svoite-cessaria when we admit the actual infinite (see also Zeits. FTIR Phis . 1. and. phase. 1, which refutes the reasons prof. Guteberlet limited against the infinite, and our note No 2. 82 and pref.) does not hold the line in points wings' infinite its homogeneity and around points at infinity so can not be preserved properties that are derived from experience. Il sig. Mr. cantar (1. e.) dice: Nun ist der Gedankengang jener Autoren (O Stolz e DU Bois-Beymond) dass weun man dieses vermeinitliche Axiom (quello di Archimede) fallen liesse, daraus eia Recht auf actual unendlichkleine Gròssen, welche dort Momento genannt werden, hervorgehen wtlrde. sing (1. and.) says: Nun ist der Gedankengang jener Autoren (W Stolz and DU Bois-Beymond) weun dass man dieses vermeinitliche Axiom (to Archimedes) fallen jubilation, daraus eia Recht auf actual unendlichkleine Grossen, welche dort Moment genannt werden, hervorgehen wtlrde. Aber aus dem oben von mir angefuhrten Satze folgt, wenri er auf geradlinige stetìge strecKen an- genwandt wird unmittelbar die Nothwendgkeit der Euclidischen Annahme (Euclide lib. V, def. 4). Aber von mir aus dem oben angefuhrten Sätze folgt, wenri er auf geradlinige stetìge Strecken an-der Nothwendgkeit genwandt wird die unmittelbar Euclidischen Annahme (Euclid, lib. V, def. 4). Il signor o. Mr. and. Stolz ha invece dimostrato che per le sue grandezze infinitesime o quelle infinite e infi- nitesime del DU Bois-Reymond non vale il suddetto teorema di Cantar (Matti. Annalen XXXI). Stolz has instead shown that for its infinitesimal quantities or those endless and infi-nitesime DU Bois-Reymond does not apply the above theorem Cantor (Annalen Matti. XXXI). Ma lo Stolz soggiunge aver dimostrato con la definizione del continuo analoga a quella di Dedettnd che tutti! But the Stolz adds have demonstrated with the definition of the continuous similar to that of Dedettnd that all! segmenti rettilinei soddisfano alla proprietà suddetta di Archimede (iep 608. Math. Annalen voi. XXII e Vorles. u. Allg. Arith. voi. I pag. 69-83). straight line segments that meet the ownership of Archimedes (iep 608. Math. Annalen you. XXII and Vorles. u. Allg. Arith. you. I p. 69-83). Se come pare poi il sig. Then it seems as if Mr. Cantar intende che le grandezze lineari che considera siano continue e unter dem Bilde begrenzter geradliniger stetiger Stre- ken sich vorstellen lassen ripetiamo l'osservazione fatta in una recente nostra Memoria (II conti- nuo rettilineo e l'assioma V d' Archimede Atti della R. Acc. dei Lincei 1890) che nelle definizioni date da altri del continuo ordinario, è contenuto implicitamente l'assioma suddetto, del che è pure conve- nuto il sig. Cantor means that the linear sizes that are considered continuous and unter dem Bilde begrenzter geradliniger stetiger Stre-ken vorstellen lassen sich repeat the observation made in our recent memory (II continual straight and the axiom V Archimedes' Acts of the R . Acc Lincei 1890) that the definitions given by others of ordinary continuous, it is implicitly contained the axiom that, which is also the defendant Mr. Stolz, In tal caso non occorre dunque ricorrere ai numeri transfiniti per dimostrare la impossibilità della grandezza infinitesima, perché essa è esclusa a priori come avviene ad es. Stolz, In such a case is not therefore necessary to resort to transfinite numbers to demonstrate the impossibility of infinitesimal size, because it is excluded a priori as is the case eg. colla definizione del continuo data dal sig. with the definition of the continuum given by Mr. cantar stesso. sing the same. (Vedi anche Stolz Math. Ann. XXII, nota pag. 508). (See also Stolz Math. Ann. XXII, bottom of p. 508). (Vedi 3 nota n. 96). (See footnote 3. 96).
Page 106 Page 106106 4. 106 4. Altra ipotesi(7) di costruzione dei segmenti della forma, fondamen- tale - Segmenti e numeri infiniti d'ordine infinito Segmenti multipli e summultipli secondo un numero infinito Infinito, finito e unita assoluti Unità fondamentale. Another hypothesis (7) construction of segments of the form, the fundamental - Segments and infinite number of infinite order and summultipli multiple segments according to an infinite number infinite, finite and fundamental unit absolute units. 91. 91. Oss. Oss. I. I. Al n. At n. precedente abbiamo visto che si può applicare l'ipotesi IV un numero di volte infinito appartenente alla serie già considerata dei numeri infiniti di ordine ra, essendo n un numero qualunque della serie (I) (e, 90, ind. Ili 89). previous we have seen that can be applied to the hypothesis IV an infinite number of times belonging to the series already considered of infinite numbers of order ra, n being any number of the series (I) (and, 90, ind. Ill 89). Ma non possiamo escludere che vi siano altri mezzi di determinazione di un segmento infi- nito senza venir meno alla definizione del sistema omogeneo, dell'ip. But we can not exclude that there are other means of determining an infi-nite segment without abandoning the definition of the homogeneous system, ip. IV e delle proprietà che da esse derivano. IV and properties derived from them. La prima parte dell'ipotesi IV ci dice soltanto che dato un segmento infinito qualunque (AA( *)) vi deve essere un elemento X (e quindi anche infiniti altri), tale che (AX) e (XA( *)) sono pure infiniti, ma non quale sia il modo di determinazione del segmento (XAW) rispetto al segmento (AAJ. Noi sta- biliamo quindi l'ipotesi seguente: Ip. V. Ogni segmento infinito che non sia già d'ordine fi- nito m si ottiene applicando il principio dell' ip. IV un numero di Tolte infinito già ottenuto o un numero di Tolte infinito che si deduce dai nuoTi segmenti cosi costruiti. a. V ipotesi V è indipendente dalle precedenti. Che sia indipendente è chiaro perché da esse non deriva che esistano segmenti (AAC*)) che soddisfano all'ipotesi V, né deriva che non possano esi- stere tali segmenti (oss. I). The first part of the hypothesis IV tells us is that given any infinite segment (AA (*)) there must be an element of X (and hence infinitely many others), such that (AX) and (XA (*)) are also infinite, but what is the method of determining segment (XAW) compared to the segment (-biliamo AAJ. We are therefore the following hypothesis: Ip. V. Each segment that has not already infinite order is fi-nite m obtained by applying the principle of 'ip. IV an infinite number of Tolte already obtained or an infinite number of Tolte be deduced from the swim segment so constructed. a. V V is independent of the previous assumptions. What is clear is independent because they do not follows that there are segments (AAC *)) that satisfy the hypothesis V, not derived that they can not existing polyester these segments (oss. I). L'ipotesi V esclude l'esistenza di segmenti (AA(* ) che non si ottengano mediante l'applicazione ripetuta dell'ip. IV stessa sia pei segmenti sia pei numeri infiniti che risultano deducendo successivamente gli uni dagli altri. Def. I. Chiameremo l'ip. V ipotesi di costruzione dei segmenti infiniti della forma fondamentale. Def. IL I segmenti infiniti di ordine ootw a partire dall'origine A costi- tuiscono un campo che chiameremo campo all'infinito di ordine oo,m rispetto all'unità (AAJ. L'unità (AAX) è infinitesima d'ordine oo/ rispetto ad un seg- mento infinito d'ordine cc^. E il campo finito che ha per unità un segmento infinito d'ordine OD, lo chiameremo campo infinito d'ordine oo, . b. I segmenti infiniti di un dato ordine sono nulli rispetto ai segmenti in- finiti d'ordine superiore. Difatti essi sono trascurabili rispetto ai segmenti di ordine immediata- mente superiore (g, 85). Anche Cantar ha considerato dei numeri infiniti tali che se a è uno di questi numeri a +1= a e che chiama Cardinalzahlen (vedi la nostra 2 nota n. 48). Egli però li definisce indipendentemente dall'ordine in cui si contano gli elementi, mentre per noi questa proprietà è conseguenza della pro- prietà dei segmenti stessi o dei gruppi dai quali i nostri numeri derivano, i quali sono differenti, come meglio si vedrà in seguito, dai Cardinalzahlen o potenze (Màchtigkeiten) di cantar. The hypothesis V exclude the existence of segments (AA (*) which are obtained by the repeated application ip. IV itself and pei pei segments is infinite numbers which are then deducting from each other. Def. I. We will call the ip. V hypothesis construction of segments of infinite fundamental form. Def. THE infinite order ootw segments from the origin to make up an area which we call the infinite field of order oo, with respect to m ' units (AAJ. unit (AAX) is infinitesimal of order oo / with respect to a segment of infinite order cc ^. And the finite field that has to drive a segment OD infinite order, we will call infinite field order oo. b. infinite segments of a given order are invalid in respect to the segments in-finite higher order. In fact, they are negligible compared to the segments of higher order immediately (g, 85). Cantor has also considered to be of infinite numbers such that if a is a local number to which calls Cardinalzahlen +1 = e (see our footnote 2. 48). But he calls them regardless of the order in which you count the elements, while for us this property is a consequence of the pro-properties of the segments themselves or groups from which our numbers are derived, which are different, as will be seen below, by Cardinalzahlen or powers (Màchtigkeiten) to sing.
Page 107 Page 107107 6*. 107 6 *. / segmenti infinitesimi sono trascurabili rispettò ai segmenti infinite- simi d'ordine inferiore, finiti e infiniti (6, def. Ili, 86; g, 85). / Infinitesimal segments are negligible compared to the segments of simi-infinite lower order, finite and infinite (6, def. Ill, 86 g, 85). Def. Def. III. III. Così l'elemento limite del campo infinito d'ordine oo^ lo chia- meremo elemento limite all'infinito d'ordine oo^^B rispetto all'unità (AAJ. Def. IV. I numeri corrispondenti agli elementi del campo infinito d'or- dine oo^ li chiamiamo infiniti d'ordine oo,* , e li indichiamo col simbolo oo001 ; di modo che abbiamo in questo campo i numeri: oot*im rfc 1, oo "it 2 .... ooj00! d: n .... Oss. li. L'infinito ii . o^ ! è di ordineaojW-4-oojtn-i. Oss. III. Così otteniamo in base all'ipotesi IV i segmenti infiniti di ordine o !06! , un campo all'infinito e infinito dello stesso ordine e un elemento limite ci' ordine * i im +1. Per conseguenza anche dei numeri infiniti dello stesso ordine, il cui campo sarà indicato coi simbolo oo !001 . E così via illimitatamente (def. II, 32). Ind. L Indicheremo con lettere greche TJ, pi, v ecc. i numeri infiniti e fi- niti, con lettere latine i numeri finiti. Un numero infinito d'ordine 13 lo indi- cheremo col simbolo oo^ , e in tal caso afl non rappresenta un solo numero ma definisce un campo determinato di numeri. Quando parleremo però di un numero 17 determinato intenderemo un nu- mero determinato in senso assoluto della classe dei numeri O, 1, 2, .... n, .... oo, 1, ooI? oot-r- 1 .... oo^ 1, OOT , oo^-f 1 .... (II) ....00I001W - 1, c^-r , 00^ 4- 1 .... OD "I OO ^ OD "^ ....00^1 1 1, 00^! 1 , 00t*l 1 -f .... 1 Ind. II. Ogni numero di questa classe si può esprimere col simbolo n, ... . dr ove % w2, ...., nfJL+l sono numeri qualunque dati della classe (/) (46), che pos- sono essere tutti o in parte =o; p è un numero di (I) o uno dei numeri in- finiti di (II) ottenuti precedentemente dallo stesso simbolo Z. Def. V. Per distinguere questi numeri da altri, tranne lo zero, li chiame- remo numeri interi. Oss. IV. Osserviamo che come nella scala dei numeri finiti è scelta l'origine A come rappresentante del numero o, così deve essere scelto un elemento determinato -4( i) come rappresentante il numero ^ nel campo all'infinito di 1 ordine, e così per ogni campo all'infinito, di modo che abbiamo si può dire tante origini quanti sono i campi airinflnito. È da osservare che quale origine nel campo ad es. all'infinito di 1 ordine può essere scelto ogni elemento di questo campo, e quindi come rap- presentante il numero 00^ non però un altro elemento di un altro campo all'infinito, ma fissato che sia rimane sempre lo stesso. È inoltre necessario osservare, come noi supporremo, che date le origini agli altri elementi corrispondono numeri determinati della classe (li) o altri numeri da determinarsi, e che quindi nel confronto dei seg- menti bisogna supporre già date le scale e le origini. (Vedi n. 103). So the item limit of infinite field of order-oo ^ called him meremo element limit to infinity of order oo ^ ^ B than unity (AAJ. Def. IV. Numbers corresponding to the elements of the infinite field of ' or dine-oo ^ oo we call them infinite order, *, and denote them by the symbol oo001, so we have the numbers in this field: * oot im rfc 1, oo "it 2 .... ooj00! d: No .... Oss. them. Infinity ii. or ^! is ordineaojW-4-i-oojtn. Oss. III. So we get on the assumption IV segments of infinite order or! 06!, a infinity and infinite field of the same order and an item limit there 's order * im +1. For thus also of infinite numbers of the same order, in which the field will be indicated with the symbol oo! 001. And so on indefinitely (def. II, 32). Ind. The Greek letters denote by TJ, pi, v etc.. infinitely large and fi-nite, with Latin letters, numbers over. An infinite number of order 13 is indicated by the symbol oo ^-cheremo, and in that case afl does not represent a single number but defines a given range of numbers. When, however, we will speak of a determined number 17 shall understand a nu-mer determined in an absolute sense of the class of the numbers O, 1, 2, .... n , .... oo, 1, Ooi? oot-oo ^ r-1 .... 1, OOT, oo ^ f-1 .... (II) .... 00I001W - 1, c ^ r- , 00 ^ 4 to 1 OD .... "The OD OO ^" ^ ^ 1 1 1 .... 00, 00 ^, 1, 1-00t * l f ind .... 1 II. Each issue of this class can be expressed by the symbol n, where% w2 dr ...., ...., + l are integers nfJL any class data (/) (46), which may have to be all or part of = or, p is a number of (I) or one of the numbers in-finished products of (II) obtained previously by the same symbol Z. Def. V. To distinguish these from other numbers, except zero, exclaimest them oar-integers. Oss. IV. We observe that as the scale of numbers is finite at the origin chosen as a representative of the number either, so must be chosen a factor determined -4 (i) to represent the number of 1 ^ infinity in order and so for each field to infinity, so that we can say many origins as there are fields airinflnito. It should be noted that as a source in the field eg. infinity of order 1 may be chosen every element of this field, and then as a repre-sentative the 00 ^ not, however, another element from another field to infinity, but fixed it remains the same. You must also observe, as we assume, that given the origins of the other elements correspond to numbers certain class (them) or other numbers to be determined, so that in comparison of the segments must be supposed already given the scale and origins. (See n. 103).
Page 108 Page 108108 L' operazione o^ per la definizione stessa del numero * i è così a senso unico poi- ché ogni altro segmento ottenuto differente dai segmento (AAi*1) viene indicato con un simbolo diverso 1). 108 L '^ operation or for the very definition of * the number is so one-sided then-because every other segment obtained from different segments (AAi * 1) is indicated with a different symbol 1). Ai segmenti maggiori uguali o minori corrispondono numeri maggiori uguali o minori, e viceversa (oss. I, 87 e ip. V). For the segments more or less equal numbers correspond more or less equal, and vice versa (oss. I, 87 and ip. V). Conv. L Noi diremo anche che il segmento ( AA ), essendo un numero ^ determinato della classe (II) in modo che ( AA ) rappresenta il numero 17 rispetto all'unità (AA}) e all'origine A, contiene ij segmenti consecutivi nel medesimo verso uguali ad (AA^, senza che perciò ce li possiamo rappresentare come aventi successivamente un estremo comune, cioè senza salti nella rappresen- tazione, come avviene ad es. dai segmenti (AA}) (A}A2), (AZA3) ...., (An A^i) al segmento (^a 1-nAot ln^i). e. Pei nuovi segmenti e numeri infiniti e infinitesimi valgono gli stessi teo- remi dei n. 86 e 88. Questi teoremi si dimostrano nello stesso modo mediante Tip. V. 92. a. Dati gli elementi A9 AA ,A di divisione della scala si ha : Difatti ciò significa che dall1 elemento AM considera un segmento uguale a (A Ai)) (def. I, 68). Conv L We also say that the segment (AA), being a determined number ^ of the class (II) so that (AA) represents the number 17 with respect to the unit (AA}) and the origin A, contains segments ij consecutive in the same direction equal to (AA ^, without them there so we can represent as having successively an extreme common, that is without jumps in the representa-tion, as is the case eg. by the segments (AA}) (A} A2), ( AZA3) ...., (An A ^ i) to the segment (1-Naot ln ^ a ^ i). and. Pei new segments and infinite numbers and infinitesimals are identical theorems of n. 86 and 88. These prove theorems in the same way by Tip. V. 92. a. data elements A9 AA, A division of the scale we have: In fact this means that element dall1 AM considers a segment equal to (A Ai)) (def. I , 68). a. a. Vi è un solo numero oo un solo numero p, che soddisfa V uguaglianza f* -fa = i? There is only one number one number p oo, which satisfies equality V * f = i-do? (f, eg, 73). (F, g, 73). Def. Def. L Se ^ è un numero determinato della classe (//) ed è dato un seg- mento (AB), il segmento (AC) che contiene 13 segmenti consecutivi nel mede- simo verso uguali ad (AB) (conv. I, 91) si chiama multiplo di (AB) secondo il numero 77, ed (AB) summultiplo di (AC) secondo lo stesso numero ij. If L ^ is a certain number of class (/ /) and is given a segment (AB), the segment (AC) that contains 13 segments in consecutive beacons to-mum equal to (AB) (conv. I, 91 ) is called multiple of (AB) in accordance with the number 77, and (AB) summultiplo of (AC) according to the same number ij. E indicando (AC) con (AB) 13 e (AB) con (AC) o ' - si ha per Tindi- TÌ ij cazione stessa: e. And pointing (AC) with (AB) 13 and (AB) (AC) or '- you'll have to Tindi-ij tion itself: and. (AC) = (AB)r , (AB)=(AC)-=( (6,9). Oss. I. Quando parliamo di multipli o su mm ulti pii di un segmento dato secondo i numeri della classe (II) noi supponiamo che essi siano determinati in modo unico. Riserviamo a più tardi la determinazione dei segmenti multipli e summultipli di un segmento dato quando saranno fissatele scale, come dobbiamo supporre (oss. IV, 91 ; vedi n. 103). Ind. L Se si ha un segmento multiplo (AH) di (AB) secondo il numero finito o infinito f* anziché col simbolo - ' ^ lo indicheremo anche col simbolo (AC) , e quindi : 1) Se nel campo considerato della nostra forma fondamentale, o meglio del nostro sistema orno - geneo non sono applicabili i numeri di G. (AC) = (AB) r, (AB) = (AC) - = ((6,9). Oss. I. When we speak of multiple ULTI mm or wishful a given segment according to the numbers of the class (II) we suppose that they are determined uniquely. reserve for later determination of multiple segments of a given segment summultipli and when they fix them stairs, as we assume (oss. IV, 91, see n. 103). If L Ind. you have a multi-segment (AH) of (AB) according to the finite number or infinity instead of the symbol f * - '^ also denoted with the symbol (AC), and then: 1) If deemed in the field of our fundamental form, or best of our homo - uniform engineering numbers are not applicable to G. Cantar rispetto alla classe (II), si può far quello che Cantar ha fatto rispetto alla classe (I), e quindi stabilire un nuovo numero 12 come un primo numero mag- giore di tutti i numeri di (II), e cosi via. Sing respect to the class (II), we can do what Cantar made with respect to the class (I), and then establish a new number 12 as a first number May-greater numbers of all of (II), and so on.
Page 109 Page 109109 O. 109 O. (Aff) = fi ={AC) - = (AC) JL (AC) fe = f! (Aff) = fi = {AC) - = (AC) JL (AC) = f and f! M") (6, 9). Oss. IL II simbolo-^ significa adunque che il segmento (AC) fu diviso in TJ parti uguali, e si è formato un segmento che contiene f* tjme parti di (AC). Ad es. ( AAy ) contiene T2 unità (AAì) (conv. I, 91). ti. Se f* = u si ha (AC)=(AC)J^. * Ciò risulta dal significato stesso del simbolo -^ (oss. II e oss. I), e con ^ una dimostrazione analoga a quella di 6', 79. La dimostrazione è la stessa del teor. 6", 79. M ") (6, 9). Oss. IL-The symbol ^ means, then, that the segment (AC) TJ was divided into equal parts, and has formed a segment that contains f * tjme parts (AC). Eg . (AAY) contains T2 units (AAI) (conv. I, 91). you. If you f * u = (AC) = (AC) J ^. * This is the very meaning of the symbol - ^ (oss. II and obs. I), and with ^ a demonstration similar to that of 6 ', 79. The demonstration is the same as theor.. 6 ", 79. Oss. Oss. III. III. La moltiplicazione di un numero -^ per un numero ij di (II) si defini- sce nello stesso modo dei numeri della classe (I) (52) Supponiamo dapprima che la parte tjma (AB) di (AC) sia multiplo secondo il numero V di un segmento (Aff), si avrà: r (C) IJ i) e poiché si ha: E siccome (AB) è multiplo di (AB1) secondo il numero ti ne segue che (AC) è multiplo di (AB') secondo il numero m, (def, I, oss. Ili), ossia: r (eed). The multiplication of a number - ^ ij for a number of (II) there be an in the same way as the numbers of the class (I) (52) Suppose that the first part tjma (AB) of (AC) is a multiple according to the number V of a segment (Aff), we have: r (C) IJ i) and since then: And since (AB) is a multiple of (AB1) according to the number that follows you (AC) is a multiple of (AB ' ) according to the number m, (final, I, oss. III), ie: r (eed). n *j *i*è 'M e quindi dunque che è precisamente la e. n * i * j * is' M and therefore that is precisely the e. 4. 4. 13 13
Page 110 Page 110110 Def. 110 Def. IL n segmento (AB) = (AC) - - si chiama anche frazione del seg- fl mento (AC). THE No segment (AB) = (AC) - also called breaking of the seg-ment fl (AC). f. f. Ogni segmento multiplo di (AB) secondo un numero infinito di ordine j* è un segmento infinito d' ordine p rispetto ad (AB). Each segment multiple of (AB) according to an infinite number of order j * is a segment infinite d 'order p with respect to (AB). E ogni segmento multiplo di un -segmento infinito d' ordine p secondo un numero infinito df ordine i\ è un segmento d'ordine /*-fU Difatti nel 1 caso il numero è della forma oof* che si ottiene da o mol- Implicandolo /a volte per sé stesso (ind. I, 82 e def. IV, oss. II, III e ind. I, 91), che ci da appunto da (AB)'\ segmenti infiniti d'ordine p rispetto ad (AB) (ip. V). And each segment of a multi-segment of the infinite 'order p according to an infinite number of the order df \ is a segment of order / * 1-fU in fact if the number is of the form oof * which is obtained by or implicated Miller mol- / sometimes for himself (ind. I, 82 and def. IV, pers. II, III and ind. I, 91), which gives us precisely by (AB) '\ segments of infinite order with respect to p (AB ) (ip. V). La seconda proprietà è evidente essendo oof* xV = oo'*"^15 (oss. II, e os- serv. HI, 91). f. Se (AB) è un segmento infinitesimo d'ordine ti rispetto ad (AC) i multi" pii di (AB) secondo i numeri infiniti dello stesso ordine TQ sono finiti con (AC). The second property is evident being oof * xv = oo '* "^ 15 (oss. II, and os-serv. HI, 91). F. If (AB) is a segment infinitesimal you order with respect to (AC) the multi "pious of (AB) according to the infinite numbers of the same order they are finished with TQ (AC). Difatti i multipli di (AB) secondo i numeri infiniti dello stesso ordine YJ sono infiniti dello stesso ordine rispetto ad (AB), e quindi sono fra loro finiti (A- e, 91; a, 86). In fact, the multiples of (AB) according to the infinite numbers of the same order are infinite YJ of the same order with respect to (AB), and therefore are mutually finished (A-e, 91; a, 86). Ma (AC) è infinito d'ordine y rispetto ad (AB) (oss. Ili, 91 e def/ III, 86), dunque ecc. But (AC) has infinite order with respect to y (AB) (oss. Ill, 91 and def / III, 86), etc. So. f". Dato un segmento (AAt) infinitesimo d'ordine 13 rispetto ad (AC). ogni segmento infinito d' ordine p (tj * = f* -f- a) rispetto ad (AAJ è infinitesimo d' or- dine a rispetto ad (AC). Difatti se (A C1) è infinito d'ordine JA, e (AC) d'ordine I) = JA-}-(J rispetto ad (AA^, (AC) è infinito d'ordine o rispetto ad (AC") (def. II, 86 e oss. IH, 91), perciò (AC1) è infinitesimo d'ordine o (def. Ili, 86 e oss. Ili, 91) rispetto ad (AC). g. Se un segmento della forma fondamentale è maggiore uguale o minore di un altro segmento della stessa forma o di forme fondamentali diverse, un segmento multiplo del primo secondo il numero r) è maggiore, uguale o minore del multiplo dell'altro secondo lo stesso numero. La dimostrazione di questo teor. è analoga a quello del teor. d, 79. Sup- posto il teor. vero per ij 1 lo si dimostra per ij in base ai teor. geg' del n. 73, che valgono indipendentemente dal concetto di scala e quindi dalla di- stinzione di finito, infinito e infinitesimo. Ma il teor. vale per t\ finito (d, 79) e l'operazione ooj è assoggettata a questa proprietà (oss. IV, 91), e poiché ti 1 è ottenuto coli' addizione semplice combinata coli' operazione x l9 il teor. è di- mostrato (oss. I). g'. Se (AC), (A' C*) sono multipli secondo il numero ^ dei segmenti (AB) e (A'B'} e (AC)EEE(A'C') si ha (AB) = (A'B" . Dim. analoga a quella di d', 79. h. Se (AB) = (AC) **- ed è (AB)=(AC) si ha f*= ij, e reciprocamente. Dim, analoga a quella del teor, e, 79, f ". Given a segment (AAT) with respect to infinitesimal of order 13 (AC). each segment of the infinite 'order p (tj * = f *-f-a) with respect to (AAJ is infinitesimal d' or dine-in than (AC). In fact, if (A C1) is infinite order JA, and (AC) of order I) = JA-} - (J with respect to (^ AA, (AC) is infinite of order or than (AC ") (def. II, 86 and oss. IH, 91), so (AC1) is infinitesimal of order o (def. Ill, 86 and oss. Ill, 91) than (AC). g . If a segment of the basic form is greater than equal to or less of another segment of the same shape or different basic forms, a multiple of the first segment according to the number r) is greater, equal or less than the multiple of the other according to the same number . The proof of this theorem. is similar to that of the theorem. d, 79. Sup-place the theor.. true for ij 1 it is shown for ij according to the theorem. geg 'of n. 73, which apply regardless of the concept of scale and thus the distinction of-finite, infinite and infinitesimal. But the theorem. true for t \ over (d, 79) and the transaction is subject to this property ooj (oss. IV, 91), and because you 1 is obtained coli 'simple addition combined coli' x l9 the operation theor.. is shown-(oss. I). g '. If (AC), (A' C *) are multiples according to the number ^ of the segments (AB ) and (A'B '} and (AC) EEE (A'C') we have (AB) = (A'B '. size similar to that of d', 79. h. If (AB) = ( AC) ** - and is (AB) = (AC) we have f * = ij, and each other. Dim, similar to that of the theorem, and, 79,
Page 111 Page 111Ili i. Ill i. Dato un segmento (AB) infinito d' ordine t\ esistono infiniti elementi X tali che (AX)9 (XB) sono finiti rispetto al segmento (AB). Given a segment (AB) d infinite 'order t \ there are infinite elements X such that (AX) 9 (XB) are finished with respect to the segment (AB). Se 17 è un numero finito il teor. If 17 is a finite number of the theorem. è conseguenza immediata dell'ip. ip is an immediate consequence. IV e del teor. And IV of the theorem. 6, 85, essendo (AB) infinito di 1 ordine rispetto al segmento infinito di ordine (u 1) (def. II, 86). 6, 85, being (AB) of 1 infinite order with respect to the segment of infinite order (u 1) (def. II, 86). I segmenti ottenuti applicando P ipotesi IV un numero infinito di volte d'ordine finito hanno pure quésta proprietà, perché se il numero è ad es. The segments obtained by applying P IV assumptions are an infinite number of times of finite order also have this property, because if the number is, for example. oojm i segmenti ottenuti sono infiniti di 1 ordine rispetto al segmento ottenuto ap- plicando Tip. oojm segments obtained are of infinite order with respect to segment 1 obtained ap-plying Tip. IV un numero ao^ l di volte. IV a number of times or ^ l. Dunque l'hanno anche i nu- meri d'ordine infinito e poi i segmenti infiniti d' ordine oo^i*1.... So too have the nu-mers of infinite order, then the segments of infinite 'order oo ^ i * 1 .... oo,001"1 .... OD W e così i numeri infiniti 00^1 * ecc. Vale anche la proprietà per i segmenti infiniti d'ordine oc^-fn essendo n un numero finito, perché sono segmenti infiniti di 1 ordine rispetto ad un segmento d'ordine cx)1 + (n 1). Cosi vale la stessa proprietà pei segmenti in- finiti di ordine oof rto^Wj db w2. E in generale se il teorema vale pel segmento infinito d'ordine oo^ vale anche pei segmenti d'ordine oo^ it oo^-1 nx 00^-2 n.2 dr .... db riQ+\. Vale dunque anche pel numero oo^i17 e quindi anche pel segmento infi- nito d'ordine oo^i12 ecc. Ma ogni segmento (AB) infinito della forma fondamentale è ottenuto in questo modo (ip. V) dunque il teor. è dimostrato. Del resto basta anche applicare semplicemente per la dimostrazione il teor. C} 91 e Tip, V secondo la quale un segmento è infinito di 1 ordine ri- spetto ad un altro segmento. ^^ Dato un segmento (AB) vi è sempre un segmento (AX) minore di esso pel quale vi è un numero finito m tale che (AX)m (AB) (def. II, 82; d, 81). i". oo, 001 "OD W 1 .... and so the infinite numbers, etc. * 00 ^ 1. It is also owned by the segments of infinite order or c-fn ^ n is a finite number, because they are infinite segments of 1 order compared to a segment of order cx) 1 + (n 1). So that is the same property pei segments in finite-order oof rt ^ db w2 Wj. And in general if the theorem is true ELP segment of infinite order oo ^ applies pei segments of order oo oo en ^ nx ^ -1 00 ^ -2 n.2 dr .... RIQ db + \. It is therefore also for the number oo ^ i17 and therefore infi-nite segment PEL Order oo ^ i12 etc.. But each segment (AB) of infinite fundamental form is obtained in this way (ip. V) thus the theorem. is shown. Moreover even just simply apply for the demonstration of the theorem.} 91 C and Tip, V according to which a segment is infinitely re-1 order compared to another segment. ^ ^ Given a segment (AB) there is always a segment (AX) less of it by which there is a finite number m such that (AX ) m (AB) (def. II, 82 d, 81). i ". Dato un numero a infinito d'ordine qualunque dato ^ vi sono sempre dei numeri o minori di a tali che essendo m un numero finito. Given a number to infinity in any order given ^ there are always numbers or less than those in which m being a finite number. I. I. Dati due segmenti (AB) (CD) qiialunque, vi è sempre un numero fi- nito o infinito determinato 13 tale die: in modo che (AB) TI è finito rispetto a (CD). Given two segments (AB) (CD) qiialunque, there is always a number fi-nite or infinite determined that 13 day: so that (AB) TI is finished with respect to (CD). E se rj è di ordine \L, indicando con I l'unità (AA*^) si ha tm numero ^ dello stesso ordine tale: And if you order rj \ L, indicating the unit (AA ^ *) ^ it has the same order number tm such:
Page 112 Page 112112 (AB) ti,. 112 (AB) I,. m^ (CD) (AB) yj, (m+l) essendo m un numero finito. m ^ (CD) (AB) yj, (m + l) m being a finite number. Se (AB) e (CD) sono infiniti dello stesso ordine allora sono fra loro fi- niti, e quindi u è finito (a, 86 ee, 91). If (AB) and (CD) are infinite of the same order are then between their fi-nite, and then u is finished (a, 86 e, 91). Se (AB) è infinito d'ordine f*, (CD) di ordine pep = f* -f- /*", preudendo di (AB) un multiplo secondo un numero in- finito d'ordine //' si ha un segmento dello stesso ordine di (CD) (f), e quindi finito con (CD) (a, 86 ee, 91). Se il è un numero infinito d'ordine JA" si avrà uno dei tre casi * Nel 1 e 2 caso si può sempre dare un numero ij dello stesso ordine di f/' tale che (AD) YJ (CD), e in ogni caso un numero ^ tale: È chiaro poi che essendo (AB) ^ e (CD) finiti fra loro vi deve essere un numero m finito (che può essere anche 1) tale che: (AB) ylm (CD) (AB) ^ (m 4- 1). If (AB) is infinite order f *, (CD) of order p and p * = f-f-/ * ", preudendo of (AB) according to a number in a multiple-order finite / / 'it has a segment of the same order of (CD) (f), and then finished with (CD) (a, 86 e, 91). If the order is an infinite number JA "there will be one of the three cases 1 and 2 * In If you can always have a number ij of the same order of f / 'such that (AD) YJ (CD), and in any case a number ^ that: It is clear then that, being (AB) ^ and (CD) between their finished there must be a finite number m (which can also be 1) such that: (AB) YLM (CD) (AB) ^ (m 4 - 1). m. m. Ogni segmento dato (AB) è infinitesimo d'ordine determinato i) rispetto ad un altro segmento maggiore (AG), se (AB) non è finito rispetto ad (AC). Each segment data (AB) is infinitesimal order determined s) in relation to another segment greater (AG), if (AB) is not finished with respect to (AC). Difatti vi deve essere un numero infinito determinato ti tale che (AB) ti ^ (AC), essendo (AB) 13 finito con (AC) (I), e quindi (AB) è infinitesimo d'ordine 13 rispetto ad (AC), perché (AB) 73 è infinito dello stesso ordine di (AC) (def. Ili, 86 e oss. Ili, 91). In fact there must be an infinite number given to you that (AB) ^ I (AC), since (AB) 13 ended with (AC) (I), then (AB) is infinitesimal of order 13 with respect to (AC) , because (AB) 73 is the same order of infinity (AC) (def. Ill, 86 and oss. Ill, 91). n. No. La forma fondamentale a partire da un suo elemento qualunque dato in un dato verso è maggiore di ogni segmento dato (AB) nel medesimo verso o nel verso opposto. The basic form starting from an element of any data in a given direction is greater than any given segment (AB) in the same direction or in the opposite direction. Sia A l'origine, (AB) il segmento dato. A is the origin, (AB) the given segment. Poiché vi è sulla forma un seg- mento maggiore nel verso di (AB) stesso ( , 68), il ter. Since there is a segment on the form to the greater of (AB) the same (, 68), b. è dimostrato (def. I, 61). is shown (final I, 61). Se invece (AB) si considera nel verso opposto, la forma a partire da A in un verso è identica alla forma a partire da A nel verso opposto (def. 1, 6, 70, ip. II). If, however, (AB) is considered in the opposite direction, the shape starting from A in one direction is identical to the form from A in the opposite direction (def. 1, 6, 70, ip. II). Dunque ecc. Therefore, etc.. Def. Def. III. III. Chiameremo perciò la forma fondamentale in uno o nell'altro verso infinita assoluta o infinita d'ordine indeterminato per distinguerla dai campi della scala che sono infiniti di ordine dato. Therefore we will call the fundamental form in either absolute or infinite to infinite order to distinguish it from the fields of indeterminate scale that are of infinite order given. La indicheremo col se- gno Q. Denoted by the if-port Q. Oss. Oss. IV. IV. Evidentemente questo assoluto è anche esso in un certo senso relativo, poiché data tutta la forma fondamentale a partire dall'origine A, possiamo assog- gettarla nuovamente ali' ip. Evidently it is this absolute in a relative sense, because given all the basic form from the origin A, we can throw it again subjugation wings' ip. IV, e in tal caso i numeri anziché del tipo ooj sarebbero di un altro tipo, ad es. IV, and in that case rather than the numbers of the type ooj would be of another type, eg. : 1^, e così via 1). : 1 ^, and so on 1). Def. Def. IV. IV. Chiameremo invece campo finito assoluto in un dato verso a partire da un elemento dato il campo dei segmenti limitati a due estremi nel i) come si hanno diverse classi di numeri transfiniti di G. We will call instead finite field in a given absolute towards starting from a given element of the field segments limited to two extremes in i) as there are different classes of transfinite numbers of G. Cantor. Cantor. (vedi nota 2, 9Q), (See note 2, 9Q),
Page 113 Page 113113 verso dato, nello stesso modo che abbiamo il campo relativo ad una data unità GLij) (def. V, 83). 113 towards given, in the same way that we have the field relating to a given unit GLij) (def. V, 83). S'intende che due segmenti di questo campo possono essere infiniti Fano rispetto all'altro. Means that two segments of this field can be infinite Fano other. Def. Def. V. V. Ed è perciò che un segmento dato (AB) qualunque lo chiameremo anche finito assoluto, e per unità assoluta intenderemo un segmento dato qua- lunque (AB). And that's why a given segment (AB) also finished whatever you call it absolute, absolute and per unit shall understand a given segment here-lunque (AB). Def. Def. VI. VI. Un segmento che diventa maggiore di ogni segmento dato (e quindi anche infinito) diremo che cresce indefinitamente od è indefinitamente grande od ha per limite tutta la forma fondamentale a partire dall' origine A nel verso della scala assoluta, vale a dire l'infinito assoluto, e scriveremo: Def. A segment that becomes greater than any given segment (and therefore also infinite) we will say that increases indefinitely or is indefinitely large or has to limit the whole fundamental form starting from 'A source in the direction of absolute scale, ie the infinite absolute , we write: Def. VII. VII. Il segmento che corrisponde all'unità 1 della classe dei numeri (II) lo chiameremo anche unità fondamentale. The segment that corresponds to the class number 1 (II) will also call the basic unit. E la prima origine la chiame- remo origine fondamentale o più semplicemente origine. It first originated exclaimest-oar fundamental origin or simply home. 5. 5. Legge associativa, commutativa della somma; legge distributiva, e commutativa della moltiplicazione dei numeri della classe (II). Associative law, commutative sum, distributive law, commutative and multiplication of numbers in class (II). 93. 93. #. #. Nella somma di tre o più numeri di (II) vale la legge associativa. The sum of three or more numbers (II) is the associative law. Di fatti vale per i segmenti che li rappresentano (d, 77). In fact applies to segments that represent them (d, 77). Ind. I. Ind. I. Il segmento (A^A^) i cui estremi rappresentano i numeri ft e ij di (II) rispetto all'unità fondamentale (AA^) e all'origine fondamentale A (def. VII, 92) (ti p) lo indicheremo col segno p -f- ^ che chiameremo pure numero. The segment (A ^ A ^) whose endpoints are the numbers ft ij of (II) than the fundamental unit (AA ^) and A vital source (def. VII, 92) (I p) we will indicate this with sign-f-p ^ which we call pure number. Il numero f*-f-ij ha dutìque così un significato determinato. The number-f-f * ij dutìque it has a specific meaning. Vedremo fra poco che è pure un numero della classe (II). We shall soon see who is also an issue of class (II). b. b. Se /* è un numero qualunque di (II) si ha /* + {*= o. If / * is any number of (II) we have / * + * = {o. Difatti se Afi conincide con A^ è (-4^ A^ ) = o (def. I, 76) e perciò p -f JA = O (ind. I). In fact, if Afi conincide with A ^ is (-4 ^ ^ A) = or (final I, 76) and therefore p-f JA = O (ind. I). Oss. Oss. I. I. I numeri sono gruppi ordinati di elementi considerati come unità (def. II, 45). The numbers are ordered groups of elements considered as a unit (def. II, 45). Se due numeri sono uguali essi si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine ( , 60), ma dalla proprietà inversa non possiamo dire se siano uguali perché potrebbe essere l'uno parte o uguale ad una parte dell'altro (def. II, 27), mentre la def. If two numbers are equal they are uniquely and in the same order (, 60), but the inverse property, we can not say whether they are equal because they could be a part of or equal to a portion of the other (def. II, 27) , while the final. II, 45 non esclude mai questa diversità (e, 45). II, 45 never excludes this diversity (and 45). Pei numeri naturali invece basta che si corrispondano univocamente e nel medesimo ordine (#, 48), anzi che si corri- spondano univocamente (A, 48) affinchè siano uguali anche secondo la def. Pei natural numbers instead enough that they correspond uniquely and in the same order (#, 48), which is indeed corre-spond uniquely (A, 48) are equal so that even according to the final. II, 45, per- ché in tal caso l'uno non può essere parte o uguale ad una parte dell'altro. II, 45, for-because in that case one can not be part of or equal to a part of the other. Certo è che se due gruppi ordinati non si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine, essi non possono avere numeri uguali, perché quando questi sono uguali i due gruppi si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine (6, 60; 6, 45 ef, 42). What is certain is that if two ordered groups do not correspond uniquely and in the same order, they may not have equal numbers, because when these are equal, the two groups correspond uniquely and in the same order (6, 60; 6, 45 f, 42) . Se il numero di un gruppo si fa dipendere soltanto dalla corrispondenza uni- voca e de) medesimo ordine o soltanto dalla corrispondenza univoca fra gli elementi If the number of a group is made to depend only from the correspondence uni-vocation and de) the same order or only by the univocal correspondence between the elements
Page 114 Page 114114 del gruppo e le unità del numero, allora l'uguaglianza dei numeri nel primo caso è data dalla corrispondenza univoca e del medesimo ordine, e nel secondo caso dalla sola corrispondenza univoca (oss. I, 45) l). 114 of the group and the units of the number, then the equality of the numbers in the first case is given by the univocal correspondence and of the same order, and in the second case by the single unique match (oss. I, 45) l). Ma noi tenendo anche conto della diver- sità che proviene tra un sottogruppo e il gruppo (def. II, 27) non basta in gene- rale la corrispondenza univoca e del medesimo ordine. But we also taking into account the diversity that comes from a subgroup and the group (def. II, 27) is not sufficient in general and the unique match of the same order. Né in ciò vi è contraddizione di sorta. Neither in this there is no contradiction whatsoever. Per l'uguaglianza dei nostri numeri come dei nostri segmenti della forma fon- damentale (71) occorre dunque aver riguardo al teor, e, 45 e al teor. For equality of our numbers as our fon-damental segments of the form (71) must therefore have regard to the theorem, and 45 and the theorem. 6, 60 e ai teor. 6, 60 and theor.. del n. of n. 61. 61. E poiché i numeri finiti ei nostri numeri infiniti formano una sola classe bisogna che le condizioni di uguaglianza di due numeri valgano in generale per due numeri qualunque di questa classe, vale a dire che i contrassegni di confronto siano i medesimi. And since the finite numbers and our infinite numbers form a single class is necessary that the conditions of equality of two numbers are worth in general for any two numbers of this class, that is to say that the markings of comparison are the same. e. and. / numeri dei gruppi AA^Ap^Ap, A^^.A^ -A^-M, essendo p, un numero qualunque dalla classe (II) sono uguali. / Number of groups AA ^ Ap ^ Ap, A ^ ^. A ^-A ^-M, p being an arbitrary number of class (II) are equal. Difatti al numero del gruppo AA^.^Ap deve essere uguale il numero di un gruppo di elementi a partire da Al nel medesimo verso, perché tale è an- che la proprietà dei segmenti che i nostri numeri rappresentano (oss. I, def. I, 87 e 6, 68), e quindi coir ultimo elemento non compreso nel gruppo A^.^Ap (e, 45). In fact the number of group AA ^. ^ Ap must be equal to the number of a group of elements from Al in the same direction, because this is an-that the properties of the segments that our numbers are (oss. I, def. I, 87 and 6, 68), and then coir last element not included in the group A ^. ^ Ap (s, 45). Dunque almeno dovrà essere un gruppo diverso, ma, non potrà es- sere ad es. So at least should be a different group, but can not be es-eg. AìAv^ApAp+iAp+t perché una tal legge di uguaglianza non' vale quando p è finito (#, 48); dunque per l'ultima parte dell1 oss. AìAv ^ iap + APAP + t because such a law of equality 'is true when p is finite (# 48), so for the last part dell1 oss. I si ha e. I have and will. C'. C '. Perché i due gruppi AA^...^, A|A2....iip-M rappresentano i due numeri + 1 (oss. II, 87; oss. Ili e ind. I, 91) 2). Because the two groups ... ^ ^ AA, A | A2 .... iip-M represent the two numbers + 1 (oss. II, 87; oss. Ili and ind. I, 91) 2). d. d. Per ' T addizione di un numero finito di numeri di (II) vale la legge com- mutativa. 'T addition of a finite number of numbers of (II) applies the law com-mutative. Se si ha: n 4- p =? If you have: 4 n - p =? [t, -r- n si ha pure: + l (ao /; 47 ed, 47). [T,-r-No, there's also: + l (ao /, 47 and 47). Ma la proprietà vale per n = l, dunqne vale per tutti i numeri di(I)(c', 46 el, 39). But the property is true for n = l, dunqne applies to all the numbers of (I) (c ', and 46, 39). i; È ciò che fa il sig. i; is what Mr. cantar nella definizione di uguaglianza dei suoi Idealzahlen e quindi an- che dei suoi Ordnungszahlen o dei cardinalzahlen. sing in the definition of equality of its Idealzahlen and therefore also that of his-Ordnungszahlen or cardinalzahlen. (Vedi nota 48 e def. II, 90). (See footnote 48 and def. II, 90). l 2) Se si considera ad es. l 2) If we consider eg. la retta nel campo finito Euclideo per- ff AB corsa in un dato verso a partire da A come zero e rispetto ad (AB) come --------------------------- unità rappresentando tutta la retta percorsa nel verso dato col simbolo i, ooj-1 ooj dopo aver percorsa l'intera retta a partire da A, questo punto viene in- dicato col simbolo i, e quindi 8', essendo (B'A)^(AB) col sìmbolo ii e B coi simboli le iH ecc. a straight line in Euclidean finite field for AB-ff ride to a given starting from zero and A as compared to (AB) as the ---------------------- ----- Units representing the entire line in the direction traveled since the symbol i-1 ooj ooj having traveled the entire line from A, this is the address given by the symbol i, and then 8 ', being (B'A) ^ (AB) with the symbol II and B with the iH symbols etc.. Se partiamo da B e percorriamo la resta fino ad A nel medesimo verso non otteniamo tutta la retta perchò manca il tratto (AB), e quindi (l.... i) ie (i.... !) 4" l ss i Ma i 1 + 1 = 00! dunque (i....oo1)= 1 i essendo r addizione sulla retta a senso unico. Ma d1 altra parte i+ {!.... 001) = ! dunque oo1_i^-i=:n-ooT i che è la legge commutativa, veggasi l'ultima nota del n. H$- If we start from B to A walk along the remains in the same direction we do not get any straight Percho missing section (AB), and then (l. ... i) i (i. ...!) 4 "l ss But the 1 + 1 = 00! therefore (i. ... OO1) = 1 r being the addition on a straight-way. But the other part d1 + {! .... 001) =! So oo1_i ^-i =: n oot-i which is the commutative law, compare p n of the last note. H $ -
Page 115 Page 115115 Da ciò risulta anche: a-!-/* n = an + p (2) Difatti o -}- jfc ^ s= an + n + pn = an -f- f* + ^ n = a ^ -ff*. 115 From this it is also: a-! - / * N = n + p (2) or fact -} - jfc ^ s = n + n + pn = n-f-f * + n ^ = a ^-ff * . E perciò anche: Essendo m un numero qualunque di (I) si ha oojw nx dr oo2 ng s= ooj ( ooj* -5 nx rt n^ ia ( oo!0' nj ib oo^" n2 it ..... ) significando appunto che si moltiplica prima ooja per oojff'^ poi per itoo^"^ ecc.(oss.IIe III, 91) e perché sfm st=m (m, 48 e 54 opp. def. I, 76) e quindi: ooj nT it oots ^ = OOT (dt n% -f- oo^-s MI) (2') da cui Se si ha quindi un numero infinito d'ordine finito m di (II) cioè: oo nj : oot -i n2 .... it oo1 ni : ^n+i (ind II, 91) nel simbolo di questo numero per la (3) possiamo scambiare di posto i numeri che lo compongono mediante scambi di elementi consecutivi (e, 48). Supponiamo che seguitando, questa proprietà sia dimostrata per il numero infinito pe pei numeri minori di p, e considerando un numero ft infinito d'or- dine p (oss. Ili, 91) abbiamo: p = oo TP n^ =b oo T P-iflg i: .... =fc oo T np dt ^p + 1 (ind I, 91) ma per ipotesi * 00^*! =b oo/ n2 = ooTP'( oot P"P' ^tr n2) o^-p'^) (2f) e quindi in p possiamo scambiai^ di posto, i numeri che lo compongono con scambi di numeri consecutivi. Ora, per l'ipotesi V ogni numero di (II) si mette sotto la forma precedente (ind I, 91) e si ottiene ripetutamele da p quando è finito, poi infinito d'or- dine finito, e così via, di guisa che in ogni ripetizione vale la suddetta pro- prietà; dunque essa vale per ogni numero di (II). Si consideri ora un altro numero 73 di (II) che si pone sotto una forma analoga, e potendo scambiare di posto i numeri che compongono la somma si avrà: f* 4- il = V + 1* (4) And therefore: m being any number of (I) we have nx oojw oo2 ng s dr = ooj (-5 ooj * nx rt n ^ ia (oo! 0 'oo ^ nj ib "n2 it ..... ) signifying precisely that multiplies first ooja for oojff '^ ^ then for itoo "^ etc.. (oss.IIe III, 91) and because sfm st = m (m, 48 and 54 opp. def. I, 76) and then : nT ooj it oots ^ OOT = (dt% n-f-oo ^ s-MI) (2 ') from which you then if an infinite number of finite order m of (II) that is: oo nj: oot - the n2 .... it OO1 ni: ^ n + i (ind II, 91) in the symbol of this number for the (3) we can exchange the places that make up the numbers by exchanging elements (and 48). Suppose that continuing, this property is proved for the infinite number of numbers less pei pe p, and considering an infinite number of ft or p-dine (oss. Ill, 91) we have: p = TP n ^ oo oo T = b P-iflg i: .... oo fc = T ^ p np dt + 1 (ind I, 91) but hypothetically * 00 ^ *! b = oo / = n2 OotP '(oot P "P' ^ tr n2 ) or ^-p '^) (2f), and then we exchanged in p ^ of the spot, the numbers that make it up with the exchange of consecutive numbers. Now, for the hypothesis V any number of (II) is put in the form Previous (ind I, 91) and is obtained by repeatedly when p is finished, then infinite d'or dyne-finished, and so on, so that in each repetition of the above is true owner; therefore it is valid for any number of (II). Now consider another number 73 of (II) that arises under a similar form, and being able to exchange the places of the numbers that make the sum we have: f * 4 - = V + 1 * (4)
Page 116 Page 116116 La legge commutativa vale per un numero finito di numeri, perché am- messa per m si dimostra per m + 1, (#, (4) ed, 47); ma vale per m= 2, dunque vale per ogni numero finito m (c\ 46; I 39). 116 The commutative law is valid for a finite number of numbers, because am-mass for m proves to m + 1, (#, (4) and, 47), but applies for m = 2, so that for each finite number m (c \ 46, I 39). e. and. I segmenti compresi fra due segmenti indicati da numeri qualunque di (II) si esprimono con numeri di (II)- Difatti siano pe 13 due numeri di (/I), n p. The segments included between two segments indicated by numbers any of (II) are expressed with numbers (II) - fact are eg two numbers of 13 (/ I), n p. Essi sono rappresentati da due segmenti della forma fondamentale a partire 'dall'origine fondamentale.il segmento differenza viene rappresentato dal segno pi -f 15 = 0. They are represented by two segments of the basic form as' from the origin fondamentale.il segment difference is represented by the plus sign-f 15 = 0. (ind. I) Vogliamo dimostrare- che a è pure un numero di (II). (Ind. I)-We want to show that a is also a number of (II). Difatti si ha: i) p = p 4- p 4- 19 p = p4- p + 13) P = P + n 4-p) p = pf r 4-(p~p) = P4-13 ( , (4) ed, 47) dunque c = ,j JA che è un numero di (II), essendo pe 13 numeri di questa classe, perché ' può porsi sotto la forma generale di uno di questi numeri (ind I, 91). In fact we have: i) p = p 4 - p 4-19 p = p4-p + 13) P = P + n 4-p) p = pf r 4 - (p ~ p) = P4-13 (, ( 4) and, 47) therefore c =, j JA which is a number of (II), being eg 13 numbers of this class, because 'can place themselves under the general form of one of these numbers (ind I, 91). Ad es. Eg. : 2.+ a = oo, quindi Per ottenere da 2 il numero oo, hasta aggiungere ad esso il numero oo1 2. : 2. + A = oo, then To get the number from 2 oo, hasta add to it the number 2 OO1. f. f. Per l'addizione di un numero infinito di numeri di (II) se il risultato rappresenta un segmento limitato della forma fondamentale vale la legge com- mutativa, senza però che sia alterata la natura del numero oop Supponiamo che il numero dei numeri considerati sia infinito, dapprima ooj, e la loro somma rappresenti un numero di (II); si ha allora: (3) ti ss fr + f*2 -f- p3 + - 4- pr -fp rn i -I- -fj^oor2 + f*o.ri -J- f* t . For the addition of an infinite number of numbers of (II) if the result is a limited segment of the basic form is the law com-mutative, without, however, that both the nature of the altered number oop Suppose that the number of the numbers considered as infinite , first ooj, and their sum represents a number of (II), we then have: (3) I ss fr + f * 2-f-p3 + - 4 - rn fp pr-i-I--fj ^ oor2 + f * o.ri-J-f * t. Questo numero è rappresentato dalla somma di due segmenti, uno dei quali rappresenta (fr +fe + { 3 -I- + {* ,-!) unità e l'altro p^ unità; dun- que si ha: (4) ti = fa + pg -|- f*3 -f .... This number is the sum of two segments, one of which is (fr + f + {{3-I-+ *, -!) Units and the other p ^ unit; dun-it has this: (4) will pg = fa + - | - 3-f * f .... -ff* !-! -Ff *! -! ) -ff* ! )-Ff *! da cui ti = p ! from you = P! 4- (PI -I- p2 + f* ii) = Pi 4- Pi -f P* 4- .... 4 - (p2 + PI-I-f * ii) = 4 Pi - Pi-P f * 4 - .... -f P ,ri (a, 40 ; def. I, 87). -F P, ri (a, 40; final. I, 87). e quindi anche 7] = JKW1 -f (fAooj-1 -f Pi + .-. + Poor2) = M i + f*oori + (M! 4- .. 4- p i-2) e così seguitando si trova (5) 17 = f* ! and therefore also 7] =-f JKW1 (fAooj-1-f + Pi. -. Poor2 +) = M i + f * Oori + (M! 4 - .. 4 - p i-2) and so continuing is (5) 17 = f *! 4- j ri 4- .... 4 - ri j 4 - .... +f* r 4- (PI -f p2 4- .... 4- p 4- .... 4- p or + F * r 4 - (PI-p2 f 4 - .... 4 - p 4 - .... 4 - p or
Page 117 Page 117117 Col crescere di n portiamo per primi i numeri del campo ^ ,^(^ = 0, 1, 2 .... m ....) e per ultimi i numeri i cui indici sono .... With 117 n increases to bring the numbers of the first field ^, ^ (^ = 0, 1, 2 .... m ....) and the last numbers whose indices are .... n .... No .... 1. 1. In ciascuno di questi campi si possono poi scambiare di posto gli ele- menti fra loro. In each of these fields can then exchange the places of the elements between them. Di più si ha^ ,7 = (/* ! 4- /*,) -f fe + -M. In addition, there is ^, 7 = (/ *! 4 - / *,)-f +-f M. 4- f* ri) 0, 40, d, 77) l 4- f*2 4- . 4 - f * ri) 0, 40, d, 77) l 4 - f * 2 4 -. - 4- f^-l) dunque /t* , si può portare al posto di f*2 e quindi di ogni altro numero dato jKn.Così si può fare per/* ,.!. - 4 - f ^-l) then / * t, you can take the place of f * 2, and then any other given number jKn.Così you can do for / *,.!. Ogni numero dato del secondo campo si può dun- que portare nel posto di ogni numero dato del primo, è viceversa. Any given number of the second field you can bring into the dun-que place of each number as the first, is vice versa. Il teor. The theorem. per il numero oo, è dimostrato. by the number oo, is shown. Oss. Oss. IL Per il criterio di uguaglianza dei numeri rappresentati da un gruppo, non può essere che gli elementi del grupppo A1A2 .... IL To the criterion of equality of the numbers represented by a group, can not be that the elements of grupppo A1A2 .... An- * A^-n.. An A-* ^-n .. A^-i A i corri- spondano univocamente nel medesimo ordine ad es. A ^-i A i corre-spond uniquely in the same order eg. al gruppo.- AI A% .... the group. - TO A% .... An A i A ^-i .... An A i A ^-i .... ylooj-n.,.. ylooj-n. .. nel quale A i è primo elemento dopo la prima serie illimitata di 1* specie AiA2...An ... where A i is the first element after the first unlimited number of 1 * species AiA2 ... An ... (e, 46), perché ali* elemento A^ nel secondo dovrebbe corrispondere il primo eie- meato, che non c'è, dopo la stessa serie nel primo gruppo e perciò i due gruppi non possono avere numeri uguali (oss. I). (And 46), because wings * A ^ in the second element should match the first ejection meatus, there is not, after the same series in the first group and so the two groups can not have equal numbers (oss. I) . Dunque nei mutamenti di posto affinchè la somma non mati bisogna che si possa stabilire la suddetta corrispondenza fra i gruppi di unità così ottenuti, e quindi bisogna che il gruppo si componga di serie opposte, come ad es.: 123 ..,. Therefore changes in place so that the sum does not need to mati that we can establish the above-mentioned correspondence between the groups of units thus obtained, and therefore it is necessary that the group it is composed of opposing series, eg.: 123 ..,. n ......... No ......... ooj n .... No ooj .... e !. and!. Noi diciamo perciò che non deve essere alterata la natura del numero 0^. We say therefore that should not be altered the nature of the number 0 ^. Se si ha ora J = Pi 4- fh 4- -.. If you now have J = 4 Pi - fh 4 - .. 4- f* i 4- Piii valendo il teor. 4 - f * i 4 - PIII whichever is theorem. peì primi oo1 numeri, e potendo scambiare fx^-ji con /* ,, esso vale evidentemente anche per oo, -f 1 numeri, e così analogamente per oo, rm numeri. pei first OO1 numbers, and being able to trade fx ^-ji with / *, it obviously applies also to oo, f-1 numbers, and so similar to oo, rm numbers. Ora si abbia che si può scrivere così: -i 4- 4- Fo Ciascuno dei gruppi di cui si compone ti contiene ool numeri, e valendo il teorema per ognuno di questi gruppi e potendo scambiare F ultimo elemento del primo col primo elemento del secondo, il teor. Now you have that you can write like this:-i 4 - 4 - Fo Each of the groups that make you ool contains numbers, and the theorem being valid for each of these groups and being able to swap the last element of the first F with the first element of the second , the theorem. è pure dimostrato pel nu- mero 00^2. PEL is also demonstrated nu-ber 00 ^ 2. Se il numero 13 è dato dalla somma di oo,2 numeri, siccome oo1 .00, =00^ (89), il numero 13 è di ooj gruppi di oo, numeri p, pei quali vale il teor. If the number 13 is the sum of oo, 2 numbers, as OO1 .00, = 00 ^ (89), 13 is the number of groups ooj oo, numbers p, by which the theorem applies. sud- detto; e poiché esso vale per questi gruppi considerati come numeri e si può passare da un gruppo ad un altro scambiando T ultimo elemento del primo col primo elemento del successivo, il teorema vale anche pel numero ooj2. South said, and as it applies to these groups regarded as numbers and you can move from one group to another by exchanging T last element of the first with the first element of the next theorem is also true for the number ooj2. Sup- posto che esso valga per oo,w numeri si dimostra nello stesso modo che vale Sup-place that it holds for oo, w numbers shown in the same way that applies
Page 118 Page 118118 pel numero o^* -*-1, oltre che peì numeri intermedi. 118 for the number or ^ * - * -1, as well as pei intermediate numbers. Ma vale per m=s2 dun- que vale per m finito qualunque (I, 39). But that is for m = s2 dun-que is true for any finite m (I, 39). Sia dato un numero ^ somma di oo^i numeri j*. Let the total number of oo ^ ^ j * numbers. Siano : gli indici che indicano nella somma i posti di due numeri ft, e di cui il primo sia ad es. Are: the indexes that indicate the places in the sum of two numbers ft, and the first of which is for example. maggiore del secondo ; allora possiamo separare i numeri p della somma nei seguenti oo, gruppi successivi riferendoci soltanto ai loro indici. greater than the second, then we can separate the sum of the following numbers p oo, successive groups referring only to their indexes. I numeri men in Z e Z possono essere anche infiniti ^ ooj. The numbers m in Z and Z can also be infinite ^ ooj. (1 .... ODj ( 00, + 1, .... 00^) + ( 00,2 + 1, ...., 00^) + .... + ( OO^l-* -! ...., ^- 1) + + (Z. .... oo^imH) + .... + (oo^iri .... Z' - 1) + .... + (Z.... OD oorm-il ir Ma in questi o^ gruppi senza alterare la somma dei numeri che rappre- sentano possiamo scambiar di posto i due gruppi (Z.... oo1 i-* fcM),(^'.... oo*!- "-*-1 ), e quindi i due numeri dati che occupano i posti indicati da Z e Z' . Se Z'sroo,00! basta considerare come ultimo gruppo il numero e ! *i stesso. Il teor. vale dunque anche per la somma di ooj001 numeri. Supponiamo che il teor. sia stato dimostrato per un numero p; esso si dimostra anche pel numero oojf* collo stesso ragionamento usato pel numero oo,00!, scomponendo cioè il gruppo ordinato di oo^ numeri in p gruppi, e in due dei quali siano primi due numeri i cui posti siano indicati dai numeri Z e Z1 dati minori di JA, e l'uno minore dell'altro. Valendo la proprietà per f* si possono scambiare di posto i due gruppi cui appartengono Z e Z? e quindi anche i due numeri dati. Così per tutti gli altri numeri tenendo sempre conto della natura del numero oot. La stessa dimostrazione vale per ogni numero oo^ essendo p /* II teor. vale anche per ogni numero oo/*^, ove nT è un [numero qua- lunque dato di (I), dunque vale anche pel numero vale a dire se il teor. vale per f* vale anche pel numero Z19 Ma è stato di- mostrato per f* finito (d) e quindi anche pei numeri infiniti d'ordine finito e perciò ancora pei numeri infiniti d'ordine infinito che a sua volta è d'ordine finito, e così via. E poiché ogni numero di (II) per Tip. V è ottenuto in que- sto modo, valendo il teor. in ogni ripetizione, vale in generale. Es. 1. 2. oo!=:|Y+i I + 1T-I-1 lf...+17-4-1 I + |T 4- 1 ' ' ' 2 n nn-l (1 .... feuds (00, + 1, .... 00 ^) + (00.2 + 1, ...., 00 ^) + .... + (OO ^ l-* -! ...., ^ - 1) + + (Z. .... oo ^ ImH) + .... + (oo iri ^ .... Z '- 1) + .... + (Z OR ... oorm the ir-o ^ But in these groups without altering the sum of numbers that represent we can exchange a place of the two groups (Z i-OO1 ... * FCM), (^ '... . oo *! - "- * -1), and then the two numbers that occupy the places indicated by Z and Z '. If Z'sroo, 00! just as the last group to consider the number and! * the same. The theor.. therefore applies also for the sum of ooj001 numbers. Suppose that the theorem. it has been demonstrated for a number p; it also demonstrates for the number oojf * neck same reasoning used for the number oo, 00!, decomposing ie the ordered group of oo ^ p numbers in groups, and two of which are the first two numbers whose positions are indicated by numbers Z and Z1 data under JA, and one less than the other. the property being valid for f * can be exchanged for placed the two groups they belong to Z and Z? and therefore the two given numbers. So for all the other numbers always taking into account the nature of the number oot. The same proof applies to each number being oo ^ p / * II theorem. applies Also for each number oo / * ^, where nT is a [number-lunque given here of (I), therefore also applies for the number that is to say if the theor.. applies to f * is also true for the number of-Z19 But it has been shown for the finished f * (d) and therefore also pei infinite numbers of finite order and therefore still pei infinite numbers of infinite order which in turn is of finite order, and so on. And since each number of (II) for Tip. V is obtained in this way-I am, whichever theorem. in each repetition, hold in general. Example 1. 2. oo! =: | Y i + I + I-1-1T + lf ... 01.04.17 I + | T 4 - 1 '' '2 n nn-l
Page 119 Page 119119 oorn I+...+IT + 1 li n] i nn-l n+l \ -MI + i +,...+1 I + IT +....+r i 2 n 1 J+...+U 4- 1 ntl; loo^nii i portando F e 1 rispettivamente dopoT e 1; T 1 nil +?! Oorn 119 I + + EN + 1 ... n them] nn-l n + l \ i-MI + +, I + ... +1 GB + .... + r 2 n 1 + ... + J U 4-1 ntl; loo ^ nii bringing the F and 1 respectively dopoT and 1, T 1 + nil?! w ooj-nl l dopo"! e 1 col crescere indefinitamente di n si ha 1 2 3 ... + l + ...+l +... + 1 I n 1- J cioè +T + 1 2 n ooj-n ooj-n-1 zz ( ! . 2 rispettivamente 1-n ooj-nM = 1 oD^n+1) l + ll +... = |l +... jn-tl i-(nfi) + + 1 + 1 +... ni coir aumentare di n 1* unità 1 viene portata prima di 1 ei' unità 1 ossia 1 n+lne^nfl) oorn-l dopo 1 , e quindi coll'aumentare indefinitamente di n si esaurisce la prima serie 1-n e si completa la seconda ; si ha dunque : ooj w-nl l after "! and 1 to grow indefinitely with n we have 1 2 3 ... + ... + l + l + ... + 1 I n 1 - that is, J + T + 1 2 n ooj ooj-n-n-1 zz (!. 2 respectively 1-n-ooj nM = 1 or D ^ n +1) l + ll + ... = | l + ... jn-tl i-(nfi) + + 1 + 1 + ... ni coir increase of n 1 * unit 1 is brought before 1 and 'units 1 or 1 n + lne ^ nfl) oorn-l after 1, and then increases as indefinitely of n is exhausted the first 1-series will be complete the second, there is therefore:
Page 120 Page 120120 oo, = l n nl *. 120 oo, the n = nl *. 3. 3. ! ! - ws: ,1 + 1+...+ !+...+,! - Ws:, 1 + 1 + ... +! ... + +! + ... + ... + 1 +1 +.... + 1 + 1 + .... + 1 + 1 im = 1 +... + 1 + 1 = 1 + im ... + 1 . + 1. +1 +..- + 1 + 1 + 1 +...+ 1 I n-4-l i-fn+l) | I ooj-n oo^-m | jn nl i +1 + 1 +...+ 1J nl | e quindi Analogamente per = 1 + 1 +... +1 + .. - + 1 + 1 + 1 + ... + 1 I n-4-i-l fn + l) | I ooj-n-m oo ^ | jn nl i +1 + 1 + .. . 1J + nl |, and then Similarly, for = 1 + 1 + ... + 1 oo1==l+l + l + ... OO1 + 1 == l + l + l + ... 123 2n 2n-|-2 + 1 fi +1 +1 l +1 l + ll +1 2n-l 2rt-4-l| | +. 2n-2n 123 | -2 1 + fi l +1 +1 +1 +1 l + ll 2n-2RT-4-l | | +. + 1 +1 +1 +..-+1 2n +1- 1+1 +1 +...+1 +1 l+Jl + 1+... +1 +1 +1 + .. - 1 +1 +1 +1 +1- 2n +1 +1 + ... + l Jl + 1 + ... I 2 -f-2 2n+3 w^n-3 j^n-2 | | i 3 +... The 2-f-2 w 2n +3 ^ j ^ n-3 n-2 | | i 3 + ... + 1 Ora se si porta nella prima separazione 1 dopo lei prima di 1 , e 1 *7H- In oor2n-2 oo^gn 2 -4-3 dopo 1 e 1 prima di 1 nella terza, e cosi seguitando indefinitamente fino 2 -4-1 ooj-Sn-3 ocj-gn-l all'esaurimento della serie intermedia si completano le due serie estreme, ma con questo che esse sono uguali, e la serie primitiva contiene il doppio di unità di cia- scuna di esse, perché le unità della prima separazione sono 2w+le 2n + 1 sono quelle della terza mentre poi della serie intermedia si portano successivamente i termini due a due in ambe le serie. + 1 Now if you take the first break after her first 1 of 1, and 1 * 7H-2-In oor2n oo gn ^ 2 -4-3 1 before and after 1 1 in the third, and so continuing indefinitely until 2 - 4-1 ooj-Sn-3-gn-ocj the exhaustion of the intermediate series complement the two series extreme, but with this that they are equal, and the series of primitive contains the double-unit of each set for each stage, because the units of the first separation are 2w + the 2n + 1 are those of the third and then the intermediate series will subsequently lead to the terms two by two in both his series. Indicando con cc\ il numero corrispondente a queste due serie si ha che scriveremo anche cosi i . Denoting by cc \ the number corresponding to these two series we have that so i will also write. 1=Z 2 ' Questo numero non appartiene alla classe (II), ma è compreso fra O e oolt Però finché non si suppone esistente questo numero e sono date soltanto le due serie 1 = Z 2 'This number does not belong to the class (II), but is between O and oolt However, until this is supposed to existing number and are given only the two series
Page 121 Page 121121 ì 3. 121 ì 3. .. .. ..., oi n. , ..., Or n. .. .. * !, allora non possiamo formare colle due serie opposte due cop- pie di serie opposte. *!, Then we can form two opposite series with the two pairs of opposing series. In tal caso n è quanto grande si vuole ma bisogna considerarlo sempre in uno stato dato, e non già nel senso che diventi indefinitamente grande. In this case n is how big you want but you must always consider it a given, and not in the sense that it becomes indefinitely large. Si possono considerare però tutti i numeri dati della divisione intermedia nella prima e nella terza separazione 1). Can be considered, however, all the numbers of the data division intermediate in the first and third separation 1). f. f. Se in un gruppo ordinato di uno dei nostri numeri infiniti di elementi si cambia l'ordine degli elementi senza alterare la natura del numero OOT esso rappresenta sempre lo stesso numero di (II). If in an ordered group of one of our infinite numbers of elements changes the order of the elements without altering the nature of the number OOT it is always the same number of (II). g. g. Per la moltiplicazione dei numeri di (II) vale la legge distributiva. This multiplication of numbers (II) is the distributive law. Difatti se si ha un numero determinato di (II), cioè : (1) oot/* n, rt oo/*"1 n2 =t oo/*""1 nm rt .... : co* n : OOT ne lo si moltiplica per un numero ?j, ciò significa che il numero (1) si somma ij volte. Ora, per la legge commutativa della somma (def) potremo considerare prima poL db oojf*-* n2 q, e così via, e -quindi si ha: 17 s= t .... Se invece si moltiplica il numero 15 per (1) ciò significa che si deve som- mare il segmento rappresentato da ij le unità contenute in (1), e quindi per il senso stesso dell'operazione si ha: ai....:^^^ Se si tratta della moltiplicazione di due numeri (1), vale lo stesso ra- gionamento. h. Per la divisione dei numeri di (II) vale pure la legge distributiva, (oss. Ili, 92 e def. I, 53). Ciò deriva dalla definizione stessa di questa operazione come quella che insegna a determinare il moltiplicando dato il prodotto e il moltiplicatore. i. Per la moltiplicazione di due numeri di (II) vale la legge commu- tativa. Dim. I. Sia dato il prodotto p . 13. Il gruppo che lo rappresenta contiene 15 gruppi consecutivi (conv. I, 91) di p elementi. Abbiamo dunque: p . ti = f*w -f- v -4- .... -4- ft(n) -f .... Considerando in ciascuno la prima unità, e disponendo queste unità come primo, secondo, ecc. - 3mo elemento (/"), e così ripetendo l'operazione fino al- l'esaurimento delle unità del numero f*, si ha: Dim. II. In fact if you have a certain number of (II), namely: (1) oot / * n, rt oo / * "1 n2 = t oo / *" "1 nm .... rt: co * n: OOT I it is multiplied by a number? j, this means that the number (1) is the sum ij times. Now, for the commutative law of the sum (final) we can consider before pol oojf db * - * n2 q, and so on, and -then we have: t = 17 s .... If you multiply the number by 15 (1) this means that we must sum the segment represented by sea-ij units contained in (1), and then for the way the same operation we have: to ....: ^ ^ ^ If this is the multiplication of two numbers (1), applies the same ra-sufficiency. h. For the division of numbers (II) also applies the law distribution, (oss. Ill, 92, and def. I, 53). This stems from the very definition of this operation as one that teaches how to determine the product and the multiplicand as the multiplier. i. For multiplication of two numbers (II ) applies the law switching nic. Size I. Consider the product p. 13. The group that represents it contains 15 consecutive groups (conv. I, 91) of p elements. So we have: p. ti = f * w -f-v -4 - .... -4 - ft (n)-f .... Considering in each of the first unit, and arranging such units as the first, second, etc.. - 3mo element (/ "), and so repeating the operation until-depletion in the number of units f *, we have: Dim II. Si è visto che 2 ooT=ooT2 (es. 1). It is seen that 2 = oot ooT2 (eg 1). i) Se nell'esempio dato della retta (nota prec.) dopo aver percorsa l'intera retta da A nel verso dato A rappresentasse il numero i percorrendo un' altra volta la retta essa rappresenterebbe il nu- 2 mero i i) If in the example given of the line (note prev.) after having traveled the entire line from A in the direction given to the number represented along a 'straight the last time it would represent merely the nu-2
Page 122 Page 122122 Ammesso il teor. 122 Assuming the theorem. per n 1 lo si dimostra per w, cioè t perché noo,=((tt l) + l)ootc=(^ 1)00! for n 1 it is shown for w, ie t it noo, = ((tt l) + l) OOTC = (1 ^) 00! + ^ (g) = 00^- IJ-f-OOjCsrOOj.W. + ^ (G) = 00 ^ - f-IJ-OOjCsrOOj.W. (d, 47) Così si ha: n ( ODT rt m) = oot nit mn = ( OOT rt *n) w (d) Ora 2a I2==2.ooI.ooI =ool.2.ool==oDI22 similmente si dimostra che: OOj2.WSSn.00,2 e perciò ( oot2 nT dr oot %2 it n3) m = ooT2 n^ m - oot n2 m : ^3 m = m oot2 nt zi: m OOT n2 it m % = m ( ooT2 nT 00^21*1 %). (D, 47) Thus we have: n (ODT rt m) = mn = nit oot (OOT rt * n) w (d) Now the second I2 = ool.2.ool == == 2.ooI.ooI oDI22 similarly proves that: OOj2.WSSn.00, 2 and therefore (nT oot2 dr 2% oot en n3) ooT2 m = n ^ m - n2 oot m: m = m ^ 3 nt oot2 zi: m =% m en OOT n2 m (nT ooT2 00 ^ 21 * 1%). (cO II numero oo^1 è ottenuto dalla somma di OOT numeri uguali a oot -i; ap- plicando dunque la dimostrazione pel caso dell'unità 1 (es. 1) si ha; Così vale la stessa dimostrazione per ooTJ* essendo esso la somma di oot numeri uguali ao^f*-1, e si ha: 2 00^ = 00^2 e quindi anche m ooTf* ss oo^ m. Ora essendo dati due numeri pt e tj rispettivamente di ordine pe if (def. II, 86 e oss. Ili, 91) si pongono sotto la forma oo^ n, it oo'1 nt dz .... dt w^' (ind I, 91) valendo la legge distributiva, e poiché ooTJ* oo^ = oot^ -*-11 == oo^ * ** per la legge commutativa dei singoli prodotti della somma si ha: Z. / numeri della classe (II) si lasciano aggruppare successivamente in se- rie illimitate di la specie, e queste in serie pure illimitate di la specie, e così via minutamente. Difatti ogni numero della classe (ti) è della forma Z (ind. I, 91). Ponendo nt n2 = .... :=f?jA = oe lasciando variare n\p\ si ha la serie (I), che indico con 8^ ). (CO ^ oo The number 1 is obtained by adding the same numbers of OOT oot-i; ap-plying thus demonstrating PEL case unit 1 (eg 1) it has, so that the same proof for it being ooTJ * the sum of numbers equal to or oot ^ f * -1, we have: 2 00 ^ = 00 ^ 2 and hence m * ss ooTf oo ^ m. now being given two numbers of order pt and tj respectively eg if (final . II, 86 and oss. Ill, 91) arise in the form n ^ oo, it oo'1 nt .... dz dt ^ w '(ind I, 91) being worth the distributive law, and since ooTJ * oo oot ^ = ^ - * oo ^ == -11 *** to the commutative law of the sum of individual products, we have: Z / numbers in the class (II) are left then group together in endless se-ries of the species, and well in these unlimited number of species, and so minutely. In fact, every number of the class (I) is of the form Z (ind. I, 91). Putting nt = n2 ....: = f? ja = o and let vary n \ p \ we have the series (I), which I indicate with 8 ^). Per ^t = Wg = .... For t = Wg ^ = .... w.jx.1 = o lasciando variare n^ , ^+1 abbiamo per ogni valore di np una serie ST, e quindi per tutti i valori di wp si ha una serie 2(0) ^" No change or leaving w.jx.1 = ^, ^ +1 we have for each value of np a ST series, and then for all values of wp you have a series 2 (0) ^ "
Page 123 Page 123123 limitata di la specie rispetto alle Sl *). Limited to 123 species of the Sl *). Cosi seguitando si vede che i numeri di ordine p costituiscono una serie Sp che dirò di pma specie. Thus we see that continuing numbers of order p constitute a series that tell the amp Sp species. La prima serie f ) è: o 1 2 .... The first series f) is: o 1 2 .... n .... No .... .... .... OOj m .., - -. OOj m .. -. - -.+ . -. +. ..... ..... .... .... OOT mi m2 t... OOT I m2 t ... O0[ 992| OO-^ 9%f -f- )7?2 ..... O0 [992 | 9% ^ OO-f-f-) 7? 2 ..... 00t2 T2 -f ooT m, wzg .... 00t2 T2-f oot m, WZG .... ooj2 -f oot mT .... ooj2 mT-f oot .... oot2 00T2 Indicando con Sl una qualunque delle serie di la specie contenuta nella /Sgto), con /Sg una qualunque delle serie di 2a specie contenuta in SJ \ e così via, abbiamo la serie Si S2 *S3 .... oot2 00T2 Indicating with Sl any one of the series of the species contained in / Sgto), with / Sg any one of the series of second species contained in SJ \, and so on, we have the series It S2 S3 * .... Sn.... Sn .... rappresentata dai numeri che hanno per simbolo comune rispettivamente o T, oot2, ooT3 .... represented by the numbers which have the common symbol or T, respectively, oot2, ooT3 .... oo^ .... oo ^ .... Indico questa serie con 2tt ), subito dopo di essa viene la serie .... Indico this series with 2TT), immediately after it is the series .... 00, ! 00,! .... .... 00^1-*-^ 2t 2) 1) S'intendono fin qui valori sempre interi e positivi finiti. 00 ^ 1 - * - ^ 2t 2) 1) terms mean far more complete and positive finite values. 2) Facendo seguito alla 2 nota 90 e alla 3 del n. 2) Following note 90 at 2 and 3 of n. 92 diamo i seguenti teoremi ; 1. 92 we give the following theorems; 1. La serie eli numeri dati che precedono un numero infinito dato nella nostra classe (li) ha la prima potenza. The series eli numbers given above are an infinite number given in our class (li) has the first power. A questo scopo si osservi che dal simbolo z di un numero dato di (li) (ind. i, 91) risulta che esso dipende dai numeri n finiti di (I) che sono in numero finito, e quindi i numeri di (II) di ordine non superiore af* si possono far corrispondere univocamente ai numeri di (I). For this purpose it is noted that the symbol of a given number of z (li) (ind. i, 91) is that it depends on the numbers n finished (I) which are finite in number, and therefore the numbers of (II) order of no more than f * can be made to correspond uniquely to the numbers of (I). 2. 2. La classe (11} non ha la stessa potenza della classe (i.) Difatti ai numeri della forma , co2.... Wn .... cow ... Q ... di a. cantor possiamo far corrispon- dere tutti i gruppi di numeri i * i (*M=ot i. 2, ... n ...) OD^ oo1n1-+-ng (HJ, H2=o, 1, 2 ..., n.... se nj=o anche n2 deve essere o nel caso del segno -4-). Ad o)W facciamo corrispondere tutti i numeri che precedono ooi i compreso xi00! The class (11} has the same power class (i.) In fact, the numbers of the form, co2 .... Wn .... cow ... Q ... a. Singer we can hide all corre- groups of numbers i * i (M * = ot i. 2, ... n ...) OD ^ +-oo1n1-ng (HJ, H2 = o, 1, 2, ..., n .... if nj = n2 or even be or in the case of the sign -4 -). For o) W do match all the numbers preceding the Ooi including xi00! e seguono i nu- meri dei campi infiniti d1 ordine finito e al numero co?} tutti i numeri che si ottengono dal simbolo wjl) ponendo in luogo di tj i nostri numeri che gli corrispondono, e tutti quelli fra essi compresi. and follow the nu-mers of infinite fields d1 finite order and number co?} all the numbers you get the symbol WJL) putting in place of tj our numbers that match and everyone including those thereof. Ma il sig. But Mr. cantor ha già dimostrato che la sua classe (II) di numeri transfiniti non ha la stessa potenza di (i). singer has already demonstrated that his class (II) of transfinite numbers has the same power to (i). (Vedi ad es. : Acta math. voi. li, pag. 391-392), dunque non la ha neppure ta nostra. (See eg.: Acta math. You. Them, p. 391-392), therefore we do not even have ta. 3. 3. La nostra classe (//) ha la stessa potenza della classe (II) di cantor. Our class (/ /) has the same power class (II) of the singer. Supponiamo difatti che abbia la potenza della classe HI di Cantor, che è immediatamente supe- riore a quella della classe (II) secondo la definizione stessa della classe (III) (2 nota 90). Suppose that in fact has the power of the class HI Cantor, which is immediately greater than that of the class (II) as defined in the same class (III) (2 footnote 90). Ciò significa che vi sarà almeno un numero y della nostra classe (li) che corrisponde ad un numero della classe (IH), Ma perché ciò fosse bisognerebbe che la serie dei numeri che precedono fi fosse della potenza di (II), il che è assurdo, (i). This means that there will be at least a number y of our class (li) that corresponds to a number of the class (IH), but because it was necessary that the series of numbers that precede fi had the power of (II), which is absurd, (i). Le nostre grandezze infinite e infinitesime hanno delle analogie colle grandezze infinite e nulle Our infinite and infinitesimal quantities are to similarities hill infinite magnitudes and void
Page 124 Page 124e ogni numero di questa serie rappresenta una serie ; cioè: !- ! and every number in this series represents a number, ie:! -! 'S'ooj-Wj-tz .... 'S'ooj-Wj-tz .... S i S l+.nil la prima delle quali Contiene tutte le precedenti date dai numeri da o sino al numero 00^1-* !%l + ooT vmri n2 -f .... S i S l +. Nil the first of which contains all of the above numbers or dates by up to 00 ^ 1 - *!% L + n2-f oot vmri .... -f-OOT*I-WI- ftw + oot r W'T + oo *'-i ^'2 -f .... OOT-f-* I-WI-ftw + r oot W'T + oo * '-i ^ '2-f .... 4. 4. rim m. m rim. I segmenti finiti infinitesimi e infiniti fino all'ordine p, compresi tutti quelli i cui ordini sono finiti col numero p formano un gruppo che si trasforma in sé medesimo prendendo un numero finito di volte gli infiniti o gli infinite- simi degli stessi ordini di ogni segmento del gruppo. The infinitesimal finite and infinite segments up to order p, including those whose orders are finished with the number p form a group that becomes himself by taking a finite number of times the infinite or infinite-similar of the same order each segment of the group. Sia j* infinito d'ordine a, il tipo di jt* è ooto e quindi il tipo dei numeri infiniti di ordine \t è 00^1 ". n^ essendo nt finito, al quale possono essere ag- giunti o tolti numeri infiniti d'ordine inferiore (ind. I, 91). Tutti i numeri infiniti d'ordine fluito con quelli di ordine f* sono del tipo 0^*1 . Se sono dati due di questi numeri i cui numeri tipici massimi che li com- pongono sono della forma oo^i^, ooT ia , moltiplicati fra loro danno evidente- mente un numero dello stesso gruppo, perché si ha i^.o^i^rr:* ^!^*-^. Se si considera un segmento (AB) infinitesimo d'ordine i) al più finito con pi, 1' unità fondamentale (AAt) è infinita d'ordine i} rispetto ad (AB). Se si considera un multiplo di (AB) secondo un numero a infinito d'ordine al più finito rispetto ap, si ha un segmento infinito d'ordine a rispetto ad (AB) (f, 92), il quale o sarà infinitesimo, finito o infinito rispetto ad (AAJ (/", 82). Nei primi due casi è compreso nel campo suddetto, mentre se è infinito non può essere maggiore del multiplo di (AAJ secondo lo stesso numero a, perché questo ri- spetto ad (AB) è dell'ordine i?-fa (f, 92). Se consideriamo un segmento infinitesimo di (AB) secondo l'ordine a, questo sarà infinitesimo d'ordine 13-fa rispetto ad (AAT), ma poiché ij ea sono al più finiti con p, anche ij-4-a è al più finito con p (i, 82 e def, I, 87). Il teor. è dunque dimostrato. del DU Bois-Reymond (Matti. Annr. XI, Ueber die Paradoxen des Infinitàrcalculs; Die Allg. Furictio- nentheorie-Ttlbingen 1882, p. 278 Ueber dea raonotoaen Endverlauf der Functionen und die infinitare Pantachie ). Del resto anche colle altre grandezze infinite o infinitesime possibili hanno dei caratteri comuni, primo fra tutti quello che sono maggiori o minori di ogni grandezza finita. Ma rispetto agli infiniti e nulli del DBR osservo che r origine non è la medesima perché né i nostri segmenti né i nostri numeri della classe (II) sono definiti come ordini d'infinito di funzioni rispetto ad una data unità ; anche supponendo che ciò si possa, si vede che in generale non si corrispondono. Difatti il prof. Pino he rie in una nota (Alcune osservazioni sugli ordini d'infinito delle funzioni Bologna 1884) ha osservato che essendo A, -B, C, ordini d'infinito secondo la def. del DB R, e se A #, A e non solo si può dir nulla sulla uguaglianza o disuguaglianza fra B ee, ma non si può nemmeno ricono- scere se le funzioni cui corrispondono gli ordini Be C siano paragonabili tra loro, mentre se A, J9, C sono tre dei nostri segmenti infiniti abbiamo sempre che B e C sono paragonabili o soddisfano ad una o all'altra delle relazioni A|= B. Dalle nostre ipotesi sugli infinitesimi che completeremo in seguito (ip. Vi, VII, Vili), è chiaro che i) concetto di grandezza infinita e infinitesima dell'idealista di DBR (Allg. FT pag. 71-75 e 283) non è determinato allo stesso modo. (Vedi nota 2 n. 85 e nota i n. 96). Let j * to infinite order, the type of jt * is ooto and then the type of infinite numbers of order \ t ^ 1 is 00 ". N ^ nt being finished, which may be added or removed joints infinite numbers of lower order (ind. I, 91). All eluted with infinite numbers of order-order ones are of the type f * 0 ^ * 1. If these numbers are given two numbers whose typical maximum that they com- pose are of the form oo ^ i ^, ia oot, multiplied together give a clear mind-number of the same group, because we have i ^. or ^ i ^ rr: ^ * ^ * - ^. If we consider a segment (AB) infinitesimal of order i) finished with more than, 1 'fundamental unit (AAT) has infinite order with respect to i} (AB). If we consider a multiple of (AB) in an infinite number of 'order as finished with respect to p, is a segment has infinite order in respect to (AB) (f, 92), which will be or infinitesimal, finite or infinite with respect to (AAJ (/ ", 82). In the first two cases is included in the above range, while if it is infinite can not be greater than the multiple of (AAJ according to the same number, because this re-compared to (AB) is in the order i?-ago (f, 92). If we consider an infinitesimal segment of (AB) according to the order, this will be infinitesimal of order 13-ago with respect to (AAT), but since ij and are at most finished with p, also ij-4-a is at most finished with p (i, 82, and final, I, 87). the theorem. is thus demonstrated. DU Bois-Reymond (Matti. Annr. XI, Ueber die Paradoxen des Infinitàrcalculs; Die Allg. Furictio-nentheorie Ttlbingen-1882, p. 278 Ueber der goddess raonotoaen Endverlauf Functionen und die infinitare Pantachie). Moreover, even with the other sizes are possible infinite or infinitesimal characters of the common, first of all that are greater or less than any finite magnitude. But compared to the infinite and zero I note that the DBR r source is not the same because neither our segments or our numbers in class (II) are defined as functions of infinite order with respect to a given unit, even assuming that this can be, we see that generally do not match. In fact, Professor. Pine Rie h in a note (Some observations on the orders of infinity of functions Bologna 1884) noted that since A,-B, C, according to final orders of infinity. DB R , and if A #, A, not only can you say anything about the equality or inequality between B and c, but you can not even recognized scere if the functions which correspond to orders Well C are comparable to each other, while if A, J9, C are three of our segments that we have always infinite B and C are comparable to or satisfy one or other of the relations A | = B. From our assumption that we will complete later on infinitesimals (ip. Vi, VII, VIII), is clear that i) the concept of infinite magnitude and infinitesimal idealist DBR (FT Allg. p. 71-75 and 283) is not determined in the same way. (See note 2 n. note 85 and the n. 96).
Page 125 Page 125125 6. 125 6. Unità di diverse specie Nuovo carattere deir unità di misura. Units of different species New deir character units. 94. 94. Def. Def. I. I. Quando diremo unità di una data specie intenderemo uno qua- lunque dei segmenti della medesima specie (def. I, 86). When we say a unit of a given species shall understand here lunque-segments of the same species (def. I, 86). E partendo da una data scala come prima scala, Punita corrispondente, che è anche l'unità fondamentale (def. VII, 91) la chiameremo anche unità di la specie. And starting with a given scale as the first scale, corresponding Punished, who is also the fundamental unit (def. VII, 91) will also call the unit of the species. E l'unità corrispondente al campo infinito d'ordine % la chiameremo unità di speci? And the unit corresponding to the infinite field of order we will call units% of species? ti. you. Ose. Ose. I. I. Dato un segmento (AB] non sappiamo ancora se contenga segmenti in- finitesimi, anzi si può supporre che non contenga alcun altro elemento fuori di A e AI {def. VI, 62) od anche che avendo altri elementi non contenga alcun infinitesimo, non essendo stata fatta alcuna ipotesi sulla unità fondamentale dalla quale siamo partiti (088. I, 80). Given a segment (AB] do not yet know whether it contains segments in-finitesimi, indeed we may suppose that it contains no other element outside of A and AI {def. VI, 62) or even that it does not contain any other elements having infinitesimal, not having been made no assumptions about the fundamental unity from which we started (088. I, 80). Def. Def. IL Noi stabiliamo fin d'ora che l'unità di misura sia un segmento contenente almeno un infinitesimo di 1 ordine. IL We establish now that the unit of measure is a segment containing at least an infinitesimal of order 1. E supporremo la stessa cosa per ogni segmento, quando non diremo il contrario. And suppose the same for each segment, when we say the opposite. Oss. Oss. IL Evidentemente questa nuova definizione di unità non contiene alcuna ipotesi poiché è una denominazione diversa dei segmenti che hanno un infinitesimo almeno, e significa soltanto che noi ci occupiamo d'ora innanzi delle sole scale, le cui unità di misura sono di questi segmenti. THE Apparently this new unit definition does not contain any assumptions because it is a name other segments that have at least an infinitesimal, and it means only that we deal henceforth only the scale, whose units are in these segments. 7- Divisione dei segmenti finiti in parti finite Segmento finito sem- pre decrescente Suo limite Segmento indefinitamente pic- colo rispetto a una data unità, Ipotesi sulla contuinità relativa, ad un'unita Elementi limiti di un gruppo di elementi rispetto ad un'unità nella forma fondamentale. 7 - Division of segments Segment finished finished finished parts always pre descending segment limit your pic indefinitely Article with respect to a given unit, Hypothesis on contuinità relative to a unit limit elements of a group of elements with respect to a unit in fundamental form. 95.a. 95.a. In un segmento qualunque (AB) nel verso da A a B vie a cominciare da A una serie di n parti consecutive finite rispetto ad essof qualunque sia n. In any one segment (AB) in the direction from A to B-way starting from A a series of n consecutive parts finished with respect to essof whatever n. Ciò risulta dalla def. This results from the final. II del n. II n. 82 e dal teor. 82 and by the theorem. b. b. 85; basta applicare questo teorema n volte. 85, just apply this theorem n times. d. d. In ogni segmento (AB) vi sono sempre segmenti (AJff) i cui multipli se- condo il numero dato n sono minori di (AB\ e altri i cui multipli secondo lo stesso numero sono maggiori di (AB). Difatti (AB) si può scomporre in un numero n finito (A#), (RB").... di segmenti consecutivi (a), e si può sempre supporre ve ne sia uno almeno In each segment (AB) there are always segments (AJff) whose multiple-if the second given number n are smaller than (AB \ and others whose multiple according to the same number are greater than (AB). Fact, (AB) can decompose in a finite number n (A #), (RB ") .... consecutive segments of (a), and one can always assume there is one at least
Page 126 Page 126126 minore degli altri, perché se sono tutti disuguali trascurando ogni segmento maggiore di un'altro degli n segmenti e ripetendo questa operazione al più per n-1 degli n segmenti il segmento rimanente deve essere il minore; op- pure perché se fossero tutti uguali basterebbe dividere il primo in due parti (AB'), (BfB} ) e riguardare come primo segmento (AB1) e come secondo (Btjffl). 126 than the others, because they are all unequal neglected any more than another segment of the n segments and repeating this operation than for n-1 n segments of the remaining segment to be the minor-op as well because if they were all equal would be enough to divide the first into two parts (AB '), (BfB}) and cover as the first segment (AB1) and as second (Btjffl). Per il primo evidentemente si avrà: (AB')n (AB) (cf,79). For the first evidently we will have: (AB ') n (AB) (cf, 79). Se il più grande dei segmenti è (BWB) = (ABÌ) avremo invece: (ABi}n (AB) (ti9, 79). b. Un segmento finito della forma fondamentale può essere scomposto in un numero intero finito di parti finite consecutive ciascuna più piccola di qual- siasi segmento finito dato. Il segmento dato sia (AB); (A#) = cc, (B'B) = jS siano due parti finite con- secutive di (AB) (a). Supponiamo che sia = /3 il segmento finito dato quanto piccolo si vuole. Se ^ 0 il teorema è immediata conseguenza del teorema a. Se invece ]5 a vi è sempre un numero finito n tale che si ha: (def. II, 82 e cr, 81) vale a dire a = ]Sn4-y essendo 7 |S. Ma pel teorema a possiamo scomporre jS, sebbene sia piccolo quanto si vuole ma dato, in parti finite più piccole, e quindi così facendo per ogni parte di ]3 contenuta in a, il teorema è dimostrato. Oss. I. La serie dei segmenti finiti (AX) contenuti in un segmento (AB) si può immaginare generata da un segmento variabile sempre decrescente (def. I, 83) nella quale A è sempre lo stesso e X varia in modo che in ogni stato (AX) è un segmento della serie minore di ogni segmento precedente. Def. I. Se un segmento variabile diventa più piccolo di ogni segmento finito dato (6), diremo che esso diventa indefinitamente piccolo rispetto all'u- nità finita. e. L' inde finitamente piccolo rispetto ad un'unità è diverso dal? in finita- mente piccolo rispetto alla stessa unità. Difatti in ogni suo stato (AX) è finito e non esce dal campo dei segmenti finiti, e quindi non può diventare in questo modo infinitesimo (def. II, 82). Def. II. Diremo anche che un segmento variabile finito (AX) coir estremo X variabile il quale diventa più piccolo di ogni segmento finito dato arbitraria- mente piccolo tende a diventare infinitamente piccolo di 1 ordine se vi sono o se consideriamo in esso altri infinitesimi ; altrimenti diremo che tende a diventare infinitamente piccolo (def. II, 94). Def. III. E il segmento infinitamente piccolo di 1 ordine si chiamerà limite del segmento variabile finito (AX), e si scriverà: lim (AX) = infinitesimo 1 ordine. d. Se un segmento (AX) finito e con un estremo variabile diventa più piccolo If the largest of its segments (BWB) = (ABI), we have instead: (ABI} n (AB) (Ti9, 79). B. A finite segment of the basic form can be decomposed into a finite integer number of finished parts in a row each smaller than any given finite segment. The given segment is (AB); (A #) = cc, (B'B) = jS are two finished parts with-secutive of (AB) (a). Suppose that both = / 3 the finite segment as small as you want. If ^ 0 the theorem is an immediate consequence of a theorem. If] 5 and there is always a finite number n such that we have: (def. II, 82 and cr 81) ie a =] y being Sn4-7 | S. But in PEL theorem we can decompose jS, although as little as you want but in smaller finished parts, and then doing so for each part of] 3 contained in a, the theorem is shown. Oss. I. The series of segments finished (AX) contained in a segment (AB) can be imagined generated by a variable segment always descending (final I, 83) in which A is always the X itself and varies in each state (AX) is a segment of the series less of each preceding segment. Def. I. If a variable segment becomes smaller than any given finite segment (6), we will say that it becomes indefinitely small than the U-nity over. and. L 'inde finitely small compared to unity is different from? in-finite mind small compared to the same unit. In fact, in every state (AX) is finite and not out of range of segments finite, and therefore can not become in this way infinitesimal (final II, 82). Def. II. We say that also a variable segment finished (AX) coir extreme X variable which becomes smaller in each segment given arbitrary finite- small minds tend to become infinitely smaller than 1 order if you are or if we consider it in other infinitesimals, otherwise we will say that it tends to become infinitely small (def. II, 94). Def. III. And the segment is infinitely smaller than 1 order limit of the variable segment called finite (AX), and write: lim (AX) = 1 order infinitesimal. d. If a segment (AX) and finished with an extremely variable becomes smaller
Page 127 Page 127127 di ogni segmento finito dato esso ha per limite il segmento nullo rispetto aW u- nità. 127 of each finite segment since it has no relation to the segment limit aW u-nity. ( ', 91). (', 91). Si ha cioè: lim(AJT) = o Def. It has that: lim (AJT) = o Def. IV. IV. Un segmento finito variabile (AX) tale che Xsi avvicini (def. VI, 67) indefinitamente rispetto ali' unità di misura ad un altro elemento B, si dice che ha per limite (AB)9 e si scrive: lim(AX)==(AB) O e. A finite segment variable (AX) that XSI approach (def. VI, 67) indefinitely with respect wings' units of measurement to another element B, which is said to limit (AB) 9, and we write: lim (AX) = = (AB) O and. Un segmento può diventare indefinitamente piccolo sia in un verso come nel verso opposto rispetto all'unità data. A segment can become indefinitely small both in one direction as in the opposite direction with respect to the unit date. Difatti si può considerare un segmento (A.\ A) uguale ali' unità (AA,) (def. I, 68) e tale dunque che (A.iA) sia diretto nello stesso verso di (AA,). In fact it can be considered a segment (A. \ A) equal wings' units (AA) (def. I, 68) and that, therefore, that (A.iA) is directed in the same direction (AA). Consi- derando X nel segmento (Ai A), se aumenta (Ai X), (XA) va sempre diminuendo (0V 73), e diventa più piccolo di ogni segmento finito dato arbitrariamente piccolo (A1 A), essendo A' compreso in (A-iA). Recital X in the segment (Ai A), if it increases (Ai X), (XA) is always decreasing (0V 73), and becomes smaller than any given arbitrarily small finite segment (A1 A), being A 'included in (A-iA). Così dicasi se l'elemento X è si- tuato neL segmento (AAJ. f. Se gli elementi X e X' si avvicinano indefinitamente in versi opposti ad un elemento A, il segmento (XX") diventa indefinitamente piccolo rispetto aWu~ nìtà data. Difatti si ha: (XX*)==(XA)+(AXr) e siccome (XA) e (AX') diventano indefinitamente piccoli (e) anche la loro somma diventa indefinitamente piccola. Se per es. (XX') rimanesse maggiore di un segmento finito dato per quanto piccolo, si può sempre scegliere un se- gmento uguale al dato, composto di due parti finite ( Yj A), (AY/) ( ', 69). Ma (AX) e (AX') devono diventare per dato più piccoli di (^A) e (AY/), dunque X e X' devono oltrepassare gli elementi Y, e Y/ ciascuno verso A e quindi il seg- mento (XX1) non può rimanere maggiore del segmento dato ( YtA) -f (AY/) (d, 73), e il teorema è dimostrato. Oss. IL Anche in questo caso si scrive g. Un segmento che diventa indefinitamente piccolo rispetto ad una data unità cogli estremi variabili in versi opposti e contiene un elemento A fuori del campo di variabilità dei suoi estremi ha per limite il solo elemento A ri- spetto a questa unità. È una forma diversa del teor. f combinato col teorema d (oss. I, 76). h. Se X si avvicina indefinitamente ad un elemento X', e questo nel mede- simo verso ad un elemento A, X si avvicina indefinitamente ad A. X1 è compreso nel segmento (XA) (def. II, 62 e 23). Se X non si avvici- i) Limitandosi al campo di una sola scala è improprio chiamare infinitesimo un segmento va- riabile sempre finito che diventa indefinitamente piccolo. Considerando come facciamo noi gli infi- nitesimi attuali (per distinguerli dagli indefinitamente piccoli che sono infinitesimi potenziali) e si chiamassero semplicemente infinitesimi i segmenti indefinitamente piccoli si farebbe un grave errore, The same applies if the element X is one-tuato in the segment (AAJ. f. If the elements X and X 'are close indefinitely in opposite directions to an element A, the segment (XX') becomes indefinitely small compared AWU ~ Community date . In fact we have: (XX *) == (XA) + (AXR) and since (XA) and (AX ') become infinitely small (and) also the sum becomes indefinitely small. If, for example. (XX') remained greater than a given finite segment however small, you can always choose a se-gmento equal to the figure, consists of two finite parts (Yj A), (AY /) (', 69). But (AX) and (AX ') must be given to the smaller of (^ A) and (AY /), then X and X' are required to pass the elements Y, and Y / A, and then each one towards the segment (XX1) can not remain greater than the given segment (Yta)-f (AY /) (d, 73), and the theorem is shown. Oss. THE Also in this case is written g. A segment which becomes indefinitely small with respect to a given unit Seize extreme variables in verse opposites and contains an element A outside the range of variability of its ultimate limit has as the only element in re-compared to this unit. It is a different form of the theorem. combined with the theorem of f (oss. I, 76). h. If X is approaching indefinitely to an element X ', and this in beacons-th to an element A, X approaches indefinitely to A. X1 is included in the segment (XA) (def. II, 62 and 23). If X not gets close i) Limiting the scope of a single scale is inappropriate to call an infinitesimal segment is always finite-variable becomes indefinitely small. Considering as we do the infi-nitesimi current (to distinguish them from children who are infinitely infinitesimal potential) and were called simply infinitesimal segments indefinitely small you would be a serious mistake,
Page 128 Page 128128 nasse indefinitamente ad A vi sarebbe un segmento (AA) tale che in (A'A) non vi sarebbero elementi X (def. II). 128 pots indefinitely to A, there would be a segment (AA) such that in (A'A) there would be X elements (final II). Ma in [A'A) vi è un elemento X' e quindi non vi sarebbe nessun elemento X compreso nel segmento (A'X') contro il dato. But in [A'A) there is an element X 'and therefore there would be no element X included in the segment (A'X') against the datum. Dunque ecc. Therefore, etc.. i. the. Se X e X' si avvicinano indefinitamente nello stesso verso dir elemento A, (XX*) (o (X'X)) diventa indefinitamente piccolo. If X and X 'are close indefinitely in the same direction dir element A, (XX *) (or (X'X)) becomes indefinitely small. Se (XX') (o (X'X)) restasse superiore di un intervallo dato e, (XA) o (X'A) contenendo (XX') (X'X) resterebbe pure superiore ae, contro il dato (def. I). If (XX ') (or (X'X)) remain top of a given range and, (XA) or (X'A) containing (XX') (X'X) would remain well above ae, against the data (final . I). 96. 96. Oss. Oss. I. I. Noi abbiamo supposto che il segmento variabile finito (XX1) abbia un elemento A fuori del campo della variabilità degli elementi X e T. We have assumed that the variable segment finished (XX1) has an element A outside the field of variability of the elements X and T. Ma se con una legge data si ha un segmento i cui estremi sono variabili in senso opposto e che diventa indefinitamente piccolo, dai principi precedenti non risulta che vi sia un ele- mento di esso fuori del campo di variabilità dei suoi estremi, perché l'ipotesi oppo- sta non conduce ad alcuna contraddizione con quei principi, eccetto che si sap- pia che un tale elemento esiste. But if a law given there is a segment whose endpoints are variables in the opposite direction and becomes indefinitely small, the above principles does not appear that there is an ele-ment of it out of range of the extremes, because ' hypotheses opposition is not leading to any contradiction with these principles, except that sap-pious that such an element exists. Si può immaginare infatti un gruppo di elementi che soddisfi no alia definizione del sistema omogeneo e anche se si vuoi 3 del siste- ma identico nella posizione delle sue parti (def. I, 68 e def. I, 70) e tale che .ogni seg- mento di esso sia finito rispetto ad un segmento dato qualunque del gruppo, e tale inoltre che dato un elemento A non vi sia rispetto ali9 unità data in uno o fcell' al- tro verso a partire da A un primo segmento finito. One can imagine in fact a group of elements that do not meet the definition of the homogeneous system and other things even if you want 3 of the sys-tem in the same position of its parts (def. I, 68 and final. I, 70) and such that. Each segment of it is finished with respect to a given segment of any group, and also such that a given element A there is compared ali9 units given in one or fcell '-other starting from A towards a first segment finished. Per le proprietà stesse del si- stema omogeneo ogni elemento del gruppo sarà dotato di questa proprietà, in uno e nell'altro verso (def. I, 68 eb, 69). For the same properties of the sys-homogeneous element of each group will have this property, in one and the other way (def. I, 68 b, 69). Se poi intorno ad ogni elemento imma- giniamo dei campi infinitesimi, ed es. If then around to every element of intangible giniamo infinitesimal fields, and such. uno solo, i cui elementi rispetto ali' unità data coincidono (#, 85) in modo che gli elementi del campo infinitesimo soddisfino alla stessa definizione del sistema omogeneo sarà soddisfatta l'ip. one, whose elements compared wings' units on the same (#, 85) so that the infinitesimal elements of the field meet the same definition of the homogeneous system will be satisfied with the ip. IV dai segmenti finiti rispetto ai segmenti infinitesimi. IV by finite segments with respect to infinitesimal segments. Infatti se si considera come unità un infinitesimo di 1 ordine, un elemento dato del primo gruppo è ali' infinito a partire da un altro ele- mento dello stesso gruppo; e poiché in ogni segmento di questo gruppo rispetto alla prima unità vi sono altri elementi del gruppo che formano cogli estremi segmenti finiti relativamente a questa unità, è così soddisfatta l'ip. In fact if we consider an infinitesimal unit of order 1, a data element of the first group has wings' from infinity to another ele-ment of the same group, and as in every segment of this group compared to the first unit there are other elements Take extreme form of the group that finished segments relative to this unit, is so satisfied with the ip. IV. IV. Ma sebbene ogni elemento sia elemento limite di uno o più segmenti variabili (XX% inversamente non si può a priori dire che un segmento variabile (XX') che di- venta indefinitamente piccolo ei cui estremi sono elementi del gruppo, contenga al- tri elementi fuori del campo di variabilità dei suoi estremi e che quindi abbia un ele- mento limite (g, 95); come non è escluso che possa esistere sempre un tale elemento. Ricorrendo al continuo intuitivo determinato dai punti dell'oggetto rettilineo (55) noi siamo condotti ad ammettere che in ogni caso il segmento variabile (XX*) contenga degli elementi fuori del campo di variabilità fra X e X'. Dunque stabiliamo la seguente ipotesi: Ip. VI. Ogni segmento il quale avendo gli estremi sempre va- riabili in versi opposti diventa indefinitamente piccolo contiene un elemento fuori del campo di variabilità degli estremi stessi ì). But even though each element is element limit of one or more segments variables (XX% inversely can not be a priori say that a variable segment (XX ') of which-venta indefinitely small, and whose ends are elements of the group, contains the elements tri- outside the range of variability of its ends and therefore has an ele-ment limit (g, 95), as it is not impossible that there can always such an element. Using the intuitive continuous straight line determined by points of the object (55) we we are led to admit that in every case the variable segment (XX *) contains the elements outside the range of variability between X and X '. So we establish the following hypothesis: Ip. VI. Each segment which is always having the extreme-variables in opposite directions becomes indefinitely small contains an element outside the range of variability of extreme self ì). Def. Def. I. I. Per distinguere un tal sistema omogeneo dagli altri in cui Tip. To distinguish such a homogeneous system where the other tip. 1) Al n. 1) At no. 99 dimostreremo r indipendenza di questa ipotesi dalle precedenti. 99 r demonstrate independence from earlier this hypothesis. L'idealista del DuBois Reymond (1. e. pag. 77), non stabilisce come sia composto un segmento dato di segmenti infinitesimi, (vedi nota 2, 85, nota 3, 93), in modo che la sua dimostrazione dell'esistenza del limite di due serie de- cimali convergenti non o determinata e contiene una petizione di principio perche suppone implicita- mente che quando il segmento finito (NN*) (1. e.) diventa più piccolo di ogni segmento dato contenga sempre un infinitesimo i cui estremi non siano elementi della serie dei punti NQM.É necessaria quindi in senso relativo r ip. The idealist of DuBois Reymond (1. And. P. 77), does not regulate how a given segment is composed of infinitesimal segments, (see note 2, 85, note 3, 93), so that his proof of the existence Limit of two series of non-convergent cimali or determined and contains a statement of principle because implicitly assumed that when the finite segment (NN *) (1. and.) becomes smaller than any given segment always contains the infinitesimal whose ends are not elements of the series of points necessary NQM.É then in a relative sense r ip. vi, e in senso assoluto Tip. vi, and in absolute tip. Vili. VIII.
Page 129 Page 129129 VI non ha luogo, lo diremo sistema omogeneo continuo rispetto all'unità data o relativo ; mentre chiameremo ogni altro sistema omogeneo ad una dimen- sione sistema discreto rispetto all'unità data. 129 VI does not occur, we will tell the system to the unit homogeneous continuous compliance date or relative, while homogeneous system will call every other dimension to a discrete system with respect to the unit on. a. a. In ogni segmento che diventa indefinitamente piccolo rispetto ad una data unità cogli estremi variàbili in versi opposti vi è almeno un campo infinitesimo di elementi fuori del campo di variabilità degli estremi del segmento variàbile. In each segment that becomes indefinitely small with respect to a given unit Seize extreme variables in opposite directions there is at least one field of infinitesimal elements outside the field of variability of the extremes of the variable segment. Difatti se A è l'elemento dato dall'ip. In fact, if A is the element given by the ip. VI, siccome vi è sempre un campo infinitesimo rispetto all'unità data (def. II, 94) così ne esiste uno di identico intorno ad ogni elemento del sistema (def. I, 68), e perciò anche intorno ad A. VI, since there is always a field infinitesimal with respect to the unit date (final II, 94) so there is one of identical around each element of the system (final I, 68), and thus also around to A. Nessun elemento di questo campo può appartenere al campo di variabilità degli estremi del segmento sempre variabile, altrimenti vi sarebbero degli stati infinitesimi del segmento, contro l'ipotesi (def. I, 95). No part of this field can belong to the range of variability of extreme growing segment of the variable, otherwise you would of been infinitesimal segment, against the hypothesis (def. I, 95). b. b. Ogni segmento (XX) che diventa inde finitamente piccolo rispetto ad una unità data ei cui estremi sono variàbili in versi opposti, ha per limite un solo elemento del sistema, e in senso assoluto un campo infinitesimo. Each segment (XX) which becomes inde finitely small with respect to a given unit and whose ends are variable in opposite directions, has to limit a single element of the system, and in an absolute sense a field infinitesimal. Difatti sia (XX1) il segmento variabile Y e Y' due elementi di esso, ma non contenuti nei campi di variabilità degli elementi X e X". Il segmento (YT) deve essere infinitesimo, se Y e Y sono distinti (def. II, 82, e def. II III, 57), poiché altrimenti nella sua variabilità (XX') rimarrebbe sempre maggiore di un segmento finito (YY1) contro l'ipotesi. b'. Dato il segmento variabile (AX) crescente e la variabile (AX.1) decre- scente diretti nello stesso verso, e se (XX') diventa indefinitamente piccolo rispetto all'unità, vi è un solo elemento Y tale che (AY) è segmento limite dei due segmenti variabili. Se (AX) è sempre crescsnte e (AX1) sempre decre- scente, (AY) non è stato di una delle due variabili. Ciò deriva immediatamente dal teor. be dalla def. IV, 95. e. Il sistema omogeneo continuo rispetto ad un* unità di misura lo è ri- spetto a qualunque unità infinita^ ma può non esserlo rispetto ad urìunità in- finitesima. Difatti in tal caso i segmenti finiti sono uguali rispetto all'unità infinita perché nulli (g, 85) e tutto il campo finito si riduce anzi ad un solo elemento rispetto all'unità infinita; mentre il sistema potrebbe esser discreto (def. 1) rispetto ad un'unità infinitesima intorno ad un suo elemento dato qualunque del campo finito. 97. a. Gli stati successivi di una variabile sempre crescente o decrescente e illimitata di la specie a partire da uno di essi si possono indicare coi nu- meri delle serie (I). Difatti fra due stati dati consecutivi (AX), (AX') di un segmento variabile basta considerare quelli pei quali (AX') (se CJX) (AX')), oppure (XfX) (se (AX') (AX)) sia finito, perché se fosse infinitesimo si potrebbe trascurare rispetto ai segmenti finiti (g, 85); d'altronde non può essere infinito (h, 85). Dunque se la variabile è sempre crescente o decrescente rispetto all'unità di misura, (XX1) nel primo caso ((X*X) nel secondo) è sempre finito, quando si tratta di due stati diversi. Ma gli stati del segmento variabile costituiscono una serie illimitata di la specie la quale si può far corrispondere univoca- mente e nel medesimo ordine alla serie (I) (e, 46 e 6, 43); dunque gli stati 9 In fact both (XX1) the segment variable Y and Y 'two elements of it, but not contained in the fields of variability of the elements X and X ". The segment (YT) must be infinitesimal, if Y and Y are distinct (final II , 82, and def. II, III, 57), since otherwise in its variability (XX ') would still be greater than a finite segment (YY1) against the hypothesis. b'. Given the variable segment (AX) and increasing the variable (AX.1) decreasing scente direct in the same direction, and if (XX ') becomes indefinitely small compared to the unit, there is only one element Y such that (AY) is a segment limit of the two segments variables. If (AX) is always crescsnte and (AX1) always decreasing rising residual, (AY) has not been of one of the two variables. This follows immediately from the theorem. be from the final. IV, 95. and. The homogeneous system with respect to a continuous unit * the measurement is compared to any re-infinite unity ^ but can not be compared to in-urìunità finitesima. In fact in this case the finished segments are the same relation to the unit infinite because null (g, 85) and all the finite field is reduced rather than to a single element unit infinite, while the system may be discrete (def. 1) with respect to an infinitesimal around an element of any given finite field. 97. a. The successive states of a variable always ascending or descending and unlimited species from one of them can be indicated with the number of nu-mer (I). fact been between two consecutive data (AX) (AX ') of a variable segment need only consider those for whom (AX ') (if CJX) (AX')), or (XFX) (if (AX ') (AX)) is finite, because if it is infinitesimal compared to the segments could be brushed over (g, 85) d' moreover, can not be infinite (h, 85). So if the variable is increasing or decreasing with respect to the unit of measure, (XX1) in the first case ((X * X) in the second) is always finite, when it comes to two different states. But the states of the variable segment are an unlimited number of species which can match the unique mind-and in the same order to the series (I) (and 46 and 6, 43), then the states 9
Page 130 Page 130130 della variabile si possono indicare successivamente coi numeri della serie (I) (47) cioè : Oss. 130 of the variable can be indicated with the numbers later in the series (I) (47) ie: to Oss. I. I. Quando parleremo, di una variabile crescente o decrescente (AXn ) ri- spetto ad un'unità intenderemo, se non diremo altrimenti, una serie limitata o illimi- tata di la specie (def. 35; def. Ili, 39). When we speak of a variable in ascending or descending (AXn) re-compared to a unit shall understand, unless we say otherwise, a limited or unlimited nanny of the species (def. 35, def. Ill, 39). Se (AB) è segmento limite di un segmento variabile (AXn) in luogo di lini (AX) = A7? If (AB) is the segment limit of a variable segment (AXn) in place of linens (AX) = A7? si scrive: quando lina wiroo vale a dire col crescere di w, Xn si avvicina indefinitamente a Bf cioè (AXn) si av- vicina indefinitamente ad (AB} (def. IV, 95; l). Oss. IL Indicando ogni aumento della variabile, se è crescente, rispettivamente con xl #2 M* ... a partire dal primo elemento A costante, si ha: Xn = Xl -f- #2 -|~ -f" n-\ e quindi in luogo di lina n = oo potremo scrivere lini S xn ~(AB) lim nzzoo essendo S il segno di somma. b. Data la variabile finita sempre crescente (AX) ^crescente} e la variabile, finita decrescente (sempre, decrescente) (AX') nel medesimo verso tale che (AX) ((AX')) sia sempre minore (maggiore) di ogni stato di (AX')((AX)), ed ogni seg- mento (AY) minore (maggiore^ di (AX) ((AX)) appartenga alla la (2a) varia- bile, il segmento (XX?) diventa indefinitamente piccolo rispetto alla data unità. Che siano anzitutto possibili tali variabili risulta immediatamente da a, 95 e dalle def. I e II del n. 83. Osserviamo inoltre che per essere (AX) e(AX') Unite, il segmento (X'X) fra due stati qualunque di (AX) e (AX') non può mai essere infinito (h, 85). Anzitutto si vede che non può essere uno stato di (AX) segmento limite (AL) della variabile (AX'). Se ciò fosse, siccome la variabile (AX) è sempre crescente e in modo che fra due stati successivi (AL), (AJ di essa la differenza è finita per quanto sia piccola (h, 85), così in (LLJ vi sarebbero elementi X', perché (LX*) deve diventare per ipotesi più piccolo di ogni segmento dato (LLJ (def. IV, 95). Dunque avremmo uno stato (ALJ della i) Rimanendo nel solo campo di un' unità come avviene comunemente, si può scrivere Ma non è proprio se non quando il segno non indica già un innito attuale, ma un infinito po- tenziale, che non è nel suo essere costante ma finito e variabile. writes: When lina wiroo ie with the increase of w, Xn approaches indefinitely ie Bf (AXn) is av-close indefinitely (AB} (def. IV, 95, l). Oss. THE indicating any increase in variable, if it is increasing, respectively, with xl # 2 M * ... from the first element A constant, we have: Xl Xn =-f-# 2 - | ~-f "n-\, and then in place of lina n = oo we can write S linens xn ~ (AB) lim S nzzoo being the plus sign. b. Given the variable finished growing (AX) ^} and increasing the variable, over decreases (always decreasing) (AX ') in the same direction such that (AX) ((AX ')) is always lower (higher) in each state (AX') ((AX)), and each segment (AY) lower (higher ^ of (AX) ((AX)) belongs to the (second) varies-bile, the segment (XX?) becomes infinitely small with respect to the given unit. What are these variables is first possible to immediately, and the final 95. I and II of the n . 83. We also observe that for (AX) and (AX ') Unite, the segment (X'X) between any two states of (AX) and (AX') can never be infinite (h, 85). First we see that can not be a state of (AX) segment limit (AL) of variable (AX '). If this were the case, because the variable (AX) is increasing and so that between two successive states (AL), ( AJ it ended as the difference is small (h, 85), so (LLJ you are said to be X ', because (LX *) must be by definition smaller than any given segment (LLJ (def. IV, 95 ). So we have a state (of the ALJ) Staying in a single field 'units as is common, but you can not really write except when the sign does not indicate a innito already present, but an infinite po-tential, which is not constant but in its being finite and variable.
Page 131 Page 131131 variabile (AX) maggiore di uno stato della variabile (AX'), contro il dato del teorema- Ora supponiamo che sia sempre (1) (XX') (BC) essendo (BC) un segmento finito dato ; e per meglio fissare le idee supponiamo che nel segmento (XX1) sia contenuto sempre un segmento finito dato iden- tico a (BC) in modo che sia (XX')XBC). Variable 131 (AX) was greater than one variable (AX '), against the figure of the theorem-Now suppose that it is always (1) (XX') (BC) being (BC) given a finite segment, and to better establish suppose that the ideas in the segment (XX1) content is always a finite segment given identical antibiotic at (BC) so that it is (XX ') XBC). Da (1) si ricava che se (AX^ è uno stato qualunque di (AX) (def. I, 83) la variabile (AX') è maggiore di (AXJ 4- (XiX2) che è perciò uno stato di (AX), essendo (X^) = (BC), perché se fosse uguale o minore non si avrebbe la (1). Ma siccome la variabile (AX) non sod- disfa che alla condizione di essere sempre minore di qualunque stato della variabile (AX'), ne consegne che considerato uno stato della prima variabile, siccome la (1) ha sempre luogo per ipotesi fra due stati qualunque di (AX) e (AX') si conclude che è pure uno stato della variabile (AX) il segmento Ma qualunque sia n se (AX\) è uno stato determinato della variabile (AX), (XjX'j) è finito (Ti, 85), dunque vi è sempre un numero n tale che ,1) (def. II, 82; def. I, e', 81) e perciò se fosse vera la (1) vi sarebbe uno stato di (AX) maggiore di uno stato di (AX1), il che è contrario al dato del teorema. Dunque la (1) è assurda. Un'analoga dimostrazione varrebbe se (AX) fosse crescente, (def. I, 83) ed (AX!) sempre decrescente. e. Il segmento (Xn Xn+r) compreso fra due stati successivi (AXn), (AXn+r) della variabile finita, se è sempre crescente, o (Xn+rXn) se è sempre decre- scente, e se ha per limite il segmento (AB), diventa indefinitamente piccolo col crescere indefinitamente di n essendo r costante. Difatti scelto il segmento (B'B) nel 1 caso possiamo considerare in esso due elementi Xn e Xn+r perché per n sufficientemente grande in (B'B) cade un elemento Xn (def. IV, eo, 95) e quindi anche Xn+r* Se è decrescente ed (AB) è il suo segmento limite basta considerare un segmento (BB') nel verso di (AB). d. Un segmento finito (AXn) variabile sempre crescente (o decrescente} ha sempre rispetto all'unità di misura uno ed un solo segmento limite più grande (o più piccolo} di tutti gli stati della variabile. Se il segmento diventa più grande di ogni segmento finito dato diventa indefinitamente grande e rispetto all'unità dì misura ha il segmento infinito di 1 ordine come segmento limite (i, 85 e oss. IV, 86). Se il segmento non diventa maggiore di ogni segmento finito dato vuoi dire che vi deve essere un segmento (AB) nel verso della variabile maggiore di ogni stato della variabile stessa. Ora se (AB) è il primo segmento nel verso dato che ha questa proprietà rispetto all'unità, (AB) è il segmento limite di From (1) shows that if (AX ^ is any state of (AX) (def. I, 83) the variable (AX ') is greater than (AXJ 4 - (XiX2) which is therefore a state of (AX ), since (X ^) = (BC), because if it were equal to or less do not have the (1). But as the variable (AX) that do not meet the condition of being discarded by more and less than any state of the variable ( AX '), deliveries that it was considered one of the first variable, since the (1) always takes place between two states hypothesis for any of (AX) and (AX') it is concluded that it is also a state of the variable (AX) the But whatever segment n if (AX \) is a determined state of the variable (AX), (XjX'j) is over (I, 85), then there is always a number n such that, 1) (def. II, 82, def. I, ', 81) and therefore if the true (1) there would be a state of (AX) of more than one state (AX1), which is contrary to the figure of the theorem. Therefore the (1 ) is absurd. A similar proof applies if (AX) was increasing (def. I, 83) and (AX!) always decreasing. and. segment (Xn Xn + r) between two successive states (AXn) (AXn + r) over the variable, if it is ever increasing, or (Xn + rxn) is always decreasing when rising residual, and if he has to limit the segment (AB), becomes indefinitely small increase indefinitely with n r being constant. In fact choosing the segment (B'B) in 1 case we can consider two elements in it Xn and Xn + r because for n sufficiently large (B'B) drops an element Xn (def. IV, o, 95) and thus Xn + r * If you and descending (AB) is the segment limit is enough to consider a segment (BB ') in the direction of (AB). d. A finite segment (AXn) variable always increasing (or decreasing} has always compared to 'units of measure one and only one segment limit greater (or smaller} of all states of the variable. If the segment is greater than any given finite segment becomes indefinitely large compared to the unit of measure has infinite segment 1 order as a segment boundary (i, 85 and oss. IV, 86). If the segment does not become greater than any given finite segment mean that there must be a segment (AB) in the direction of the variable was greater than any of the variable . Now if (AB) is the first segment in the direction since it has this property of the unit, (AB) is the segment limit
Page 132 Page 132132 (AX), perché ciò significa che (XB) deve diventare indefinitamente piccolo (def. IV, 95). 132 (AX), because this means that (XB) must become indefinitely small (def. IV, 95). Difatti scelto nel segmento (AB) un segmento finito (B'B) quanto piccolo si vuole, se in esso non cadessero elementi Xn, il primo segmento maggiore di tutti gli stati della variabile (AXn) sarebbe almeno (AB') e non (AB). Indeed selected segment (AB) a finite segment (B'B) how small you want, if it does not fall elements Xn, the first segment greater than all the states of the variable (AXn) would be at least (AB ') and not ( AB). Se (AB) non è il segmento limite di (AX) vi sono in (AB) altri segmenti (AB'), (AB').... If (AB) is not the segment limit (AX) there are in (AB) other segments (AB '), (AB') .... tali che (AB) (AB') (A ") .... maggiori di (AXn) qua- lunque sia n. Questi segmenti si possono considerare come stati di un seg- mento decrescente maggiore degli stati di (AXn) (def. II, 83) e quindi vi deve essere ( ', 96 eb) un segmento (AY) limite dei due segmenti variabili. In tal caso lo stato (AY) appartiene alla serie decrescente perché questa è costituita da tutti i segmenti compresi in (AB) maggiori di tutti gli stati di (AX). Lo stesso ragionamento vale se (AX) è decrescente, senza che X si av- vicini indefinitamente ad A, nel qual caso il segmento limite è nullo rispetto all'unità data (d, 95) l). 05*. II1. Siccome noi supponiamo che la serie corrispondente alla variabile sia limitata naturale o illimitata di 1* specie (oss. I) così essa può avere in un dato verso un solo elemento o segmento limite. Nel caso di serie che abbiano altri limiti il li- mite del teor. d è quello che ordinariamente si chiama secondo Weierstrass limite su- periore o inferiore. 1) La esistenza del segmento limite di due serie convergenti viene data da alcuni mediante un po- stulato, benché sotto forme diverse. Vedi ad es. Stolz (\. e. pag 81-81. De Paolis (Elem. di Geometria Post. xe XI, pag. 332, 334). Ma la definizione di Stolz non suppone che la variabile sia finita ed è analoga a quella usata da DedeKind per definire con serie di numeri razionali i numeri irrazionali ordinar!. Dando questa definizione come s' è detto (nota, 3 90) io Stolz dimostra P assioma di Archimele ammettendolo in particolare. Lo Stolz, come dissi {vedi nota suddetta) si serve di questa dimostra- ziona per negare l'esistenza dei segmenti infinitesimi sulla retta, mentre la sua definizione li esclude a priori, come li escludono le altre definizioni conosciute del continuo ordinario. Il signor Killing (ueber die Nicht-Eucl. Raumformen p. 46-47 Leipzig 1885) crede dimostrare la suddetta proprietà partendo dal teorema che due segmenti rettilinei o si possono sovrapporre op- pure il primo è una parte del secondo, o il secondo è congruente ad una parte del primo, aggiun- gendo che questi tre casi si escludono a vicenda. Se a partire da A, egli dice, i punti se osono nelia stessa direzione (verso) e C non appartiene al segmento (AB) vi è sempre AB un segmento (AD) multiplo di (AB) che contiene il punto C; e inversamente ................................ dato il segmento (AC) lo si può dividere in un numero finito diparti uguali in modo che almeno uno dei punti di divisione cada fra A e B. Se, egli dice, la prima proprietà non è vera vi deve essere un punto R tale cho nessun multiplo finito di (AB) su- pera (AB), mentre si giunge ad ogni punto compreso fra A e R. Se sì prende però in (AB) un seg- mento (SR)=.(AB) ; siccome secondo 1 ipotesi mediante l'addizione del segmento (AB) a sé stesso si giunge ad ogni punto compreso fra se R io stesso processo condurrebbe oltre l'elemento R] e perciò non è permessa l'ipotesi d'un limite. La proprietà che ammette il Killing in questa dimostrazione e che non dimostra, è che se esi- ste iì punto R coli'addizione di (AB) a sé stesso si debba giungere necessariamente ad ogni punto compreso fra A e R, e che inoltre R goda le stesse proprietà degli altri punti. E questa ipotesi con- tenuta nella dimostrazione del Killing la quale esclude i segmenti infinitesimi, è in fondo la proprietà che vuoi dimostrare. H. Grassmann (Ausdehn. Lehre 1844, opp. 1878, pag. XX e seg.) dice : Die reine Mathematik ist die "Wissenschaft des besonderen Seins als eines durch das Denken gewordenen e più oltre : jedes durch das Denken gewordene kann auf zwiefache Weise geworden sein, entweder durch einen ein- fachen Akt des Erzeugens, oder durch einem zwiefachen Akt des Setzens und verKnupfens. such that (AB) (AB ') (A ") .... more than (AXn) here-whatever may be no. These segments can be considered as states of a segment of the descending major states (AXn) (final . II, 83) and so there must be (', 96 b) a segment (AY) limit of the two segments variables. In this case the state (AY) belongs to the descending sequence because this is all of the segments included in ( AB) were all greater than (AX). The same reasoning applies if (AX) is decreasing, without X-av indefinitely near to A, in which case the segment limit is zero with respect to the unit on (d, 95) l). * 05. II1. Since we assume that the series corresponding to the variable nature is limited or unlimited period of 1 * species (oss. I) so it can have on a given to a single element or segment limit. In the case of other series that have limits on them mild-theorem. d is what is ordinarily called second-Weierstrass limit on top or bottom. 1) The existence of the segment limit of two convergent series is given by some by a little-stulato, although in different forms. See eg. Stolz (\. and. p 81-81. De Paolis (Elem Geometry Post. xe XI, p. 332, 334). But the definition of Stolz does not suppose that the variable is over and it is similar to that used by Dedekind to define set of rational numbers, irrational numbers ordinaries. Taking this definition as s' is said (note 3 90) I Stolz shows Archimele admitting axiom of P in particular. The Stolz, As I said {see note above) uses this demonstration works for a denial of the existence of infinitesimal segments on the line, while its definition excludes them a priori, as they exclude other known definitions of continuous ordinary. Mr. Killing (ueber die Nicht-Eucl. Raumformen p. 46-47 Leipzig 1885) believed to demonstrate the above properties starting from the theorem that two straight line segments, or may overlap op-well the first is a part of the second, or second is congruent to a part of first, by adding these three cases are mutually exclusive. If from A, he says, if the points in this past Osono same direction (towards) and C does not belong to the segment (AB) there is always a segment AB (AD ) multiple of (AB) that contains the point C; and inversely ................................ given segment ( AC) which can be divided into a finite number of departments in the same way that at least one of the points of division falls between A and B. If, he says, the first property is not true, there must be a multiple of R such cho no finished (AB) of pear-(AB), while it reaches every point between A and R. If so, however, takes in (AB) a segment (SR) =. (AB), as second 1 by the hypothesis' Addition of the segment (AB) in itself leads to any point between R if the same process would lead me beyond the element R] and therefore is not permitted the assumption of a limit. property that admits Killing in this demonstration and that does not prove, is that if existing ste coli'addizione The point of R (AB) in itself should necessarily come at any point between A and R, R, and also enjoys the same properties of other points. E keeping with this hypothesis-Killing in the proof of which excludes the infinitesimal segments, is ultimately the property that you want to prove. H. Grassmann (Lehre Ausdehn. 1844, opp., 1878, p. XX et seq.) says: Die reine Mathematik ist die "Wissenschaft des seins besonderen als eines durch das Denken gewordenen and beyond: Jedes durch das kann auf Denken gewordene zwiefache Weise geworden sein, entweder durch einen ein-Akt des fachen Erzeugens, oder durch und einem zwiefachen Akt des Setzens verKnupfens. Das auf die erste "Weise gewordene ist die stetige Form oder die Gròsse im engeren Sinn, das auf die letztere Weise gewordene die disKrete oder Verknùpfungsform. Egli ammette il concetto del divenire conti- nuo ma non lo definisce. Egli dice che P atto del generare si può ritenere composto di due atti, del porre e dell'unire, e ciò che è posto nel momento del porre è già unito a ciò che è diventato. Ma que- sta non è punto una definizione determinata di ciò che è l'atto del generare. Ammesso pure che questo atto abbia un senso ben determinato, come ad es. Patto del pensare prima una cosa e poi un' altra cosa (sul quale abbiamo fondato il concetto di serie), bisogna pur cominciare da qualche cosa per generare qualche cosa, ora questa qualche cosa da cui si comincia è o iion è una parte Das auf die erste "Weise gewordene ist die stetige Forms oder Die grosse im engeren Sinn, das auf die letztere Weise gewordene disKrete oder die Verknùpfungsform. He admits the concept of continual becoming, but do not define it. He says that P act of generating can be considered composed of two acts, the pose and unify, and that which is placed at the time of putting together what has already become. But this is not point-specific definition of what is the act of generation. Granted that this act has a very specific way, eg. pact think first one thing and then a 'else (on which we based the concept of the series), you have to start something to generate some What, now this is something from which it begins or iion is a part
Page 133 Page 133133 d'. 133 d '. Due serie di segmenti sempre crescenti o decrescenti rispettivamente uguali, determinano segmenti uguali rispetto all'unità data. Two series of segments increasing or decreasing respectively equal, determine equal segments from the unit on. Siano (AB) e (A'I?) i segmenti determinati dalle due serie (d). Are (AB) and (A'I?) The segments determined by the two series (d). Se fosse (AB) (A'B1) in (AB) vi sarebbe un segmento (ABJ ~ (AB*) (def. I, II, 61 eb, 69), e quindi la prima serie dovrebbe avere per segmento limite (ABJ come la se- conda ha per segmento limite (A'B'), il che è assurdo (ee , 61 ed). d". Due sme di variabili (AX) e (AX') runa crescente e l'altra decrescente hanno un segmento limite comune se (AX') è sempre maggiore di (AX), ed ogni segmento (AC] maggiore di uno stato di (AX) e minore di uno stato di (AX) è uno stato di (AX) o di (AX). La variabile (AX) è limitatamente o illimitatamente crescente (def. I, 83). Nel primo caso l'ultimo stato (AC) di (AX) è suo segmento limite. Se la va- riabile (AX') è limitatamente decrescente, essa deve avere per dato lo stesso segmento (AC) come primo segmento o segmento limite, altrimenti se fosse (AC')XAC) questo segmento, essendo D un punto di (CC1) il segmento, (AD) non apparterrebbe ad alcuna delle due variabili. Se invece (AX) è sempre decrescente si cade nel caso del teor. be per- ciò hanno un segmento limite (AY) comune ( ', 95) che in tal caso è (AC) ( #). Slmilmente, se (AY) è sempre crescente essa ha un segmento limite (AX) (d), e considerando poi come stato di (AB) anche (AY) si ricade nel caso pre- cedente. 98. Def. I; Un elemento A si chiama elemento limite rispetto ad un'unità di una serie di elementi XlX2....Xn.... ordinati in un dato verso nella forma fondamentale; o quando è (come abbiamo inteso fin qui nel caso del segmento (def. V, 62)) il primo o l'ultimo elemento della serie; oppure quando la serie è tale che in un segmento (AM) imito quanto piccolo si vuole nel verso op- posto di essa vi è un elemento della serie data. a. Se (AB) è il segmento limite di un segmento (AXn) l'elemento B è ele- mento limite della serie data dagli elementi Xn. Difatti un segmento variabile finito equivale ad una serie data di seg- menti finiti (def. I, II, 83), in modo che il segmento limite del segmento va- riabile è segmento limite della serie. Se (AB) è il segmento limite, in un seg- mento (BfB) quanto piccolo si vuole cadono elementi Xn (def. IV, 95) e quindi B è anche l'elemento limite della serie di elementi Xn col crescere indefini- tamente di n (def. I). del continuo. Se non lo è essa aola non può generare il continuo, perché gli elementi senza parti della retta non costituiscouo la retta, e perciò non può servire a generare il continuo stesso; o è una parte del continuo e in ogni suo stato in cui la consideriamo è già essa stessa un continuo e si cade in una petizione dì principio. Più avanti, p. XXII, CrrassmannAic : Das was ueu entsteht, entsteht eben nur an dem schon gewor- denen, ist also ein Moment des Werdens selbst, was hier in seinem weiteren Verlauf als Wachsen ers- cheint . Ma tutta la forma stessa sì può ritenere si ottenga da una sua parte già ottenuta; e non è certo questa una parte indefinitamantente piccola, come egli sembra voler dire colla parola momento ; e se si vuole partire dal concetto di momento, corrispondente ali1 istante del tempo, bisogna considerarla rispetto ad una parte già data e costruita. Come si definisce una grandezza arbitrariamente piccola se non la si confronta con grandezze già date? E non si ammette cosi implicitamente il continuo come dato, senza punto definirlo? La definizione del continuo mediante il movimento di un punto ha gli stessi difetti, oltreché il punto senza parti non genera il continuo (55). Il linguaggio del movimento si può applicare anche ad un sistema discreto (67). E chiaro dunque che astrattamente la continuità del movimento ammette il continuo già esistente {Vedi pref ). If it were (AB) (A'B1) in (AB) there would be a segment (ABJ ~ (AB *) (def. I, II, 61 b, 69), and then the first set should have for the segment limit (ABJ as the sec-ond has to limit segment (A'B '), which is absurd (ee, 61 and d). d ". Two sme of variables (AX) and (AX') rune ascending and descending the other have a segment common boundary if (AX ') is always greater than (AX), and each segment (AC] higher than a state of (AX) and less than a state of (AX) is a state of (AX) or ( AX). variable (AX) is limited or unlimited increasing (def. I, 83). In the first case the last state (AC) of (AX) is the segment limit. If the variable-(AX ') is only decreasing, it must be given to the same segment (AC) as the first segment or segment limit, otherwise if (AC ') XAC) this segment, being a point of D (CC1) segment, (AD) does not belong to any of the two variables. If (AX) is always descending in the case of one falls theor.. be for-this they have a segment limit (AY) common (', 95) which in this case is (AC) (#). Similarly if (AY) is increasing, it has a segment limit (AX) (d), and then considering how state (AB) also (AY) it falls in the previous case. 98. Def. I. An element A is called element limitation with respect to a unit of a series of elements XlX2 .... .... Xn sorted in a given towards the fundamental form, or when it is (as we have hitherto understood in the case of the segment (final V , 62)) the first or last element of the series, or when the series is such that in a segment (AM) imitate how small you want to op-in place of it there is an element of the given series. a. If (AB) is the segment limit of a segment (AXn) the component B is ele-ment of the limit set by the elements Xn. In fact, a variable segment is equivalent to a finite number of data segments over (def. I, II , 83), so that the segment limit of the variable-segment is the segment limit of the series. If (AB) is the segment limit, in a segment (BfB) how small you want to fall elements Xn (final IV, 95) and then B is also the element limit the number of elements Xn with the growth indefinite-tion of n (def. I). of the continuum. If it is not AOLA it can not generate the continuous, because the elements without parts of the the straight line does not costituiscouo, and therefore can not serve to generate the same constant, or is part of the continuum and in every state where we consider it is itself a constant and falls into a circular argument. Later p. XXII, CrrassmannAic: Das was u and u entsteht, entsteht eben nur an dem-schon gewor Denen, ist ein Moment des Werdens selbst Also, was hier als in seinem weiteren Verlauf Wachsen cheint-ers. But all the same shape so you can feel get from one part already obtained, and certainly this is not a part indefinitamantente small, as he seems to mean by the word when and if you want to start from the concept of time, corresponding ALI1 instant in time, we must consider with respect to the portion already date and built. How do you define a size arbitrarily small if we compare with quantities already given? And not so implicitly admits the constant as given, without defining the point? The definition of the continuous through movement of a point has the same defects , besides the point without parts does not generate the continuous (55). The language of movement can also be applied to a discrete system (67). It is clear therefore that the continuity of the abstract movement admits the constant {View existing pref).
Page 134 Page 134134 b. 134 b. Un gruppo di un numero infinito ( oo ) di elementi distinti (X) compreso in un segmento dato (AB) ha sempre almeno un elemento limite rispetto ali9 u- nità di misura. A group of an infinite number (oo) of distinct elements (X) included in a given segment (AB) always has at least one element limitation with respect ali9 u-unit of measurement. Se A non è limite di (X) significa che vi sono segmenti (AY) di (AB) che non contengono infiniti elementi X (def. i;. Se uno degli elementi Y, ad es. Yly non è limite di (X) vi è un segmento (AYJXAYJ che non contiene infiniti elementi di (X). Se nessuno degli elementi Y è limite di (Y), la serie (AY) in (AB) è sempre crescente e quindi ha un segmento limite (AG) (d, 97). L'e- lemento C è limite del gruppo X, altrimenti se in un segmento (CC1) nel verso di (AB) non vi fossero infiniti elementi X, (AO) sarebbe uno stato di (AY) con- tro d, 97. L'elemento limite può appartenere al gruppo stesso. ti. Una serie di elementi (Xn) sulla forma fondamentale tale che il seg- mento (Xn Xn+r) coli' aumentare di n diventa inde finitamente piccolo ha un solo elemento limite rispetto all'unità di misura. Difatti deve essere contenuta a partire da un elemento Xn in un dato verso in un segmento (Xn B) altrimenti (X Xn+r) non diventerebbe indefinitamente piccolo. In questo segmento vi è un numero infinito ( oo ) di elementi X ap- punto perché (XnXf^r) diventa indefinitamente piccolo, e quindi (Xn) ha un elemento limite. Non può avere che un solo elemento limite in questo caso perché n diventa indefinitamente grande una sola volta, cioè la serie ( Xn ) è illimi- tata di la specie (def. Ili, 39), e quindi (Xn Xn+r) diventa indefinitamente pic- colo una sola volta. Scomposizione di un segmento finito in n parti uguali Legge Com- mutativa della somma di due o più segmenti consecutivi II segmento (AB) è identico allo stesso segmento percorso nel verso opposto rispetto alF unità finita Elementi limiti del gruppo di elementi ottenuto colla divisione successiva di un segmento in n parti uguali Altre proprietà degli elementi limiti dei gruppi rispetto ad un' unità. 99. a. Se il segmento (X^J, o (3?^), dato da due segmenti (AXJ, (AX'Ì) diventa indefinitamente piccolo, il segmento dato dai secondi estremi dei mul- tipli di (AXJ e (AX'Jj secondo lo stesso numero n diventa pure indefinitamente piccolo . E inversamente. Sia (AJTOXAjy; si ha: ( 1 } (AX\) n (AXJ n (d, 79) e indicando con Xn e Xn i secondi estremi di questi multipli si ha: (AX'n) (AXn) in modo dunque che Xn cade nel segmento ( AX'n) (def. I, 6! ; e', 68, 6, 36). Dato un segmento (AC) qualunque il suo multiplo secondo un numero dato nel suo verso a partire da A è determinato ed unico ( , 72 e d', 79). Si viene If A is not the limit of (X) means that there are segments (AY) of (AB) that do not contain infinite elements X (final i;. If one of the elements Y, eg. Yly is not limit of (X) there is a segment (AYJXAYJ that does not contain infinite elements of (X). If none of the elements Y is the limit of (Y), the series (AY) in (AB) is ever increasing and therefore has a segment limit (AG) ( d, 97). The e-lemento C is the limit of the group X, otherwise if in a segment (CC1) in the direction of (AB) there were no infinite elements X, (AO) would be a state of (AY) with- against d, 97. limit element can belong to that group. you. A number of elements (Xn) on the fundamental form such that the segment (Xn Xn + r) Articles' n increase becomes inde finitely small has a element only limitation with respect to the unit of measure. fact must be contained from an element Xn in a given direction in a segment (Xn B) otherwise (X Xn + r) does not become indefinitely small. In this segment there is a number infinity (oo) of elements X ap-point because (XnXf ^ r) becomes indefinitely small, then (Xn) has a limit element. can not have a single item limit in this case because n becomes indefinitely large only once, that is, the series (Xn) is unlimited nanny of the species (final Ill, 39), and then (Xn Xn + r) becomes indefinitely small Article only once. Decomposition of a finite segment into n equal parts Law Com- mutative the sum of two or more consecutive segments II segment (AB) is identical to the same segment path in the opposite direction alF unit finite elements limits of the group of elements obtained with the next division of a segment into n equal parts Other properties of the elements of the limits groups with respect to a 'unit. 99. a. If the segment (X ^ J, or (3? ^), given by two segments (AXJ, (AX'Ì) becomes indefinitely small, the given segment by the second ends of the mul - multiples of (AXJ and (AX'Jj according to the same number n becomes indefinitely small as well. And vice versa. Let (AJTOXAjy, we have: (1} (AX \) n (n AXJ (d, 79) and denoting by Xn Xn and the second ends of these multiple, we have: (AX'n) (AXn) so that Xn therefore falls in the segment (AX'n) (def. I, 6!; and ', 68, 6, 36). Given a segment (AC) whatever its multiple, according to a given number in its direction from A is determined and unique (, 72, and d ', 79). It is
Page 135 Page 135135 dunque così a stabilire una corrispondenza univoca e del medesimo ordine fra gli elementi Xl e gli elementi Xn, perché ad ogni elemento X, a partire da A corrisponde un solo elemento Xn, e viceversa ad uno di questi elementi non può corrispondere che un solo elemento X,. 135, therefore, so to establish a unique match and of the same order among the elements and the elements Xl Xn, because for each element X, starting from A corresponds to a single element Xn, and vice versa to one of these elements can not match that only one element X,. Se ne corrispondesse un al- tro X\ si dovrebbe avere (AX\)n~(AXì)n = (AX,l) da cui (AX\)=(AX,) (d', 79) ; dunque X\ coincide con Xl (6,' 69). If they correspond to an X-tro \ you should have (AX \) n ~ (AXI) n = (AX, l) where (AX \) = (AX,) (d ', 79), thus X \ coincides with Xl (6, '69). La corrispondenza è anche del me- desimo ordine perché se si ha (AX^ì) ^(AXl) t(AX"l) per la (1) si ha pure: (AX'n) (AXn) (AX"W) (d, 79), vale a dire se X, è compreso fra X\ e X\\ Xn è compreso fra gli elementi corrispondenti Xn, X"n (def. I, 61). Se dun- que (AX,) è uno stato della variabile (AX) e se (X,X',) decresce, decresce pure (XnX'n) per la corrispondenza univoca e del medesimo ordine (def. I, 61), e quando (X,X',) diventa indefinitamente piccolo, (XnX'n) ha un segmento li- mite (Xn Y) supponendo che Xlf e perciò anche Xn, sia costante (d9 97). Dimostriamo che Y coincide con Xn. Supponiamo dapprima n = 2, e sia (AX*,) (AX,). Sia (X',X"2) = (AX,) = (X,X2), (AX\) = (X',X'2) , 69) (2) siccome (AX,) = (AX,) + (X,X2), (AX"2) == (AX\) + (X',X"2), (AX'2) = (AX\) + (X\X'2) (def. I, 72) si ha: (AX2) (AX"2) (AX'2) (3) perché (AX,) (AX\) e (X\X"2) (XiX'J (def. I e II, 61 ; g, f, 73). xl ....... Così si stabilisce ima corrispondenza univoca e del medesimo ordine fra gli elementi X\ e X"2 e quindi anche fra gli elementi X"2 e X'2 (f, 42). Di- fatti come ad ogni elemento X\ corrisponde un solo elemento X"2 nel verso di (AB) (b'j 69), così ad ogni elemento X"2 non può corrispondere che il solo ele- mento X\ perché vi è un solo segmento (X\.X"2) identico al segmento (AX,) nel verso dato e in modo che X"2 sia secondo estremo ( ', 69). Se un elemento precede X\, l'elemento corrispondente deve precedere X"2 essendo il seg- mento di due elementi corrispondenti qualunque uguale ad (AX,) (def. I, 6', 61), dunque la corrispondenza è anche del medesimo ordine (def. Ili, 42). Ora, se (^^i) diventa indefinitamente piccolo tale diventa pure (X2X"2), perché se no (X2X"2) avrebbe un segmento limite (X2 L) (d 97) e quindi scelto un elemento Z fra X2 e L (a, 95) e considerando il segmento (WZ)^(X,X2) nello stesso verso ( ', 69), l'elemento W non potrebbe cadere in (X^), pei punti del quale gli elementi corrispondenti X"2 sono situati fuori del seg- mento (^2^)' Dunque il segmento (^X ) sarebbe parte del segmento (WZ)9 il che è assurdo (d, 73). Dunque L deve coincidere con X2. The correspondence is also the me-desimo order because if you have (AX ^ ì) ^ (AXL) t (AX "l) for (1), there's also: (AX'n) (AXn) (AX" W) (d, 79), ie if X, is between X \ and X \ \ Xn is between the corresponding elements Xn, X "n (final I, 61). If dun-five (AX) is a state of the variable (AX) and if (X, X ',) decreases, as well (XnX'n) for the univocal correspondence and of the same order (final I, 61), and when (X, X',) becomes indefinitely small, (XnX'n) has a segment them mild-(Xn Y) assuming that XLF and therefore also Xn, is constant (d9 97). We demonstrate that Y coincides with Xn. Suppose first n = 2, and both ( AX *,) (AX). Let (X ', X "2) = (AX) = (X, X2), (AX \) = (X', X'2), 69) (2) as (AX) = (AX) + (X, X2), (AX "2) == (AX \) + (X ', X" 2), (AX'2) = (AX \) + (X \ X'2) (def. I, 72) we have: (AX2) (AX '2) (AX'2) (3) because (AX) (AX \) and (X \ X "2) (XiX 'J (def. I and II, 61 g, f, 73). xl ....... So ima-one correspondence is established and the same order among the elements of X \ and X "2 and therefore also between elements X "2 and X'2 (f, 42). Di-made as to each element X \ corresponds only one element X" 2 in the direction of (AB) (b'j 69), so each element X "2 can not match that the only ele-ment X \ because there is only one segment (X \. X "2) identical to the segment (AX) in the direction given and so that the X" 2 is the second end (', 69) . Where a preceding X \, the corresponding element must precede X "2 being the segment of any two corresponding elements equal to (AX) (def. I, 6 ', 61), so the correspondence is also same order (def. Ill, 42). Now, if (^ ^ i) becomes indefinitely small that it becomes well (X2X "2), because otherwise (X2X" 2) would have a segment limit (X2 L) (d 97) and then an element Z selected between X2 and L (a, 95) and considering the segment (WZ) ^ (X, X2) in the same direction (', 69), the element W could not fall into (X ^), through the points where the corresponding elements of X '2 are located outside the segment (^ 2 ^)' Then the segment (X ^) would be part of the segment (WZ) 9 which is absurd (d, 73). So L must coincide with X2.
Page 136 Page 136136 Ora si ha: (AX1)^(XÌX'Ì) = (AX\)Ì {XlX'J + WtXj = (XlXJ (def. I, 72) e per le (2) si ha: Se dunque (X^J diventa indefinitamente piccolo tale diventa anche (X"23T2) (def. I, 95; e, 61); ma lo diventa anche come si è veduto il segmento (X^X"2)9 dunque anche (X2X'2) (Ti, 95), ciò che era da dimostrare. Se fosse (AXt) ^(AXì) si avrebbe (AX2) (AX'2) (AX"2) (d, 79 ef, 73) n ^ , X?i X 2 X. 2 Z e se vi fosse un elemento L limite di X"2 differente da X^ il segmento (WZ) = (^Ti-Xg) avrebbe I1 elemento W nel segmento (AX^ distinto da Xl (d, 73; def. I, e, 61), mentre per ogni elemento X\ compreso in (WXJ l'elemento corrispon- dente X"2 sarebbe situato contro l'ipotesi in (LX2) (g, 73 e def. I 61); dunque L deve coincidere con X^. In questo caso si ha : da cui (X-.X.) == (X-2X"2) (def. I, 74, ff'", 73) e per conseguenza (X*2X"2) diventa indefinitamente piccolo con (X^XJ, ma tale diventa anche (X"2X2) e quindi anche (3T2X2) (^ ^ - II teor. per n= :2 è dunque dimostrato. Ora supponiamo che se X'l si avvicina indefinitamente ad X^ JTn_! si avvicini indefinitamente ad Xn.i (def. I, 95). Dimostriamo che ciò ha luogo anche per gli elementi X , e X'n. Si ha (AXJ = (X^Xn-i) = ( Xn^Xn ), (AX\) = (Xt^X'n.l) = ( Xtn.lXtn ) per dato, e nel caso (AXl) ^(AXl) si ha: X'n) (4) __ X'n~2 X'n-l X"n X'n Sia Mxrn)=(xn.lxn), (5) per la (4) 3T'ncade nel segmento (X*n-iXn) (def. I, 61; e', 68; 6, 36), e poiché è (AX'n.i] (AXn.i) (d, 79), ^ni è compreso per la stessa ragione fra X^^ e X'n, e quindi per (5) e (4) X"n è compreso fra Xn e 3TW. Si dimostra come per n = 2 che quando Xn.\ si avvicina indefinitamente a -X"ni Xn si avvicina indefinitamente a Xn. Si ha inoltre: 136 Now we have: (AX1) ^ (XÌX'Ì) = (AX \) {Ì XlX'J WtXj + = (XlXJ (def. I, 72) and for (2) we have: If, then (X ^ J becomes indefinitely small this becomes (X "23T2) (def. I, 95, and 61), but also becomes possible as we have seen the segment (X ^ X" 2) 9 Therefore also (X2X'2) ( Ti, 95), which was to prove. Had (AXT) ^ (AXI) you would (AX2) (AX'2) (AX '2) (d, f 79, 73) ^ n, X? the X 2 X 2 Z and if there was an element L limit X "X ^ 2 is different from the segment (WZ) = (^ Ti-Xg) would I1 element W in the segment (AX ^ distinct from Xl (d, 73; final. I, and, 61), while for each element X \ included in (WXJ the element corresponding X "2 would be located against the hypothesis in (LX2) (g, 73 and final. I 61); therefore L must coincide with X ^. In this case we have: where (X-.X.) == (X-2X "2) (def. I, 74, ff '", 73) and, consequently, (X * 2X "2) becomes infinitely small (X ^ XJ, but this becomes (X" 2X2) and hence (3T2X2) (^ ^ - II theorem. for n =: 2 is therefore proved. Now suppose that if X ' the approaches indefinitely to X ^ JTn_! approaches indefinitely Xn.i (def. I, 95). We show that this also occurs for the elements X, and X'n. It has (AXJ = (X ^ Xn- i) = (Xn ^ Xn), (AX \) = (Xt ^ X'n. l) = (Xtn.lXtn) for data, and in the case (AXL) ^ (AXL) we have: X'n) ( 4) __ X'n ~ 2 X'n-l X "n X'n Both Mxrn) = (xn.lxn), (5) for the (4) 3T'ncade in the segment (X * n-IXN) ( final. I, 61; and ', 68, 6, 36), and since it is (AX'n. i] (AXn.i) (d, 79), ^ ni is included for the same reason and between X ^ ^ X'n, and then to (5) and (4) X "n is comprised between Xn and 3TW. It demonstrates that for n = 2 that when Xn. \ approaches indefinitely to-X" ni Xn approaches indefinitely to Xn . It also:
Page 137 Page 13713? 13? ma essendo (AX'n^) (AXn-z) (d, 79) e (AX'n-i) (AX'n.2) /*, 73), si ha: (Xn-2XVi) (XV2XVi)EEE(XViX',0 (e1, 68; 6, 36 e def. I, 61) dunque (Xn^X'n.,) (X"n X'n ) ((5), f, 73). Se (Xn-iXVi) decresce indefinitamente a maggior ragione decresce inde- finitamente (X"nX'n ) (def. 1,95; d', 61), dunque anche (XnX'n) (h, 95) '). but being (AX'n ^) (AXn-z) (d, 79) and (AX'n-i) (AX'n .2) / *, 73), we have: (Xn-2XVi) (XV2XVi) EEE (XViX ', 0 (e1, 68, 6, 36 and def. I, 61), then (Xn ^ X'n.,) (X "n X'n) ((5), f, 73). If (Xn-iXVi) decreases indefinitely a fortiori decreases inde-finitely (X "nX'n) (def. 1.95; d ', 61), thus also (XnX'n) (h, 95)'). Xn-l Xn X'n-l X'n X"n Se (AX\) (A^) si ha (AXVi) (A Xn-\). Si può far accostare X'n-i a Xn.\ in modo che X"n cada fra Xn^ Xn, basta che sia (X'n-iXn_i) ^(Xn_iXn) ( ', 69); e poiché (X n-iXn ) (XViX"n ) (def. I, 61) (JTn.iX'n ) (X'^X1^ ) per co- struzione, l'elemento X"n è compreso fra X'n, e Xn( ?', 68; , 36 e def. I, 61). Xn Xn-l-l X'n X'n X "n If (AX \) (A ^) we have (AXVi) (A-Xn \). It can be approached X'n-i to Xn. \ In so that X 'n drop between Xn ^ Xn, just that (X'n-iXn_i) ^ (Xn_iXn) (', 69), and since (X n-IXN) (XViX "n) (def. I, 61 ) (JTn.iX 'n) (X' ^ ^ X1) for co-struction, the element X "n is comprised between X'n, and Xn (? ', 68;, 36 and final. I, 61) . Ora si ha: (Xn_2Xu-i) (XV-iXn-i) ==.(Xn-8X'n..i), (X'n-lX"n ) (X'n X*n)~ (X'n-lX'n ) e T elemento X'w_i è compreso fra Xn.2 e Xn-i essendo (Xn.zXn^) =. ( X'n.iX"n ) (d, 73 ed e, 61). Now we have: (Xn_2Xu-i) (XV-IXN-i) ==. (Xn-8X'n .. i), (X'n-lX "n) (X'n X * n) ~ (X 'No-lX'n) and T X'w_i element is between being Xn.2 and Xn-i (Xn.zXn ^) =. (X'n. iX "n) (d, and e 73, 61) . E come prima si dimostra che X"n ha per elemento limite Xn quando Xtn.\ ha per elemento limite Xn.i (def. 1, 98). Ma (Xn-zX'n-i) ^ (X'n-gX'n-l) ^ ( X'n-iX'n ) ( X'n-iX"n ) essendo per dato (AXn^) (AX'n-2) (^, 79) e (^-sX .!) = ( X'n.i^"n ) ; dunque (XVi^ni) (^^"n) ( ief. I, 74; 0V , 73), e perciò (X'nX"w) diventa indefi- nitamente piccolo con (X'n-i^ni), (def. I, 95 e d', 61), e quindi anche (X'nXn) (h, 95). Dunque se il teorema è vero per n le vero per n, ma lo è per n = 2, e perciò anche per n qualunque (e', 46 ; Z, 39). Se si suppone finalmente che X, X'\ siano tutti e due variabili in verso opposto o nello stesso verso in modo che (X^'j, o (X'^XJ, diventi indefinitamente piccolo; CX^X'J, opC'jXj), determina un elemento limite Yl (b, 96 opp. b, 97). Ma quando (X^ XJ, o (^',^i), decresce indefinitamente decrescono pure indefinitamente (X^YJ e (Yì-X'j), ovvero (^Yj) e (Y^) nel primo caso; nel secondo caso (X^FJ e (XIY\)Ì oppure (Y^J e (YjXJ; e inversamente (def. I, 95 e Ti, 95). Dunque per le dimostrazioni precedenti diventano indefinitamente piccoli (Xw Yn) ( YnX'n) o (X'nYn), ( Y'nXn) nel primo caso, e nel secondo (XnYn)ì (XnYn) oppure ( Yn X'n ) e ( Yn Xn ) quando diventa tale anche (X^J, o (X'^), e perciò anche (XnX'n), o (X'nXn) (h, i, 95). La prima parte del teorema è dunque dimostrata. Inversamente se (XnX'n), o (X'nXn), ha un elemento limite Yn, il seg- mente (AX) ha un segmento limite (AY) (d1, 79 ed, 97), e per la prima parte del teorema deve essere (AY)n = (AYn) 2). 1) La dimostrazione è indipendente dall'essere 3T'n-2 contenuto al segmento (Xn-zXn-D- ) La dimostrazione è lunga ma in compenso e semplice e intuitiva. Questa proprietà è fonda- mentale per quelle che seguono che sono pure proprietà fondamentali del continuo. And as before we show that X "has no element to limit Xn when XTN. \ Ha per item limit Xn.i (def. 1, 98). But (zX'n-Xn-i) ^ (-gX X'n 'n-l) ^ (X'n-iX'n) (X'n-iX "n) being given by (^ AXn) (AX'n-2) (^, 79) and (^-sX.! ) = (X'n. i ^ "n), then (XVI ni ^) (^ ^" n) (ief. I, 74; 0V, 73), and therefore (X'nX "w) becomes indefi-nitely with small (X'n-i ^ ni), (final I, 95 and d ', 61), and therefore also (X'nXn) (h, 95). Thus, if the theorem is true for the true for n n, but it is for n = 2, and therefore also for any n (s ', 46; Z, 39). If it is assumed that finally X, X' \ are all variables and two in the opposite direction or in the same direction in so that (X ^ 'j, or (X' ^ XJ, becomes indefinitely small; CX ^ X'J, opC'jXj), determines a limit element Yl (b, 96 opp. b, 97). But when (X XJ ^ or (^ ', ^ i), also decreases indefinitely decrease indefinitely (X ^ YJ and (Yi-X'j), or (^ Yj) and (Y ^) in the first case in the second case (X ^ FJ and (XIY \) Ì or (Y ^ J and (YjXJ, and inversely (def. I, and 95 Ti, 95). So for previous demonstrations become indefinitely small (Xw Yn) (YnX'n) or (X 'nyn), (Y'nXn) in the first case, and in the second (XnYn) es (XnYn) or (X'n Yn) and (Xn Yn) when this becomes even (X ^ J, or (X' ^) , and therefore also (XnX'n), or (X'nXn) (h, i, 95). The first part of the theorem is thus demonstrated. Conversely if (XnX'n), or (X'nXn), has a Yn limit element, the segment mind (AX) has a segment limit (AY) (d1, 79 and, 97), and for the first part of the theorem must be (AY) n = (Ayn) 2). 1) The proof is independent from 3T'n-2 content of the segment (Xn-zXn-D-) The proof is long but on the other hand, simple and intuitive. This property is fundamental for those who follow that are also fundamental properties of continuously.
Page 138 Page 138138 b. 138 b. Ogni segmento finito può èssere diviso in un solo mòdo in un numero finito n qualunque di parti consecutive uguali dello stesso verso rispetto alla unità di misura. Each finite segment can be divided in only one way in a finite number n of any consecutive parts equal to the same with respect to the units of measurement. Sia (AB) il segmento dato. Let (AB) the given segment. Vi sono segmenti (A) i cui multipli secondo n sono più piccoli di (AB) (a', 95). There are segments (A) whose multiple second n are smaller than (AB) (a ', 95). Sia dunque AX(U) n = (AXWn ) (AB) ) Ora, se in ogni segmento (B'B) contenuto in (Kn^B) non vi fossero altri elementi Xn, siccome vi sono elementi X\ tali che (AX'n ) ] (AB) (a', 95), ( Xn MX'n) non diverrebbe indefinitamente piccolo con (X^X'^9 contro il teorema precedente, essendo Xl compreso fra X e B (d'9 79). Dunque la variabile (AXMn ) ha per limite (AB) (def. IV, 95) e la variabile (AXM) ha per limite il segmento (AY) (cf, 79 ed, 97), tale che (AY)n = (AB) (a, ed, 97) *). So let AX (U) = n (AXWn) (AB)) Now, if in each segment (B'B) content (Kn ^ B) there were other elements Xn, as there are elements X \ such that (AX 'n)] (AB) (a', 95), (Xn MX'n) would not become indefinitely small with (X ^ X '^ 9 against the previous theorem, being Xl between X and B (9 of 79) . Therefore the variable (AXMn) has to limit (AB) (def. IV, 95) and the variable (AXM) has to limit the segment (AY) (cf, 79 and, 97), such that (AY) n = (AB) (a, and, 97) *). b1. b1. Se la forma fondamentale è chiusa si può dividere in n parti uguali. If the basic form is closed can be divided into n equal parts. Basta supporre in b che gli estremi del segmento coincidano rispetto alla unità (def. Ili, 57 e def. II, 85). Just assume that the extremes in b segment coincide with respect to the units (def. Ill, 57, and def. II, 85). b". Dato un segmento (AB) finito vi è sempre un segmento (AB) * n È una forma diversa del teor. b (ind. I, 79). Def. I. L'elemento che divide in due parti uguali un segmento dato chia- masi elemento medio del segmento stesso. e. L'ipotesi VI è indipendente dalle ipotesi precedenti. Ciò risulta dal teorema b. Di fatti i segmenti di un segmento che si ot- tengono colla divisione per metà, soddisfano alle ipotesi precedenti quando anche intorno ai loro estremi supponiamo dati i campi infinitesimi (oss. I, 96) ryvì Ognuno di questi segmenti si può esprimere col simbolo (AA^ -^p ove men sono numeri dati dalla serie (I) (46). Ora dato un numero r si può dividere il segmento (AAJ in r parti uguali, e se il secondo estremo del seg- mento (AA}) fosse un elemento di divisione per metà si dovrebbe avere 1 m %n (AAT) = (AA,) , ossia prendendo il multiplo secondo 2n, (AAJ----- = (AAJ m. Ma perché vi sia un numero m che soddisfi a questa condizione bi- sogna che r divida esattamente 2n, il che non è in generale perché 2n è di- visibile soltanto per 2 e per le potenze di 2 il cui esponente non è maggiore di n: il 3 ad es. non divide 2n qualunque sia n. La proprietà dell'ip. VI è confermata anche dall'intuizione (55). d. Se (AA) è la nma parte e (AA'J la rima parte di un segmento qualunque (AB) (n' n), (AA") è più piccola di (AA'), e se n aumenta indefinitamente (AA') diventa indefinitamente piccola. 1) La dimostrazione di questo teor. data dal sig. Stolz (1. e. pag. 83) senza bisogno del teor. o, am- mette però la legge commutativa di due grandezze qualunque del sistema, che noi invece dimostre- remo. Cosi l'ammette il mio chiariss. amico De paolis (Teoria dei gruppi geometrici. Mem. della R. Accade- mia di Napoli 1890, pag. 15-16) sebbene la sua dimostrazione essendo incompleta può lasciar credere che si possa evitare il teor. ae anche la legge commutativa (Veggasi anche la mia nota citata : il continuo rettilineo e 1- assioma V d'Archiraede). b ". Given a segment (AB) finished there is always a segment (AB) n * is a different form of the theorem. b (ind. I, 79). Def. I. The element that divides into two equal parts given segment called masi-element average of that segment. and. VI The hypothesis is independent from the assumptions above. This follows from the theorem b. In fact the segments of a segment that is ob-take with the division by half, satisfying the above assumptions when even around their extreme suppose infinitesimal data fields (oss. I, 96) ryvì Each of these segments can be expressed by the symbol (^ AA - ^ where p and n are given numbers from the series (I) (46). Now, given a number r we can divide the segment (r AAJ in equal parts, and if the second endpoint of the segment (AA}) was an element of division by half you should have 1 m% n (AAT) = (AA) , ie by taking the second multiple 2n, (AAJ ----- = (AAJ m. But because there is a number m which satisfies this condition bi-dreams that exactly divide r 2n, which is not in general because it is 2n di-visible only for 2 and for the powers of 2 whose exponent is not greater than n: 3, eg. does not divide 2n whatever n. The property ip. VI is also confirmed by intuition (55). d. If (AA) is the part and nma (AA'J the rhyme any part of a segment (AB) (n 'n), (AA ") is smaller than (AA'), and if n increases indefinitely ( AA ') becomes indefinitely small. 1) The proof of this theorem. given by Mr. Stolz (1. and. p. 83) without the need of the theorem. or,-am, however, puts the commutative law of any two quantities of the system, Instead we are showing oar. So my chiariss admits. friend De Paolis (geometric group theory. Memory of R. It happens-I of Naples, 1890, p. 15-16), although his proof is incomplete can leave believe that we can avoid the theorem. to and including the commutative law (compare also my note above: the constant and linear 1 - V axiom of Archiraede).
Page 139 Page 139139 Se fosse (AA') = (AA*), essendo per dato (AAi)n=(AAt')ri^(AB) (e, 60), sarebbe ( AA') n ~ (AB) (d, 79 ee, 60) e perciò anche n =: ri (d, 79). If it were 139 (AA ') = (AA *), being given by (AAi) n = (AAT') re ^ (AB) (and, 60), would be (AA ') n ~ (AB) (d, 79 ee, 60) and therefore also n =: re (d, 79). Se invece fosse (AA1) (AA") sarebbe pure (AA') n (AA") n (d, 79), ma per dato è (AA") n' = (AA')n = (AB), dunque sarebbe (AA") n' (4A") n, mentre d'altra parte deve essere (AA") ri (AA") n, essendo ri^ n (d, 79), dunque è assurdo ')^ (AA"). If it was (AA1) (AA ") would be well (AA ') n (AA') n (d, 79), but is given to (AA ') n' = (AA ') = n (AB), then would be (AA ') n' (4A ") n, while the other party must be (AA ') ri (AA') n, n being re ^ (d, 79), therefore it is absurd ') ^ (AA" ). Per conseguenza quando n aumenta (AA') diminuisce. Consequently when n increases (AA ') decreases. Se ora è dato un segmento (AE) finito quanto piccolo si vuole, si ha: (AE)m (AA'X(AE)(m + l) (def. II, 82; e'. 81). Dividendo dunque (AA') in m -f 1 parti uguali si ha (AA) (AE) (a, d', 79); ma (AA') -^~p = n ( cea 79 dunque il teorema è di- mostrato. Oss. I. Osserviamo che questo teorema è indipendente dall'ip. VI qualora si ammetta la divisione di ogni segmento limitato in un numero qualunque n di parti uguali ; ipotesi però che come sì vede è più complessa di quella del limite. l) d'. Se si divide un segmento (AB) qualunque in n parti uguali (nTT 1), e queste ancora in n parti uguali, e cosi via, esse divengono indefinitamente piccole. iv* **- . i - (AB) (AB) (AB) Difatti si ottengono le parti - -, , .... - ..... e col ere - *- nn* nr scere indefinito di r, nr diventa più grande di ogni numero dato m, dunque ecc. (d). 2). If now is given a segment (AE) over how small you want, we have: (AE) m (AA'X (AE) (m + l) (def. II, 82, and. '81). Dividend therefore ( AA ') in m-f 1 equal parts, we have (AA) (AE) (a, d', 79), but (AA ') - ~ ^ p = n (cea 79-thus the theorem is shown. Oss . I. We observe that this theorem is independent of the ip. VI where we admit the division of each segment limited in any number n of equal parts, so he sees that as a hypothesis, however is more complex than the limit. l) d ' . If we divide a segment (AB) any into n equal parts (NTT 1), and these again into n equal parts, and so on, they become indefinitely small. *** iv -. i - (AB) (AB) (AB) In fact you get the parts -,, .... - ..... and with the ages - * - * nn scere indefinite number of r, n becomes greater than any given number m, etc. So. ( d). 2). e. and. Se si addiziona un segmento (BC) ad un segmento (AB) a partire da B del medesimo verso, o di verso opposto rispetto, all'unità di misura si ha lo stesso risultato sommando al segmento (BC) a partire da C il segmento identico ad (AB) e dello stesso verso di (AB). If a segment is added (BC) to a segment (AB) from B of the same direction, or in the opposite direction compared, the measuring unit has the same result by adding to the segment (BC) from the segment C identical to (AB) and the same direction of (AB). Il risultato è indipendente dall'elemento dal quale si comincia per eseguire l' operazione. The result is independent of the element from which it begins to run 'operation. Vale a dire scriveremo intendendo nella seconda identità che a partire da C viene percorso un seg- mento identico ad (AB) e nel medesimo verso di (AB). That is to say write meaning that in the second identity from path C is identical to a segment (AB) and in the same direction of (AB). Supponiamo dapprima che (AB) e (BC) siano dello stesso verso. Suppose first that (AB) and (BC) are of the same direction. 1) Se (BC) è infinitesimo rispetto ad (AB), rispetto ad (AB) come unità si ha: (AB) -f (BC) = (AB) + 0 = (AB) (BC) + (AB) ==o + (AB) = (AB) (g, 85 ; def. I 76) e il teorema rispetto all'unità è in tal caso dimostrato. 1) If (BC) is infinitesimal with respect to (AB), with respect to (AB) as a unit we have: (AB)-f (BC) = (AB) + 0 = (AB) (BC) + (AB) = = o + (AB) = (AB) (g, 85; final. I 76) and the theorem relation to the unit is in this case shown. 2) Supponiamo che (AB) e (BC) siano finiti ambidue. 2) Suppose that (AB) and (BC) are finite ambidue. Se sono multipli secondo i numeri m ed n di uno stesso segmento (AA'), 1) Ad es. If there are multiple according to the numbers m and n of a same segment (AA '), 1) Eg. il sistema dei numeri razionali soddisfa a questa condizione senza essere continuo re- lativo. the system of rational numbers satisfies this condition without being constantly re-lativo. Ciò da un'altra ragione per non definire il continuo fondamentale mediante quello numerico, se si bada alla semplicità dei principii ammessi speciamente in geometria,(v. nota n. r 5). This gives another reason not to define the key by the numeric constant, if one looks at the principles of simplicity speciamente admitted in geometry, (see note no. R 5). 2) I teoremi dei numeri della sèrie (1) (46) di cui facciamo uso nella dimostrazione di ee d', si dimostrano facilmente mediante i teoremi già dati al cap. 2) The theorems of the numbers of the series (a) (46) that we use in the proof of e and d ', is easily demonstrated by means of the theorems already given in chap. iti. ites.
Page 140 Page 140140 scomposti (AB) e (BC) nelle loro m rispettivamente n parti uguali ad (AA'), possiamo considerarne prima ne poi per la legge commutativa della somma dei numeri della serie (I) (46) le rimanenti m senza alterare il risultato (AG) (oss. I, II, 80). 140 broken down (AB) and (BC) in their m respectively n equal parts to (AA '), we can consider first n and then for the commutative law of the sum of the numbers of the series (I) (46) the remaining m without altering the result (AG) (oss. I, II, 80). Ma nem parti consecutive uguali ad (A A') danno rispettivamente due segmenti identici a (BC) e (AB) (def. I e II, d, 79); dunque anche in tal caso il teorema è dimostrato. But n and m consecutive parts equal to (A A ') give respectively identical to two segments (BC) and (AB) (def. I and II, d, 79); therefore also in this case the theorem is shown. 3) Ci rimane il caso in cui (AB) e (BC) non siano nella suddetta condi- zione essendo però dello stesso verso. 3) There remains the case in which (AB) and (BC) are not in said pro-vided, however, being the same direction. ' i ' Consideriamo a partire da A nel verso opposto ad (AB) e quindi anche a (BC) i segmenti: (1) (#A) = (A ), (CfB')=(BC) (V, 69) L'elemento B' è contenuto per costruzione in (G'A)~(CB')+(BA) (def. I, 72). 'I' Consider starting from A in the opposite direction to (AB) and therefore also to (BC) the segments: (1) (# A) = (A), (CFB ') = (BC) (V, 69) The element B 'is contained for construction (GA) ~ (CB') + (BA) (def. I, 72). Si scomponga (AB) in n parti uguali (#) e una di esse sia (A A') che per n abbastanza grande sarà minore di (BC) (d). From being broken down (AB) into n equal parts (#) and one of them is (A A ') that for n large enough will be less than (BC) (d). Dovremo avere quindi un numero m^ n tale che (2) (AA') m (AC) (AA') (m -f 1) (def. li, 82 ; e', 81). Then we must have a number m ^ n such that (2) (AA ') m (AC) (AA') (m-f 1) (def. them, 82; and ', 81). L'elemento C sarà compreso dunque nella parte (m+\)ma che indiche- remo con (XY) e X compreso in (BC) essendo per costruzione (AX) (AB\ Si consideri : (3) (Y'A) = (AY) (XA)~(AX) L'elemento X è compreso nel segmento (AY) e quindi X' nel segmento (Y'A) essendo (AX) (AY) e quindi anche (X'A) ^(Y'A)(eJ 61). Si ha pure pel secondo caso considerato che: (4) (YB)=(BY)y (XB') = (BX). Ora (BY) è maggiore di (BC) e quindi anche (YB1) è maggiore di (C'B') ((1); e, 61). Così per la stessa ragione (X'B') è minore di (C*J5'); dunque l'ele- mento C è compreso nel segmento (YX*). Si ha: (5) (Y'X')=(XY) perché pel caso 2). The element C will be understood, therefore, in the (m + \) but that indica-oar with (XY) and X included in the (BC) being used for construction (AX) (AB \ Consider: (3) (Y'a) = (AY) (XA) ~ (AX) The element X is included in the segment (AY), and then X 'in the segment (Y'a) being (AX) (AY) and therefore also (X'A) ^ (Y 'A) (eJ 61). It has also PEL second case considered that: (4) (YB) = (BY) y (XB') = (BX). Now (BY) is greater than (BC) and therefore also (YB1) is greater than (C'B ') ((1), and, 61). Thus for the same reason (X'B') is less than (C * J5 '); therefore the whip-C is included in the segment (YX *). It has: (5) (Y'X ') = (XY) because PEL case 2). (YX)^(X'A) = (YA) = (YA)^(rX') e (AX) + (XY)=(A7)( );c, 68; 6, 78). (YX) ^ (X'A) = (YA) = (YA) ^ (rX ') and (AX) + (XY) = (A7) (), c, 68; 6, 78). Se Ci è un elemento tale che (6) (AQ-(C'TA) siccome (AC) è maggiore di (AX) e minore di (AY) ((2)). (C/A) deve esser maggiore di (X'A) e minore di (F'A), ((6)? (3); e, 61) e quindi C/ è pure compreso nel seg- mento (Y'X*). Se il numero n cresce indefinitamente (XY), e quindi anche (YX'y, decre- sce indefinitamente (d). Siccome (YX') diventa indefinitamente piccolo e C', Ci' sono sempre compresi nel suddetto segmento essi devono coincidere (d, f, 95,) Si deve avere dunque : If there is an element such that (6) (AQ-(C'TA) as (AC) is greater than (AX) and less than (AY) ((2)). (C / A) must be greater than ( X'A) and less than (F'A), ((6)? (3), and 61) and then C / is also included in the segment (Y'X *). If the number n increases indefinitely (XY), and therefore also (YX'y, decreasing SCE indefinitely (d). Since (YX ') becomes indefinitely small and C', Ci 'are always included in said segment they must match (d, f, 95, ) It must have therefore:
Page 141 Page 141141 ossia (BC) -h (AB) = (AC) nel senso suindicato. 141 words (BC)-h (AB) = (AC) as indicated above. (4) Supponiamo ora il caso che (AB) e (BC) siano di verso opposto sem- pre però considerando i due segmenti nel risultato in uno stesso verso del siste- ma, ad es. (4) Suppose now the case that (AB) and (BC) are in the opposite direction, however, always pre whereas the two segments in the result in a same direction as the sys-tem, eg. in quello dato da (AB). in that given by (AB). Il teorema dice che se si considera a par- tire da A prima il segmento (B'A) = (CB) nel verso di (CB) e poi il segmento a partire da B' nel verso di (AB), si ha: (AA') = (AC) B' ACB Se (CBX(AB), (BA\ (AC), (AB) sono diretti nel medesimo verso (def. Ili, 67) e per la dimostrazione precedente si ha: (B'C) = (AB) = ( A') (e, 68 e 6, 78). E partendo in uno e nell'altro verso da B' vi è un solo segmento iden- tico ad un segmento dato ( ', 69) dunque si ha che l'elemento A' coincide col- l'elemento C, ossia (AA') = (AC). CAAB Se invece (CB)XAB), (CA) ed (AB) sono dello stesso verso, e quindi con- siderando un segmento (CA') nel verso di (CA) identico ad (AB) si ha pel caso 3). The theorem says that if we consider in par-tire from A first segment (B'A) = (CB) in the direction of (CB) and then the segment from B 'in the direction of (AB), we have: (AA ') = (AC) B' If ACB (CBX (AB) (BA \ (AC), (AB) are directed in the same direction (def. Ill, 67) and the previous demonstration, we have: (B 'C) = (AB) = (A') (and, 68 and 6, 78). And starting in one and in the other direction from B 'there is only one segment identical tico to a given segment (', 69 ) then we have that the element A 'coincides with the element-C, ie (AA') = (AC). CAAB If (CB) XAB), (CA) and (AB) are of the same direction, and then with a segment-recital (CA ') in the direction of (CA) identical to (AB) has for case 3). ossia 5) II teorema è vero anche da qualunque elemento si cominci a far Pope- razione e in qualunque verso (a, 78), dunque il teorema è pienamente dimostrato. or 5) The theorem is true by any element you start to Pope-tion and in any direction (a, 78), then the theorem is fully proved. e'. and '. Dato un segmento (AB) vi è sempre un segmento (AC) tale che (AC) m (AB) (AC) (m + 1) essendo m un numero dato. Given a segment (AB) there is always a segment (AC) such that (AC) m (AB) (AC) (m + 1) being a given number m. Poniamo m-=.n 1 e dividiamo (AB) in n parti uguali. Let m =-. N 1 and divide (AB) into n equal parts. L'ultima parte sia (B'B) e la prima (AA'). The last part is (B'B) and the first (AA '). Scegliamo in (B'B) un elemento C' e dividiamo (B'C) in n 1 parti uguali; una di queste parti sia (B'C"). Sia (A' C) = (B' C"); il segmento (AC) soddisfa alla condizione del teorema. We choose in (B'B) a component C 'and divide (B'C) in n 1 equal parts, one of these parties is (B'C'). Let (A 'C) = (B' C '); the segment (AC) satisfies the condition of the theorem. Difatti si ha : imm [(AA) + (A1 C)] m = (A A1) + (A'C) + .... In fact we have: imm [(AA) + (A1 C)] = m (A A1) + (A'C) + .... -f- (A A') -f (A1 C) = (AA) m 4- (A' C) m (e) ma si ha per costruzione : (A A') m + (AC) m (AB) (d, 79.) dunque: [(AA1) + (A'C)] m (AB) (e, 61) Si ha invece : [(AA') + (A'C')] n = (AA') n 4- (A'C') n (AB) essendo (A A') n~(AB) (f, 73.) Oss. -F-(A A ')-f (A1 C) = (AA) m 4 - (A' C) m (e) but one has for construction: (A A ') m + (AC) m (AB) (d, 79.) then: [(AA1) + (A'C)] m (AB) (and, 61) It has instead: [(AA ') + (A'C')] n = (AA ' ) No 4 - (A'C ') n (AB) being (A A') n ~ (AB) (f, 73.) Oss. II. II. Il teorema e vale non solo pel sistema identico nella posizione delie sue parti (def. I, 70) ma eziandio pel solo sistema omogeneo (def. I, 68). The theorem is true not only for the system in the same position Delie parts (def. I, 70) but even for the sole homogeneous system (def. I, 68).
Page 142 Page 142142 Inoltre è importante di notare come la dimostrazione del teorema in tutti i casi e specialmente nel 3D sia indipendente dalT ipotesi VI sulla continuità, di modo che vale anche per tutti i sistemi omogenei discreti (.def. I, 96) perché nel 3 caso la va- riabile (X'Y*) contiene già gli elementi costanti C1 e C^, e quindi ha per limite rispetto all'unità data questi elementi coincidenti ( 7, 95). 142 It is also important to note that the proof of the theorem in all cases and especially in 3D is independent dalt VI assumptions on continuity, so that applies to all discrete homogeneous systems (. Def. I, 96) because in case 3 the variable-(X'Y *) already contains the elements constants C1 and C ^, and therefore has to limitation with respect to the unit date coincident these elements (7, 95). Bisogna però ammettere in questo caso la divisibilità in n parti uguali di ogni segmento finito sulla quale si appoggia la dimostrazione del teorema, proprietà codesta che non include ancora quella della continuità, ma che viene dimostrata per mezzo di quest'ultima. It must be admitted, however in this case the divisibility into n equal parts of each segment finished on which rests the proof of the theorem, properties codesta that does not yet include that of the continuity, but which is demonstrated by means of the latter. ( ) f. () F. Il segmento multiplo secondo un numero m della parte nma (AC) di un segmento (AB) è sottomultiplo secondo il numero n di un segmento multi- plo di (AB) secondo il numero m. The segment according to a multiple number m of the part nma (AC) of a segment (AB) is submultiple according to the number n of a multi-segment plo of (AB) according to the number m. Si ha dunque : (1) (AC) = (^l (ind. I, 79) e sia (AD) = (AC)m e quindi n (b, 9). 11/ Sia inoltre /o\ * \A-ti) m__. We thus have: (1) (AC) = (^ l (ind. I, 79) and let (AD) = (AC) n then I (b, 9). 11 / Moreover, let / o \ * \ A- I) M__. _. _. ( ) n= (Al/j vogliamo dimostrare che (AZ))EE(ADr). () N = (Al / j want to show that (AZ)) EE (ADR). Si ha da (1) (AC)n = (AB) e sostituendo in (2) ossia (AC) mn . It has to (1) (AC) n = (AB) and by replacing in (2) ie (AC) mn. = ^ - - n perché (AC)mn è multiplo di (AC)m secondo il numero^ e quindi (AC)m è sottomultiplo secondo questo numero di (AC)m. = ^ - N because (AC) mn is a multiple of (AC) according to the number m ^ and then (AC) m is the second sub-multiple of this number (AC) m. n (def. I, II, 79). n (def. I, II, 79). Ma (AC)m = (AD); dunque cf 60) Perché (AB) ^^ - m (b, 79) e quindi pel teorema f si ha la relazione fg Un segmento qualunque finito (AB) è uguale rispetto all'unità di mi- sura al segmento stesso (BA) percorso nel verso opposto. But (AC) = m (AD), thus cf 60) Why (AB) ^ ^ - m (b, 79) and PEL theorem, f is the relationship has ended any fg A segment (AB) is equal to unity with respect I-sura of the same segment (BA) path in the opposite direction. Cioè (AB) = (BA) (1) Dimostriamo dapprima che se (AB) = (AB') si ha: Ie (AB) = (BA) (1) demonstrate that if at first (AB) = (AB ') we have:
Page 143 Page 143143 . 143. . . I segmenti (AB) e (AB') sono diretti in verso opposto, altrimenti B coin- ciderebbe con B' (#, 69) ; quindi (B' A) e (A3) sono diretti nelle stesso verso, ina non si sa se (Afi) sia identico a ( A). The segments (AB) and (AB ') are directed in the opposite direction, otherwise B coin-ciderebbe with B' (#, 69); then (B 'A) and (A3) are directed in the same direction, it is not known ina if (Afi) is identical to (A). Si ha però: #A) -f- (AB) == (#fi) (def. I, 72) Ma perché per dato è (1) (Afi)EE(Afi') (a. 69) Inoltre (BA) + (A#) EE (B ) ~ (fi'A) + (AB} (a, 78) dunque (2) (BB') = (BIB) Supponiamo ora che (BA) non sia identico ad (AB) e sia identico ad un segmento (Afit) nello stesso verso di (AB) (def. I ed, 70) e quindi fi, non coin- cida con B. V elemento Bl sia inoltre contenuto nel segmento (BA). Vi è nel verso opposto di (AB) a partire da A nel sistema un segmento (3) (ABl) = (ABll) (a', 70) da cui (BlA) = (Bl'A) (a, 69) e T elemento fi/ è contenuto in (Aff) per l'identità dei due segmenti (AB) e (A#), (ABJ e (Afi/) (def. I e II, 61 ; e1, 68 e 6, 36 opp. 6, 60). Inoltre da (2) (4) (fi^'j^fi/fiO e per ipotesi (5) (^EEU^) e poiché da e (1), (5), (3) si ha (6)' * (tfAjEEE^OEEEfAtf/) (e, 8 oe, 60) ne segue (6') (AB) = (B,A)^(Bl'A). (a, 69) Ora è (BA) + (A ) = (B ) = (AT) + (fl/ A) ((5; (6'); a, 73) considerati i segmenti dell'ultimo membro come consecutivi. Ma (AB,) + (fi', A) = (fi\A) + (Afif) = (fiff fiT) (e) vale a dire .(7) (fitf) = (fi/fi1) (e, 8 oe, 60) Si ha pure: (fitf) = (fifij + (fi^/) + (fi/fi1) ossia per la (4) (fifi1) = (fifi,) + (fi,'fi,) + (fi'.fi') intendendo, come abbiamo già detto, che in luogo di (fi^fit) vi sia un segmento ad esso uguale consecutivo di (fifi,), e così per (fi^l?) rispetto a (fi/fiO- Vale a dire confrontando con la (7) si deve avere (B\ff) = o. Se ciò non fosse, essendo ) = [(fifij + (fi/fiOJ + (BlfBf) (BBl) + (fi/fij. (d, 77 e def. I 61) ed anche But you have: # A)-f-(AB) == (# fi) (def. I, 72) But because it is given (1) (Afi) EE (Afi ') (a. 69) Moreover (BA ) + (A #) EE (B) ~ (fi'A) + (AB} (a, 78) then (2) (BB ') = (BIB) Suppose now that (BA) is not identical to (AB) and is identical to a segment (afit) in the same direction (AB) (def. and I, 70) and then fi-ish does not coincide with B. Bl V element is also contained in the segment (BA). There is in the direction opposite of (AB) from a segment A in the system (3) (ABl) = (ABll) (a ', 70) from which (BLA) = (Bl'A) (a, 69) and element T fi / is contained in (Aff) for the identity of the two segments (AB) and (A #), (ABJ and (Afi /) (def. I and II, 61; e1, 68 and 6, 36 opp. 6, 60) . addition to (2) (4) (fi ^ '^ j fi / FiO and by hypothesis (5) (^ ^ EEU) and from and since (1), (5), (3) there is (6)' * (tfAjEEE ^ OEEEfAtf /) (and, 8 oe, 60) it follows (6 ') (AB) = (B, A) ^ (Bl'A). (a, 69) is now (BA) + (A ) = (B) = (AT) + (fl / A) ((5, (6 ') a, 73) considered as consecutive segments of the last member. But (AB) + (fi', A) = (Q \ A) + (Afif) = (FIFF fit) (e) ie. (7) (fitf) = (fi/fi1) (e, e 8, 60) It also has: (fitf) = (fifij + (fi ^ /) + (fi/fi1) that for (4) (fifi1) = (fifi,) + (fi, 'fi,) + (fi'. fi ') meaning, as we said , that in place of (fi ^ fit) there is a segment of consecutive equal to it (fifi,), and so for (fi ^ l?) versus (fi/fiO- That is to say with the comparing (7) is must have (B \ ff) = o. If this is not being) = [(fifij + (fi / fiOJ + (BlfBf) (BBl) + (fi / FIJ. (d, 77 and def. I 61) and also
Page 144 Page 144144 (BBl) + (B^Bl)XBl'Bl)y sarebbe (BE') ( T' J (d, 61), il che è assurdo ((7) e ,' 61). Dunque si ha anche (BB^ = o ossia # e J5t, B' e #T coincidono (def. I, oss. I, 76) e perciò : Se invece B è contenuto nel segmento (AB^ per l'identità dei segmenti (AB) e (A#), (A^) e (AB+), si cade nel caso precedente. Dunque il teorema è pienamente dimostrato l). Oss. II. Noi ci serviamo della dimostrazione del teor. ee di teoremi che pre- cedono il principio di continuità (ip. VI), ma il teor. e come si è osservato non di- pende neppure da questo principio, quindi anche il teor. g ne è indipendente. h. Dividendo un segmento (AB) in n parti uguali e le parti risultanti in n parti uguali e cosi via, si ottiene un gruppo di elementi del segmento dato compresi gli estremi i cui altri elementi sono elementi limiti del gruppo dato rispetto all'unità di misura. Basta fare la dimostrazione per n = 2 perché per n qualunque finito il procedimento è il medesimo. Sia dato il segmento (AB) e sia JVt il suo elemento medio (def. I). Sia N2 I1 elemento medio del segmento (N^) ed N3 quello di (N2 ) e va dicendo. Si ha: (NrB)~Nr^B) = ...~(AB)r (e', 79) Coir aumentare indefinito di r poiché ogni segmento (NrB) ha un ele- mento medio, (NrB) diviene indefinitamente piccolo (d1). Dunque B è elemento limite degli elementi Nr. Così si dimostra che A è elemento limite d'un gruppo analogo di elementi N. Sia ora M un elemento qualunque del segmento (AB) che non sia elemento medio di alcuno dai segmenti costruiti colla divisione per metà. Esso sarà compreso o nel segmento (ANJ o (N^). Supponiamo lo sia nel primo e sia N2 l'elemento medio di (ANJ; M sarà posto o nel segmento (NN2) o (AyVT). Se esso è situato nel segmento CftyV~T) coir elemento medio N^ M sarà situato o nel segmento (N2N3) o (N3N{). Evidentemente si ha: i) Questa proprietà si da nei trattati di geometria elementare ed anche in molte memorie sui fondamenti di geometria come un assioma o postulato, ammettendo anche come assiomi sotto forma diversa (facendo cioè uso del movimento delle figure senza deformazione) le proprietà date nella de- finizione del sistema identico nella posizione delle sue parti (def. I, 70, def. I, 68). Il teor. 6 è conse- guenza della def. I, 68 del sistema omogeneo colla divisione in n parti uguali di ogni segmento nel i. caso (oss. I), mentre g è conseguenza della def 1,70 del sistema identico nella posizione delle sue parti. Negli Elementi di geometria ad es. di De Paoìis la proprietà (Afi)=E(BA) si deduce infatti dai postu- lati II, parte III, IV, X, XI. l'ultimo dei quali stabilisce la continuità nel senso del teor. 6', 95. Gli al- tri assiooni che si danno per la sola retta si possono semplificare colla guida dell'oss. i, 81. 144 (BBl) + (B ^ Bl) XBl'Bl) y would be (BE ') (T' J (d, 61), which is absurd ((7) and, '61). Therefore, there is also (BB ^ = or # and J5t ie, B ', and # T match (def. I, oss. I, 76) and thus: If B is contained in the segment (AB ^ to the identity of the segments (AB) and (A # ), (A ^) and (AB +), it falls in the previous case. So the theorem is fully demonstrated). Oss. II. We use the proof of the theorem. ee of theorems that precede the principle of continuity ( ip. VI), but the theorem. and as observed in non-hanging even from this principle, hence the theorem. g is independent of. h. Dividing a segment (AB) into n equal parts and the parts resulting in n equal parts and so on, one obtains a group of elements of the given segment including the extremes of which other elements are elements limits of the group given relation to the unit of measure. Just make the demonstration for n = 2 for n any because the finished proceeding is the same. Consider the segment (AB) and JVT is its element medium (def. I). Both N2 I1 element of segment (N ^) and that of N3 (N2) and has been saying. It has: (NRB) Nr ^ ~ B) = ... ~ (AB) r (e ', 79) Coir increase indefinitely because each segment of r (NRB) has an average ele-ment, (NRB) becomes infinitely small (d1) . So B is an element boundary element No. This proves that A is a limit element similar group of elements N. Let now M any element of the segment (AB) which is not part of any medium made by the segments with the Division for half. It will be understood or in the segment (ANJ or (N ^). Suppose it is in the first and N2 is the element average (ANJ; M will place or in the segment (NN2) or (AyVT). If it is located in the segment CftyV ~ T) element coir medium N ^ M, or will be located in the segment (N2N3) or ({N3N). Obviously we have: i) This property will be treated in elementary geometry and also in many memories about the foundations of geometry as an axiom or postulate, assuming as axioms in a different form (ie, making use of movement of the figures without deformation) properties given in the de-finishing system is identical to the position of its parts (def. I, 70, def. I , 68). The theor.. 6 is accordingly of the final. I, 68 of the homogeneous system with the division into n equal parts of each segment in the. case (oss. I), while g is a consequence of the final 1.70 system identical to the position of its parts. In Elements of geometry, eg. De Paoìis property (Afi) = E (BA), it follows from postu-sided II, Part III, IV, X, XI. the last of which establishes the continuity in the sense of the theorem. 6 ', 95. The tri-assiooni to give you the right one can be simplified with the help of the OSS. i, 81.
Page 145 Page 145145 = (ANJ |-= (AB] i = (N2NJ1= (AB) i Continuando così P operazione l'elemento M verrà a trovarsi fra due ele- menti medi Nr, Ns tali che (NrNs) = (AB) che diventa indefinitamente piccolo col crescere di n (d), e che quindi ha l'e- lemento M dato come elemento limite (g, 95). Il teorema è dunque dimostrato. hf. Le parti (AX) di un segmento (AB) considerato come unità, i cui ele- menti X siano elementi della divisione successiva di (AB) per metà, possono essere rappresentate dal simbolo ove le alt a.2 a,n sono uguali aoe 1, ma non tutte zero. Negli altri casi possono essere rappresentate dal simbolo con: lim n = oo Ciò deriva dalla dimostrazione del teorema h stesso. Oss. IV. Nel caso ! = 02 ..., = an =:.... o si ha il segmento nullo (def. 1,76). h". Nel caso che n non abbia nel simbolo dato un ultimo valore e se l'o- perazione si considera come eseguita possiamo rappresentare le parti del seg- mento (AB) col. simbolo OS- n = 1. 2 .... m .... (wt= oo) !). Veramente (AB) (^- + h % H ----- ) è un segmento illimitato che non ha un ultimo elemento, e quindi non contiene l'elemento X, ma nelle nostre ricerche possiamo sostituire questo segmento illimitato al segmento (AX) stesso, non considerando la loro diversità (def. Ili, 9). Oss. V. Così se si ha un segmento (AB) limite di una variabile (AX) (non im- porta che sia sempre crescente o sempre decrescente, purché sia soddisfatta la con- dizione che la differenza di due stati successivi diventi indefinitamente piccola), il segmento (AB) può essere sostituito anche da tutta la serie degli stati di (AX) seb- bene l'elemento -B sia fuori di questa serie. I) secondo canlor (ve Ji . 90). IO 145 = (ANJ | - = (AB] = i (N2NJ1 = (AB) the continuation of these operations the P element M will be located between two elements mean Nr, Ns such that (NrNs) = (AB) which becomes indefinitely small with the increase of n (d), and which therefore has the E-M lemento given as a limit element (g, 95). The theorem is thus demonstrated. hf. parts (AX) of a segment (AB) considered as a unit, whose elements are the elements of X next division of (AB) for half, they can be represented by the symbol where the alt a2 a, n are equal to 1 AoE, but not all zero. In other cases can be represented by the symbol: lim n = oo This follows from the proof of the theorem, h same. Oss. IV. If! 02 = ... = an =: .... or has the null segment (def. 1, 76). h ". If n has not given a last entry in the symbol and if the o-operation is considered as done, we can represent the parts of the segment (AB) with. symbol OS-1 = n. 2 m .... .... (wt = oo)!). Truly (AB) (^ - + h% H -----) is a segment that does not have an unlimited last element, and therefore does not contain the 'X factor, but in our research, we can replace this segment of the unlimited segment (AX) himself, considering their diversity (def. Ill, 9). Oss. V. So if you have a segment (AB) limit of a variable (AX) (not im-door that is always increasing or always decreasing, that they are satisfied with-the condition that the difference of two successive states indefinitely becomes small), the segment (AB) can also be replaced by the entire series of states of (AX)-although well-B element is out of this series. I) according canlor (ve Ji. 90). IO
Page 146 Page 146146 Analogamente dicasi se (AB) è segmento limite di due serie (AX) e (AX') Tuna sempre crescente, l'altra sempre decrescente. Similarly 146 applies if (AB) is the segment limit of two series (AX) and (AX ') Tuna increasing, the other always decreasing. l)ef. l) f. IL Se (AB) (^ H-------|-^.+ ....) determina un segmento (AX), essendo X un elemento ottenuto colla divisione successiva in n parti uguali del segmento (AB), il simbolo (~ + -f- -^- -f- i si chiama razionale, in caso contrario si chiama irrazionale. *) 9. If IL (AB) (H ^ ------- | - ^. + ....) Determines a segment (AX), X being an element obtained with the next division into n equal parts of the segment (AB), The symbol (~ +-f-- ^ - f-i is called rational, otherwise it is called irrational. *) 9. Ipotesi sui campi infinitesimi dei segmenti ( VII) Infinitesimo e zero assoluto Scomposizione dei segmenti in un dato numero infinito di segmenti infinitesimi Indefinitamente piccolo in senso assoluto Segmenti finiti assoluti variabili sempre ere scenti o decrescenti Ipotesi sul continuo assoluto (Vili) Discreto assoluto. Assumptions on the fields of infinitesimal segments (VII) and absolute zero infinitesimal breakdown of segments in a given infinite number of infinitesimal segments Indefinitely small in an absolute sense Segments variables always finite absolute ages scenti assumptions on the continuous and decreasing absolute (VIII) Discrete absolute. Elementi limiti assoluti di un gruppo di elementi sulla forma fondamentale. Elements absolute limits of a group of elements on the basic form. 100. 100. Oss. Oss. I. I. Considerando ora di nuovo tutta la forma fondamentale e il segmento (AB) che ci ha servito alla costruzione della prima scala (def. I e oss. I, 80) abbia- mo le seguenti ipotesi: T. Considering now again all the basic form and the segment (AB) who has served the construction of the first scale (def. I and oss. I, 80)-th has the following assumptions: T. (AB} è indivisibile, (def. V, 62); 2a. (AB) è somma di un numero finito di segmenti indivisibili ; - 3*. (AB) è divisibile in un numero qualsiasi finito n di parti finite fra loro, nel qual caso e per la def. I, 68 e per Tip. VI (AB) è continuo relativo; 4". vi è un ultimo campo infinitesimo rispetto al segmento primitivo dato (AB), ad es. di ordine fi (oss. Ili, 91 e def. VI, 86). In tal caso ogni segmento infinitesimo di 1 , ordine rispetto ad (AB) avrebbe un ultimo campo infinitesimo d'ordine ti 1. E può darsi ancora in questo caso che neirultimo campo infinitesimo d'ordine ti rispetto ad (AB) vi sia un ultimo segmento indivisibile che non contenga cioè altri elementi (def. V, 62). In tal caso la forma fondamentale non potrebbe esser conti- nua in questo campo (ip. VI). 5a. Può darsi ancora che il segmento (AB) non contenga un ultimo campo in- finitesimo in modo che la serie degli ordini dei campi in finitesimi sia illimitata, ma non oltrepassi un numero infinito determinato. Così succederebbe se gli ordini dei campi infinitesimi fossero dati dai numeri 1, 2, 3.. n... della serie (I) (46). In ognuno di questi casi i segmenti dati della forma fondamentale non avreb- bero la stessa proprietà rispetto alla loro scomposizione in campi infinitesimi e quindi 3} Volendo limitarci al finito soltanto, la via da seguire si semplifica. Basta dopo le def. date neir oss. Il, 81 stabilire la seguente ipotesi : Dato un segmento (AB) qualunque del sistema omogeneo vi è sempre in esso un elemento C distinto da A e B. In questo caso non occorre tener conto dell'unità di misura, essendovene una sola. Dall'ipotesi suddetta e dalle definizioni del sistema omogeneo si deducono i teor. del n. 95. Si da poi P ip. VI e si dimostrano nello stesso modo i teor. dei n. 96-99. Questa sarebbe in massima la via da seguire in un trat- tato di geometria elementare ad uso delle scuole liceali per stabilire le proprietà delia retta conside- rata dapprima in so (Vedi nota n. 81, la pref. e le note indicate con numeri romani della parte I). Alcuni di questi teor. ad es. h' eh" e la def. II. diquesto numero non occorrono coraej 51 vedrà nei fonda- menti della geometria. (AB} is indivisible, (final V, 62); 2a. (AB) is the sum of a finite number of segments indivisible; - 3 *. (AB) is divisible into any number n of the finished finished parts between them, in which case and for the final. I, 68, and for Tip. VI (AB) is constant relative; 4 ". there is a last field infinitesimal with respect to the given primitive segment (AB), eg. order fi (oss. Ill, 91, and def. VI, 86). In this case, every infinitesimal segment of 1, order with respect to (AB) would have an infinitesimal of order will last field 1. And maybe even in this case neirultimo infinitesimal area d ' you order with respect to (AB) there is a last segment indivisible ie which does not contain other elements (final V, 62). In this case the basic form could not be con-nua in this field (ip. VI). 5a. It may be still that the segment (AB) does not contain a last field in-finitesimo so that the series of orders of the fields in finitesimi is unlimited, but does not exceed an infinite number determined. So would happen if the orders of the fields were infinitesimal data from numbers 1, 2, 3 .. n ... series (I) (46). In each of these cases, the basic form of the data segments do not avreb-shaft the same property with respect to their decomposition into infinitesimal fields and then 3} Wanting to limit ourselves only to the finite, the way forward is easy. Just after the final. dates neir oss. The, 81 establish the following hypothesis: Given a segment (AB) any of the homogeneous system is always in it an element distinct from C A and B. In this case there is no need to take into account the unit of measurement, there being only one. the hypothesis above and from the definitions of the homogeneous system can be deduced the theorem. of n. 95. It then by P ip. VI and prove the theorem in the same way. of n. 96-99. This would maximize the way forward in a Treaty of elementary geometry to high school students for schools to determine the properties Delia deemed to have been first in line I (see footnote no. 81, pref. and notes indicated with Roman numerals in Part I). Some of the theorem. eg. h 'eh' and the final. II. delivering this number does not need coraej 51 will see in the minds of the geometry-based .
Page 147 Page 147147 per l'uniformità stessa, sotto questo rispetto, dei segmenti dati stabiliamo la seguente ipotesi : Ip. 147 for the same uniformity, in this respect, data segments we establish the following hypothesis: Ip. VII. VII. Il segmento (AB) che ha servito a costruire la prima scala (def. I, 80) contiene infinitesimi dello stesso ordine di quelli di ogni altro segmento limitato della forma fondamentale mag- giore di (AB). The segment (AB) that was used to build the first level (def. I, 80) contains infinitesimals of the same order as those of any other segment of the limited basic form May greater of (AB). a. a. L'ipotesi VII è indipendente dalle ipotesi precedenti. The hypothesis VII is independent from the assumptions above. Che sia indipendente risulta dal fatto che esprime una proprietà non contenuta nelle ipotesi precedenti, e non può per questo derivare da esse, come non ne è esclusa, potendo essere applicate anche con questa nuova ipotesi. That is independent results from the fact that expresses a property not contained in the above assumptions, and hence can not be derived from them, as he is not excluded, they can also be applied with this new hypothesis. Infatti sul segmento primitivo (AB) che ci ha servito a costruire la prima scala (def. I, 80) non abbiamo fatta alcuna ipotesi (oss. I. 80), mentre le ipo- tesi IV e V ci hanno servito per costruire i segmenti infiniti rispetto ad un segmento uguale o maggiore di (AB), e I1 ipotesi VI ci ha servito per defi- nire la continuità dei segmenti della forma fondamentale relativamente ad un'unità, cioè di quei segmenti che contengono degli infinitesimi e che quindi rispetto a questi soddisfano alle ipotesi IV e V. In fact, the primary segment (AB) that has served to build the first level (def. I, 80) we have not made any assumptions (oss. I. 80), while the hypothesis IV and V have served to build infinite segments with respect to a segment equal to or greater than (AB), and I1 hypothesis VI served us for defi-ne the continuity of the segments of the basic form relatively to a unit, ie those which contain segments of infinitesimals and then compared these satisfy the hypotheses IV and V. Scelto un infinitesimo d1 ordine TJ rispetto ad (4-B), rispetto ad esso come unità fondamentale possiamo appli- care le ipotesi IV e V, come si possono applicare ad un infinitesimo d'ordine 13 rispetto ad ogni altro segmento limitato maggiore di (AB), e quindi anche Tipo- tesi VI. TJ chose an infinitesimal order than d1 (4-B), compared to it as the fundamental unit care can apply the hypotheses IV and V, as can be applied to an infinitesimal of order 13 relative to each other more limited segment of ( AB), and therefore also type-thesis VI. b. b. Ogni segmento limitato della forma fondamentale soddisfa ali'ip. Each limited segment of the fundamental form satisfies ali'ip. VII. VII. Se è dato un segmento (XY) qualunque vi è sempre un solo segmento (AC) nel verso della scala uguale a (XY) (ti, 69). If it is given a segment (XY) any there is always only one segment (AC) in the direction of the scale equal to (XY) (I, 69). Se è (AC)=(AB), il teorema si confonde coli'ipotesi stessa (b, 60). If you (AC) = (AB), the theorem is confused coli'ipotesi same (b, 60). Se è invece (AC) (A ) (b, 73), (AC) è finito o infinito rispetto ad (AB) (f, 82); ed è chiaro che siccome (AB) ha infinitesimi degli stessi ordini di un segmento qualunque (DE)9 a maggior ragione li deve avere (AC) (def. I, 61). If instead it is (AC) (A) (b, 73), (AC) is finite or infinite with respect to (AB) (f, 82); and it is clear that as (AB) has infinitesimal of the same order of a segment any (DE) 9 a fortiori them must have (AC) (def. I, 61). Se è invece (AC) (A ), (AC) è finito o infinitesimo rispetto ad (AB) (def. II, /", 82). Se la proprietà b vale quando è infinitesimo, a maggior ragione vale quando è finito (def. I, 61) e def. II, 82). Sia infinitesimo di ordine ne suppo- niamo non abbia infinitesimi gli ordini dei quali sorpassino un numero dato a di (II) (91). In tal caso (Al?) non avrebbe infinitesimi di ordine ij-la., che sareb- bero infinitesimi d'ordine a rispetto ad (AC) (oss. Ili, 91 e def. Ili 86), mentre (AB) deve avere di tali infinitesimi, essendovi dei segmenti infiniti ad es. quelli di ordine ij+a rispetto ad (AJ5), rispetto ai quali (AB) è infinitesimo d'ordine 7j+a (ip. VII). Oss. II. Dall'ipotesi stessa risulta che non vi è un ultimo segmento dato (AB) indivisibile cioè un segmento (AB} più piccolo di ogni segmento dato. e. La differenza di due segmenti (AB), (CD) finiti assoluti non identici è un sigmento finito assoluto. Difatti se (AB) (CD) Q(CB)\n (AB) è identico a (CD), si ha che in (AB) A e C non coincidono (def. I, , 61) e quindi (AC) è un segmento finito assoluto (def. V, 92). J)cf. /, Non abbiamo un infinitesimo rispetto all'unità assoluta nel If you'd rather (AC) (A), (AC) is finite or infinitesimal compared to (AB) (def. II / ", 82). If the property is true when b is infinitesimal, even more so when it is finished ( final. I, 61) and final. II, 82). Both infinitesimal of order n and suppo-ne has not infinitesimal orders of which surpass a given number of in (II) (91). In this case (Al?) not would infinitesimals of order ij-la., which would have resulted in infinitesimal order than (AC) (oss. Ill, 91, and def. Ill 86), while (AB) must be of such infinitesimal, there being segments of infinite eg. those of order ij + a with respect to (AJ5), against which (AB) is infinitesimal order 7j + a (ip. VII). Oss. II. same From the hypothesis that there is a final given segment (AB) indivisible ie a segment (AB} smaller than any given segment. and. The difference of two segments (AB) (CD) is a finite non-identical absolute sigmento finished absolute. In fact, if (AB) (CD ) Q (CB) \ n (AB) is the same (CD), we have that in (AB) A and C do not coincide (final I,, 61) and then (AC) is a finite segment absolute (final V, 92). J) cf. /, do not we have an infinitesimal with respect to unity in absolute
Page 148 Page 148148 fin qui usato di questa parola, altrimenti vi sarebbe un ultimo infinitesimo contro Tip. 148 so far used this word, otherwise there would be a last tip against infinitesimal. VII. VII. Ma per uniformità di linguaggio possiamo dire che vi è un infinitesimo assoluto i cui estremi dobbiamo però ritenerli come un solo ele- mento in senso assoluto (def. Ili, 57) in base ai principi già ammessi, vale a dire V infinitesimo assoluto è nullo rispetto ali 'unità assoluta, ossia rispetto ad ogni segmento (AB) come unità di misura (def. V, 92) 1). But for uniformity of language we can say that there is an infinitesimal absolute reference for which we must consider them as one ele-ment in an absolute sense (def. Ill, 57) based on the principles already admitted, ie V is infinitesimal absolute zero wings than 'absolute unity, ie with respect to each segment (AB) as the unit of measure (def. V, 92) a). d. d. Due segmenti che differiscono per un segmento infinitesimo assoluto sono uguali in senso assoluto. Two segments that differ in absolute infinitesimal segment are equal in an absolute sense. Difatti sono uguali in senso assoluto (def. Ili, 9) perché gli estremi di un segmento infinitesimo assoluto sono per noi coincidenti in senso assoluto (def. HI, 57 e def. I). In fact they are equal in an absolute sense (def. Ill, 9) because the extremes of an infinitesimal segment for us all are coincident in an absolute sense (def. HI, 57 and final. I). e. and. Ogni segmento (AB) della forma fondamentale da A verso B si può scom- porre in un numero infinito ^ determinato di segmenti consecutivi infinitesimi successivamente di ordine 13, 17-!, ....... Each segment (AB) of the fundamental form A to B can be put will disappear into an infinite number of consecutive segments ^ determined later infinitesimal of order 13, 17 -!, ....... , 1. , 1. Difatti scelto in (AB) un segmento (AC) infinitesimo d'ordine 13 (oss. III. 91) rispetto ad (AB) (b) i campi infiniti di 1 , 2 ,...., (13- 1 ) ordine rispetto ad (AC) sono i campi infinitesimi di ordine ?jl, 15-2.... In fact chosen in (AB) a segment (AC) infinitesimal of order 13 (oss. III. 91) with respect to (AB) (b) the infinite fields of 1, 2, ...., (13 - 1) order than (AC) fields are infinitesimal of order? jl, 15-2 .... 1 rispetto ad (AB) (f", 92 ed, 93). Scelto quindi un elemento C nel campo infinitesimo d'ordine YJ-!, un elemento C" nel cam- po infinitesimo d'ordine ij-2 e così via, un elemento O^1 nel campo infinitesimo d'ordine 1, il segmento (AB) rimane scomposto negli TJ segmenti consecutivi (AC),(CC'), (C'C"), ...., (C^B) nel senso stabilito nella conv. I del n. 91. f. In ogni segmento (AB) vi è semgre un segmento il cui multiplo secondo il numero dato t\ è minore di (AB) ed uno il cui multiplo secondo lo stesso nu- mero è maggiore di (AB). Se ^ è un numero intero finito n, vale la stessa dimostrazione data pel teor. a del n. 95. Se è infinito, sia j* l'ordine d'infinito di 73. Tutti i numeri dello stesso ordine sono rappresentati dal simbolo oo** e sono della stessa specie (e, 91 e a, 86). Sia (AB') un infinitesimo di quest'ordine ed essendo già stabilite le scale e quindi le loro origini come bisogna supporre nel confronto dei segmenti in- finiti (oss. IV, 91) 2), prendendo i multipli di (AB') secondo i numeri dello stesso ordine di 13 e considerando soltanto quelli che differiscono di un numero dello stesso ordine (come ad es. oou ooj. 2 e non ad es. oo,, oot : n che sono uguali rispetto all'unità infinita di 1 ordine) (AB) sarà compreso fra due di questi multipli, se non è esso stesso uno di essi e sarà finito con essi. Ad es. si avrà (4 B') ijj (A ) ( AB') (TJL -f- Ip) intendendo che 1^ in questo caso sia l'unità infinita della stessa specie dei numeri 73, ^ (I, 92). 1) Se nn allora (AB') 73 (AB') Vl (AB), (g, 92; rf, 61). In tal caso si ha pure ^ -+ 1^ v\ e vi sarà un numero m finito tale 1) Dalla definizione stessa risulta che se A è rinfinitesimo assoluto non vi è alcun numero della classe (II) tale che A. f\ sia uguale o superi un segmento qualunque cogli estremi distinti. Esso non ci può servire dunque, come l'elemento fonda-nentale, a costruire da solo la forma fondamenta! (105). 2) Vedi n. 103. 1 with respect to (AB) (f ", and 92, 93). Chosen therefore an infinitesimal element C in the range of order-YJ!, An element C" in the cam-bit infinitesimal of order ij-2, and so on, an O ^ 1 in the infinitesimal of order 1, the segment (AB) is decomposed into consecutive segments TJ (AC), (CC ') (C'C "), ...., (C ^ B) in the sense established in conv. I to n. 91. f. In each segment (AB) there is a segment where the multiple semgre according to the number given t \ is less than (AB) and one whose multiple according to the same num- mere is greater than (AB). If ^ n is an integer finished, the same demonstration given PEL theor.. to the n. 95. If is infinite, j * is the order of infinity of 73. All numbers the same order are represented by the symbol oo ** and are of the same species (and 91 and, 86). Let (AB ') infinitesimal of this order and having already established the stairs and then I have to assume as their origins in comparison of the segments in-finished (oss. IV, 91) 2), by taking multiples of (AB ') according to the numbers of the same order of 13 and considering only those which differ by a number of the same order (eg. oou ooj. 2 and not eg. oo, oot: n which are the same relation to the unit infinite order of 1) (AB) will be between two of these multiple, if it is not the same one of them and will be finished with them . Eg. there will be (4 B ') ijj (A) (AB') (TJL-f-Ip) meaning that 1 ^ in this case is the infinite unity of the same species of the numbers 73, ^ (I, 92 ). 1) If nn then (AB ') 73 (AB') Vl (AB), (g, 92; rf, 61). In this case also has ^ - ^ + 1 st \ and there will be a number m finished that 1) From the very definition that if A is rinfinitesimo there is no absolute number of the class (II) such that f A. \ is equal to or exceed distinct extremes Take any one segment. It can not serve us then, as the 'mainland-based element, to build their foundations form! (105). 2) See n. 103.
Page 149 Page 149149 che ti m 7]1 -f- 1^, perché r, e tjl + 1^ sono dello stesso ordine e perciò finiti (ct 91; a, 86; e,' 81). 149 m you 7] 1-f-1 ^, for r, and tjl ^ + 1 are of the same order and therefore finite (91 ct, a, 86, and '81). Quindi preso un segmento (AB') = (4#f) m si avrà: essendo per ipotesi (AB') fa 4- lf*) (AB). So take a segment (AB ') = (4 # f) m we have: being by hypothesis (AB') is 4 - lf *) (AB). (d, 61). (D, 61). 2) Se invece i^ 17 e se 17 ey} differiscono per un numero infinitesimo, ad es. 2) If the ^ 17 and 17 if y} differ in a number infinitesimal, eg. r, ~ 13, -f- a scegliendo per 19 il numero t)l 4- a 4- 1 p si ha : e se (AB1) fa-)- o) (AB) essendo a, infinitesimo rispetto a ^ e (AB) finito rispetto a (AB') i^, si ricade nel caso di prima. r, ~ 13,-f-in choosing the number for 19 t) 4 - 4 - 1 p we have: and if (AB1) does-) - o) (AB) being in, and infinitesimal compared with ^ ( AB) finished with respect to (AB ') ^ i, there is present the case of the first. 3) Se poi -TÌ differisce da ^ almeno di un'unità 1 , ossia (A ,,{*), allora sic- come dopo i)) abbiamo 10, + lp si avrà evidentemente ij^fTi^-t- 1^ quindi (Ab'} ^ (AB). E per avere in questo caso un segmento il cui multiplo secondo i\ sia minore di (AB), basterà dividere (Aff) in nn numero m di segmenti consecu- tivi (a, 95) di cui ad es. (AB") sia il minore, e si avrà: (AB") m -n, (AB) (d', 79 eg, 92). Essendo m un numero tale che si ha: (AB")y (AB')m'nl (g, 92 ed\ 60). ea più forte ragione (AB")r) (AB). 3) If then-Ti ^ differs from at least one unit 1, ie (A,, {*), then sic-like after i)) we have 10, there will obviously lp + ij ^ ^ fti-t-1 ^ then (Ab '} ^ (AB). And to have in this case a segment where the multiple according to the \ is less than (AB), simply divide (Aff) in nn number m of consecutive segments-tive (a, 95) of which eg. (AB ") is the lower, and we will have: (AB") m-n, (AB) (d ', 79 g, 92). m Since a number such that it has: (AB " ) y (AB ') m'nl (g, and 92 \ 60). and stronger reason (AB') r) (AB). (d', 61). (D ', 61). Un analogo ragionamento vale se nel 2 caso è (AB') fa 4- o) (AB) per avere un segmento (AB") tale che sia (AB?')y ^(AB). In tal caso basta pren- dere m = 2. Lef. IL Un segmento (AX) finito assoluto (def. V, 92) che diventa più pic- colo di ogni segmento assoluto dato, diremo che diventa indefinitamente pic- colo in senso assoluto o che tende a diventare infinitesimo assoluto (def. I) o che ha per limite questo infinitesimo. E scriveremo lim. ass. (AX) = infinitesimo ass. Def. III. Un segmento finito assoluto (AX) tale che X si -avvicina indefi- nitamente in senso assoluto ad un altro elemento B si dice che ha per limite il segmento (AB), e si scrive : Ossi III. Le definizioni sui segmenti variabili date al n, 83 valgono anche se si .tratta di segmenti finiti assoluti. A similar reasoning applies if in the second case is (AB ') is 4 - o) (AB) to have a segment (AB ") such that both (AB?') Y ^ (AB). In this case, just prEN-ing m = 2. Lef. THE A segment (AX) over absolute (def. V, 92) which becomes smallest of each segment ever since, we say that Article becomes indefinitely small in an absolute sense, or which tends to become absolute infinitesimal (def. I) or having to limit this infinitesimal. And we will write lim. ass. (AX) = infinitesimal ass. Def. III. A finite segment absolute (AX) such that X-approaches indefi-nitely in an absolute sense to another element B is said to have limit for the segment (AB), and writes: Bones III. segments Variable definitions given to the No, 83 shall apply even if you. These segments finished absolute.
Page 150 Page 150150 Def. 150 Def. IV. IV. Per variabile assòluta sempre crescente o sèmpre decrescente in- tendiamo un segmento variabile sempre crescente o sempre decrescente (83) tale che le differenze di due stati qualsivogliano da uno stato qualunque dato della variabile non restino sempre finite fra loro, o non siano sempre infinite o infinitesime fra loro di un ordine che non superi un numero dato di (II) (91). For absolute variable increasing or always decreasing in-tend a variable segment increasing or always decreasing (83) that the differences of two states qualsivogliano by any state since the variable does not always remain finite between them, or are not always infinite or each infinitesimal of an order that does not exceed a given number of (II) (91). g. g. Se un segmento finito assoluto (AX) coir estremo X variabile diventa più piccolo di ogni segmento finito assoluto dato esso ha per limite lo zero assoluto. If ever a finite segment (AX) coir extremely variable X becomes smaller than any finite segment ever since it has to limit the absolute zero. Cioè: lim. That is, lim. ass. ass. (AX) = O Perché I1 infinitesimo assoluto è nullo rispetto ali1 unità assoluta (def. I). (AX) = I1 O Why is absolute zero infinitesimal compared ALI1 absolute units (def. I). h. h. Un segmento variàbile (AX) può diventare indefinitamente piccolo in senso assoluto in uno e neir altro verso. A variable segment (AX) can become indefinitely small in an absolute sense and in a neir the other hand. Dim. analoga a quella del teor. Size similar to that of the theorem. e, 95. and, 95. i. the. Se gli elementi X e X' si avvicinano indefinitamente in senso assoluto e nei versi opposti ad un dato elemento A, (XX') diventa indefinitamente pic- colo assoluto. If the elements X and X 'are close indefinitely in an absolute sense and in opposite directions to a given element A, (XX') becomes indefinitely small in Article absolute. Dim. analoga a quella del teor. Size similar to that of the theorem. fy 95. fy 95. I. I. Un segmento clw diventa indefinitamente piccolo in senso assoluto cogli estremi variabili in versi opposti e contiene un elemento fuori del campo di variabilità dei suoi estremi ha per limite un solo elemento (def. II, h, eg}. m. Se X si avvicina indefinitamente ad un elemento X' in senso assoluto, e questo nello stesso verso ad un elemento A, X sì avvicina in senso assoluto ad A. Dim. analoga a quella del teor. h, 95. n. Se X e X' si avvicinano indefinitamente in senso assoluto e nello stesso verso ad un elemento A, (XX') o (X'X), diventa indefinitamente piccolo in senso assoluto. Dim. analoga a quella del teor. i, 95. 101. Oss. I. LM pò tesi VI ci dice che se (XX1) diventa indefinitamente piccolo rispetto ad ogni segmento dato (AB) come unità, quando X e X' si avvicinano in verso opposto, il segmento (XX1) contiene sempre almeno un elemento F differente da X e X'. Ma per l'ipotesi VII esso contiene sempre degli infinitesimi rispetto ad (AB). Quando invece (XX') diventa indefinitamente piccolo in senso assolato diventa più piccolo di ogni segmento infinitesimo dato (def. II, 100J, e quindi i due casi sono distinti, e dalla sola ipotesi VI come si vedrà in seguito (e, 103) non deriva che nel secondo caso (XX') contenga un elemento fuori del campo di variabilità degli estremi. Perciò, è anche per l'uniformità che in senso ristretto intuiamo fra le parti indefinita- mente piccole deir oggetto rettilineo (55) stabiliamo la seguente ipotesi : Ip. Viri. Ogni segmento (XX') cogli estremi variabili in versi opposti che diventa indefinitamente piccolo in senso assoluto con- tiene un elemento fuori del campo di variabilità dei suoi eie- menti. a. Non può esservi che un solo elemento nel segmento (XX) che goda la proprietà dell'ip* Vili. Difatti se ve ne fossero altri, essi rispetto all'unità assoluta o in senso A segment clw becomes indefinitely small in the absolute sense Seize extreme variables in opposite directions and contains an element outside the field of variability of its ends has to limit a single element (final II, h, g}. M. If X is approaching indefinitely to an element X 'in an absolute sense, and this in the same direction to an element A, X yes approaches in an absolute sense to A. Size similar to that of the theorem. h, 95. n. If X and X' are close indefinitely in an absolute sense and in the same direction to an element A, (XX ') or (X'X), becomes indefinitely small in the absolute sense. size similar to that of the theorem. i, 95. 101. Oss. I. LM bit thesis VI tells us that if (XX1) becomes indefinitely small with respect to every given segment (AB) as a unit, when X and X 'are approaching in the opposite direction, the segment (XX1) always contains at least one element different from F X and X '. But for the hypothesis VII it always contains the infinitesimal with respect to (AB). When instead (XX') becomes indefinitely small in the sense sunny becomes smaller segment of each infinitesimal given (final II, 100J, and then the two cases are distinct, and from just the hypothesis VI as will be seen below (and 103) does not follow that in the second case (XX ') contains an element outside the field of variability of the extremes. Therefore, it is also for uniformity in that narrow sense we sense between the parties indefinitely small deir mind straight object (55) we establish the following hypothesis: Ip. Viri. Each segment (XX ') Take extreme variables in opposite directions, which becomes indefinitely small in absolute con-tains an element outside the range of variability of its ejection minds. a. There can be only one element in the segment (XX) which enjoys the property ip * VIII. In fact, if there were other, they respect the unity or absolute sense
Page 151 Page 151151 assoluto coinciderebbero in un sólo elemento, altrimenti (XX') resterebbe mag- giore di un segmento finito assoluto dato contro Tip. 151 absolutely coincide in one element, otherwise (XX ') would be May finite segment of a greater absolute as against Tip. Vili (def. II, 100). VIII (def. II, 100). a'. to '. Data la variabile (AX) sempre crescente e la variabile (AX') sempre de- crescente e diretta nello stesso verso e se (XX') diventa indefinitamente piccolo, in senso assoluto vi è mi solo elemento Ytale che (AY) è limite dei due segmenti variabili, e non è uno stato delle due variabili (a). Due to the variable (AX) and increasing the variable (AX ') always de-growing and directed in the same direction and if (XX') becomes indefinitely small, in an absolute sense, there is only one element I Ytale that (AY) is the limit of two segments variables, and is not a state of the two variables (a). Def. Def. I. I. Il sistema omogeneo che soddisfa all'ip. The homogeneous system that meets the IP. Vili lo diremo continuo assoluto, mentre gli altri li diremo discreti assoluti. VIII we will say absolutely continuous, while others will say discrete absolute. b. b. Un sistema omogeneo continuo in senso assoluto è continuo relativamente ad ogni segmento dato come unità di misura, o in altre parole : se è soddisfatta l'ip. A homogeneous system continuously in an absolute sense is continuous with respect to any given segment as a unit, or in other words, if the ip is satisfied. Vili resta soddisfatta anche Vip. VIP VIII is also satisfied. VI rispetto ad ogni unità. VI with respect to each unit. Difatti quando il segmento (XX') diventa indefinitamente piccolo in senso assoluto (def. II, 100) a maggior ragione diventa indefinitamente piccolo rispetto ad ogni segmento (AB) come unità (def. I, 95), e poiché (XX') ha un elemento limite in senso assoluto lo ha anche relativamente all'unità (AB) ( , 9(5). i 02. Oss. I. Fra due stati dati consecutivi di un segmento variabile (AX) e (AX') basta considerare quelli pei quali gli estremi X e X' sono distinti, perché altrimenti X e X' coincidono in senso assoluto. Gli stati successivi quindi della variabile in senso assoluto sempre crescente o sempre decrescente lì potremo indicare coi numeri sem- pre maggiori della serie (II) (def. IV. 100). a. Se (AB) è segmento limite di un segmento variabile (AX^) si ha: con : lim 13 = il J) (def. VI, 92) Difatti col crescere di 13, X^ si avvicina indefinitamente a , cio si avvicina indefinitamente ad (AB) (def. Ili, 100). In fact, when the segment (XX ') becomes indefinitely small in an absolute sense (final II, 100) a fortiori becomes indefinitely small with respect to each segment (AB) as a unit (final I, 95), and because (XX') has an absolute limit in the unit also has relatively (AB) (, 9 (5). the 02. Oss. I. Between two consecutive data were of a variable segment (AX) and (AX ') is enough to consider those for whom the ends X and X 'are distinct, because otherwise X and X' coincide in an absolute sense. The successive states of the variable in an absolute sense and then increasing or always decreasing with the numbers there, we always give more pre-series (II ) (def. IV. 100). a. If (AB) is the segment limit of a variable segment (AX ^) we have: with: lim 13 = J) (def. VI, 92) In fact, with the increase of 13, X ^ approaches indefinitely, ie, approaches indefinitely to (AB) (def. Ill, 100). b. b. Data la variabile sempre crescente (crescente) (AX) e la variabile decre- scente {sempre decrescente) (AX) in senso assoluto, ed ogni segmento (AY) minore (maggiore) degli stati di (AX) [(AX1)] appartenga alla variabile (AX), [(AX')], il segmento (XX!) diventa indefinitamente piccolo in senso assoluto. Given the increasing variable (low) (AX) and decreasing the variable {scente always decreasing) (AX) in an absolute sense, and each segment (AY) lower (higher) states of (AX) [(AX1)] belongs the variable (AX), [(AX ')], the segment (XX!) becomes infinitely small in an absolute sense. La dimostrazione di questo teorema è analoga a quella del teor. The proof of this theorem is similar to that of the theorem. , 97: basta supporre che (BC) sia un segmento finito assoluto dato qualunque. , 97: just suppose that (BC) is an absolute given any finite segment. Si dimostra cioè allo stesso modo che (AXj) 4- (X^X2) n, essendo (X^) = (BC), è uno stato di (AX) qualunque sia n. It is shown that is in the same way that (AXJ) 4 - (X ^ X2) n, being (X ^) = (BC), is a state of (AX) whatever n. Ma se la variabile (AX) non avesse altri stati oltre a quelli dati col variare indefinitamente di n, non sarebbe varia- bile in senso assoluto (def. IV, 100). But if the variable (AX) had not been other than those given vary indefinitely with n, not-able changes in the absolute sense (def. IV, 100). Quindi fra gli stati di (AX) per l'ipotesi (XX') (BC) dovremo avere anche (AXJ -f (XXX2) i?, dove y è un numero in finito. Ma ^ non può essere inferiore ad un numero qualunque f* infinito di ordine a di (II) (91) perché in tal caso le differenze degli stati della variabile da (AXJ facendo variare ^ sarebbero al più infinite d' ordine a, contro la def, IV, 100. Dunque coli' ipotesi precedente 13 dovrebbe crescere indefinitamente in senso assoluto. Ma se (AX/) è uno stato dato della variabile (AX'), vi è sem- 1) Sarebbe improprio scrivere in questo caso fi Then between the states of (AX) for the hypothesis (XX ') (BC) we have also (AXJ-f (XXX2) the?, Where y is a number in the finished. But ^ can not be less than one of any number f * of order at infinity of (II) (91) because in this case were the differences of the variable (AXJ ^ would vary by as infinite d 'in order, against the final, IV, 100. So coli' hypothesis above 13 is expected to grow indefinitely in an absolute sense. But if (AX /) is a given variable (AX '), there is sim-1) would be inappropriate to write in this case fi
Page 152 Page 152152 pre un numero -rj di (II) tale che (X,X2)-n ^ (X,X}') (I, 92), vale a dire vi sa- rebbe uno stato di (AX) maggiore di uno stato (AX ) di (AX') contro il dato. 152 pre-rj a number of (II) such that (X, X2)-n ^ (X, X} ') (I, 92), that is to say there would be a state of know-(AX) of more than one state (AX) of (AX ') against the data. Dunque ecc. Therefore, etc.. 1). 1). e. and. Il segmento (X^ X-q+p) compreso fra due stati successivi di (AX~ ) e (AXy + p) della variabile se è sempre crescente, o (X^ + p X ^ se è sempre de- crescente, e se (AB) è il suo segmento limite, col crescere indefinitamente di t\ di- venta più piccolo di ogni segmento dato. Analogamente ae del n. 97. d. Un segmento (AX^ ) variabile sempre crescente (o decrescente) in senso as- soluto ha sempre uno ed un solo segmento limite maggiore (o minore) di ogni stato della variabile. Dim. analoga a quella del teor. d, 97. Soltanto nel 1 caso è da osser- vare che qui non abbiamo I1 infinito di 1 ordine, ma T infinito è assoluto, os- sia tutto il sistema nel verso della variabile a partire dall'origine A. Basta appoggiare la dimostrazione ai teor. ',101 e , anziché ai teor. ', 96 e 6, 97. d'. Se due serie sempre crescenti o decrescenti in senso assoluto di segmenti rispettivamente uguali determinano due segmenti (AB) e (A'B')^ questi segmenti sono uguali in senso assoluto. Come il coroll. d' del n. 97. Def. I. Un elemento A si chiama elemento limite assoluto di una seri e di elementi XÌX2.....X^ .... = (X^) ordinata secondo un verso della forma fonda- mentale quando in ogni segmento (AB) piccolo quanto si vuole ma dato, vi è un elemento della serie. e. Se (AB) è un segmento limite assoluto di un segmento variabile (AX^), r elemento B è r elemento limite assoluto della serie data dagli elementi X^ Dim. analoga a quella del teor. a, 98. 10 Divisione assoluta, di un segmento in n parti uguali. Determina- zione delle scale rispetto ad un segmento dato come unità, fonda- mentale. Divisione di un segmento in v parti uguali Legge commutativa della somma di due o più segmenti consecutivi II segmento (AB) è identico al segmento opposto (BA)^- Elementi limiti del gruppo di elementi ottenuti colla divisione successiva di un segmento in -n parti uguali Altre proprietà degli ele- menti limiti assoluti di un segmento dato Simboli che rap- ii Se AX) è sempre finito o infinitesimo rispetto adun' unità e (AX*) è sempre infinito, (AX) soddisfa alla condizione di essere sempre minore di (AX') e che ogni segmento (AD minore di tutti i segmenti infiniti è uno stato della variabile (AX). in tal caso però (XX*) non diventa più piccolo di ogni seg- mento dato, perché rimane superiore ad ogni segmento finito. Limitandosi al campo dei segmenti finiti, infintesimi d'ordine finito, Y/ è allora un numero finito o infinito d'ordine finito, e se la variabile in tal caso è sempre decrescente o sempre crescente in verso assoluto basta che le differenze dei suoi stati da un certo stato non rimangano finite fra loro. The segment (X-X ^ p + q) between two successive states of (~ AX) and (Axy + p) if the variable is increasing, or (X + p ^ X ^ it is always de-growing, and if (AB) is the segment limit, increase indefinitely with t \-a becomes smaller than any given segment. Similarly y and n. 97. d. A segment (AX ^) variable always increasing (or decreasing) in the sense as-solute always has one and only one segment limit higher (or lower) of each state variable. size similar to that of the theorem. d, 97. Only in 1 case Vare is observed that here we do not have infinite I1 1 order, but T is absolute, infinite,-os is the whole system in the direction from the origin of the variable A. Just to support the demonstration of theorem. ', 101, and instead of the theorem.', 96 and 6, 97. d '. If two sets increasing or decreasing in the absolute sense of segments respectively, producing two equal segments (AB) and (A'B') ^ these segments are equal in an absolute sense. Like coroll. d 'of n. 97. final. I. An element A is called absolute limit element of a serious and elements XÌX2 ..... X .... = ^ (X ^) ordered according to a fundamental form when each segment (AB ) as small as you want but since, there is an element of the series. and. If (AB) is a segment absolute limit of a variable segment (AX ^), r element B is r element absolute limit of the series given by the elements X ^ Size similar to that of the theorem. a, 98. 10 Division absolute, of a segment into n equal parts. Measures-tion of the stairs with respect to a given segment as a unit, fundamental. Division of a segment in st equal parts Law commutative the sum of two or more consecutive segments II segment (AB) is identical to the opposite segment (BA) ^ - Elements limits of the group of elements obtained with the next division of a segment into n equal parts-Other properties of the elements absolute limits Symbols of a given segment that represents If AX-ii) is always finite or infinitesimal compared to a licensing 'units, and (AX *) is always infinite, (AX) satisfies the condition of being always smaller than (AX') and that each segment ( AT least of all segments of the infinite is a state variable (AX). in this case, however (XX *) does not become smaller than any given segment, it remains superior to any finite segment. By limiting the field of finite segments, infintesimi of finite order, y / is then a finite or infinite number of finite order, and if the variable in this case is always decreasing or increasing in absolute enough to the differences of its member by a certain state does not remain finite between them.
Page 153 Page 153153 presentano le partì e gli elementi di un segmento Segmenti commensuràbili di i* e 2* specie, e segmenti in commensurabili 103. 153 have the left and the elements of a segment of the segments commensurable * and 2 * species, and 103 segments commensurable. a. a. Ogni segmento (AB) è divisibile in un solo modo e in senso assoluto in n parti uguali. Each segment (AB) is divisible in one way and in an absolute sense into n equal parts. Il teor. The theorem. a, 99 vale anche in senso assoluto; basta supporre nella dimostra- zione di questo teorema che (X^XÌ) diventi indefinitamente piccolo in senso assoluto anziché in senso relativo ad un'unità. a, 99 is also true in an absolute sense, just suppose in-tion of this theorem shows that (X ^ Xi) becomes indefinitely small in absolute rather than relative sense to drive. Non occorre dire per la dimostrazione in senso assoluto che X'n ha un punto limile Y che coincide con Xn, come pure non occorre supporre che X2" abbia un punto limite L differente da X2ì basta supporre che X2" non si avvicini indefinitamente in senso assoluto all'elemento X%, nel qual caso si può scegliere un segmento (X2L) tale che in esso non vi siano punti X2"; ed allora vale la stessa dimostrazione nei due casi (AX/) ^ OiX)j . Così nel caso da 1 ad n. Per la proprietà inversa basta osservare che (XnXn') è sempre maggiore di (^X/), perché nel caso 04 X/) (AX,), e slmilmente se fosse (AX}) (AX,') si ha : (AX,') EE (AX,) 4- (X ), (AX,') n ~ (AX,) n 4- (Xn Xn ') La 2a ci da: (AX/Kn 1) + (AX/) = (AX,) (n 1) 4- (AX,) 4- (Xn Xn ') o ancora (AX-) (nl) (AX,) 4- (X ) = (AXJ (n-1) 4- (AXJ 4- (Xn Xn ') (d, 77) ma (AX) (nl) (AXO (nl) (d, 79) dunque OiXi) + (XjX/) (AXX) 4- (Xn Xn ') (d, 77 ; g* , 73) e perciò n1) (f, 73). La dimostrazione di a è analoga a quella del teor. b, 99 basandosi sul teor. fj 100 anziché sul teor. a', 95. Oss. I. È da osservare che questo teorema non coincide col teor. ft, 99, perché con questo il secondo estremo della parte n* a rappresenta un campo infinitesimo di 1 ordine, mentre col teor. a la parte n^a è un solo segmento in senso assoluto. 6. Dato un simbolo in/nazionale a ed un segmento (AB) qualunque, relativa- mente all'unità (AB) esso determina una serie di segmenti infinitesimi di 1 ordine, ma non un solo segmento. Difatti esso determina un solo segmento (AC) = (AB) a in senso relativo (/i", 99), e quindi in senso assoluto C rappresenta un campo infinitesimo di 1 or- dine ( ,' 92). Ora se (AX) è un segmento coli' estremo X in questo campo l'o- perazione (AX) n è pienamente determinata ea senso unico (d, 79), ma appli- Needless to say, for the demonstration in an absolute sense that X'n limile Y has a point that coincides with Xn, as well as no need to suppose that X2 "has a different limit L X2 X2i just assume that" does not come close indefinitely in the sense absolute element X%, in which case one can choose a segment (X2L) such that in it there are no points X2 "and then applies the same demonstration in the two cases (AX /) ^ Oix) j. Thus in the case from 1 to n. For the reverse properties sufficient to note that (XnXn ') is always greater than (X ^ /), because in the case 04 X /) (AX), and similarly if it were (AX}) (AX,' ) we have: (AX ') EE (AX) 4 - (X), (AX,') n ~ (AX) n 4 - (Xn Xn ') The second gives us: (AX / Kn 1) + (AX /) = (AX,) (n 1) 4 - (AX) 4 - (Xn Xn ') or (AX-) (nl) (AX) 4 - (X) = (AXJ (n -1) 4 - (AXJ 4 - (Xn Xn ') (d, 77), but (AX) (nl) (AXO (nl) (d, 79) thus OiXi) + (XjX /) (AXX) 4 - ( Xn Xn ') (d, 77 g *, 73) and therefore n1) (f, 73). The demonstration of a is similar to that of the theorem. b, 99 based on the theorem. fj 100 instead of on the theorem. to' , 95. Oss. I. It should be noted that this theorem does not coincide with the theorem. ft, 99, because with this the second end of the n * a is an infinitesimal field of order 1, while with the theorem. to part # ^ a is a single segment in an absolute sense. 6. Given a symbol / national and a segment (AB) any on-mind unity (AB) it results in a series of infinitesimal segments of order 1, but not a single segment. In fact, it determines only a segment (AC) = (AB) to in a relative sense (/ i ", 99), and then C in an absolute sense represents a field of infinitesimal 1 or-dine (, '92). Now if (AX) is a segment coli 'extreme or the X in this field-operation (AX) n is fully determined and one-sided (d, 79), but appli-
Page 154 Page 154154 cando l'operazione inversa di quella del simbolo a, da (AX) si ottiene non tìn segmento ma tutta la serie di segmenti dati da A con B e con tutti gli altri elementi del campo infinitesimo di 1 ordine intorno a B rispetto ali' unità (AB). 154 by applying the most inverse operation to that of the symbol, from (AX) is obtained not tin segment but the whole series of data segments from A to B, and with all the other elements of the field of infinitesimal 1 order around B compared wings' units (AB). Determinazione delle scale rispetto ad un segmento dato come unità fon- damentale. Determination of scale with respect to a given segment as a unit fon-damental. Prima di continuare nello studio delle proprietà particolari di un seg- mento rispetto ai suoi infinitesimi è bene che noi facciamo vedere come si pos- sono fissare le scale (oss. IV, 91) affine di poter confrontare in modo deter- minato i segmenti fra loro e far meglio conoscere la costituzione delle nostre grandezze. Before continuing the study of the properties of a particular segment is infinitesimal compared to its good that we do see how you may have to lay down the stairs (oss. IV, 91) similar to compare so deter-mined between the segments them and raise awareness of the greatness of our Constitution. Dapprima data l' origine fondamentale A siano date le origini dei campi infiniti che vengono indicate coi numeri oo^ , ove f* è un numero della nostra classe (II) (91) eccettuato lo zero. First, given the 'origin dates are crucial to the origins of the endless fields that are indicated with numbers o ^, where f * is a number of our class (II) (91) except zero. Osservo che fissata l'origine A^ è deter- minata anche la scala di unità ( AA*^), e per ogni elemento di divisione le scale di unità (AA,) che sono identiche a quella di origine A nel verso dato e di unità (AAJ (e, d, 69). Fissata l'origine A ,2 sono determinate in modo unico le scale nel campo infinito di 2 ordine, perché considerando ad es. un segmento (A.oo12J9)=(AAoo1) (V, 69), (AB] che è multiplo di (AAJ secondo il numero ooT2 -f oo,. (def. I, 92) e intorno agli elementi di divisione rappresentati dai sinboli infiniti o^2 n :oo, nlf ove ne nlf sono finiti, abbiamo le scale di unità (AAJ in un verso odi unità (AtA) nel verso opposto. Basta dunque supporre dati gli elementi o le origini AMl, A**, .... A*^ , .... A ^ i, .... A x Tf*, essendo /* un numero dato della classe (II) 91). Così nei campi infinitesimi a cominciare da A, determinati dall'ipotesi VII, e che sono sottoposti ai teoremi già trovati ai n. 86-92, basta fissare gli ele- menti o le origini A , , A _,_,.... A_j_ in modo dunque che il multiplo se- .! 00,* co^ condo il numero oo^ di /AA^ _ \ è (AA,). E intorno agli elementi di divisione già ottenuti siano date le scale di queste unità. Ma ciò non basta. Abbiamo veduto che in senso assoluto un segmento qualunque limitato, ad es. (AAX), si può dividere in n parti uguali (a\ Intorno a ciascuno degli elementi Mr della divisione, assoluta ad es. per metà ap- plicata un numero n qualsiasi di (I), (46), costruiamo le scale di unità ( Mr Mr ') /AA j \, e così intorno a Mr e agli elementi di divisione di queste scale pos- V ^r/ siamo costruire i campi infinitesimi di qualunque ordine colle unità uguali ad /AAj_ \ e /A _,_ A\, e così via ( ', 69). Ora, nell'unità (Mr Mr ') faremo la divi- \ // \ VJ sione assoluta per metà applicata un numero finito qualunque n di volte i cui elementi da Mr saranno indicati dal simbolo (jfr jfr ) (SL + L+.... + ) (7t-, 99) Observe that the set origin A ^ is deter-mined also the scale unit (AA * ^), and for each element of the stairs division units (AA) which are identical to that of A in the direction given origin and units (AAJ (c, d, 69). Scheduled At home, 2 are determined uniquely up the stairs in the infinite field of order 2, because for eg. a segment (A.oo12J9) = (AAoo1) (V , 69), (AB] which is a multiple of (AAJ second number ooT2 f-oo. (def. I, 92) and around the elements of division represented by sinboli infinite or n ^ 2: oo, where it NLF NLF are finite, we have the scale of units (AAJ hate to drive in a (AtA) in the opposite direction. Just then assume data elements or origins AML, A **, A * ^ ...., .... A ^ i, .... x Tf *, since / * a given number of class (II) 91). So infinitesimal fields starting from A, determined from the assumption VII, and subject to the theorems already found to no. 86-92, just fix the elements or origins A,, A _, _, .... A_j_ so that the multiple if-then.! 00, * co ^ ^ oo the number of condo / AA ^ _ \ is (AA). And around the elements of division already obtained are given the scale of these units. But this is not enough. We have seen that in any absolute sense a limited segment, eg. (AAX), is can be divided into n equal parts (a \ Around each of the elements Mr of division, absolute eg. half ap-plicata any number n of (I), (46), we build the stairs of units (Mr Mr ') / AA j \, and so Mr and around the elements of division of these scales may V ^ r / we build the fields any infinitesimal order units equal to the hill / AAj_ \ and / A _, _ A \, and so on (', 69). Now, in the unit (Mr Mr') will make the divi-\ / / \ VJ absolute half-sion applied a finite number of times any n whose elements are indicated with Mr. (JFR JFR ) (SL + L + .... +) (-7t, 99)
Page 155 Page 155155 e in base al teor.ò*, 6d avremo anche gli elementi corrispondenti a questi segni in ogni unità delle scale di origine Mr e di unità (MrMr') e(Hfr'Mr)^ (Mr Mr ') (cf), 77 e così per ogni elemento Mr di (AA^. A partire da A uno qualunque degli elementi di divisione per metà così ottenuti nel campo infinitesimo di 1 ordine intorno ad Mr sarà espresso dal simbolo : (1) ove m, mlt m' e ri sono numeri di (I) (46), quando in senso assoluto si ha: II simbolo (1) può scriverei anche così: Così continuando si ottengono gli elementi della divisione assoluta per metà nell'unità fondamentale (AA^ che saranno indicati dal simbolo: (r (r __ 2 ^ / (o.,-!?) (ooj-r1) x fa. _ anl^ \ \ 2 ^ ^ SJ iV / dove le a non sono tutte zero e sono numeri uguali aoea 1, qualunque sia n. S1 intende che rer devono essere numeri finiti dati, e quindi l' infinitesimo di ordine col r si riferisce all'elemento determinato dalle parentesi precedenti, e così via. Ogni altro elemento di (AAJ che non sia rispetto ad (AA,) un elemento di divisione per metà viene dato in senso relativo dal simbolo: VO\ t AA \ iiaii ** 1 /-i nn\ w (^^i) V,-o~ ~T~~or ""-----2**/ ^ ' ^ n = oo Se questo simbolo determina un elemento X tale che (AX) sia una parte nma di (4^) allora (2) determina un solo elemento in senso assoluto (a). Se ciò non è, ossia se il simbolo (2") è irrazionale, allora non determina un solo elemento ma un campo di elementi ( ). Noi fisseremo perciò T elemento in questo campo che vogliamo sia rappre- 155 and on the basis of teor.ò *, 6d we will also have the elements corresponding to these signs in each unit of the stairs of Mr and origin of units (MrMr ') and (Hfr'Mr) ^ (Mr Mr') (cf), 77 and so for each element Mr of (AA ^. Starting from A or any element of division by half thus obtained in the field of infinitesimal 1 order around Mr will be expressed by the symbol: (1) where m, mlt m 'and re are numbers of (I) (46), when in an absolute sense, we have: The symbol (1) can also write thus: Thus are obtained by continuing the elements of the absolute division to half the fundamental unity (AA ^ to be indicated by symbol: (r (r ^ 2 __ / (o., -!?) (ooj-r1) x does. anl _ ^ \ \ 2 ^ ^ SJ iV / where they are not all zero and are equal numbers aoea 1 , whatever n. S1 must be understood that rer finite numbers data, and then the 'infinitesimal of order with r refers to the element determined by the previous brackets, and so on. Any other element (AAJ which is not less than ( AA,) an element of division by half is given in a relative sense by the symbol: VO \ t AA \ iiaii ** 1 /-nn \ w (^ ^ i) V, T-o ~ ~ ~ ~ or "" - ---- 2 ** / ^ '^ n = oo If this symbol determines an element X such that (AX) is a part of nma (4 ^) then (2) determines only one element in an absolute sense (s). If this is not, ie if the symbol (2 ") is irrational, then it determines a single element but a range of elements (). We will fix so T item in this field that we want to be repre-
Page 156 Page 156156 sentato in senso assoluto dal simbolo a, e nel fissare gli altri elementi oltre che del teor. 156 sented by the symbol in an absolute sense, and in setting other elements as well as the theorem. a, dati che siano i segmenti a partire da A che in senso assoluto corri- spondono ai simboli irrazionali ae jS, uno dei quali può essere anche razionale, ed è ad es. a, data that are segments from A in an absolute sense that correspond to the symbols a and irrational jS, one of which can also be rational, and is eg. a^jS, al simbolo arì:|3 faremo corrispondere il segmento somma o differenza dei segmenti precedenti, che è pienamente determinato. a ^ jS, the symbol ARI: | Segment 3 will match the sum or difference of the previous segments, which is fully determined. E costruito un segmento (AN) che corrisponde in senso assoluto al simbolo irrazionale a, immagineremo costruiti mediante il teor. It is built along a segment (AN), which corresponds to the symbol in an absolute sense irrational, will imagine constructed by the theorem. b', 69 a partire da ogni elemento già dato in (AA,) colle operazioni precedenti, i segmenti uguali al segmento (AN). b ', 69 from each element already given in (AA) hill above steps, the segments equal to the segment (AN). Intorno ali1 elemento JV, e degli altri che così otteniamo, costruiremo i campi infinitesimi e gli elementi della divisione per metà. Around ALI1 JV element, and the other so that we get, we will build the fields and infinitesimal elements of the division by half. Così faremo per le unità ( AA ^ ).... So we will do for the units (AA ^) .... (AA , ^ Ad es. un elemento della per le unità (AAj}....(AA j i V ^fZ divisione per metà del campo infinitesimo di 1 ordine intorno ad N verrà in- dicato dal simbolo: Limitandosi ai soli numeri infiniti di ordine finito basta arrestarsi nel simbolo Z al numero oojr , essendo r un numero qualunque di (I). In tal caso ogni ele- mento X di (AAJ deve trovarsi nei campi infinitesimi di 1 ordine indicati dalla prima parentesi di Z quando n è finito o quando cresce indefinita- mente, perché ogni elemento dato di (AA}) è limite del gruppo degli elementi ottenuti colla successiva divisione per metà, se non è esso stesso uno di que-sti elementi (h. 99). Quindi X si troverà nel campo infinitesimo di 1 ordine di uno dei punti ottenuti colla prima parentesi di Z9 supposto che n possa essere infinito (oo), se non è esso stesso uno degli elementi rappresentati dal simbolo j Vediamo dunque che X si troverà in un campo infinitesimo di 1 ordine fra due elementi di divisione in un campo di unità (AA_I_\ ad es. fra An j_e -4(n + 1)_i_ essendo (AAmj\ = (^Aj^\ m, qualun- \ ,j / ! ! \ i/ \ !/ que sia m. Si troverà dunque ripetendo la stessa considerazione nel campo infini- tesimo di ordine n intorno ad un elemento già ottenuto dal simbolo Z, ove n, nl9..... nr possono essere anche infiniti ( oo ), e si troverà fra due elementi Np, Np 4-1 di divi- sione di questo campo, essendo (ATf 2Vjp-hi) = (AAJ . Col crescere indefinito di r, limitandosi come abbiamo detto ai segmenti infiniti e infinitesimi di ordine fi- 1 * nìto, (AAJ diventa più piccolo di ogni segmento dato s. Difatti deve essere infinitesimo di ordine dato s rispetto ad (AAJ (m, 92), e quindi ba- sterà prendere r=sh 1, perché si ha che (AAi)----g+1 è infinitesimo di 1 or- dine rispetto ad ogni segmento infinitesimo di ordine s (def. II. 86), e perciò più piccolo di e (def. II, 82). Per Tip. Vili, valevole anche in questo caso spe- (AA, ^ Eg. An element of the unit (AAJ} .... (AA ji ^ V fZ division by half of the field around 1 order of infinitesimal N is the address given by the symbol: By confining themselves to infinite numbers finite order just stop in at number oojr symbol Z, r being any number of (I). In this case each ele-ment of X (AAJ must lie in the fields of infinitesimal 1 order indicated by the first bracket of Z when n is finished or when the mind grows indefinitely, because each data element of (AA}) is the limit of the group of elements obtained with the subsequent division by half, if not itself one of these sti-elements (h. 99). Therefore X is find in the field of an infinitesimal of order 1 of the points obtained with the first parenthesis Z9 assumed that n can be infinite (oo), if it is not itself one of the elements represented by the symbol j We see that X will be in a field of infinitesimal 1 order between two elements of division in a field of units (AA_I_ \ eg. between j_e An -4 (n + 1) being _i_ (AAmj \ = (Aj ^ ^ \ m, In whatever \, j /! \ i / \! / que both m. It will thus repeating the same consideration in the field infini-eighth of order n around an element already obtained by the symbol Z, where n, NL9 ..... number can also be infinite (oo ), and will be found between two elements Np, Np 4-1 in division of matter, since this (ATF 2Vjp-hi) = (AAJ. With increasing r indefinite, limited as we have said to the infinite and infinitesimal segments of order fi-1 * nito, (AAJ becomes smaller than any given segment s. fact must be infinitesimal of order given with respect to s (AAJ (m, 92), and then will be sufficient to take-ba r = sh 1, because we have that (AAi) ---- g +1 is infinitesimal of 1 or-dyn with respect to each segment infinitesimal of order s (final II. 86), and therefore smaller and (final II, 82). To Tip. VIII, valid also in this case specific
Page 157 Page 157157 ciale (100), X è un elemento determinato. Journal 157 (100), X is an element determined. Dunque col crescere indefinito di r in Z viene determinato in questo caso un elemento della forma. Therefore with the increase of r in indefinite Z is determined in this case an element of the form. Se si considerano invece anche gli infiniti e gli infinitesimi di ordine infinito che formano coi precedenti un gruppo nel senso del teor. If we consider, instead, also the infinite and the infinitesimal of infinite order with forming a group in the sense of the previous theorem. m, 93, l'elemento X determinato come abbiamo detto dal simbolo Z rappresenterà invece un campo infinitesimo di ordine infinito. m, 93, the X factor be determined as stated by the symbol Z represents a field infinitesimal instead of infinite order. E fissando gli elementi X che corrispondono ai simboli Z quando r cresce indefinitamente rimanendo, come sappiamo, sempre finito, con le stesse regole precedenti usate pei simboli irrazionali della for- ma (2') potremo determinare altri elementi del sistema. And staring at the items that match the symbols X Z when r increases indefinitely while remaining, as we know, always ended with the same rules used earlier pei symbols for irrational-but (2 ') we can determine other elements of the system. Def. Def. L Chiameremo elementi della divisione assoluta successiva per metà di (AAj) quelli ottenuti colle regole precedenti dal simbolo Z quando f* è un numero dato qualunque della classe (II), anche se le ne le r sono infinite (oo). We shall call L elements of the absolute division for the next half (AAJ) those obtained hill above rules by the symbol Z when f * is a given number of any class (II), although it the r are endless (oo). Questa divisione sarà detta di I* specie se n, n^ ecc. This division will be known as the I * species if n, n ^ etc.. r,r ecc. r, r etc.. sono numeri finiti; sarà detta invece di 2a specie quando vi è un passaggio al limite. are finite numbers; will instead of said second species when there is a passage to the limit. Stabiliti così gli elementi della divisione assoluta successiva per metà nel- l'unità (AAj) rimangono stabilite anche in ogni altra unità (An An + \ )^(AAl) dejla scala di origine A e di unità (AAJ. Bisognerà fare la stessa cosa seguendo gli stessi eri ter! per le unità (AA ^ (AA f) .... (AA^J*); così avremo i multipli dei segmenti ottenuti secondo un numero di (II), ad es. il multiplo secondo il nu- mero ij del segmento rappresentato da Z, si ottiene colla stessa operazione in- dicata da Z nel segmento ( AA ) = (AA}) -q, che è così pienamente determinata, senza venir meno ai teor. d, 79 e #, 92. Oss. II. La classe dei numeri di (II) (91) dobbiamo ritenerla completata coi sim- boli (numeri) della divisione successiva assoluta per metà delle unità infinite in con- formità all'ip. IV e delle altre ipotesi dalle quali si deduce questa divisione 1). e. Se il segmento (XX') o (X'X) dato da due segmenti (AX), AX*) diventa in- de finitamente piccolo, il segmento dato dai secondi estremi dei multipli di (AX) e (AX*) secondo io stesso numero rj diventa pure inde finitamente piccolo in sen- so assoluto, e inversamente. Well established elements of the absolute division in the next half-unit (AAJ) are established in every other unit (An An + \) ^ (AAI) dejla scale A and the source of unity (AAJ. We must do the same following the same thing you were ter! for the units (AA ^ (AA f) .... (AA ^ J *), so we will have the multiples of the segments obtained according to a number of (II), eg. the multiple according to the num-ber ij of the segment represented by Z, is obtained with the same task in samplers is indicated by Z-segment (AA) = (AA})-q, which is so fully determined, without failing in the theorem. d, and # 79 , 92. Oss. II. The class of the numbers of (II) (91) we feel it is completed with the sim-boluses (numbers) of the division for the next half of the absolute units endless in-accordance with the IP. IV and of the other hypothesis from which we can deduce this division 1). and. If the segment (XX ') or (X'X) given by two segments (AX), AX *) becomes in a de-finitely small, the given segment by the second ends of the multiple of (AX) and (AX *) I second the same number rj becomes too inde finitely small in absolute sen-know, and vice versa. Ogni altro elemento dato X della forma fondamentale oltre agli elementi della divisione assoluta per metà sarà nel campo infinito di una data unità ad es. All other elements of X as well as key elements of the division will be in absolute half-infinite field of a given unit eg. (AA}), fra An e An+i. (AA}), between An and An + i. Con un ragionamento analogo al precedente quando ci siamo limitati ai segmenti infiniti e infinitesimi di ordine finito, si vede che X è in un campo di un'unità infinitesima di ordine infinito p compreso fra due elementi NQ Na t di divisione di questo campo, tali che (NaNQ ) ^(AAi) fp essendo JA un numero dato di (II). With a similar reasoning to before when we have limited ourselves to the infinite and infinitesimal segments of finite order, we see that X is a field of an infinitesimal of infinite order p between two elements Na t NQ division of this area, these that (NaNQ) ^ (AAi) fp being JA a given number of (II). Col crescere inde- aQ finito in senso assoluto di f* il segmento (N a Na ) ha per elemento limite assoluto X, e quindi anche X^ sarà l'elemento limite del segmento corrispon- dente (C/Va) y (NQ j J, essendo ad es . (A (Na )^) = (ANa) ^ Si prova infatti come precedentemente per f* finito, che col crescere indefinito assoluto di p, I) Vedi es. With increasing inde-aQ finished in an absolute sense of the segment f * (N Na) has absolute limit for element X, and therefore also X ^ limit will be the element of the segment corresponding (C / Va) y (j NQ J, being eg. (A (Na) ^) = (ANA) ^ You try to f * Indeed, as previously done, that grow indefinitely with absolute p, I) See eg. 4, 93 e la rappresentazione geometrica della nota n. 4, 93 and the geometric representation of the footnote. 105 105
Page 158 Page 158158 - j - diventa più piccolo di ogni segmento dato e della forma (ip. Vili). 158 - j - becomes smaller than any given segment and form (ip. VIII). Il segmento (AX) è determinato in tal caso dallo stesso simbolo Z quando p = Q, aggiungendo però in principio (AAJ n, essendo X compreso fra An e An+\. Se invece è dato X essendo compreso nel segmento suddetto, 1' ele- mento Xdel summultiplo (AX) di (AX^) secondo il numero 17 è compreso fra N^eN^^, 92). The segment (AX) is determined in this case by the same symbol Z when p = Q, but added in the beginning (AAJ n, X being between An and An + \. If it is given X being included in the segment above, 1 'high - chin Xdel summultiplo (AX) of (AX ^) according to the number 17 is between N ^ ^ ^ eN, 92). Se l'elemento X* si avvicina indefinitamente in senso assoluto all'elemento X, in un dato momento entrerà nel segmento (Na X) oppure (XNQ + ^, e quin- anche X'^ nel segmento ((N^ XJ oppure (X^ (Na + ^ ^ (g, 92), e se p cre- sce indefinitamente in senso assoluto X^' avrà per elemento limite X^ (def. I, 102). La proprietà inversa è manifesta. Così per (XX') essendo X e X' variabili in senso assoluto si dimostra in modo analogo a quello usato pel teor. #, 99 che ( X^ X' ) diventa indefinita- mente piccolo in senso assoluto (def. II, 100), e inversamente ; riferendosi ai- Tip. Vili e al teor. 6, 102, ai teor. m, n del n, 101 anziché ai teor. hei del 11. 95, ea ciò che si è dimostrato precedentemente. d. Fissate le siale, ogni segmento dato (AB) è divisibile in un solo modo in un numero infinito 73 qualunque di parti consecutive uguali. La dimostrazione è analoga a quella del teor. , 99, basandosi sul teorema precedente e sul teor. d, 102 e sulla conv. 91. d. Se la forma fotidamentale è chiusa, fissate le scale, si può dividere in un solo modo in un numero $ qualunque di parti consecutive uguali. Basta supporre che gli estremi del segmento considerato in aed coincidano. Oss. III. Per ottenere ad es, espresso mediante (AA^ la metà di (AX) rappre- sentato dal simbolo Z, basterà prendere la metà dei singoli segmenti dati dai ter- mini del simbolo Z e sommarli insieme, perché lamela di (AAj | _ ^(AAJ^ -L = (AAi) 2^ (eea, 79); ne viene quindi che la metà di (AX è determinata dal simbolo : Ka, *2(0 "gr- + "V ml / a, ~ OD, 2* T ' (W (D ^_ J , .... \ , .... 2 -ii "T- J -r E se si vuoi determinare il segmento corrispondente al simbolo |^- 4- "t-Sj" + ) If the element X * approaches indefinitely in an absolute sense the element X, at a given time will enter the segment (Na X) or (XNQ + ^, and also five-X 'in the segment ^ ((N ^ XJ or ( X ^ (^ ^ Na + (g, 92), and if p cre-SCE indefinitely in an absolute sense ^ X 'will have to limit element X ^ (def. I, 102). The inverse property is manifest. So for (XX ') being X and X' variables in an absolute sense is shown in a similar manner to that used PEL theor.. #, 99 that (X ^ X ') becomes indefinite-mind small in an absolute sense (final II, 100), and inversely , referring to-Tip. VIII and the theorem. 6, 102, the theorem. m, n of n, 101 instead of the theorem. hei of 11. 95, and what has already been shown. d. Attach the axial, each given segment (AB) is divisible in only one way in an infinite number of any 73 consecutive parts equal. The demonstration is similar to that of the theorem., 99, based on the previous theorem and the theorem. d, 102, and on the conv. 91 . d. fotidamentale If the form is closed, fixed stairs, can be divided in a way only a $ any number of consecutive equal shares. Just assume that the ends of the segment considered and d coincide. Oss. III. To get to eg, expressed by (AA ^ half of (AX) repre-sented by the symbol Z, just take half of the individual data segments from the terms of the symbol Z and summing them together, because of lamela (AAJ | _ ^ (^ AAJ -L = (AAi) 2 ^ (eea, 79); it is then that half of (AX is determined by the symbol: Ka, * 2 (0 "g-+" V ml / a, ~ OD, 2 * T '(W (D ^ J _, .... \, .... 2-ii "T-J-r And if you want to determine the segment corresponding to the symbol | ^ - 4 -" t-Sj' +)
Page 159 Page 159159 rispetto ad (AX) faremo la stessa operazione rispetto a tutti i termini di questo sim- bolo e sommeremo insieme. Compared to 159 (AX) will do the same thing with respect to all the terms of this symbol will add up and together. Si ha sempre come si vede un simbolo della stessa for- ma di Z, che determinerà quindi un elemento col crescere indefinito di n (a, 101) che sarà il secondo estremo del segmento considerato. It has always seen as a symbol of the same but for-Z, which will thus result in an element with the increase indefinitely of n (a, 101) which will be the second endpoint of the segment considered. E così via. And so on. ' . '. Dato un segmento (AB) m è sempre un segmento (AB) summultiplo v d'ordine ij del segmento (AB). Given a segment (AB) m is always a segment (AB) summultiplo v of order ij of the segment (AB). d'". Fissate le scale di unità fondamentale (AA^) rimangono pienamente determinate quelle rispetto ad ogni altro segmento come unità fondamentale a partire da un elemento dato qualunque come origine fondamentale. Invero fissate le scale rispetto all'unità (AAJ nel modo che si è detto ed essendo determinati in modo unico i multipli ei summultipli di ogni seg- mento (AX) le scale rispetto a questo segmento (AX) a partire dall'elemen- to A come origine fondamentale sono pienamente determinate perché ogni operazione eseguita coi simboli precedenti in (AX) si riduce ad un'operazione analoga eseguita con (AAJ. La proprietà è vera anche rispetto ad un altro punto qualunque come origine fondamentale (e, 69). e. Se (A A') è la 7jma parte e (AA") la Vma parte di (AB) (V u),-(^A") e più piccola di (A A'); e se i\ cresce indefinitamente in senso assoluto (A A') dimi- nuisce indefinitamente in senso assoluto. La prima parte si dimostra come quella analoga del teor. d del n. 99, fa- cendo uso del teor. g, 92 anziché del teor. d, 79. Per la seconda parte basta usare il teor. I, 92 anziché il teor. e', 81. 104 a. Se si addiziona un segmento (BC} ad un segmento (AB) a partire da B, del medesimo verso o di verso opposto^ si ha lo stesso risultato sommando al seg- mento (BC) a partire da C il segmento identico ad (AB) e dello stesso verso di (AB). Il risultato è indipendente dall'elemento dal quale si comincia per ese- guire l'operazione. Scriveremo (AB) + (BC) = (AC), La dimostrazione è analoga a quella del teor. eì 99 appoggiandosi agli stessi teoremi del n. 69 e sulla def. I, 61 e sul teor. 6, 78 che sono indipendenti dal concetto di scala e quindi di finito, infinito e infinitesimo (def. II, 82); sul teor. I, 92 anziché sul teor. e', 81 e sul teor. i9 100 anziché sul teor. g, 95. È escluso qui il primo caso perché non vi è un segmento (BC) infinite- simo assoluto cogli estremi distinti (def. I, 100). Per il secondo caso ci appogggiamo alla legge commutativa della somma dei numeri di (II) complelata secondo l'oss. II, 103. Si ha in tal caso seguendo la dimostrazione del teor. e, 99: (AA')ft. m (AC) (AA) p, (m + 1) (I, 92) quindi (XY) rappresenta un multiplo secondo il numero /* di (A A1) anziché es- sere ad esso uguale. Così di (X'Y) che è identico a (XY). Se il numero TJ cresce in- definitamente non solo (AA'), ma anche (AA') p (poicliè p è un numero dato) decrescono i mie fin ita-mente in senso assoluto, e quindi il teor. è dimostrato anche per il caso 3). Gli altri casi 4) e 5) si dimostrano nello stesso modo d '". Attach the fundamental unit scales (AA ^) remain fully committed ones than any other segment as the fundamental unit from any given element as a fundamental source. Indeed fixed scales than unity (AAJ in a way that he said, and being determined in a unique and summultipli multiples of each segment (AX) scales with respect to this segment (AX) from dall'elemen-to A as the fundamental source are fully determined because each operation performed by the symbols previous (AX) is reduced to a similar operation performed with (AAJ. The property is also true with respect to another any point as the origin key (s, 69). and. If (A A ') is the part and 7jma (AA ') of the Vma part (AB) (V u) - (^ A ") and smaller than (A A'), and if the \ increases indefinitely in an absolute sense (A A ') decreased indefinitely ses in an absolute sense. The first part shows that of the analogous theorem. d of n. 99, makes use of theorem-cendo. g, 92 instead of the theorem. d, 79. For the second part just use the theorem. I, 92 instead of the theorem. and ', 81. 104 to. If is added a segment (BC} to a segment (AB) from B, the same direction or opposite direction ^ it has the same result by adding to the segment (BC) starting from the C segment identical to (AB) and the same direction of (AB). The result is independent from the element from which it begins to scan the Guire the operation. send (AB) + (BC) = (AC), The demonstration is similar to that of the theorem. and 99 leaning to the same theorems of n. 69 and on the final. I, 61 and on the theorem. 6, 78 which are independent from the concept of scale and thus of the finished, infinite and infinitesimal (final II, 82); on theor.. I, 92 rather than on the theorem. and ', 81 and on the theorem. i9 100 instead of on the theorem. g, 95. is excluded here because the first case there is a segment (BC) endless-th absolute extremes distinct Seize (final I, 100). For the second case there appogggiamo commutative law of the sum of the numbers of (II) according to the complelata obs. II, 103. It has thus If following the demonstration of the theorem. and 99: (AA ') ft. m (AC) (AA) p, (m + 1) (I, 92) then (XY) represents a multiple according to the number / * of ( A A1) instead of eg-being equal to it. So of (X'Y) that is identical to (XY). If the number grows in TJ-definitely not only (AA '), but also (AA') p (poicliè p is a given number) decrease the mine from ita-mind in an absolute sense, and then the theor.. is also shown for the case 3). The other cases 4) and 5) show the same way
Page 160 Page 160160 Oss. Oss 160. I. I. Qui l'identità si considera in senso assoluto (def. Ili, 9; def. V, 91). Here the identity is considered in an absolute sense (def. Ill, 9, def. V, 91). Oss. Oss. IL Analoga alP oss. A similar IL AlP oss. I, 99. I, 99. a'. to '. Dato un segmento (AB) vi è sempre un segmento (AC) tale che Dim. analoga a quella del teor. Given a segment (AB) there is always a segment (AC) such that size similar to that of the theorem. è, 99. is, 99. È da osservare che rispetto alla legge commutativa nel prodotto [UÀ') -f (A'C)] JA è lo stesso come se (A1 C) fosse uguale ad un summultiplo di (AA'); e siccome in questo caso vale la legge distributiva (d, 93), così vale anche quando (AA') e (A' C) non sono l'uno multiplo dell'altro. It should be noted that with respect to the commutative law in the product [UA ')-f (A'C)] JA is the same as if (A1 C) is equal to a summultiplo of (AA'), and since in this case is the distributive law (d, 93), so that even when (AA ') and (A' C) are not multiples of each. b. b. Il segmento multiplo secondo un numero ft della parte ijma (AC) di un segmento (AB), è summultiplo secondo il numero ti di un segmento multiplo di (AB) secondo il numero /*. The segment according to a multiple number of the part ft ijma (AC) of a segment (AB), is summultiplo according to the number of a segment will multiple of (AB) according to the number / *. Dim. analoga a quella del teor /", 99 appoggiandosi alle indicazioni della def. I del n. 92 anziché alla indicazione I del n. 79. Perché / AJ)\ * (d, 92). c. Un segmento qualunque (AB) è identico allo stesso segmento percorso nel verso opposto, cioè (A#) = (BA). Dim. analoga a quella del teor. g, 99 appoggiandosi sui teor. a, 69 ; a, 78, sulla def. I e sul teor. b, 70 sul principio ey 8 che valgono indipendentemente dal concetto di scala, e quindi in senso assoluto sul teor. a precedente anziché sul teor. e, 99. d. Dividendo un segmento (AB) in ti parti uguali e le parti rimanenti in ti parti uguali, e così via, si ottiene un gruppo di elementi del segmento dato compresi gli estremi, i cui altri elementi sono elementi limiti del gruppo dato in senso assoluto. Se (AB) è dato dal simbolo Z (103) sia nel caso che le n siano finite o in- finite ( oo) e che i* sia dato o sia /z = Q, (oss. II) abbiamo veduto come siano deter- minati i multipli ei summultipli di (AB) secondo i numeri di (II) mediante le scale già fissate, e si è pure veduto che possono essere determinati mediante l'unità primitiva (AAj) i segmenti che rappresentano gli elementi medi, se- condo le convenzioni stabilite per la determinazione delle scale (103). Dunque vale per (AB) ciò che vale per (AAT) (d'\ 103) ed il teor. per ij = 2 è dimo- strato. Gli elementi di (AAj) possono essere indicati dal simbolo Z del n. 103, quando si fa la divisione successiva in p parti uguali, e quindi con un ragio- namento analogo al precedente si dimostra che ciò vale anche per (AB) ; il teorema è vero anche per tj=^p. Se tj^ooj osserviamo che la prima serie nel simbolo che indica gli ele- menti ottenuti colisi, divisione per oo^ è Size similar to that of theorem / ", relying on the directions of the final 99. I n. Indications instead of 92 I n. 79. Why / AJ) \ * (d, 92). C. Any segment A (AB ) is identical to the same segment path in the opposite direction, ie (A #) = (BA). size similar to that of the theorem. g, 99 leaning on theor.. a, 69; a, 78, on the final. I and the theor. . b, 70 on the principle and y 8 which apply regardless of the concept of scale, and then in an absolute sense on theor.. to previous rather than on the theorem. and, 99. d. dividing a segment (AB) in ti equal parts and the remaining parts you in equal parts, and so on, one obtains a group of elements of the given segment including the extremes, whose other elements are elements of the group given limits in the absolute sense. If (AB) is given by the symbol Z (103) both in the case that n are finished or finished-(oo) and that the * is given or is / z = Q, (oss. II) we have seen how they are deter-mined multiples and summultipli of (AB) according to the numbers of (II) by the steps already set, and it is also seen that the unit can be determined by the primitive (AAJ) segments that represent elements medium, second conventions established for the determination of the stairs (103). So applies to (AB) what is true for (AAT) (d '\ 103) and the theorem. for ij = 2 is demonstrated. elements (AAJ) may be indicated by the symbol Z n. 103, when Next is the division into p equal parts, and then with a reasonably-tion as the above proves that this holds also for (AB), the theorem is true for tj = ^ p. tj ^ ooj If we observe that the first series in the symbol indicates that the elements obtained colisi, division by ^ oo is
Page 161 Page 161161 fi /-L, \ dove n è finito e le a possono avere i segni o, 1, ...., w, ...., ooj ( -}-....+ -^ ì~ m .... e ! 1, ( = 0, 1, tranne il caso che siano tutte o). Se n cresce indefinita- mente limitandosi ai soli numeri inriniti e quindi anche agli infinitesimi d'or- dine finito, allora per o^ bisogna arrestarsi a questa serie, ed essa deter- mina un segmento (numero) limite, che potrà essere espresso dal simbolo Z, del n. 103. Ad es. sostituendo ad a^0* il simbolo xi(^r + .... 4- ^|^- -f ---- ) (]S=:o, 1) e alle altre a il simbolo o si ha precisamente un numero qualun- que compreso nella prima parentesi del "simbolo Z del n. 103. Se si aggiunge al numero suddetto : m si ha ancora db . 00! Se invece si considerano anche segmenti infinitesimi di ordine infinito, bisogna passare ad es. al campo infinitesimo d1 ordine o^ r1? e si avranno quindi ancora a partire dall'origine già data nel modo stabilito i simboli: Gli elementi che corrispondono ai singoli termini quando nlf n^ .... ns crescono indefinitamente (lim n = oo) sono determinati allo stesso modo che l'elemento corrispondente in senso assoluto dal simbolo (1). Col crescere di 5 limitandosi ai numeri infiniti di ordine finito conoo i i quali formano un gruppo chiuso nel senso del teor. m, 93, il simbolo prece- dente rappresenta un elemento o un segmento della forma fondamentale a partire dall'origine fondamentale A. Se 13 è un numero finito con oon yn lo è pure e quindi per ij avremo in tal caso il simbolo stesso sostituendo v ad oo^ Pel numero ooj0 si ha un simbolo analogo al precedente: basta sostituire ooj* in luogo di ! essendo le a uguali aoea tutti i numeri interi da 1 a oo^ - 1 ea tutti i segni, ottenuti colla divisione successiva per metà rispetto ai segmenti 1)ecc, come unità (ti, 99). Il 161 fi /-L \ where n is a finite and may have signs or, 1, ...., w, ...., ooj (-} - .... + - ^ ì ~ m. and ..., 1, (= 0, 1, except if they are all either). If n increases indefinitely with only limited numbers inriniti mind and therefore also of infinitesimal or finite-dine, then you have to o ^ stop to this series, and it shall determine a segment (number) limit, which can be expressed by the symbol Z, the n. 103. Eg. by replacing a symbol xi ^ 0 * (r ^ + .... 4 - ^ | ^ - f ----) (] S = o, 1) and the other a symbol or a number has precisely In whatever included in the first bracket of the "symbol of Z n. 103. If you add to that number: we have m db. 00! If we also consider infinitesimal segments of infinite order, you have to go eg. the field order or infinitesimal d1 ^ r1? and will therefore still from the origin already given in the manner prescribed symbols: The elements that correspond to individual terms when NLF .... n ^ ns grow indefinitely (lim n = oo) are determined in the same way that the corresponding element in an absolute sense by the symbol (1) . With the growth of 5 to merely infinite number of finite order conoo ii which form a closed group in the sense of the theorem. m, 93 the previous symbol is an element or a segment of the basic form from the origin key A. If 13 is a finite number with oon yn is the well and then for ij will in this case the symbol itself to replacing v ^ oo Pel number ooj0 it has a symbol similar to the previous one: it suffices to replace ooj * in place of! being in the equal aoea all integers from 1 to oo ^ - 1 and all the signs, obtained with the next division to half that of segments 1) etc., as a unit (I, 99). The
Page 162 Page 162162 Se y è finito rispetto a oo^ basterà sostituire % a oo^ ed avremo; * + . 162 If y is finite with respect to oo ^ oo ^% to just replace and we have * +. , + (W b-+ ove le a possono essere il numero o, i numeri interi 1, 2, ...., ti 1 ei se- gni che si ottengono dalla divisione successiva per metà rispetto ai segmenti (AA*!0) ecc. come unità le ne le $ sono numeri interi finiti dati o che cre- scono indefinitamente, e le r sono numeri interi finiti dati. Def. I. Se fjt, è un numero dato il segmento Zl da un elemento che chia- meremo elemento della divisione successiva di (AAJ in 13 parti uguali. Ogni altro elemento essendo compreso fra due di questi elementi il cui segmento è uguale a - - iz- ."Col crescere indefinitamente in senso asso- nwoo*"r luto di f*, l'elemento X è elemento limite dell'operazione indicata dal simbolo suddetto e il teor. d è così dimostrato. 055. 7. Pel numeri infiniti il simbolo Z è come si vede alquanto diverso dal sim- bolo Z del n. 103 che vale pei numeri finiti ; ed è facile di scorgerne anche le ragioni. Di tatti se sostituiamo ad es. nel simbolo Z in luogo di 2 il numero o^ la seconda paren- tesi e così le successive fino a quella che accompagna mooi"ri ci danno numeri del OOj0"!-^! simbolo (1). d. Le parti di un segmento dato (AB) a partire da A possono essere rap- presentate dal simbolo Z del n. 103 ove in luogo di 2 si può porre un numero intero finito qualunque p, oppure dal simbolo Z . Ciò risulta dalle dim. dello stesso teor. de Un gruppo di un numero infinito (Q) di elementi (X) compreso in un seg- mento dato (AB) ha almeno un elemento limite. Basta dividere (AB) in ij parti uguali (d, 103); in una di esse almeno vi sono S2 punti del gruppo (X), intendendo che la classe (II) sia completata nel senso dell'oss. II, 103. Sia (A' ) questa parte. Si può scegliere i^ abba- stanza grande perché in (A'B') vi siano almeno due elementi A",J?' della di- visione di (AB) in ijj parti uguali, che siano distinti da A e . In uno dei segmenti (A'A")j (A'B"), (B"B) vi devono essere fi punti X] così pure se in , + (W-+ b, where the a's may be the number or the integers 1, 2, ...., and if you 1-ments that are obtained by the division for the next half compared to the segments (AA *! 0 ) etc.. as the unit it the $ are integers finished data or that cre-scono indefinitely, and r are integers finite data. Def. I. If FJT, is a number given segment Zl by an element-chia meremo element of the next division (AAJ in 13 equal parts. All other elements being between two of these elements, the segment of which is equal to - iz-. "With the growing indefinitely in the sense associated nwoo *" f * r luto , the element X is an element of the operation indicated by the symbol above the limit and the theorem. d is thus demonstrated. 055. 7. Pel infinite numbers the symbol Z is somewhat different as shown by the symbol Z n. 103, which pei is finite numbers, and it's easy to make out its reasons. of contacts if we replace eg. the symbol Z in place of the number 2 ^ or the second paren-theses, and so subsequent to that which accompanies mooi "we re give numbers of OOj0 "! - ^! symbol (1). d. parts of a given segment (AB) from A can be repre-presented by the symbol Z n. 103 where instead of 2 you can put a finished any integer p, or by the symbol Z. This is apparent from the dim. of the same theor.. de A group of an infinite number (Q) of elements (X) included in a given segment (AB) has at least one element limit . Just divide (AB) in equal parts ij (d, 103); in one of them there are at least S2 points of the group (X), meaning that the class (II) is completed in the sense of the OSS. II, 103. Let (A ') this part. You can choose ^ abba-because in the big room (A'B') there are at least two elements A ', J?' di-vision of the (AB) ijj in equal parts, which they are distinguished from A and. In one of the segments (A'A ') j (A'B'), (B "B) there must be fi points X] so also if in
Page 163 Page 163163 cadesse un maggior numero di punti di divisione in ij, parti uguali. 163 fell a greater number of points of division in ij, equal parts. Crescendo V! Growing up V! veniamo a costruire una serie di segmenti contenuti successivamente l'uno nell' altro della forma * - che contengono un numero 2 di punti. we build a series of segments following the content in a 'more of the form * - which contain a number of points 2. Col crescere v indefinito di 15, ' - diventa indefinitamente piccola (e, 103), e perciò la serie V suddetta di segmenti determina un elemento L tale che in ogni segmento * '- quanto piccolo si vuole che contiene L cadono elementi X; donde f. With increasing v indefinite 15, '- becomes indefinitely small (and 103), and therefore the number of segments that V determines an element in L such that each segment *' - how small you want to drop that contains L elements X, whence f. V Oss. V Oss. IL Per Ìl = oo questa dimostrazione vale anche relativamente ad un'unità in luogo della dimostrazione data al n. For the = oo this demonstration is also true with regard to a unit in place of the demonstration given at n. 98. 98. e'. and '. Una serie dì elementi (X ) nella forma fondamentale tale che il seg- mento ( XX _ ) coir aumentare di 13 diventa indefinitamente piccolo in senso as- soluto ha un elemento limite. A number of elements (X) in the fundamental form such that the segment (XX _) increase of 13 coir becomes indefinitely small in the sense as-solute element has a limit. Dim. analoga a quella di V, 98 appoggiandosi al teor. Size similar to that of V, 98 leaning on the theorem. d, 102. d, 102. f. f. L' ipotesi Vili è indipendente dalle precedenti. L 'is independent of the previous hypotheses VIII. L'indipendenza delPip. The independence delPip. Vili dalle precedenti risulta dal simbolo Z. From earlier vile is the symbol Z. Per meglio fissare le idee, senza togliere nulla alla generalità dell'ipotesi, siano dati i soli campi infiniti e infinitesimi d'ordine finito, che come si sa soddi- sfano alla proprietà dell'ip. To better fix the ideas, without detracting from the generality of the hypothesis, data are only infinitesimal and infinite fields of finite order, which is known as a satisfactory property sfano-ip. VII (m, 93). VII (m, 93). Consideriamo il gruppo ordinato di elementi che si ottiene dal simbolo Z quando m è un numero dato qualsiasi. Consider the ordered group of elements which is obtained by the symbol Z when m is a number given any. Abbiamo tutti gli elementi della divisione per metà (def. I, 103). We have all the elements of the division by half (final I, 103). Ora è facile vedere che questo gruppo di elementi soddisfa appunto alle ipotesi che prece- dono Tip. Now it is easy to see that this group of elements satisfies precisely the hypothesis that previous gift tip. Vili, ben inteso che Tip. Vili, of course that Tip. V va ristretta in tal caso ai campi suddetti. V is restricted in this case the fields above. Se si considerano infatti due elementi X1 e X" dati da : la differenza di Z* e Z" rappresenta appunto il segmento (X'X") (a\ e ogni elemen- to della divisione per metà di (X'X") è compreso anche nel simbolo Z prece- dente ove r è un numero dato di (I). Se (X'X") è infinitesimo ad es. d'ordine s (s^o) allora l'elemento Y tale che ad es. (X'Y)= 2(X*X") si otterrà da Z* aggiungendo nella parentesi che accompagna -^f-la metà della differenza (X'Y) che viene espressa da un simbolo Z"'. Ora se r è invece infinito (oo), o, considerando Z in costruzione, se r di- venta indefinitamente grande, si ha un simbolo che non è reducibile a Z quan- do r è dato, come il simbolo quando n è oo, non si può ridurre alla stessa forma quando n è finito. Difatti per due segmenti uguali espressi con Z le # e le ne le r devono essere rispet* If we consider in fact two elements X1 and X "data from: the difference of Z * and Z" represents precisely the segment (X'X ") (to \ and each element to the division by half of (X'X") is also included in the symbol Z previous where r is a given number of (I). If (X'X ") is infinitesimal eg. order s (s ^ o) then the element Y such that eg . (X'Y) = 2 (X * X ") will be obtained from Z * adding in the parentheses accompanying - ^ f-half of the difference (X'Y) which is expressed by a symbol Z" '. Now if r is instead infinity (oo), or, whereas Z under construction, if r-venta indefinitely large, there is a symbol which is not reducibile Z-do when r is given, as the symbol when n is oo, it can not be reduce to the same form when n is finite. In fact, for two equal segments expressed by Z the # and it must be respected and r *
Page 164 Page 164164 tivamente uguali nell'ordine in cui sono dati. 164 tively the same order they are given. Ciò non è possibile se per uno dei segmenti r è un numero dato di (I) (46), mentre per l'altro diventa più gran- de di ogni numero dato. This is not possible if one of the segments r is a given number of (I) (46), while the other becomes more large-de of every given number. 105 a. At 105. Il segmento (AG) ~ rispetto ad (AC) : "Q 1) è finito se ^ e iì sono finiti o infiniti dello stesso ordine, 2) è infinito d'ordine fv^ se f* è infinito d'ordine ^ e ij è infinito d'ordine yl9 essendo f*1 ?h 3) è infinitesimo df ordine T^-/^ se nel secondo caso ^ ju^. Difatti ti è un numero del campo oo'1 e quindi - - è un infinitesimo ti (AC) d'ordine yl9 un multiplo di ~ secondo un numero ^ è finito rispetto ad (AC) (f, 92): e quindi se f* è infinito d'ordine /O^, (AC) è un infinito d'ordi- ne jvih, (f", 92 ed, 93), analogamente pel terzo caso. The segment (AG) compared to ~ (AC): "Q 1) ^ is finite if and II are finite or infinite of the same order, 2) has infinite order if fv ^ f * ^ has infinite order and ij has infinite order yl9 being f * 1? h 3) is infinitesimal df order T ^ - / ^ if ^ ju ^ in the second case. In fact you is a number field oo'1 and then - I is infinitesimal ( AC) yl9 order a multiple of ~ ^ is finite according to a number less than (AC) (f, 92): and then if f * is infinite order / ^ O, (CA) is an infinity of ordinary - I jvih, (f ", and 92, 93), similarly PEL third case. Def. Def. I. I. Due segmenti che contengono un summultiplo secondo un numero in- tero di (//) si chiamano summultipli di la specie. Two segments that contain a summultiplo according to a number of in-Tero (/ /) are called summultipli of the species. Due segmenti invece che- si ot- tengono l'uno dall'altro o da un terzo colla divisione illimitata in t\ parti uguali ma non illimitata in senso assoluto si chiamano commensurabili di 2a specie. Two segments instead ot-you-take of each other or a third party with the unlimited division in t \ equal but not limitless in an absolute sense of the second kind are called commensurable. I primi ei secondi si chiamano commensurabili in senso assoluto. The first and second are called commensurable in an absolute sense. Negli altri casi si chiamano incommensurabili in senso assoluto. In the other cases are called incommensurable in an absolute sense. Oss. Oss. I. I. Limitandosi ad una sola unità di misura mancano i segmenti commen- surabili di 2 specie secondo la def. Is confined to a single unit of measure missing segments commen-surabili of 2 species according to the final. I, 103 questi segmenti sono ottenuti colla divisione in fi parti uguali essi partecipano sotto questo aspetto della proprietà dei segmenti commensurabili di 2a specie, e partecipano sotto un altro aspetto della pro- prietà dei segmenti incommensurabili in senso relativo 1). I 103 these segments are obtained with the division into equal parts fi they participate in this aspect of the properties of the segments of commensurable second species, and participate in another aspect of the pro-incommensurable properties of the segments in a relative sense 1). b. b. Segmenti commensurabili di la specie con un terzo sono commensura- bili fra loro. Commensurable segments of the species are commensurability with third-tion between them. Perché se contengono un summultiplo uguale col terzo l'uno secondo il numero pe l'altro secondo il numero 17 e /t=?j essi hanno un summultiplo comune. Because they contain a summultiplo equal third with one another according to the number eg the number 17 and the second / t =? J they have a common summultiplo. Se invece {* ? If instead {*? i summultipli secondo il numero puij dell'uno e del- l'altro sono uguali al summultiplo secondo lo stesso numero del terzo. the summultipli according to the number of the one and puij of-the other are equal to the summultiplo according to the same number of the third. Oss. Oss. II. II. Non risulta però che due segmenti incommensurabili con un terzo siano anche incommensurabili tra loro, anzi due segmenti commensurabili possono essere incommensurabili con un terzo. It does not appear, however, that two segments are incommensurable with a third even incommensurable with each other, or rather two segments commensurable may be incommensurate with a third party. Def. Def. II. II. I simboli corrispondenti ai segmenti commensurabili di la di 2a spe- cie e incommensurabili coli' unità fondamentale si chiamano rispettivamente numeri razionali assoluti di la e 2a specie e irrazionali assoluti. The symbols corresponding to commensurable segments of the second species of E. coli and incommensurable 'basic unit can be called rational numbers of the absolute and the second species and irrational absolutes. e. and. Dati i due segmenti (AB) e (AC), (AB) (AC) vi è sempre un numero 13 razionale tale che: i) Non abbiamo bisogno di dimostrare resistenza dei segmenti incommensurabili né in senso relativo nò assoluto, e quindi neppure dei segmenti commensurabili di 2 specie, per le nostre ricer- che sui fondamenti della geometrìa, bastandoci nell'uno o nell1 altro caso T ip. Given the two segments (AB) and (AC), (AB) (AC) there is always a rational number 13 such that: i) We need to show strength or incommensurable segments in relative nor absolute, and therefore not of commensurable segments of 2 species, for our research-that the foundations of geometry, bastandoci in one or another case nell1 T ip. VI o l'ip. VI or the ip. Vili ; come dei resto non abbiamo bisogno dell' ip. VIII, as we do not need the rest of 'ip. v, delle proprietà che da essa dipendono e dei simboli che rappresentano i diversi segmenti della retta a partire da un'origine e rispetto ad una data, unità- v, of the properties that depend on it and the symbols that represent different segments of the line from a source and compared to a date, drive-
Page 165 Page 165165 essendo 1 l'unità fondamentale. 165 1 being the fundamental unit. Difatti se (A#) è infinitesimo d' ordine p rispetto ad (AC) vi è sempre un numero ij, d'ordine p tale che (A5) ijj ( AC) (A ) fo -f- 1 p) essendo lp = oojP (Z. 92). In fact, if (A #) is infinitesimal d 'order p with respect to (AC) there is always a number ij, of order p such that (A5) ijj (AC) (A) fo-f-1 p) = lp being oojP (Z 92). Indichiamo con(A'1A( 1P ) questo multiplo di (AB) compreso fra i due multipli (AB) ijj, (AB) fa + lp)e con (A^) la parte di (AC) compresa nel seg- mento (A^A^p). Denote by (A'1A (1P), this multiple of (AB) between the two multiple (AB) ijj, (AB) makes + lp) and with (A ^) of the part (AC) included in the segment ( A ^ A ^ p). Basta considerare in (AAWlp) gli infinitesimi d'ordine p, che sono appunto finiti con (AAX) che rappresenta l'unità 1 (a, 86 ee, 91). Just consider (AAWlp) the infinitesimals of order p, which are precisely finished with (AAX) that represents the unit 1 (a, e and 86, 91). Se Ci non è un elemento di divisione in parti uguali ottenuto nelle diverse unità infini- tesime di 1 , 2 ,...., pmo ordine rispetto ad (AAcotP), nel quale caso ij sarebbe un numero nazionale assoluto o relativo (def. II) e tale che sarebbe (AB) i) ~ (AC), l'elemento Ci apparterrà al campo infinitesimo di pmo ordine intorno ad un ele- mento di (A'jAoojp) rappresentato da un numero razionale assoluto o relativo. If there is not an element of division into equal parts obtained in the different units infinitely tesime of 1, 2, ...., pmo order with respect to (AAcotP), in which case it would be a national number ij absolute or relative (def. II) and that would be (AB) i) ~ (AC), the element We belong to the field of infinitesimal pmo order around an ele-ment (A'jAoojp) rational number represented by a relative or absolute. Se questo è ad es. If this is eg. ^ poiché il campo infinitesimo intorno a questo elemento si ottiene portando da una parte o dall' altra successivamente l' unità 1 così si vede che l'elemento C, sarà compreso fra due elementi indicati dai numeri 7)2 4- m, fy 4- (m -f 1) oppue ^ - m, tj2 - (m -f 1. e'. Se (AB) e (AC) sono finiti, 77 è intero e finito (def. II 82; e', 81) Oss. III. In questo caso due numeri finiti che differiscono di un numero infinite- simo non sono ugnali. d. Per prima forma costituente il continuo assoluto (relativo), si può con- siderare V inde finitamente piccolo in senso assoluto (relativo). Se si tratta del continuo relativo, in senso assoluto possiamo considerare anche un infinitesimo d' ordine determinato. Consideriamo dapprima il continuo relativo, e siano (AB) un segmento finito, (AA') un segmento infinitesimo di 1 ordine. Si ha che (AA1) OOA è un seg- mento finito rispetto ad (AB) (A 92). E poiché rimanendo nel campo di una sola unità non si considerano altri campi infiniti si può anche dire in tal caso che (AA1) oo da un segmento finito rispetto ad (AB). Dividiamo ora (AJ9) in n parti uguali rispetto ad (AB) come unità (b, 99) e indichiamole numericamente conpl9p2, ....,# ; mentre una qualunque di esse la indicheremo con p. Abbiamo : (AB) =p^p2 -f p3+ .... +pn od anche m=i (AB)= 2 pm (1) W=l m = n indicando col segno 2 pm la somma delle n parti p. = i Ora lasciamo che n cresca indefinitamente, p diminuirà invece indefinita- mente (d, 99), e avremo: 2pm (2) ^ Infinitesimal because the field around this element is obtained by bringing one side or from 'other then the' unit 1 thus it is seen that the element C, it will be between two elements indicated by the numbers 7) 2 4 - m, fy 4 - (m-f 1) oppue ^ - m, tj2 - (m-f 1. and '. If (AB) and (AC) are gone, 77 is full and final (def. II 82, and', 81) Oss. III. In this case two finite numbers that differ by an infinite number-th are not ugnali. d. For the first form which forms the continuous absolute (relative), it can be with V-siderare inde infinitely small in an absolute sense (relative) . If it is the constant relative in an absolute sense we can consider an infinitesimal d 'given order. Consider first the continuous relative, and are (AB) a finite segment, (AA') an infinitesimal segment of order 1. We have that (AA1) OOA is a segment finished with respect to (AB) (A 92). And since remaining in the field of a single unit are not considered infinite other fields can also be said that in this case (AA1) by a segment oo finished with respect to (AB). divide hour (AJ9) into n equal parts with respect to (AB) as a unit (b, 99) and indichiamole numerically conpl9p2, ...., #, while any one of them will be denoted by the p. We have: (AB) = p ^ f-p2 + p3 .... pn + or even m = i (AB) = 2 pm (1) W = lm = n 2 pm with the sign indicating the sum of n parts p. = i Now let n grow indefinitely, p will decrease rather indefinite-mind (d, 99), and we have: 2pm (2)
Page 166 Page 166166 In questo caso dunque (AB) è rappresentato come somma di parti indefi- nitamente piccole. 166 In this case, therefore, (AB) is represented as the sum of parts undefined infinitely small. La stessa cosa vale se consideriamo (AB) rispetto all'unita assoluta (92). The same is true if we consider (AB) versus absolute unity (92). Consideriamo ora un infinitesimo (AA') ad es. Now consider an infinitesimal (AA ') eg. di j ordine rispetto ad (AB). of order j with respect to (AB). Si ha ad es. It has eg. che {*=* ? that {* = *? 2 (AA*)p è un segmento rinito rispetto ad (AB) (/*, 91); e prendendo come unità fonda- mentale (AA') si ha: 2 (AA')(A ) 2 (AA')p /*=! 2 (AA *) p is a segment rinito respect to (AB) (/ *, 91), and taking as a fundamental unit (AA ') we have: 2 (AA') (A) 2 (AA ') p / * =! f*=l ove Y) è un numero intero di (II) (def. V. 91) od anche 2 (AA')n (AB) 2 (AA')p, (a) f*=l fA-l ove t\ è un numero razionale assoluto (e). f * = l when Y) is an integer of (II) (def. V. 91) or even 2 (AA ') n (AB) 2 (AA') p, (a) * f l = fA-l where t \ is a rational number absolute (e). Oss. Oss. IV, Osserviamo però che in questo caso bisogna uscire dal campo dell'u- nità della stessa specie di (AB) (def, I, 86), poiché l'infinitesimo non va considerato i) Rappresentazione geometrica di una parte del continuo assoluto. IV, however, observe that in this case need to exit the field unit's of the same species of (AB) (final, I, 86), since the infinitesimal should not be considered i) Geometrical representation of a part of the continuous absolute. Consideriamo dapprima il campo infinito di ordine i rispetto all'unità fondamentale ed anche le scale nel verso opposto a partire dall'origine fondamentale. Consider first the infinite field of order i with respect to the unit and also the key steps in the opposite direction from the origin key. I numeri di (K) si lasciano raggnip- pare nelle serie s/0) s^l\ ... The numbers (K) are left in the series seems raggnip-s / 0) s ^ l \ ... s/m\ . s / m \. . . (I. 93). (I. 93). Ad ogni segmento della forma (AA^ - corrisponde e quelli i /a, o* a* \ una serie sl n ,e quindi ad ogni segmento della forma (AA,) , ( i- 4. -| f-.... -fc ^ + ... I per \ nn* nm / lira m = (a = Qy i,...., nl) corrisponde una serie s^ Da ciò è chiaro che non considerando gli infinitesi- mi rispetto all'unità fondamentale e considerando soltanto i segmenti infiniti di ordine 1, si può far corrispondere univocamente i segmenti di questa parte della forma fondamentale ai punti del piano (a,y) euclideo ordinario facendo corrispondere cioè i valori di y alle scale s, le cui origini sono rispettivamente indicate con o, , .... co, .... 2 , .... o , (~ -f. 2- .4. .... -i---- -H .... ), nlil\nnn* / di oc, ai segmenti delle serie s stesse a partire dalle loro origini. Per poter far uso anche dei valori negativi di y bisogna considerare le scale Si che si hanno pel segmenti negativi del continuo fonda- mentale (112). Due elementi indefinitamente vicini in questo continuo sono situati in una serie Sj. A due tali elementi corrispondono due punti indefinitamente vicini del piano, ma non ha luogo la proprietà inversa, perché due elementi corrispondenti nella forma fondamentale appartengono a due Le parallele all'asse delle cc tutte dirette nel medesimo verso ___ ___ a partire dall* origine fondamentale rappresentano le serie Si, le j2ao _| ^-----Ì2oo.-H quali hanno la loro origine nel loro punto d' intersezione coli'asse ' delle y. Se immaginiamo percorse nel medesimo verso tutte le paral- ---- ________' lele comprese nella striscia piana limitata dalle parallele condotte |co.-l oo i I ooi+i per 0 e per O0l da 0 flno ai punto i abbiamo una chiara rappresen- I tazione del campo finito e infinito di ordine i, immaginando però che ~jx le parallele anziché essere r una sopra V altra, e indipendenti fra r1 loro, siano invece una dopo r altra e determinate una dall'altra; ------ vale a dire non abbiano lo stesso punto comune ali' infinito, e for- J-GO.TI mino un tutto inscindibile. Se il segmento (o.... ]) lo si immagina ______j , poi condensato nel segmento (AB), si ha un continuo di cui l'unità j-200,-1 Ij^T! i-2oo,4-1 (1..0) primitiva è un infinitesimo attuale. Cosi possiamo procedere pei campi infiniti di ordine 2, 3 ecc. m, e abbiamo: Non tenendo conto degli infinitesimi rispetto ad un unità fondamentale tutti i segmenti del campo finito e infinito d'ordine finito m possono essere rappresentati univocamente e nel medesi- mo ordine in u;i sistema di parallele dello spazio euclideo am dimensioni. Ii I Each segment of the form (AA ^ - and the corresponding i / a, or * a * \ sl a number n, and then each segment of the form (AA), (i-4. - |-F ... . fc-^ + ... I for \ nn * nm / lira m = (a = Qy i, ...., nl) is a set s ^ From this it is clear that not considering infinitesimal compared to I-' considering only the fundamental unity and infinite segments of order 1, we can uniquely match the segments of this part of the fundamental form points in the plane (a, y) ordinary Euclidean matching ie the values of y s of the stairs, whose origins are respectively denoted by or,, co ...., .... 2, .... o, (~-f. 2 - .4 ---- .....-i-H ... .), nlil \ nnn * / a or c, the segments of the same s-series from their roots. order to make use of negative values of y also must consider the steps that have PEL is negative segments of the fundamental constant ( 112). Two elements in this continuing indefinitely neighbors are located in a number Sj. these two elements correspond to two points indefinitely close of the plan, but did not place the property reverse, because two corresponding elements in the basic form belong to two parallel to the 'axis of cc all directed in the same direction ______ * starting from the fundamental origin represent the series Yes, j2ao _ | ^ ----- Ì2oo. H-which have their origin at their point of' intersection coli'asse 'y. If we imagine all traveled in the same direction parallel ---- ________' lele included in the flat strip bounded by parallel pipelines | Co-l oo i I + i for 0 Ooi and O0l flno from 0 to point i have a clear representa-tion of the infinite and finite field of order i, however, imagine that instead of being parallel to jx ~ r a V above the other, and independent of their r1, r are rather one after the other and determine each other ; ------ ie not have the same common point wings' infinite, and for minority-J-GO.TI an indivisible whole. If the segment (or. ...]) we imagine ______ j, then condensed in the segment (AB), there is a continuum of which the unit j-200, -1 Ij ^ T! i-2oo 0.4 to 1 (1 .. 0) is an infinitesimal current primitive. Thus we can proceed through the fields infinite of order 2, 3, etc.. m, and we have: not taking into account the infinitesimal compared to a basic unit of all segments of finite and infinite field of finite order m can be represented uniquely and medesi u-th order, the parallel system of Euclidean space size am. I Ii
Page 167 Page 167167 come nullo e il nulla ripetuto quanto si vuole ci da sempre il nulla. 167 as void and nothingness repeated what we always want nothing. È per questo che rimanendo nel campo di una sola unità vai meglio, come si fa ordinariamente, tenersi al primo caso. That's why staying in a single unit vai better, how do you ordinarily keep the first case. Da ciò è chiaro che una costruzione della forma fondamentale asso luta col l'infini- tesimo assoluto è impossibile, non essendo altro per noi che lo zero assoluto (def. 1, 100). From this it is clear that a fundamental form of construction associated with the Luta infini-eighth of all is impossible, there being nothing for us that absolute zero (def. 1, 100). 11. 11. Corrispondenza di proporzionalità fra, i segmenti di una o più forme fondamentali. Correspondence of proportionality between, the segments of one or more basic forms. 106. 106. Def. Def. I. I. Dati due segmenti (AC), (A'C') di due forme fondamentali diverse 0 coincidenti (ip. I, II e def. V. 57), possiamo stabilire una corrispondenza fra 1 loro elementi e gli elementi dei loro multipli in modo che agli estremi A e C di (AC) corrispondano gli elementi A' e C* di (A'C'), e agli estremi dei multipli di (AC) o dei suoi summultipli ottenuti da (AC) colla divisione succes- siva in un numero dato ij di parti uguali (e, 99 ed, 103) corrispondano gli estremi degli stessi multipli di (A'Cf) o degli stessi summultipli di (A1 C*), e in modo che a un elemento compreso fra due degli elementi suddetti della prima forma corrisponda almeno un elemento compreso fra i due elementi corrispondenti della seconda forma. Given two segments (AC), (A'C ') of two different fundamental forms coincide 0 (ip. I, II and def. V. 57), we can establish a correspondence between their elements 1 and the elements of their multiples in order that the ends A and C (AC) correspond to the elements A 'and C * (A'C'), and at the ends of the multiples of (AC) or its summultipli obtained from (AC) with the following division-sive in a given number of equal parts ij (s, 99 and, 103) correspond to the extremes of the same multiple of (A'Cf) or of the same summultipli of (A1 * C), and so that an element between two of the elements those of the first embodiment corresponds to at least one element between the two corresponding elements of the second form. Chiameremo una tale corrispondenza corrispondenza di proporzionalità fra le due forme fondamentali nelle quali giacciono i due segmenti (AC) e (A' C*) e determinate da (AC) e (A' C1). We will call such a correspondence match of proportionality between the two basic forms in which lie the two segments (AC) and (A 'C *), arising from (AC) and (A' C1). I segmenti corrispondenti li chiameremo segmenti fra loro proporzionali. I'll call them segments corresponding proportional segments between them. a. a. Se (BD) ed (EF) sono segmenti commensurabili con (AC) ottenuti colla divisione successiva in ^ parti uguali di (AC), e (BV), (E'F') sono i segmenti proporzionali corrispondenti ai primi due nella corrispondenza di proporzio- nalità determinata da (AC), (AO) secondochè (BD) = (EF) si ha (B'V) = (E'F'). If (BD) and (EF) are segments commensurable with (AC) obtained with the next division into equal parts of ^ (AC), and (BV), (E'F ') are the proportional segments corresponding to the first two in the correspondence of proportionality given by (AC), (AO) according as (BD) = (EF) we have (B'V) = (E'F '). Difatti si ha (BD)==(AC) J - ed (EF)==(AC)- - , e quindi anche ijP tjPi ( )== (A'C) Ji-, (JET') EE (A'C1) - *- (def. I). In fact we have (BD) == (AC) J - and (EF) == (AC) - and thus also tjPi IJP () == (A'C)-Ji (JET ') EE (A' C1) - * - (def. I). Secondochè (BD)=(EF) si ha: (AC)- -E= (AC) -Eì- (def. -IL 61), ed anche (AC) - =(AC) - ( ',79;d, 92); e perciò (A'C) - S(A'C') - (a, 79 oa, 92; d, 79 og, 92), da cui -rftfi ffi-rf ,Aa)JL.== (A'C1) JV(6f, 79 e d', 92), ossia (J5'D') == (E'F') (def. II, 61). According as (BD) = (EF) we have: (AC) - E = (AC)-MEOBOOT-(def. IL-61), and also (AC) - = (AC) - (', 79 d, 92), and therefore (A'C) - S (A'C ') - (a, 79 or, 92 d, 79 og, 92), from which rftfi-ffi-rf, Aa) JL. == ( A'C1) JV (6f, 79 and d ', 92), ie (J5'D') == (E'F ') (def. II, 61). V ^Pl b. V b ^ Pl. Air elemento limite di una serie sempre crescente o decrescente di segmenti commensuràbili (in senso assoluto di 1* specie) ottenuti colla divisione successiva di (AC) in v parti uguali, in una f orina fondamentale f corrisponde l'elemento li- Air element limit of a series of increasing or decreasing segments commensurable (in the absolute sense of species * 1) obtained with the next division of (AC) v equal parts, in a urine f f key element is the li-
Page 168 Page 168168 mite della serie dei segmenti proporzionali in un'altra o nella stessa forma fonda- mentale. 168 mild series of proportional segments in the same form or another fundamental. Se una serie sempre crescente (o decrescente) di segmenti commensurabili (in senso relativo e assoluto) che hanno simboli della forma (AC) - , ottenuti uP colla successiva divisione in ij parti uguali, ha un elemento limite X, la serie dei segmenti corrispondenti (A'Cf) - è sempre crescente (o decrescente) if (def.I) ed ha pure un elemento limite X1 (a; d, 97 od, 102). If a series increasing (or decreasing) of segments commensurable (in relative and absolute) that have symbols of the form (AC) -, obtained uP glue ij subsequent division into equal parts, has a limit element X, the series of corresponding segments (A'Cf) - is always increasing (or decreasing) if (def.I) and also has a limit element X1 (a, d, 97 or, 102). Dico che X' e soltanto X' corrisponde ad X e viceversa. I say that X 'and only X' corresponds to X and vice versa. L'elemento X è elemento limite di un'altra serie sempre decrescente (o sempre crescente) di segmenti commen- surabili della forma (AC) -^ (/i, 99 ed, 104). The element X is the edge of another element series always decreasing (or increasing) of segments commen-surabili of the form (AC) - ^ (/ i, 99 and, 104). La serie corrispondente deve if avere per elemento limite X*9 altrimenti se avesse un elemento limite Y di- stinto da X', fra X1 e Y vi sarebbe un elemento 71 distinto da X' e Y della divisione successiva per ti (h, 99 od, 104) al quale dovrebbe corrispondere un elemento Z distinto da X compreso fra le due serie suddette '(def. I), ciò che è impossibile (a; 6, 96 e ?, 101). The corresponding series must have for element limit if X * 9 otherwise if he had an element of the limit Y-faded from X ', between X1 and Y there would be a distinct element 71 from X' and Y of the division for the next I (h, 99 or, 104) to which should correspond to an element Z distinct from X between the two above-mentioned series' (final I), what is impossible (a; 6, 96 and?, 101). e. and. Se (BD ed (EF) hanno rispettivamente (B'D'), (E'F') come segmenti cor- rispondenti nella corrispondenza di proporzionalità determinata da(AC), (A' C'); secondochè (BD) = (EF) si ha ( D')=(E'F'). Sia (AB1) il segmento uguale a (BD) nel verso di (AC) e nella forma fonda- mentale di (AC) ( ', 69 o a', 70 e ip. I e II). Se (AB) è (AC), l'elemento è contenuto in (AC) (e', 68; , 36 e def. I, 61), e quindi anche la serie di seg- menti commensurabili che lo determina a partire da A (6; eh, 99 od, 104), dunque anche la serie dei segmenti proporzionali nella forma fondamentale di (A' C1) e il suo elemento limite saranno contenuti in (A' C) (6; d, 97 od, 102). Se (ABf) (AC'), (AI?) è compreso fra due multipli successivi secondo i numeri pep -f- 1 di (AC) se non è uno di questi multipli, (e', 81 oe, 105) e si ricade nel caso precedente. Se (BD)==(EF) si ha dunque (B'D') = (E'Fr) ( ; def. II, 61 e def. T). Se (BD) (EF), prendendo i segmenti (AJ e (AB") uguali a (BD) e (EF) nella forma fondamentale di (AC), e indicando con (AC) -- un segmento che si ac- rf f*i costa indefinitamente a ffl9 e con (AC) """T" un segmento che si accosta indefi- Tjn p Pi nitamente a 5", (AC) T"può essere scelto maggiore di qualunque stato (AC) 0 lyf V?1 H del primo segmento variabile, e quindi (AC) ^ sarà in tal caso maggiore di ogni stato del segmento variabile (A'C) ~~T" (a), e perciò avremo (A'^j) ossia "j) ossia di (E'F') (b). Il teorema è dunque dimostrato. If (BD and (EF) have respectively (B'D '), (E'F') as the segments cor-responding in the correspondence of proportionality determined by (AC), (A 'C'); according as (BD) = ( EF) we have (D ') = (E'F'). Let (AB1) equal to the segment (BD) in the direction of (AC) and the fundamental form of (AC) (', 69 or to' , 70 and ip. I and II). If (AB) is (AC), the element is contained in (AC) (e ', 68;, 36 and final. I, 61), and therefore also the series of commensurable segments that determines from A (6, h, or 99, 104), hence also proportional to the number of segments in the basic form of (A 'C1) and its element limit are contained in (A' C ) (6 d, 97 or, 102). If (ABF) (AC '), (AI?) lies between two successive multiples according to the numbers p and p-f-1 (AC) if it is not one of these multiple , (e ', 81 o, 105) and falls in the previous case. If (BD) == (EF) is therefore (B'D') = (E'Fr) (, def. II, 61 and final . T). If (BD) (EF), taking segments (AJ and (AB ') equal to (BD) and (EF) in the fundamental form of (AC), and pointing (AC) - a segment that is ac-rf * f the coast indefinitely ffl9 and with (AC) "" "T" a segment that approaches indefi-nitely TJN p Pi to 5 "(AC) T" can be chosen more than any state (AC ) 0 lyf V? 1 H variable of the first segment, and then (AC) ^ will be greater in this case of each state of the variable segment (A'C) ~ ~ T "(a), and therefore we will have (A '^ j ) or "j) ie (E'F ') (b). The theorem is therefore proved.
Page 169 Page 169169 d. 169 d. La corrispondenza di proporzionalità è univoca e del medesimo ordine. The correspondence of proportionality is unique and the same order. Difatti ogni elemento X della prima forma o è un elemento dei gruppi ottenuti colla divisione successiva in ij parti uguali in senso relativo e asso- luto di (AC) o dei segmenti consecutivi uguali ad (AC), oppure è limite di questi gruppi (h, 99; e', 81; d, 104; e 105); dunque d (def. I eb; def. Ut 42). In fact, every element X of the first form or is a member of the group ij obtained with the next division in equal parts in a relative sense and ace-lute (AC) or segments of consecutive equal to (AC), or you limit these groups (h , 99, and ', 81 d, 104, and 105), then d (def. I b, def. Ut 42). e. and. All'elemento limite di una serie sempre crescente o decrescente di seg- menti qualunque netta forma fondamentale corrisponde V elemento limite della serie di segmenti proporzionali in un' altra o nella stessa forma fondamentale. Limit element of a series of increasing or decreasing segments any net basic form corresponds limit V element of the series of segments proportional to a 'other or in the same basic form. L'elemento limite X della prima serie può essere considerato come limite di una serie di segmenti commensurabili ottenuti colla successiva divisione in 15 parti uguali (in senso assoluto di la specie) (h, 99; def. I, 105; def. I, 103 e d, 104). The limit element X of the first series can be considered as a limit of a series of segments obtained commensurable with the subsequent division into 15 equal parts (in an absolute sense of the species) (h, 99; final. I, 105; final. I, 103 and, 104). L'elemento limite della serie corrispondente, che è pure sempre cre- scente o decrescente (aee), è limite della serie corrispondente di segmenti commensurabili. The element of the corresponding series limit, which is well-scente ever increasing or decreasing (AEE) is the limit of the corresponding series of segments commensurable. Difatti se X^ si avvicina indefinitamente aX", l'elemento X'^ corrispondente si avvicina indefinitamente a X', perché (X'y 3T), o ( XX'^ ), deve diventare più piccolo di ogni segmento commensurabile dato rispetto ad (A1 C), tale divenendo anche il segmento corrispondente (XJJX)o(XXy)(c). e'. Nella corrispondenza di proporzionalità agli elementi che dividono un segmento (AB) in un numero qualunque p di parti uguali corrispondono ordi- natamente gli elementi che dividono in ugual numero di parti uguali il seg- mento corrispondente (e; h, 99 od, 104). f. Se (AC) = (A'C) la corrispondenza di proporzionalità è quella d'identità. Difatti la corrispondenza d'identità (b, def. 60) soddisfa alla def. I (dy d\ 79; d', 97 og, g', 92 ed, 102). g. Nella corrispondenza di proporzionalità ad un segmento qualunque (AB) si può sostituire un segmento (A" ') = (AB). In fact, if X ^ approaches indefinitely aX ", the element X '^ corresponding approaches indefinitely to X', because (X'y Q3), or (XX '^), must become smaller than each segment commensurable given with respect to (C A1), this also becoming the corresponding segment (XJJX) or (XXY) (c). and '. In correspondence of proportionality to the elements that divide a segment (AB) in any number p of equal parts correspond ordi-tionately which divide into equal number of shares equal to the corresponding segment (s, h, or 99, 104). f. If (AC) = (A'C) correspondence of proportionality is the identity. In fact, the identity match (b, def. 60) satisfies the final. I (dy d \ 79, d ', 97 og, g', and 92, 102). g. In correspondence to a segment of any of proportionality (AB) can replace a segment (A "') = (AB). Difatti ogni multiplo o summultiplo di (AB) lo è anche secondo lo stesso numero di (A"B") (def. I, li, 79 opp. 92), e poiché la corrispondenza di pro- porzionalità è determinata dai multipli e summultipli di (AC) e (A'C*), è chiaro che ad (AB) possiamo sostituire (A"#r), anche se (AB) coincide con (AC). Oss. I. In altre parole nella corrispondenza di proporzionalità non si tien conto delle relazioni di posizione fra i segmenti (oss. I, 38). Def. li. Laprop.:! segmenti (AB), (AC); (A'B'), (A'C1), o segmenti ad essi identici, sono in proporzione, equivale alla prop.: I segmenti (AB), (A'B') sono proporzionali nella corrispondenza determinata da (AC) e (A'C). h. Se le coppie (AB), (AC); (A'B')f (A'C1) sono in proporzione lo sono anche le coppie (A' ), (A'C); (AB), (AC). Difatti agli elementi della prima forma determinata da (AC) secondo la de 1 e il teor. b corrispondono univocamente gli elementi determinati nello stesso modo da (A'C*); e quindi a questi si possono far corrispondere univoca- mente e nel medesimo ordine i primi (d), vale a dire nella corrispondenza di pro- porzionalità le forme date da (AC) e (A'C*) si possono scambiare fra loro. i. Se le coppie (AB), (AC); (A'B1), (A'C) sono in proporzione con la coppia (A"B"), (A" C"), sono in proporzione fra loro. Perché le forme determinate da (AC) e (A'C) corrispondono univocamente e nello stesso ordine secondo la def. I a quella determinata da (A"C") (d) e quindi In fact, any multiple or summultiplo of (AB) it is also according to the same number of (A "B") (def. I, them, 79 opp. 92), and since the correspondence of proportionality is determined by multiple and summultipli (AC) and (A'C *), it is clear that for (AB) we can replace (A "# r), even if (AB) coincides with (AC). Oss. I. In other words, in the correspondence of proportionality no account is taken of the positional relationships between the segments (oss. I, 38). Def. them. Laprop.:! segments (AB) (AC), (A'B '), (A'C1), or segments identical to them, are proportionally equivalent to the prop.: The segments (AB) (A'B ') are proportional to the corresponding determined by (AC) and (A'C). h. If the pairs (AB) , (AC); (A'B ') f (A'C1) are in proportion so are the pairs (A'), (A'C); (AB), (AC). In fact, the elements of the first form determined by (AC) according to the de 1 and the theor.. b correspond uniquely elements determined in the same manner from (A'C *); and then these can be made to correspond uniquely-mind and in the same order of the first (d) , ie in correspondence of proportionality forms given by (AC) and (A'C *) can be exchanged between them. i. If the pairs (AB), (AC); (A'B1), ( A'C) are in proportion with the pair (A "B"), (A "C"), are in proportion to each other. Because the shapes determined by (AC) and (A'C) correspond uniquely and in the same order according to the final. I to that determined by (A "C") (d) and then
Page 170 Page 170170 si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine fra loro mediante la def. 170 is in the same order and correspond uniquely to each other through the final. I {/; 42). I {/; 42). e*. and *. La coppia (AB), (AC) è rispetto alla corrispondenza di proporzionalità ugiiale alla coppia (A'B'), (A'Cf). The pair (AB), (AC) is compared to the correspondence of proportionality ugiiale to the pair (A'B '), (A'Cf). Difatti nella corrispondenza di proporzionalità la coppia (AB), (AC) può essere sostituita nella corrispondenza con la coppia (A"B"), (A" C") dalla coppia (AB1), (A' C) (def. VII, 8; def. IV, 9). In fact, in correspondence with the pair of proportionality (AB) (AC) can be replaced in correspondence with the pair (A "B"), (A "C") by the pair (AB1), (A 'C) (def. VII , 8; final. IV, 9). 1. 1. I segmenti somme o differenze di segmenti proporzionali sono pure pro- porzionali. The segments sums or differences of proportional segments are also pro-portional. Difatti se (AB), (AB'); (BD), (B'D1) sono due coppie di segmenti proporzio- nali nella corrispondenza data da (AC) e (A 'C) i segmenti (AD) = (AB) 1 (BD) (AD') = (AB') dr ( D1) sono dedotti da (AC) e (A'C1) colla stessa operazione che soddisfa alla def. In fact, if (AB) (AB '), (BD), (B'D1) are two pairs of segments propor-tional correspondence given by (AC) and (A' C) segments (AD) = (AB) 1 (BD) (AD ') = (AB') dr (D1) are derived from (AC) and (A'C1) with the same operation that satisfies the final. I, eab, o em Se (AB) e (AB') sono proporzionali nella corrispondenza determinata da (AC) e (A'Cf)-, (AC) e (AC) sono proporzionali rispetto ad (AB) e (A'#). I, eab, or em If (AB) and (AB ') are proportional to the corresponding determined by (AC) and (A'Cf) -, (AC) and (AC) are proportional with respect to (AB) and (A' #). Supponiamo dapprima (AB) (AC) e quindi (A'B'X(A'C') (a, ee); si avrà: (AB) pt (AC) (AB) (p + 1) (e',' 81 opp. e, 105). e perciò anche (A'#) ^ (A'Cf) (AH) (Hl) (a, ee) Se (AC) è multiplo di (AB) secondo il numero fi il teor. è immediata conseguenza della def. I. Se invece non lo è, sarà (AC) = (AB)^ + (A1C1) (I) ove e analogamente ove Se (AjCj) è un summultiplo di (AB) ad es. uguale alla sua parte Pima, (AC) contiene f*^ -|- 1 di queste parti, è cioè multiplo di che corrisponde f*i proporzionalmente alla parte (f*f*iH)wa di (A 'C*), la quale è pure parte f*l'wa di (AB). I segmenti (AC) e (A' C*) sono dunque in tal caso proporzionali nella corri- spondenza determinata dalle parti ii^6 di (AB) e (A'ff), e quindi anche per la dimostrazione precedente e pel teor. i, in quella determinata da (A#) e (A'#J. Se invece (AB) non è multiplo di (A^) si avrà: ', 81 opp. e, 105) (2) ove df, 79, o g', 92) Suppose first (AB) (AC) and then (A'B'X (A'C ') (a, e), we have: (AB) pt (AC) (AB) (p + 1) (e', '81 opp. and 105). and hence also (A' #) ^ (A'Cf) (AH) (Hl) (a, e) If (AC) is a multiple of (AB) according to the theorem the number fi . is an immediate consequence of the final. I. If instead it is not, will be (AC) = (AB) ^ + (A1C1) (I) where and similarly when If (AjCj) is a summultiplo of (AB) eg. equal Pima his part, (AC) contains f * ^ - | - 1 of these parts, that is a multiple of the proportion that corresponds to the f * (f * f * iH) wa (A 'C *), which f * is also part of the wa (AB). segments (AC) and (A '* C) are therefore in this case in proportional correspondence determined by the parties ii ^ 6 of (AB) and (A'ff ), and therefore also for the demonstration and for the previous theor.. i, in that given by (A #) and (A '# J. If, instead, (AB) is not a multiple of (A ^) we have:', 81 opp. and 105) (2) where df, 79, or g ', 92)
Page 171 Page 171171 / AT \ _ IAD\ (AjCj) contiene una sola parte v ; . 171 / AT \ _ IAD \ (AjCj) has only one part of v,. Se si avesse (A^J = * * . 2 si f*rH . f*iH avrebbe pure: (A^) (Fl+l) ^ ( AB) 2 (d, 79 o 0, 92). quindi (A^) (^4-D (A,C,) ftj 2 (2) ; e?, 61) vale a dire: il che è assurdo (/*, 73 ; o , 61 se ^ = 1). Se (AC) e (A' C1) sono proporzionali rispetto ad lo sono pure per la dimostrazione precedente nella corrispondenza determi- nata da (AB) e (AB). Da (1) si ha : (AB,) [^ (M-1H-1] (AC) (AB,) fo (Ml) + 2] (3) perché (A,^) contiene una sola parte (fv4-l)ma di (A#), cioè contiene una sola volta (A^) ed è maggiore di (AB,) (2), mentre (AB) contiene ^4-1 volte (ABJ. Analogamente per la corrispondenza di proporzionalità (A'ff) b. fe+I) +1] (A9 C) (Aff) [M (|h+l) +2] (e). Si ha quindi : (AC)E= (AB,) [^ (^+1) +1] + (A2C2) (4) Se (A2C2) è un summultiplo di (AB,) il teorema è dimostrato; se no, si avrà: (A ) (ABJ e ponendo si ha e con un ragionamento analogo al precedente, ponendo p = p (ft,+l) + 1 si ha (AB2) [fi' t2+l) + 1] (AC) (AB2) | ' fo+i} -f 2] Così continuando si ha: ___________(AB)_________ che diventa indefinitamente piccolo coli'aumentare indefinito di a (d,99o e, 103) If you had (^ J = A **. 2 is f * rH. F * iH would also: (A ^) (Fl + l) ^ (AB) 2 (d, 79 or 0, 92). Then (A ^) (^ 4-D (A, C,) FTJ 2 (2), and?, 61) that is to say, which is absurd (/ *, 73, or 61 if ^ = 1). If (AC ) and (A 'C1) are proportional with respect to the previous are also for the demonstration in the correspondence determination born from (AB) and (AB). From (1) we have: (AB) [^ (M-1H- 1] (AC) (AB) fo (Ml) + 2] (3) because (A, ^) contains only one part (FV4-l) but of (A #), ie it contains only once (A ^) and is greater than (AB) (2), and (AB) contains ^ 4-1 times (ABJ. Similarly for the correspondence of proportionality (A'ff) b. fe + I) +1] (A9 C) (Aff ) [M (| h + l) +2] (e). Therefore: (AC) = E (AB) [^ (^ +1) +1] + (A2C2) (4) If (A2C2) is a summultiplo of (AB) the theorem is proved: if not, you will: (A) (ABJ and placing you with a similar reasoning as above, by putting p = p (ft, + l) + 1 we have (AB2) [fi 'l + t2) + 1] (AC) (AB2) |' fo + f-i} 2] So we still have: ___________ (AB) _________ which becomes indefinitely small coli'aumentare indefinite a ( d, 99th, and 103)
Page 172 Page 172172 in senso relativo o assoluto. 172 in relative or absolute. (AC) e (A'C) si ottengono dunque come limiti di una serie di segmenti commensurabili con (AB) e (A'B'). (AC) and (A'C) will therefore be obtained as limits of a series of segments commensurable with (AB) and (A'B '). Il caso (A1B) (AC) si riduce al precedente, e quindi il teor. The case (A1B) (AC) is reduced to the previous one, and therefore the theorem. è dimostrato. is shown. Def. Def. III. III. Dato un segmento (AC) ogni altro segmento (AB) della forma fon- damentale si può dedurre da (AC) in base al teor. Given a segment (AC) every other segment (AB) of the form fon-damental can be deduced from (AC) according to the theorem. h, 99 oppure in senso asso- luto al teor. h, 99 or ace-lute sense the theorem. d, 104. d, 104. In questa costruzione noi paragoniamo (AB) e (AC), e la relazione di (AB) e (AC) in questo confronto (def. IV, 8) si chiama rapporto di (AB) ad (AC), che si indica col simbolo , * . In this construction we compare (AB) and (AC), and the relationship of (AB) and (AC) in this comparison (def. IV, 8) is called the ratio (AB) to (AC), which indicates with symbol *. (AL) Oss. (THE) Oss. IL Data la coppia (AB), (AC) è determinato da essa il rapporto di (AB) ad (AC), ma il rapporto non è la coppia stessa, n. THE Given the pair (AB) (AC) is determined by its ratio of (AB) to (AC), but the relationship is not the same pair, n. Se le coppie (AB), (CD); (A'B1), (OD') sono in proporzione, i loro rapporti sono uguali. If the pairs (AB) (CD) (A'B1) (OR ') are proportional, their ratios are equal. Difatti (A^ff) si ottiene da (CD') colla stessa operazione con cui (AB) si ottiene da (CD), ei rapporti delle due coppie dipendendo unicamente da questa ope- razione (def. Ili; def. I, II, 11) sono uguali (def. VII, 8 o def. IV, 9); n'. In fact, (A ^ ff) is obtained from (CD ') with the same process by which (AB) is obtained from (CD), and the relations of the two pairs depending solely by this opera-tion (def. Ill; final. I, II , 11) are equal (def. VII, 8 or def. IV, 9); n '. Se le coppie (AB), (CD);(A'B'), (CD') sono in proporzione si ha: (n, def. Ili ; b, 9). If the pairs (AB) (CD); (A'B '), (CD') are in proportion we have: (n, def. Ili; b, 9). Oss. Oss. III. III. Non possiamo adoperare il segno = perché qui si tratta di un'ugua- glianza relativa fra le coppie (AB), (CD); (A'B), (C"Dr), delle quali consideriamo altri contrassegni (def. 1,38; oss. II). Il rapporto è il contrassegno rispetto al quale vengono confrontate le coppie nella corrispondenza di proporzionalità (9). n". We can not use the = sign here because it is un'ugua-lance on the pairs (AB) (CD) (A'B), (C 'Dr), of which we consider other marks (def. 1, 38; oss. II). The report is the mark against which the pairs are compared in the correspondence of proportionality (9). No ". Se (AB) _ (A'B') (CD) - (CO) le coppie (AB),(CD)](A'B'),(CD') sono in proporzione. If (AB) _ (A'B ') (CD) - (CO) pairs (AB) (CD)] (A'B'), (CD ') are in proportion. Difatti l'uguaglianza dei rapporti da l'uguaglianza delle operazioni colle quali (AB) e (A'B1) si ottengono da (AC) e (A't?) secondo la def. In fact, the equality of ratios from the equality of the operations by which (AB) and (A'B1) are obtained from (AC) and (A't?) According to the final. Ili, che sono anche quelle della def. Ill, which are also those of the final. I e del teor. I and the theorem. e. and. La proporzione fra le coppie (AB),(AC), (AB1), (A'C) si può indicare e indi- cheremo col simbolo (AB) i) in fondo per la teoria delle proporzioni non occorre introdurre il concetto di rapporto, basta semplicemente la coppia di segmenti ; d'altronde il rapporto è una relazione fra (AB) e (Ae), non la coppia stessa, ma bensì un contrassegno di essa. The proportion between the pairs (AB) (AC), (AB1), (A'C) and then you can indicate with the symbol-cheremo (AB) i) at the bottom to the theory of proportions is not necessary to introduce the concept of relationship , simply the pair of segments;, moreover, the relationship is a relationship between (AB) and (Ae), not the same pair, but a mark of it. Il rapporto è poi indipendente dalla corrispondenza di proporzionalità, perché esso dipende soltanto dal!' The ratio is then independent from the correspondence of proportionality, because it depends only on! ' operazione speciale colla quale da (AC) si ot- tiene (AD). special operation with which to (AC) is ob-tains (AD). il rapporto non solo non dipende dalla posizione relativa dei segmenti (AB) e (AGÌ ma neppure dai segmenti stessi presi isolatamente, perché segmenti non uguali ad (AB) e (AC) possono aver lo stesso rapporto. (Vedi anche 2, Gap. VII). Euclide definisce il rapporto (o ragione) come una relazione dei due segmenti (o grandezze omo- genee) in ordine alla loro quantità (def. Hi, lib. V), ma egli non ha detto che cosa si debba intendere ratio not only depends on the relative position of the segments (AB) and (AGI but even by the same segments in isolation, because they are not equal to segments (AB) and (AC) may have the same relationship. (See also 2, Ch. VII). Euclid defines the relationship (or business) as a relation of the two segments (or homo-Genee sizes) with regard to its quantity (def. Hi, lib. V), but he did not say that what is meant
Page 173 Page 173173 Osa. 173 Osa. IV. IV. Ad ogni rapporto r^-gr secondo la def. For every relation r ^-g according to the final. Ili corrisponde un segno (nu- mero) che indica l'operazione colla quale da (OD) si ottiene (AB), che ha la forma del simbolo del teor. Ili corresponds to a sign (nu-mer) that indicates the operation by which glue (OD) is obtained (AB), which has the shape of the symbol of the theorem. h\ 99 o è, 105, se (AB) (CD). h \ 99 or, 105, if (AB) (CD). Se invece (AB) (CD) si ha: (OD) li 4 (AB) (CD) (ft-f-1) (c\ 81 opp, e, 105). However, if (AB) (CD) we have: (OD) trip 4 (AB) (CD) (ft-f-1) (c \ 81 opp, and 105). e quindi : ove (CiDj) (CD), che viene espresso mediante (CD) e uno dei simboli suddetti. and then: where (CIDJ) (CD), which is expressed by (CD) and one of these symbols. Def. Def. IV. IV. Questo segno o numero si chiama la misura del rapporto o della coppia (AB), (AC) nella corrispondenza di proporzionalità. This sign or number is called the measure of the relationship or the pair (AB) (AC) in the correspondence of proportionality. Oss. Oss. V. V. Senza adottare Tipot. Without taking TiPOT. VII intorno agli ordini d'infinitesimo di un seg- mento qualunque (100), la corrispondenza di proporzionalità in senso assoluto non sa- rebbe possibile. VII around the infinitesimal orders of any segment (100), the correspondence of proportionality in an absolute sense it would not be possible. 12. 12. Estensione delle scale. Extension of the stairs. Campi finito, infiniti e infinitesimi intorno ad un elemento della forma fondamentale aperta o chiusa rispetto ad un'unità. Finite fields, infinite and infinitesimal element of the form around a central open or closed with respect to a unit. 107. 107. Oss. Oss. I, II teor. I, II theorem. g del n. g of n. 99 o il teor. 99 or the theorem. e del n. and n. 104, ci permette di non tener conto nella relazione d'identità, come abbiamo fatto fin qui, del verso in cui sono percorsi i segmenti identici. 104, allows us to disregard the identity relation, as we have done until now, the direction in which the segments are identical paths. Finora noi abbiamo considerate le scale di diverse unità a par- tire da un elemento dato come origine fondamentale in un solo verso sulla forma per quantità (vedi nota 2, 38). So far we have considered the scale of individual units to par-tire from a given element as a key source in a single line about the shape of quantity (see note 2, 38). Definisce l'uguaglianza di due rapporti (def. v, lib. V), e cade, a mio parere, in un difetto analogo a quello accennato nella nota in calce al n. Defines the equality of two ratios (def. v, lib. V), and falls, in my opinion, a defect similar to that mentioned in the footnote to n. 9. 9. È vero che in Euclide la definizione di uguaglianza serve a completare quella di ragione, e significa che se i rapporti hanno tali proprietà da essere soddisfatta la def. It is true that in Euclid's definition of equality is to complement that of reason, and it means that if these relations have to be satisfied with the final properties. V essi si possono sostituire uno ali1 altro ; ma l'inco- venienté non è tolto del tutto, poiché il rapporto, come dissi, esiste indipendentemente da un altro rapporto, e quindi pare a me debba essere definito pienamente prima di confrontarlo con altri. V they can replace a ALI1 else, but the inco-venienté is not removed entirely, because the ratio, as I said, exists independently of another relationship, and therefore seems to me to be fully defined before comparing it with others. Molti dopo aver definita la proporzione fra quattro grandezze due a due omogenee e multiple l' una dell'al- tra, dicono* che il rapporto della prima alla seconda è uguale al rapporto fra la terza e la quarta, introducendo il rapporto come un modo di dire: non sappiamo perché non si chiami anche disuguale o con altra parola, anziché adoperare il segno = o la parola uguale che ha logicamente un senso de- terminato (8-ll), oltreché si fa dipendere il rapporto dalla proporzione. Many after defining the proportion between four sizes two by two homogeneous and multiple 's between one of Annex I, * say that the ratio of the first to the second is equal to the ratio between the third and fourth, by introducing the ratio as a way to say: do not know why you do not call too uneven or other word, instead use the = sign or word that has the same sense logically de-ended (8-ll), as well as the report is made to depend on the mix. Si potrebbe anche dire secondo la nostra definizione e pei teor. You could also say in our definition and theorem pei. iei' che la coppia (AB), (AC) nella corrispondenza di proporziona- lità si chiama rapporto ; anche cosi lo si farebbe dipendere dalla corrispondenza di proporzionalità. iei 'that the pair (AB) (AC) in the correspondence of proportionality is called the relationship, even so it would depend on the correspondence of proportionality. Ad ogni modo però pei teor. In any case, however, pei theor.. n, n' ri' rapporto e coppia di segmenti nella corrispondenza suddetta sono termini equivalenti. n, n 'ri' report and the corresponding pair of segments that are equivalent terms. (Vedi le note : 117 e 2, 121). (See notes: 117 and 2, 121). Con questa corrispondenza si possono svolgere tutte le proprietà dei rapporti di segmenti come abbiamo fatto qui per alcune di esse non avendo noi bisogno in fondo che della def. With this correspondence can play all the properties of the relations of segments as we have done here for some of them since we do not need that at the end of the final. ie del teor. ie the theorem. o per la dimostrazione di un teorema che serve di base alle proprietà fondamentali del piano. or proof of a theorem that serves as a basis for fundamental properties of the plan. Si può dire che - ^ . One can say that - ^. quando (AB) (ABi), perché in questo modo si fan no corrispondere univocamente (AC) (AC) e nello stesso ordine i rapporti ai segmenti o agli elementi della forma fondamentale, dimodoché ad un elemento compreso fra due elementi dati corrisponde un rapporto compreso fra i rapporti corri- IAB) spendenti. when (AB) (ABI), because then you're not correspond uniquely (AC) (AC) and in the same order relations to segments or elements of the basic form, so that an element between two data items corresponding to a ratio between the relations corresponding IAB) blazing. Se si tratta di due rapporti - '- , , il primo è maggiore o minore del secondo se- (AC) (AC i condo che o maggiore o minore del rapporto - corrispondente di - nel la corrispondenza data (AC) \A l } da (AC) e (AV), perché essa è univoca e del medesimo ordine, (d). Qui ci siamo limitati ai segmenti di una o più forme fondamentali, ma poiché la corrispondenza di proporzionalità dipende soltanto dalla costruzione con cui i segmenti della forma fondamentale vengono dedotti da (AC) (def. 1), cosi si può stabilire questa corrispondenza fra coppie di grandezza qualunque che si possono dedurre una dall' altra nel modo anzidettp. If there are two reports - '-, the first is greater or less than the second if-(AC) (AC according to the larger or smaller than the ratio - correspondent - the date the correspondence (AC) \ A l} from (AC) and (AV), because it is unique and of the same order, (d). Here we have restricted ourselves to the segments of one or more basic forms, but since the correspondence of proportionality depends only on the construction with which the segments of the fundamental form are derived from (AC) (def. 1), so you can determine the correspondence between pairs of any size that can be deduced from each 'other as anzidettp.
Page 174 Page 174174 fondamentale aperta (oss. I, 79 e def. VII, 92). 174 key open (oss. I, 79 and final. VII, 92). Ora le considereremo anche nel verso opposto, e poiché la forma fondamentale in un verso è identica alla stessa forma nel verso opposto ('/ . 70), i suoi elementi a partire da A in un verso possono essere indi- cati dagli stessi segni di quelli considerati nel verso opposto, facendo corrispondere agli stessi segni nei due versi segmenti identici a partire da A. Now we shall consider them also in the opposite direction, and since the basic form in one direction is identical to the same shape in the opposite direction ('/. 70), its elements starting from A in one direction may be indi-ed by the same signs of those considered in the opposite direction, matching the same signs in both directions identical segments from A. Se si ha un segmento (AG) infinito rispetto ad (AAJ siccome (CA) = (- C) (e, 104) (CA) è infinito dello stesso ordine rispetto ad (AA{). a. Se B' e E sono elementi dati dei campi infiniti d'ordine y in versi op- posti (o da parte opposta) dall'origine, il segmento (B'B) che comprende l'ori- gine è pure infinito dello stesso ordine. Se (A ) non è uguale ad (AB) vi è però un elemento Bl nel verso di (AB) tale che (ASf)^(ABl) (a', 70). Ma essendo (ABJ infinito dello stesso ordine di (AB) è finito con (AB) (e, 91 ea, 86), e quindi anche la somma (AB?) -f- (AB) (i, 82), e perciò questa somma è infinita dello stesso ordine (e, 91; a, 86). Ma (AB') = ( A) (g, 99 ; e, 104) dunque (B'A) + (AB) = ( B) è finito rispetto ad (AB), ossia infinito dello stesso ordine (e, 91 ea, 86). Def. I. I campi finiti rispetto ad un'unità data nei due versi della forma a partire da un suo elemento X qualunque dato (def. V, 83) costituiscono il campo finito intorno ali' elemento X rispetto alla data unità. Def. II. I campi infiniti di un ordine dato TJ in uno o nell'altro verso a partire da A costituiscono invece il campo in finito d9 ordine 11 rispetto all'unità fondamentale data (def. II e oss. Ili, 91). b. Se B e sono elementi limiti di un dato ordine ij a partire da un ele- mento A in uno e nell'altro verso, si ha rispetto all'unità fondamentale Difatti essi sono limiti determinati dai campi infiniti di ordine ij-1, i quali sono identici (def. I, a", 70 e oss. Ili, 86). 108. Oss. I. Se la forma fondamentale è chiusa la possiamo considerare anche come una forma aperta (6, 63). In tal caso fra le due specie di forma fondamentale non vi sarebbe alcuna distinzione, perché la stessa forma chiusa si considererebbe quale forma aperta. a. Dato un segmento (AB) della forma fondamentale chiusa^ esso o è finito o è infinitesimo d'ordine determinato in rispetto a tutta la forma; quindi nella forma non vi sono segmenti infiniti d'ordine superiore a iì rispetto ad (AB). La forma fondamentale chiusa è infinita di ordine determinato rispetto ad un suo segmento qualunque dato. Intorno ad off ni elemento A rispetto ad un'unità (AB) fondamentale vi sono un campo finito ei campi infiniti dì 1 , 2 , ...., ijwo ordine, se ti e V or- dine d* infinito della forma fondamentale rispetto ad (AB). 1 campi infiniti di 1 , 2 , ... (^ l)mo ordine in uno o nelV altro verso non coincidono, mentre coincidono i campi infiniti di t^ ordine. Volendo tener conto infatti della forma chiusa come forma semplice, a partire da un suo elemento A qualunque la si può considerare come un segmento If it has a segment (AG) with respect to infinity (AAJ since (CA) = (- C) (and, 104) (CA) is infinite of the same order with respect to ({AA). A. If B 'and E are elements of the data fields of order infinite y in verse op-places (or on the opposite side) from the origin, the segment (B'B) which includes the origin is also infinity of the same order. If (A) is equal to (AB) there is, however, an element Bl in the direction of (AB) such that (ASF) ^ (ABl) (a ', 70). But being (ABJ infinite the same order of (AB) is finished with ( AB) (and, 91 and, 86), and then also the sum (AB?)-f-(AB) (i, 82), and therefore this sum is infinite of the same order (and, 91; a, 86) . But (AB ') = (A) (g, 99; and, 104), therefore (B'A) + (AB) = (B) is finished with respect to (AB), ie of the same order infinite (s, 91 and a, 86). Def. I. The finite fields with respect to a unit of the form given in the two directions starting from an element of any given X (final V, 83) constitute the finite field around wings' element X with respect to given unit. Def. II. endless fields of a given order in one direction or the other TJ from A are instead the field in order d9 over 11 than the fundamental data unit (def. II and oss. Ill, 91). b. If B and elements are limits of a given order ij from an ele-ment A in one and in the other direction, it has relation to the unit fundamental limits determined by the fact they are infinite fields of order ij -1, which are identical (def. I, "70 and oss. Ill, 86). 108. Oss. I. If the basic form is closed we can consider as an open form (6, 63). In this case between the two kinds of basic form, there would be no distinction, because the same closed form as they consider the open form. a. Given a segment (AB) ^ closed fundamental form of it or is it finite or infinitesimal of order determined in respect to the entire form, then in the form there are infinite segments of a higher order than a ii (AB). The basic form is closed infinite order established with respect to a segment of any data. Around off element ni In relation to a unit (AB) there is a finite field of fundamental fields and endless days 1, 2, ...., ijwo order, and if you dine or-V * d of infinite fundamental form with respect to (AB). 1 infinite fields of 1, 2, ... (^ l) m or order in one or nelV other hand do not coincide, while the fields coincide endless t ^ order. Wishing to take account of the fact closed form as a simple form, from At any one of its elements it can be considered as a segment
Page 175 Page 175175 limitato da due elementi coincidenti in A (a, 63), mentre i segmenti semplici conservano le stesse proprietà rispetto alle suddivisioni in parti infinitesime, e perciò anche in parti uguali (ip. VII ; a, d, 103). 175 limited by two elements coincident in A (a, 63), while the segments simple retain the same properties as compared to the subdivisions in infinitesimal parts, and therefore also in equal parts (ip. VII; a, d, 103). Ma scelto un segmento (AB) infinitesimo d'ordine 15 rispetto a tutta la forma, questa è infinita d'ordine 15 rispetto ad (AB) (def. Ili, 86; oss. IV, 91), e in tal caso rispetto ad (AB) non vi è un infinito d'ordine superiore, che dovrebbe essere maggiore di tutta la forma data (def. II, 82 e def. II, 86). But a selected segment (AB) infinitesimal of order 15 with respect to the whole shape, this is infinite order 15 with respect to (AB) (def. Ill, 86; obs. IV, 91), and in this case compared to (AB) there is an infinity of higher order, which should be greater than the entire shape date (final II, 82 and final. II, 86). Questa è la differenza caratteristica fra la forma fondamentale chiusa e quella aperta, perché in quella aperta vi è in uno e noli' altro verso un seg- mento di ordine infinito qualunque dato rispetto ad ogni segmento. This is the characteristic difference between the open and closed fundamental form, because in that there is an open and freight 'to a different segment of infinite order any data with respect to each segment. Inoltre scelto il segmento (AB) sulla forma aperta, i segmenti infiniti d'un ordine qualunque y in un verso non hanno alcun elemento comune, in modo che i campi infiniti d'ordine 13 non coincidono; mentre coincidono se la forma è chiusa rispetto all'elemento A, perché si confondono colla forma stessa che è a par- tire da A fino ad A un segmento infinito di ordine ij. Also chosen the segment (AB) on the open form, the segments of infinite any order in one direction y have no common element, so that the infinite fields of order 13 do not coincide, while coincide if the form is closed with respect element A, because it confused with the form itself that is at par-tire from A to A a segment of infinite order ij. Dunque ogni elemento X tale che (AX) è infinito in un verso d'ordine KJ è finito rispetto a tutta la forma, l'elemento X appartiene ad uno dei campi a partire da A nel verso opposto. Thus each element X such that (AX) is infinite in one direction of order KJ is finished with respect to the whole shape, the element X belongs to one of the fields from A in the opposite direction. Gli elementi limiti all'infinito d'ordine ti che rappresentano i campi al- l'infinito di 1 ordine rispetto all'unità infinita d'ordine yI (oss. Ili 86), coinci- dono come i campi che rappresentano, essendo essi in senso assoluto punti nei quali coincidono in uno e nell'altro verso i campi all'infinito d'ordine TI nei due versi a partire da A rispetto all'unità di ordine y-\ (def. IV, 86; oss. Ili e def. II, 91). The elements of infinite order limits that will represent the fields in the infinite-order with respect to 1 unit of infinite order yI (oss. Ill 86), coincide gift as the fields they represent, since they are in absolute sense in which points correspond in one another and to the fields of infinite order TI in both directions from A with respect to unity of order-y \ (def. IV, 86; oss. Ili and final . II, 91). Oss. Oss. II. II. Nel passaggio dal campo di un'unità ad un'altra infinita bisognerà tener presente che gli elementi limiti non sono elementi determinati rispetto alla nuova unità ma che rappresentano appunto tutto un campo di elementi (i1, S5J. a. Ogni elemento dato di un campo finito o di un campo infinito lordine minore di t\ dello, forma chiusa intorno ad un elemento, lo divide in due parti uguali relativamente alle unità di questi campi (a\ e ", 70). 13. Ancora, dell'uguaglianza, assoluta, e refativa, di due forme. 109. a. V uguaglianza di due segmenti limitati di forma fondamentale ri- spetto all'imita assoluta equivale all'uguaglianza in senso assoluto. Difatti essi non possono differire di alcun segmento (AB) dato, neppure se è infinitesimo di ordine determinato ij quanto grande si vuole, mentre se differiscono di un segmento infinitesimo assoluto, questo si confonde con lo zero assoluto (def. I, 97). a'. V uguaglianza in senso assoluto da V uguaglianza relativamente ad ogni unità di misura. Perché se due segmenti sono uguali in senso assoluto a maggior ragione Jo sono in senso relativo (def. Ili e IV, 9 opp. #, 91). In passing from one unit to another infinite field must keep in mind that the elements are not elements specific limitations with respect to the new units but are in fact a whole range of elements (i1, S5J. A. Each data element of a field finite or infinite The order of a field of less than t \ of, closed shape around an element, divides it into two equal parts relatively to the units of these fields (\ e ", 70). 13. Again, equality, absolute and refativa of two forms. 109. a. equality of two V-shaped segments limited re-key compared all'imita equivalent absolute equality in an absolute sense. In fact they can not differ by any segment (AB) since, even if it is infinitesimal of order ij determined how big you want, while if they differ by one segment infinitesimal absolute, this is indistinguishable from absolute zero (def. I, 97). to '. V equality in an absolute sense of equality in relation to each V units of measure. Because if two segments are equal in the absolute sense a fortiori Jo are in a relative sense (final Ill and IV, 9 opp. #, 91).
Page 176 Page 176176 a". V uguaglianza relativa ad una data unità di due segmenti finiti dati si può ritenere come uri uguaglianza assoluta quando noti sia stabilito che essi differiscono di un infinitesimo in senso assoluto. Siano (AB), (CD) i due segmenti dati. Se (AB) e (CD) non sono invece uguali in senso assoluto, e (CD') = (AB), poiché (CD) e (CD') coincidono rispetto al- l'unità relativa (V, 91) possiamo ritenere che ad (AB) in senso relativo sia uguale (CD) anziché (CD). Dunque è dimostrato in tal caso che l'uguaglianza relativa dei due segmenti può ritenersi come un1 uguaglianza assoluta. Ma se invece è già stabilito che (CD)^ (AB) in senso assoluto, e poi dal- l'unità relativa si passa all'unità assoluta, (CD) rimane sempre lo stesso, ei due segmenti (AB) e (CD) che sono uguali in senso relativo non lo sono invece in senso assoluto, perché è già stabilito che il segmento che si confronta con (AB) in senso assoluto non è (CZX) ma (CD). b. Vuguaglianza rispetto ad una data unità di due segmenti infiniti o infi- nitesimi non è in generale uri uguaglianza assoluta né uri uguaglianza relativa alla loro unità se sono della stessa specie. Perché due segmenti infinitesimi o infiniti sono uguali rispetto all'unità finita mentre possono essere disuguali rispetto ad un'unità infinitesima o infi- nita fe h, 85 e V, 91). e. Due forme identiche devono esser tali in senso assoluto e perciò anclie ri- spetto a qualunque unità relativa. Difatti se differissero in qualche cosa non sarebbero più identiche, salva la diversità di posizione (def. Ili, oss. Ili, 9 e oss. Ili, 58). 176 to. "V equal on a given unit of two segments can be considered as a finite data uri absolute equality is established when you notice that they differ by an infinitesimal in the absolute sense. Let (AB) (CD) the two data segments. If (AB) and (CD) are not equal in the absolute sense, and (CD ') = (AB), as (CD) and (CD') coincide with respect to the drive-on (V, 91) we can assume that to (AB) in a relative sense is the same (CD) instead of (CD). Thus it is demonstrated in this case that the relative equality of the two segments can be considered as UN1 absolute equality. But if it is already established that (CD) ^ (AB) in an absolute sense, and then by-passes the unit relative to the unit is absolute, (CD) remains the same, and the two segments (AB) and (CD) which are the same in a relative sense they are not instead in an absolute sense, because it has already determined that the segment is compared with (AB) is not in an absolute sense (CZX) but (CD). b. Vuguaglianza respect to a given unit of two segments or infinite nitesimi is infi- General uri uri absolute equality or equality relative to their unit if they are of the same species. Why two segments infinitesimals or infinities are equal with respect to the unit over uneven and can be compared to an infinitesimal or infi-nite f and h, and 85 V , 91). and. Two identical forms must be such that in an absolute sense and therefore re-anclie compared to any unit on. In fact, if you differ in anything would no longer be identical, except for the different positions (def. Ili, pers. Ill , 9 and oss. Ill, 58).
Page 177 Page 177CAPITOLO VII. CHAPTER VII. Forme a più dimensioni Campo di tutte le forme Grandezza estensiva ed intensiva di una forma e in particolare della forma fondamentale ]). Forms to more than one size range of all forms extensive and intensive size of a shape and in particular of the fundamental form]). Definizione delle forme a, più dimensioni e loro campo. Definition of shapes, sizes and more their field. 110. 110. Def. Def. L Un sistema ad una dimensione riferito ad un altro sistema ad una dimensione a (def. I, 62), preso come nuovo elemento, si chiama sistema o forma a due dimensioni rispetto all'elemento fondamentale di a (def. I, 57). L A system refers to a dimension to another system to a size to (def. I, 62), taken as a new element, is called the system or to form two dimensions relative to the fundamental of a (def. I, 57) . E in generale un sistema ad una dimensione riferito ad un sistema aq 1 dimensioni, come nuovo elemento, si chiama sistema o forma a tj dimensioni rispetto all'elemento fondamentale. And in general a system to a dimension refers to a system aq 1 dimensions, as a new element, is called the system or in the form tj dimensions with respect to the fundamental. Oss. Oss. I. I. La definizione precedente suppone che gli elementi di un sistema ad una dimensione siano identici (def. 1,62 e def. 1,57); possiamo supporre che non lo siano, e diremo: Def. The above definition assumes that the elements of a system are identical in size (def. 1.62 and def. 1.57), we can assume that they are not, and say: Def. II. II. Se è data una forma determinata da più forme ad una dimen- sione a' a" a'"... If it is given shape by more than one dimension to form a 'to' to '"... a..P rispetto ali' elemento fondamentale e se si può stabilire fra gli elementi di aa"...af* una corrispondenza univoca e dello stesso ordine, in modo che gli elementi corrispondenti determinano un sistema ad una di- mensione, la forma data si chiama pure a due dimensioni rispetto all'elemento fondamentale. In tal guisa si possono definire forme a un numero qualunque dato di dimensioni. a. La forma data da tutte le forme definite in base ai suddetti principii, e nelle quali esse sono contenute (def. I, e def, II, 13) non ha un numero de- terminato di dimensioni. Difatti la costruzione delle forme a più dimensioni è illimitata, poiché supposta data una forma a tj dimensioni possiamo costruirne un'altra av -fi dimensioni. 2. Grandezza estensiva e intensiva delle forme e della forma fondamentale. Def. L Grandezza estensiva di una forma che non è uri solo elemento (def. IV, 57) si dice la forma considerata nelle relazioni di posizione fra le 1) Di questo capitolo come di altre proprietà non faremo uso nella geometria (vedi pref.), perché senza fondarci da principio su troppi concetti generali preferiamo di dare le definizioni delle figure a più dimensioni, della loro grandezza intensiva, delle figure continue quando si presenterà il bisogno o l'milita, 12 P with respect to .. Wings' key and if it can be established between the elements of aa "... f * a unique match of the same order, so that the elements corresponding to one of determining a system-dimension, the form date is also called in two dimensions relative to the fundamental. In this way one can define forms in any number of given dimensions. a. The shape given by all the forms defined based on the above principles, and in which they are contained (def. I, and final, II, 13) has a number of non-finished size. In fact, the construction of multi-dimensional forms is unlimited, as it supposed to be given some form tj dimensions we can construct another av-fi size . 2. size extensive and intensive forms and basic form. Def. The extensive size of a form that is not only uri element (def. IV, 57) says the form is considered in the positional relationships between 1) of this chapter as the other properties we will not use the geometry (see pref.), why not base our principles on too many concepts from general we prefer to give the definitions of multi-dimensional shapes, their intensive quantity, the figures will continue when the need or the military, 12
Page 178 Page 178178 sue parti, astrazion fatta dalle relazioni di uguaglianza (def. Ili, 9) e di disu- guaglianza con altre forme (def. I, li, 61). 178 parts, leaving aside the relations of equality (def. Ill, 9) and inequality with other forms (def. I, li, 61). Def. Def. IL Grandezza intensiva o quantità di una forma che non è un solo elemento (def. IV, 57) si intende la forma considerata come sostituibile ad nn altra forma identica in ogni unione (29) con altre forme (oss. Ili, 58), astrazion fatta quindi dalle relazioni di posizione. THE intensive size or quantity of a form that is not a single item (def. IV, 57) means the form nn regarded as substitutes for other forms identical in every union (29) with other forms (oss. Ill, 58), thus leaving aside the positional relationships. a. a. Quando di una forma non si tien conto delle relazioni di posizione delle sue parti fra loro, cìie non sono un solo elemento, la forma risultante è la gran- dezza intensiva della forma data. When a form is not one takes into account the positional relationships of its parts among themselves, cìie not a single element, the resulting shape is the most intensive-ness of the given form. Non tenendo conto delle relazioni di posizione delle parti fra loro, alle parti A e B ecc. Not taking into account the positional relationships of the parts among themselves, with Parts A and B etc.. della forma F possiamo sostituire due forme identiche A' e #.... of the form F we can replace two identical forms A 'and # .... qualunque, vale a dire consideriamo solo la grandezza intensiva di queste parti (def. II). any, that is to say, we consider only the intensive magnitude of these parts (def. II). In questo modo alle parti A, B ecc. In this way, sections A, B etc.. della forma F in unione con un'altra forma J^ si possono sostituire rispettivamente le parti A', B1 ecc. of the form F in conjunction with another form J ^ can replace respectively the parts A ', B1 etc.. di una forma F' identica a F9 e siccome ogni forma è data dalle sue parti, alla forma Fiu unione con Fl possiamo sostituire la forma F', quindi ecc. a form F 'identical to F9 and since each form is given by its parts, to form union with Fiu Fl we can replace the form F', etc. then. (def. II). (Def. II). Oss. Oss. 1. 1. Il concetto di maggiore e di minore di due forme secondo la def. The concept of greater and lesser of two forms depending on the final. I e II del n. I and II of the n. 61, riguarda soltanto la grandezza intensiva delle forme ^a; 61 e def. 61, refers only to the intensive quantity of the forms ^ a; 61 and def. li). them). Se una forma si considera dunque soltanto nelle relazioni di uguaglianza e di disuguaglianza con altre forme, (def. I e II, 61) si fa astrazione dalle sue relazioni di posizione con altre forme o delle sue parti (a) e quindi si ha la grandezza inten- siva della forma data. If a form is therefore considered only in relations of equality and inequality with other forms, (def. I and II, 61) we abstract from its relations with other forms of position or its parts (a) and then have the size-sive intentions of the form given. b. b. Per definizione della grandezza intensiva può essere considerata la prò- prietà del teor. For definition of the intensive magnitude may be considered the pro-properties of the theorem. a. a. Perché da essa con un'analoga dimostrazione si ottiene la proprietà della def. Why did it with a similar demonstration will obtain ownership of the final. IL e. IL and. Una forma ha una sola grandezza intensiva, mentre ad una grandezza intensiva possono corrispondere più forine. One form has a single intensive magnitude, while a more intensive magnitude may correspond forine. La prima parte del teorema risulta immediatamente dalla definizione stessa (def. I, 38). The first part of the theorem is immediate from the definition (def. I, 38). Per la seconda parte basta osservare che tutte le forme identiche o composte di forme identiche hanno la stessa grandezza intensiva. For the second part is sufficient to note that all forms are identical or have identical shapes composed of the same size intensive. Ind. I. Ind. I. Per T uguaglianza di due grandezze intensive A e B adopereremo il segno =, e scriveremo A = B (def. IV, 9). T for equality of two intensive variables A and B will work the = sign, and write A = B (def. IV, 9). Def. Def. HI. HI. Due grandezze intensive A e B tali che A^ B le chiameremo omogenee se By^A (def. I, II, 61) essendo 13 un numero qualunque determinato della classe (II) dei numeri in- teri finiti e infiniti (def. V, 91) 2). Two intensive magnitudes A and B such that A ^ B may be called homogeneous if A ^ By (def. I, II, 61) being 13 any number of given class (II)-teri numbers in finite and infinite (def. V , 91) 2). Def. Def. IV. IV. Una forma che serve a confrontare le grandezze intensive di due forme omogenee A e B si chiama unità di misura delle grandezze A e B. A form which serves to compare the magnitudes intensive two forms A and B is called homogeneous unit of measurement of the quantities A and B. d. d. Per le grandezze intensive (AB), (A' ) di due segmenti della forma fon- damentale si ha: (AB) + (AW) = (A'B1) + (AB) (e, 99 oa, 104). For sizes intensive (AB), (A ') of two segments of the form fon-damental we have: (AB) + (AW) = (A'B1) + (AB) (and, 99 or, 104). e. and. (AB) = (BA) 1) Vedi e. (AB) = (BA) 1) and View. 2) Non escludiamo con questa definizione che 17 possa appartenere ad altre classi di numeri pos- sibili (Vedi nota, 4). 2) We do not exclude that with this definition 17 can belong to other classes of numbers pos-sible (see footnote 4).
Page 179 Page 179179 Osa. 179 Osa. IL 11 primo teorema ci da la legge commutativa delle grandezze intensive con questo, che mentre nei teor. 11 THE first theorem gives us the commutative law of the intensive variables with this, that while in the theorem. 0,99 e a. 0.99 and a. 104 i segmenti devono essere consecutivi, non occorre che ciò sia per le grandezze intensive (def. II). 104 segments must be consecutive, this is not necessary for intensive quantities (def. II). Il secondo teorema ci dice che la grandezza intensiva di un segmento della forma fondamentale è indipendente dal verso di essa. The second theorem tells us that the intensive magnitude of a segment of the basic form is independent of towards it. Oss. Oss. IH. IH. Valgono pure per le grandezze intensive gli altri teor. Also apply for other intensive variables theorem. dei numeri 99 e 103- J04 e le indicazioni pei multipli e summultipli. numbers 99 and 103 - J04 and indications pei multiple summultipli. f. f. Due segmenti uguali in grandezza intensiva sono identici. Two equal segments are identical in size intensive. Se (AB) e (CD) sono due segmenti qualunque si ha uno dei tre casi (AB) = (CD) (6, 73; , e, 61). If (AB) and (CD) are two segments it has any one of the three cases (AB) = (CD) (6, 73;, and, 61). Se (AB) = (CD) le grandezze intensive di (AB) e (CD) sono uguali (def. HI, IV, 9 e def. II). If (AB) = (CD) the magnitudes intensive (AB) and (CD) are equal (def. HI, IV, 9 and final. II). Se (AB) (CD) vi è in (AB) un segmento (A#!)=(CD) (V, 69) che ha la stessa grandezza intensiva di (CD), mentre le grandezze intensive di (AB}) e (AB) differiscono per quella di (B^) (oss. I). If (AB) (CD) there is in (AB) a segment (A #!) = (CD) (V, 69) which has the same magnitude intensive (CD), while the sizes intensive (AB}) and ( AB) differ to that of (B ^) (oss. I). Ora se inversamente i due segmenti (AB), (CD) hanno uguale grandezza intensiva devono essere identici, perché se non fosse (AB) = (CD) per P osserva- zione precedente i segmenti (AB) e (CD) non sarebbero uguali in grandezza intensiva. Now if you reverse the two segments (AB) (CD) have the same intensive quantity must be identical, because if it were not (AB) = (CD) for P observation of previous segments (AB) and (CD) are not equal in intensive quantity. g. g. La grandezza intensiva della forma fondamentale e delle sue parti è indipendente dalla posizione dei suoi elementi dati e distinti, ma non da quelli di un segmento indefinitamente piccolo. The intensive magnitude of the fundamental form and its parts is independent of the position of its data items and distinct, but not from those of a segment indefinitely small. Sia (AB) un segmento dato cogli estremi distinti. Is (AB) a given segment Seize extreme distinct. Si può scomporre (AB) in ij parti uguali (AA'), (A'A") (A"A'")... (B'"B"), ( 'B'),( B), e ai segmenti (AA') (A'A")...(I?B) possiamo sostituire altri segmenti identici (AlA\)(A'lAn^)... Can be decomposed (AB) in equal parts ij (AA '), (A'A') (A "A '") ... (B' "B"), ('B'), (B), and segments (AA ') (A'A ") ... (I? B) we can replace other segments identical (Ala \) (A'lAn ^) ... qua- lunque e fuori della forma data (a); dunque la grandezza intensiva è indipendente dalla posizione di -A", A", ecc. here-lunque and out of the given form (a); therefore the intensive magnitude is independent of the position of-A ', A ", etc.. B, però è dipendente da quella di A rispetto ad A perché deve essere (A^AÌ) = (AA'). B, however, is dependent on that of A with respect to A because it must be (A ^ IEA) = (AA '). Crescendo 13 si vede che nella grandezza intensiva A è indipendente da A', mentre si ottiene un segmento (AX) sempre più piccolo, vale a dire agli elementi dati del segmento (AB) possiamo sostituire a partire da A altri elementi fuori di questo segmento. Growing 13 it is seen that in the intensive quantity A is independent of A ', while obtaining a segment (AX) always smaller, ie the elements of the data segment (AB) from A we can replace other elements out of this segment . Con questo procedimento (AX) diventa indefinitamente piccolo (d, 99 o e9 103). With this procedure (AX) becomes infinitely small (d, e9 99 or 103). Rimane dunque sempre T in- definitamente piccolo da cui dipende la grandezza intensiva, ossia essa dipende dalla posizione degli elementi nel!' Therefore always remains in-definitely small T on which the intensive quantity, ie it depends on the position of the elements in! ' indefinitamente piccolo, sebbene siano per noi indeterminati. indefinitely small, although we are uncertain. O in altre parole facendo corrispondere nel modo indicato altri elementi a quelli della forma fondamentale, a due elementi indefinitamente vicini della forma fondamentale devono corrispondere due elementi indefinitamente vicini di un' altra o della stessa forma fondamentale affinchè non muti la gran- dezza intensiva. Or in other words in the way indicated by matching other elements to those of the fundamental shape, with two elements indefinitely neighbors of the fundamental form must match the two elements of an indefinitely neighbors' or other of the same basic form so that does not change the large-ness intensive. Oss. Oss. IV. IV. Sarebbe quindi un errore il dire che la grandezza intensiva di un seg- mento è indipendente dalla differenza di posizione di tutti i suoi elementi, nel qual caso non occorrerebbe che nella corrispondenza suddetta a due elementi indefinita- mente vicini corrispondessero due elementi pure indefinitamente vicini sulla forma fondamentale, sebbene indeterminati. It would therefore be wrong to say that the size growth of a segment is independent of the difference in position of all its elements, in which case it should be said that in correspondence to two neighboring elements indefinitely mind two elements corresponded well close indefinitely on fundamental form, although indeterminate. ^. ^. Se la grandezza intensiva di un sistema è omogenea con quella della forma fondamentale o di una sua parte, V indefinitamente piccolo del sistema è uri* inde finitamente piccolo della forma fondamentale. If the intensive magnitude of a system is homogeneous with that of the basic form or a part thereof, V is the system indefinitely small uri * inde infinitely small of the fundamental form.
Page 180 Page 180180 Difatti le parti del sistema rispetto alla loro grandezza intensiva si pos- sono sostituire da segmenti della forma fondamentale. 180 In fact, parts of the system relative to their size is pos-intensive segments are replaced by the basic form. Ma la grandezza intensiva della forma fondamentale dipende dalP indefinitamente piccolo di essa ( ), e per la grandezza intensiva a due elementi indefinitamente vicini della forma fonda- mentale devono corrispondere due elementi indefinitamente vicini della stessa o di un'altra forma fondamentale, come risulta dalla definizione stessa della grandezza intensiva e dalla dimostrazione del teor. But the magnitude of the intensive basic form depends dalP indefinitely small it (), and for the intensive magnitude to two neighboring elements of the shape indefinitely fundamental must match two elements indefinitely neighbors of the same or another basic form, as is apparent from very definition of intensive magnitude and the demonstration of the theorem. i\ dunque $. i \ so $. Oss. Oss. V. V. Tale proprietà ha ogni sistema dato, che si ottiene da un numero ti di segmenti di forma fondamentale non situati in una di queste forme, anche quando questi segmenti decrescono indefinitamente in senso assoluto, o relativo, rimanendo nel campo di una sola unità *). This property has any given system, which is obtained from a number of segments you are not located in a basic form of these forms, even when these segments decrease indefinitely in an absolute sense or relative, remaining in a single unit *). i) II teor. i) The theorem. g, 121 dice che la pura grandezza numerica non è ancora la grandezza intensiva. g, 121 says that the sheer numerical size is still not the intensive quantity. Le definizioni di grandezza estensiva ed intensiva di H. The definitions of extensive and intensive magnitude of H. Grassmann sono in fondo analoghe alle nostre, sebbene quelle di Grassmann siano oscure. Grassmann are basically similar to ours, although those of Grassmann are obscure. Egli dice: (Ausdeh. Leh. 1844 p. XXIV) La gran- dezza Intensiva è ciò che è generato dall'uguale, mentre la grandezza estensiva è generata dal di- verso . He says: (Ausdeh. Leh. P 1844. XXIV) The great-ness is what has generated intensive dall'uguale, while the magnitude is generated by a broad-verse. È un linguaggio tanto più oscuro in quanto egli non ha ben spiegato prima i concetti dell'uguale e del diverso, ma chiarisce il suo concetto, quando dice che la linea geometrica essendo una grandezza estensiva si può riguardare come una grandezza intensiva facendo astrazione^ dal come sono posti i suoi elementi (punti). It is a language so obscure as he has clearly explained before the concepts of equal and different, but clarifies the concept when he says that being a size extensive geometrical line may be regarded as an intensive quantity in abstraction from ^ are placed as its elements (dots). Ma egli per elemento (p. XXVII) intende una parte indefinitamente piccola (vedi nota 3 n. 97) non come da noi un ente che non è parte del continuo nel senso del teor. But he per element (p. xxvii) any part infinitely small (see note 3 n. 97) by us not as an entity that is not part of the continuous in the sense of the theorem. dì 105 (oss. I, 76 e oss. IV, 105) sebbene ne possa avere in sé (def. i, 57). day 105 (oss. I, 76 and oss. IV, 105) although they may have in itself (def. i, 57). Secondo noi però bisogna dire che il primo carattere o contrassegno della linea come delle altre figure geometriche, è la diversità di posizione dei suoi punti e quindi la sua grandezza estensiva (def. i); ma la linea non è soltanto una grandezza estensiva perché ha anche una grandezza intensiva. In our view, however, it must be said that the first character of the mark or line like other geometric figures, is the diversity of positions of its points and hence its extensive size (def. i), but the line is not just a size because it has extensive also an intensive quantity. E da osservare poi che per Grassmann la grandezza estensiva e intensiva sono continue (Vedi nota sud- detta) mentre le nostre definizioni valgono anche per le forme discrete. And then observe that the Grassmann its extensive and intensive are continuous (see footnote south-called) while our definitions also apply to discrete forms.
Page 181 Page 181CAPITOLO Vili *) Numeri reali, relativi e assoluti, positivi e negativi. CHAPTER VIII *) Real numbers, relative and absolute, positive and negative. i. the. Verso positivo e negativo della, forma fondamentale Segmenti positivi e negativi Criterio di confronto fra gli uni egli altri Convenzione dei segni + e , 112. Towards positive and negative, positive and negative basic shape segments criterion of comparison between one of the signs + he other Convention and, 112. Oss. Oss. I. I. Dati due segmenti (AB) e (A'B)^ indipendentemente dalla forma fon- damentale in cui sono situati, se (AB) contiene una parte identica ad (A'1?) si ha: (AB) (AB1), (A'B') (AB) (def. I, II, 61) e poiché (A'B1) = ( A) (g, 99 opp, e, 104) si ha pure (AB) (B'A) (def, II, 61). Given two segments (AB) and (A'B) ^ regardless of the form fon-damental where they are located, if (AB) contains a part identical to ('1?) We have: (AB) (AB1), ( A'B ') (AB) (def. I, II, 61) and because (A'B1) = (A) (g, 99 opp, and, 104) there is also (AB) (B'A) ( final, II, 61). Con questo criterio di maggiore e di minore, come con quello d' identità assoluta non si considerano le relazioni delle forme in un tutto qualunque a cui possono appar- tenere, ma si considerano separatamente in sé (ad es . oss. Ili, 58 ea, 61). With this criterion of major and minor, as with that of 'identity is not absolute, we consider the forms in which they can belong to any all-hold, but are considered separately in itself (eg. Oss. Ill, 58 and , 61). Così se si tratta di due segmenti di forma fondamentale. Thus in the case of two segments of the fundamental form. Ciò non significa che il concetto di maggiore e di minore e quello di identità non dipendano dall* ordine delle parti delle forme stesse che si confrontano e quindi dei loro elementi, ma significa che riguar- dano soltanto il loro ordine in sé, e non in relazione ad altre forme cui apparten- gono. This does not mean that the concept of major and minor and do not depend on the identity by * order of the parts of the forms that are compared and then of their elements, but it means that concerning him only the order itself, and not in relation to other forms which belong conglomerate. È se anche (AB) e (A E1) appartengono ad una medesima forma fondamentale, se sono identici lo sono indipendentemente dal verso del sistema, in base al principio 6 del n. It is also if (AB) and (A E1) belong to a same basic form, if they are identical regardless of the direction of the system, according to the principle 6 of the n. 60. 60. Ma se vogliamo che sia contrassegno dei segmenti nella forma fondamentale anche il verso della forma in cui sono percorsi, noi evidentemente facciamo una restrizione al concetto d'identità dei due segmenti considerati separatamente, e al con- cetto di maggiore e di minore, attribuendo ad essi un contrassegno che ad essi, con- siderati in sé medesimi, non spetta, cioè la posizione o T ordine relativo ad elementi fuori di essi 2). But if it is to mark segments even in the basic form of the verse form in which they are crossed, we evidently do a restriction on the concept of identity of the two segments considered separately, and to the concept of major and minor, by giving them a marking to them, with-siderati in itself the same, it is not, ie, the relative order position or T to elements outside them, 2). Bisogna vedere come può modificarsi il criterio di maggiore e di mi- nore nel confronto di segmenti di verso opposto, senza contraddire al criterio suddetto che in tal caso deve valere per i segmenti in un verso dato della forma 3). You have to see how it can change the policy of major and mi-nore in the comparison of segments in the opposite direction, without contradicting the above criteria, in that case should apply to the segments in one direction because of the form 3). Def. Def. I. I. Un verso qualunque dato della forma fondamentale e nel quale vale il criterio di maggiore e di minore già stabilito (def. I, II, 61) lo chiameremo verso positivo, mentre chiameremo verso negativo il verso opposto. A key to any given shape and in which is the criterion of greater or less already established (def. I, II, 61) we will call the positive direction, while we call the opposite direction towards the negative. I segmenti 1) Di questo Gap. The segments 1) of this Gap. non facciamo alcun uso nei fondamenti della geometria. do not use any of the foundations of geometry. 2) È questo in fondo che si fa colla definizione deli1 uguaglianza di due figure geometrìche me- diante l'idea intuitiva del movimento senza deformazione nello spazio 53 (o sn ) (Vedi pref- e ad es. parte i, cap. i.). 2) It is in this fund that is done with the definition deli1 equality of two geometrical figures by means me-the intuitive idea of motion without deformation space 53 (or left) (See eg pref-e. Part i, chap. I. ). 3} vedi oss. 3} see oss. IV. IV.
Page 182 Page 182182 percorsi nel primo verso li chiameremo positivi, negativi quelli percorsi in verso contrario. 182 locations in the first verse we call them positive, negative ones in the opposite paths. Def. Def. IL Quando diremo che due segmenti sono in valore assoluto uguali o disuguali intenderemo di riferirci sempre al criterio già stabilito indipenden- temente cioè dal verso della forma in cui sono percorsi. THE When we say that two segments are equal in absolute value or unequal always shall understand to refer to the policy already established that regardless of the direction of the form in which they are covered. Oss. Oss. II. II. A partire dunque da un elemento A nel verso positivo non vi è che un solo segmento (AB), e gli altri segmenti in questo verso sono a partire da A mag- giori o minori di (AB) (e. 65, c1. 68; , 73). Starting therefore from an element A in the positive direction there is only one segment (AB), and the other segments in this direction are from May-A greater or smaller than (AB) (e. 65, c1. 68 ;, 73). Def. Def. III. III. Nel confronto di segmenti positivi e negativi teniamo fermo il criterio che se ad un segmento dato a, si sommano due segmenti bee positivi o negativi, e che i segmenti risultanti sono positivi e l'uno maggiore dell'altro; dei due segmenti ee è maggiore quello che da il risultato maggiore (/", 73). a. I segmenti negativi sono minori dei segmenti positivi; e di due segmenti negativi in confronto coi positivi è maggiore quello che in senso assoluto è minot^e. Sia dato il segmento (AB) nel verso positivo e si aggiunga ad esso nello stesso verso un segmento (BC) qualunque; si avrà: (AC) (AB) (def. I, 61). Se invece si ha un segmento (BC) di verso opposto e in senso assoluto minore di (AB), in modo cioè che C' sia contenuto in (AB) ( , 36 e c', 68) si avrà: (AC'X(AB) (def. I, 61). e quindi pel criterio stabilito (def. Ili) (BC) (BC) sebbene in senso assoluto (BC) possa essere maggiore di (BC). AI c" A a B c Sia invece un segmento (BC') in valore assoluto maggiore di (AB) e di- retto nel verso negativo in modo dunque che A sarà contenuto nel segmento (C"B) (b, 36; def. I, 62 ec\ 68). Scegliamo un segmento (A^B) nel verso positivo che contenga C".Se i segmenti (BC), (BC), (BC') si suppongono aggiunti al seg- mento positivo (AìB) si ha: (AC') (AC) (AC). Il teorema è dunque dimostrato (def. III). Oss. III. Coi simboli + (AB), ( (BA)) o semplicemente (AB) s'intende lo stesso segmento (AB) percorso da A verso B (c, 77). Conv. L Conveniamo ora rispetto al verso positivo e negativo della forma che (AB) o + (AB) debba essere percorso da A a B nel verso positivo, e se (AB) è accompagnato dal segno sia percorso sempre, nel verso negativo. Dimodoché i segmenti uguali ad (AB) e che hanno nella forma per estremo ciascuno A (a1, 70) si indicano, quello percorso nel verso positivo con + (AB) In comparison to positive and negative segments keep stationary the criterion that if a given segment a, b and c are added together two segments of positive or negative, and that the resulting segments are positive and one greater than the other; of the two segments is greater ee that from the greater (/ ', 73). a. negative segments are smaller segments of positive, negative and two segments in comparison with the positive is greater than that in an absolute sense and is minot ^. Consider the segment ( AB) in the positive and add to it in the same direction a segment (BC) any; we will have: (AC) (AB) (def. I, 61). If instead it has a segment (BC) in the opposite direction and in an absolute sense less than (AB), in such a way that is, C 'is contained in (AB) (, 36 and c', 68) we have: (AC'X (AB) (def. I, 61). and then PEL criterion established (final Ill) (BC) (BC), although in an absolute sense (BC) can be greater than (BC). AI c "A to B c Both instead a segment (BC ') in absolute value greater than ( AB) and of cancer in the negative direction in such a way so that A will be contained in the segment (C "B) (b, 36; final. I, 62 c \ 68). choose a segment (A ^ B) in the positive direction that contains C ". If segments (BC) (BC) (BC ') are supposed to be added to the segment positive (AIB) has: (AC') (AC) (AC). The theorem is therefore proved ( final. III). Oss. III. With the symbols + (AB), ((BA)) or simply (AB) means the same segment (AB) path from A to B (c, 77). Conv L agree hours relative to the direction of the positive and negative form (AB) or + (AB) should be path from A to B in the positive direction, and if (AB) is accompanied by the sign path is always, in the negative direction. So that the equal segments to (AB) and which have in the extreme form for each A (a1, 70) are indicated, that path in the positive direction with + (AB)
Page 183 Page 183183 0 (AB) e Taltro col simbolo (AB). 183 0 (AB) and Taltro with the symbol (AB). Ma se si vuole che (AB) e (AB) indi- chino lo stesso segmento, (AB) indica precisamente che il segmento è per- corso nel verso negativo cioè da B verso A. But if you want that (AB) and (AB) indicate that bent the same segment (AB) specifically indicates that the segment is over-in the negative direction ie from B to A. Oss. Oss. IV. IV. Considerando il sistema semplicemente omogeneo in un dato verso (def. I, 68) e non il sistema identico nella posizione delle sue parti (def. I, 70) potremmo stabilire delle considerazioni analoghe rispetto ai segmenti positivi e negativi, pur essendo essi diretti nel medesimo verso. Considering the homogeneous system simply in a given direction (def. I, 68) and not the system is identical to the position of its parts (def. I, 70) could establish similar considerations with respect to positive and negative segments, although they direct the same direction. Supposta per maggiore semplicità la forma aperta, un elemento A la divide in due parti (e, 63). Suppository for greater simplicity the open form, an element A divides it into two parts (and 63). La parte ove si trovano tutti gli elementi a partire da A nel verso del sistema si chiama positiva, negativa r altra. The part where you find all the elements from A in the direction of the system is called positive, negative r other. Cosi a partire da un' origine A abbiamo dei segmenti positivi e negativi; ad es. Thus starting from a 'origin A of the segments have positive and negative; eg. se (AB) è positivo significa che B è situato dalla parte positiva rispetto ad -4, o che è secondo estremo del segmento nel verso del sistema a partire da A ; se è negativo significa che B è nella parte negativa o che è primo estremo del segmento nel verso dato rispetto ad A. if (AB) is positive means that B is located on the positive side than -4, or which is the second endpoint of the segment in the direction of the system from A and if negative it means that B is in the negative or that is the first extreme segment in the direction given with respect to A. E se riteniamo come contrassegno dei segmenti il fatto che sono dalla stessa parte o da parte opposta rispetto ad A, i due segmenti (B'A) = (AB) diretti nello stesso verso del sistema ed identici ad un segmento dato ( ', 69), non sono più uguali, come avviene col metodo precedente per due segmenti (AB) e (AB1^ tali che (B'A)^ (AB) a partire da B nel verso del sistema. Ma poiché le parti positive a partire da due elementi A e B hanno una parte comune, cioè tutta la parte B... a partire da B nel verso dei sistema se A è primo elemento in questo verso, così possiamo parlare di parte positiva o negativa della forma senza che vi sia ambiguità intorno ai segmenti positivi e negativi rispetto ad un dato elemento come origine, qualora sia dato il verso del sistema; mentre poi 1 segmenti vanno sempre in tal caso considerati nel medesimo verso. I due metodi si distinguono dunque per questa proprietà, poiché nel primo me- todo i segmenti negativi sono diretti in verso opposto ai positivi. Questa os- servazione basta a dimostrare, come meglio si vedrà in seguito, che la teoria dei numeri negativi e positivi è indipendente dalla proprietà caratteristica del sistema iden- tico nella posizione delle sue parti; la quale però si presta meglio per enunciare le proprietà stesse dei segmenti positivi e negativi. 2. Numeri negativi e positivi Operazioni fondamentali dei numeri positivi e negativi interi. 113. Oss. I. Se si considera la scala di unità (AA^ sulla forma fondamentale in uno e nell'altro verso e le scale di unità infinite, infinitesime rispetto all'unità fon- damentale (AAJ e di origine fondamentale A (def. VII, 97) gli estremi dei segmenti consecutivi uguali alP unità in uno e nell'altro verso rappresentano i numeri della classe (II), supposto che Punita (AAI) rappresenti l'unità 1 del numero. Def. L Come abbiamo distinto nel numero precedente i segmenti della forma in positivi e negativi, e quelli percorsi nel primo verso accompagnati dal segno -f- e quelli del verso opposto col segno (conv. I, 112), così corri- spondentemente ai segmenti positivi e negativi dobbiamo distinguere i numeri che indicano i primi da quelli che indicano i secondi, chiamando i primi nu- meri positivi ei secondi numeri negativi^ accompagnandoli coi segni -f- e , e chiudendoli quando occorra fra parentesi. Si pone cioè : And if we consider as a mark of the segments that are on the same side or on the opposite side with respect to A, the two segments (B'A) = (AB) directed in the same direction of the system and identical to a given segment (', 69 ), are no longer equal, as is the case with the previous method for two segments (AB) and (AB1 ^ such that (B'A) ^ (AB) from B in the direction of the system. But since the positive parts from two elements A and B have a common part, ie the whole part B. .. from B in the direction of the system if A is first element in this direction, so we may speak of positive or negative part of the form without any ambiguity segments around the positive and negative with respect to a given element as the origin, if it is given to the system; while then 1 segments are always in this case considered in the same direction. The two methods therefore are distinguished for this property, since in the first Me - todo segments are direct negative to positive in the opposite direction. this observation is enough to show, as will be seen later, that the theory of positive and negative numbers is independent of the characteristic properties of the system iden-tico in the position of its parties, which, however, lends itself best to state the same properties of positive and negative segments. 2. negative and positive numbers Basics of positive numbers and negative integers. 113. Oss. I. If we consider the scale of units (AA ^ the fundamental form in one and the other way and drive endless stairs, infinitesimal compared to unity fon-damental (AAJ and fundamental source A (def. VII, 97) the ends of consecutive segments in one and the same units AlP another to represent the numbers of the class (II), assuming that Punished (AAI) represents the number of unit 1. Def. L As we have described in the previous segments in the form of positive and negative, and those paths in the first to be accompanied by the sign-f-e with those of the opposite sign (conv. I, 112), thus corre-Corresponding to the segments we have to distinguish between positive and negative numbers indicating the first from those that indicate the latter, calling the first nu - mere seconds positive and negative numbers with accompanying signs ^-f-e, and closing them when necessary in parentheses. ie arises:
Page 184 Page 184184 E siccome abbiamo distinto i numeri della classe (II) da altri possibili chia- mandoli interi (def. V, 91), la serie dei numeri interi positivi è quindi -fi, +2, +3.... And because we have 184 distinct numbers of the class (II) from other possible call-mandolin integer (def. V, 91), the set of positive integers is then-fi, +2, +3 .... oppure anche 1 2 3.... or even 1 2 3 .... ,.... , .... (II) e quella dei numeri negativi 1, -2, -3.... (II) and that of the negative numbers 1, -2, -3 .... --9,.... - 9, .... (HJ Def. IL Per valore assoluto di un numero come di un segmento della forma fondamentale (def. II, 112) s'intende il numero stesso, indipendentemente dal segno. Quindi i numeri della classe (II) (91) si chiamano anche numeri as- soluti, quando non si fa, come non si è fatta fin qui, alcuna distinzione fra numeri positivi e negativi. a. Nel confronto fra i numeri positivi .e negativi, i numeri negativi sono tutti minori dei numeri positivi, e di due numeri negativi è maggiore quello che in valore assoluto è minore (a, 112). Si ha per es. -7 3 essendo 7 3 a'. Cambiando i segni + e fra loro, il segno si cangia nel segno . b. Le due classi di numeri positivi e negativi sono separate dal numero zero. L'origine A fondamentale della scala è l'elemento di separazione delle due scale di segmenti positivi e negativi a cominciare da A, e rappresenta il segmento nullo sia in uno come nell'altro verso (oss. I ea, 76). Oss. li. Dalla definizione stessa risulta che le operazioni coi segmenti positivi e negativi (def. I, 112) ci danno le operazioni coi numeri positivi e negativi. e. Se b è un numero qualunque, si hai =-_( ). Ad es. (BC) = (CB) (c\ 77) perché se (BC) rappresenta il numero 6, (CB) rappresenta b, essendo (CB) = (BC) indipendentemente dal verso della forma fondamentale. Oss. III. In relazione all'osa. IV del num. 112 se (B'A) = (AB) è identico al- l'unità, B rappresenta il numero 1 o +1, I? il numero 1 o ( 1) rispetto ad A. In tal caso per dimostrare il teor. e non si può ricorrere al teor. (CB)=(BC), ma basta os- servare che (CB) è lo stesso segmento (BC) riferito invece all'elemento C come ori- gine, e che quindi rappresenta il numero b. 114. Addizione e sottrazione. a. V addizione e la sottrazione dei numeri interi negativi si eseguisce come se fossero numeri assoluti dando al risultato il segno . L'addizione di più numeri positivi o negativi viene rappresentata dalla addizione di più segmenti consecutivi a partire dall1 origine del verso positivo (HJ Res. IL To the absolute value of a number as a key segment of the form (def. II, 112) means the number itself, regardless of the sign. So the numbers of the class (II) (91) are also called numbers as-solutes, when you do, you have not done so far, no distinction between positive and negative numbers. a. In the comparison of positive numbers. and negative, negative numbers are all children of positive numbers, and two negative numbers is greater than that in absolute value is lower (, 112). It has for example. -7 7 3 3 being a '. changing the signs + and between them, it changes its sign in the sign. b. The two classes of positive and negative numbers are separated by the number zero. The origin A fundamental of the scale is the element of separation of the two scales of positive and negative segments starting from A, and represents the segment is in a null as in ' other hand (and I oss., 76). Oss. them. From the very definition that the transactions with positive and negative segments (def. I, 112) give us the operations with positive and negative numbers. and. If b is a any number, will have-_ = (). Eg. (BC) = (CB) (c \ 77) because if (BC) represents the number 6, (CB) is b, being (CB) = (BC) regardless of the direction of the fundamental form. Oss. III. In relation to OSA. IV of the num. 112 if (B'A) = (AB) is identical to the unit-, B represents the number 1 or +1, I ? the number 1 or (1) with respect to A. In this case, to demonstrate the theor.. and can not be used to theor.. (CB) = (BC), but enough to preserve that os-(CB) is the same segment ( BC) refers instead to the element C as the origin, and therefore represents the number b. 114. addition and subtraction. to. V addition and subtraction of the negative integers it executes as if they were absolute numbers giving the result the sign . The addition of more positive or negative number is represented by an addition of more consecutive segments starting dall1 origin of the positive direction
Page 185 Page 185185 o negativo (def. VII, 62 e conv* I, 01) e che contengono P unità di misura tante volte quante sono le unità dei numeri corrispondenti. 185 or negative (final VII, 62 and conv * I, 01) and which contain P unit as many times as are the units of the corresponding numbers. La sottrazione di due numeri positivi ad es. The subtraction of two positive numbers eg. 3 da 7 è rappresentata da una sottrazione di segmenti diretti nel medesimo verso, oppure da un'addizione di due segmenti diretti in verso opposto (def. I, 77). 3 from 7 is represented by a subtraction direct segments in the same direction, or by an addition of two segments directed in the opposite direction (final I, 77). E poiché si ha: 7-3 = 4 (1) il segmento risultante a partire dalP origine nel verso positivo rappresenta il numero 4 (oss. II, SO). And since we have: 7-3 = 4 (1) the segment resulting from dalP origin in the positive represents the number 4 (oss. II, SW). Se si fa la sottrazione nel verso negativo si deve avere -7 + 3 = -4 (2) perché il segmento risultante è uguale in valore assoluto al primo (def. II, 112), ed è diretto nel verso opposto. If the subtraction is made in the negative direction is to be had -7 + 3 = -4 (2) because the resulting segment is equal in absolute value to the first (def. II, 112), and is directed in the opposite direction. b. b. Si può eseguire la sottrazione di un numero positivo da un numero mi- nore; il numero risultante è uguale alla differenza del minore dal maggiore preceduto dal segno . You can subtract a positive number from a number I-nore, the resulting number is equal to the difference of the child by Major preceded by the sign. Se i numeri sono ambidue negativi il risultato va accompagnato col segno -}-. If the numbers are negative ambidue the result should be accompanied with the sign -} -. Egli è possibile di togliere un segmento maggiore da un segmento mi- nore in valore assoluto, e si ottiene un segmento che è uguale alla differenza del primo dal secondo nel verso del maggiore {def. He is possible to remove a segment increased by a segment I-nore in absolute value, and is obtained by a segment which is equal to the difference of the first from the second in the direction of greater {def. I, def. I, def. II, 77). II, 77). Se il segmento minore (AB) rappresenta il numero 3 e quello maggiore (BC) il numero 7, il segmento (AC) rappresenta a partire da A, (AB) (BC) = (AC), il numero 4. If the minor segment (AB) represents the number 3 and the major one (BC) the number 7, the segment (AC) is starting from A, (AB) (BC) = (AC), the number 4. Si ha dunque da (3) E se (AC) e (BC) sono diretti nel verso negativo (-8) -(-7) -4 (4) od anche e. We thus have by (3) And if (AC) and (BC) are directed towards the negative (-8) - (-7) -4 (4) or even e. Sottrarre da un numero positivo o negativo a un numero positivo (o nega- tivo) b equivale a sommare al numero a il numero b (ob). Subtract a positive or negative to a positive (or nega-tive) b is equivalent to adding the number to the number b (b). Si ha infatti (AC) - (BC) = (AC) + (CB) = (AC) + (-(BC)) (e", 77) ( a) - ( b) = ( a) + (+b) = ( a) + (-( 6)) e ricordando che (-fa) = -h# = a, ( a) = a (def. I) si ha: ( ) : a + b =s : It has in fact (AC) - (BC) = (AC) + (CB) = (AC) + (- (BC)) (e ", 77) (a) - (b) = (a) + (+ b ) = (a) + (- (6)) and recalling that (-fa) =-h = # a, (a) = a (final I) we have: (): a + b = s:
Page 186 Page 186186 d. 186 d. L'addizione e la sottrazione dei numeri positivi e negativi sono soggette alla legge commutativa, cioè: perché ciò avviene anche per i segmenti della forma fondamentale che rap- presentano questi numeri (e, 99 ed a, 104.) Si ha veramente: ma 6 -f ( a) = ba (e) dunque de Se ai membri di un'uguaglianza di numeri interi si aggiunge o si toglie lo stesso numero si ottengono numeri uguali (a', 78). Addition and subtraction of positive and negative numbers are subject to the commutative law, namely: why it occurs even for segments that represent the fundamental form-submit these numbers (and, 99 and a, 104.) It has really, but 6-f (a) = b (e) If, therefore, of the members of an equality of integers is added or removed the same number you get the same numbers (a ', 78). f. f. Vi è uno ed un solo nwnero x tale che soddisfa l'uguaglianza b oc = a qualunque siano i numeri bea (6, 78). There is one and only one nwnero x such that satisfies the equality b or c = a whatever the numbers bea (6, 78). 115. 115. Moltiplicazione. Multiplication. De/'. De / '. I. I. L' operazione con cui si ottiene il multiplo (AC) tj = (AD) di un seg- mento (AC) nel verso positivo secondo il numero 1? The 'operation which results in the multiple (AC) = tj (AD) of a segment (AC) in the positive direction according to the number 1? intero (def. I, 79 e def. I, 92). integer (def. I, 79 and final. I, 92). dal segmento (AC), si chiama moltiplicazione del segmento (AC) pel numero 73; (AD) prodotto, (AC) moltiplicando e 17 moltiplicatore. by segment (AC), is called the multiplication of the segment (AC) for the number 73; (AD) product, (AC) and multiplying the multiplier 17. Il prodotto si indica anche col segno X essendo questo il segno della moltiplicazione adoperato pei numeri della serie (I) (46 e 52) cioè: (AC)Xrì=(AD) (6,9) (1) Oss. The product is indicated with an 'X' as this is also the sign of the multiplication of series used pei (I) (46 and 52) that: (AC) = XRI (AD) (6.9) (1) Oss. I. I. Si è trovato f*X^ = ?X]E* ( 52 ed i, 93). It has been found f * X ^ =? X] E * (52 and, 93). Se p è rappresentato dal seg- mento (AC) per la relazione suddetta possiamo rappresentare il multiplo di (AC) se- condo il numero ti col simbolo i\ (AC). If p is represented by segment (AC) for the relationship that we can represent the multiple of (AC) according to the number you with the symbol \ (AC). a. a. Il prodotto di due numeri interi positivi è un numero positivo. The product of two positive integers is a positive number. Difatti il segmento (AC) è diretto nel verso positivo, e se tj è positivo, il segmento (AB) è pure diretto nel verso positivo. In fact, the segment (AC) is directed in the positive, and if tj is positive, the segment (AB) is also directed in the positive. Def. Def. IL Prendere ij volte un segmento (AC) significa considerare il mul- tiplo di (AC) secondo il numero ij nel verso opposto di (AC). Take IL ij times a segment (AC) means considering the multi-tiplo (AC) according to the number of ij in the opposite direction (AC). b. b. Il prodotto di un numero intero positivo per un numero intero negativo è negativo e il prodotto non cambia mutando i fattori. The product of a positive integer for a negative integer is negative and the product does not change by changing the factors. Se si prende il segmento (CA)ij volte nel suo verso a partire da C che è negativo, si ha: - (AC)Xv = -(AD) (2) ma riguardando (AC) come unità, all'estremo D corrisponde il numero ( ^ on) (def. I, 113), quindi possiamo dire che prendiamo ( -rì) volte la parte (A(?) positiva da A verso C (def. II), e perciò si ha : (AQX(-fl)=-UD) (3) donde - (AC) X h =) (AC) X (- 9) (bf 9) (4) Sostituendo ad (AC) il numero p che rappresenta si ha: qsvd(5) If you take the segment (CA) ij times in his verse starting from C that is negative, we have: - (AC) Xv = - (AD) (2) but covering (AC) as a unit, D corresponds to the extreme the number (^ on) (def. I, 113), then we can say that we take (-n) times the part (A (?) positive from A to C (final II), and therefore one has: (AQX ( -fl) =-UD) (3) whence - (AC) X = h) (AC) X (- 9) (9 bf) (4) Substituting in (AC), which represents the number p we have: qsvd (5 )
Page 187 Page 187187 c. 187 c. Il prodotto di due numeri negativi, è positivo ed è indipendente dall'or- dine dei fattori. The product of two negative numbers is positive and is independent of the factors by OR-dine. Consideriamo il segmento (CA) di verso negativo da C verso A, e pren- diamolo 15 volte; vuoi dire che dobbiamo considerarlo tj volte nel verso op- posto ad esso (def. II), ossia nel verso positivo, e quindi il risultato è identico a quello che si ottiene prendendo il segmento (AC) a partire da A t\ volte nel verso positivo; si ha cioè: Sostituendo ad (AC) il numero fi si ha : (6') 116. Consider the segment (CA) of the negative direction from C to A, and write this let us give 15 times; mean that we must consider times tj in the direction op-place to it (final II), ie in the positive direction, and then the result is identical to that which is obtained by taking the segment (AC), starting from A t \ times in the positive direction; you namely: Substituting to (AC) the number fi we have: (6 ') 116. Diinsione. Diinsione. Def. Def. L L'operazione inversa della moltiplicazione colla quale dal prodotto di un segmento per un numero intero tj ad es. L The reverse operation of the multiplication with which from the product of a segment for an integer tj eg. (AC)XiJ = CA#) si ottiene il numero ij o il segmento (AC) si chiama divisione; ed il risultato nel primo caso corrisponde al rapporto di (AD) ad (AB) ed è la misura del rapporto ) ^ (def, IV, 106), e nel secondo si chiama quoziente. (AC) = CA # Xij) is obtained the number ij, or the segment (AC) is called division; and the result in the first case corresponds to the ratio of (AD) to (AB) and is the measure of the ratio) ^ (final , IV, 106), and the second is called the quotient. (AC) Nel secondo caso scriveremo: (AC)=E(AD): , (1) (AD) si chiama dividendo, TQ divisore. (AC) In the second case we write: (AC) = E (AD), (1) (AD) is called the dividend, divisor TQ. Si ha: = (AD) : y ((def. n, 79 e def. II, 92 ; 6, 9). Sostituendo ad (AC) e (AD) se sono positivi i loro numeri corrispondenti, si ha da (1) lL=zpXw (2) e quindi anche ^ = ^Xf*:|* (2') Se (AC) e (AD) sono negativi, essi rappresentano i numeri negativi /A, (f*Xl e si ha da (I) -f* = -(/*X^; -u=-OjXf*):p (3) e analogamente Da $$=1 ((AD) e (Appositivi) (4) si ha invece : e analogamente We have: = (AD): y ((def. n, 79 and final. II, 92, 6, 9). Substituting for (AC) and (AD) if their corresponding numbers are positive, we have from (1 ) lL = zpXw (2) and therefore ^ = ^ Xf *: | * (2 ') If (AC) and (AD) are negative, they represent negative numbers / A, (f * Xl and has ( I)-f * = - (/ * X ^;-u =-OjXf *): p (3) and similarly from $ $ = 1 ((AD) and (Appositivi) (4) there is, instead: and similarly
Page 188 Page 188188 E se consideriamo (AC) e (AD) nel verso negativo, da (2) del n. 188 And if we consider (AC) and (AD) in the negative direction, from (2) of n. 115 si ha: Dalla (6) del n. 115 we have: From (6) of n. 115 si ha: (CA)E=(AD):(-rì (7) da cui e dalla (7), se (AC) e (AD) sono diretti nel verso positivo, si ha: -n ed anche Se (AC) e (AD) sono diretti nel verso negativo si ha, scambiando fi con -f) (9) Così dalla (7') considerando (AD) e (AC) nel verso positivo (10) Se sono diretti nel verso negativo (11) Dalle forinole (2') e (9'), (3) e (8') si ha: a. 115 we have: (CA) = E (AD): (-ri (7) from which and from (7), if (AC) and (AD) are directed in the positive, we have: n-and even if ( AC) and (AD) are directed towards the negative is, exchanging fi-f) (9) Thus, from (7 ') considering (AD) and (AC) in the positive direction (10) If you are headed in the negative direction ( 11) From forinole (2 ') and (9'), (3) and (8 ') one has: a. Se nella divisione di due numeri interi si muta il segno al dividendo e al divisore il quoziente non muta di segno. If the division of two integers is changing the sign of the dividend and the divisor the quotient does not change sign. Dalle forinole (2'), (9'), (3) e (8') si ha : b. From forinole (2 '), (9'), (3) and (8 ') we have: b. Se il dividendo e il divisore hanno lo stesso segno il quoziente è positivo ; se sono di segno contrario il quoziente è negativo. If the dividend and the divisor have the same sign, the quotient is positive, if they are of opposite signs the quotient is negative. Dalle forinole (2) e (5); (3) e (11'); (6') e (9); (8) e (10) si vede che pei numeri interi il segno : può esser sostituito dal segno del rapporto, o in altre parole: (AC) e. From forinole (2) and (5), (3) and (11 '); (6') and (9); (8) and (10) we see that the sign pei integers: may be replaced by the sign of report, or in other words: (AC). Il rapporto ~j-~ corrisponde ad una divisione di due numeri se (AC) e (AD) (AD) rappresentano come qui si suppone, numeri interi e divisibili fra loro. The ratio ~ j-~ corresponds to a division of two numbers if (AC) and (AD) (AD) is supposed to represent as here, integers divisible between them.
Page 189 Page 189189 3. 189 3. Numeri frazionar! Numbers frazionar! e loro operazioni fondamentali. and their fundamental operations. 117. 117. Oss. Oss. I. I. Il simbolo (AG) - - significa che il segmento (AG) fu diviso in ti parti ti uguali e si è formato il segmento (AH) che contiene p delle tf^ parti di (AG) ( , 99 opp. d, 103). The symbol (AG) - means that the segment (AG) was divided into equal and you will share the segment was formed (AH) that contains p ^ tf of parts of (AG) (, 99 opp. D, 103) . Def. Def. I. I. Se (AC) è preso come unità, il segno - indica il segmento (A ) nel verso di (AC), e siccome i numeri fin qui considerati indicano pure i seg- menti della forma fondamentale a partire da A, così chiameremo i segni numeri frazionaria mentre gli altri delle classi (I) (II) li abbiamo chiamati nu- meri interi (def. V, 91). If (AC) is taken as a unit, the - sign indicates the segment (A) in the direction of (AC), and since the numbers considered so far also indicate the segments of the basic form from A, so we'll call signs fractional numbers while the other classes (I) (II) we call them nu-mer integer (def. V, 91). IA si chiama numeratàre, tj denominatore. IA is called the numerator, denominator, tj. E come abbiamo numeri interi positivi e negativi, così abbiamo numeri frazionar! And as we have positive and negative integers, so we frazionar numbers! positivi e negativi secondo che i segmenti che essi rappresentano sono diretti nel verso positivo o nel verso negativo (def. I, 112). positive and negative according to whether they represent the segments are directed in the positive or negative direction (def. I, 112). Oss. Oss. II. II. Il numero H - indica che si divide l'unità (AG) in t\ parti uguali e se ti ne prendono ( ft) (def. II, 115). The number H - indicates that the unit is divided (AG) in t \ equal parts and if you take it (ft) (def. II, 115). 11 numero significa che si divide (CA) in ti parti uguali e si considerano 17 f* di queste parti. 11 number means that you divide (CA) in equal parts and you are considered 17 f * of these parts. a. a. Il numero frazionario indica pure che Munita fu presa p, volte e il t) risultato fu diviso in i} parti uguali, (f, 99 opp. 6, 104). The fractional number also indicates that Fitted was taken p, times, and the t)} the result was divided into equal parts, (f, 99 opp. 6, 104). Oss. Oss. III. III. Limitandosi ad una sola unità basta considerare i soli numeri frazio- ni nari della forma * ove men sono numeri della serie (I) (46), b. Confined to a single unit is sufficient to consider only the fraction numbers of the form ni nari * where m and n are numbers of the series (I) (46), b. Il numero frazionario se ft e ij sono: ti 1 . The fractional number if ft and ij are: I 1. finiti o infiniti dello stesso ordine è finito ; 2 . finite or infinite of the same order is over 2. se ii è infinito di ordine ^ et\ è finito (od' ordine infinito o); op- pure se ti è infinito d'ordine ^, (ftl 13i) è infinito d'ordine ptl *ji 5 3 . ii if the order is infinite ^ et \ is finite (or 'infinite order o);-op even if you order ^ is infinite, (13th ftl) is infinite order ptl * ji 5 3. Se pt è finito e ij infinito d'ordine ^ oppure se p è anche infinito d9ordine ^ (ij, jtAi , il numero ^ è infinitesimo d'ordine ^ ^ ( , 105,). Osa. IV. Come Toperazione del sottrarre un numero maggiore da un numero mi- nore trova la sua piena giustificazione nella forma fondamentale (che è pure una forma astratta), così con l'aiuto di questa giustifichiamo l'operazione di dividere un numero minore per un numero maggiore. I/uguaglianza e le leggi che regolano le operazioni fondamentali coi numeri frazionari devono derivare, se sono pienamente determinati, dalla loro definizione e non è permesso allora di stabilirle arbitrariamente. e. Due numeri frazionari - -. -^- sono uguali se rappresentano lo stesso tj ti segmento della forma fondamentale o due segmenti identici. If pt is finite and infinite order ij ^ or if p is even infinite d9ordine ^ (ij, jtAi, the number is infinitesimal of order ^ ^ ^ (, 105). Osa. IV. Toperazione How to subtract a number of increased by a number I-nore finds its justification in the basic form (which is also an abstract form), so with the help of this justify the operation of dividing a smaller number for a larger number. I / equality and laws that regulate the basic operations with fractional numbers are to be derived, if they are fully determined, by their definition, and is not allowed then to establish them arbitrarily. and. Two fractional numbers -. - ^ - are equal if they represent the same segment of I tj fundamental form or two identical segments.
Page 190 Page 190190 Se si ha: (AB) = (AC) - - = (AC) -*V ( I) si ha tosto - - = - - (2) n TJ v ' Difatti se e -~- indicassero operazioni diverse, eseguendole in forme identiche dovrebbero dar luogo a forme non identiche ( vn, 60). If you have 190: (AB) = (AC) - = (AC) - * V (I) will soon have - = - (2) TJ n v 'Indeed, and if - ~ - indicating different operations, performing in identical forms should give rise to forms not identical (vn, 60). Pei numeri non abbiamo bisogno di considerare altra uguaglianza (oss. I, 9) useremo però lo stesso segno =* adoperato pei numeri interi e scriveremo: 5 d. Pei numbers do we need to consider other equality (oss. I, 9), however, we will use the same sign * = used pei and write whole numbers: 5 d. Due numeri fragionari -^- e -~- sono uguali se p if = i*' ij. Two numbers fragionari - ^ - and - ~ - if they are equal if p = i * 'ij. *2 if] Difatti dalla (1) si ha: - - fjt, r! * 2 if] For from (1) we have: - FJT, r! = (AC) p (6, ', ^, 79 opp. d; f, 92) ' e da cui f* lj' = JA 17. = (AC) p (6, ', ^, 79 opp. D, f, 92)' and from which f * lj '= JA 17. (C) J) 1) Stabilite le proprietà dell'uguaglianza (d, e, 8) e definito pienamente il numero frazionario, la condizione dell' uguaglianza di due numeri frazionar! (C) J) 1) Set the properties of equality (d, e, 8) and fully defined the fractional number, the requirement of 'equality of two numbers frazionar! deve risultare dalla loro definizione, vien detto anche, dopo aver premesse le suddette proprietà: Nel caso che il numero naturale a non sia divisibile per un altro aumero , esista uno ed un solo nuovo oggetto, che sarà indicato col simbolo a : o -j-, e soddisfa all'equazione: 6. must result from their definition, it is said also, after the premises the above properties: In the case that the natural number a is not divisible by another aumero, there exists one and only one new object, which will be indicated with the symbol to: or-j -, and satisfies the equation: 6. (a: ) = (a : 6). (A:) = (a: 6). 6 = a Poi, come seconda definizione : Due di questi oggetti a : , a'. 6 = a Then, as the second definition: Two of these objects:, to '. ' siano uguali quando a, b' = a*. 'Are equal when a, b' = a *. 6. 6. Stabilire che y- e -^- siano uguali senz'altra considerazione quando o 6' = ar , significa che pos- sono esserlo anche in altro modo, mentre, siccome i numeri interi si possono mettere sotto forma di numeri frazionar! Establish that y-and - ^ - are the same without further consideration when or 6 '= ar, means that may be are also in another way, while, since the integers can be put in the form of numbers frazionar! e formano conquesti la classe di numeri razionali, bisognerebbe almeno far vede- re che la condizione suddetta non contraddice a quella dell'uguaglianza dei numeri interi. conquesti and form the class of rational numbers, we should at least be re-sees that the above condition is not inconsistent with that equality of integers. Se -~ - - si considerano come simboli di uno stesso ente, allora come ~ oa: 6 si possono so- stituire nelle formolo l'uno all'altro, si può trovare la condizione affinchè indichino lo stesso ente o siano uguali ( , 9). If - ~ - are considered as symbols of the same entity, then as ~ or: 6-I know you can replace each other in formaldehyde, one can find the condition for you to indicate the same entity or are the same (, 9 ). Ponendo = a ; ( 1) essendo a un numero intero o frazionario si ha : * - ? Placing = a (1) being a whole number or fractional one has: * -? ab' fa\ Difatti sostituendo in -y al posto di a il simbolo jJ 6, si ha da (1) - a.. ab 'ago \ fact, by replacing in-y instead of to the symbol JJ 6, it has to (1) - at .. Se -g- = -^ri ossia se -j- p- indicano lo stesso ente si ha : a' a' -jr. If-g-= - ^ that is, if re-j-p-point to the same institution, we have: a 'to'-jr. 6= ae perciò da (8) -gr = o 6a' e per la (1) ~ ^ = a' = a6' aa' dunque se i due numeri -y , y indicano Io stesso ente, ossia se som uguali si ha: *a= a' (3) 6 inversamente se ha luogo la (3) i due nuovi numeri -p |- sono uguali. 6 = a and so by (8)-g or 6a = 'and for (1) ~ ^ = a' = a6 'aa' so if the two numbers-y, I y indicate the same entity, or if you have the same sum : * a = a '(3) 6 inversely if it takes place, (3) the two new numbers-p | - are equal. Difatti si ha da. Indeed it has. (3) (3)
Page 191 Page 191191 . 191. Qualunque siano pe ti positivi o negativi si ha: J-=WÌ ti ijft Difatti è verificato il teor. Whatever you eg positive or negative, we have: J =-WI will ijft fact the theorem is verified. e (b, 52). and (b, 52). d". I numeri - -, ^^-sono uguali. ( , 115; d) ^- d". d ". numbers -, ^ ^-are equal. (, 115 d) ^ - d". I numeri , - - sono uguali. The numbers - are equal. (e, 115; d) fi ^ Ind. I. (E, 115 d) fi ^ Ind. I. I numeri , li indicheremo anche col simbolo ------ . The numbers, also referred to them by the symbol ------. -nt) i\ 118. -Nt) i \ 118. Addizione e sottrazione. Addition and subtraction. Oss. Oss. J. J. 'Air addizione o sottrazione di due parti di un segmento della forma fon- damentale (72, 74) corrisponde l'addizione o la sottrazione dei due numeri frazionar! 'Air addition or subtraction of two parts of a segment of the fon-damental form (72, 74) corresponds to the addition or subtraction of two numbers frazionar! che servono ad indicarli rispetto al segmento dato come unità. which serve to indicate them with respect to the given segment as a unit. O in altre parole: Def. Or in other words: Def. I. I. Per addizione di due numeri frazionari intendiamo queir opera- zione colla quale si deduce il numero che rappresenta la somma o la differenza dei segmenti dei due primi numeri. By addition of two fractional numbers mean queir work-tion with which we deduce that the number represents the sum or difference of the segments of the first two numbers. Ind. I. Ind. I. La somma (AD) 4- (AD) -A- la indicheremo anche col simbolo a. The sum (AD) 4 - (AD)-A-also referred to by the symbol. (AD) JL + (AD) JL = (AD) ( JL + - ) (6, 9) +^+ (e, 117) ^ t! (AD) JL + (AD) = JL (AD) (JL + -) (6, 9) ^ + + (and, 117) ^ t! ^ ti ti J b. I will b ^ J. Per sommare o sottrarre due numeri frazionari collo stesso denominatore basta sommare o sottrarre i numeratori e dare al risultato per denominatore il denominatore comune. To add or subtract two numbers with the same fractional denominator simply add or subtract the numerators and denominator give the result for the common denominator. 6a' ba' ba' b'a =-^rb' ossia anche ab' = -rr-6' cioè a= -rr 0 O ovvero da (2) a = p- b o ancora ~ = gr Se invece -j- indica un oggetto, ed è questo oggetto che si chiama numero frazionario, mentre et a oc -j- è un segno di questo oggetto, allora si può definire questo oggetto coli' equazione -g- e = -g-(*) aa' L'operazione e è a senso unico e si eseguisce in un solo modo (4) e quindi se -g-, sono og- a' et a,' ti diversi ma uguali è eome se -gf fosse -g- (oss ili. 9), e P operazione e applicata all'oggetto -gr- in questo caso da un risultato uguale al primo (a"', 60), vale a dire e = -TP e. E se -~ ~~~ non OOOO sono uguali, -g- e, -^ e non sono uguali (a IV, 60). La stessa proprietà ha l'operazione inversa, e quindi da -ye =-gr e si ha: g- = gr (5). Per- aa' ciò come Drecedentemente si dimostra che se -g , = -g si ha ab' = a'6, e inversamente. Le proprietà (3) e (5) valgono anche pei segmenti (d, d', 79) seqza per questo che essi possano so- stituirsi sempre uno all'altro quando sono uguali. 6th 'ba' ba 'B'A = - ^ rb' or even ab '=-rr-6' that is, 0 = rr-O or by (2) a = p ~ = g-bo even If-j- indicates an object, and this object is called a fractional number, while j-et in c-is a sign of this object, then you can define this object coli 'equation-e =-g-g-(*) aa' The deal is one-way and executes in a single mode (4) and then if-g-, are ob-to 'et a,' you different but equal is if eome-g-gf was-(ili oss . 9), and P gr-operation and applied to the object-in this case by a score equal to the first ("', 60), ie e =-TP and. And if - ~ ~ ~ ~ OOOO no are equal, and-g-, - ^ and are not equal (to IV, 60). The same property has the reverse operation, and then from-y =-g and has: g =-g (5). Per-aa 'as this shows that if Drecedentemente-g =-g has ab' = a'6, and inversely. properties (3) and (5) also apply pei segments (d, d ', 79) seqza for this that they can know-stituirsi always one another when they are equal.
Page 192 Page 192192 Supponiamo ad es. 192 Suppose, for example. di avere i due segmenti (AB) e (BC) dello stesso verso tali che: (AB) = (AD) - - (BC)==(AD) - - In tal caso (AB) -f- (BC) = (AC) contiene p + p parti ) ' del segmento (AD), quindi Dunque: JL + J5L=:Jd L (e, 117) (1) ti 1) 11 Se invece (BC} è di verso opposto ad (AB) si ha per la stessa ragione (def. II, 77). Oss. II. Per sommare o sottrarre due numeri frazionari con differente denomina- tore basta moltiplicare numeratore e denominatore di ciascuno di essi pel denomina- tore dell' altro, senza alterare i numeri stessi fcT. 117), e applicare là regola suddetta. to have the two segments (AB) and (BC) of the same direction such that: (AB) = (AD) - (BC) == (AD) - In this case (AB)-f-(BC) = (AC) contains p + p parts) 'segment (AD), and therefore: = JL + J5L: Jd L (e, 117) (1) I 1) 11 If (BC} is opposite to (AB ) we have for the same reason (def. II, 77). Oss. II. To add or subtract two numbers with different fractional denominator, multiply numerator and denominator of each PEL denominator of 'another, without altering the numbers in the FCT. 117), and apply that rule there. e. and. Per l'addizione e la sottrazione dei numeri frazionari vale la legge commutativa e associativa. For addition and subtraction of fractional numbers is commutative and associative law. Difatti si ha sempre qualunque sia il verso di (AB) e di (AC), (AB) + (BC) = (BC) + (AB) (e, 99 oa, 104). In fact, it has always whatever the direction of (AB) and (AC), (AB) + (BC) = (BC) + (AB) (and, 99 or, 104). Come pure vale la legge associativa qualunque sia il verso in cui ven- gono percorsi i segmenti (dì 77). As well as the associative law applies irrespective of the direction in which twenty-Gono paths segments (day 77). 119. 119. Moltiplicazione. Multiplication. Def. Def. I. I. Se si ha il segmento (AB) -^- = (AD) diremo che (AD) è il risultato della moltiplicazione di (AB) pel numero frazionario - -. If one has the segment (AB) - ^ - = (AD) we will say that (AD) is the result of the multiplication of (AB) for the number fractional -. E per moltiplicazione di un numero intero o frazionario per un numero intero o frazionario intendiamo l'operazione colla quale si deduce il numero corrispondente al prodotto del segmento, rappresentante il primo numero, per il secondo. And for multiplication of an integer or fraction for an integer or fractional mean the operation with which we can deduce the number corresponding to the product of the segment, representing the first number, for the second. a. a. Per moltiplicare un numero frazionario per un numero intero^ o viceversa, si moltiplica il numeratore per il numero intero, e si da al risultato per deno- minatore quello del numero frazionario. To multiply a fractional number to an integer ^ or vice versa, you multiply the numerator by the integer, and gives the result for the denominator of the fractional number. Vale in tal caso la regola dei segni cfie vale per la moltiplicazione dei numeri interi. Applies in this case the rule of the signs CFIE is true for the multiplication of integers. Se il segmento positivo (AB) viene ripetuto /*' volte nel suo medesimo verso si ha: (AB)Xp=(AI ) (def. I, 79 o 92 e def. I, 115). If the segment positive (AB) is repeated / * 'times in his same direction we have: (AB) = Xp (AI) (def. I, 79 or 92 and final. I, 115). e se (AB) contiene p parti ijme dell'unità (AC) si ha: (AB) = (AC) --= - (f 99 ob, 104) V 10 e quindi ' = (Wi Vf 99 o 6, 104). and if (AB) contains p ijme share unit (AC) we have: (AB) = (AC) - = - (f 99 b, 104) and then 10 V '= (Vf Wi 99 or 6, 104 ).
Page 193 Page 193193 dunque il segmento (AD) contiene pp di queste parti, e si ha perciò : (e, 117) (1) Trattando della moltiplicazione di un segmento per un numero intero abbiamo già spiegato il significato delle relazioni (AB)X- i = -(AD) ((2), (3), (6), 115) (2) (AB) X /*' = (Aty quindi si ha: Da se (AB) contiene pi' unità, si ha: Me-=J^ (6) il V e quindi . / prodotto di un numero frazionario per un altro numero frazionario è un numero frazionario il cui numeratore è il prodotto dei due numeratàri e il denominatore è il prodotto dei due denominatori. Supponiamo che (AB) contenga /* parti Vme dell1 unità (AC), ossia che sia rappresentato dal numero -~ (def. I, 117). Se si ripete questo segmento p il volte si ha un segmento (AD) che contiene j*fi' parti i|'me dell'unità, e che rappresenta il numero -^ì ( ). se dividiamo tutto il segmento (AD) in 13 parti TI uguali, ciascuna di queste contiene f*/*' parti -rrì * dell'unità. Difatti (AD)= essendo (AC) l'unità (a) e quindi (a 79oc,92). Ma si ha (AD) = (AB) X p, - = (AB) X - (A 99 o 6, 104) : ij *? dunque 13 So the segment 193 (AD) contains pp of these parts, and we therefore: (and 117) (a) treating the propagation of a segment for an integer we have already explained the meaning of relations (AB) X =-i - (AD) ((2), (3), (6), 115) (2) (AB) X / * '= (Aty then we have: From if (AB) contains pi' units, one has: Me - J = ^ (6) the V and then. / product of a fractional number for another fractional number is a fractional number whose numerator is the product of two numeratàri and the denominator is the product of the denominators. Suppose that (AB ) contains / * VME dell1 share units (AC), ie it is represented by number - ~ (def. I, 117). If this segment is repeated p times one gets the segment (AD) that contains j * fi 'shares i | 'drive me, and that is the number - ^ ì (). if we divide the entire segment (AD) into 13 parts TI equal, each of these contains f * / *' * rri-share unit. In fact (AD) being = (AC) the unit (a) and then (a 79oc, 92). But we have (AD) = (AB) p X, - = (AB) X - (A 99 or 6, 104): ij *? therefore 13
Page 194 Page 194194 Le regole dei segni date da (3), (4), (5) si estendono anche a questi casi, e si ha: e. 194 The rules of the signs given by (3), (4), (5) also extend to these cases, and has: e. Il prodotto di due numeri frazionari è positivo o negativo secondo che i due numeri sono dello stesso segno o di segno contrario. The product of two fractional numbers is positive or negative depending on whether the two numbers are the same sign or opposite sign. d. d. Per la moltiplicazione di un numero intero con un numero frazionario o di due numeri frazionari vale la legge commutativa. For the multiplication of an integer with a fractional number of two or fractional numbers that is the commutative law. Ciò risulta dalle forinole (7) e (8) stesse. This is apparent from the forinole (7) and (8) themselves. e. and. Per la moltiplicazione dei numeri frazionari vale la legge associativa. This multiplication of fractional numbers is the associative law. Si ha infatti : = - == (AB) - X -- (fy 99 ea, 79 o 6, 104 ee, 92). In fact we have: = - == (AB) - X - (fy 99 and, 79 or 6, 104 e, 92). \ 13 15 / f. \ 13 15 / f. Per la moltiplicazione dei numeri frazionari vale la legge distributiva. This multiplication of fractional numbers is the distributive law. Cioè [(AB) + (BC)-] - - = (AB) -fi- + (BC) - - Tfì 7) 1? That is, [(AB) + (BC) -] - = (AB)-fi-+ (BC) - TFI 7) 1? Si ha (AB) + (BC} = (AC). Se dividiamo (AB) e (BC) in 13 parti uguali e se portiamo dopo la prima parte di (AB) la prima di (BC), il che si può fare per la legge commutativa della somma di più segmenti (e, 99 oa, 104) si ot- tengono così le ^ parti uguali di (A ?), e si ha dunque: Ma [(AB) + (BC)] p = (AG) p == (AB) p + (BC) p (e, 99 oa, 104) dunque ponendo si ha: da cui per la (9) (AB,)' fofi) _, (Afi) e poiché = (AB) -- (f, 99 o 6, 104) sostituendo nella precedente uguaglianza abbiamo: (AB) V " Se (AB) e (#C) rappresentano rispetto all'unità i numeri -~, -Ej- si 15 7? (C)H7) It has (AB) + (BC} = (AC). If we divide (AB) and (BC) into 13 equal parts and if we take after the first part of (AB) of the first (BC), which can be done for the commutative law of the sum of multiple segments (and, 99 or, 104) are obtained by the so-held ^ equal parts of (A?), and there is therefore: But [(AB) + (BC)] p = ( AG) p == (AB) p + (BC) p (s, 99 or, 104) thus placing it has: from which, for the (9) (AB) 'fofi) _, (AFI) and since = ( AB) - (f, 99 or 6, 104) by replacing in the above equality we have: (AB) V "If (AB) and (# C) represent relation to the unit numbers - ~,-Ej is 15 7-? (C) H7)
Page 195 Page 195195 120. 195 120. Divisione. Division. Def. Def. I. I. La divisione di un segmento per un numero frazionario è l'ope- razione colla quale dal prodotto (AB) = (AD) (def. 1,119), dato (AD) si deter- si mina (AB). The division of a segment for a fractional number is the opera-tion with which the product (AB) = (AD) (def. 1.119), data (AD) is deter-mine (AB). E si scrive (AB) =(AD): - -. It is written (AB) = (AD): -. La divisione di un numero intero o frazionario per un numero intero o frazionario è l'operazione colla quale si ha il numero corrispondente al seg- mento che si ottiene dal segmento che rappresenta il primo numero diviso per il secondo. The division of an integer or fractional integer or fractional is the process by which you have the number for the segment that is obtained from the segment that represents the first number divided by the second. a. a. Se (AB)* -~(AD) qualunque siano (AD) e , si ha : ( AB) = (AD) Difatti / A ZA.. If (AB) * - ~ (AD) whatever (AD) and, we have: (AB) = (AD) fact / A ZA .. f, 99 opp. f, 99 opp. , 104) (beb' 79 opp. ded' 92) e quindi (AB) JL JL = (AB) ( ', 79 od, 92) dunque b. , 104) (b and b '79 opp. D and d' 92) and then (AB) JL JL = (AB) (', 79 or, 92) then b. Per dividere un numero intero per un numero frazioniamo, o un numero frazionario per un numero interof si moltiplica il numero intero pel denomina- tore del numero frazionario, dando al risultato per denominatore il numeratore della frazione; oppure si forma un nuovo numero frazionario il cui nume- ratore è quello del numero frazionario dato, e il cui denominatore è il prodotto del denominatore del numero frazionario dato pel numero intero. To divide an integer by a number fractionate, or a fractional number for a number interof multiplies the integer PEL denominator of the fractional number, giving the result by the denominator, the numerator of the fraction, or form a new fractional number whose numerator of the fractional number is given, and the denominator of which is the product of the denominator of the fractional number given for the number integer. Si ha infatti: (a) (1) Se (AB) rappresenta f* unità si ha: Se è si ha: (AB) = = (AD) : p. In fact we have: (a) (1) If (AB) is f * units we have: If you: (AB) == (AD): p. (def. I, 116) (2) e se si ha: (AB) = (AC) 4-. (Def. I, 116) (2) and if you have: (AB) = (AC) 4 -. (a, 79 oe, 92) (Cj 79 e /; 99; Opp. e, 92 e 6, 104) e se (AC) è l'unità si ha da (2) - -:!*= 4- (e. 117) (A, 79 e, 92) (Cj 79 and /; 99; Opp. And, 92 and 6, 104) and if (AC) is the unit has to (2) -:! * = 4 - ( and. 117)
Page 196 Page 196196 e. 196 and. Per dividere un numero frazionario per un altro si moltiplica il nume- ratàre del primo pel denominatore del secondo e al risultato si da per denomi- natore il prodotto del denominatore del primo pel numeratore del secondo. To divide a fractional number for another multiplies the num-ratàre PEL denominator of the first and the second result is to be the product of the denominator denominator the numerator of the first PEL. Difatti se in (1) (AD) rappresenta il numero -^-, si ha: J^:JL J?L. In fact, if (1) (AD) is the number - ^ -, we have: J ^: JL J? L. JL^-Ó (e, 117 e 6/119). JL ^ Ó-(and 117 and 6/119). V i) np tip Inoltre, per le relazioni: =-(AD) ' ------(AD) (AB) : - jz = (AD) ((2), (3), (6) n. 115 e def. I, 116) le quali si estendono anche al caso in cui j* è un numero frazionario, si ha: d. V i) np tip addition, for the relations: = - (AD) '------ (AD) (AB): - jz = (AD) ((2), (3), (6) n. 115 and final. I, 116) which extend also to the case where j * is a fractional number, we have: d. Il quoziente della divisione di un numero intero per un numero frazio- nario o viceversa; o di un numero frazionario per un altro frazionario è posi- tivo o negativo secondo che il dividendo e il divisore hanno lo stesso segno o sono di segno contrario. The quotient of the division of an integer number to a fractional-inary or vice versa; or a fractional number for another fractional is posi-tive or negative according to whether the dividend and the divisor have the same sign or are of opposite sign. 4. 4. Numeri reali, razionali e irrazionali, assoluti e relativi. Real numbers, rational and irrational, absolute and relative. 121. 121. a. a. Lue segmenti commensuràbili di I3" specie fra loro sono esprimibili per mezzo di un numero frazionario. Difatti uno di essi è multiplo dell'altro o di un summultiplo dell'altro (def. I, 105). Oss. LI numeri razionali assoluti di 2a specie esprimono fra loro i segmenti commensurabili di 2* specie, e quelli che esprimono i segmenti incommensurabili sono irrazionali assoluti (def II, 105). Riferendosi ad una sola unità relatica mancano i numeri razionali di 2* specie (oss. II, 105). Def. I. Tutti i numeri razionali e irrazionali si chiamano reali, assoluti se si considerano in senso assoluto, relativi se si considerano nel campo di una sola unità. b. Secondo che si considera la forma fondamentale come continuo relativo ad un9 unità o assoluto, si hanno numeri di natura diversa. Nel primo caso tutti i numeri reali sono finiti, nel seconda invece ve ne sono anche d'infiniti e infinitesimi e di un ordine qualunque dato rispetto ad uno qualunque di essi come unità *). i) Siccome abbiamo considerato la sola classe (II) dei nostri numeri interi infiniti che è della seconda potenza (nota 4, 93) potremo quindi ripetere rispetto alla forma fondamentale cosi ottenuta le ipotesi III, IV ecc. (oss. IV, 92). Verremmo cosi a costruire delle nuove forme fondamentali che conterrebbero le antecedenti e delle nuove classi di numeri reali. E proseguendo cosi indefinitamente avremo una forma fondamentale veramente assoluta. Sia perché nei fondamenti della geometria facciamo uso sol- tanto dei principii sui segmenti infiniti e infinitesimi, sia per non introdurre nuove difficoltà in con- cetti per sé stessi semplici ma comunemente fraintesi (vedi pref.), ci siamo limitati alla classe (II) di numeri infiniti, come potevamo limitarci al gruppo di segmenti finiti, infiniti e infinitesimi di ordine finito (vedi nota i, 105). Lue commensurable segments of I3 "species among them are expressible by means of a fractional number. In fact, one of them is a multiple of the other or of a summultiplo of the other (final I, 105). Oss. LI absolute rational numbers of 2a species express each of the segments commensurable 2 * species, and those that express the segments are incommensurable irrational absolute (final II, 105). Referring to a single unit relatica lacking the rational numbers of 2 * species (oss. II, 105) . Def. I. All rational and irrational numbers are called real, absolute if they are considered in an absolute sense, for if we consider the scope of a single unit. b. According to the basic form that is considered as a continuous unit or related to un9 ever, we have numbers of different kinds. In the first case, all the real numbers are finite, the second one there are also an infinite and infinitesimal, and any order given with respect to any of them as units). i) Since we considered the same class (II) of our infinite integers which is the second power (note 4, 93) we can then repeat with respect to the basic form thus obtained assumptions III, IV etc. (oss. IV, 92). we would so to build the new forms that contain the key antecedents and new classes of real numbers. And continuing indefinitely so we have a very basic form absolute. Both because of the foundations of geometry we use only time-segments of the principles on infinite and infinitesimal, and not to introduce new difficulties with self-concepts for simple but commonly misunderstood (see pref.), we limited ourselves to the class (II) of infinite numbers, how could we limit ourselves to the group of finite segments, infinite and infinitesimal finite order ( see note i, 105).
Page 197 Page 197197 Ciò risulta immediatamente dalle definizioni e dalle proprietà dei seg- menti che rappresentano i numeri stessi (def. II, 82). 197 This follows immediately from the definitions and properties of the segments that represent the same number (def. II, 82). Def. Def. 11. 11. Diremo che i numeri reali in senso assoluto o relativo compresi fra due numeri ae costituiscono l'intervallo di numeri (a.. j3). We will say that the real numbers in absolute terms or relative to and including two numbers represent the range of numbers (a.. J3). e. and. I numeri reali assoluti o relativi compresi nell'intervallo (o.. /) si possono far corrispondere univocamente e nello stesso ordine agli elementi di un seg- mento qualunque (AB) in senso assoluto o relativo. The real numbers in the range of absolute or relative (o.. /) Can be uniquely match and in the same order to the elements of any segment (AB) in absolute or relative. Perché per unità di misura si può considerare nel primo caso un segmento finito assoluto (def. V, 92) e nel secondo ogni segmento finito relativo, (def. (II, 82). Ciò deriva pure dalla corrispondenza di proporzionalità (def. I ed, 106). e1. I numeri reali compresi nell'intervallo (a... ) si possono far corrispon- dere univocamente e nello stesso ordine ai numeri reali del? intervallo (o.....1) (e; f, 42). e". Tutti i numeri reali si possono far corrispondere univocamente e nel medesimo ordine a tutti gli elementi del continuo a partire da un dato ele- mento come origine fondamentale. Ciò deriva dalla def. stessa dei numeri reali (def. I e def. II, 105 e defl III, 42). Def. III. In conformità ae" diremo perciò che tutti i numeri reali, ordi- nati in modo che ogni numero minore precede ogni altro numero maggiore di esso, costituiscono il continuo numerico assoluto o relativo. Oss. II. L'uguaglianza e disuguaglianza dei numeri razionali di2* specie o irra- zionali è data dall'uguaglianza dei segmenti che rappresentano rispetto ad un dato segmento come unità, siccome essi servono a rappresentare questi segmenti, e perciò nelle relazioni numeriche che rappresentano relazioni fra segmenti possono sostituirsi uno air altro. Anche qui dunque T uguaglianza è data dalla natura stessa degli enti che i numeri razionali di 2* specie e irrazionali, come gli altri numeri interi e frazionari, rappresentano; e non ha nulla di arbitrario, come non ne deve avere se i numeri sono in sé pienamente determinati l). Because the unit can be considered in the first case, a finite segment absolute (def. V, 92) and finished second on each segment, (def. (II, 82). This follows also from the correspondence of proportionality (def. I and, 106). e1. The real numbers in the range (a. ..) can be made to correspond-ing uniquely and in the same order to the real numbers of? interval (or. .... 1) (e, f , 42). and. "All real numbers can be uniquely match and in the same order to all elements of the continuum from a given source as a key ele-ment. This results from the final. same real number (def. and I def. II, 105 and defl III, 42). Def. III. Pursuant to and "therefore we will say that all real numbers, sorted according to each smaller number precedes any more of it, are the continuous absolute numerical or relative. Oss. II. Equality and inequality of rational numbers of2 * species or irra-tional is given by the equality of the segments that are relative to a given segment as a unit, since they are used to represent these segments, and Therefore in the numerical relations that represent relationships between air segments may substitute one another. Here too, then equality T is given by the very nature of the bodies of the rational numbers and irrational 2 * species, like other integer and fractional, represent, and not has nothing arbitrary, as it should have if the numbers are in themselves fully determined l). 1) Vedi la notan. 1) See Notan. 9 e le note: 2, 48; 1,106 e 117. 9 and notes: 2, 48, 1.106 and 117. Quanto abbiamo detto pei numeri frazionari va detto pel numeri irrazionali sia relativi che assoluti. What we have said must be said pei fraction PEL irrational numbers and relative and absolute terms. Ad es. Eg. la serie ( an ) di cantar (ActaMath. Voi. 2ecc.) determina un nuovo ente, che viene indicato da questa serie. the series (n) to sing (ActaMath. 2ecc Vol.) determines a new entity, which is indicated by this series. Si dice che fan) = (a'n) quando \im(an-a'n ) = o n = il si dice ìndica, sempre una certa arbitrarietà, invece i due numeri sono uguali quando ha luogo la suddetta relazione in senso relativo pel teor. It is said that the fans) = (a'n) when \ im (n-a'n) = on the = is said to indicate, always a certain arbitrariness, however, the two numbers are equal when it takes place this report in a relative sense PEL theorem. d', 97, che vale anche nel caso che la serie di seg- menti (an) non sia sempre crescente o decrescente (oss. li). d ', 97, who is also the case that the number of segments (n) is increasing or decreasing (oss. them). E poiché in questa definizione del numero ( an ) (come in quelle di Weierstrass e di Dedehind) i numeri della serie sono razionali finiti, la definizione dell1 uguaglianza di due numeri esclude il nu- mero infinitesimo. And since in this definition of the number (n) (as in those of Weierstrass and Dedehind) are rational numbers of the series ended, the definition dell1 equality of two numbers exclude the num-ber infinitesimal. Vedi più avanti. See below. La definizione poi che una serie siffatta { an ), o Schnitt (AIA 2) secondo Dedekind (Stetigkeit und. irr. Zahlen pag. 21), determina un numero, poiché questo evidentemente non è un numero della serie stessa, equivale all'ipotesi del limite della serie quando n cresce indefinitamente (oss. V,99). The definition then a number such that {n), and Schnitt (AIA 2) according to Dedekind (Stetigkeit und. Irr. Zahlen p. 21), determines a number, since this is clearly not an issue of the series itself, is equivalent to the hypothesis the limit of the series when n increases indefinitely (oss. V, 99). Il prof. The prof. Pincherle (1. e.) faappunto vedere come gli ordini d'infinito di due funzioni, ossiasecondo il DuBois Reymond dei loro modi di andare all'infinito, possano essere uguali rispetto ad una defini- zione, disuguali rispetto ad un'altra. Pincherle (1. And.) Faappunto see how the orders of infinity of two functions, the ossiasecondo DuBois Reymond their ways of going to infinity, can be the same with respect to a definition, unequal than another. Ad ogni modo nella definizione di uguaglianza, la quale serve in tal caso a completare la definizione stessa dei nuovi enti che si considerano, bisogna dimostrare che sono soddisfatte le relazioni che da A= B segue BA, da A = 5, B e segue AC\ e per la disu- guaglianza A = BBC segue AC A- BBCAC ABCAC ABBCAC However the definition of equality, which in this case serves to complete the definition of new entities that are considered, you must demonstrate compliance reports that B follows from A = BA, A = 5, B and AC follows \ and for the inequality A = BBC follows AC A-BBCAC ABCAC ABBCAC
Page 198 Page 198Siccome si è visto (h\ 99 opp. e', 104) che parecchi simboli numerici o numeri possono rappresentare lo stesso segmento rispetto air unità di misura ossia lo stesso elemento a partire da una data origine, così tutti questi numeri sono uguali (6, 9). As we have seen (h \ 99 opp. And ', 104) that several numerical symbols or numbers can represent the same segment relative air unit of measurement that is the same item from a given origin, so all these numbers are equal (6 , 9). Se disponiamo i numeri reali positivi e negativi in serie, a partire da o consi- derando un solo numero fra tutti quelli che sono uguali ad esso come ad es. If we have positive and negative real numbers in series, from or recital number one among all those that are equal to it as such. è av- venuto nella serie (I) dei numeri naturali (I) (46 e 47) o anche della serie (II) (91) dei nostri numeri finiti o infiniti, e se consideriamo due numeri uguali ad uno dei numeri della serie suddetta, essi rappresentano lo stesso numero (bt 47). is v-series came in (I) of natural numbers (I) (46 and 47) or series (II) (91) of our finite or infinite numbers, and if we consider two identical numbers in a series of numbers that they represent the same number (bt 47). Tutti i simboli che a partire da un dato elemento A della forma fondamentale rappresentano un elemento B rispetto d un'unità \(AA{) rappresentano anche il rap- porto (def. IV e V, 106); come i numeri (cifre; di (I) (47) rappresentano i numeri dei gruppi naturali (def. II, 45 e def. IL 46). Def. IV. In conformitàfalPoss. II chiameremo numero anche il rapporto. Vedi anche Stolz, 1. e. Voi 1 pag. 2 e 3 e ad es. Abschnitt vi e la fine del IX. Ma data in questo caso una definizione di uguaglianza bisognerebbe dimostrare che se ne possono dare delle altre, perché altrimenti la proprietà espressa in questa definizione deve derivare dalla definizione dell'ente stesso. Ma anche cosi questo metodo è sempre indiretto, ed è sempre preferibile logicamente di stabi- lire le condizioni di uguaglianza di nuovi enti dopo di averli pienamente definiti. A complemento delle note 3,90 e 3,97 osserviamo quanto segue rispetto all'ass. vd Archimede (nota I, 81), Dati i numeri razionali ad es. positivi soltanto, che come si sa soddisfano all'assioma suddetto, facendoli corrispondere ai segmenti di un sistema omogeneo a partire da un dato elemento come origine in un dato verso del sistema e rispetto ad un' unità (AAA) (def. I, 80); data la definizione di di segmenti finiti, infinitesimi e infiniti (def. n 82 opp. mediante le condizioni dei teor. ee, 81), si dimostra che ogni segmento finito più piccolo di ogni segmento razionale dato soddisfa rispetto a questo alla condizione del teor. e', 81. (Vedi la nota citata dell'A. Il continuo rettilineo ecc. teor. m, pag. 13). Si dimostra poi che vi è sempre un segmento razionale più piccolo di ogni segmento finito dato ricor- rendo alla dimostrazione del teor. d. 99 (o nella nota citata e, pag. il) la quale è indipendente dall'ipo- tesi vi (opp. nella nota citata dal princ. IV), ammettendo pei segmenti razionali la divisibilità in un numero intero n qualunque dato di parti uguali. E poi con una dimostrazione analoga a quella del teor. , 97 si vede che se uno schnitt (AjA2) ai numeri (segmenti) razionali tale che se A{ non ha un numero razionale massimo, nò A2 un numero razionale mìnimo, la differenza di due numeri ai e a2 di AI e A2 non può essere sempre" maggiore di un numero (segmento) finito dato. Che quindi se (AjA2) fosse determinato da due numeri aea' la differenza di CC, a' (o il segmento dato dai secondi estremi dei segmenti 06 e et ) dovrebbe essere Infinitesimo. E inversamente si vede che se nel sistema omogeneo vi è un segmento (numero) infinitesimo e, e se a è un segmento compreso fra quelli di Al e di Ao, tale proprietà ha pure il segmento a -f- e ( ', 69). Dunque se si stabilisce, come faDedekind (1. e. pag. 21), che lo schnitt (A1A2) nelle condizioni suddette sia determinato da uno ed un solo numero tt irrazionale, si esclude il numero o il segmento infinitesimo, vale a dire si ammette P ass. V d'Archi- mede fra tutti i numeri reali. Se invece si considera il postulato di Dedekind nella forma da lui data a pag. 18 del suo opuscolo citato, secondo la quale quando i punti di un segmento rettilìneo (AB) si separano in due gruppi (X) e (X1) tali che per ciascuna coppia di elementi X e xt si ha (AX) (Ai*), vi è uno ed un solo punto Y di due segmenti (AD e (YB) tali che (AF) contiene tutti i punti X e (YB) tutti i punti X% e che perciò Y appartiene ali' uno o all'altro dei gruppi (X) e (X'); il postulato esclude anche in questo caso diret- tamente rinfinitesimo e l'infinito (def. I, 68 e def. II, 82). Basta veramente che vi sia un punto Y per- ché ve ne sia uno solo. (Vedi anche De Paolis Teoria dei gruppi ecc. pag. 12). Difatti se esiste un segmento infinitesimo (AAr), il che si può ammettere senza bisogno del postu- lato suddetto nel sistema omogeneo, e (AB) è un segmento finito, si ha sempre (AB) (AA') n, qualun- que sia il numero intero n della serie (1) (47 ee, 81). Ora, si vede facilmente che se si separano gli elementi compresi nel segmento (AB) in due gruppi tali che ogni elemento del primo gruppo sia com- preso nei segmenti dati da (AA') n (vale a dire nel campo della scala di unità (AAr)) e ogni altro ele- mento di (AB) appartenga al secondo gruppo, si vede che il secondo gruppo non ha un primo elemento ( ', 69), come non ha un ultimo elemento il primo gruppo, e che perciò non vi può essere nessun ele- mento assogettato alla def. 1,68 determinato dai due gruppi. Dunque col postulato suddetto si esclude, se esiste (AAT), il segmento (AB), e viceversa; ossia nel primo caso si esclude il segmento infinito limitato i cui estremi soddisfano alla def. I, 68 e nel secondo caso si esclude l'infinitesimo. Vale a dire si am- mette in ogni caso la condizione del teor. , 81, ossia l'assioma d'Archimede. All the symbols from a given element A fundamental form of representing an element of B with respect to a unit \ ({AA) also represent the ratio (def. IV and V, 106); as numbers (digits; of (I) (47) represent the numbers of natural groups (def. II, 45, and def. IL 46). Def. IV. conformitàfalPoss. II also call the number on the report. See also Stolz, 1. and. you 1 page. 2 and 3 and such. Abschnitt there and the end of the ninth. But in this case given a definition of equality should be proved that they can give others, because otherwise the properties expressed in this definition must be derived from the definition of ' institution itself. But even so, this method is always indirect, and it is always preferable to logically estab-lire conditions of equality of new institutions after them fully defined. In addition to the notes 3.90 and 3.97 we observe the following with respect to 'ass. Archimedes vd (note I, 81), data such as the rational numbers. positive only, as is well known that meet the above axiom, making them correspond to the segments of a homogeneous system from a given element as the source in a given to the system and compared to a 'unit (AAA) (def. I, 80); given the definition of segments finished, infinitesimal and infinite (final n 82 opp. by conditions of the theorem. ee, 81), proves that every finite segment of each segment smaller than rational given satisfies the condition of this theorem. and ', 81. (See the note above the A. etc. The continuous straight line. theorem. m, p. 13). It is shown that then there is always a rational smallest segment of each segment finished given appli-am to the demonstration of the theorem. d. 99 (or in the cited known, p. yl) which is independent of the IPO-thesis vi ( opp. in the note cited by the princ. IV), assuming rational divisibility pei segments in any given whole number n of equal parts. And then with a demonstration similar to that of the theorem., 97 we see that if a schnitt (AjA2) to the numbers (segments) rational such that {if A does not have a rational number maximum nor minimum A2 a rational number, the difference of two numbers to and a2 of AI and A2 can not always be the "greater than a number (segment) finished given. What then if (AjA2) was determined by two numbers a and a 'difference of DC, to' (or the given segment from the second ends of the segments 06 and et) should be infinitesimal. Conversely we see that if the homogeneous system will is a segment (number) and infinitesimal, and if a is a segment lying between those of Al and Ao, the property also has the segment-f-e (', 69). So if you down, as faDedekind (1 . and. p. 21), which schnitt (A1A2) in these conditions is determined by a single number and an irrational tt, we exclude the number or the infinitesimal segment, ie it admits P ass. V-String beacons of all real numbers. If we consider Dedekind's postulate in the shape he has given on page 18. of his pamphlet quoted to the effect that when the points of a straight line segment (AB) are separated into two groups (X) and (X1) such that for each pair of elements X and xt we have (AX) (Ai *), there is one and only one point Y of two segments (A and (YB) such that (AF) contains all the points X and (YB) all the points X% and Y so that belongs wings 'one or other of the groups (X) and (X'); the postulate excludes also in this case directly rinfinitesimo and infinity (final . I, 68 and final. II, 82). Just really that there is a point Y to-because there is one only. (See also De Paolis Theory of groups etc.. p. 12). In fact, if there is a segment infinitesimal (AAR), which may be accepted without the need of postu-side in the said homogeneous system, and (AB) is a finite segment, there is always (AB) (AA ') n, In whatever is the integer n of the series (a) (47 ee, 81). Now, it is easily seen that if you separate the items included in segment (AB) in two groups such that each element of the first group is taken com-data segments (AA ') n (ie in the field of the scale unit (AAR)) and every other element of (AB) belongs to the second group, it is seen that the second group does not have a first element (', 69), as it has a last element in the first group, and that therefore there can be no ele-ment assogettato the final. 1.68 determined by the two groups. So with the postulate that it excludes, if it exists (AAT), the segment (AB), and vice versa; ie in the first case we exclude the infinite limited segment whose ends meet at the final. I, 68 and in the second case we exclude the infinitesimal. That is to say is am-puts in each case, the condition of the theorem., 81, that the axiom of Archimedes.
Page 199 Page 199190 Possiamo dunque dire che tutti i simboli che rappresentano lo stesso elemento rappresentano anche lo stesso numero, senza che per questo il numero sia l'elemento dato della forma fondamentale (oss. II). 190 We can therefore say that all the symbols that represent the same element are also the same number, without this number is the given element of the fundamental form (oss. II). Oss. Oss. III. III. Fra il rapporto come numero e 11 simbolo (numero) che lo rappresenta vi è dunque la stessa distinzione che vi è fra il numero del gruppo (def. II, 45) e il segno che lo indica. Among the report as number 11 and symbol (number) that represents it is therefore the same distinction that exists between the group number (def. II, 45) and the sign that indicates it. Il numero, anche razionale o irrazionale assoluto, è reso così indipendente dalla forma del simbolo che lo rappresenta. The number, rational or irrational, even absolute, is thus made independent of the shape of the symbol that represents it. Ed abbiamo quindi: d. And then we have: d. Ogni numero reale positivo può essere rappresentato col simbolo : ~ "' + + - I P " Pnr ^ -- -- oep è un numero finito intero positivo qualunque, le a. Every positive real number can be represented by the symbol: ~ "'+ + - IP" Pnr ^ ---- o and p is a finite number any positive integer, the a. sono uguali ao, 1, 2... are equal to or, 1, 2 ... p 1; le ne le r eco. p 1; they r the echo. sono numeri interi positivi finiti dati, oppure infiniti (n = oo), ei*, è dato o infinito in senso assoluto (p = il). are positive integers finite data, or infinite (n = oo), and *, is given or infinite in an absolute sense (p = yl). Ovvero col simbolo : / (Xj' ' Ct2' ' tttt, * J \ \~ "^~ +'"~l ^~+......) / l" V ^ +..... +.........+Ji^ +... - ) ~ , '"'- \"V +.......^v57^.....) ove 13 è dell' ordine o, /ea possono essere numeri interi da oat\ e tutti i nu- meri ottenuti colla divisione ad es. per metà di oo^ oo^-1 ecc., le ne s sono numeri positivi interi finiti dati o infiniti ( = oo) e le r sono numeri finiti ep, è un numero dato, nel qual caso il numero è razionale di 2a specie, oppure p è un numero infinito in senso assoluto (p=!2) (d, 104). d. Se si tratta dei numeri reali relativi si ha soltanto il simbolo: That is the symbol: / (Xj '' Ct2 '' ttt, J * \ \ ~ "~ ^ + '" ~ l ^ ~ + ......) / l "V ^ + ..... +. Ji ........ + ... + ^ -) ~, '"' - \ 'V + ....... ..... ^ ^ V57) where 13 is of' order or , / and can be integers from oat \ and all the nu-mers obtained glue division eg. half of oo oo ^ ^ -1 etc.., the I s are positive integer numbers finite or infinite data (= oo) and The r and p are finite numbers, is a given number, in which case the number is rational for the second species, or p is an infinite number in absolute terms (p =! 2) (d, 104). d. If it comes to real numbers for you has only the symbol:
Page 200 Page 200200 (r. (ÓÌ (ó) V+V+- e se si tratta dei numeri reali finiti e infiniti e infinitesimi di ordine finito, si ha: . P Pn *i P r P ove r è finito o infinito (r= oo). Qpp. ove iì è un numero infinito d'ordine finito, n è finito dato o infinito (n=* oo). Es. Se consideriamo T infinitesimo ^ __^ esso è finito rispetto ali' infinitesimo - - perché ooj e ooj wi sono infiniti di 1" ordine (def. II, 88). Una serie che da luogo a questo numero mediante le unità - $ ... ^ è la seguente : OOj 1 OOjf* (1 m "^+ !*+ - (mn-i mn ' oo^-^ + OC^-^H + + _ Se ci arrestiamo ad es. al termine r. ' si ha : * KJ_ wm^ oo!"*""^"*"' + oo1n Mentre si ha: Kl , Ji.4. . mn i \ , /^n"1 , "^ + "SJ + '" "*" o)! *! "^ -/"*" \ oo^i- "*" 200 (r (s (ó) V + V + - and whether it is of finite and infinite real numbers and infinitesimals of finite order, we have:. Pn * P i P r where P r is finite or infinite (r = oo ). QPP. where ii is an infinite number of finite order, since n is finite or infinite (n * = oo). Eg If we consider infinitesimal T ^ __ ^ it is over than wings' infinitesimal - because ooj and ooj wi are an infinite number of 1 "order (final II, 88). A series that gives rise to this number by the unit - $ ... ^ is the following: 1 OOj OOjf * (1 m" ^ +! * + - (mn-i mn 'oo ^ - ^ + ^ OC - ^ H + + _ If we stop for example. the term r.' we have: * KJ_ wm ^ oo! "*" "^" * "'+ oo1n While we have: KI, Ji.4 mn .. i \, / ^ n "1," + ^ "SJ + '"' * "o)! *" ^ - / "*" \ ^ i-oo " * "
Page 201 Page 201201 s\ - I che diventa indef. 201 s \ - I, which becomes indef. pic- ! -pic! / F. / F. cola in senso assoluto col crescere di jx oltre ogni numero dato della classe (II). cola in an absolute sense with the growth of jx beyond any given number of class (II). Oss. Oss. IV. IV. refinite come abbiamo fatto pei numeri frazionar! refinite as we did pei frazionar numbers! le operazioni fonda- mentali e determinate le regole fra i numeri razionali e irrazionali, si dimostra poi analogamente al teor. operations and certain fundamental rules between rational and irrational numbers, then it shows the same theorem. m, 93 che: e. m, 93 that: and. I numeri reali finiti, infiniti e infinitesimi fino ali9 ordine fx compresi tutti quelli i cui ordini sono finiti col numero fx formano un gruppo che si tra- sforma in sé medesimo mediante le operazioni fondamentali applicate a due numeri qualunque del gruppo. The real numbers finite, infinite and infinitesimal ali9 order to fx including all those whose orders are finished with the number fx formed a group that transforms itself from using the same basic steps apply to any two numbers of the group. f. f. Il numero (grandezza numerica), senza il concetto di unità di misura non può servire a determinare la grandezza intensiva di un sistema omogeneo continuo ad una dimensione. The number (numerical size), without the concept of units of measurement can not serve to determine the size of a homogeneous system intensive continuous one-dimensional. Affinchè due segmenti aea' siano uguali non solo occorre che siano rappresentati dallo stesso numero, ma eziandio che l'unità di misura a cui si riferiscono sia la medesima, altrimenti se 1* unità non è la stessa e sono rap- presentati dallo stesso numero non si ha l'uguaglianza di aea' (e). In order for two segments and a 'are equal not only need to be represented by the same number, but even the unit to which you refer is the same, otherwise if * 1 unit is not the same and are presented by the same rap-number there is no equality of a and a '(s). E ciò av- viene non solo per due segmenti aea' ma eziandio per le loro grandezze in- tensive, poiché l'uguaglianza di queste trae seco l'uguaglianza di quelli (g, 111). And this is not only for av-two segments a and a 'but even for their magnitudes in-tensive, because equality of these brings with it the equality of those (g, 111). Oss. Oss. V. V. Ad un segmento variabile qualunque della forma fondamentale corri- sponde un numero variabile in senso assoluto e relativo. At a fundamental form of any variable segment corresponds a variable number in absolute and relative. Pei numeri variabili fi- niti valgono i teor. Pei variable numbers fi-nite apply the theorem. analoghi a quelli dei n. comparable to those of n. 95-99 e pei numeri assoluti i teor. 95-99 pei and absolute numbers of the theorem. ana- loghi a quelli dei n. ana-logos to those of n. 100-105. 100-105. Da quanto abbiamo detto risulta che i numeri reali hanno la proprietà comune di rappresentare gli elementi di un gruppo, che nel caso dei numeri frazionar! From the foregoing it appears that the real numbers have the common property of representing the elements of a group, which in the case of numbers frazionar! il gruppo deve essere tale, se vogliamo spiegare le loro operazioni, da ammettere la divisione in ij (on) gruppi uguali la quale deriva dal continuo stesso (a, 103 od, 99) ; e pei numeri irrazionali il gruppo deve essere continuo. the group must be such that, if we want to explain their operations, to admit the division ij in (on) equal groups which stems from continuing the same (a, or 103, 99); pei and irrational numbers, the group must be continuous. Soltanto che non occorre tener conto delle relazioni di posizione degli elementi del gruppo ali' infuori dell'ordine di essi. Only it is not necessary to take into account the positional relationships of the elements of the wings' of the order of them outwards. Da qui risulta chiaramente che il continuo non dipende da quello numerico, ma che questo rientra in quello più generale del gruppo omogeneo contìnuo di elementi. Hence it is clear that the continuum does not depend on the number, but this falls into the more general continuous homogeneous group of items. Appoggiandoci alle nostre ipotesi sul continuo (relativo e assoluto) noi non alte- riamo il carattere della geometria, sostituendo alla forma fondamentale la retta, come non si altera il carattere dell'analisi facendo dipendere la teoria dei numeri reali da quella dei gruppi di elementi seguendo cosi un metodo meno artificioso di quello dei simboli. Basing our assumptions on the continuous (relative and absolute) we are not high-riamo the character of the geometry, replacing the basic form of the line, as it alters the character of the analysis is made dependent on the theory of real numbers from the groups of elements so by following a less contrived than the symbols. Ma poiché queste teorie non e' interessano per i fondamenti della geometria, così non ci inoltriamo più oltre, e abbiamo del resto come pei numeri in- teri, detto abbastanza intorno ai loro principi. But because these theories and 'interest for the foundations of geometry, so there we move further, and the rest as we have numbers in pei-teria, said enough about their principles.
Page 202 Page 202CAPITOLO IX. CHAPTER IX. Ultime considerazioni sulla forma fondamentale. Recent considerations on the fundamental form. Ipotesi riassuntiva della, forma fondamentale Sua determinazione Forme fondamentali possibili. Summary of assumptions, basic form his fundamental determination of possible shapes. 122. 122. Oss. Oss. I. I. La forma fondamentale fu assoggettata alle ipotesi I-VIII di cui la IV contiene la III, la VII! The basic form was subject to the assumptions I-IV to VIII of which contains the III, VII! contiene la VI (oss. II, 85 e , 101) Le proprietà fin qui svolte della forma fondamentale valgono per tutti i sistemi identici nella posizione delle loro parti (oss. IV, 71). contains the VI (oss. II, 85 and, 101) The properties of the foregoing basic form are valid for all systems in the identical position of their parts (oss. IV, 71). Quando sono dati gli elementi di una forma, la forma stessa è data o determinata (,def. IV, 57), in modo che essi non sono tutti gli elementi di due forme diverse generate colla stessa legge (def. II, III, 58). When data are the elements of a form, the form itself is given or determined (, def. IV, 57), so that they are not all the elements of two different forms generated with the same law (final II, III, 58 ). Def. Def. I. I. Una forma determinata da più elementi significa che non vi è al- tra forma determinata colla stessa legge che abbia gli stessi elementi dati in comune senza coincidere colla prima (def. V, 57 e def. II e oss. Ili, 58). A form determined by several factors mean that there is between-shape with the same law that has the same elements without overlapping data in common with the former (def. V, 57 and final. II and oss. Ill, 58). Oss. Oss. IL Finora la forma fondamentale è stata trattata come un sistema iden- tico ad una dimensione nella posizione delle sue parti (ip. I). THE So far, the basic form has been treated as a system identical tico to a dimension in the position of its parts (ip. I). Per distinguerla quindi dagli altri sistemi ad una dimensione identica nella posizione delle loro parti, stabi- liamo la seguente ipotesi, che riassume anche le precedenti. To distinguish it from other systems and then to a size identical to the position of their parts, stabilized Liamo the following hypothesis, which also summarizes earlier. Ip. Ip. IX. IX. La forma fondamentale è il sistema continuo ad una dimensione identico nella posizione delle sue parti determinato dal minor numero di elementi. The basic form is the continuous system to a size identical to the position of its parts determined by the lower number of elements. Oss. Oss. III. III. In questo caso quando sono dati m punti che determinano la forma fondamentale significa che sono dati con essi senz' altra condizione tutti gli elementi della forma. In this case, when m data points which determine the basic form means that they are data with certainly 'other condition all the elements of the shape. Le altre forme invece sono determinate o costruite per mezzo della forma fon- damentale (oss. Ili, 71). The other forms instead are determined or constructed by means of form fon-damental (oss. Ill, 71). Oss. Oss. IV. IV. Che la forma fondamentale debba essere determinata da due elementi anziché da m elementi non risulta punto dalle cose fin qui dette, perché valgono tanto nell'uno come nell'altro caso. That the basic form is to be determined by two factors instead of m elements is not the point here since these things, because they are worth so much in one as in the case. LMpotesi più semplice è dunque quella che sia determinata da due elementi distinti. LMpotesi simplest is therefore that which is determined by two distinct elements. Non è dunque esclusa l'ipotesi che il primo si- stema identico nella posizione delle sue parti sia determinato invece da m elementi (m 2), anche se questa ipotesi non fosse così feconda quanto la prima, e non corri- sponda, come vedremo, alla forma fondamentale della geometria, che è la retta. It is therefore not excluded the possibility that the first sys-tem in the same position thereof is determined instead by m elements (m 2), although this hypothesis was not as fruitful as the first, and not run-shore, as we shall see , the basic form of the geometry, that is the straight line. E qui possiamo dire : II campo delle forme matematiche astratte da noi definite (38) si compone di tutti gli elementi che possiamo immaginare in base ai principi stabiliti ea tutte le altre ipotesi matematicamente possibili sulla forma fondamentale e sulle relazioni fra più forme fondamentali. And here we can say: The field of abstract mathematical shapes defined by us (38) consists of all elements that can be imagined based on the principles laid down and all the other assumptions about the shape mathematically possible relations between the fundamental and most basic forms.
Page 203 Page 203203 Otteniamo una prima classificazione di sistemi di forme astratte secondo il numero degli elementi che determinano la forma fondamentale. 203 We obtain a classification of systems of abstract shapes depending on the number of elements that determine the basic form. Def. Def. IL La scienza che studia queste forme (def. I, 38) si chiama matema- tica pura o matematica l). THE science that studies these forms (def. I, 38) is called pure mathematics or mathematics-policy l). 2. 2. Considerazioni sulla scelta della forma fondamentale. Considerations on the choice of the basic form. 123. 123. Supposto che un sistema identico nella posizione delle sue parti de- terminato da m elementi, anche se m è il minor numero sotto questo aspetto, si può dire che tutti i sistemi identici nella posizione delle loro parti deter- minati da m elementi siano identici? Assumed that a system identical to the position of its parts de-terminated by m elements, even if m is the smallest number in this respect, it can be said that all systems in the identical position of their parts deter-mined by m elements are identical? Supposto che non si conoscano altre proprietà del campo degli elementi fondamentali all'infuori di quella di essere un insieme di elementi, è possibile immaginare che ciò non sia, per es. Assumed that are not known other properties of the field of the fundamental elements besides that of being a set of elements, it is possible to imagine that this is not, for example. che i gruppi di m elementi in uno dei suddetti sistemi non siano identici ai gruppi di m elementi dell'altro sistema, perché se due soli fossero identici, necessariamente per il principio d'identità (a, 60} sarebbero identici anche i due sistemi 2). that the groups of m elements in one of these systems are not identical to the groups of m elements of the other system, because if only two were identical, necessarily to the principle of identity (a, 60} would be identical also the two systems 2 ). Due forme uguali rispetto alla loro grandezza estensiva determinate cia- scuna da m elementi, ma non identiche, differiscono per la loro grandezza in- tensiva, perché sono uguali rispetto alle altre condizioni di determinazione (def. I, 38 è def. I, 11 ; def. I, II, 111). Two forms of equal magnitude with respect to their extensive certain each of scuna by m elements, but not identical, differ in their size in-tensive, because they are equal with respect to the other conditions of determination (def. I, 38 is final. I, 11 ; final. I, II, 111). Si può stabilire la loro differenza suppo- nendo che le loro grandezze intensive siano esprimibili numericamente mediante una di esse o una parte di una di esse presa come unità di misura. One can determine the difference between them suppo-maintaining that their magnitudes can be expressed numerically intensive through one of them or a part of one of them taken as the unit of measure. E in tal caso è chiaro che bisognerebbe appoggiarsi al continuo numerico (def. Ili, 121) che come si sa è indipendente dalla differenza di posizione delle forme (def. V, f, 12)). And in this case it is clear that we should lean on the numerical constant (def. Ill, 121) which as we know it is independent of the position difference of the forms (def. V, f, 12)). Due segmenti espressi numericamente nello stesso modo per mezzo del- l'unità di misura non sarebbero in generale identici. Two segments expressed numerically in the same way by means of the unit of measurement would not be generally identical. La uguaglianza cioè delle grandezze intensive di essi non darebbe la loro identità in posizione e nella costruzione delle forme identiche non si potrebbero sostituire uno all'altro, non tenendo conto s'intende della diversità di posizione dei due segmenti (oss. Ili, 9 e oss. Ili, 58). The equality that the intensive quantities of them would not give their identity and position in the construction of identical shapes could not replace one another, not taking into account the difference in mean position of the two segments (oss. Ill, 9 and oss. Ill, 58). Dopo ciò è chiaro che se il sistema identico nella posizione delle sue parti è determinato dal minor numero di elementi ed è anche tale che tutti i sistemi così determinati sono uguali, non occorrerà ricorrere al con- tinuo numerico per stabilire la loro differenza essendo già uguali, e dati due segmenti uguali di due tali sistemi, tenuto conto dell'osservazione prece- dente, potremo sostituirli l'uno all'altro nella costruzione delle forme identi- che. After this it is clear that if the system is identical to the position of its parts is determined by the smallest number of elements and is also such that all systems thus determined are the same, do not need to resort to with-continuous numeric to determine the difference between them being already equal , and given two equal segments of two such systems, taking into account the previous observation, we can replace each other in the construction of forms that identical. Un tale sistema sarà da preferirsi come forma fondamentale 3). Such a system would be preferred as a fundamental form 3). Da quanto precede è pure chiaro che la forma fondamentale senza errore di principio non può essere una grandezza intensiva (o quantità) 4) (#, 111) se 1) vedi nota 2, 38. From the foregoing it is also clear that the basic form with no error of principle can not be an intensive quantity (or quantity) 4) (#, 111) if 1) See note 2, 38. 2) Ciò avviene ad es. 2) This is done eg. per le circonferenze nella geometria; tre punti non situati in linea retta determinano in modo unico una circonferenza, ma non tutte le circonferenze sono identiche. for the circumferences in the geometry, three points are not located in a straight line uniquely determine a circumference, but not all of the circumferences are identical. 3) ciò succede appunto nelle geometria per la retta. 3) what exactly happens in geometry to the straight line. (Vedi parte 1, libro I. cap. I). (See Part 1, Book I. chap. I). 4) Ciò succede infatti nella geometria. 4) What happens in fact in geometry.
Page 204 Page 204204 si tien conto nelle forme matematiche astratte della differenza di posizione nelle loro relazioni. 204 is taken into account in abstract mathematical forms of the difference in position in their relations. Questo concetto della grandezza intensiva determinata, poniamo da due elementi differenti di posizione e dati, è giustificato soltanto quando i due ele- menti determinano uno o più sistemi identici i cui elementi sono diversi di posizione e la grandezza intensiva determinata da questi due elementi è quella determinata in questo o in questi sistemi (def. II, oss. 111). This concept of intensive magnitude determined, say by two different elements and position data, is justified only when the two elements determine one or more identical systems whose elements are of different size and position intensive determined from these two elements is that determined in this or these systems (def. II, pers. 111). Ma v'ha di più. But there is more. Abbiamo visto testé che è possibile immaginare che non tutti i sistemi deter- minati ad es. We have just seen that it is possible to imagine that not all systems deter-mined eg. da due elementi siano identici, anche se sono identici nella posizione delle loro parti, e quindi bisogna supporre che le loro grandezze in- tensive siano riferibili fra loro mediante una grandezza intensiva presa come unità. two elements are identical, even if they are identical in the position of their parts, and therefore it must be assumed that their magnitudes in-tensive are referable to each other by a magnitude intensive taken as a unit. In tal caso non si può dire che due coppie di elementi sono identiche quando determinano la stessa grandezza intensiva, senza supporre che tutti i sistemi determinati dalle coppie suddette di elementi siano identici, cioè che vi sia anche l'uguaglianza di posizione (ae 111, def. Ili e IV, n. 9). In this case can not be said that two pairs of elements are identical when they determine the same size intensive, without assuming that all systems determined by the above pairs of elements are identical, ie that there is also the equality of the position (a and 111, final. Ill and IV, n. 9). Supporre che due coppie di elementi che determinano la stessa grandezza intensiva siano identiche (o che le forme i cui elementi determinano la stessa grandezza intensiva siano identiche) è ammettere già implicitamente che i sistemi determinati in posizione da due elementi siano rispettivamente identici; ed è per questo che se si parte dalla grandezza intensiva pure commettendo un er- rore di principio, questo errore non ha conseguenza per la teoria delle forme, ammettendo però la proprietà suddetta J). Suppose that two pairs of elements that determine the same size intensive are identical (or which forms the elements of which determine the same size intensive are identical) is to admit that the systems already implicitly determined in position by two elements are respectively identical, and it is for this that if we start from committing an intensive magnitude well er-ror of principle, this error has no consequence for the theory of forms, but admitted that the property J). Si potrebbe considerare anche come forma fondamentale la coppia di ele- menti, non intendendo già la grandezza intensiva da essi determinata, ma r in- sieme di tutti i segmenti delle forme ad una dimensione che hanno per estremi gli elementi dati. It could be considered also as a fundamental form the pair of elements, not meaning already intensive magnitude determined by them, but r to-gether of all segments of the forms to a size that have extremes for the data items. In tal caso si può parlare di coppie identiche in base alla sola def. In this case we can speak of identical pairs according to the final one. VI, 8 2). VI, 8 2). Ma ammettendo che tutte le coppie non siano identiche, abbiamo bisogno di determinare in qualche modo la loro differenza: ad es. But assuming that all pairs are not identical, we need to somehow determine the difference between them: eg. si può stabilire che la loro differenza sia di tal natura che tutte le coppie si esprimano numeri- camente mediante una di esse come unità. we can establish that their difference is of such nature that all couples will express numbers-cally by one of them as a unit. E anche qui bisogna riferirsi alle proprietà del continuo omogeneo ad una dimensione e alla proprietà (AB) = (BA), se non la si include in qualche altro assioma, perché qui mancherebbe la proprietà del sistema identico nella posizione delle sue parti (def. I, 70 e oss. II, 81) che serve a dimostrare quella proprietà sia in senso relativo che assoluto (g, 99 oe, 104). And here we must refer to the properties of a continuous uniform size and tenure (AB) = (BA), if not you include some other axiom, because there lack the properties of the system in the same position of its parts (def. I, 70 and obs. II, 81) which serves to demonstrate that property is in a relative sense that absolute (g, 99 oe, 104). Certo è che non si può dire che una coppia è maggiore o minore di un' altra, secondo le def. It is certain that can not be said that a pair is greater or less of an 'other, according to the final. I, II del n. I, II n. 61, ossia se questa sia o no parte della prima, perché questo concetto di parte indipendentemente dal concetto di gruppo qui non l'abbiamo. 61, namely whether or not this is the first, because this concept regardless of the group concept here we do not. Ricorrendo ad es. Way, eg. al continuo numerico diciamo la 1) E non ne ha nella geometria partendo dal concetto di distanza, che o la grandezza intensiva del segmento rettilineo determinato da due punti e che none neppure la coppia di punti (vedi avanti) perché la distanza definita comunemente sia analiticamente come geometricamente è precisamente la grandezza intensiva del segmento o della coppia di punti (def. Il, ni). continued to say the number 1) It does not have the geometry starting from the concept of distance, or magnitude of the intensive line segment determined by two points and that even the ninth pair of points (see below) because the distance is commonly defined analytically geometrically as intensive quantity is precisely the segment or the pair of points (def. The, ni). Vedi pref. See pref. ed appendice. and appendix. 2) ciò in un campo concreto, ad es. 2) thereof at a field concrete, eg. nella geometria, includerebbe la necessità di un assioma, vale a dire l'esistenza di coppie identiche. in geometry, would include the need for an axiom, namely the existence of identical pairs.
Page 205 Page 205205 coppia A è maggiore della coppia B quando il numero che rappresenta A è maggiore di quello che rappresenta B. 205 is greater than the pair A pair B when the number that represents A is greater than the one that represents B. Questo metodo eviterebbe l'errore di principio del primo, ma oltre che non si ha una forma fondamentale unica, come è la nostra, vi è tanto in questo come nell'altro metodo il difetto che si appoggia sul continuo nu- merico e almeno sulle proprietà fondamentali delle funzioni continue, che con questi metodi si lavora nella geometria in una forma particolare di date dimensioni *), di cui pure bisogna dare la definizione ; mentre il campo nostro non ha altre proprietà da principio ali'infuori di quella che è un insieme di elementi e che in esso dato un insieme particolare di elementi fuori di esso vi è sempre un altro elemento (def. VI, 13; oss. IV, 122). This method would avoid the mistake of the first principle, but beyond that not only has a basic form, like ours, there is much in this as in the default method that relies on the continuous and at least on the nu-Merico fundamental properties of continuous functions, that with these methods will work in geometry to a particular form of given size *), which also must give the definition, while our field has no other property from the beginning of what is a ali'infuori set of elements and that in it given a particular set of elements outside of it there is always another element (final VI, 13; obs. IV, 122). La nostra forma fondamentale invece (ip. IX) è indipendente da tutto il campo rimanente ed è con essa che costruiamo le altre forme ad una o più dimensioni 2). Our basic form instead (ip. IX) is independent from all over the remaining range and with it that we build the other forms to one or more dimensions 2). Volendo proseguire astrattamente bisognerebbe stabilire ora le ipotesi relative a una o più forme fondamentali. Wanting to continue the abstract should determine the assumptions about a hour or more basic forms. Il sistema astratto che noi vo- gliamo studiare è quello corrispondente alla geometria, e quindi passiamo senz'altro alla trattazione di questo sistema, tenendo presenti le condizioni alle quali devono soddisfare gli assiomi e le ipotesi astratte geometriche e il me- todo puramente geometrico 3). The abstract system vo-mend that we studied is the one corresponding to the geometry, and then of course we pass to the discussion of this system, mindful of the conditions to be satisfied by the axioms and assumptions abstract geometric and me-3 method purely geometrical ). 1) Nelle ricerche sai fondamenti della geometria da alcuno si fa uso della coppia di elementi (o intervallo) sebbene non si dica che cosa sia ma si confonda anzi comunemente con la distanza. 1) In research you know the foundations of geometry from any use is made of two elements (or range) even though you tell what it is but rather commonly confused with the distance. Ma a questo si rimedia facilmente, come abbiamo visto. But this is easily remedied, as we have seen. Non è però intuitivo in nessun modo che gli intervalli si possano confrontare l'un l'altro senza il concetto della linea retta. It is not intuitive in any way that the intervals can be compared to one another without the concept of the straight line. Dire che gli intervalli si pos- sono esprimere numericamente mediante un altro, e che si possono far corrispondere ai numeri del continuo numerico, è un'ipotesi possibile tanto più che è confermata dalle ricerche già note sulla retta, ma è un' ipotesi che non ha base sull' intuizione geometrica senza la retta. To say that the intervals may be expressed numerically by means of another, and that you can match the numbers of the numerical constant, the more you can guess which is confirmed by research already known on line, but it is a 'hypothesis that was based on 'geometric intuition without the fees. Di più bisogna dare in precedenza una definizione dello spazio a tre (oan dimensioni) di cui si vuole studiare la geome- tria altrimenti manca la base per la costruzione del piano e della retta mediante la sfera, come si fa partendo dalla coppia di punti. More must be given before a definition of the space of three (oan size) that you want to study the geometry otherwise lacks the basis for the construction of the plane and straight through the ball, how does starting from the pair of points. (Vedi pref. ed app.). (See pref. And app.). 2) Vedi anche pref. 2) See also pref. 3) Vedi pref. 3) See pref.
Page 206 Page 206 Page 207 Page 207PARTE PEIMA LA RETTA, IL PIANO E LO SPAZIO A TRE DIMENSIONI NELLO SPAZIO GENERALE. PEIMA THE PARTY LINE, THE FLOOR SPACE AND THREE DIMENSIONS IN THE GENERAL AREA.
Page 208 Page 208 Page 209 Page 209LIBRO I. BOOK I. LA RETTA E LE FIGURE RETTILINEE IN GENERALE. THE STRAIGHT LINE STRAIGHT AND FIGURES IN GENERAL. CAPITOLO I. CHAPTER I. La retta e le figure rettilinee in generale. The straight and rectilinear figures in general. Assiomi e ipotesi. Axioms and assumptions. 1. 1. Punto Assioma, I Figura, Spazio generale Geometria. Axiom point, I figure, Area General Geometry. Sistemi di punti ad una dimensione. Systems points to a dimension. I. I. Oss. Oss. emp. emp. !) Alla presenza dei corpi fuori di noi, che ci appariscono per mezzo dei sensi, specialmente per mezzo della vista e del tatto, è collegata Pidea di ciò che li contiene, e, si chiama ambiente esterno o spazio intuitivo, nel quale i corpi occupano ciascuno un determinato posto o luogo. !) In the presence of bodies without us, which appear to us through the senses, especially by sight and touch, is connected PIDEA of what they contain, and is called the external environment or space intuitively, in which bodies each occupy a particular place or location. Se osserviamo un corpo, esso oc- cupa,un determinato luogo; ma spostandosi il corpo,e fissando colla mente il luogo da esso occupato nel primo momento intuiamo che questo luogo esiste da sé indi- pendentemente dal corpo. If we see a body, it oc-dark, a certain place, but moving the body, and fixing his mind on the place it occupied in the first moment we sense that this place exists by itself independently from the body. Anche se un corpo non si muove, ad es. Even if a body does not move, eg. il libro che ho sul tavolo, io posso fare astrazione da esso, e pensare al posto che occupa. I have the book on the table, I can be abstracted from it, and thinking to the job. Apparentemente questo luogo riempito prima dal corpo in movimento, o dal corpo in quiete ma del quale facciamo astrazione, è evidenteipente vuoto, vale a dire non lo vediamo, o non lo immaginiamo, occupato da altri corpi. Apparently this place filled by the first moving body, or from the body at rest but which we make abstraction, evidenteipente is empty, ie we do not see, or imagine it, occupied by other bodies. Da ciò non consegue punto che esista effettivamente il vuoto assoluto, vale a dire un ambiente che non sia riempito da alcun corpo ; ma se noi pensiamo che un grave muovendosi Ce per questo possiamo pensare anche ad un punto materiale (corpuscolo)), il luogo in cui giace in un dato momento non venga riempito dalla materia circostante, noi abbiamo la nozione astratta del vuoto assoluto. It does not follow the point that there is indeed a perfect vacuum, that is to say an environment that is not filled by any body, but if we think that a serious moving Ce why we can think of a material point (particle)), the place which lies in a given time is not filled by the surrounding matter, we have the abstract notion of absolute emptiness. Ed essendo il vuoto ciò che astrattamente era o può essere occupato da un corpo non è il nulla. And being the void that was abstractly or may be occupied by a body is not nothingness. È coli'idea del vuoto abbia- mo anche l'idea dell*immobilità del vuoto stesso o dello spazio intuitivo. You coli'idea vacuum-we also have the idea of immobility * vacuum of space itself, or intuitive. Il concetto (int. 4) deir elemento fondamentale della scienza di cui vogliamo ora dare i principi (int. def. I, 57), col quale cioè riteniamo determinate le forme (og- getti) dei nostri studi (int. def. IV, 57), ci viene fornito da oggetti effettivamente esi- l) Delle considerazioni empiriche che ci servono per stabilire gli assiomi non teniamo alcun conto nell'enunciato delle proprietà e nelle dimostrazioni geometriche, facendo uso soltanto dei risultati ghe indipendentemente eia esse stabiliamo negli assiomi, 14 The concept (ext. 4) deir key element of science that we now give the principles (int. final. I, 57), with whom we believe that certain forms (or g-jets) of our studies (int. final. IV , 57), there is provided by the objects actually existing) Of the empirical considerations that we need to establish the axioms do not hold any account in the statement of the properties and geometric proofs, using only the results regardless of ghe eia they establish in the axioms , 14
Page 210 Page 210210 stenti fuori di noi nel mondo esterno, ad es. 210 hardship outside of us in the outside world, eg. dairestremità di un filo o da un'estre- mità dell'oggetto dellaflg.l. dairestremità of a wire or from one end of the object-Mita dellaflg.l. Facendo astrazione dalle sue qualità fisiche, l'estremità del filo, o ciò che segna la separazione di due delle sue parti consecutive, risveglia in noi l'idea di ciò che considereremo quale elemento fondamentale, ossia del punto *). Making abstraction of its physical qualities, the ends of the wire, or what marks the separation of two of its consecutive parts, awakens in us the idea of what we consider as a basic component, ie the point *). Altri oggetti, come il segno tracciato sul foglio dalla punta finissima di una matita risvegliano o producono in noi lo stesso concetto, la qual cosa dimostra che il punto è indipendente dalla materia dell' oggetto che ce lo fornisce, imperocché l'intuizione del punto non si riferisce tanto ali' oggetto quanto al posto che esso oc- cupa nell'ambiente che ci circonda. Other objects, like the mark made on paper from the fine tip of a pencil or produce awaken in us the same concept, which proves that the point is independent from the matter of 'object that we provide them, Inasmuch as the intuition of non-point refers both wings' object but instead that it oc-dark environment that surrounds us. Def. Def. I. I. L'elemento fondamentale (int. def. I, 57) del quale si compongono le forme (int. def. IV, 57) è dato dalla rappresentazione particolare summen- tovatn, e si chiama punto 2) I). The key (int. final. I, 57) which are composed forms (int. final. IV, 57) is given by the abovementioned-tovatn particular representation, and is called the point 2) I). Oss. Oss. emp. emp. IL I/identità dei punti è manifesta per l'intuizione del punto (int, def. VI, 8), e quindi dobbiamo stabilire il seguente assioma : Ass. L Esistono punti distinti Tutti i punti sono identici (int. def. Ili e oss. Ili, 9; def. II, III e oss. II, 57) 3). THE I / identity of the points was evident to the intuition of (int, def. VI, 8), and then we establish the following axiom: The Ass There are distinct points All points are identical (int. final. Ill and oss. Ill, 9, def. II, III and oss. II, 57) 3). Oss. Oss. I. I. Indipendentemente dall'intuizione o in senso puramente astratto questo assioma significa che tutti gli elementi fondamentali a cui si da il nome di punto sono identici ; esso ci da dunque una proprietà astratta indipendente dalP intuizione del punto. Regardless of intuition or purely abstract sense, this axiom means that all the fundamental factors which point to the name are identical, so it gives us an abstract insight dalP independent of the point. 2. 2. Oss. Oss. I. I. Ripeteremo qui alcune definizioni già stabilite nell'introduzione per i sistemi di elementi, considerando come elemento il punto, senza occuparci momen- taneamente della loro esistenza, la quale deve essere data o dedotta dagli assiomi che stabiliremo in appresso. Repeat here some definitions already established in the introduction to the systems of elements, given as a point, without dealing with moment-ously of their existence, which must be given or deduced from the axioms that will set out below. 1) Vedi anche int. 1) See also int. 55. 55. Adoperando il verbo risvegliare non intendo dire che risieda in noi a priori l'idea del punto, che di tale questione il matematico non si occupa (vedi pref.), ma intendo dire che questa idea è una di quelle che si formano o si svolgono in noi gradatamente senza che ce ne accorgiamo, e che quando cominciamo a studiare geometria questa idea, come quella della retta e di altre semplici figure, r abbiamo già in noi beila e formata. By using the verb does not mean that lies awake in us a priori the idea of the point, that question is that the mathematician is not concerned (see pref.), But I mean that this idea is one of those that are formed or performed in us gradually, without noticing it, and that when we begin to study geometry of this idea, such as tuition and other simple figures, r Beila and we have already formed. 2) Questa è una definizione puramente nominale, non intendiamo con essa di definire le pro- prietà del punto ma di riferirci alla rappresentazione spiegata nell'oss. 2) This is a purely nominal definition, does not mean by it to define the pro-property but the point of referring to the representation explained the OSS. emp. emp. I o nel n. I or n. 55 dell1 in- troduzione. 55 dell1 introduc-tion. I) Nelle note segnate con numeri romani, come abbiamo avvertito nella prefa- zione trattiamo della geometria nel campo di una sola unità come avviene comune- mente, sia per scopo didattico come per mostrare che si possono seguire gli stessi principi indipendentemente dalle nostre ipotesi astratte sull'infinito e infinitesimo, ma nello stesso tempo per far conoscere anche V utilità di queste ipotesi nello stu- dio delle proprietà del campo finito stesso (vedi pref.). I) In the notes marked with Roman numerals, as we warned in the preface treat-ment of the geometry in a single unit, as is customarily, either for educational purposes to show how you can be the same, independently of our abstract hypotheses infinite and infinitesimal, but at the same time to make known also V utility of these hypotheses in the study of the properties of finite field itself (see pref.). Non facendo uso deirintro- duzione la def. Not using deirintro-tion the final. di punto può essere data dunque come oggetto del quale si compon- gono tutti gli altri oggetti che noi consideriamo, o meglio come oggetto dato dalla rappresentazione suddetta. point can then be given as an object of the compon-which contain all the other items that we consider, or rather as an object of the representation given above. In un trattato elementare pei licei bisogna evitare le di- scussioni critiche, come ad es. In a treatise pei elementary schools need to avoid scussioni-critical, eg. Toss. Toss. I. I. Ciò valga per tutte le altre note. This applies to all other notes. Così biso- gna supporre alcune cose conosciute, ad es. So Biso Romagna assume some things known, eg. le proprietà principali dei numeri interi. the main properties of the integers. Per la def. For the final. del punto come per stabilire gli assiomi è utile ricorrere anche in un trattato elementare a considerazioni empiriche. the point as to establish the axioms is also helpful to use a treaty elementary empirical considerations. Osservo che in queste note intendo solo di mostrare la possibilità di seguire i miei principi in un trattato elementare; senza voler stabilire rigidamente un ordine determinato, specialmente nel principio. I note that in these notes I intend only to show the possibility to follow my principles in a basic treaty, without wanting to establish a strictly determined order, especially in the beginning. 3) Lasciamo da parte la questione s il punto abbia o no in sé parti, sebbene da quanto abbiamo detto al n. 3) Leaving aside the question's the point has or has not in itself the parties, although from what we have said no. 55 dell' introduzione intorno all'oggetto della fig. 55 of 'introduction around the object in Fig. 1 non solo il punto non è parte rispetto a questo oggetto, considerata la parte nel senso cbe serva a costruire il continuo secondo il teor. 1 not only the point is not part compared to this object, given the way in cbe serve to build the continuous according to the theorem. d. d. 105, ma non ne ha neppure considerato in sé stesso. 105, but he has not even considered in itself. {Vedi int. See {int. nota 4, 55). note 4, 55). Il punto è per noi una for? The point is for us? ma costante (|nt. def. Vii, 67). but constant (| nt. def. vii, 67).
Page 211 Page 211211 Def. 211 Def. L Ogni forma il cui elemento fondamentale è il punto (hit. def. IV, 57 e def. I, 38) la chiameremo figura o ente geometrica. Each L shaped key component is the (final hit.. IV, 57, and final. I, 38) we will call geometric figure or institution. Una figura A appartiene ad una figura B quando i punti di A sono punti di B, ed è parte di B quando nel caso suddetto, vi sono punti di B che non appartengono ad A, ossia sono fuori di A (ini. 13 e 26). A figure A belongs to a figure B when the points of A are points of B, and is part of B when in the above case, there are points of B that do not belong to A, ie they are out of A (ini. 1:26 p.m. ). Oss. Oss. II. II. (*) Qualunqne siano le proprietà della figura che corrisponde allo spazio intuitivo, astrattamente data o costruita una forma qualunque a possiamo immagi- nare fuori di a un altro elemento, cioè un elemento che non appartenga ad a senza che ciò contraddica alle proprietà della forma a stessa, né conduca a contraddizioni (int. a, 37). (*) Qualunqne are the properties of the figure that corresponds to the space intuitively, given the abstract or constructed in any shape we can to imagine off to another element, ie an element that does not belong to a without that this contradicts the properties of the form in itself, nor lead to contradictions (ext. to 37). Def. Def. II. II. (*) Lo spazio generate è dato da un sistema di punti tale che, data o costruita una figura qualunque vi è almeno un altro punto fuori di essa(oss. II); le cui proprietà non dimostrabili derivano in parte dall' osservazione esterna e in parte da principi astratti che non contraddicono alle prime; e le figure, finché il punto conserva il suo primitivo significato (def. I, 1) sono sempre ac- compagnate dall'intuizione spaziale l). (*) The space generated is given by a system of points such that, given a figure or any built there is at least one other point outside it (oss. II), whose properties do not demonstrable comes in part from 'external observation and in part from abstract principles that do not contradict the first, and the figures, until the point retains its primary meaning (def. I, 1) are always ac-panied the spatial intuition). Oss. Oss. III. III. Questa definizione e Toss. This definition and Toss. II si potrebbero ommettere senza portare al- cuna alterazione allo svolgimento delle nostre considerazioni 2) ; ed è perciò che le ab- biamo segnate con un asterisco. II could not omit to bring to-cradle altering the performance of our considerations 2), and therefore that the ab-biamo marked with an asterisk. Def. Def. III. III. La scienza dello spazio generale (e quindi delle figure in esso contenute) si chiama geometria. Space science general (and therefore of the figures contained therein) is called geometry. Oss. Oss. IV. IV. La geometria come scienza particolare del pensiero è scopo a sé stessa, ma ha pure per scopo principale lo studio e la costruzione delle figure concrete nel campo della nostra osservazione esterna (def. II, 38) 3), II). The geometry as a special science of thought is objective in itself, but also for the main purpose of the study and construction of concrete figures in the field of our external observation (def. II, 38) 3), II). 3. 3. Def. Def. I. I. Un sistema di elementi ad una dimensione il cui elemento è il punto (def. I, 1 e int. def. I. 62) è un sistema di punti che chiameremo figura ad una dimensione. A system of elements to a dimension of the element of which is the point (final I, 1 and int. Def. I. 62) is a system of points which we will call to a dimension figure. 1) Ciò non impedisce che col nome di punto non sì possa distinguere qualche altro ente che abbia delle analogie col punto che corrisponde alla def. 1) This does not prevent the name of a point we can not distinguish some other entity that has some similarities to the point that corresponds to the final. I, come è ad es. I, as is eg. il punto immaginario, ma di questi punti non avremo ad occuparci nel nostro libro. the imaginary point, but we will not have to deal with these points in our book. 2) I nostri assiomi stabiliscono soltanto l'esistenza delle figure a due dimensioni senzaescludere quella delle figure a più di due dimensioni ; ma le altre proprietà in questo capitolo valgono tanto per le due dimensioni come per lo spazio generale che ha un numero indeterminato di dimensioni e per gli spazi a tre ea più di tre dimensioni. 2) Our axioms establish only the existence of the figures in two dimensions senzaescludere that of figures to more than two dimensions, but the other properties in this chapter apply equally to the two dimensions as for the overall space which has an indeterminate number of dimensions and for the space of three and more than three dimensions. Per ora la def. For the final hour. di spazio generale non ci fa conoscere che questo : che noi abbiamo un sistema, di punti determinato dall' ass. space generally does not know this: that we have a system of points determined by 'ass. I, e che fuori di ogni figura data o costruita in esso vi è almeno un punto. I, and that out of any given figure or built in it there is at least one point. Per questo ultimo principio non occorre alcun assioma, perché ha ragione nella libertà del nostro pensiero (int. a, 37): occorrerà invece un'assioma per stabilire qual'é la forma astratta corri- spondente allo spazio intuitivo, ma questo assioma è necessario soltanto, come vedremo, perle pratiche applicazioni. For this last principle axiom is not needed, because it is right in the freedom of our thoughts (int a, 37): Instead un'assioma need to determine what is the abstract form corresponding to the space intuitively, but this axiom is needed only, as we shall see, pearls practical applications. 3) Qui si potrebbe dare la def. 3) You could give the final. di grandezza estensiva ed intensiva di una figura (int, ili), ma non lo facciamo per evitare fin da ora tutti i principi generali non necessari. extensive and intensive magnitude of a figure (int, pi), but we do not do right now to avoid all unnecessary general principles. La distinzione delle due grandezze dimostra cae la geometria non o la scienza dell'estensione, perché la scienza che ha per scopo la grandezza estensiva delle forme astratte è la scienza dell'estensione astratta; né è la scienza dell'estensione concreta corrispondente a quella dello spazio intuitivo perché la geometria si occupa anche della grandezza intensiva delle figure, nò si occupa della sola misura dell'estensione, come spesso viene definito. The distinction of the two variables shows no cae geometry or the science of extension, because the science that has as its aim the extensive size of abstract forms is the extension of abstract science, nor is the science of extension corresponding to that of concrete intuitive because the geometry of space is also in charge of the intensive magnitude of the figures, nor is responsible for only one measure of the extension, as is often defined. II) Per la def. II) For the final. di figura, non facendo uso dell' introduzione, si può dare qui la def. of figure, not making use of 'introduction, you can give here the final. IV del num. IV no. 57 dell'introduzione stessa, dando quindi la def. 57 introduction of the same, thus giving the final. Ili e tralasciando ogni definizione di spazio non necessaria per lo svolgimento della geometria; basta sup- porre soltanto in conformità ali'ass. Ill and omitting any definition of space is not necessary for the performance of geometry; just sup-pose only in accordance ali'ass. I che si ha un sistema di punti le cui proprietà vendono stabilite e dedotte dagli altri assiomi. I which has a system of points whose properties sell established and deduced from other axioms.
Page 212 Page 212212 Oss. Oss 212. I. I. Come ogni sistema ad una dimensione ha due versi opposti a cominciare da uno qualunque dei suoi elementi (int. 62 e 63), così è di ogni sistema di punti ad una dimensione. Like any one-dimensional system has two opposite directions, starting from any of its elements (ext. 62 and 63), so it is with any system of points in one dimension. Gli elementi di un sistema ad una dimensione si possono considerare come po- sizioni diverse di un elemento del sistema (int. 67), e quindi possiamo dire senza intro- durre nuovi principi, che i punti di un sistema ad una dimensione sono posizioni diverse di un punto che si muove sul sistema. The elements of a one-dimensional system can be regarded as a bit-sions of a different element of the system (ext. 67), and then we can say without introduce new principles, which points to a dimension of a system are different positions of a point that moves on the system. Per la stessa ragione, se consideriamo i punti consecutivi AAM AM .... For the same reason, if we consider the consecutive points AAM AM .... del sistema si può dire che i segmenti (AAW), (4M ^W) ecc. of the system can be said that the segments (AAW), (4M ^ W) etc.. sono posizioni diverse di un medesimo segmento che si muove o scorre sul si- stema, senza che da ciò derivi l'identità di quei segmenti e la continuità del si- stema stesso e senza che queste espressioni dipendano dal movimento reale dei corpi (int. 67). are different positions of a same segment that moves or slides on the sys-tem, without this resulting from the identity of those segments, and the continuity of the sys-tem itself and without that these expressions depend on the real movement of the bodies (int. 67). i). i). Un sistema di punti ad una dimensione è semplicemente chiuso^ se un punto '.. A point system is simply one-dimensional closed if a ^ '.. che si muove nel sistema percorre l'intero sistema in un dato verso ritornando nella posizione di prima. that moves in the system runs through the entire system at a given towards returning to the position as before. Un sistema ad una dimensione è semplicemente aperto se il punto che lo percorre in un verso o nel verso opposto non ripassa per un punto del sistema e se non ritorna al punto di partenza (int. 63 e 67). A system to a dimension is simply opened if the point that runs through it in one direction or in the opposite direction does not passes through a point of the system and if not returns to the starting point (int. 63 and 67). 055. 055. emp. emp. Un sistema ad una dimensione lo rappresente- remo spesso con un gruppo di segni tracciati sul foglio colla punta di una matita che si seguono in un dato verso indicato fig 2 di una o Taltra freccia, anche se tutte le proprietà deirog- getto non sono proprietà del sistema, e inversamente (flg 2). A system to a dimension the rappresente-oar often with a group of signs drawn on the sheet with the tip of a pencil that follow a given direction indicated in Fig 2 of one or Taltra arrow, even if all the properties deirog-jet properties are not of the system, and inversely (fig 2). Ogni disegno rappresentante una figura lo chiameremo anche figura. Each drawing showing a figure we'll call it even figure. Esso è però una figura concreta (def. I, 2 e int. def. II, 38) e non è da confondere con la figura astra tta corrispondente, della quale è un'immagine o una rappresentazione 2) III). It is however a concrete figure (def. I, 2 and int. Def. II, 38) and is not to be confused with the figure corresponding astra tta, which is an image or figure 2) III). Le proprietà svolte in questo libro colla scorta delie note segnate con numeri romani valgono non solo per il piano ma anche per lo spazio generale e per gli spazi a tr eea più di tre dimensioni. The properties carried out in this book with the basis of the notes marked with Roman numerals are valuable not only for the plan but also for the overall space and the space tr eea more than three dimensions. In un trattato di geom. In a treatise on geom. elementare bisogna limitarsi allo spazio intuitivo, ma non occorre dare di esso alcuna definizione, come non occorre darla per lo spazio generale.. Elementary must be limited to the space intuitively, but there is no need to give it any definition, as there is no need to give the overall space .. Al più per darne un'idea si potrebbe dire così: Lo spazio intuitivo è de- terminato da un sistema di punti le cui proprietà fondamentali non dimostrabili de- rivano in parte dall'osservazione esterna diretta e in parte da principi astratti che non contraddicono alle prime; e le figure, fintantoché il punto conserva il suo primi- tivo significato (def. 1,1), hanno o possono avere una rappresentazione reale completa rispetto alla nostra intuizione spaziale. As to give an idea you could say this: The space input is de-ended by a system of points whose fundamental properties not provable from Riva de-part direct external observation and partly from abstract principles that do not contradict the raw figures and as long as the item retains its first-tive meaning (def. 1.1), have or may have a complete representation of reality than our spatial intuition. Quale differenza vi sia fra l'intuizione di una figura dello spazio intuitivo e di una figura qualunque dello spazio generale vedremo specialmente nella parte seconda. What a difference there is between the intuition of an intuitive picture of space and a figure we will see any of the overall space especially in the second. La proprietà che fuori di ogni piano esiste un punto può esser data come assioma quando si costruisce lo spazio a tre dimensioni (libro III, parte I), stabilendo poi l'assioma che lo spazio intuitivo (oss. emp. 1) ha tre dimensioni, assioma non necessario per lo svolgimento della geometria a tre dimensioni, ma necessario per le pratiche applicazioni di essa nel campo delle nostre osservazioni esterne. The properties outside of each floor there is a point can be given as an axiom when constructing three-dimensional space (Book III, Part I), then setting the axiom that the space intuitively (oss. emp. 1) has three dimensions , axiom not necessary for the performance of the geometry to three dimensions, but necessary for the practical applications of it in the field of our external observations. 1) Vedi 26. 1) See 26. 2) L' uso delle figure tracciate sul foglio del disegno aiuta moltissimo la mente nelle indagini geometriche (vedi pref.), ei disegni od oggetti simili sono necessari per stabilire gli assiomi. 2) 's use of figures drawn on the drawing sheet helps a lot in mind geometrical investigations (see pref.), And the drawings or the like are necessary to establish the axioms. Ma la de- duzione delle proprietà fondamentali, specialmente quando non sono stabiliti ancora tutti gii assio- mi bisogna che sia indipendente dalla osservazione o dall'intuizione della figura affine di non intro- durre fin da principio concetti non ancora definiti, oppure affine di non ritenere dimostrata una pro- prietà che sia derivata invece dall'osservazione della figura. But the de-duction of the fundamental properties, especially when they are not yet established any gii axiom I must be independent of observation or intuition of the figure akin to not introduce from the beginning concepts not yet defined, or similar non- considered to be established a pro-property that is derived from observation instead of the figure. E non volendo abbandonare i grandi vantaggi che offre l'intuizione bisogna aver riguardo a questi inconvenienti cui essa può dar luogo. And not wanting to abandon the great advantages of the insight you need to have regard to these problems that it may lead. III). III). Non volendo ricorrere ali' introduzione (vedi nota I) la considerazione di serie di cose e di ordine, come la proprietà di esse si possono premettere brevemen- te nelle nozioni comuni in un trattato elementare. Not wanting to use wings' introduction (see Note I) the consideration of series of things and order, as the properties they may briefly precede it-yourself in the elementary notions in a treaty. Così si può dare la def. So you can make the final. I, la parte dell'oss. I, the OSS. I relativa al linguaggio del movimento, dando altresì Toss. I on the language of movement, also giving Toss. emp. emp. e la def* IJ. and the final IJ *.
Page 213 Page 213213 ì)ef. 213 ì) f. ÌL Se due sistemi di punti hanno un punto Comune A (int. def. VII, 13) diremo anche che si incontrano nel punto A, e che A è punto d'incontro o d'in- tersezione di essi. IL If two systems of points have a point Municipality A (int. final. VII, 13) we shall also meet at point A, and A is a meeting point or an intersection in-one. 2. 2. Assioma IL Prime proprietà della retta,. THE Prime Axiom properties of line. 4. 4. Oss. Oss. emp. emp. J. J. Abbiamo date le definizioni precedenti (3) sotto condizione che esi- stano gli enti a cui si riferiscono, ma non abbiamo ancora ammesso alcun principio dal quale sia data o si deduca la loro esistenza. We have given the above definitions, (3) under the condition that Stano existing institutions to which they refer, but we have not accepted any principle or by what date it is claimed that their existence. Noi sappiamo soltanto di avere un siste- ma di punti (ass. I, int. def. 1,13), e perciò non sappiamo se vi siano figure continue, e se vi sono qual'è quella che viene determinata dal minor numero di punti e qual'è questo numero. We know only of having a sys-tem of points (abs. I, int. Final. 1.13), and therefore we do not know if there are constant figures, and if you have what is what is determined by the lower number of points and what this number. E perciò non possiamo decidere se due punti determinino necessa- riamente una figura, fra quelle che li contengono, e se sì di quale natura sia (int. 122). And therefore we can not determine whether two points necessarily a figure among those that contain them, and if so of what nature is (ext. 122). Dobbiamo dunque vedere se vi è qualche oggetto esteriore il quale ci fornisca il con- cetto di una figura determinata da due punti. We must therefore see if there is some external object which provides us with the concept of a figure determined by two points. Se osserviamo l'oggetto della fig. If we observe the object of Fig. l,ae facciamo astrazione dalle sue qualità fi- siche, esso ci fornisce appunto il concetto (int. 4) di un sistema di punti ad una dimen- zione limitato da due punti. l, a and we make abstraction from its Siche-fi quality, it provides just the concept (ext. 4) of a point system to a size-tion limited by two points. Questa figura si chiama segmento rettilineo o semplice- mente segmento, quando non vi sarà luogo a confusione con segmenti di altri sistemi. This figure is called straight line segment or simply segment, when there will not be confused with segments of other systems. L'intuizione del segmento rettilineo viene pure risvegliata ]) in noi da un filo teso alle sue estremità (teso s'intende in senso empirico), dallo spigolo di un dado, da un rag- gio solare che per un forellino entra in una camera oscura, ecc. The intuition of the line segment is also awakened]) in us from a wire stretched at its ends (tense is understood in the empirical sense) from the edge of a die, from a radius for a solar enters into a pinhole camera dark, etc.. ecc. etc.. Il segmento ret- tilineo dunque, come il punto (oss. emp., 1) piuttosto che corrispondere al filo teso e allo spigolo di un dado o ad altri oggetti simili, corrisponde al luogo occupato da questi oggetti nello spazio intuitivo (oss. emp., 1). The segment ret-tilineo then, as the point (oss. emp., 1) rather than pay the tightrope and the edge of a nut or other similar objects, is the place occupied by these objects in space intuitively (oss. emp ., 1). Abbiamo veduto al n. We have seen no. 55 dell'introduzione che l'esperienza ripetuta ci conduce ad ammettere che il segmento rettilineo sia parte di un altro segmento rettilineo (int. def. II, 27 e def. Ili, 62), e quindi che sia parte di un sistema di punti ad una dimensione illimitato in uno e nell'altro verso (int. 32). 55 introduction to the repeated experience leads us to admit that the line segment is part of another line segment (int. final. II, 27 and final. Ill, 62), and therefore it is part of a system of points unlimited one-dimensional one and the other way (ext. 32). Ma anche se nell'ambiente esterno non fosse così, l'ipotesi astratta suddetta non solo non contraddice, ma giova anzi allo studio delle proprietà del campo limitato dell'osservazione 2). But even if the external environment were not so, the abstract hypothesis that not only does not contradict, but rather it should study the properties of the limited field of observation 2). Il sistema rettilineo è identico nella posizione delle sue parti (int. 55, def. I, 70; oss. II, 81); di più le parti dell'oggetto rettilineo della fig. The rectilinear system is identical to the position of its parts (int. 55, def. I, 70; oss. II, 81); more straight parts of the object in Fig. l,a sensibili all'osservazione sono finite rispetto ad una qualunque di esse fdef. l, sensitive to the observation are finished with respect to any one of them FDEF. II, 82), vale a dire se si hanno due parti (AB), (CD) e (AB) (CD), vi è un numero m intero naturale tale che (AB) m (CD) (e, SI). II, 82), ie if you have two parts (AB) (CD) and (AB) (CD), there is a whole natural number m such that (AB) m (CD) (and, YES). L'unità alla quale si riferiscono queste parti la chiameremo unità rettilinea sen- sibile all'osservazione o semplicemente unità sensibile. The unity to which we refer here to the unit will call straight sen-sible watching or just friendly drive. Di più,l'oggetto rettilineo ci ha servito di guida per stabilire Tip. More, the object straight served us to establish driving Tip. VI del con- tinuo relativo (int. 55 e 96), quindi l'oggetto rettilineo è continuo relativamente al- l'unità sensibile. With continuous-VI of the relative (int. 55 and 96), then the object is continuous relative to the straight-sensitive unit. Questo oggetto (fig. 1 guardato al microscopio potrebbe non es- sere continuo, ma lo è il luogo da esso occupato rispetto alla nostra intuizione spa- ziale (int. 55). Da quanti dei suoi punti è determinato in posizione questo sistema ? Astratta- mente, dalla proprietà che esso è una figura ad una dimensione identico nella posi- zione delle sue parti e continuo non risulta il numero dei punti dai quali è deter- minato (int. 122); dobbiamo quindi ricorrere all'esperienza. E ricorrendo all'espe- 1) Vedi nota, i. This object (Fig. 1 looked at under a microscope could not be es-continuous, but it is the place it occupied with respect to our spatial intuition (ext. 55). How many points is determined by its position in this system? Abstract - the mind, by the property that it is a figure identical in size to a position of its parts is not constant and the number of points from which is deter-mined (ext. 122), so we have to resort experience. using E experi-1) See note, i. 2) Qui si ha appunto un'ipotesi astratta di cui abbiamo parlato nella def. 2) Here you have just an abstract hypothesis which we discussed in the final. dello spazio intuitivo alla nota li). space intuitively known to them).
Page 214 Page 214214 rienza noi vediamo che il luogo Occupato dall'oggetto rettilineo è determinato dalle sue estremità, e siccome il segmento determina l'intero sistema, così questo è de- terminato da due dei suoi punti. 214 experience we see that the place occupied by the object straight is determined by its end, and as the segment determines the entire system, so this is de-ended by two of its points. Noi vediamo che due punti qualunque distinti che corrispondono alle estremità di un oggetto rettilineo nel campo della nostra osser- vazione determinano sempre un segmento rettilineo, ma ci basterà ammettere che lo sia da due dei suoi punti soltanto. We see that any two points which correspond to distinct ends of a rectilinear object in the field of our observation always determine a straight line segment, but there will be enough to admit that it is only from two of its points. Se si desse questa proprietà per tutte le coppie di punti si ammetterebbero tanti assiomi quante sono le altre coppie (vedi nota IV). If you give this property for all pairs of points being tolerated many axioms as there are other pairs (see Note IV). D'altronde se il sistema è determinato dalle coppie di punti che corrispondono alle estremità di oggetti rettilinei situati nel campo della nostra osservazione, ciò non significa che esso lo sia da due qualunque dei suoi punti, perché anche intuitiva- mente o coli'osservazione non si può dire che tale proprietà abbia luogo per le cop- pie di punti del sistema di cui uno almeno corrisponde ad un oggetto non compreso nel campo della nostra osservazione, essendo questo campo sull'oggetto rettilineo una parte finita presentemente data rispetto all'unità sensibile, e quindi immaginan- do l'oggetto prolungato oltre questo campo, come abbiamo detto precedentemente, non possiamo più dire che pei suoi estremi non passi un altro oggetto rettilineo. On the other hand if the system is determined by the pairs of points that correspond to the ends of straight objects located in the field of our observation, this does not mean that it shall be from any two of its points, because even intuitive-mind or not coli'osservazione it can be said that this property takes place for the pairs of points in the system, one of which at least corresponds to an object not included in the field of our observation, this field on the object being a straight portion over at present date with respect to the unit sensitive , and then give the object-immaginan extended beyond this field, as we said earlier, we can not say that pei its extremes does not pass another object straight. Del resto tale questione risorgerà sotto altri aspetti, e vedremo che anche intui- tivamente non possiamo deciderla. Furthermore, this issue will rise in other respects, and we will see that we can not decide it intu-tively. Astrattamente dunque dobbiamo fln da principio am- mettere la possibilità che due punti non determinino la retta. So theoretically we NLF am-putting at first the possibility that two points do not determine the fees. Riassumendo diamo per- ciò il seguente assioma: As'.v. To summarize-what we take for the following axiom: As'. V. il. the. CL Esiste un sistema di punti ad una dimensione identico nella posizione delle sue parti determinato da due dei suoi punti distinti e continuo. CL Is there a point system to a size identical to the position of its parts determined by two of its distinct points and continuous. Def. Def. I. I. Questo sistema si chiama lìnea retta o retta. This system is called a straight line or straight line. Oss. Oss. /, Determinata da due punti significa che due rette non hanno questi punti comuni (int. def. VII, 13) senza coincidere (int. def V, 57 e 122). /, Determined by a colon means that these two lines have no common points (int. final. VII, 13) without overlapping (int. final V, 57, 122). Oss. Oss. II. II. Questo assioma è pure indipendente dall' intuizione, perché facendo astrazione da essa ci dice che esiste un sistema ad una dimensione di elementi iden* tico nella posizione delie sue parti e continuo che viene determinato da due dei suoi elementi* Che cosa sia un tale sistema abbiamo già stabilito astrattamente nell'introdu- zione, cioè senza l'uso necessario dell'intuizione (int* 62, 68, 70, 96 e oss, II, 81 e 99). This axiom is also independent of the 'intuition, because in isolation it tells us that there is a one-dimensional system of identical items * tico position Delie and continuous parts is determined by two of its elements * What is a system that We have already established theoretically in the intro-tion, that is without the necessary use of intuition (int * 62, 68, 70, 96 and oss, II, 81 and 99). Oss. Oss. III. III. L'assioma I ci assicura soltanto che è dato un sistema di punti, ma non ci da di questo sistema alcuna proprietà ali'infuori di quella che tutti i punti sono uguali. The axiom assures us only that I was given a points system, but there is no property by this system ali'infuori that all points are equal. Se esiste un sistema particolare di punti non significa perciò che questo debba essere ad una dimensione, e se è tale, che sia anche identico nella posizione delle sue parti, sia continuo e sia poi determinato da due dei suoi punti. If there is a particular system of points does not mean, therefore, that this should be to a dimension, and if it is such, that it is also identical in the position of its parts, is continuous and it is then determined by two of its points. Le parti adun- que in cui abbiamo scomposto nell'introduzione la parte a) dell'assioma II non si possono dedurre dalle precedenti (int. oss. II 81; nota 8. 99 e oss. 122), L'osservazione stessa e lo svolgimento della geometria ci dimostrano come esi- stono dei sistemi ad una dimensione identici nella posizione della loro parti e con* tinui che non sono determinati da due puntJ4 Oss. The parties to a licensing-where we have factored this part in the introduction) of the axiom II can not be deduced from previous (int. oss. II 81, note 8. And 99 obs. 122), and the same observation course of the geometry show how the systems do exist to a dimension identical to the position of their parts and with * tinui that are not determined by two puntJ4 Oss. IV. IV. Tacitamente diamo gli assiomi rispetto ad un'unità corrispondente ai- Punita sensibile (oss. emp.), senza però che ad essi contraddicano la definizione dello spazio generale (def. II, 2) e le ipotesi astratte che stabiliremo in seguito; e vedremo che essi, colle ipotesi astratte suddette o coll'ipotesi delle parallele date nella nota XV, bastano per svolgere la geometria a più specie di unità rettilinee o nel solo canapo finito di un unità, e in qualunque spazio da noi costruito, Oss. We give the axioms tacitly compared to a unit corresponding to the Punished-sensitive (oss. emp.), But without them contradict the definition of the overall space (def. II, 2) and assumptions that abstract will establish later, and we will see that they, with their abstract hypotheses above or to the belief of parallels given in Note XV, enough to carry out the geometry to drive straight or more species in the rope just finished a unit, and in any space that we built, Oss. V. V. Come si faccia a costruire praticamente un segmento uguale ad un seg- mento dato non occorre sapere per la teoria. How do you build a segment almost equal to a given segment does not need to know about the theory. Ci basta l'esistenza di segmenti uguali sulla retta *). All we need is the existence of equal segments on the right *). i) vedi 20. i) see 20.
Page 215 Page 215215 Òss. Oss 215. VÌ. You. Alla retta come sistema identico nella posizione delle sue parti conti- ti n ne si estendono tutte le proprietà di questo sistema, come quelle che derivano dalla sua continuità. To the straight line as a system identical to the position of its parts accounts-n it will extend all the properties of this system, such as those resulting from its continuity. Riferiremo qui le principali, deducendone però altre coli' aiuto dell'ass. Will report here the main, however, other minus coli 'help the ass. Il.a. Il.a. Teor. Teor. I. I. La retta è semplicemente chiusa o semplicemente aperta (int. e', 68). The straight line is simply closed or simply open (int. and ', 68). Teor. Teor. IL Scelto un punto X della retta, vi sono su di essa due soli segmenti uguali ad un'altro segmento qualunque (AB), che hanno per estremo comune r elemento X e sono dello stesso verso (int. ', 69). THE Chosen a point X of the straight line, there are on it only two equal segments to another segment of any (AB), which have for extreme joint element r and X are of the same direction (int. ', 69). Teor. Teor. III. III. La retta a partire da un suo punto in un dato verso, è uguale alla retta considerata da un altro punto qualunque di essa nel verso dato o nel verso opposto (int. a, 70 e conv. I, 69). The straight line from one of its points in a given direction, is equal to the line considered from another point of it in any given towards or in the opposite direction (int. to, 70 and conv. I, 69). Coroll. Coroll. I. I. Scelto un punto X qualunque della retta, in uno e nell'altro verso esiste un solo segmento identico ad un altro segmento (AB) di essa (int. a', 70). Selecting a point X any of the straight line, in one and in the other direction there is only one segment identical to another segment (AB) of it (int. a ', 70). Coroll. Coroll. IL Se la retta è aperta ogni suo punto la divide in due parti uguali (int. a"t 70). Def. II. Se la retta viene determinata da due punti A e B si dice an- che che congiunge o unisce i punti A e B. Se una retta contiene un punto A si dice anche che passa pel punto A. Ind. I. Indicheremo ordinariamente le rette con lettere italiche minuscole o col simbolo AB, mentre i punti li indicheremo in generale con lettere italiche maiuscole. Teor. IV. Dato un punto qualunque sulla retta vi sono almeno due punti che con esso determinano la retta, ea partire da un punto, in uno e nell'altro verso, vi sono infiniti segmenti uguali consecutivi i cui due estremi determina- no la retta. Secondo l'ass. II, a vi devono essere due punti A e B della retta che la determinano e quindi su di essa determinano almeno un solo segmento che ha per estremi i punti dati (teor. I, int. e e. 64). Sia (AB) questo segmento e sia^C un altro punto qualunque della retta. Sulla retta in uno e nell'altro verso vi è un segmento (XY) identico al segmento (AB) (coroll. I, teor. Ili), e perciò i punti X e Y determinano il segmento (XY) (int. def. Ili, 9; , 60), vale a dire una retta, la quale deve coincidere colla retta data, altrimenti vi sareb- bero due rette passanti per i due punti X e Y contro 1' ass. II, a (oss. I). Teor. V. La retta non può essere determinata da un solo punto. Bisogna supporre che mentre occorrono i due punti A e B per determi- narla (ass. II, a) vi sia un punto C almeno che la determina da solo. In tal caso A non avrebbe la stessa proprietà del punto C. Ma vi è in essa un seg- mento (CD)^(AB) (coroll. I, teor. Ili), e quindi se A non determina da solo il segmento (AB), C non determina da solo il segmento (CD), e perciò neppure la retta, perché essendo (AB) e (CD) identici (int. def. Ili, e oss. Ili, 9) hanno le stesse proprietà, cioè anche quelle dei punti corrispondenti rispetto agli stessi segmenti (int. dim. di , 60). 088. em. II. Abbiamo già detto che due punti qualunque del campo della nostra osservazione determinano un solo segmento rettilineo, e quindi anche una sola retta ; ma poiché come abbiamo detto nell'oss. emp. I non possiamo pronunciarci ancora se IL If the line is open every point divides it into two equal parts (int. "t 70). Def. II. If the line is determined by two points A and B is said that an-linking or joining the points A and B. If a line contains a point A is said also that passes through the point A. Ind. I. routinely denote lines with italic lowercase letters or with the symbol AB, while the dots denote them in general case italic letters. Teor . IV. Because any point on the line there are at least two points which determine the line with it, and starting from a point, in one and in the other direction, there are infinite consecutive equal segments whose two ends determines the straight-no . According to the ass. II, there must be two points A and B which determine the line on it and then determine at least one segment that has the extreme data points (theor. I, int. and e. 64 ). Let (AB) and this segment is C ^ another point any of the straight line. On the straight line in one and in the other direction there is a segment (XY) identical to the segment (AB) (coroll. I, theor.. III) , and therefore the points X and Y determine the segment (XY) (int. final. Ill, 9;, 60), ie a straight line, which must coincide with the given line, otherwise there would have resulted in two lines passing through the two points X and Y v. 1 'ass. II, at (oss. I). Teor. V. The line can not be determined by a single point. We must assume that while it takes the two points A and B to deter-nate her (abs. II, a) there is a point C at least that has been. In this case A would not have the same properties of point C. But in it there is a segment (CD) ^ (AB) (coroll . I, theor.. III), and then determines if A does not only from the segment (AB), C determines not only from the segment (CD), and therefore even the straight line, because being (AB) and (CD) identical ( int. def. Ill, and oss. Ill, 9) have the same properties, ie also those of the corresponding points compared to the same segment (int. dims. of, 60). 088. em. II. We have already said that two points any of the field of our observation determine a single straight line segment, and therefore also only one straight line, but because as we have said OSS. emp. I can not judge if still
Page 216 Page 216216 sulla retta vi siano o no coppie di punti che non la determinano, Completiamo l*ass. 216 on the line or not there are pairs of points that do not determine, the * We complete ass. Il colla seguente proprietà: Ass. IL b, Esistono punti fuori della retta. Glue the following property: THE Ass b, there are points outside the line. Ogni punto che non appartiene alla retta determina con ogni punto di essa un'al- tra retta l). Every point that belongs to the line determined by any point it straight between Jazzera-l). Oss. Oss. VII. VII. È chiaro che facendo astrazione dall'intuizione questo assioma contie- ne una proprietà astrattamente ben determinata. It is clear that in abstraction from the intuition that axiom CONTAINS it-a property well defined abstractly. L'ass. The ass. II, a riguarda la sola retta in sé stessa, non dice quindi nulla da solo sull'esistenza di punti fuori della retta. II, to refer only to the right in itself, does not say anything on my own then points out the existence of the line. L'ass. The ass. I è soddisfatto anche dai soli punti di una retta. I is also satisfied by the only points of a straight line. Si vede dunque che ogni punto situato fuori della retta è indipendente dalla r tta o che non è in nessun modo dato da essa. We can see therefore that every point outside the straight line is independent of r tta or that is in no way gave it. Se data la retta mediante T ass. If a straight line using T abs. II, a risultasse che tutti i punti fuori di essa godono o non godono la proprietà dell'ass. II, to prove that all points outside it enjoy or not enjoy the property the ass. II, 5 ciò vorrebbe dire che ogni punto sarebbe in qualche guisa dipendente da essa, o dalla coppia di punti che la determina; o in altre parole la proprietà di questa coppia che finora nell'ass. II, 5 this would mean that every point would in some way dependent on it, or by the pair of points that determines; or in other words, the properties of this pair that so far nell'ass. II, a è speciale sulla retta, si estenderebbe senz/altre considerazioni ad una coppia di punti indipendenti. II, is special to the line, you certainly would extend / other considerations to a pair of independent points. La proprietà II, b si può dunque ritenere indipendente da a, e quindi non con- traddicente a II, a. The property II, b can therefore be considered to be independent, and therefore not with-traddicente to II, a. L'osservazione stessa ci assicura poi d'altra parte che 1' ass. The same observation also assures us, moreover, that 1 'ass. II, b non contraddice ali" ass. II, a. IV) 2). 1) indichiamo questo assioma con H6 Cerche riguarda Je coppie di punti che determinano la retta. IV; Come ho detto (nota I e int. oss. II e nota 1, 81) in un trattato per uso dei licei, bisogna rimanere nel campo di una sola unità almeno nella planimetria, il che si ottiene coli1 ass. V. d" Archimede. II, b does not contradict wings "ass. II, a. IV) 2). 1) denote this axiom H6 quests with regards Je pairs of points that determine the line. IV; As I said (and note I int. Oss. II and note 1, 81) in a treatise for the use of high schools, must remain in the field at least one unit in the plan, which is obtained coli1 ass. V. d "Archimedes. Per il continuo rettilineo si possono se- guire i principi deir introduzione colle opportune modificazioni e riduzioni, indicate nell'oss. For the continuous straight-if you can per their principles deir introduction glues appropriate modifications and reductions, given the OSS. 11,81 e nota 8,99. 11.81 and note 8.99. Vedi anche la nota citata dellM. See also the note above dellM. Il continuo rettilineo e l'assioma V d'Archimede . The continuous straight line V and the axiom of Archimedes. Anche se alcune proprietà dimostrabili, come quella del teor. Although some demonstrable properties, such as that of the theorem. a del n, 99 deir introduzione per ragioni didattiche si credesse di ammetterle come evidenti, ciò non nuocerebbe gran fatto al metodo generale, perché T insegnante saprebbe già che queste proprietà sono invece dimostrabili mediante gli assiomi pre- messi. to the No, 99 deir introduction for educational reasons is believed to allow these obvious, this is not much harm done to the general method, because T teacher would know already that these properties are provable by the axioms pre-made. Ed è per ragioni didattiche che è preferibile, come si vedrà in seguito, di so- stituire Tassioma II col seguente: Ass. II'. And it is for educational reasons, it is preferable, as we shall see later, the know-II Tassioma replace with the following: Asst II '. Due punti distinti qualunque determinano un sistema identico nella posizione delle sue parti e continuo, che li contiene, e si chiama retta. Any two distinct points determine a system identical to the position of its parts and continuous, which contains them, and is called a straight. Esistono punti fuori della retta* È però evidente che sotto questa forma T assioma contiene un maggior numero di proprietà che nella forma primitiva, perché col nostro assioma II non ammettiamo che la retta sia determinata da una coppia qualunque dei suoi punti, riservandoci di dedurre poi se e quando due punti qualunque non determinano la retta, per non escludere il sistema di geometria così detto sferico. There are points outside of the line * It is clear, however, that in this form T axiom contains a greater number of properties that in the primitive form, because with our axiom II do not admit that the straight line is determined by a pair any of its points, reserving to deduce then if and when any two points do not determine the line, not to exclude the so-called spherical geometry system. Scientificamente dunque è da preferire Tass. Scientifically it is therefore preferable Tass. li. them. È per questo che le modificazioni da introdurre nel testo, rimanendo nel solo campo finito, le indicheremo nelle note seguenti sia per l'ass. That is why the changes to be introduced in the text, remaining only in finite field, denoted in the following notes for the ass. II come per T ass. II as T abs. Il', finché sarà inutile tener conto della loro distinzione, come avviene ad un dato punto svolgendo, come noi ci proponiamo in queste note, il sistema Euclideo. The 'long as it is useless to take account of their distinction, as it is doing at a given point, as we propose in these notes, the Euclidean system. Coir ass. Coir ass. II si segue lo stesso ordine del testo fintantoché non introdurremo il concetto del continuo assoluto sia coll'oss. II follows the same order of the text until they introduce the concept of continuous coll'oss absolute terms. II, 2 sia senza questa osservazione, come sarà indicato nel testo stesso, o nelle note. II, 2 this observation is not, as will be indicated in the text itself, or in the notes. 2) vedi pref. 2) see pref.
Page 217 Page 217817 Òse. 817 OSE. Vili. VIII. Avremmo potuto tralasciare la prima parte dell'ass. We could skip the first part of the ass. II, b basandoci sull'oss. II, b basing OSS. II, 2, se non ci fosse utile sia per le note segnate col numeri romani nelle quali non facciamo uso di questa osservazione (nota II) sia per meglio stabilire le nostre ipotesi astratte. II, 2, if there were useful both for notes marked with Roman numerals in which we do not use this observation (note II) is to better establish our abstract hypotheses. Teor. Teor. VI. VI. Se due punti non determinano la retta, l) ogni retta che con- tiene Vuno contiene anche l'altro. If two points do not determine the line, l) any line that con-tains Vuno also contains the other. Siano X e Y i due punti, e sia r una retta passante per Y, il che è pos- sibile perché per l'assioma II, a esiste una retta, e quindi se Y non è in questa retta determina una retta con ogni punto di essa (ass. II, ), la quale passa per Y (def. II, ass. II, a). Let X and Y the two points, and let r be a line passing through Y, which is pos-sible because the axiom II, exists in a straight line, and so if Y is not in this line results in a straight line with each point it (abs. II), which passes through Y (final II, Ch. II a). Se X non appartiene alla retta r, X determina con Y una retta (ass. II, ), ciò che è contro il dato. If X does not belong to the line r, X causes Y with a line (abs. II), which is against the data. Corali. Choral. I. I. Se tre punti non sono in una retta determinano due a due tre rette. If three points are not in a correct determination of two two-three lines. Difatti se due di essi non determinassero una retta, ogni retta passante per uno di essi passerebbe anche per l'altro, e quindi sarebbero situati tutti e tre in linea retta. In fact, if two of them do not determinassero a straight line, each line passing through one of them pass also to the other, and therefore would be located all three in a straight line. Coroll. Coroll. IL I punti che con un punto dato non determinano la retta non la determinano fra loro. IL The points with a given point does not determine the line do not determine each other. Difatti siano B e C due punti che con un punto A non determinano la retta; ciò vuoi dire che ogni retta che contiene A contiene anche B e C, e così ogni retta passante per B o per C passa anche per A (def. II, teor. VI); dunque ogni retta passante per B passando per A contiene C, e quindi B e C non de- terminano la retta (ass. II, ae oss. I). In fact, B and C are two points with a point A does not determine the straight line, and this means that every straight line that contains A also contains B and C, and so each straight line passing through B or C passes also for A (final II , theor.. VI); therefore every straight line passing through point B to A contains C, and then B and C does not de-ending the straight line (abs. II, ae oss. I). Teor. Teor. VII. VII. Se un punto non determina la retta con un altro punto di essa, ogni punto della retta ha la stessa proprietà, ea partire da un punto in uno e nell'altro verso vi sono infiniti segmenti uguali consecutivi i cui estremi non determinano la retta. If a point does not determine the straight line with another point of it, each point on the line has the same property, and starting from a point in one and in the other direction, there are infinite consecutive equal segments whose ends do not determine the straight line. La dimostrazione della prima parte di questo teorema è analoga a quella del teor. The demonstration of the first part of this theorem is similar to that of the theorem. V. V. Ogni retta passante per uno degli estremi di un segmento della serie passa anche per tutti gli altri estremi (coroll. II, teor. VI). Each straight line passing through one of the ends of a segment of the series also passes through all the other extreme (coroll. II, theor.. VI). Teor. Teor. Vlir. VLIR. Ogni segmento rettilineo (AB) è parte di una sola retta. Each straight line segment (AB) is part of a single straight line. Oppure : Due rette che hanno un segmento comune coincìdono. Or: Two straight lines that have a common segment coincide. Siano re rì9 le rette che hanno il segmento comune (AB). King rì9 are the straight lines which have the common segment (AB). Le coppie di punti di questo segmento non possono determinare la retta (ass. II, a, oss. I), quindi ogni retta passante per uno di essi, ad es. The pairs of points of this segment can not determine the straight line (abs. II, a, obs. I), then every straight line passing through one of them, eg. B, contiene anche tutti gli altri punti del segmento, e perciò anche il segmento (AB). B, also contains all the other points of the segment, and therefore also the segment (AB). Immaginiamo ora sulla retta r un segmento (BC) = (AB) e dello stesso verso (teor. II). Now imagine on the straight line r a segment (BC) = (AB) and the same direction (theor. II). Il segmento (BC) ha le stesse proprietà del segmento (AB) (int. def. Ili, 9), e ogni altra retta che contiene B contiene anche tutti gli altri punti del seg- mento (BC) (teor. VII). The segment (BC) has the same properties of the segment (AB) (int. final. Ill, 9), and any line that contains B contains all other points of the segment (BC) (theor. VII). Dunque il campo della scala di unità (AB) in r (int. def. Ili 80; def. I, II, 107) è comune alla retta rt; o in altre parole siccome ogni punto di re di r è contenuto in questo campo (oss. IV e int. oss. II, 81), le rette r e TI coincidono (int. def. V, 57). Therefore the field of the scale unit (AB) in r (int. final. Ill 80; final. I, II, 107) is common to the line rt; or in other words, since every point of r and r is contained in this field (oss. IV and int. oss. II, 81), the lines coincide TI King (ext. final. V, 57). Dunque ogni retta passante per A coinciderebbe colla retta r, e quindi i) Anziché dire una sola retta diciamo anche la retta. So every line through A coincides with the line r, and then i) Instead of saying a straight line we say also.
Page 218 Page 218218 o A determinerebbe la retta, ciò che è assurdo (teor. IV); ovvero non vi sarebbero punti fuori della retta, il che è pure assurdo (ass. II, 6, opp. oss. II, 2). A lead 218 or the straight line, which is absurd (theor. IV), or there would be points off the line, which is also absurd (abs. II, 6, opp. Oss. II, 2). Coróll. Coróll. I. I. Un segmento rettilineo (AB) qualunque determina una sola retta. A straight segment (AB) determines any one straight line. Difatti siccome appartiene ad una sola retta, questa è determinata dal segmento dato. In fact, since it belongs to a single straight line, this is determined by the given segment. Coróll. Coróll. IL Un punto non può determinare un segmento rettilineo. THE A point can not determine a straight line. Difatti determinerebbe la retta determinata dal segmento stesso, il che è assurdo (teor. IV). In fact, lead the line determined by the segment itself, which is absurd (theor. IV). Coróll. Coróll. III. III. In ogni segmento (AB) vi sono punti che con uno qualunque degli estremi o con altri punti dello stesso segmento determinano la retta. In each segment (AB) there are points with any of the extremes of the same or other points determine the straight line segment. Difatti se in (AB) non vi è alcun punto che con A determina la retta, quindi nemmeno B, il segmento (AB) è situato in ogni retta passante per A, il che è assurdo. In fact, if in (AB) there is no point that determines the straight line with A, then B not even, the segment (AB) is located in each straight line passing through A, which is impossible. Se X è un punto di (AB) che con A determina la retta, divi- dendo per metà (AX) nel punto M (oss. IV; int. , 99), M determina con A la retta, perché essendo (AM) = (MX), se M non determinasse la retta con A non la determinerebbe neppure con X, e perciò non la determinerebbero neppure A e X (teor. VII) contro l'ipotesi. If X is a point (AB) with A determines that the straight line, by dividing for half (AX) in the point M (IV oss.; int., 99), M determines the straight line with A, because being (AM) = (MX), if M is not determined the straight line with the A does not result even with X, and therefore do not lead to even the A and X (theor. VII) against the hypothesis. Così dicasi per tutti i punti M che dividono (AX) in n parti uguali (int. , 99). The same applies for all the points that divide M (AX) into n equal parts (int., 99). Per dimostrare che nel segmento (AB) Vi sono punti che con un punto dato X determinano la retta basta considerare il seg- menro (AX) o il segmento (XB). To demonstrate that the segment (AB) There are points that determine a given point X is enough to consider the line segment by menro (AX) or segment (XB). Teor. Teor. IX. IX. Ogni punto è situato in più rette distinte. Each point is located in more distinct straight lines. Per T ass. For T abs. II, a esiste una retta r. II, there exists a straight line r. Considerando un punto B fuori della retta r, il che è possibile (ass. II, b opp. oss. II, 2), esso determina una retta r' con un punto A di r, la quale non coincide con r (int. def. V, 57), non solo perché rer non hanno il punto 1? Whereas a point B outside the straight line r, which is possible (abs. II, b opp. Obs. II, 2), it determines a straight line r 'with a point A of r, which does not coincide with r (int. final. V, 57), not only because rer not have the point 1? comune, ma perché r non può contenere tutti i punti di un segmento qualunque di r, ed r non può contenere tutti i punti di un segmento di / (teor. Vili). common, but because r may not contain all the points of a segment of any of r, and r may not contain all the points of a segment of / (theor. VIII). Scelto un altro punto qualunque C di r, si ha la retta BCche non può coincidere con /, altrimenti rer' avrebbero i punti di un segmento comune contro il teor. Chosen another point of any C r, one has the straight BCche can not coincide with /, otherwise rer 'would have the points of a common segment against the theor.. Vili; e la retta BC, per la stessa ragione di r, non coincide con r. VIII, and the line BC, for the same reason of r, does not coincide with r. Scelto un altro punto D qualunque di r, esso determina una retta con B che non coincide, per tutti i punti D differenti da A e C, con BA o con BC. Chosen another point D any of r, it determines a straight line which does not coincide with B, for all the points D different from A and C, with BA or with BC. In ogni segmento (XY) della retta r nel quale non cadono punti di rette già costruite, come BA BC, BD ecc. In each segment (XY) r of the line that does not fall straight points already made, as BA BC BD etc.. vi è almeno un punto Z che con B determina una retta distinta da re da ogni altra retta già costruita, altri- menti questa e la retta r, o la retta BZ e la retta r, avrebbero il segmento (XY) comune, il che è assurdo (teor. Vili). there is at least a point Z with B determines a line separate from each other straight from the King already built, otherwise this is the line r, or BZ and straight line r, the segment would (XY) policy, which is absurd (theor. VIII). Scelto un punto Bl fuori delle rette costruite nel modo suddetto, il che è permesso (oss. II, 2), Bl determina con B un' altra retta (ass. II, 6), e così via 1). Selecting a point Bl outside of the straight lines constructed in the above manner, which is allowed (oss. II, 2), Bl with B determines an 'other straight line (abs. II, 6), and so on 1). Coróll. Coróll. Se due punti non determinano la retta, essi sono situati in più rette distinte (teor. VI). If two points do not determine the line, they are located in more distinct straight lines (theor. VI). Teor. Teor. X. X. Tutte le rette passanti per un punto determinano lo spazio generale. All the lines passing through a point determine the overall space. Difatti sia A il punto e /"una figura qualunque; i punti di /"sono si- tuati in rètte passanti per A, anche se non determinano con A la retta (teor. i) il teor. In fact, both A and the point / "a figure any; points /" are you influ-lines passing through A, even if not determine with A the straight line (theor. i) the theorem. IX si può dimostrare anche prima del teor.Vii facendo uso del teor. IX can be demonstrated even before teor.Vii making use of the theorem. Ve dell'assiemali. Ve dell'assiemali.
Page 219 Page 219Vi e IX). I and IX). Fuori dì f vi è sempre un punto B (def. II, 2), il quale è pure situato in una retta che contiene A, quindi il teorema è dimostrato (def. II, 2). F outside day there is always a point B (final II, 2), which is also located in a straight line which contains A, then the theorem is shown (final II, 2). Oss, IX. Oss, IX. Questo teorema non è necessario coinè non lo è la definizione di spazio generale, sebbene noi intendiamo di operare sempre in questo spazio l) (V). This theorem is not necessary coinè it is not the definition of overall space, although we intend to always operate in this space l) (V). 3. 3. Lunghezza, di un segmento rettilineo o distanza di due punti in un segmento rettilineo Segmento e distanza, di due punti sopra, la, retta, aperta, o chiusa Punti opposti della retta chiusa Raggi della retta vi). Length, of a rectilinear segment or distance between two points in a straight line segment segment and distance, of two points above, the, upright, open, or closed opposite points of the straight line closed Rays of the straight line vi). 5. 5. Def. Def. I. I. Lunghezza di un segmento (AB) si dice il segmento considerato come sostituibile ad un altro segmento identico, in ogni unione (int. 29) con altri segmenti. Length of a segment (AB) is called the segment considered as substitutes for another segment identical in every union (ext. 29) with other segments. Per distanza degli estremi A e B di un segmento (AB) s'intende la lun- ghezza del segmento medesimo. For the distance between A and B of a segment (AB) means the length of the segment itself. Ad es. Eg. dati i due segmenti (AB)~(A'B')9 (AlBl)=(A'lB'l)9 situati o no sulla medesima retta, in generale la coppia (AB)9(A1BÌ) può non essere identica alla coppia (A'B'), (A'^ffJ (int. oss. Ili, 58), ma considerando la sola lunghezza dei segmenti si ha che le due coppie di lunghezze sono uguali. Oss. I. L'unione di due segmenti dati in posizione dipende dalla posizione reci- proca dei due segmenti 2), mentre ciò non è per la somma A g A, %t delle loro lunghezze, vale a dire in tal caso non si tien conto * g g- della posizione reciproca dei due segmenti, e si ottiene lo stesso risultato per le distanze come se essi fossero conse- *-t-------g cutivi in un dato verso sulla medesima retta. data the two segments (AB) ~ (A'B ') 9 (Albl) = (A'lB'l) 9 located on the same straight line or not, in general the pair (AB) 9 (A1BÌ) may not be identical to torque (A'B '), (A' ^ FFJ (int. obs. Ill, 58), but considering the length of the segments is one that has the two pairs of lengths are equal. Oss. I. The union of two data segments in position depends on the mutual position of the two segments procal 2), whereas this is not the sum A g A, t% of their lengths, that is to say in this case no account is taken * g g-of the mutual position of two segments, and you get the same result for the distance as if they were conse-*-t ------- g cutivi in a given straight line about the same. La somma AB delle due lunghezze (AB1), (A'^ù è uguale dunque alla som- t____t ma delle due lunghezze (AB) e (CD) di due segmenti conse- Ali Bi cutivi (flg. 3). Così se consideriamo un segmento (AB) e lo àg. 3 scomponiamo in un numero qualunque di parti, e supposti tanti segmenti non situati in linea retta o sulla stessa retta ma non consecutivi e 1} Per la proprietà che ha la retta di essere un sistema ad una dimensione identico nella posi- zione della sue parti, possiamo considerare a cominciare da un punto qualunque di essa in uno o nell'altro verso una serie di segmenti uguali. Ebbene questo fatto, e non altro, potremmo esprimerlo anche dicendo che i diversi segmenti uguali della serie suddetta sono posizioni diverse di un mede- simo segmento che si muove o scorre sulla retta mantenendosi uguale a sé stesso (oss. I, 3 e int. 67). Ma non lo faremo qui per non far credere che con questo linguaggio introduciamoli principio del mo- vimento senza deformazione del quale tratteremo al 26. V) Questi teoremi vanno dati ugualmente coli'ass. The sum of the two lengths AB (AB1), (A '^ u' is equal to the sum-t____t but then the two-length (AB) and (CD) of two segments conse-Bi Ali cutivi (Fig. 3). So if we consider a segment (AB) and the Ag. 3 split it into any number of parts, and many segments supposed not located in a straight line or on the same line but not consecutive and 1} for the property that the line has to be a system to a size in the same position of its parts, we can consider starting from any point of it in one direction or the other a series of equal segments. Well this fact, and nothing else, we could also express this by saying that the number of equal segments series that are different positions of beacons-th segment that moves or flows on the remaining line stays the same (oss. I, 3 and int. 67). But we will not do here in order not to introduce you to believe that with this language principle of mo-vimento without deformation of which will be discussed at the 26. V) These theorems are also coli'ass data. II (nota IV), soltanto si tra- lascia T ultima parte della dimostrazione del teor. II (Note IV), only one between-T leaves last part of the proof of the theorem. IX, nel caso che non si voglia far uso dell1 oss, II, 2. IX, in the case that does not wish to make use dell1 oss, II, 2. Coll'ass. Coll'ass. II' basta considerare i teor. II 'is enough to consider the theorem. I, II, il teor. I, II, theor.. Ili coi suoi co* rollari, i quali devono essere svolti colle considerazioni dell'oss. Ill with his co * rollari, which must be carried out hill OSS considerations. II, 81 dell'introduzione, e si tralasciano i teor. II, 81 introduction, and omitting the theorem. IV e X. IV and X. Gli altri teoremi o sono corollari delfass. The other theorems and corollaries are delfass. II', oppure non occorrono quando riguardano il caso di due punti che non determinano la retta. II ', or is not needed when the related case of two points that determine the line. VI) Questo paragrafo può essere dato tale e quale. VI) This paragraph may be given as such. L' ass. The 'ass. II' non stabilisce che la retta sia aperta, questa proprietà può essere dimostrata come vedremo col postu* lato Euclideo delle parallele che daremo in seguito. II 'does not establish that the line is open, this property can be demonstrated as we shall see with the postu * side of the Euclidean parallel that we will give later. Anche qui se non si volesse tener conto di questa distinzione, del resto semplicissima e che basta accennare qualche volta come vedremo, bisognerebbe chiedere il postulato della retta aperta subito dopo l'ass. Even here if you do not want to take account of this distinction, moreover, simple and just to mention a few times as we shall see, we should ask the postulate of the line opened immediately after the ass. Il' stesso. The 'same. Il teor. The theorem. I si limiterebbe a constatare che la retta è una linea semplice. I merely stated that the line is a simple line. 2) così per es. 2) so eg. nello spazio due coppie di segmenti uguali non determinano due figure identiche. in the space of two pairs of equal segments not determine two identical figures.
Page 220 Page 220220 rispettivamente uguali alle parti del segmento dato, la somma delle loro lunghezze è la distanza dei due punti A e B nel segmento dato, ma il loro insieme non è una figura identica al segmento (AB) stesso l). 220 respectively equal to the parts of the given segment, the sum of their lengths is the distance of the two points A and B in the given segment, but the whole is not a figure identical to the segment (AB) the same). Teor. Teor. L Se le lunghezze di due segmenti della medesima retta sono uguali, i due segmenti sono uguali. L If the lengths of two segments of the same straight line are equal, the two segments are equal. Oppure : Se le distanze degli estremi di due segmenti sulla medesima retta sono uguali i due segmenti sono uguali. Or: If the distances of the ends of two segments on the same straight line are equal, the two segments are equal. Vale la stessa dimostrazione del teor. That is the same proof of theorem. f, 11L 6. f, 11L 6. Def. Def. L Per segmento di due punti sulla retta aperta (teor. I, 4) intende- remo il segmento che i due punti determinano sulla retta (int. , 64), e per distanza dei due punti la lunghezza di questo segmento (def. I, 5). L To segment of two points on the line open (theor. I, 4) means the segment-oar that the two points determine on the straight line (int., 64), and for a distance of two points, the length of this segment (final I , 5). Def. Def. IL Per segmento di due punti A e B sulla retta chiusa intenderemo il minore dei due segmenti (AB) e (BA) del medesimo verso determinati da A e B sulla retta (int. e, 64); e per distanza da A e B la lunghezza di que- sto segmento. IL For the segment of two points A and B on the line closed shall understand the lesser of two segments (AB) and (BA) in the same direction determined by A and B on the right (int. and 64), and by distance from A and B the length of this segment. Oss. Oss. I. I. Se si ha (AB) = (BA), o in altre parole se A e B dividono la retta per metà, essi determinano due segmenti uguali sulla retta, e perciò non si può più ap- plicare in tal caso la def. If we have (AB) = (BA), or in other words if A and B divide the line for half, they determine two equal segments on the line, and therefore can no longer be ap complicate in this case the final. precedente, mentre determinano una sola distanza sulla retta, perché i segmenti hanno la stessa lunghezza, non considerandosi per la distanza la differenza di posizione dei due segmenti. above, while a single determine distance to the line, because the segments have the same length, not considering the distance to the position difference of the two segments. Possiamo dunque dire che due pnnti sulla retta chiusa determinano una sola distanza, la quale si riferisce al segmento minore determinato dai due punti, o al- l'uno o all'altro dei segmenti quando i due punti dimezzano la retta (oss. IV, 4, int. 6, 99). We can therefore say that two pnnti on the straight closed determine a single distance, which refers to the minor segment determined by two points, or-one or the other of the segments when the two points halve the straight line (oss. IV, 4, int. 6, 99). Def. Def. III. III. Due punti che dividono la retta chiusa per metà si chiamano punti opposti. Two points that divide the right half-closed are called opposite sides. 7. 7. Def. Def. L La retta ha due versi o direzioni (ass. li, a; int. def. II, 62). The L line has a verse or two directions (abs. them, a; int. Def. II, 62). La retta percorsa in un verso la chiameremo anche raggio^ e quindi una retta ha due raggi, i cui punti coincidono. Traveled in a straight line towards the beam will also call ^ and then a line has two beams, whose points are the same. I raggi che appartengono ad una retta si chiamano raggi opposti, come i versi in cui sono percorsi. The rays that lie on a line are called opposite rays, like the verses in which they are covered. Def. Def. IL Quando diremo che due raggi coincidono intenderemo che non solo sono situati sulla stessa retta ma che sono diretti nel medesimo verso della retta (infc. def. Ili, 67). THE When we say that two rays coincide shall understand that not only are located on the same line but which are directed in the same direction of the line (infc. final. Ill, 67). Quando diremo invece che due raggi giacciono in una retta intenderemo che possono essere diretti in un medesimo verso o in versi opposti della retta. When we say that two rays lie in a straight line shall understand that can be directed in a same direction or in opposite directions of the straight line. 4. 4. Ass. Ili Identità di due rette Figure rettilinee. Ass Ill Figures identity of two straight lines. Triangolo vii). Triangle vii). 8. 8. Oss. Oss. L Ora si presenta per noi la domanda : due rette qualùnque sono o non sono identiche? The time comes for us to find any two lines are or are not identical? l) La lunghezza non òche la grandezza intensiva del segmento (int. def. II. ea, in). l) The length geese the size of the intensive segment (int. final. II. and, in). Le figure (AB), (CDY, (A'B'), (A'i J non sono in generale identiche ma equivalenti (int. def. IV, 9). La distanza di due punti nel senso della def. I non è il segmento rettilineo di essi, oome l'area di una figura piana e il volume di una figura solida non sono le figure stesse. (Vedi nota, 11), VII) Questo paragrafo può rimanere tale e quale. The figures (AB), (CDY, (A'B '), (J A'i are generally not identical but equivalent (int. final. IV, 9). The distance between two points in the sense of the final. I does not is the rectilinear segment of them, oome the area of a plane figure and the volume of a solid figure are not the same figures. (See footnote, 11), VII) This paragraph can remain as is.
Page 221 Page 221221 Le considerazioni astratte che possono derivare dagli ass. 221 The abstract considerations that may arise from the ass. I e II non ci permet- tono di decidere la questione, imperocché Fase. I and II do not they allow us to decide the issue, Inasmuch phase. II, a riguarda la retta in sé, e l'ass. II, at about the line itself, and the ass. I col- l'ass. The by-the ass. li, e se si vuole insieme anche colla definizione di spazio generale, serve a stabilire resistenza di più rette distinte (teor. IX, 4). them, and if you also want to glue together the general definition of space, is used to establish resistance lines more distinct (theor. IX, 4). Ma non possiamo -S ricavare le relazioni di uguaglianza o di disuguaglianza fra due rette considerate in sé (int. def. Ili e oss. Ili, 9), sebbene determinate da due coppie di punti, perché per dedurne l'i- dentità in base ai principi dell'introduzione (int. 8 e 60) bi- sognerebbe che le due coppie di punti fossero identiche, o flg. But we can not derive the S-relations of equality or inequality between the two lines considered in itself (int. final. Ili and oss. Ill, 9), although determined by two pairs of points, because to deduce the identity of the in- according to the principles of the introduction (int. 8 and 60) bi-dream that the two pairs of points were identical, or fig. 4. 4. che in esse vi fossero coppie di punti che le determinano, ideutiche fra loro ; il che non è detto negli assiomi precedenti, né risulta da essi 1). in them there were pairs of points which determine, ideutiche between them, and that is not said in the previous axioms, nor is that they 1). Oss. Oss. emp. emp. Esaminando due oggetti rettilinei (AB), (AD) (fig. 4) noi riceviamo l'impressione che anche se non sono uguali.ad una parte (AC) dell'uno vi è nel se- condo una parte (AC') uguale alla prima. Looking straight two objects (AB) (AD) (Fig. 4) we get the impression that even if they are not a part uguali.ad (AC) of one-if there is in the second part (AC ') equals to the first. Diamo dunque il seguente assioma: Ass. HI. Let us therefore give the following axiom: Asst HI. Se due rette qualunque hanno un punto comune A, ad un segmento (AB) dell9 una è Identico un segmento (AB) del- P altra. If any two lines have a common point A, to a segment (AB) is a dell9 Identical segment (AB)-P of the other. 055. 055. II. II. Questo assioma in senso puramente astratto indipendentemente cioè dalrintuizione ci da una proprietà pienamente determinata; esso significa cioè che due sistemi qualunque di elementi determinati dagli assiomi precedenti e che hanno un elemento comune -4, soddisfano alla condizione (AB) = (-4#), essendo B e B' due altri elementi che appartengono rispettivamente ad essi. This axiom in a purely abstract matter that we dalrintuizione fully determined by a property, that is, it means that any two systems of elements determined by the previous axioms and which have a common element -4, satisfy the condition (AB) = (-4 #) , where B and B 'two other elements that belong respectively to them. Teor. Teor. I. I. Due rette qualunque sono identiche. Any two lines are identical. Ciò è chiaro se esse hanno un punto comune A (ass. Ili, teor. IX, 4) per- ché costruite le scale coi segmenti (AB) e (AB') uguali, ad ogni segmento dell'una è uguale un segmento dell'altra, ei campi delle due scale, ossia le due rette, sono uguali (oss. IV, 4; int. a, 81). This is unclear whether they have a common point A (abs. Ill, theor.. IX, 4) for built-because the stairs with segments (AB) and (AB ') equal to each segment of one is equal to a segment of 'other, and the fields of the two scales, ie the two straight lines, are equal (oss. IV, 4; int. a, 81). Se è data un' altra retta qualunque EF che non passa pel punto A, la retta AE (ass. II, b) per la dimostrazione precedente è identica alla retta AB, e alla retta EF, dunque le rette AB ed EF sono identiche (int. e, 8) (flg. 4). If a date is' any other straight line EF which does not pass through the point A, the straight line AE (abs. II, b) for the previous demonstration is identical to the line AB, and the straight line EF, then the lines AB and EF are identical ( int. and 8) (Fig. 4). Oss. Oss. III. III. In tal caso si potrebbe ricorrere per la dimostrazione anche al prin- cipio a del n. In that case there could also be used to demonstrate the principle in the n. 60 'dell' introduzione. 60 'of the' introduction. Però a questi principi noi ricorriamo soltanto in casi in cui non v' è dubbio alcuno sulla loro applicabilità e nei quali non possiamo dare altre dimostrazioni. But these principles we resort only in cases where v 'is doubt about their applicability and in which we can not give other demonstrations. 9. 9. Def. Def. I. I. Per figura rettilinea di un sistema o di più sistemi distinti di punti intenderemo quella individuata dai segmenti che hanno per estremi i punti dati, e dai segmenti determinati dai punti dei segmenti suddetti, e così via. For rectilinear figure of a system or more distinct systems of points shall understand the one identified by the segments which have to extreme data points, and by the segments determined by the points of said segments, and so on. Def. Def. IL La figura rettilinea determinata da tre punti ABC non situati in una retta si chiama triangolo; i tre punti A, B, C vertici ei tre segmenti (AB), (BC\ (CA) (def. I e II, 6) lati del triangolo. Quando non vi sarà luogo a confusione chiameremo lati anche le rette determinate dai tre punti due a due (coroll. I, teor. VI, 4). I vertici A, B, C si chiamane rispettivamente opposti ai lati (BC), (CA), (AB), e inversamente. Def. HI. Se due lati ad es. (AB) e (BC) del triangolo sono uguali esso dicesi isoscele^ il terzo lato (AG) si chiama base del triangolo. Def. IV. Se tutti i tre lati sono uguali il triangolo dicesi equilatero. i) Due circonferenze soddisfano ali1 ass. IL The rectilinear figure determined by three points ABC are not located in a straight line is called the triangle, the three points A, B, C vertices and three segments (AB) (BC \ (CA) (def. I and II, 6) sides of the triangle. When there will rise to confusion also call sides the straight lines determined by the three points two by two (coroll. I, theor.. VI, 4). The vertices A, B, C chiamane respectively opposite to the sides (BC) , (CA), (AB), and inversely. Def. HI. eg If two sides. (AB) and (BC) of an isosceles triangle are equal it is called ^ the third side (AG) is called base of the triangle. Def . IV. If all three sides are equal the triangle is called equilateral. i) Two circles meet ALI1 ass. il, soltanto che sono determinate da tre punti non in li- nea retta anziché da due, eppure non sono in generale ideqtjctyej. The only points that are determined by three non-nea them straight instead of two, yet they are not generally ideqtjctyej.
Page 222 Page 222222 5. 222 5. Punto limite di un gruppo di punti in generale. Limit point of a group of points in general. Proprietà delle distanze di un punto dai punti di una retta. Properties of the distances of a point from the points of a straight line. 10. 10. Def. Def. I. I. Per intorno di un punto dato A intendiamo il campo determi- nato da tutti i segmenti rettilinei uscenti da A (teor. IX, 4) uguali ad un seg- mento dato qualunque 9 piccolo quanto si vuole (oss. IV, 4). For around a given point in the mean-field determination born of all straight lines issuing from A (theor. IX, 4) equal to a segment as little as you want any 9 (oss. IV, 4). La distanza 2 si chiama ampiezza dell'intorno di A. 2 The distance is called the amplitude of dell'intorno A. Oss. Oss. I. I. È chiaro che ogni punto di questo intorno ha da A una distanza uguale o minore di t, perché esso è un estremo di (o un punto interno ad) uno dei segmenti suddetti. It is clear that every point of this has to be around At a distance equal to or less than t, because it is one end of (or a point internal to) one of these segments. Def. Def. IL Un punto L dicesi punto limite di un gruppo di punti (X) o di una serie di punti (Xn) quando in ogni intorno di L dato, di ampiezza arbi- trariamente piccola, vi è un punto del gruppo. THE A point L is said limit point of a group of points (X) or of a series of points (Xn) when in any given round of L, the amplitude arbitrary Contrary small, there is a point of the group. Nel caso della serie diremo anche che un punto X della serie si accosta indefinitamente al punto L o tende al punto L. In the case of the series also say that a point X series approaches indefinitely to the point tends to the point L or L. Teor. Teor. L In un gruppo qualunque (X) che ha un punto limite L vi 'è una serie ( Xn ) di punti che ha per punto limite L. In a group any L (X) which has a limit point there L 'is a series (Xn) of points which has the limit point L. Basta scegliere un intorno corrispondente a un segmento e sufficientemente piccolo in modo cioè che in esso cada almeno un punto X del gruppo. Just choose a neighborhood corresponding to a segment and small enough so that it falls in at least one point X of the group. Scelto poi un segmento ^ minore del più piccolo dei segmenti determinati da L con X sulle rette passanti per L e X, nel caso che L e X non determinino la retta, si può scegliere sì sufficientemente piccolo in modo che nell'intorno di am- piezza 2 gj cada un punto Xl del gruppo (def. I e II). Then chose a segment ^ less than the smallest of the segments determined by L on X with lines passing through L and X, if X and L should not result in a straight, so you can choose sufficiently small so that in the neighborhood of am- amplitude 2 gj fall a point Xl of the group (def. I and II). Così seguitando (ini a, 96) si ottiene la serie di punti XXl .... Thus continuing (ini a, 96) is obtained by the series of points XXl .... Xn ... Xn ... che ha per limite L. which has the limit L. Def. Def. III. III. L'espressione: un triangolo variabile o coi lati variabili equi- vale all'altra: una serie di triangoli ABC, A'B'C1 ecc. The expression: a triangle with sides variable or variables is equivalent to the other: a series of triangles ABC, etc. A'B'C1. Oss. Oss. II. II. Come risulta dalle definizioni II e III, è chiaro che il linguaggio del mo- vimento (oss. I, 3 opp. int. 67) è usato qui per maggior comodità, ma che se ne po- trebbe anche far senza, ogni qualvolta lo si usi in questo senso, adottato nella intro- duzione per le forme puramente astratte, Oss. As is clear from the definitions II and III, it is clear that the language of the mo-vimento (oss. I, 3 or. Int. 67) is used here for convenience, but they make no bit-trebbe also, whenever is used in this sense, adopted in the introduction to the purely abstract forms, Oss. III. III. A noi interessa ora di sapere come si comporta il lato di un triangolo ABC (def. II, 9) quando uno dei suoi lati ad es. What interests us now is to know how does the side of a triangle ABC (def. II, 9) when one of its sides eg. (AC) diminuisce inde- finitamente (oss. IV, 4, int. def. I, 95). (AC) decreases inde-finitely (oss. IV, 4, int. Def. I, 95). Se i tre punti ABC sono in linea retta allora se C si accosta indefinitamente ad A il segmento (BC) si accosta indefinitamente ad (AC) (int. def. IV, 95 e ass. II, a). If the three points ABC are in a straight line, then if C approaches indefinitely to the A segment (BC) approaches indefinitely (AC) (int. final. IV, 95, and abs. II a). Ma nel caso che ABC non siano in linea retta, come supponiamo, allora non pos- siamo dedurre questa proprietà dalle precedenti. But if ABC is not in a straight line, as we suppose, then, can we not deduce from this property earlier. La differenza dei seg- menti (AB) e (AC) potrebbe rimanere superiore ad un segmento dato quando C si accosta ad A *). The difference of the segments (AB) and (AC) may remain higher than a given segment when C approaches to A *). Ricorriamo dunque ali' osservazione (fig. 5): Oss. So we resort wings' observation (fig. 5) Obs. emp. emp. La osservazione ci dice appunto che quando (AC) è suf- flè- s. The observation tells us that when precisely (AC) is suf-fle-s. fìcienternente piccolo possiamo ritenere (AB) = (BC). fìcienternente small we can assume (AB) = (BC). Diamo dunque il seguente assioma : i) È noto infatti dalla teoria delle funzioni di una o più variabili continue reali (Vedi ad es. : Dini. Fondamenti per la teoria delle funzioni ad una variabile reale Pisa 1878) che esse possono essere continue o discontinue. Let us therefore give the following axiom: i) It is known from the theory of functions of one or more continuous variables real (see eg.: Dini. Foundations for the theory of functions of a real variable Pisa 1878) that they may be continuous or discontinuous . Ora ogni punto C della retta AC da una retta e quindi un segmento con B, e perciò (BC) è funzione della posizione di C sulla retta AC. Now each point C of the line AC from a straight line and then a segment with B, and hence (BC) is a function of position C on the line AC. Ma Tessere funzione semplicemente anche se C descrive un continuo non significa che la funzione sia continua. But even if C passes function simply describes a continuous does not mean that the function is continuous.
Page 223 Page 223223 Ass. IV. 223 Ass IV. Se un lato di un triangolo qualunque diventa inde- finitamente piccolo, la differenza degli altri dne lati diventa pure indefinitamente piccola. If one side of a triangle becomes inde-finitely small, the difference DNE of the other side also becomes indefinitely small. Caroli. Caroli. Se due lati di un triangolo diventano indefinitamente piccoli, an- che il terzo lato decresce indefinitamente. If two sides of a triangle become indefinitely small, that the third n-side decreases indefinitely. Se il terzo lato si mantenesse superiore a un segmento dato i, la diffe- renza di questo lato con uno degli altri due non diventerebbe indefinitamente piccola col decrescere indefinito degli altri lato, contro l'ass. If the third side is maintained over a given segment, the difference of this side is one of the other two do not become infinitely small with the decrease of the other side indefinitely, against the ass. IV (int. def. IV, 95). IV (ext. final. IV, 95). Teor. Teor. IL Se due punti A e B hanno per punto limite un punto C, il loro segmento su ogni retta passante per essi tende a zero. THE If two points A and B have a limit point for point C, their segment on each straight line passing through them tends to zero. Se A e B determinano la Tetta e sono in linea retta con C il teorema riassume i teor. If A and B determine the tit and are in a straight line with C theorem summarizes the theorem. /jhei del n. / Jhei of n. 95 dell'introduzione (ass. II, ae oss. IV, 4). 95 intro (abs. II, ae oss. IV, 4). Se in- vece non sono in linea retta con (7, essi determinano con C un triangolo, sempre nel caso suddetto (coroll. I, teor. VI, 4 e def. II, 9), ed il teorema non è che il co- roll. dell'ass. IV stesso (int. d, 95). Se A e Buon determinano la retta, possiamo supporre che la determinino con C, perché il caso contrario l'abbiamo già con- siderato (teor. VI, 4). Vi è però una retta, e per ipotesi, una sola, che passa pei tre punti ABC (coroll. teor. IX ass. II, ae oss. I, 4), e per essa vale la dimostrazione del prinfo caso. Sia a il segmento determinato da A e B sopra un'altra retta rx che non passa per C (def. I e li, 6), e scegliamo in questo segmento un punto D, quanto si vuole vicino ad A in modo che(BD)^ ae, essendo (AD) O (oss. IV, 4 e int. , 95). Il punto D determina sempre una retta con C, perché C è fuori della retta ABD (ass. II, b), e quando A e B si av- vicinano indefinitamente a C, e D si accosta indefinitamente ad A, D si acco- sta pure indefinitamente a C, (coroll. ass. IV); e quindi nel triangolo BCD, B si accosta indefinitamente a D (coroll. ass. IV). Dunque quando A e B si ac- costano indefinitamente a C, (AD) + (DB) ossia a si accosta indefinitamente a zero (int. Ti, 95 e oss. IV, 4). Teor. III. Se una serie di punti ( Xn ) ha un punto limite L, il segmento (Xn Xn+r), essendo r costante, colV aumentare indefinito di n decresce indefini- tamente. Diflatti in ogni intorno di ampiezza 2 s di L vi è almeno un punto X (def. II). Per n sufficientemente grande Xn deve cadere nell'intorno suddetto, altrimenti non vi sarebbe alcun punto X in questo intorno, contro il dato (def. II). Gli estremi dei segmenti (XnXn+r) sono contenuti nell'intorno dato, per n sufficientemente grande, ma poiché e può essere quanto piccolo si vuole, i punti dell'intorno tendono tutti a L, e quindi anche Xn e Xn+r', e perciò il loro segmento su ogni retta passante per essi coli'aumentare indefinito di n tende a zero (teor. II). Teor. IV. Il punto Xn della serie (Xn) avente un punto limite L col cre- scere indefinito di n non può avvicinarsi indefinitamente che al punto L. Difatti supposto che si avvicini a due punti distinti dati L e Z/, poiché (XnL) e (XnL') tendono a zero (def. II e int. d, 95), la somma dei segmenti (XnL) e (XnL') avrebbe per limite lo zero, e nello stesso tempo avrebbe per limite un segmento dato (LL'), ciò che è impossibile (ass. IV). If in-stead are not in a straight line with (7, they determine a triangle with C, always in the above case (coroll. I, theor.. VI, 4 and final. II, 9), and the theorem is not that the co - roll. the ass. same IV (int d, 95). If A and Good determine the line, we can assume that the lead with C, because otherwise we have already with-siderato (theor. VI, 4 ). But there is a line, and by hypothesis, one that passes through the three points ABC (coroll. theorem. IX ass. II, ae oss. I, 4), and it is the demonstration of prinfo case. Both in the segment determined by A and B above another line that does not pass for C rx (def. I and them, 6), and in this segment choose a point D, because you want to close to A so that (BD) ^ e, being (AD) OR (oss. IV, 4 and int., 95). Point D causes always a straight line with C, because C is out of the line ABD (abs. II, b), and when A and B is-av vicinano indefinitely to C, and D approaches indefinitely to A, D acco-is well indefinitely to C, (coroll. abs. IV) and then in the triangle BCD, B approaches indefinitely to D (coroll. ass. IV). So when A and B is ac-cost indefinitely to C, (AD) + (DB), ie approaches zero indefinitely (int. Ti, 95 and oss. IV, 4). Teor. III. If a series of points (Xn) has a limit point L, the segment (Xn Xn + r), r being constant, ColV indefinite increase of n decreases indefinite-tion. Diflatti around in each of width 2 s of L there is at least a point X (def. II). For n sufficiently large Xn must fall in the neighborhood that, otherwise there would be no point X in this round, against the data (def. II). The ends of the segments (XnXn + r) are contained in the neighborhood data, for n sufficiently large, but since it can be and how small it wants, the points dell'intorno all tend to L, and therefore also Xn and Xn + r ', and therefore their segment on each straight line passing through them coli'aumentare indefinite n tends to zero (theor. II). Teor. IV. The point of the series Xn (Xn) has a limit point L with growth of n-scere indefinite indefinitely that can not get close to the point L . fact supposed that comes as close to two distinct points data L and Z /, since (XnL) and (XnL ') tend to zero (final II and int. d, 95), the sum of segments (XnL) and (XnL ') would limit to zero, and at the same time would limit for a given segment (LL'), what is impossible (abs. IV).
Page 224 Page 224224 Teor. 224 Teor. V. V. Se la distanza di un punto R dai punti X di una retta va di- minuendo indefinitamente, il punto R appartiene alla retta. If the distance of a point R of a straight line from the points X goes minuend-indefinitely, the point R belongs to the straight line. Intanto è permesso di parlare di una sola distanza del punto R da un punto X della retta, perché R e X determinano sempre la retta, se R è fuori di essa (ass. II, b; opp. oss. II, 2); e su di essa determinano sempre una sola distanza (def. I e II, e oss. I, 6). Meanwhile it is possible to speak of a single point distance R from a point X on the line, because R and X always determine a straight, if R is out of it (abs. II, b, opp. Oss. II, 2); and on it always determine a single distance (def. I and II, and obs. I, 6). Essendo R un punto limite di una se- rie (Xn) di punti della rettali! R being a limit point of a se-ries (Xn) of the rectal points! segmento (XnXn+r) va diminuendo indefinita- mente (teor. 110, e quindi i due punti Xn e X^+r tendono a R (def. II). Nel caso che i punti di (Xn) determinano due a due la retta essi hanno un punto limite (int. b, 98), che deve coincidere con R (teor. IV). Se invece non determi- nano la retta (è un' ipotesi ancora non esclusa), poiché Xn e Xn r tendono a R, il loro segmento in ogni retta passante per essi deve tendere a zero (teor. II); dunque la serie ( Xn ) ha anche un punto limite sulla retta data, il quale deve coincidere col punto R (teor. IV) Vili). segment (XnXn + r) is decreasing indefinite-mind (theor. 110, and then the two points Xn and X ^ + r tend to R (final II). In the case that the points (Xn) determine two at the line they have a limit point (int. b, 98), which must coincide with R (theor. IV). If not deter the nano-line (it is a 'hypothesis still not excluded), since Xn and Xn r tend to R, their segment on each straight line passing through them must tend to zero (theor. II), therefore the series (Xn) also has a limit point on the given line, which must coincide with the point R (theor. IV) VIII) . 7- Gruppi di punti che due a, due possono non determinare la, retta,. 7 - Groups of two points, two can not determine, straight. 11. 11. Teor. Teor. L Se è dato un gruppo (A) di punti della retta tale: 1. If L is given a group (A) of points of the straight line that: 1. che scelto un segmento qualunque i cui estremi siano punti del gruppo, gli estremi dei segmenti consecutivi uguali al dato in un dato verso, da ogni punto del gruppo come origine, appartengano al gruppo stesso; 2. who chose a segment whose endpoints are any points of the group, the extremes of consecutive segments equal to the data in a given direction, from every point of the group as a source, belong to the group 2. che un punto A di (A) non abbia un primo punto consecutivo del gruppo nel verso dato; in ogni segmento piccolo quanto si vuole della retta (oss. IV, 4) vi è sempre un punto del gruppo. that a point A of (A) has a first point in a row in the direction of the group given; in each segment as small as you want of the straight line (oss. IV, 4) there is always a point of the group. a) È chiaro che ogni punto del gruppo (A) ha la 2a proprietà del teo- rema. a) It is clear that every point of the group (A) has the second property of the theo-paddling. Diffatti se il punto Am qualunque del gruppo ordinato nel verso dato ha un primo elemento consecutivo Am+i si prenda nel gruppo (A) nel verso dato il segmento (AAl)^(AmAm^i); A è pure un punto del gruppo (1 ). Precisely so if the point Am any of the orderly group in the direction given element has a first consecutive Am + i is taken in the group (A) in the direction given segment (AAI) ^ (Amam ^ i); A is also a point of the group ( 1). Ma Al non è il primo punto che segue A (2 ), dunque nel segmento (AAJ vi deve essere un punto del gruppo, e quindi anche in (AmAm+i) (1 ). b) Dimostriamo che in ogni segmento (AX) di (AAJ per quanto piccolo vi è un punto del gruppo (A), essendo A e Al punti qualunque del gruppo. Se X fosse un punto del gruppo, in (AX) vi sarebbe un punto del gruppo (a). Supponiamo invece che ciò non sia. Vi deve essere un numero m tale che: (AX) m (AAJ (AX) (m -f 1) (oss. IV, 4 e int. e', 81). Immaginiamo, nel verso di (AX), m segmenti consecutivi uguali ad (AX), che indicheremo con (XX,), (X^X^,... (Xm.iXm).Di (AAJ rimane il segmento (XmAJ (AX). In (AAj) vi deve essére un punto A\ del gruppo (A) (a), il quale do- Vili) Coli' assioma II1 si ha pure bisogno dell' ass. IV ; le dimostrazioni dei teoremi si semplificano non avendo bisogno di tener conto della possibilità non an- cora esclusa che due punti non determinano la retta; l'assioma IV si può dare però quando se ne presenta la necessità, But Al is not the first point that follows A (2), therefore in the segment (AAJ there must be a point of the group, and therefore also in (Amam + i) (1). B) We show that in each segment (AX) of (AAJ however small, there is a point of the group (A), being the points A and any of the group. If X is a point of the group, (AX) there would be a point of the group (a). Suppose that instead what is not. There must be a number m such that: (AX) m (AAJ (AX) (m-f 1) (oss. IV, 4 and int. and ', 81). imagine, in the direction of (AX ), equal to m consecutive segments (AX), denoted by (XX) (X ^ X ^, ... (Xm.iXm). Di (AAJ is the segment (XmAJ (AX). In (AAJ) There must be a point A \ of the group (A) (a), which do-VIII) Coli 'II1 axiom one has even need the' ass. IV; proofs of theorems are simpler having no need to take into account the possibility not an-cora excluded that two points do not determine the straight line; the axiom IV can be given, however, when if the need arises,
Page 225 Page 225225 vrà quindi appartenere ad uno dei segmenti in cui (AAJ fu diviso, eccettuato per ipotesi (AX). Ma A\ non può cadere in (XmAJt perché essendo in tal caso (A'j^XfAX), in (AX) vi sarebbe un segmento uguale ad (A\A,) avenie per primo estremo A (teor. II, 4) e il cui secondo estremo sarebbe un punto di (A) (1 ). Il punto A\ dovrà dunque appartenere ad uno dei segmenti (Xr -Xr+i), ad es. nell'ultimo (Xm^Xm). In questo segmento non può cadere alcun altro punto A\ di (A), perché se no A'2 determinerebbe con A\ un segmento minore di (Xm.\Xm), e quindi anche di (AX), e perciò vi sarebbe in (AX) un altro punto di (A) (1 ), contro l'ipotesi. Non può essere del resto (A'lA'2)~(Xm_iXm), perché i due punti A\ e A\ dovrebbero cadere nei due punti Xm-i, Xm e quindi X sarebbe esso pure un punto di (A) (1 ), contro l'ipotesi. Ma fra A e A\ vi deve essere un altro punto A\ del gruppo (A), che cadrà in uno dei rimanenti segmenti (Xr Xr+i), ad es. nel segmento (Xm^Xm^). Non vi possono essere due punti di (A) in uno di questi segmenti perché, per ciò che si è detto testé pel segmento (3Tw-iXm), ve ne sarebbe uno anche in (AX), contro l'ipotesi; dunque il nu- mero dei punti di (A) nel segmento (AA^) sarebbe al più m, e quindi A col- Pipotesi suddetta avrebbe un primo punto consecutivo nel verso dato (hit. def. II, 46 e #, 35), il che è contro #). Dunque in (AX) vi deve essere almeno un punto del gruppo (A), e perciò infiniti (oss. IV, 4 e int. , 95). e) Ora consideriamo invece un punto qualunque Y dato della retta e che non sia un punto di (A). 225 vra thus belong to one of the segments in which (AAJ was divided, except by assumption (AX). But A \ can not fall into (XmAJt because being in this case (A'J XfAX ^), in (AX) there would a segment equal to (A \ A) avenie first extreme A (theor. II, 4) and whose second extreme would be a point of (A) (1). The point A \ will therefore have to belong to one of the segments ( Xr-Xr + i), for example. last (^ Xm Xm). In this segment can not drop any other point A \ of (A), because otherwise they would lead with A'2 A \ a segment less than ( xm. \ Xm), and therefore also of (AX), and thus there would be (AX) another point of (A) (1), against the hypothesis. It can not be of the rest (A'lA'2) ~ (Xm_iXm), because the two points A \ and A \ should fall into the two-point Xm, Xm and X would be a point of it as well (A) (1), against the hypothesis. But between A and A \ there must be another point A \ of the group (A), which will fall into one of the remaining segments (Xr Xr + i), eg. in the segment (Xm Xm ^ ^). There may be two points (A ) in one of these segments because, for what has been said above-PEL segment (3TW-IXM), there would be one in (AX), against the hypothesis, therefore, the num-ber of points (A) segment (AA ^) would be at most m, and then with the A-Pipotesi above would have a first point in a row in the direction given (hit. final. II, 46 and # 35), which is against #). Therefore in (AX ) there must be at least one point of the group (A), and therefore infinite (oss. IV, 4, and int., 95). s) Now we consider any point Y given of the straight line and which is not a point of (A ). Lo si può sempre ritenere compreso fra due punti di (A), perché dato un segmento (AA ) del gruppo e minore di (AY) vi è sem- pre un numero n tale che (AAl)n'^ (AY) (oss. IV, 4 e int. d, 80); possiamo dun- que ritenere senza alcuna restrizione che Y appartenga al segmento (AA^), come possiamo ritenere che (AY) sia diretto nel verso del gruppo (1. ). It can always be considered between the two points of (A), because a given segment (AA) of the group and less than (AY) there is always pre a number n such that (AAI) n '^ (AY) (obs . IV, 4 and int. d, 80), we dun-que believe without restriction that Y belongs to the segment (AA ^), how can we believe that (AY) is directed in the direction of the group (1.). Dimostriamo che in qualunque segmento (YZ) vi è sempre un punto del gruppo (A). We show that in any segment (YZ) there is always a point of the group (A). Supponiamo dapprima che" (YZ) sia di- . .,., ,t;.-----J retto nel verso di (AAJ, e consideriamo un segmento A 'A rW* A (AY')==(YZ). Siccome (YZ) è piccolo quanto si vuole fig-6- possiamo supporre (AY') (AY) (int. , 95) (1) Nel segmento (AY') cade sempre un punto del gruppo (b), ad es. A' che potrebbe essere anche il punto Y' stesso, e quindi si ha: (AA') (AY') (2) (AA')^(YZ) (ini f, def. II, 61). (3) e perciò anche e per la (1) (AA') (AY) (int. do def. II, 61) (4) Ora si deve avere un numero q tale che (AA')q (AY) (AA')(q + l) OSS. IV, 4 e int.e', 81). Indichiamo con AZ , A'te+V i secondi estremi dei segmenti (AA')q, (AA1) (q 4-1) ; il primo non cade nel segmento (YZ) ma bensì nel segmento (AY), e si ha: (5) Suppose first that "(YZ) is a-..,.,, T,. J ----- toward the rectum (AAJ, and consider a segment A 'A * A rW (AY') == (YZ .) As (YZ) is as small as you want to Fig-6-we can assume (AY ') (AY) (int., 95) (1) In the segment (AY') falls always a point of the group (b), to es. A 'which could also be the point Y' itself, and then we have: (AA ') (AY') (2) (AA ') ^ (YZ) (f ini, def. II, 61). ( 3), and therefore also for (1) (AA ') (AY) (int. do def. II, 61) (4) Now you should have a number q such that (AA') q (AY) (AA ') (q + l) OSS. IV, 4 and int.e', 81). Denote by Z, V + A'te the second ends of the segments (AA ') q, (AA1) (q 4-1) ; the first does not fall in the segment (YZ) but rather in the segment (AY), and has: (5)
Page 226 Page 226226 Y è compreso invece fra A'w e A'ta*1), e perciò (A' Y) (A'W A'W-*-W). Y is included between 226 instead A'w and A'ta * 1), and therefore (A 'Y) (A'W A'W-*-W). (6) D'altra parte per la (3) si ha: (A'WA'ta+HjSjrz) (7) e poiché F appartiene al segmento (A'MA'te-*-1*), il punto Z per la (7) non può cadere nel medesimo segmento (int. def. I, 61 od, 73); dunque A'fó-*-1* deve cadere nel segmento (YZ), come si voleva dimostrare. (6) On the other hand for the (3) we have: (A'WA'ta HjSjrz +) (7) and since F belongs to the segment (A'MA'te-* -1 *), the point Z , (7) can not fall into the same segment (int. final. I, or 61, 73); therefore A'fó-* -1 * must fall in the segment (YZ), as we wanted to prove. È chiaro che se (YZ) è diretto nel verso di (A,A), basta considerare il segmento (ZY) e applicare ad esso il ragionamento precedente. It is clear that if (YZ) is directed in the direction of (A, A), it suffices to consider the segment (ZY) and apply it to the reasoning above. Caroli. Caroli. Ogni punto della retta che non è punto di (A) è punto limite del gruppo (A). Each point on the line which is not the point of (A) is the limit point of the group (A). Difatti scelto un punto qualunque X della retta in un segmento (XY) per quanto piccolo vi è un punto del gruppo. In fact chosen any point X of the straight line in a segment (XY) as small there is a point of the group. Teor. Teor. IL Ogni gruppo (X) di punti che due a due non determinano la retta contiene i suoi eventuali punti limiti. THE Each group (X) of points that two and two do not determine the line contains any points of its limits. Una retta r qualunque che passa per un punto X del gruppo deve con- tenere tutti i punti del gruppo (teor. VI, 4). A straight line r any that passes through a point X of the group must take-with all points of the group (theor. VI, 4). Se L è un punto limite dit que- sto gruppo e quindi di una serie ( Xn ) del gruppo (teor. I, 10), esso deve es- sere pure contenuto nella retta r (teor. V, 10). If L is a limit point dit que-I group, and then of a series (Xn) of the group (theor. I, 10), it must be well-eg contained in the straight line r (theor. V, 10). Teor. Teor. HI. HI. I punti di un segmento (AB) che con un estremo di esso, ad es. The points of a segment (AB), which with one end of it, eg. A, non determinano la retta non possono essere in numero infinito. A, do not determine the straight line can not be infinite in number. a) Se in (AB) vi è un numero infinito (oo) di punti A, 42.... a) If (AB) there is an infinite number of (oo) of points A, 42 .... AmAm+\.... Amam + \ .... che con A non determinano la retta, il gruppo di questi punti ha almeno un punto limite L (oss. IV, 4 e int. , 98), vale a dire vi è una serie (Xn ) del gruppo che ha per punto limite L (teor. I, 10), e quindi (XmXm+i ) diventa in- definitamente piccolo (int. e, 97, opp. teor. Ili, 10). with A do not determine that the straight line, the group of these points has at least one limit point L (oss. IV, 4, and int., 98), that is to say there is a series (Xn) of the group that point limit L (theor. I, 10), and then (XmXm + i) is in-definitely small (int. and, 97, opp. theorem. Ill, 10). Ma dato un segmento (XmXm+i ) , vi è un punto A' tale che (AA')^(XmXm^i) (teor. II, 4) e che appartiene allo stesso gruppo (teor. VII, 4), il che ha luogo per qualunque punto A del gruppo; dunque vuoi dire che ogni punto del gruppo non ha un primo elemento consecutivo determinato nel gruppo ordinato nel verso di (AB). But since a segment (XmXm + i), there is a point A 'such that (AA') ^ (XmXm ^ s) (theor. II, 4) and which belongs to the same group (theor. VII, 4), the which takes place for any point A of the group; therefore mean that every point of the group does not have a first element determined in consecutive ordered group in the direction of (AB). In tal caso dunque il gruppo (A) di punti che con A non determinano la retta ha le proprietà del gruppo del teor. In this case, therefore, the group (A) of points with A do not determine the straight line has the properties of the group of the theorem. I. I. Ma ogni punto Y della retta che non è un punto del gruppo (A) è limite di questo gruppo (coroll. teor. I) ed è pure punto della retta (teor. II). But each point Y of the straight line that is not a point of the group (A) is the limit of this group (theor. coroll.. I) and is also the point of the straight line (theor. II). Vuoi dire dunque che non vi sarebbe alcun punto sulla retta che la de- terminerebbe con -A, il che è assurdo (teor. V, 4), e ciò anche perché tutte le rette passanti per A coinciderebbero, contro il teor. You mean then that there would be no point on the line with the de-terminate-A, which is absurd (theor. V, 4), and this also because all the lines passing through A would match, against the theorem. IX, 4. IX, 4. Teor. Teor. IV. IV. a) I segmenti consecutivi della serie di punti che con un punto dato non determinano la retta sono uguali fra loro in qualunque retta che contiene la serie data; b) ei segmenti determinati da due punti qualunque della serie in due rette passanti per essi sono uguali. a) The consecutive segments of the series of points with a given point does not determine the straight line are equal to each other at any line that contains the given series, b) and the segments determined by any two points of the series in two lines passing through them are equal . a) Se i segmenti consecutivi ad es. a) If the consecutive segments eg. (AmAm+i)9 (Am+\ Aw+2) della serie suddetta (A) non fossero uguali e fosse ad es. (Amam + i) 9 (Am + \ Aw +2) of said series (A) to be equal and be eg. (Am+iAm+%X( AmAm-H ), nel primo vi sarebbe un segmento (AmA'm.p ) uguale al secondo (teor. II, 4) e (Am + iam + X% (Amam-H), in the first, there would be a segment (AmA'm. P) equal to the second (theor. II, 4) and
Page 227 Page 227227 tale che A'm-* i non determinerebbe con Am la retta (teor. VII, 4), quindi Am+i non sarebbe il punto consecutivo di Am nella serie (A), mentre A ha un primo elemento consecutivo in questa serie (teor. III). 227 such that the *-A'm not lead with Am the straight line (theor. VII, 4), then Am + i is not the point in the series of consecutive Am (A), while A has a first element in a row in this series (theor. III). 6) Siano re rx due rette passanti pei punti del gruppo (A). 6) Let king rx two lines passing through the points of the group (A). Supponiamo che i punti Am e As di (A) determinino segmenti disuguali (AmAs )r , (AmAs )ri in re rY Scegliamo due segmenti ( TAS ), (ZAS ) nei segmenti suddetti in modo che ogni punto di essi, tranne As, determini con AB la retta (teor. Ili), e quindi anche con Am (teor. VI, 4). Suppose that the points of Am and As (A) determine unequal segments (AMAS) r, (AMAS) re in D rY choose two segments (TAS), (CCO) in these segments so that each point of them, except for As, established with the straight line AB (theor. III), and therefore also with Am (theor. VI, 4). Due punti qualunque Y* e Z' distinti da As dei segmenti (YA ), (ZA*) determinano una retta diversa da rer\ perché Y' è fuori di r' (oss. I, 4); dunque essi determinano con As e con Am un triangolo (def. I!, 9). Any two points Y and Z * 'As distinct from the segments (YA), (ZA *) determine a straight line different from rer \ because Y' is out of r '(oss. I, 4); therefore they determine with As and Am with a triangle (def. I!, 9). Ma quando T e Z1 si accostano indefinitamente ad Am, (TZ1) de- cresce indefinitamente (coroll. ass. IV), dunque anche la differenza (AmY) e (AmZ1) in re ^ (ass. IV). But when T and Z1 are combined indefinitely Am, (TZ1) de-grows indefinitely (coroll. ass. IV), thus also the difference (Amy) and (AmZ1) in D ^ (abs. IV). Ma se (AmAs )r , (AmAs )n fossero disuguali, ad es. But if (AMAS) r, (AMAS) n were unequal, eg. : (AmAs )n (AmAs )r , la differenza di (AmZ) da (AmAs )r sarebbe maggiore di (AmZ) (AmAs )r= (teor. I, 8), dunque (AmZ') si manterrebbe superiore di e al segmento (AmYr) che è minore di (AmAs )r, contro quanto precede; dunque (AmAs }r = (AmAs )ry Oss. I. Si può parlare del punto consecutivo di ogni punto A di un grappo che non determina la retta, perché in ogni retta passante per A^ esso ha in un dato verso Io stesso punto consecutivo. Si può parlare della distanza (def. I, 5) anziché delle di- stanze di due punti, perché in ogni retta passante per essi ne determinano una sol- tanto (def. I e li, e oss. I, 6), e in tutte le rette che li contengono le distanze sono uguali. Non si può però parlare di un solo segmento di due punti che non determi- nano la retta *). : (AMAS) n (AMAS) r, the difference (AMZ) from (AMAS) r would be greater than (AMZ) (Amas) r = (theor. I, 8), therefore (AMZ ') is expected to remain higher and the segment (AmYr) that is less than (Amas) r, against the foregoing; therefore (AMAS} r = (AMAS) ry Oss. I. One can speak of the point row of each point A of a Grappo that does not determine the straight line , because in every line through A ^ it has in a given row to the same point I do. We can speak of the distance (def. I, 5) instead of in-stances of two points, because in every line through them determine a single-time (def. I and them, and oss. I, 6), and in all lines containing these distances are equal. But you can not talk about only a segment of colon that does not determine the nano- straight *). Teor. Teor. V. V. a) Due gruppi di punti, ciascuno dei quali non determina la retta, sono situati in una sola retta. a) Two groups of points, each of which does not determine the straight line, are located in a single straight line. b) I segmenti che hanno per estremi due coppie di punti consecutivi, che non determinano la retta, sono uguali. b) The segments that have extreme for two pairs of consecutive points, which do not determine the straight line, are equal. a} Difatti se (A^), (B^) sono due coppie qualunque di due grupppi (A) e ( ) che non determinano la retta, i punti Ar e B^ determinano sempre una retta, altrimenti At e #x apparterrebbero allo stesso gruppo (teor. VI, 4). In fact, if a} (A ^), (B ^) are any two pairs of two grupppi (A) and () that do not determine the straight line, the points Ar and B ^ always determine a straight line, otherwise At and # x belong to the the same group (theor. VI, 4). Que- sta retta contiene tutti gli altri punti di (A) e (tì) (teor. VI, 4). Que is a straight-contains all the other points of (A) and (tì) (theor. VI, 4). b) Ogni punto X di una retta che contiene un gruppo (A) appartiene ad un gruppo (X) che non determina la retta, ed è identico ad (A) (teor. II e teor. VII, 4). b) Each point X of a line that contains a group (A) belongs to a group (X) which does not determine the straight line, and is identical to (A) (theor. II and theor.. VII, 4). Ma le due coppie di punti consecutivi date (oss. I) sono sempre in una retta, dunque b). But the two pairs of consecutive points dates (oss. I) are always in a straight line, then b). Oss. Oss. 77. 77. Questi teoremi valgono subordinatamente all'esistenza di gruppi di punti che non determinano la retta, questione che non fu ancora decisa, e che per- ciò dobbiamo tener presente IX). These theorems are valid subject to the existence of groups of points that determine the line, a question which has not yet been decided, and for this we must bear in mind-IX). 1) Ciò da una chiara conferma della distinzione fra la distanza di due punti e il segmento di essi, e come non si possa sempre indifferentemente sostituire l'uno all'altra. 1) This gives a clear confirmation of the distinction between the distance of two points and the segment of them, and as always you can either replace each other. IX) Coir ass. IX) Coir ass. II1 questo paragrafo non occorre affatto, essendo esclusa con esso l'esistenza di coppie di punti che non determinano la retta. II1 this paragraph is not necessary at all, being excluded with it the existence of pairs of points which do not determine the straight line.
Page 228 Page 228228 7. 228 7. Segmento rettilineo limite di una, serie di segmenti rettilinei Linea semplice Distanza di un punto dai punti di una linea semplice. Limit of a line segment, a series of straight line segments easy distance of a point from the points of a simple line. 12. 12. Def. Def. I. I. Un segmento rettilineo (AB) dicesi limite di una serie di seg- menti rettilinei dati (XY), se i punti A e B sono punti limiti dei punti X e Y (def. lì, 10), supposto che i punti A e B determinino la retta. A straight segment (AB) is said limit of a series of straight segments data (XY), if the points A and B are points limits of the points X and Y (final there, 10), assuming that the points A and B determine the fees. Teor. Teor. I. I. Se (AB) è segmento limite di un segmento variabile (XY), i punti X e Y in intorni sufficientemente piccoli di A e B determinano la retta. If (AB) is the segment limit of a variable segment (XY), the points X and Y in sufficiently small neighborhoods of A and B determine the straight line. Scelto un intorno arbitrariamente piccolo di B (def. I, 10), in esso deve cadere un punto Y (def. I). Around a chosen arbitrarily small of B (final I, 10), it must fall in a point Y (def. I). Se A e Y non determinassero la retta giacerebbero in una medesima retta r con B (teor. VI, 4), ma poiché B è punto limite di Y, la differenza di (AB) e (AY) diventa indefinitamente piccola (int. def. IV, 95), e perciò in ogni segmento (BB) in AB nel verso di (AB) o di (BA) vi sa- rebbe sempre un punto Y. If A and Y does not lie in a straight line determined the same straight line with r B (theor. VI, 4), but since B is the limit point of Y, the difference (AB) and (AY) becomes indefinitely small (int. final . IV, 95), and therefore in each segment (BB) in AB in the direction of (AB) or (BA) there would always knows-a point Y. Quindi o Y coinciderebbe con B, o. Then coincides with B or Y, or. avrebbe per li- mite Y in AB ; il che è escluso, perché B determina con A la retta (teor. II, 11). they would for mild-Y AB, which is excluded because B determines the straight line A (theor. II, 11). Se X non determina la retta con Y, i punti A, X, Y, sono in linea retta (teor. VI, 4), e il segmento (AX) diventa in AY più piccolo di ogni segmento dato, il che, per ciò che si è detto, è assurdo. If X does not determine the straight line with Y, the points A, X, Y, are in a straight line (theor. VI, 4), and the segment (AX) becomes in AY smaller than any given segment, which, for what it is said, is absurd. Teor. Teor. IL La differenza fra il segmento variabile (XY) e il suo segmento limite (AB) diventa indefinitamente piccola. THE The difference between the variable segment (XY) and its segment boundary (AB) becomes indefinitely small. Difatti così è per i segmenti (AY) e (AB), vale a dire vi è un intorno sufficientemente piccolo di B pel quale la differenza in valore assoluto (int. 112) di (AB) e (AY), che indicheremo con [(AB) (AY)], è minore di un segmento dato a. In fact it is for the segments (AY) and (AB), that is to say there is a sufficiently small around of B by which the difference in absolute value (int. 112) of (AB) and (AY), denoted by [ (AB) (AY)], is less than a given segment a. Così per un intorno sufficientemente piccolo di A la differenza [(AY) (XY)] è più piccola di un segmento BI quanto piccolo si vuole. Thus for a sufficiently small around the difference of A [(AY) (XY)] is smaller than a segment BI how small you want. Ora la dif- ferenza o la somma delle due diferenze suddette, che è [(AB) (XY)], è mi- nore della differenza o della somma di e ed elr ma in qualunque caso quando eex diventano indefinitanjente piccoli, (ea^ e (e -f- x) decrescono indefini- tamente (int. def. I, eh, 95); dunque il teor. è dimostrato. Oss. I. Per la distanza limite dì una serie di distanze basta la def. IV del n. 95 deirintroduzione (oss. I, 11), perché per le distanze non si tien conto della differenza di posizione dei segmenti a cui si riferiscono (def. I, 5J. Teor. III. Se un segmento (Xn Yn) si avvicina indefinitamente ad (AB), esso non può avvicinarsi indefinitamente ad un altro segmento (A'Bf) differente da (AB). Difatti i punti Xn, Yn dovrebbero avvicinarsi indefinitamente e rispetti- vamente alle coppie di punti (una delle quali può ridursi ad un solo punto) A e A', B e B (def. I) il che è assurdo (teor. IV, 10). Teor. IV. Se (AB) è limite di un segmento (XY), ogni punto della retta XY può avvicinarsi indefinitamente ad un punto della retta AB. Ciò vale intanto pei punti X e Y (def. I ; def. II, 10). Supponiamo che a seg- menti indefinitamente piccoli di uno stato di (XY) corrispondano segmenti indefi- nitamente piccoli negli stati successivi, il che si ottiene ad es, colla corrispon- Now the differ-ence or the sum of the two no differences above, which is [(AB) (XY)], is I-nore of the difference or the sum of e and ELR but in any case when eex indefinitanjente become small, (and ^ and (e-f-x) decreases indefinite-tion (int. final. I, eh, 95), thus the theorem. is shown. Oss. I. For the distance limitation of a set of distances is enough def. IV no. deirintroduzione 95 (oss. I, 11), because the distances are taken into account the difference in position of the segments to which they relate (def. I, 5J. Teor. III. If a segment (Xn Yn) approaches indefinitely (AB), it can not approach indefinitely to another segment (A'Bf) different from (AB). fact the points Xn, Yn should approach indefinitely and respectively to the pairs of points (one of which can be reduced to only one point) A and A ', B and B (final I) which is absurd (theor. IV, 10). Teor. IV. If (AB) is a maximum of one segment (XY), each point on the line XY can approach indefinitely to a point on the line AB. This is while through the points X and Y (def. I, def. II, 10). Suppose that infinitely small segments of a state (XY) segments correspond undefined infinitely small in successive states, which is achieved eg, with the corre-
Page 229 Page 229229 denza di proporzionalità fra i diversi segmenti (int. 106). 229 dence of proportionality between the different segments (ext. 106). Così possiamo sup- porre pel teor. So we may sup-pose PEL theorem. I che X e Y determinino la retta. The X and Y determine the fees. Sia dato un punto Zn di (XY), il quale quando X si avvicina indefinitamente ad A non si avvicini indefini- tamente ad alcun punto della retta AB. Is given a point of Zn (XY), which when X is approaching indefinitely to A does not approach indefinite-tion to any point on the line AB. Nel segmento (Zn X) vi deve essere un segmento (Zn Zn.fì sufficientemente piccolo tale che i punti di esso hanno la stessa proprietà del punto Znì altrimenti potendo essere (ZnZn.i) piccolo quanto si vuole, avvicinandosi un punto di questo segmento indefinitamente ad un punto della retta AB, anche il punto Zn godrebbe la stessa proprietà (coroll. ass. IV). Dato quindi il segmento (ZnZn.^ possiamo costruirne un altro (Zn.iZn.z) sempre nel segmento (ZnX) che goda la stessa proprietà di (ZnZn.^ I punti di (Zn X) si separano dunque in due gruppi (Z) e (Z'\ cioè di quelli che godono la proprietà di Zn e di quelli che hanno la proprietà del punto X. Essi deter- minano a partire da Zn e X nel segmento (Zn X) due serie sempre crescenti, e che hanno rispettivamente i punti limiti che diremo L e L' (int. d, 97 e oss. IV, 4). I punti L e L' godono rispettivamente la proprietà dei punti delle serie corrispondenti. Difatti in ogni segmento per quanto piccolo (LZ) in (XZn), e nel verso di (XZn ), vi è un punto che gode la proprietà di Zn, e quindi tale proprietà ha anche L per la dimostrazione precedente. Così si dimostra che L' ha la proprietà del punto X. Ma i punti L e L' coincidono (int. d", 97), il che sarebbe assurdo se Zn non avesse la proprietà di X (int. IV, 8). La stessa dimostrazione vale pure pel segmento (Zn Y), come anche quando il punto Zn è sulla retta XY fuori del segmento (XY). Coroll. L Se (AB) è limite di un segmento costante (AX), ogni punto della retta AX può avvicinarsi indefinitamente ad un punto della retta AB ad ugual distanza di esso da A. Siccome un punto Zn di AXpuò avvicinarsi indefinitamente ad un punto C di AB così la differenza di (AZn ) e (AC) diventa indefinitamente piccola (ass. IV). Coroll. IL Se (AB) è limite di un segmento (XY) uguale ad (AB), ogni puntò della retta XY può avvicinarsi indefinitamente ad un punto della retta AB a distanze da A e B rispettivamente uguali a quelle del punto dato da X e Y. Dim. analoga alla precedente. 43. Def. I. Un gruppo di punti dicesi isolato quando nessuno dei suoi punti è punto limite del gruppo (def. II, 10). Oss. L Per la definizione di segmento o punto limite di un gruppo o di una se- rie di segmenti o di punti in un sistema semplice ad una dimensione (def. I, 3 opp. int. def. II, 63) valgono la def. IV del n. 95 e la def. I del n. 98 deirintroduzione che sono indipendenti dall'omogeneità del sistema (int. def, I, 68). Def. IL Un sistema di punti ad una dimensione semplice (int. def. II, 63), tale : 1. che ogni suo punto Y è punto limite di una serie (AX) sempre cre- scente e di una serie (AX1) sempre decrescente di segmenti considerate nel sistema in uno dei suoi versi (int. def. II, 62 e 63), o di una sola di queste se- rie se è estremo del sistema (int. def. IV, 62); ed è punto limite delle serie dei punti X e X' indipendentemente dal sistema (def. II, 10), e inversamente, esso appartiene al sistema; che corrisponde univocamente e nel medesimo ordine ad una retta In the segment (X Zn) there must be a segment (Zn Zn.fì small enough such that the points of it have the same point properties Znì otherwise could be (ZnZn.i) as small as you want, approaching a point of this segment indefinitely to a point on the line AB, the route would enjoy the same property Zn (coroll. ass. IV). Since then the segment (ZnZn. ^ we can construct another (Zn.iZn.z) always in the segment (ZnX) that enjoy the same property (ZnZn. ^ points (Zn X) are separated into two groups, therefore, (Z) and (Z '\ ie those who enjoy the properties of Zn and those which have the property of the point X. They undermine determined from Zn-X and in the segment (X Zn) two sets increasing, and have limits as points which we will call L and L '(int d, 97 and oss. IV, 4). points L and L 'respectively have the property of the points of the corresponding series. In fact in each segment as small (LZ) into (XZN), and in the direction of (XZN), there is a point that has the property of Zn, and then This property also has L for the previous demonstration. Thus we show that L 'has the property of the point X. But L and L' coincide (int d ", 97), which would be absurd if the property had not Zn of X (int. IV, 8). The same also applies demonstration PEL segment (Zn Y), as well as when the point on the line XY Zn is outside of the segment (XY). Coroll. L If (AB) is a limit segment constant (AX), each point on the line AX may approach indefinitely to a point on the line AB at equal distance it from A. Since a point of Zn AXpuò approach indefinitely to a point C of AB so the difference (AZn) and (AC) becomes infinitely small (abs. IV). Coroll. IL If (AB) is the limit of a segment (XY) equal to (AB), each point on the line XY can approach indefinitely to a point on the line AB at distances from A and B respectively equal to those of the given point by X and Y size similar to the preceding. 43. Def. I. A group of points is called isolated when none of its points is the limit point of the group (final II, 10) . Oss. L For the definition of limit point of a segment or group or a se-ries of segments and points in a simple one-dimensional (def. I, 3 or. int. def. II, 63) are valid the final. No IV. and the final 95. I n. deirintroduzione 98 which are independent of the homogeneity of the system (int. final, I, 68). Def. THE A points system to a simple dimension (int. final. II, 63), that: 1. that every point Y is the limit point of a series (AX)-scente ever increasing and a number (AX1) always decreasing segments considered in the system in one of his poems (int . def. II, 62 and 63), or only one of these se-ries if the system is extreme (int. final. IV, 62), and it is the limit point of the series of points X and X 'independently of the system ( final. II, 10), and inversely, it belongs to the system that uniquely and corresponds to a straight line in the same order
Page 230 Page 230230 (oa un segmento di retta) (int. def. Ili, 42); salvi eventualmente i punti di un gruppo isolato (def. I) del sistema o della retta (del segmento) ai quali non corrispondono punti della retta (del segmento) o del sistema (e che noi eseclu- deremo dalle nostre considerazioni); il sistema si chiama linea semplice. 230 (or a line segment) (int. final. Ill, 42), except possibly the points of an isolated group (def. I) of the system or the straight line (segment) to which no corresponding points of the line (the segment ) or system (and we eseclu-deremo from our considerations), the system is called simple line. Ots. Ots. IL In seguito consideremo soltanto la corrispondenza colla retta non avendo bisogno di considerare altri casi. THE Later we will consider only the correspondence with the line having no need to consider other cases. Corali. Choral. I. I. La retta è una linea semplice (ass. II, a, teor. I, 4, teor. V, 10, teor. I, 8 e int. , 60). The straight line is a simple line (abs. II, a, theorem. I, 4, theorem. V, 10, theorem. I, 8 and int., 60). * Corali. * Choir. II. II. Se in un segmento (AB) detta lìnea semplice vi è un sistema di punti tale che in ogni segmento detta linea per quanto pìccolo di (AB) vi è un punto del sistema, ogni altro punto L del segmento è punto limite del sistema. If in a segment (AB) said line there is a simple system of points in each segment such that said line as little of (AB) there is a point of the system, every other point L of the segment is cut-off point of the system. Difatti lo è sulla linea e indipendentemente da essa (def. I). In fact it is on the line and independently of it (def. I). Coroll. Coroll. III. III. Se la distanza di un punto dai punti di una linea semplice diminuisce inde finitamentef il punto è situato sulla linea. If the distance of a point from the points of a simple line decreases inde finitamentef the point is located on the line. Difatti esso è punto limite di una serie ( Xn ) di punti sulla linea (def. I) e quindi appartiene alla linea (def. I). In fact it is the limit point of a series (Xn) of points on the line (def. I) and therefore belongs to the line (final I). Teor. Teor. I. I. Ad un segmento (AB) della retta corrisponde un segmento (A'B') della linea semplice, e inversamente. For a segment (AB) corresponds to a segment of the line (A'B ') of the simple line, and vice versa. Difatti ad ogni punto X nel segmento (AB) della retta corrisponde un punto X' compreso fra i punti A' e # corrispondenti nel sistema (def. I), e tutti i punti compresi fra A' e B' del sistema determinano appunto un segmento della linea aventi per estremi A', B (int, def. Ili, 62). In fact at each point X in the segment (AB) of the straight line corresponds to a point X 'between the points A' and # corresponding to the system (def. I), and including all points between A 'and B' of the system precisely determine a line segment with extremes for A ', B (int, def. Ill, 62). La proprietà inversa per la corrispondenza univoca e del medesimo or- dine è evidente. The inverse property for the unique match and the same or-dine is evident. Teor. Teor. II. II. Ad una serie di segmenti sempre crescente o decrescente in un segmento (AB) sulla retta corrisponde una serie di segmenti sempre crescente o decrescente nel segmento corrispondente (A'B') della linea semplice, avente un punto limite sulla linea. For a series of segments increasing or decreasing in a segment (AB) on the straight line corresponds to a series of segments increasing or decreasing in the corresponding segment (A'B ') of the simple line, having a limit point on the line. Difatti la serie corrispondente sulla linea è sempre crescente nel primo caso nel segmento corrispondente (A'ff) (teor. I e def. I; int. def. 1,62e def. II, 27 e def. I, 61). In fact, the corresponding series on the line is growing in the first case in the corresponding segment (A'ff) (theor. and I def. I, int. Final. 1.62 and def. II, 27 and final. I, 61). Ma la serie sulla retta ha un segmento limite (AL) (oss. IV, 4 e int. d, 97), al quale corrisponde un punto L' sulla linea compreso fra A' e B (def. I). But the series on the straight line has a segment limit (AL) (oss. IV, 4, and int. D, 97), which corresponds to a point L 'on the line between A' and B (final I). Se (A*Lr) non è segmento limite della serie suddetta, vi è però in (A'ff) una serie sempre crescente di segmenti avente per segmento limite (AL*) (def. I), e quindi vi sarebbero punti di questa compresi fra i punti della serie precedente e L' (oss. I), ai quali corrisponderebbero punti della retta compresi fra i punti della serie corrispondente ed Z, il che è assurdo (oss. IV, 4 e int. d, 97). If (A * Lr) is not segment limit of the aforesaid series, there is, however, in (A'ff) a series of segments having for growing segment limit (AL *) (def. I), and then there would be points of this included between the points of the previous series and L '(oss. I), which correspond to the points of the line included between the points of the corresponding series and Z, which is absurd (oss. IV, 4, and int. d, 97). Slmilmente succede se la serie sulla retta fosse sempre decrescente. Similarly, if the series happens on the line was always declining. Teor. Teor. III. III. Una serie di segmenti sempre crescente o sempre decrescente in un segmento di linea semplice ha un punto limite che appartiene alla linea. A series of segments increasing or decreasing always in a simple line segment has a limit point which belongs to the line. Difatti alla serie sulla linea corrisponde una serie analoga sulla retta |) Vedi int nota n. In fact the series on the line corresponds to a similar series on the right |) int See note no. 4, nota X e def. 4, note X and def. I, 36. I, 36.
Page 231 Page 231(def. I) che ha un punto limite L (oss. IV, 4 e ini d, 97), al quale corrisponde un punto L' della linea, che è punto limite della serie corrispondente (teor. II). (Def. I) which has a limit point L (oss. IV, 4 and ini d, 97), which corresponds to a point L 'of the line, which is the limit point of the corresponding series (theor. II). Caroli. Caroli. L Se i punti detta linea semplice di un segmento (AB) si sepa- rano in due gruppi (X) e (X) tali che (AX1) sia sempre maggiore di (AX) o al più uguale ad uno segmento (AX), ed ogni segmento (AC) maggiore di un seg- mento (AX) e minore di un segmento (AX?) è un segmento (AX) o (AX')] i due gruppi hanno sulla linea un punto limite comune. L If the points that simple line of a segment (AB) separately operate in the two groups (X) and (X) such that (AX1) is always greater than (AX) or at most equal to one segment (AX), and each segment (AC) greater than a segment (AX) and less than one segment (AX?) is a segment (AX) or (AX ')], the two groups have a common boundary line. Si dimostra coli'aiuto del teor. We prove the theorem coli'aiuto. Ili in modo analogo al coroll. Ill in a similar manner to coroll. d" del n. 97 dell' introduzione. Teor. IV. Data una serie di punti (Xn ) in un segmento (AB) di linea sem- plice, avente un punto limite L; e se R determina una retta con ogni punto del segmento (AB)} la serie dì segmenti (RXn), determinati da un punto R e dai punti della serie data, ha per segmento limite il segmento (RL). Se (RXn) è costante, (RL) è uguale a (RXn). Difatti se Xn si avvicina indefinitamente a L la differenza di (RL) e (RXn ) diminuisce indefinitamente (ass. IV), dunque (RL) è segmento limite della se- rie (RXn ) (def. I, 12). La seconda parte del teorema è in seguito alla prima evidente. Coroll. Per le distanze ha luogo la stessa proprietà del teor. IV anche se R non determina sempre una sola retta coi punti del segmento (AB). Perché rispetto alla distanza di due punti qualunque A e B non occorre vedere se A e B determinano o no la retta (teor. IV, 11 e def. I, 5), come non occorre tener conto della differenza di posizione dei segmenti determinati da R coi punti del segmento (AB). Per le distanze è come se i segmenti (RXn) fossero situati in una retta con un estremo comune. Teor. V. Se le distanze ae fi di un punto R dagli estremi A e B di un seg- mento di linea semplice sonò disuguali (a jS), la distanza di R dagli altri punti del segmento non può essere costante^ né può essere sempre maggiore di j8 o sempre minore di et. Se X è un* punto compreso fra A e B nel segmento suddetto, (RX) non può essere costante, perché riguardando B come punto limite di una serie di punti (Xn) in (AB) (oss. I e def. II) la distanza (RX) ha per limite la distanza (RB) (coroll. teor. IV), mentre se la differenza fra (RB) e (RX) fosse costante, cioè ]5 a, non potrebbe diventare indefinitamente piccola (def. I, 5; oss. I, 11 e ini def. IV, 95). È chiara per la stessa ragione la rimanente parte del teorema. Teor. VL Se le distanze di un punto R dagli estremi X di un segmento (AB) di linea semplice sono ae JS (a ]S) esiste sempre in (AB) un segmento per i punti del quale, eccettuati gli estremi^ la distanza da R non è uguale né ad a né a fi, ed è maggiore di ae minore di fi. Difatti se non esiste un segmento (A'B1) contenuto in (AB) pel quale sia verificata la suddetta condizione, bisogna che per un punto X di ogni segmento di (AB) arbitrariamente piccolo, (RX) sia uguale ad aoa ]8. Ma siccome ogni punto del segmento (AB) sarebbe un punto limite del gruppo suddetto di punti X (coroll. II, def. II), (RX) sarebbe uguale ad aoa j8 (coroll. teor IV) contro il dato per B o per A. d "of n. of 97 'introduction. Teor. IV. Given a set of points (Xn) in a segment (AB) of line sem-ple, having a limit point L, and if R determines a straight line with each point of the segment (AB)} the series day segments (RXN), determined by a point R and the points of the series, has given way to segment the segment limit (RL). If (RXN) is constant, (RL) is equal to (RXN ). In fact, if Xn approaches indefinitely to L of the difference (RL) and (RXN) decreases indefinitely (abs. IV), then (RL) is the segment limit of the se-ries (RXN) (def. I, 12). The second part of the theorem is evident following the first. Coroll. For the distances takes place the same property of the theorem. IV even if R does not always determines a single straight line with the points of the segment (AB). Because respect to the distance of two points any A and B do not need to see if A and B determine whether or not the straight line (theor. IV, 11 and final. I, 5), as there is no need to take into account the difference in position of the segments determined by R with the points of the segment (AB .) for the distance is as if the segments (RXN) were located in a straight line with a common end. Teor. V. If the distance of a point R and ft from the ends A and B of a segment of the line sounded simple unequal (a jS), the distance R from other points of the segment can not be constant ^ nor can always be greater than or j8 always less than et. If X * is a point between A and B in the said segment, (RX ) can not be constant, because covering B as a limit point of a series of points (Xn) in (AB) (oss. I and final. II) the distance (RX) has to limit the distance (RB) (coroll. theor. . IV), while if the difference between (RB) and (RX) were constant, that is,] 5 to, could not become indefinitely small (final I, 5; obs. I, 11 and final ini. IV, 95). It is clear for the same reason the remaining part of the theorem. Teor. VL If the distances of a point R from the ends of a segment X (AB) of simple line are a and JS (a] D) always exists in (AB) a segment for the points of which, except the extremes ^ the distance by R is not equal to neither a nor to fi, and is greater than a and less than fi. In fact, if there is a segment (A'B1) contained in (AB) PEL which is verified the above condition, it is necessary that, for a point X of each segment (AB) arbitrarily small, (RX) is equal to aoa] 8. But as each point of the segment (AB) would be a limit point of the said group of points X (coroll. II, final. II), (RX) would be equal to aoa j8 (theor. coroll. IV) against the data for B or A.
Page 232 Page 232232 II segmento (A'B1) può essere scelto poi in modo che (RA') e (RÉ) siano uguali rispettivamente ad ae jS. 232 II segment (A'B1) can then be chosen so that (RA ') and (Re) are equal respectively to a and jS. Invero se A in (AB) non è il solo punto pel quale (RA) = a, vi sarà una serie di questi punti X tali che (AX) è crescente nel verso di (AB), ed avrà quindi un segmento limite (AA') (oss. IV, 4 e int. d, 97), tale che (.RA'J^a (caroli, teor. IV), mentre A' non può coincidere con B. Ana- logamente per B'. Supponiamo ora vi siano in (A'B1) punti X' pei quali (^X') a, e ordi- niamoli nel verso di (A'B*) (int. ind. I, 64). La serie (X) o sarà limitata nel verso dato da uno dei suoi punti L, o avrà un punto limite L fuori della serie (oss. IV, 4; int. d 97). La distanza (RL) non può essere per la dimostrazione precedente uguale ad #, né può essere maggiore di a, essendo per ipotesi le distanze (#X')O (coroll. teor. IV). Dunque (RL) sarà esso pure minore di a, e quindi L non può coincidere con B. Ma per ogni altro punto X" compreso nel segmento (LB), è (RX*) a per l'ipotesi fatta. Scelto un punto X" in un segmento (LI!) arbitrariamente piccolo di (LB), (RXtr) può differire da (RL) di ogni distanza arbitrariamente piccola data, e perciò anche più piccola di et (RL) a (coroll. teor. IV). Ma essendo (/?X'*) ct, ad es. (^X")= a + 8r, la sua differenza con (RL) sarebbe sempre maggiore di o, qualunque fosse (LL')9 contro il teor. IV. Dunque è assurdo che vi siano punti -X" in (A'H) tali che (RX) a, ed essendo escluso il caso (RX)^ :a9 la seconda parte del teorema è dimostrata per et. Analogamente per /S. Teor. VII. Se le distanze del punto R dagli estremi A e B di un segmento della linea semplice sono ae j5 (a ]S) vi è almeno un punto X del segmento (AB) della linea pel quale (RX) è uguale ad una distanza qualunque y com* presa fra e $. a) Non può essere che ogni distanza (RX) di (AB) maggiore di a sia maggiore anche di y, perché essendo la differenza fra ^ ea, data e costante (oss* IV, 4 e int. /i, 85 e def. VII, 67), la differenza di (RX) e (RA) sarebbe sempre mag* giore di una distanza data cioè ya, contro il teor* III. Indeed if A in (AB) is not the only point through which (RA) = a, there will be a series of these points X such that (AX) is increasing in the direction of (AB), and will thus have a segment limit (AA ') (oss. IV, 4 and int. d, 97), such that (. RA'J ^ a (caroli, theorem. IV), while A' may not coincide with B. Ana-can also lead to B '. Suppose now there are (A'B1) points X 'through which (^ X') to, and in the direction of ordinary niamoli (A'B *) (int. ind. I, 64). The series (X) or will be limited in the direction given by one of its L, or will be a limit point L out of the series (oss. IV, 4, int. d 97). distance (RL) for the demonstration can not be equal to the previous #, nor can it be greater than a, by hypothesis being the distances (# X ') O (theor. coroll.. IV). Therefore (RL) will be less than in it as well, and therefore L can not coincide with B. But for any other point X "included in the segment (LB), is (RX *) to the assumptions made. Chosen a point X" in a segment (LI!) of arbitrarily small (LB), (RXtr) may differ from (RL) of each distance arbitrarily small date, and therefore also smaller than et (RL) to (theor. coroll.. IV). But being (/? X '*) ct, eg. (^ X ") = a + 8r, its difference with (RL) was always greater than, or whatever (LL ') 9 against the theorem. IV. So it is absurd that there are points-X "(A'H) such that (RX), and being excluded case (RX) ^: a9 the second part of the theorem is proved for et. Similarly for / S. Theodore. VII. If distance R from the extreme point of A and B of a line segment is simply a and j5 ( a] S) there is at least one point X of the segment (AB) line through which (RX) is equal to the distance between any jack and com * y $. a) It may be that any distance (RX) of (AB ) greater than a is also greater than y, because being the difference between ^ and, date and constant (oss IV *, 4, and int. / i, 85 and final. VII, 67), the difference of (RX) and ( RA) is also offering a greater distance * ya that date, against the theorem * III. Così non può essere che ogni distanza (RX) minore di ]S sia minore anche di y. So it may be that any distance (RX) less than] S is also less than y. b) Supponiamo che in (AB) non vi sia nessun punto X tale che (RX\ sia uguale ad aoa j3, il che si può supporre senza togliere nulla alla generalità del teorema (teor. VI). Consideriamo tutti i punti X di (AB) pei quali (RX) è maggiore di ae minore di ^. Ordinando i pùnti X nel verso di (AB), la serie corrispondente (RX) non può avere Un valore massimo (RX^ perché fra questo ey vi sarebbe sempre, come fra (RA) ey, un segmento almeno maggiore di esso e minore di Y (#), che apparterrebbe quindi al gruppo suddetto. Di più possiamo supporre che sia data una serie ( Xn ) dei punti X nel verso di (AB) tale che se (AXn) (AXm) si abbia (RXn) (RXm). Difatti nel segmento (XmB) esiste un segmento (X'mB) tale che pel solo punto X*m si ha la distanza (RXm) mentre per ogni altro punto Xn di (XmB) la distanza è maggiore di (RXm) (teor. VI). La serie (AXn) ordinata nel verso di (AB) ha un punto limite Y (int. d, 97) pel quale (RY) è maggiore di ogni stato di (RXn), altrimenti se (RY) ^(RX^n) Y non sarebbe situato contro b) Suppose that in (AB) there is no point X such that (RX \ is equal to aoa j3, which it can be assumed without detracting from the generality of the theorem (theor. VI). consider all the points X of ( AB) by which (RX) is greater than a and less than ^. By ordering the points X in the direction of (AB), the corresponding series (RX) can not have a maximum value (RX ^ because there would always be between this and y, as between (RA) and y, at least a segment of it greater and less than Y (#), then that would belong to this group. Moreover we can suppose that it is given a set (Xn) of the points in the direction of X (AB) such that if (AXn) (AXM) we have (RXN) (RXm). In fact, in the segment (XMB) there exists a segment (X'mB) such that X * m for the sole point you have the distance (RXm) while every other point xn of (XMB) the distance is greater than (RXm) (theor. VI). The series (AXn) ordered in the direction of (AB) has a limit point Y (int. d, 97) through which (RY) is greater of each state (RXN), otherwise if (RY) ^ (n ^ RX) Y would not be sited against
Page 233 Page 233ààà la costruzione suddetta nel segmento (XMnB). AAA said the construction segment (XMnB). Né può essere ORY) y, perché Y sarebbe un punto X e quindi compreso in un segmento (AXn); né può es- sere in tal caso maggiore di 7 perché la differenza fra (RY) e (RX) sarebbe sempre maggiore di (RY) y, il che non è (def. I, 12 e coroll. teor. IV). Nor can it be ORY) y, because Y would be a point X, and then included in a segment (AXn); nor can eg be-in this case greater than 7 because the difference between (RY) and (RX) would always be greater than ( RY) y, which is not (final I, 12 and coroll. theor.. IV). Il teorema è dunque pienamente dimostrato. The theorem is thus fully demonstrated. Teor. Teor. Vili. VIII. Se data una serie di punti (Xn) in un segmento (AB) di una linea semplice, e un punto R che determina la retta coi punti di (AB), la serie di segmenti (RXH) ha un segmento limite', la serie (Xn) ha sulla lìnea un punto limite L tale che (RL) è il segmento limite di (RXn). If a given set of points (Xn) in a segment (AB) of a simple line, and a point R, which determines the straight line with the points of (AB), the series of segments (RXH) has a segment limit ', the series (Xn) has a limit point on the line L such that (RL) is the segment limit (RXN). Se la serie (RXn) ha per limite un segmento nel senso della def. If the series (RXN) is the limit for a segment in the sense of def. I del num. I no. 12, allora (Xn ) non si compone di un numero finito naturale di punti (int. def, II, 46 e def. II, 82 e oss. II, 80), e perciò (Xn ) ha un punto limite L sulla linea (teor. Ili), dunque (RL) è il segmento limite della serie (RXn) i teor. 12, then (Xn) is not composed of a finite number of points natural (int. final, II, 46 and final. II, 82 and obs. II, 80), and therefore (Xn) has a limit point on the line L (theor. III), then (RL) is the segment limit of the series (RXN) the theorem. IV e teor. And theorem IV. Ili, 12). Ill, 12). X) 8- Ogni coppia, di punti sulla, retta aperta determina la retta Soltanto due punti opposti possono non determinare la retta chiusa. X) 8 - Each pair of points on, open line determines the line only two points opposite can not determine the line closed. XI). XI). 14. 14. Teor. Teor. I. I. Se la retta è aperta ogni coppia di punti determina la retta. If the line is open every pair of points determines the line. Se A,, AI sono due punti che non determinano la retta r possiamo sempre supporre che nel segmento (A^) non vi siano altri punti che con Al e A% non determinano la retta, perché , ha sempre un primo elemento consecutivo nel gruppo (A) dei punti che eventualmente non determinano con A la retta (teor. Ili, 11). If A,, AI are two points that determine the line r we can always assume that the segment (A ^) there are other points with Al and A% do not determine the line, because, always has a first row element in the group (A) of items that may not determine with A the straight line (theor. Ill, 11). Così per Az (teor. VI, 4). Thus, for Az (theor. VI, 4). Dato dunque il segmento (A^) vi è una serie di segmenti consecutivi uguali ad (A^) in uno e nell'altro verso i cui estremi appartengono al gruppo (A) (teor. VII, 4). Since therefore the segment (A ^) there is a series of consecutive segments equal to (A ^) in one and the other towards the details of which belong to the group (A) (theor. VII, 4). Sia R un punto fuori della retta r. Let R be a point outside the line r. Ogni punto A di r determina con R una retta i\ ass. At each point of r determines a straight line with R i \ ass. II, 6) la quale deve incon- trare la retta r *nel gruppo dì punti che con A non determinano la retta (teor. VI, 4). II, 6) which must encounter in the straight line r * in the group say that points with A do not determine the straight line (theor. VI, 4). Il punto R sarà compreso in rx tei due punti consecutivi del gruppo (A), perché vi deve essere in un dato verso a partire da R In ^ un primo punto del gruppo (A), altrimenti R sarebbe punto limite di esso, e quindi apparter- rebbe alla retta (teor. II, 11). The R-point will be understood in rx tei two consecutive points of the group (A), because there must be at a given towards from R ^ In a first point of the group (A), R would otherwise limit point of it, and then apparter-would the line (theor. II, 11). E ciò deve succedere anche nell'altro verso, perché dato il primo punk) in un verso, ad es* Alt considerando 11 segmento (A^A9) nel verso di (A^) sulla retta r^ in questo segmento deve essere contenuto anche R, altrimenti A non sarebbe il primo elemento nel verso dato. And this has to happen in the other direction, because given the first punk) in one direction, eg, Alt * recital 11 segment (A ^ A9) in the direction of (A ^) on the straight line r ^ in this segment must be even R, otherwise A would not be the first element in the direction given. Possiamo supporre senza perdere nulla in generalità che R sia contenuto nel segmento (A^AZ) di rt (def. I, 6), che è uguale al segmento (A}A2) sulla X) Coll'ass. We may suppose without losing any generality in that R is contained in the segment (A ^ AZ) of rt (final I, 6), which is equal to the segment (A} A2) on the X) Coll'ass. II occorre dare qui almeno i teoremi suddetti per la retta lasciando in disparte la def. II should be given here at least the above theorems for leaving aside the final straight. I ei teoremi relativi alla linea semplice. The theorems and the simple line. Coll'ass. Coll'ass. II1 non occorre dar qui questo paragrafo; i teoremi suddetti vanno però dimostrati almeno dopo che si è definita la circonferenza, sia per la retta come per la circonferenza allo scopo di dimostrare rigorosamente le proprietà relative ai punti di intersezione di una retta con una circonferenza e di due circonferenze fra loro. II1 is not necessary here to give this paragraph; the theorems above, however, proved to be at least after it has defined the circumference, both for the straight line as for the circumference in order to demonstrate the properties strictly related to the points of intersection of a straight line with a circle and of two circumferences between them. XI) Questo paragrafo va tale e quale coll'ass. XI) This paragraph has to be such and such coll'ass. II, e va escluso coh'ass ir II, and should be excluded coh'ass ir
Page 234 Page 234retta rea quello di qualunque altra retta passante per Al e A (teor. IV. 11). reaction that of any other straight line passing through the Al and A (theor. IV. 11). Indichiamo per un momento con a la lunghezza costante del segmento deter- minato dai due punti A, e A2 (def. I, 5). Denote for a moment with a constant length of the segment deter-mined by two points A, and A2 (def. I, 5). Sia inoltre A3 il punto consecutivo di A2 nel verso (A,A2) di r (int. ind. I. 64) e A4 il punto consecutivo di A3 ecc, del gruppo (A) (oss. I, 11). A3 is also the point A2 in the direction of a row (A, A2) of r (int. ind. I. 64) and A4 of the point consecutive A3 etc., of the group (A) (oss. I, 11). Se Xl è un punto del segmento (ATA2), il segmento (RXJ non può essere né uguale né maggiore di a. Di fatti se fosse uguale il punto R sarebbe un punto del gruppo e apparterrebbe alla retta r (teor. VI, 4) contro l'ipotesi. Non può essere maggiore perché (RAJ è minore di a per essere compreso nel segmento (A1A2), e perciò vi sarebbe almeno un segmento (RY) uguale ad a (teor. VII, 13) ed R apparterrebbe al gruppo del punto Y, ossia alla retta r. Il punto Xl determina dunque con .R un segmento minore di a, e quindi Xl è in un dato verso il primo punto del gruppo (X) sulla retta'(RXJ a par- tire da R, qualunque sia il punto Xl sul segmento (A,A%). Altrettanto dovrebbe succedere per ogni punto X2 del segmento (42A3), tale che (X1X2) = (A1A2)~(AZA3) (teor. V. 11). Ma ciò è impossibile, perché essendo (RA3)^(RA2)-\-(AlA2) ed essendo (RA2) (A^j, (RX2) dovrebbe diventare almeno una volta uguale ad (A1A2)(teor. VII, 13), e quindi R apparterrebbe alla retta contro l'ipotesi. Occorre dunque, se esistono i punti A! e A2, che A3 coincida con An il che è escluso nel caso della retta aperta (teor. I, 4 e int. def. II, 63). Oppure : Se X2 si avvicina indefinita- mente ad A2, X2 si avvicina indefinitamente ad A3 (oss. IV, 4 int. a, 99), e la differenza di (RX2) e (RA%) deve decrescere indefinitamente (ass. IV), mentre (RX2) ae (RA3) = (RA2) -f- a; il che è possibile solo quando A3 cade in Aly consi- derando per (RA3) il maggiore dei segmenti dei punti R e A3 sulla retta (oss. I, 6). È dunque assurdo ammettere che sulla retta aperta vi siano coppie dì punti che non la determinano. CorolL Se la retta è aperta due rette qualunque distinte non possono avere due punti comuni. Perché altrimenti vi sarebbe in esse una coppia di punti che non le deter- minerebbe (oss. I, 4). Teor. IL Se la retta è chiusa è determinata da due qualunque dei suoi punti, salvo il caso possibile in cui essi siano punti opposti. Di fatti se nella dimostrazione precedente A3 cade in Al allora Aì e A2 sono punti opposti della retta (def. Ili, 6), ma ogni altra coppia di punti della retta per la dimostrazione del teorema precedente determina la retta. 9. Corrispondenza d'identità, fra due figure Coppia, di rette ~ As- sioma 7 Teoremi sulle figure rettilinee uguali 15. Teor. I. Ogni figura appartiene ad una figura rettilinea. XII) Questo paragrafo può rimanere tale e quale sia coll'ass. II come coll'ass. ir* In un trattato elementare se sembrasse opportuno per ragioni didattiche di non dare i concetti dell'uguaglianza svolti nel r introduzione si potrebbe dare per definizione If Xl is a point of the segment (ATA2), the segment (RXJ can not be either equal to or greater than a. In fact being the same point R would be a point of the group and belong to the straight line r (theor. VI, 4) against the hypothesis. It can not be increased because (RAJ is less than a to be included in the segment (A1A2), and thus there would be at least one segment (RY) equal to a (theor. VII, 13) and belong to the group R of the point Y, ie the straight line r. The point Xl therefore determines with. R a minor segment of a, and then Xl is in a given to the first point of the group (X) on the straight line '(RXJ to par-tire by R , whatever the point Xl on the segment (A, A%). Equally should happen for every point of the segment X2 (42A3), such that (X1X2) = (A1A2) ~ (AZA3) (theor. V. 11). But this is impossible, because being (RA3) ^ (RA2) - \ - (AlA2) and being (RA2) (A ^ j, (RX2) should be equal to at least once (A1A2) (theor. VII, 13), R and therefore belong to the line against the hypothesis. must therefore, if there are points A! and A2, and A3 coincides with An which is excluded in the case of a straight open (theor. I, 4 and int. def. II, 63). Or: If X2 is approaching an indefinite-mind to A2, X2 approaches indefinitely to A3 (oss. IV, 4 int. a, 99), and the difference of (RX2) and (RA%) must decrease indefinitely ( ass. IV) and (RX2) pe (RA3) = (RA2)-f-a, which is possible only when A3 falls into Aly recital for (RA3) the greater of R and A3 segments of the points on the line (oss. I, 6). It is therefore absurd to say that open on the right there are pairs of points that determine it. CorolL If the line is open every two distinct lines can not have two common points. Because otherwise there would be in them a pair of points that do not undermine the deter-(oss. I, 4). Teor. IL If the line is closed is determined by any two of its points, unless you where they are on opposite sides. In fact, if the demonstration At that time falls in the previous A3 and A2 are the opposite sides of the line (def. Ill, 6), but every other pair of points on the line for the proof of this theorem determines the line. 9. Correspondence identity, between two figures couple of lines 7 ~ As-Sioma Theorems on rectilinear figures equal 15. Teor. I. Each figure belongs to a rectilinear figure. XII) This paragraph may remain so, and what coll'ass. II as coll'ass. ir * In a treaty if it seemed appropriate for elementary educational reasons not to give the concepts of equality carried out in the introduction of r could be given by definition
Page 235 Page 235235 Difatti ogni figura è data da un sistema di punti (def. I, 2), ei segmenti che congiungono due a due quei punti e quelli dei segmenti così ottenuti e così via determinano appunto una figura rettilinea (def. I, 9), che contiene la figura data (def. I, 2). 235 fact, each figure is given by a system of points (final I, 2), and the segments that join two at those points and those of the segments thus obtained, and so on precisely determine a rectilinear figure (final I, 9), which contains the given figure (final I, 2). Oss. Oss. I. I. Ogni figura rettilinea è determinata oltreché dai sistemi di punti che servono a costruirla (def. I, 9) da tutti i suoi segmenti rettilinei dati in posizione, vale adire tutte le sue proprietà derivano dai sistemi dati e da questi segmenti (def. I, 9 e int. def I, 11). Every rectilinear figure is determined by the systems as well as points that are used to build it (def. I, 9) from all its data line segments in place, that appeal to all its properties are derived from data and systems from these segments (def. I, 9 and int. The final, 11). Oss. Oss. II. II. Si è visto (int. oss. I, 71) che abbiamo bisogno di riferirci almeno ad una forma fondamentale, colla quale si possano costruire tutte le altre forme, per poter decidere dalla costruzione stessa di due altre forme, se siano o no identiche (int. oss. Ili, 71), e per la quale bisogna ammettere l'identità delle parti senza costruzione, basandosi soltanto sulla def. We have seen (int. oss. I, 71) that we need to refer to at least a basic form, with which you can build all the other forms to enable a decision by the same construction of two other forms, whether or not identical ( int. oss. Ill, 71), and for which you have to admit the identity of the parties without construction, relying only on the final. VI, 8 dell'introduzione, per non cadere in una petizione di principio (int. oss, 1,71). VI, 8 of the introduction, to avoid falling into a circular argument (int obs, 1.71). Si è pure visto (int. 123) come sia più conveniente sce- gliere per forma fondamentale il sistema identico nella posizione delle sue parti de- terminato dal rninor numero di elementi, e tanto più se due qualunque di questi si- stemi sono identici. It is also seen (ext. 123) as it is cheaper Now click on the system the same basic form in the position of its share-ended by de rninor number of items, and much more if any two of these sys-tems are identical. La retta soddisfa a tutti questi caratteri e quindi si trova nelle migliori condi- zioni di ogni altra figura geometrica per essere presa come figura fondamentale. The line meets all these characters and therefore is in the best conditions of any other geometric figure to be taken as the key figure. Dunque: Conv. I. So: Conv I. Noi consideriamo la retta quale figura fondamentale della geo- metria. We consider the line as given the fundamental geometry. Oss. Oss. III. III. Come fra due forme astratte identiche si ha una corrispondenza d'ide- dentità (int. def. I, 60) si ha pure una tale corrispondenza fra due figure (def. I, 2). As between two abstract forms there is an identical match of ide-identity (int. final. I, 60), there's also such a correspondence between two figures (def. I, 2). Si ha quindi: Teor. Therefore: Teor. II. II. In due figure uguali... In two of the same ... ASC...3/....... ASC ... 3 / ....... AB'C'...M'... AB'C '... M' ... (ove i punti indicati cogli stessi segni, salvi gli apici, sono punti corrispondenti) figure determinate da gruppi di punti corrispondenti sono uguali (int. #, 60; def. Ili, 9). (Where the points listed Seize same signs, except the apices, are corresponding points) figures determined by groups of corresponding points are equal (ext. #, 60, def. Ill, 9). Coroll. Coroll. I. I. / segmenti rettilinei (e perciò anche le distanze) determinati da coppie di punti corrispondenti di due figure uguali sono uguali (teor. II e def. I, 5). / Rectilinear segments (and therefore also the distances) determined by pairs of corresponding points of two of the same are equal (theor. II and final. I, 5). Coroll. Coroll. II. II. Due figure determinate da due gruppi di punti ...ABCD...M..., ....A'ffC1...M'.... Two figures determined by two groups of points ABCD ... ... M. .., .... A'ffC1 ... M '.... sono uguali, se le figure rettilinee che essi determinano sono uguali (i punti indicati dagli stessi segni, salvi gli apici, essendo punti cor- rispondenti delle figure rettilinee). are equal, if they determine that the rectilinear figures are equal (points indicated by the signs, except in quotes, as cor-responding points of rectilinear figures). Perché le due prime sono figure corrispondenti nelle seconde (teor. I e II). Because the first two are the corresponding figures in the second (theor. I and II). Oss. Oss. IV. IV. In seguito noi ci serviremo del teor. Later we will serve the theorem. II pei soli segmenti rettilinei cor- rispondenti di due figure rettilinee identiche, appoggiandosi ad altri teoremi per di- mostrare l'identità delle altre figure rettilinee corrispondenti. II pei only straight line segments cor-respondents of two identical rectilinear figures, leaning on other theorems of-show the identity of the other corresponding rectilinear figures. Teor. Teor. III. III. Due figure rettilinee ...ABCD...M..., ...AB1 C'..M'... Two rectilinear figures ... ABCD ... M. .., AB1 ... C '.. M' ... determinate da altre figure uguali sono uguali, se si può stabilire fra i loro punti una corri- spondenza univoca tale che i segmenti rettilinei (e quindi anche le distanze) dei punti corrispondenti siano ordinatamente uguali. certain other identical figures are equal, if we can establish between their points of a unique correspondence that the straight line segments (and hence distances) of the corresponding points are neatly equal. di figure qualunque uguali la proprietà del teor. any of figures equal the properties of the theorem. Ili del n. Ill of n. 15 dalla quale poi si de- ducono il teor. 15 from which then de-duce the theor.. II ei suoi corollari. II and its corollaries. I teor. The theorem. VII e Vili possono esse omessi (vedi nota 1, 17). VII and VIII can they omitted (see note 1, 17).
Page 236 Page 236236 Le due figure sono determinate in modo unico dai loro segmenti rettili- nei (oss. I), e poiché sia i sistemi di punti che servono a costruirle (def. I, 9) che i loro segmenti sono ordinatamente uguali, le due figure sono uguali (int. a, 50 e def. Ili, 9). 236 The two figures are determined uniquely by their segments reptiles-in (oss. I), and since both the systems of points that are used to build (final I, 9) that their segments are neatly equal, the two figures are equal (int a, 50 and final. Ill, 9). Es. La figura rettilinea determinata da due punti A, E distinti è data dal seg- mento rettilineo che passa pei dne punti dati (def. II, 4), se determinano la retta; e la uguaglianza delle figure rettilinee determinate dalle coppie di punti A, B ; A e B' è data dall'uguaglianza dei segmenti rettilinei (AB}, (A'B'). Se A e B non determinano la retta, i segmenti rettilinei che hanno per estremi A e B sono uguali (teor. IV, 11 e teor. II, 14); e la figura rettilinea determinata dai due punti è data da tutti i segmenti, rettilinei che hanno per estremi i punti dati e due punti qualunque di questi segmenti, e così via. La figura è data quando sono dati tutti questi segmenti, e se mediante una corrispondenza univoca e nel medesimo or- dine fra i punti, i segmenti corrispondenti sono uguali, le due figure sono uguali. Oss. V. È da osservare che contrassegno delle due figure rettilinee determinate ad es. da due altre figure uguali (def. I, 9) sono queste stesse figure che servono a determinarle, e quindi può darsi che due figure rettilinee non identiche lo siano se si considerano determinate dal sistema di punti delle due figure determinatrici indi" pendentemente da queste figure (vedi es. dell'osa. II, 16). Conv. IL Se una figura è parte dell'altra (def. I, 2) ed ha luogo la pro- prietà del teor. II, allora non sono più uguali in senso assoluto (int. oss. IV, 60 e def. Ili, 9), ma anche in questo caso quando non occorra rilevare questa differenza le chiameremo uguali o identiche come abbiamo fatto colla conv. I, del ri. 69 dell'introduzione. Oss. IV. Il teor. Ili ci da il principio sul quale ci appoggieremo in seguito per decidere se due figure ottenute per costruzione siano o no identiche. Ma come ve- dremo fra poco questo principio da solo non ci basta per le proprietà ulteriori. Teor. IV. Due figure uguali ad una terza sono ugtiali fra loro. È un'altra forma del teor. e, 8 dell'introduzione. Ammetendo però que- sto teorema soltanto pei segmenti rettilinei (int. oss. I, 71) si può dare un' al- tra dimostrazione, come abbiamo fatto pei numeri naturali (int. oss. V, 47 e h, 48). Siano (X) e (Y) le due figure uguali ad una terza (Z). Le figure (X) e (Z), (Y) e (Z) si corrispondono univocamente e nel medesimo ordine (int. dim. b, 60) e quindi anche (X) e (Y) (f. 42). Ora al segmento (X^) che ha per estremi due punti Xv e X2 di (X) corrisponde in (Z) un segmento ad esso uguale (ZjZ2), ea questo corrisponde in(Y) un segmento uguale (Yi Y2), e quindi (X1X2)^(Y1Y2) (int. e, 8); dunque le figure rettilinee (X) e (Y) soddisfacendo al teor. Ili sono uguali, e perciò anche le due figure date (coroll. II, teor. II). Def. I. Diremo che m punti sono indipendenti fra loro quando nessuno di essi appartiene alle figure determinate dagli altri m 1. Teor. V. Se in una figura m punti sono indipendenti, lo devono essere anche gli m punti corrispondenti di una figura uguale alla prima. Siano infatti A^.... Am gli m punti indipendenti, e supponiamo invece che i punti corrispondenti A\Ar2....Arm della seconda figura siano tali, che uno di essi, ad es. A\, sia situato nella figura determinata dagli altri m 1 (def. I), mentre A^ non è situato fuori della figura corrispondente (def. I, 2). Ciò significa che A\ coincide con un punto di questa figura (int. def. Ili, 57) e determina con esso un segmento nullo (ini def. I, 76). Ma il punto Eg, the rectilinear figure determined by two points A, E is given by the distinct segment straight, which passes through DNE data points (final II, 4), if they determine the straight line, and the equality of the rectilinear figures determined by the pairs of points A, B, A and B 'is given by the equality of the rectilinear segments (AB}, (A'B'). If A and B do not determine the straight line, the straight line segments which have the ends A and B are equal (theor. . IV, 11 and theor.. II, 14), and the rectilinear figure determined by the two points is given by all the segments, which have straight extreme for the data points and any two points of these segments, and so on. The figure is date when they are given all these segments, and if using a unique match and in the same or dine-between points, the corresponding segments are equal, the two figures are equal. Oss. Mark V. It should be noted that certain of the two rectilinear figures eg. from two other identical figures (final I, 9) are these same figures are used to determine them, and then it may be that the two rectilinear figures are not identical when one considers determined by the system of points of the two figures indicated determinatrici " dently from these figures (see Ex. OAS. II, 16). THE Conv If a figure is part of the other (def. I, 2) and takes place pro-ownership of the theorem. II, then they are not most equal in absolute sense (int. obs. IV, 60 and final. Ill, 9), but also in this case when not necessary to detect this difference will call the same or identical as we have done glue conv. I, the re. of 69 'introduction. Oss. IV. the theorem. Ill gives us the principle on which we appoggieremo later to decide whether two figures obtained for construction are identical or not. But you shall see shortly how this principle alone is not enough for additional properties. Teor. IV. Two figures are equal to a third ugtiali each other. It is another form of the theorem. and 8 of the introduction. Ammetendo But this theorem I-pei only straight line segments (int. oss. I, 71) can be given an 'in-between demonstration, as we did pei natural numbers (int. oss. V, 47 h, 48). Let (X) and (Y) the two figures equal to one third (Z). The figures (X) and (Z), (Y) and (Z) correspond uniquely and in the same order (int. dim. b, 60) and therefore also (X) and (Y) (f. 42). Now the segment (X ^) which has two points for extreme Xv and X2 of (X) corresponds in (Z) a segment equal to it (ZjZ2), and this corresponds in (Y) equal to a segment (Yi Y2), and then (X1X2) ^ (Y1Y2) (int. and, 8); therefore the rectilinear figures (X) and (Y) satisfying the theor.. Ill are equal, and therefore also the two figures dates (coroll. II, theor.. II) . Def. I. We say that m points are independent of each other if none of them belongs to the figures by certain other 1 m. Teor. V. If a figure in m points are independent, it must also be the m corresponding points of a figure equal to the first. Let A ^ fact .... Am the m independent points, and suppose instead of the corresponding points A \ Ar2 .... Arm of the second figure are such, that one of them, eg. A \, is located in the figure determined by the other m 1 (def. I), while A ^ is not located outside the corresponding figure (def. I, 2). This means that A \ coincides with a point of this figure (int. final. Ill, 57) and determines therewith a zero segment (ini final. I, 76). But the point
Page 237 Page 23723? 23? corrispondente di nella prima figura non può dare con A alcun segmento nullo, perché A è fuori di questa figura e quindi le due figure non potrebbero essere identiche (coroll. teor. II). corresponding to the first figure can not give any segment with A zero, because A is out of this figure, and then the two figures may not be identical (theor. coroll.. II). Coroll. Coroll. Se tre punti di una figura non sono situati in linea retta, tre punti corrispondenti in una figura uguale non possono essere situati in li- nea retta. If three points of a figure are not situated in a straight line, three corresponding points in a figure equal may not be located in a straight-nea them. Teor. Teor. VI. VI. Date due rette si può stabilire la loro corrispondenza d'iden- tità a cominciare da due qualunque dei loro punti come punti corrispondenti, in uno e neW altro verso, em ogni corrispondenza d'identità ad un raggio dell'una corrisponde un raggio determinato dell'altra, e al raggio opposto del primo il raggio opposto del secondo. Given two straight lines one can determine the identities of their correspondence, beginning with any two of their points as corresponding points, and in a neW other hand, am all correspondence identity to a radius of one corresponds to a single radius of 'other, and the radius opposite of the first opposite the radius of the second. Intanto sulla retta stessa si possono stabilire infinite corrispondenze d'i- dentità in uno e nell'altro verso, poiché riguardando due dei suoi punti dati come punti corrispondenti, la retta è identica tanto se la si considera da cia- scuno dei due punti nel medesimo verso, quanto anche nel verso opposto (teor. Ili, 4 e int. conv. I, 69). Meanwhile on the same line can be established correspondences of the infinite-identity in one and the other way, because of its covering two data points as corresponding points, the line is the same both when seen by each of the two points in same direction, as also in the opposite direction (theor. Ill, 4, and int. conv. I, 69). E perciò, se nelle due rette, che sono identiche (teor. I, 8), ad un punto A dell'una corrisponde un punto A" dell'altra, siccome la prima retta a cominciare da un altro suo punto B in un dato verso è uguale alla retta a cominciare da A nello stesso verso o nel verso opposto, ne consegue che sulle due rette date si potrà stabilire un' altra corrispondenza d'identità in modo che al punto B della prima corrisponda il punto 4' della seconda, e ad un determinato raggio della prima un determinato raggio della seconda (def. I, 7). Così se A e B, A' e B sono due coppie di punti corrispondenti delle due rette, supposto per un momento che A e B e così anche A e B' non siano punti opposti nel caso della retta chiusa (def. Ili, 6), al segmento determinato da A e B sulla retta AB (def. II, 6) corrisponde il segmento (A'B') sulla se- conda retta, e quindi ad un punto X dell'uno il punto X' dell'altro in modo che (AX)~ (A'X*) (teor. II, coroll. IL teor. Ili, 4), e perciò anche nel verso o rag- gio determinato dal segmento (AB) a partire da A sulla prima retta (def. I, 6 e int. /"', 63), corrisponde il raggio determinato sulla seconda retta dal seg- mento (A' ) a partire da A'. And therefore, if in the two straight lines, which are identical (theor. I, 8), to a point A of one corresponds to a point A "of the other, since the first straight line starting from another his point B in a given direction is equal to the line starting from A in the same direction or in the opposite direction, it follows that on the two given straight lines can be established an 'other correspondence identity so that at point B of the first corresponds to point 4' of the second, and to a given radius of the first a given radius of the second (final I, 7). Thus if A and B, A 'and B are two pairs of corresponding points of the two lines, assuming for the moment that A and B, and so also A and B 'are not opposite points in the case of the straight line closed (final Ill, 6), the segment determined by A and B on the line AB (final II, 6) corresponds to the segment (A'B') on whether - second straight line, and then to a point X of one point X 'of the other so that (AX) ~ (A'X *) (theor. II, coroll. THE theor.. Ill, 4), and therefore also in the direction or rag-Thu determined by the segment (AB) from A on the first straight line (final I, 6 and int. / "', 63), corresponds to the radius determined by the second straight line segment (A' ) starting from A '. Ma scegliendo sulla seconda retta il punto B\ tale che (A'B') =, (ATB\) (coroll. II, teor. Ili, 4) e facendo corrispondere ai punti A e B della prima retta i punti A' e B?l della seconda, al raggio determinato da (AB) sulla retta AB corrisponde in tal caso sulla seconda retta il raggio opposto a quello determi- nato da (A'#), ossia quello determinato dal segmento (A'B\) a partire da A (def. I, 6 e int. f\ 63). But choosing the second straight point B \ such that (A'B ') = (ATB \) (coroll. II theorem. Ill, 4) and by matching the points A and B of the first straight points A' and B? l of the second, the radius determined by (AB) on the straight line AB corresponds in this case on the second straight line the radius opposite to that determined on (A '#), ie the one determined by the segment (A'B \) to from A (def. I, 6 and int. f \ 63). Se i punti A e B fossero opposti nel caso della retta chiusa (def. Ili, 6) lo sarebbero anche i punti A' e B', ed allora per stabilire la corrispondenza fra le due rette, scelto un punto X della prima retta occorre stabilire in quale delle due parti della seconda retta determinata da A' e B' deve giacere il punto X'. If the points A and B were opposite in the case of the line closed (def. Ill, 6) they are also the points A 'and B', and then to establish the correspondence between the two lines, choose a point X of the first line should be determine in which of the two parts of the second straight line determined by A 'and B' must lie the point X '. 16. 16. Def. Def. I. I. La figura rettilinea determinata da due rette (def. I, 9) la chia- meremo coppia di rette. The figure given by two straight lines (def. I, 9) meremo the key-pair lines. Se le due rette hanno un punto comune, chiameremo questo punto ver- tice della coppia. If the two lines have a common point, we will call this point ver-tice of the couple.
Page 238 Page 238238 Se consideriamo le rette in un determinato verso, chiameremo la coppia di rette coppia di raggi, quando sarà necessario tener conto di questa distinzione. 238 If we consider the lines in a given direction, we will call the pair of straight pair of rays when you will need to take account of the distinction. Oss. Oss. I. I. Se due rette hanno un punto comune, nel caso della retta chiusa è an- cora possibile l'ipotesi che abbiano un altro punto comune (teor. II, 14), che sarà pure un vertice della coppia. If two lines have a common point, in the case of the straight line is closed an-cora the hypothesis that can have another common point (theor. II, 14), which will also be a vertex of the pair. Ma per noi basta in tal caso limitarci per ora alla conside- razione della coppia intorno ad uno solo dei suoi vertici. But for us it is enough for now limit ourselves in this case considered the ration of the pair around one of its vertices. Ind. I. Ind. I. Se aeb sono le rette oi raggi della coppia, la indicheremo col simbolo (ab). If a and b are the straight lines or rays of the pair, denoted by the symbol (ab). Se i raggi della coppia sono determinati da due segmenti (AB), (AC) a partire dal loro estremo comune A, la indicheremo anche col simbolo BÀC oppure CAB. If the rays of the couple are determined by two segments (AB) (AC) from their common end A, also denoted by the symbol BAC or CAB. Teor. Teor. I. I. Se due coppie di rette di vertici A e Al sono uguali, nella loro corrispondenza d'identità 1. If two pairs of straight lines of vertices A and Al are equal, in their correspondence identity 1. al vertice delTuna deve corrispondere il vertice dell9 altra ; 2. Summit delTuna must match the vertex dell9 other 2. ad un raggio o verso delle rette di una coppia corrisponde un determinato raggio delle rette della seconda coppia; 3. to a radius or to a pair of lines corresponds to a given radius of the second pair of lines 3. due coppie di punti corrispondenti determinano segmenti uguali. two pairs of corresponding points determine equal segments. Siano AB, AC; AB', AC le due coppie. Let AB, AC, AB ', AC, the two pairs. Ad A deve corrispondere A nella corrispondenza d'identità delle due coppie, perché se al vertióe A della prima corrispondesse per es. A must correspond to A in correspondence with the identity of the two pairs, because if the vertióe A of the first corresponded eg. un punto A\ situato sulla retta A' e non situato sulla retta A'C', al punto A come appartenente alla retta AC non potrebbe corri- spondere lo stesso punto A\, perché situato fuori della retta AC', (coroll. e teor. V, 15), e siccome la corrispondenza d'identità è univoca (int. def. I, 60 e def. II, 42) A\ deve coincidere con A. At one point \ located on the straight line A 'and not located on the line A'C', at point A as belonging to the line AC could not corre-spond to the same point A \, because it is situated outside the line AC ', (and coroll. theorem. V, 15), and since the correspondence is unique identity (int. final. I, 60 and def. II, 42) A \ must coincide with A. Nella corrispondenza d'identità, ad un verso di (AB) deve corrispondere un verso di (AB*), e ad un verso di (AC) un verso di (AO) (teor. VI, 15 e def. I, 7). In correspondence of identity, to a direction of (AB) must correspond to a line (AB *), and a line (AC) towards a (AO) (theor. VI, 15 and final. I, 7) . Inoltre date due coppie di punti corrispondenti (BC) e ( C) delle due coppie di rette, si ha: (BC) = (B'C) (coroll. teor. II, 15). Furthermore, given two pairs of corresponding points (BC) and (C) of the two pairs of straight lines, we have: (BC) = (B'C) (theor. coroll.. II, 15). Def. Def. IL Data una coppia di raggi di vertice A, i raggi opposti (def. I, 7) determinano un'altra coppia di raggi (def. I). THE Given a pair of spokes of apex A, the rays opposite (final I, 7) determine another pair of spokes (def. I). Le due coppie di raggi si chia- mano opposte al vertice. The two pairs of spokes chia-hand opposite to the vertex. Teor. Teor. IL Se due coppie di raggi sono uguali, le coppie opposte al vertice sono pure uguali. IL If two pairs of beams are equal, the opposite pairs at the summit are also equal. * Siano AXB, AYC; A'X'ff, A'Y'Cf le due coppie di \f, yJà ^ raggi uguali, e consideriamo nei raggi opposti della pri- ma coppia a partire da A i punti Xl e Yl ad es. * Let AXB, AYC; A'X'ff, A'Y'Cf the two pairs of \ f, ^ yJà rays alike, and we consider the opposite of the primary rays, but from A couple points Xl and Yl eg . ad ugual distanza da A dei punti X e Y. an equal distance from A of the points X and Y. Considerando Xl e rt come appartenenti ai due raggi della prima coppia, nella seconda coppia corrispondono ad essi due punti Xrl e Y\ che devono essere ad ugual distanza da A dei punti X' e Y' corrispondenti ài punti X e Y; e perciò devono essere situati a partire da A nella coppia opposta alla seconda (def. II). Whereas Xl and rt as belonging to the two rays of the first pair, in the second pair correspond to them two points XRL and Y \ which must be an equal distance from A of the points X 'and Y' hast corresponding points X and Y, and therefore must be located from A in the torque opposite to the second (final II). Ma si ha (X^) = (X\Y\) considerandoX19 Y^. But we have (X ^) = (X \ Y \) Y ^ considerandoX19. X\ Y\ come appartenenti alle cop- pie date (teor. I). X \ Y \ as belonging to pairs dates (theor. I). Dunque se questi punti si riguardano invece come apparte- nenti alle coppie opposte si ha che i raggi dell' una corrispondono ai raggi dell'altra (teor. VI, 15), e il segmento dei due punti qualunque Xi e Yl Therefore, if these points relate instead as belonging to the pairs opposite one has that the rays of 'a match to the rays of the other (theor. VI, 15), and the segment of any two points Xi and Yl
Page 239 Page 239239 dell'una è uguale al segmento dei punti corrispondenti. 239 of one segment is equal to the corresponding points. Dunque due coppie qua- lunque di punti corrispondenti delle due prime coppie di raggi sono anche corri- spondenti nelle coppie di raggi opposti, e poiché i segmenti di punti corrispon- denti delle due prime coppie, sono per dato uguali, le due coppie di raggi opposti sono uguali (teor, III, 15). So here two pairs of corresponding points-lunque of the first two pairs of spokes are also corresponding in pairs of opposites rays, and because the segments of points corresponding to the first two pairs, are given for the same, the two pairs of rays opposites are identical (theorem, III, 15). Teor. Teor. I IL Due triangoli ABC, A'B'C sono uguali se due lati e la coppia determinata da essi sono rispet* tivamente ugnali. The IL Two triangles ABC, A'B'C are equal if the two sides and the torque determined from them are respect * ugnali tively. Sia (A ) ==(,!'#), (AC)= (A'C1), BCA=ffC'A'. Let (A) == (,! '#), (AC) = (A'C1), BCA ffC'A ='. La cor- rispondenza d'identità fra le due coppie BÒA, B'C'A' è pienamente stabilita essendo A e A'9 JS e #; C e C' punti corrispondenti (teor. I). The heart-responsiveness of identity between the two pairs BOA, B'C'A 'is fully established as A and A'9 JS and #; C and C' corresponding points (theor. I). Si deve avere perciò (BC) = ( (?) (teor. I). Scelti due punti X e Y, ad es. sui lati (AC) e (J5C), essi sono punti della coppia AB, AG; e quindi nella coppia identica A'#, A'C corrispondono ad X e Ydue punti X' e T tali che per l'identità delle due coppie è (AX) = (A'X'), (XC)==(X'Cf), (BY)=ì(#Y'), (YC)=ì(rC)9 e perciò: (XY)^(X'Y) (teor. I). Si vede che ogni segmento del triangolo ABC (def. II, 9) è un segmento della coppia AB, AC, e perciò le due figure ABC, A'B'C' sono identiche (teor. Ili, 15). CorolL I. Le altre coppie di rette corrispondenti ei rimanenti lati dei due triangoli ABC, ABC, cioè ABC9 A' Cf ; ACBt A'CB' sono uguali. Difatti sono figure corrispondenti dei due triangoli (teor, II, 15). Usando il teor. II, 15 soltanto pei segmenti rettilinei (oss. IV, 15) si [può dire: siccome i segmenti del triangolo sono anche segmenti delle sue coppie di rette, e sic- le rette sono identiche (teor. I, 8), le coppie di rette corrispondenti dei due triangoli sono uguali (teor. Ili, 15). O finalmente si può basarsi sull'ass. V. (vedi corroll. teor, III, 17). Oss. II. Nella dimostrazione precedente abbiamo visto che ogni segmento retti- lineo della coppia ABC è pure un segmento rettilineo del triangolo; ma il triangolo per questo non è identico alla coppia, perché mentre la prima è data dalle due rette AB e BG, il triangolo è dato invece dai tre punti A, J9, C; di questa diversità si deve tener conto appunto nel confronto delle figure rettilinee (def. I, 9 e oss. I, 15) 1). It must therefore have (BC) = ((?) (Theor. I). Chosen two points X and Y, eg. On the sides (AC) and (J5C), they are points of the AB pair, AG; and then in the identical pair A '#, A'C correspond to X and Ydue points X' and T such that for the identity of the two pairs is (AX) = (A'X '), (XC) == (X'Cf) (BY) = es (# Y '), (YC) = es (rC) 9 and therefore: (XY) ^ (X'Y) (theor. I). It is seen that each segment of the triangle ABC (def. II, 9) is a segment of the pair AB, AC, and therefore the two figures ABC, A'B'C 'are identical (theor. Ill, 15). CorolL I. The other pairs of corresponding lines and the remaining sides of the two triangles ABC, ABC, ie ABC9 A 'Cf; ACBt A'CB' are equal. They are assigned the corresponding figures of the two triangles (theorem, II, 15). Using the theorem. II, only 15 pei straight segments (oss. IV 15) is [can say, since the segments of the triangle are also segments of its pairs of straight lines, and sic-the lines are identical (theor. I, 8), the pairs of straight lines corresponding of the two triangles are equal (theor. Ill , 15). Or finally you can rely sull'ass. V. (see corroll. theorem, III, 17). Oss. II. In the proof we saw that each segment straight-Lineo torque ABC is also a straight segment of triangle, the triangle, but this is not identical to the pair, because while the first is given by the two lines AB and BG, the triangle is given instead by the three points A, J9, C; this diversity must be taken into account precisely in comparison of rectilinear figures (def. I, 9 and oss. I, 15) 1). i) Per dare la definizione di figure uguali si ammette comunemente il principio del movimento delle figure senza deformazione, del quale abbiamo già parlato nella prefazione. i) To give the definition of equal figures is generally accepted the principle of movement without deformation of the figures, which we already talked about in his preface. Bisogna distinguere il principio intuitivo del movimento stesso da quello del movimento senza deformazione. We must distinguish the intuitive principle of the movement than the movement without deformation. Ogni punto di una figura che si muove nello spazio si trasporta in un altro punto dello spazio. Each point of a figure moving in space is transported to another point in space. La corrispon- denza fra la prima e la seconda figura è univoca, ma essa può non essere reciproca (int. def. Il, 42). The correspondence between the first and the second figure is unique, but it may not be reciprocal (int. final. The, 42). senza deformazione significa che le mutue relazioni fra i punti della figura (poiché la figura si ritiene determinata da punti) non cambiano, ma non già quelle rispetto ad altre figure, chò altri- menti la figura non potrebbe muoversi. without deformation means that the mutual relations between the points of the figure (since the figure is believed to be determined points) do not change, but not those with respect to other figures, Cho otherwise the figure could not move. Volendo spiegare ulteriormente che cosa significa ciò, se non si vuoi dire che due posizioni qualunque della figura sono uguali (nel qual caso si ammetterebbe già il concetto di uguaglianza fra due figure), si può dire che giunta la figura A dalla posizione A\ nella posizione A2, le relazioni fra i punti di A sono in A2 come se non si fosse mossa o come se fos- Wanting to further explain what this means, if you do not want to say that any two positions of the figure are the same (in which case you already admit the concept of equality between two figures), we can say that the figure arrived at from position A \ in position A2, the relations between the points of A are in A2 as if he had not moved or as if they-
Page 240 Page 240240 17. 240 17. Oss. Oss. I. I. Abbiamo dati i teoremi precedenti nella tacita ipotesi che le figure identiche esistano; ma non sappiamo ancora se oltre alle rette vi sono altre figure identiche (teor. I, 8 e teor. IX. 4). We have given the previous theorems in the tacit assumption that identical figures exist, but do not know if there are other fees in addition to identical figures (theor. I, 8, and theorem. IX. 4). Affinchè sia utile il teor. In order to be useful theorem. HI del n. HI of n. 15 per la costruzione delle figure identiche è necessario che dati alcuni segmenti di una figura .... 15 for the construction of the identical figures it is necessary that some data segments of a figure .... ABCD .... ABCD .... M .... M .... essa Bia da essi pienamente determinata, in modo cioè che data un* altra figura .... Bia it fully determined by them, so that is a given that * other figure .... A'B'G'D' .... A'B'G'D '.... M' ... M '... facendo corrispondere nello stesso ordine i punti che hanno le stesse lettere, se i segmenti che uniscono alcuni punti corrispondenti delle due figure sono uguali, da ciò risulti che le due figure sono necessariamente uguali. by matching the same order the points having the same letters, if the segments which combine some of the corresponding points of the two figures are equal, from this is that the two figures are necessarily equal. Per es. Eg. siano date due coppie di rette AB, AG; AB1, A'C1. are given two pairs of lines AB, AG, AB1, A'C1. Noi sappiamo che se sono identiche da (AB)~(A'B% (AG) = (A1 (7) si ha (BG) = (ffC ) (teor. 1,16). Ma inversamente quando si ha (BC)^(JffG1) si può dire che le due coppie sono identiche? Non potrebbe egli darsi che anche essendo (BC) =(#(?') e costruite due coppie di punti corrispondenti qualunque (XY), (X'T) sulle rette corrispondenti delle coppie non si abbia T identità di queste due coppie ? I principi precedenti non ci aiutano, pare, a risolvere la questione, poiché essi suppongono che o le figure siano identiche, o che perché siano identiche siano dati tutti i segmenti determinati dai loro punti due a due, e quindi questi segmenti siano ordinatamente uguali nelle due figure date (teor. IV, 15). Oss. emp. Ricorriamo dunque all'osservazione. E l'osservazione ci induce a rite- nere per vera la proprietà che nel caso delle due coppie suddette, se (BCì^itfC1), le due coppie di rette siano identiche. Dunque stabiliamo il seguente* assioma : i A^. V. Se in due coppie di raggi qualunque AB, AC; A'B', A'C scelte due coppie di punti B e C, B' e C* tali che: (AB)~(A'B')'y (AC) = (A'C) il segmento (BC) sia identico a (#C% le due coppie di rette sono identiche. ]) Oss. IL Questo assioma considerato in senso puramente astratto ci da una rela- zione fra due forme fondamentali (int. 71 e conv. 1,15) aventi un punto comune e in un dato verso. Esso non si appoggia adunque necessariamente sopra alcun elemento em- pirico. Teor. L La coppia di raggi (ab) di vertice C è ugua- le alla coppia (ba). Scegliamole! due raggi aeb due punti A e B alla medesima distanza da C. Indichiamo con al e 6t gli stessi raggi eae con Bl e Al i punti A e B. Le due coppie (ab), ( ! ,) sono identiche essendo: (CB)=(CBl\ (CA) = (CAJ e (AB)=(A,B^ (int. g, 99 e ass. V). flg. io se ancora in Alt e quindi, poiché A e Alt A e A2 coincidono, si ha A = A! A=: Ag, da cui AJ tra^ (int. e 80 C, 60). Ma se vogliamo ancora spiegare perché noi diciamo che la figura quando da AI passa in A2 è come se non si fosse mossa, bisogna dire, che giudicando la figura (o il corpo astrazion fatta dalle sue qualità fisiche), dalle impressioni che produce in noi nel suo movimento, le impressioni prodot- te in noi in due posizioni diverse (che sono perciò distinte nel tempo) sono uguali, e quindi Aj = Ag, cioè si fa uso del concetto di uguaglianza fra due figure distinte (vedi pref.) In ogni caso deriva dalla definizione di figure uguali mediante il suddetto principio (che come dissimo nella pref. restringe il concetto di uguaglianza) che le due figure si corrispondono univoca- mente in modo che figure corrispondènti sono pure fra loro uguali. Ora nel caso del teor. Ili non oc- corre dunque trasportare la coppia ABC fino a coincidere colla coppia A'B'C' ma basta dire che essen- do uguali le due coppie ed essendo in queste due figure A, B, C rispettivamente corrispondenti ai punti A'B'C', si ha (BC) = (B'c l 1) vedi la nota seguente, We know that if they are identical to (AB) ~ (A'B% (AG) = (A1 (7) we have (BG) = (ffc) (theor. 1.16). But conversely when you have (BC) ^ (JffG1) can be said that the two pairs are identical? It could also be that since he (BC) = (# (? ') and built two pairs of corresponding points in any (XY), (X'T) straight lines corresponding pairs of T has no identity of these two pairs? The above principles do not help us, it seems, to resolve the issue, since they assume that either the figures are identical, or that are identical because all the data segments are determined by their points two by two, and then these segments are neatly identical in the two figures given (theor. IV, 15). Oss. emp. us turn then to the observation. And observation leads us to rite-black for real property that case of the two pairs above, if (BCI ^ itfC1), the two pairs of straight lines are identical. So we establish the following * axiom: the A ^. V. If in two pairs of spokes any AB, AC; A'B ', A'C chosen two pairs of points B and C, B 'and C * such that: (AB) ~ (A'B') 'y (AC) = (A'C) the segment (BC) is identical to ( #% C the two pairs of lines are identical.]) Oss. IL This axiom considered in a purely abstract gives us a report of two basic forms (ext. 71 and conv. 1.15) having a common point and a given direction. It does not rely on any evidence, then, necessarily em-pirico. Teor. L The pair of rays (ab) vertex ugua-C is the torque (ba). Scegliamole! two rays a and b two points A and B the same distance from C to denote by the same rays eae and 6t with Bl and Al points A and B. The two pairs (ab), (!,) are the same as: (CB) = (CBL \ (CA) = (CAJ, and (AB) = (A, B ^ (int g, 99 and Ch. V). fig. if I still Alt and then, since A and Alt A and A2 are the same, A = A! A = Ag, where AJ ^ between (int. and 80 C, 60). But if we still want to explain why we say that the figure when it passes from AI to A2 as if it had not moved, it must be said, that judging figure (or the body leaving aside its physical qualities), the impressions produced in us in its movement, the impressions produced in us-you, in two different positions (which are so distinct in time) are equal, and therefore Aj = Ag, ie it makes use of the concept of equality between two distinct figures (see pref.) In any case stems from the definition of equal figures by the above principle (which, as in dissimo pref. narrows the concept of equality) that the two figures unique match-mind so that the corresponding figures are also identical to each other. Now in the case of the theorem. Ili not oc-runs thus transporting the pair to coincide with the two ABC A'B'C 'but suffice to say that essentially the same do- the two pairs and being in these two figures A, B, C respectively, for points A'B'C ', we have (BC) = (l B'C 1) see note below,
Page 241 Page 241241 è 6a), dunque il teorema è dimostrato (fig. 10 . Teor. IL Due coppie di raggi opposte al vertice sono uguali. Indichiamo nella figura precedente con a' eb' i raggi opposti ad aeb, e con- sideriamo sul raggio b il punto B e sul raggio a il punto A da C nel verso oppo- sto di (CA) ad ugual distanza di A da C. Nella coppia (ab) ai punti A e B9 corri- spondono i puntile A della coppia( a),eperciò(Afì')=(5'A)=(^Af)(teor.I,int. g, 99); dunque le coppie ( '), (b'a) opposte al vertice sono uguali (ass. V). Analo- gamente si dimostra l'identità delle due coppie opposte al vertice (ab) e (a'b'). Coroll. Se sulle rette di una coppia di vertice C si considerano due coppie di punti A, A'; B, ff rispettivamente equidistanti da C; i segmenti (AB), (A ); (AB), (AB) sono uguali. Difatti CA, GB; CA, Cff sono due coppie di raggi opposte; dunque si ha: (AB)==(A'JS'); (AB1) = (A'B) (teor. II, 15), (fìg. 10). Teor. III. Due triangoli sono uguali se i loro lati sono due a due rispet" tivamente uguali. Difatti siano ABC, AffC i triangoli, e si abbia (AB) = (A#), (AC) = (AC)y (#C) = (#C); le coppie di rette AB, AC; Aff, AC sono uguali (ass. V), e quin- di anche i due triangoli (teor. Ili, 16). Coroll. Le coppie rettilinee corrispondenti dei due triangoli sono uguali (ass. V). Teor. IV. Se la somma delle distanze di un punto da due punti è uguale alla distanza di questi due punti, i tre punti sono in linea retta. Difatti siano ABC i tre punti, e sia (AB) 4- (BC) = (AC). Scegliamo sopra una retta tre punti AB C tali che (AB) =*(A ), (BC)=( C) e quindi (AC) = (A'C*) (int. e, 68 ? teor. I, 5), e perciò le due figure rettilinee A1?C, A Cf sono identiche (ass. V); dunque anche AJ5C sono in linea retta (coroll. teor. V. 15). Teor. V. Se i triangoli ABC, ABD, ACD sono rispettivamente uguali ai triangoli AB1 C, Affff, ACfD ei punti BCD sono in linea retta, i punti Et CD' sono pure in linea retta. Difatti dall'identità dei triangoli suddetti si ha: / r /ì\ -- -/' TV/*# \ / D TÌ\ / iy TV\ ffìj\\ fr*Tlf\ \ms) = \-tf O ), \ fU) = \ U), \\jLt)-=.\\jU) D O1 Se C appartiene al segmento (BD) si ha: /\\ e quindi anche: ( C) + (CD') =( D') vale a dire i tre punti ff CD' sono in linea retta (teor. IV). Ma uno dei punti B, C, D deve essere compreso nel segmento degli altri due (teor. I, 4; int def. I, 62 eb, 36), dunque il teor. è dimostrato (fig. IL). Teor. VI. a). Se due segmenti uguali (AC), (BD) forma- *no coppie uguali col segmento (AB), le coppie formate dai detti segmenti col segmento (CD) sono uguali. 6). La retta che unisce i punti di mezzo E, F dei seg- menti (AB) e (CD), se sono distinti, forma coppie uguali colle rette (AB) e (GB). fl 1? Difatti i triangoli ABC, ABD sono uguali per avere 241 is the sixth), then the theorem is proved (fig. 10. Teor. THE Two pairs of opposite rays to the vertex are equal. We indicate in the previous figure with a 'b' the rays opposite to b, and b the radius-sideriamo point B and the radius at the point A from C in the direction opposite of-I (CA) at equal distance from A to C. In the pair (ab) in A and B9 correspond puntile A of the pair (a) , eperciò (AFI ') = (5 th) = (^ Af) (teor.I, int. g, 99), then the pairs ('), (B'A) opposite to the vertex are equal (abs. V ). analog Similarly proves the identity of the two pairs opposite to the vertex (ab) and (a'b '). Coroll. If straight lines of a pair of vertex C shall be considered as two pairs of points A, A', B , ff respectively equidistant from C; segments (AB), (A), (AB), (AB) are equal. fact, CA, GB, CA, Cff are two pairs of opposing rays; therefore one has: (AB) = = (A'JS '); (AB1) = (A'B) (theor. II, 15), (fig. 10). Teor. III. Two triangles are equal if their sides are two by two respective "tively equal. fact is ABC, AffC triangles, and we have (AB) = (A #), (AC) = (AC) y (# C) = (# C), the pairs of lines AB, AC, Aff, AC are equal (abs. V), and there-fore also the two triangles (theor. Ill, 16). Coroll. rectilinear corresponding pairs of the two triangles are equal (abs. V). Teor. IV. If the sum of the distances one point from two points is equal to the distance of these two points, three points are in a straight line. In fact ABC are the three points, and let (AB) 4 - (BC) = (AC). choose a straight line over three C such that points AB (AB) = * (A), (BC) = (C) and then (AC) = (A'C *) (int. and, 68? theor.. I, 5), and therefore the two rectilinear figures A1? C, are identical to Cf (V abs); AJ5C are therefore also in a straight line (coroll. theorem. V. 15). Teor. V. If the triangles ABC, ABD, ACD are equal to triangles AB1 C, Affff, ACfD points and BCD are in a straight line the points CD Et 'are also in a straight line. In fact, the identity of these triangles we have: / r / ì \ --- /' TV / * # \ / I D \ / iy TV \ ffìj \ \ fr * Tlf \ \ ms) = \ tf-O), \ fU) = \ U), \ \ JLT) - =. \ \ JU) O1 If C belongs to D the segment (BD) we have: / \ \, and then also: (C) + (CD ') = (D') that is to say the three points ff CD 'are in a straight line (theor. IV). But one of the points B, C, D must be included in the segment of the other two (theor. I, 4; final int. I, 62 b, 36), so the theor.. is shown (Fig. IL). Teor. VI. a) . If two equal segments (AC), (BD) * no-form identical pairs with the segment (AB), the pairs formed by said segments with the segment (CD) are equal. 6). The straight line joining the middle points E , F of the segments (AB) and (CD), if they are distinct, the same hill as straight couples (AB) and (GB). fl 1? In fact, the triangles ABC, ABD are equal for
Page 242 Page 242= (AD) (coroll. 242 (AB) comune, (AC)=(BD), BAC=ABD per dato, dunque teor. Ili, 16). = (AD) (coroll. 242 (AB) common, (AC) = (BD), BAC = ABD for given, therefore theor.. Ill, 16). I due triangoli ACD, BDC sono uguali per avere il lato comune ( 7D) e gli altri due lati rispettivamente uguali, cioè (AC)= (BD), (AD) = ( Q, dunque le coppie ACD, BDC corrispondenti sono uguali (coroll. teor. Ili) (fig. 12). I triangoli ACF, BDF sono uguali per avere i lati (CF), (DF);(AC), (BD) uguali e le coppie da essi comprese uguali (a), e perciò (AF)=(BJ?) (coroll. teor. Ili, 16). Per la stessa ragione sono uguali i triangoli ACE, BDE, dunque (CE)=(DE). I triangoli CFE, DFE sono uguali per avere i tre lati rispettivamente uguali (teor. Ili), dunque le coppie CFE, DFE sono uguali (coroll. teor. III). Per la stessa ragione sono uguali i triangoli AEF, BEF e quindi anche le coppie AÈF, BEF, ed il teor. è dimostrato (fig 12). Def. I. La figura formata da quattro punti ABCD non situati in linea retta e dai quattro segmenti rettilinei che li uniscono due a due si chiama qua- drangolo semplice o quadrangolo. I punti dati sono i vertici, i loro segmenti i lati del quadrangolo. Per lati intenderemo anche le rette sui quali sono situati i segmenti anzidetti. Teor. VII. Le figure rettilinee determinate da due gruppi di m punti ABCD . . , . M, AffC? .... M' sono uguali, se i segmenti rettilinei che hanno per estremi gli m punti dati sono ordinatamente uguali. Siano dati ad es. due gruppi di quattro punti ABCD, A'JBfCD' che supponia- mo non siano in linea retta. Se non sono in linea retta quelli di un gruppo, non possono esserlo neppure quelli dell'altro, (teor. IV). La figura rettilinea del gruppo ABCD si ottiene congiungendo i quattro punti fra loro mediante dei segmenti, e poi considerando i segmenti determinati dai punti dei primi, e così via (def. I, 9). Dico che in tal caso la corrispondenza d' identità è pienamente determinata dai dati del teor. stesso. Intanto i triangoli corrispondenti che hanno per vertici tre punti dati delle due figure sono uguali per avere i tre lati uguali (teor. HI). 1 . Scelti due punti X e Yin uno dei segmenti dei quattro punti ABCD, ad es. in (AB), o nel suo prolun- gamento, i punti corrispondenti X' e T in (A'J?) sono estremi di un segmento uguale, ei segmenti che essi formano con A e sono uguali a quelli determinati dai punti X e Y sulla retta AB con A e B (teor. VI, 15). 2 . Scelti invece due punti X e ^ nei segmenti (AB) e (BC), o nei loro prolungamenti, e costruiti i due punti corrispondenti X! e X", siccome i due triangoli ABC, ABC sono uguali, si ha che le coppie di raggi AB, BC; A'B, SO sono uguali, e poiché (BX) == (#JT) ; (BXÌ) = (BX'Ì) si ha: (XXJ = (JTX'J (coroll. teor. Ili, 16, opp. teor. II, 15). Così per l'identità dei triangoli ADB, A'D' ; BDC, B'JJC si ha per la ragione: B flg. 13 The two triangles ACD, BDC are the same for the common side (7D) and the other two sides respectively equal, ie (AC) = (BD), (AD) = (Q, therefore the pairs ACD, corresponding BDC are equal ( coroll. theor.. Ill) (fig. 12). The triangles ACF, BDF are equal in order to have sides (CF), (DF); (AC), (BD) of equal length and the pairs from them including the same (a), and therefore (AF) = (BJ?) (theor. coroll.. Ill, 16). For the same reason the triangles are equal ACE, BDE, then (EC) = (DE). The triangles CFE, DFE are equal in order to have the three sides respectively equal (theor. III), then the pairs CFE, DFE are equal (theor. coroll.. III). For the same reason the triangles are equal AEF, BEF and therefore also the pairs AEF, BEF, and the theor. . is shown (Fig 12). Def. I. The figure formed by four points ABCD is not located in a straight line and four line segments that unite them in pairs is called here-drangolo simple or quadrangle. Data points are the vertices , their segments sides of the quadrangle. For sides shall understand also the lines on which are located the segments described above. Teor. VII. The rectilinear figures determined by two groups of m points ABCD ..,. M, AffC? .... M 'are equal, if the straight line segments that have extreme for the m data points are neatly equal. Let data eg. two groups of four points ABCD, A'JBfCD' supponia-mo that are not in a straight line. If they are not in a straight line those of a group, they can not be even those of the other, (theor. IV). rectilinear figure of the group ABCD is obtained by joining together by means of the four points of the segments, and then considering the segments determined by the points of first, and so on (def. I, 9). I say that in this case the correspondence d 'identity is fully determined by the data of the theorem. same. Meanwhile, the triangles that have corresponding data points for three vertices of the two figures are equal to have the three equal sides (theor. HI). 1. Chosen two points X and Yin one of the segments of the four points ABCD, eg. in (AB), or in its prolonged-nection, the corresponding points X 'and T (A'J?) endpoints of a segment are equal, and the segments that they form with A and are equal to those determined by the points X and Y on the straight line AB with A and B (theor. VI, 15). 2. Chosen instead two points X and ^ in the segments (AB) and (BC), or their extensions, and made of the two corresponding points X! and X ", since the two triangles ABC, ABC are equal, it follows that the pairs of rays AB , BC; A'B, SW are equal, and since (BX) == (# JT); (bxi) = (BX'Ì) we have: (XXJ = (JTX'J (theor. coroll.. Ill, 16 , opp. theorem. II, 15). So for the identity of the triangles ADB, A'D '; BDC, B'JJC you to right: B fig. 13
Page 243 Page 243243 I due triangoli XDX19 X'pX'l sono uguali per avere i tre lati uguali (teor. Ili), dunque: (coroll. teor. III). 243 The two triangles are equal XDX19 X'pX'l to have three equal sides (theor. III), thus: (coroll. theorem. III). Scegliendo sopra (DX) e (DXj) due punti Fé Z, e sopra i segmenti corri- spondenti (ffX*), (ItXÌ) i punti corrispondenti F, ^*, si ha per la stessa ragione (YZ)==(TZ'). Selecting above (DX) and (DXJ) Z Fe two points, and above the segments corresponding (FFX *), (ItXÌ) the corresponding points F, ^ *, we have for the same reason (YZ) == (TZ '). 3. 3. Dati i due punti X^ e Xl sui segmenti (AD) e (5C), o sui loro pro- lungamenti, e quindi i punti corrispondenti X% XJ, sulle rette AJJ, C (1 .) si ha (AXt) = (A'X1!) (2 .) quindi i triangoli ADXly AD'XJ sono uguali per avere i tre lati uguali (teor. IH). Given the two points X and Xl ^ on the segments (AD) and (5C), or their pro-lungamenti, and then the corresponding points X% XJ, straight lines AJJ, C (1.) We have (Axt) = ( A'X1!) (2.) then the triangles ADXly AD'XJ are equal for the three equal sides (theor. IH). Così sono identici i triangoli X2AX19 X^AXÌ per avere due lati e la coppia da essi compresa in A e in A' uguali, dunque (X9Xl) = (X^X^). Thus the triangles are identical X2AX19 X ^ AXI to have two sides and the torque by including them in A and A 'equal, then (X9Xl) = (X ^ ^ X). Dato ora un punto X3 della retta CD e il punto corrispondente XJ in CU (1 .) e due punti Ti Z^ sulle rette X1X99 XX3 ei due punti corrispondenti Y^ZJ in X/J^', X'X3'9 sic- come i segmenti determinati dai quattro punti XX1X2X3 sono rispettivamente uguali per le dimostrazioni precedenti ai segmenti dei punti corrispondenti XX^'X^ si ha: (Y^EsOì'Z,'}. Da ciò si scorge che i segmenti formati dai punti ABCDXX1X9X3 sono rispettivamente uguali ai segmenti dei punti ABCB XX^X^X^. Due altri punti YZ sono situati in uno o in due di questi segmenti o dei loro prolungamenti, e si presentano i tre casi 1 , 2 , 3 . Quindi si possono costruire i punti corrispon- denti YZ1 in modo che risulta (YZ*) = (YZ). Considerando come coppia di punti Y,^, ad es. Y e uno dei punti già costruiti, cioè ABCD XXlX!tX3t ad es. A, si ha per la stessa ragione Dunque i punti Y e Z, Y1 e Z* hanno rispettivamente le stesse distanze dai punti corrispondenti così costruiti. Dati due punti qualunque V e Yj della prima figura essi sono situa- ti in segmenti o in prolungamenti di segmenti corrispondenti già costruiti (1 .); oppure in segmenti o prolungamenti di segmenti corrispondenti già costruiti le cui rette hanno un punto comune, senza escludere che ne ab- biano anche un altro (2 .); o finalmente sono situati in segmenti o prolun- gamenti di segmenti già ottenuti, le rette dei quali non hanno un punto comune (3 .). In ogni caso si ha: (VV) = (V1y1'); dunque si può stabilire fra le due figure rettilinee ABCD, AffCD' una corrispondenza univoca tale che i segmenti dei punti dell'una siano ordinatamente uguali ai segmenti dell'al- tra, e perciò le due figure sono identiche (teor. Ili, 15). La stessa dimostrazione vale evidentemente anche nel caso si tratti di un numero qualunque m di punti, perché si dimostra successivamente la ugua- glianza delle distanze dei punti corrispondenti dai punti già costruiti e fra loro (conv. II, 15). O ss. III. Non è da confondere il teor. precedente col teor. Ili del n. 15, perché men- tre questo non dipende dall'ass. V, da questo assioma dipende invece il teor, VII. Given now a point X3 of the line CD and the corresponding point in XJ CU (1.) And two points Z ^ Ti X1X99 xx3 straight lines and the two corresponding points Y in X ^ ZJ / J ^ ', sic-X'X3'9 segments as determined by four points XX1X2X3 are respectively equal to the previous demonstrations of the points corresponding to the segments XX ^ '^ X we have: (Y ^ EsOì'Z,'}. From this we see that the segments are formed by the points ABCDXX1X9X3 respectively equal to the segments of the points ABCB XX ^ X ^ X ^. YZ Two other points are located in one or two of these segments or their extensions, and present the three cases 1, 2, 3. So you can build points corresponding YZ1 in a manner which is (YZ *) = (YZ). Considering as a pair of points Y ^, eg. Y and one of the points already constructed, that is, ABCD XXlX! tX3t eg. A, it has So for the same reason the points Y and Z, Y1 and Z * are respectively the same distances from the corresponding points well made. Given two points V and Yj any of the first figure they are situation-you in segments or in segments corresponding extensions of existing constructed (1.), or in segments or prolongations of the corresponding segments already constructed whose lines have a common point, without excluding that ab-Biano another (2.), or finally, are located in segments of the ligaments or prolonged segments are obtained, the lines of which do not have a common point (3.). In any case we have: (VV) = (V1y1 '), then you can decide between the two rectilinear figures ABCD, AffCD' one correspondence that that the segments of the points of one being neatly equal to the segments of Annex I-between, and therefore the two figures are identical (theor. Ill, 15). The same demonstration applies evidently also in the case of any number of m points, then it proves the equality of the distances of corresponding points from the points already made and to each other (conv. II, 15). O ss. III. not to confuse the theorem. with the previous theorem. Ill of n. 15, because three men-this is not dependent by the Association. V, instead of the theorem depends on this axiom, VII.
Page 244 Page 244244 Teor. 244 Teor. Vili. VIII. La figura rettilinea formata da m raggi mcontrantisi in un punto X, è uguale alla figura rettilinea formata dai raggi opposti. The rectilinear figure formed by m mcontrantisi rays at a point X, is equal to the rectilinear figure formed by the rays opposites. Siano XA XA29 ---- XAm determinati dai segmenti (XAJ, (XA2), . . . ., (XAm) a partire da X. Sai raggi opposti consideriamo i punti A{, A%9 . ..., A'm tali che: Facciamo corrispondere X a sé stesso, i punti Ar ai punti A'r ; Essendo le cop- pie di raggi opposte al vertice XAr , XA'S ; XA'r , XA'S uguali (teor. II) si ha (Ar As ) = (A'r A's ) (copoll. teor. Ili, 16), e quindi i segmenti determinati m punti A19A29 ...., Am sono uguali a quelli dei segmenti degli m punti corrispon- denti A/, AZ9 .. . ., A' m* Le due figure rettilinee A19AZ9 . .. ., Am; A^A^ . . . ., A1^ sono identiche (teor. VII), e perciò anche le figure XA^^ .... Am, X'A}'A2' .... Am; dunque il teorema è dimostrato (teor. VII). Ad una retta di una figura corrisponde una retta della seconda (coroll. teor. VI, 15), e quindi se tre' punti Ar , As , Ar sono in linea retta lo sono anche i tre punti corrispondenti A'r , A's , A'r . a). Are XA XA29 ---- Xam determined by the segments (XAJ, (XA2), ...., (Xam) from X-ray Sai opposite consider the points A {, A% 9 ...., A ' m such that: Let X match in itself, points to the points Ar A'r; Since the pairs of opposite rays at the top XAR, XA'S; XA'r, XA'S equal (theor. II) we have (Ar As ) = (A A'r's) (theor. copoll.. Ill, 16), and then the segments determined m points A19A29 ...., Am are equal to those of the segments of the m points corresponding A /, AZ9 .. .., A 'm * The two rectilinear figures A19AZ9 ...., Am, A ^ A ^ ...., ^ A1 are identical (theor. VII), and therefore also figures XA ^ ^ .... Am, X'A} 'A2' .... Am; therefore the theorem is demonstrated (theor. VII). For a straight line of a figure corresponds to a straight line of the second (theor. coroll.. VI, 15), and then if three 'points Ar, As, Ar are in a straight line so are the three points corresponding A'r, A's, A'r. a). 10. 10. Ipotesi I e II sulla retta, assoluta, xni). Assumptions I and II on the right, absolute, thirteenth). 18. 18. Osa. Osa. I. I. Finora noi abbiamo considerata tacitamente la retta rispetto ad una sola unità corrispondente all'unità sensibile (oss. IV e oss. emp. I, 4), ed abbiamo dati gli assiomi che valgono rispetto a questa unità. So far we have tacitly considered the line compared to a single unit that corresponds to the sensitive (oss. IV and oss. Emp. I, 4), and we have data from the axioms that apply to this unit. Come abbiamo fatto neir introduzione colle ip. As we have introduced the hill neir ip. Ili, IV, V, VII, Vili, vogliamo ora stabilire alcune ipotesi le quali non contraddicano agli assiomi già dati e non si contraddicano fra loro, e ci permettano non solo di allargare il campo della geo- metria ma di servirci poi di esse per studiare le proprietà del campo finito stesso rispetto ad un9 unità sotto un punto di vista più generale z). Ill, IV, V, VII, VIII, we now establish some hypotheses which do not contradict to the axioms already given and do not contradict each other, and allow us not only to widen the field of geo-metry but then they serve to study the properties of the finite field with respect to the same un9 unit under a more general point of view, z). Nelle note contrassegnate con numeri romani indicheremo minutamente la via da seguire senza ricorrere a queste ipotesi. The notes marked with Roman numerals indicate in detail the way forward without resorting to these assumptions. Ip. Ip. I. I. La retta è un sistema di punti ad una dimensione iden- tico nella posizione delle sue parti, continuo assoluto e determi- nato da due dei suoi punti distinti. The straight line is a point system to a size iden-tico in the position of its parts, absolute and continuous determination born of two of its distinct points. I) Di questi due ultimi teoremi daremo un'altra dimostrazione in ognf spazio speciale che coi considereremo (compreso anche il piano). I) In these last two theorems we will give another demonstration ognf space with special consider (including even the floor). Le dimostrazioni qui date hanno il vantaggio di essere in- dipendenti dal numero delle dimensioni dello spazio, e quindi di valere sia nello spazio generale (def. li, 2} come in ogni altro spazio speciale. L'ass. V o subordinato ali! esistenza delle coppie rettilinee identiche, I teoremi di questo nume- ro ci danno r esistenza di figure identiche nello spazio generale. In conformità a ciò che abbiamo detto nella prefazione e nella nota i, 16 osserviamo che, come si vedrà, nello spazio generale due figure determinate da due ennuple di raggi opposti limitati ad un punto sono uguali anche adottando per criterio dell'uguaglianza di due figure quello delia sovrappo- sizione mediante il movimento senza deformazione; che se si dice comunemente che due triedri opposti al vertice nello spazio ordinario non sono uguali, ciò dipende appunto perché si restringe il concetto dell' uguaglianza (int. oss. ili, 9 e oss. IH, 58), come qui si vede trattando la geometria indi- pendentemente dalle dimensioni dello spazio o nello spazio generale (oss. Ili, t, e oss. IX, 4). Vedi l'ul- timo paragrafo di questo capitolo, ei paragrafi analoghi dei capitoli successivi. Questo paragrafo va naturalmepto escluso, Vedi pref. The proofs given here have the advantage of being dependent on the number of spatial dimensions, and then apply both in the general space (def. them, 2} as in any other special area. The ass. V or subordinate wings! existence of identical straight couples, The theorems of this num-ber r gives us the existence of identical figures in the overall space. According to what we said in the preface and note i, 16 we observe that, as we shall see, generally, two space figures determined by two opposing beams of tuples to a limited extent are also adopting the same criterion for the equality of two figures that Delia overlapped position by movement, distortion, whereas if it is commonly said that two vertically opposite triedri in ordinary space is not are equal, it depends on precisely because it narrows the concept of 'equality (int. oss. ili, 9 and oss. IH, 58), as shown here by treating the geometry regardless of the size of space or space-General (oss . Ill, t, and oss. IX, 4). See on the last paragraph of this chapter, and similar sections of later chapters. naturalmepto This paragraph should be excluded, see pref.
Page 245 Page 245245 Ose. 245 Ose. IL Che questa ipotesi non contraddica all'assioma II, a che si riferisce ta- citamente all'unità sensibile (oss. IV, 4) fu già dimostrato nell'introduzione, e d'al- tronde l'ass. THE fact that this hypothesis does not contradict the axiom II, which refers to ta-itly sensitive unit (oss. IV, 4) was already proved in the introduction, and of al-tronde the ass. II, a non stabilisce che la retta non possa essere continua in senso as- soluto, dimodoché Tip. II, does not establish that the line can not be continuous in the sense as non-recourse, so that tip. I potrebbe essere contenuta fin da principio neli'ass. I could be contained from the beginning neli'ass. II, a aggiungendo in questo assioma che la retta è continua assoluta (int. def. 1,101). II, and adding this axiom that the line is still absolute (ext. final. 1.101). Né Tip. Neither Tip. I contraddice agli altri assiomi che riguardano il di fuori della retta (int. def. VI, 13), e tacitamente U solo campo finito rispetto ad un9 unità (oss. IV, 4). The contradicts to the other axioms which relate to the outside of the straight line (int. final. VI, 13), and tacitly U only finite field with respect to un9 unit (oss. IV, 4). Anzi dall'ip. Indeed ip. I, si deduce che la rètta è continua rispetto ad ogni segmento di essa come unità (int. , 101). I, we deduce that the line is continuous with respect to each segment of it as a unit (Int., 101). L'ip. The ip. I non contraddice neppure all'intuizione che si esercita nel campo finito dell'unità sensibile, nel senso che P infinitesimo è nullo rispetto a questa unità (oss. emp. I, 4 è int. b', 91J, ma non già nel senso che un segmento infinitesimo ed uno in- finito siano contemporaneamente intuitivi. È perciò che il sistema assoluto dato dal- Tip. I non ha che un valore astratto ed ha valore geometrico in quanto questa colle altre ipotesi che daremo in seguito, ci aiuta, come si vedrà, nello studio del campo finito relativamente ad ogni unità. Oss. III. I teor. IV del n. 4 che dipendono unicamente dair ass. II, a valgono evidentemente anche in senso assoluto. Ip. IL Due rette coincidono in senso assolato se hanno in co- mune il campo relativo ad un unità qualunque a partire da ogni punto come origine (int. def. I, 107). Oss. IV. La coincidenza di due rette nel campo finito relativamente all'unità sensibile, se non è stabilito che i loro punti in senso assoluto non coincidono, possia- mo ritenerla quale coincidenza assoluta (int. def. Ili e V, 57 e ad es. a", 109), e la prima ipotesi che di presenta alla mente, è che quando coincidono nel campo dell' unità sen- sibile, coincidano in senso assoluto in tutta la loro estensione (int. def. I, 82). 19. 05*. I. Pel nostro scopo basta che limitiamo la retta ai segmenti finiti, infi- niti e infinitesimi di ordine finito rispetto ad un' unità fondamentale (def. VII, 92), che come sappiamo formano un gruppo chiuso nel senso del teor. m, 93 dell'intro- duzione, e quindi non occorrono le considerazioni relative ai segmenti (e quindi an- che ai numeri) infiniti e infinitesimi d'ordine infinito; anzi inseguito ci limiteremo ai campi di due sole unità. Riportiamo ^qui alcuni dei teoremi dell'introduzione che maggiormente ci servi- ranno in seguito, o che meglio fanno conoscere la natura della retta in senso assoluto. Teor. I punti àttr in finito in un dato verso coincidono in un solo punto rispetto ad un segmento unitario qualunque (int. ?, 85). Oss. IL Quando diremo punti ali' infinito rispetto ad un' unità senz' altro inten- deremo in senso assoluto i punti del campo all'infinito di 1 ordine (int. def. IV e oss. IV, 86). Teor. IL Sulla retta aperta vi è intorno ad un punto come origine un campo finito rispetto ad un dato segmento come unità, e vi sono dei campi infiniti e infinitesimi d'ordine n qualunque. I punti limiti ali*infinito di 1 , 2 , ...., nmo ordine rappresentano rispetto ali'unità fondamentale, i campi all'infinito dello stesso ordine (oss. I; oss. Ili, 18; int. ip. IV, def. II e III, 86 e i', 85). 055. III. Si usa l'espressione punti limiti ad es. di 1' ordine quando non si esce dal Campo finito, ma in senso assoluto non si può parlare di punti limiti al- l'infinito rispetto ad una data unità (int. f, oss. Ili e IV, 86), Teor. IH. Dato un segmento (AB) sulla retta chiusa, esso o è finito o infini- tesimo di ordine determinato n rispetto a tutta la retta, e quindi nella retta I do not even contradicts the intuition that is vested in the unit over-sensitive, meaning that P is zero infinitesimal compared to this unit (oss. emp. I, 4 is int. B ', 91J, but not in the sense that an infinitesimal segment and an in-finite is simultaneously intuitive. so that the system is given by the absolute-Tip. I do not have an abstract value and has value because this geometry with the other assumptions that we will later help us, as you will see, in the study of the finite field with respect to each unit. Oss. III. theorem. IV n. 4 that depend only dair ass. II, of course, also apply in an absolute sense. Ip. IL Two straight lines coincide in the sense sunny if they have in com-mon on any field on a unit from any point as the origin (int. final. I, 107). Oss. IV. The coincidence of two lines in the finite field relatively sensitive to the unit, if not is established that their points do not coincide in absolute sense, considering it as a mo-possia absolute coincidence (int. final. Ill and V, 57 and such. a ", 109), and the first hypothesis which presents to the mind, is that when they coincide in the field of 'units sen-sible, coincide in absolute terms in their entirety (int. final. I, 82). 19. * 05. I. Pel our purpose as long as we limit the finite line segments, infi-nite and infinitesimal finite order with respect to a 'fundamental unit (def. VII, 92), which as we know form a closed group in the sense of the theorem. m, 93 of the intro-duction, and therefore do not need the considerations segments (and therefore also that the numbers-) infinite and infinitesimal of infinite order, we will indeed pursued fields of only two units. ^ We report here some theorems of the introduction of more that we pursue as follow-servants, or better to make known the nature of the line in an absolute sense. Teor. attr points in a given finished to coincide in one point with respect to any single segment (int.?, 85). Oss. THE points wings When we say 'infinite compared to a 'unit certainly' intend deremo other points in the absolute sense of the infinite field of order 1 (int. final. IV and oss. IV, 86). Teor. IL is open on the right around a point as the source of a finite field with respect to a given segment as a unit, and there are endless fields and infinitesimals of any order n. points limits of infinite wings * 1, 2, ...., nth order are compared ali'unità fundamental fields of the same order infinity (oss. I, oss. Ill, 18, int. ip. IV, def. II and III, and the 86 ', 85). 055. III. We use the expression points such limits. 1 'order when you exit the camp ended, but not in an absolute sense one can speak of the infinite-points to the limits with respect to a given unit (int f, obs. Ill and IV, 86 ), Teor. IH. Given a segment (AB) on the line closed, or is it finite or infinite-eighth of order n with respect to any particular line, and then in a straight
Page 246 Page 246246 considerata semplicemente, rispetto ad (AB) non vi sonò segmenti infiniti d* or- dine superiore a n. 246 simply considered, with respect to (AB) there sounded segments infinite d * or-dyn greater than n. La retta chiusa è infinita d'ordine determinato rispetto ad un suo seg- mento qualunque dato. The line closed infinite order is established with respect to its segment any data. Intorno a ciascun punto rispetto ad ogni unità (AB) vi sono nella retta chiusa un campo finito ei campi infiniti di 1 , 2 , ...., n*110 ordine. Around each point with respect to each unit (AB) are closed in a finite field and a straight infinite fields of 1, 2, ...., n * 110 order. I campi all'infinito di 1 , 2 , ...., (w 1) ordine rispetto alt1 unità fondamentale (AB) nei due versi a par tire dall'origine non hanno alcun punto comune, mentre i campi infiniti di n ordine coincidono (oss. I; int. a, 108 ei, 85). The infinity of fields 1, 2, ...., (w 1) order with respect ALT1 fundamental unit (AB) in the two verses seems to tire from the source have no common point, while the endless fields of order n coincide (oss. I, int. a, and 108, 85). Coroll. Coroll. I. I. Rispetto all'unità (AB) in uno e nell'altro verso nella retta chiusa vi sono due punti limiti aW infinito di 1 , 2 ...., (n I)11*0 ordine, ed un solo punto limite di n ordine (oss. I, int. f, 86 ei*7 85). Relation to the unit (AB) in one and in the other direction in a straight closed there are two points aW infinite limits of 1, 2 ...., (n) 11 * 0 order, and only one limit point of order n (oss. I, int. f, 86 * 7 and 85). Coroll. Coroll. IL I punti limiti di un dato ordine in uno e neW altro verso rispetto airorigine A, nella retta aperta come nella retta chiusa formano segmenti uguali rispetto alla data unità (int. 6, 107). THE points limits of a given order in one and the other hand neW compared airorigine A, in a straight line open as in closed form equal segments with respect to the given unit (int. 6, 107). Oss. Oss. IV È da osservare che nel passaggio dall'unità (AB) ad un9unità di spe- cie n (oss. I; int. def. I, 94) bisogna tener presente che gli elementi,limiti corrispon- denti non sono rispetto alla nuova unità elementi determinati, ma rappresentano1 tutto il campo ali' infinito di ordine n. IV It is noted that in the transition from the (AB) to un9unità of species n (oss. I, int. Def. I, 94) it must be remembered that the elements, corresponding limits are compared to new unit certain elements, but the whole field rappresentano1 wings' infinity of order n. Coroll. Coroll. IH. IH. Considerando sulla retta chiusa il campo finito e infinito di 1 , 2 ,...., (nl)mo ordine rispetto ad uri unità fondamentale infinitesima di or- dine n relativamente alV intera retta, ogni punto di essi li divide in due parti uguali (int. d, 108). Considering the straight closed field of finite and infinite 1, 2, ...., (nl) m order with respect to infinitesimal uri fundamental unit of n-dine or relatively alv entire line, every point they divide them into two equal parts (int d, 108). Teor. Teor. IV. IV. Il campo finito (e ogni campo infinito di ordine n} intorno ad un punto rispetto ad una data unità sulla retta è anche finito (e infinito dello stesso ordine) rispetto ad ogni segmento della stessa specie dell'unità data9 a partire dalla stessa origine o da un punto qualunque del campo finito (int. e, 86). Teor. V. Un segmento infinito di un dato ordine n (se n=o, il segmento è finito) è trascurabile rispetto ad un segmento infinito d'ordine superiore. Un segmento infinitesimo di un dato ordine n è trascurabile rispetto ad un segmento infinitesimo di ordine inferiore (int. be b', 91). Oss. V. Un raggio della retta (def. I, 7) rispetto ad un9 unità fondamentale a partire da un punto come origine fondamentale (int. def. VII, 92) ha un solo punto limite all'infinito di 1% 2*,...., no ordine se la retta è aperta/come anche se la retta è chiusa ed n è l'ordine d'infinitesimo dell'unità data rispetto all'intera retta. 11. Triangolo con un lato infinitesimo Campo unito, infiniti e infini- tesimi intorno ad un punto rispetto ad un'unità Campo unito assoluto Ipotesi III e IV xiv). The finite field (and any infinite field of order n} around a point with respect to a given unit on the right is finite (and infinite of the same order) with respect to each segment of the same species data9 unit from the same source or from any point of the finite field (int. and 86). Teor. V. An infinite segment of a given order n (if n = o, the segment is over) is negligible compared to a segment of a higher order infinity. An infinitesimal segment of a given order n is negligible compared to an infinitesimal segment of a lower order (int. b and b ', 91). Oss. V. A ray of right (def. I, 7) with respect to un9 fundamental unit from from a fundamental point as the origin (int. final. VII, 92) has only one limit point to infinity of 1% 2 *, ...., no order if the line is open / as though the line is closed and n is the order of unity given infinitesimal compared to the entire line. 11. Field infinitesimal triangle with one side united, infinite and infinitely christenings around a point with respect to an absolute field together Hypothesis III and IV xiv ). 20. 20. Teor. Teor. I. I. Se un lato (AB) di un triangolo ABC è finito, i rimanenti lati non possono essere entrambi infinitesimi. If one side (AB) of a triangle ABC is finished, the remaining sides can not both be infinitesimal. XIV) Anche questo paragrafo va tolto. Xiv) This paragraph should be removed.
Page 247 Page 247247 bifatti rispetto ali* unità finita il vertice C dovrebbe coincidere con A e con B, ciò che è assurdo perché A e B sono due punti distinti rispetto al- l'unità (AB) (int. 6', 91 e 6, 81). Bifatti than 247 units * wings over the vertex C should coincide with A and B, which is absurd because A and B are two separate issues with respect to the unit-(AB) (int. 6 ', 91 and 6, 81 ). Caroli. Caroli. I. I. Se due lati di un triangolo sono finiti, il terzo lato non può es- sere infinito. If two sides of a triangle are finished, the third side can-be infinite. Perché i due primi lati sarebbero infinitesimi rispetto al terzo (int. def. HI, 86). Because the first two sides would be infinitesimal compared to the third (final int.. HI, 86). Caroli. Caroli. IL Un triangolo non può avere un lato finito, un altro infinito e il terzo infinitesimo. THE A triangle can not have a finished side, another infinite and the infinitesimal third. Considerando il secondo lato come finito gli altri due sono infinitesimi (int. e, 82). Considering the second side finished as the other two are infinitesimal (int. and 82). 21. 21. Def. Def. I. I. Consideriamo tutte le rette che contengono un punto S, e in cia- scuna di queste rette preudiamo come origine fondamentale S e con l'unità fondamentale s (int. def. VII, 92). Consider all the lines that contain a point S, and each of these lines preudiamo set for each stage as a key source S and the fundamental unit s (int. final. VII, 92). Tutti i punti a distanza finita da S in queste rette in uno e nell'altro verso determinano ciò che chiameremo campo finito intorno al punto S rispetto all'unità s. All points at a finite distance from S in these lines in one another and to determine what we shall call finite field around the point S with respect to the unit s. Oss. Oss. 1. 1. Tacitamente ci riferiamo qui ad un punto S del campo finito rispetto al quale abbiamo stabiliti gli assiomi precedenti (oss. IV, 4). Tacitly we refer here to a point S of the finite field with respect to which we established earlier axioms (oss. IV, 4). Il campo finito intorno ad un punto S non si riduce ad una sola retta (teor. IX, 4 che a maggior ragione vale in senso assoluto (int, def, III e V, 57). Def. IL Se si considerano in tutte le rette suddette a partire da S in uno e nell'altro verso tutti i segmenti infinitesimi di nwo ordine rispetto al- l'unità ?, essi determinano il campo infinitamente piccolo di nmo ordine intorno ad S e rispetto all'unità fondamentale s (oss. I, 19). Oss. IL II campo finito contiene (def. I, 2) i campi infinitesimi del punto S, e quindi quando parleremo dei punti del campo finito del punto S intenderemo anche in senso assoluto i punti dei campi infinitesimi di S, vale a dire quando diremo che un punto appartiene al campo finito del punto S in senso assoluto e senz' altra con- dizione intenderemo che esso non è a distanza infinita da S, sempre però rispetto all'unità fondamentale scelta. Se ci occorrerà di dire che esso è a distanza finita an- ziché a distanza infinitesima, o inversamente, lo diremo esplicitamente quando non ri- sulterà chiaro dal discorso stesso. Def. III. Se la retta è aperta intorno al punto S abbiamo i campi infi- niti di lò, 2 , .... n 0 ordine sopra ogni retta rispetto ali'unità fondamentale sa partire da S (teor. II, 19), e quindi intorno ad S nello spazio generale (def. II, 2 e teor. X, 4) abbiamo dei campi infiniti di 1 , 2 , ...., nmo ordine rispetto alla data unità fondamentale. I punti limiti all'infinito sulle rette intorno ad A ci danno i campi li- miti all'infinito di 1 , 2 , ...., nmo ordine. Oss. III. Se la retta è chiusa e la data unità s è infinitesima di 1* ordine ri- spetto all'intera retta, si ha il solo campo infinito di 1 ordine, che in questo caso anche in senso assoluto chiameremo infinito soltanto, non essendovene altri. Se invece la data unità fosse infinitesima d'ordine n rispetto all'intera retta (oss. I, 19), questa avrebbe a partire da S due punti limiti distinti di 1 , 2% .... (nl)mo ordine e due punti limiti coincidenti di ordine n (coroll. I, teor. Ili, 19). In tal caso si ha intorno ad S un campo all'infinito di I*, 2 , ...., nmo ordine rispetto alP unità data. The finite field around a point S is not reduced to a single straight line (theor. IX, 4 which is more true in an absolute sense (int, def, III and V, 57). Def. IL If you look at all These lines from S in one another and to all segments of infinitesimal nwo-order with respect to the unit?, they determine the scope of infinitesimal nth order around S and s relationship to the fundamental (oss. I, 19). Oss. THE II contains finite field (def. I, 2) fields of the infinitesimal point S, and then when we discuss the points of the finite field of point S shall understand the points in the absolute sense of infinitesimal fields of S , that is to say when we say that a point belongs to the finite field of point S in an absolute sense and certainly 'other with-diction shall understand that it is not at an infinite distance from S, but always with respect to the unit fundamental choice. If we will need to say that it is a finite distance an-Ziche infinitesimal distance, or inversely, when not explicitly say the re-sulterà clear from the speech itself. Def. III. If the line is open around the point S we have infi-nite fields of lo, 2, .... n 0 order over each line with respect ali'unità fundamental s from S (theor. II, 19), and then around S in the overall space (final II, 2 and theor.. X, 4) we have endless fields of 1, 2, ...., nth order with respect to the fundamental unit of data. points limits infinity of straight lines around the fields to give us-them myths infinity of 1, 2, ...., nth order. Oss. III. If the line is closed and the given unit of 1 * s is infinitesimal re-order compared to the entire straight line, only one has the infinite field of 1 order, which in this case also in an absolute sense call infinite only, there being no other. If the given unit was infinitesimal of order n with respect to the entire straight line (oss. I, 19), this would have from two points S separate limits of 1, 2 % .... (nl) m or order, and two points coincident limits of order n (coroll. I, theor.. Ill, 19). In this case, there is a field endlessly around S I *, 2,. , ..., nth order with respect to AlP given unit.
Page 248 Page 248248 Def. 248 Def. IV. IV. Tutta la figura determinata dalle rette passanti pel punto S, la chiameremo campo finito assoluto intorno al punto S (int. def. IV, 92)1). The whole figure determined by the lines passing through the point S, we call absolute finite field around the point S (ext. final. IV, 92) a). 22. 22. Tp. Tp. IIL Nel campo finito assoluto intorno ad un ponto S valgono gli assiomi II, , III, IV e V. IIL In absolute finite field around a ponto S apply the axioms II, III, IV and V. 088. 088. L Noi partiamo dal campo finito rispetto all'unità fondamentale s che cor- risponde ali' unità sensibile per la quale abbiamo dati gli assiomi (oss. I, 21). L We start from the finite field with respect to the unit's essential that cor-responds wings' sensitive units for which we have given the axioms (oss. I, 21). Am- mettendo r ip. Am putting r-ip. HI, essa non viene a contraddire alla validità di questi assiomi nel campo suddetto. HI, it is not to contradict the validity of these axioms in the above range. Coll'ass. Coll'ass. II, b valevole in senso assoluto non è escluso che le rette distinte passanti per S nel campo dell'unità s non siano coincidenti rispetto ad un'unità infinita o infinitesima. II, b valid in an absolute sense is not excluded that the distinct straight lines passing through S in unit s are not coincident with respect to an infinite or infinitesimal. È escluso però che lo siano in senso assoluto per /' ip. It ruled, however, that they are in an absolute sense for / 'ip. II stessa, e quindi la prima parte dell'ass. II itself, and then the first part of the ass. II, b che ha luogo nel campo del- T unità 5, relativamente a questa unità potrebbe non valere in un campo infinitesimo 0 infinito. II b, which takes place in the T-5 units, with respect to this unit may not be true in a field of infinite infinitesimal 0. Sussistendo gli ass. Compensation on the ass. Ili, IV e V in senso assoluto, a maggior ragione valgono nel campo finito di un'unità, sia perché l'uguaglianza assoluta ci da anche l'uguaglianza relativa (int. def. Ili e IV, 9), come del resto si vede esaminando gli assiomi III e V, sia, per il IV, perché quando un segmento diventa indefinitamente piccolo in senso assoluto tale diventa pure in senso relativo (int. def. II. 100 e def. I, 95). Ill, IV and V in the absolute sense, even more valid in the finite field of a unit, and because absolute equality also gives us the relative equality (int. final. Ill and IV, 9), as indeed it seen by examining the axioms III and V, both for the IV, because when a segment becomes indefinitely small in absolute terms this becomes even in a relative sense (int. final. II. 100 and def. I, 95). Come Tip. How to Tip. I si può ritenere compresa nell'ass. I can be considered including nell'ass. II, a (oss. II, 18) l'ip* HI, iQ Quanto riguarda gli ass. II, (oss. II, 18) HI * ip, iQ As regards the ass. Ili, IV e V, può ritenersi compresa in questi assiomi, quando si con- siderino in senso assoluto, e non come abbiamo fatto noi tacitamente in senso re- lativo (oss. IV, 4). Ill, IV and V, can be considered as included in these axioms, when siderino with-in an absolute sense, and not as we did in a sense tacitly re-lativo (oss. IV, 4). Così anche per l'ass. The same goes for the ass. II, b; soltanto che alla prima parte di esso bi- sognerebbe aggiungere che vale anche nel campo relativamente ad un' unità s in conformità a quanto abbiamo detto precedentemente. II, b; only that part of it to the first bi-dream added that also applies in the field relative to a 's unit in accordance to what has been said previously. Avremmo potuto dunque trattare addirittura la geometria in senso assoluto in- cludendo le ip. We could then treat the geometry even in an absolute sense in the ip-cludendo. I, II e III nei rispettivi assiomi. I, II and III in their axioms. Teor. Teor. L Ogni punto X deve essere situato in uno dei campi fittiti intorno al punto S. L Each point X must be located in one of the fields around the point fittiti S. Difatti scelta una retta pel punto S, se X è fuori di questa retta, esso de- termina con S la retta (ass. li, be ip. HI). In fact, choice a straight line through the point S, if X is out of this line, it de-ends with the straight line S (abs. them, b, ip. HI). Teor. Teor. IL Due punti X e Y qualunque appartengono ad un campo finito intorno ad S. THE Two points X and Y belong to any finite field around S. Difatti passano per essi due rette SX, SY, e se (SY) ~{ X:) (def. I, II, 6) basta cosiderare come unità del campo finito il segmento (SY) (oss. II, 21). In fact, they pass through two lines SX, SY, and if (SY) ~ {X :) (def. I, II, 6) cosiderare just as the unit of the field finished the segment (SY) (oss. II, 21). Oss. Oss. IL In senso assoluto sussistono colle stesse dimostrazioni il teor. IL In the absolute sense there are demonstrations on the same hill theorem. VI, 4 ei suoi corollari, il teor. VI, 4 and its corollaries of the theorem. VII, IX e X; il teor. VII, IX and X, the theorem. Vili è conseguenza deirip. VIII is a consequence deirip. II. II. Teor. Teor. III. III. Se due lati di un triangolo sono finiti e il terzo è infinitesimo, 1 due primi lati sono uguali rispetto a qualunque unità, e coincidono rispetto all'unità finita ed ogni unità infinita. If two sides of a triangle are finished and the third is infinitesimal, 1 two first sides are equal with respect to any unit, and coincide with respect to unity over each unit and infinite. Siano ABC i vertici del triangolo, (AC) il lato infinitesimo. Are the vertices of the triangle ABC, (AC) side of the infinitesimal. Rispetto al- l'unità finita A e C coincidono, perché (AC) è trascurabile rispetto ad ogni segmento finito (teor. V, 19). Compared to the drive-over A and C are the same, because (AC) is negligible with respect to each segment end (theor. V, 19). Ma, A e B determinano una sola retta, altrimenti i tre punti ABC non formerebbero un triangolo (def. II, 9 e teor. VI, 4 e oss. II); e poiché A e C coincidono rispetto all'unità finita, rispetto alla medesima unità coincidono anche i segmenti (AB), (AC), che perciò sono uguali rispetto ad essa. But, A and B determine a single straight line, otherwise the three points do not form a triangle ABC (final II, 9 and theor.. VI, 4 and obs. II), and since A and C are the same relation to the unit over, compared to the same unit also coincide segments (AB), (AC), which therefore are equal with respect to it. 1) Vedi oss. 1) See oss. i, 19 e int oss. i, 19 and oss int. IV, 92. IV, 92.
Page 249 Page 249249 La stessa cosa Tale a maggior ragione per ogni unità infinita (teor. V, 19). 249 The same thing Such a fortiori for every infinite unity (theor. V, 19). Per un' unità infinitesima dello stesso ordine di (AC) relativamente ad -A o C come origine, A e C non coincidono, perché (AC) è finito rispetto ad essa (oss. I, 19 ea, 86). For a 'infinitesimal unit of the same order of (AC) relatively to-A or C as the origin, A and C do not coincide, because (AC) is finished with respect to it (oss. I, and 19, 86). I segmenti (AB) e (BC) sono infiniti rispetto a questa unità, dunque essi sono uguali rispetto ad essa (teor. I, 19 e teor. I, 8). The segments (AB) and (BC) are infinite with respect to this unit, therefore they are equal with respect to it (theor. I, 19 and theor.. I, 8). Così dicasi rispetto ad un'unità infinitesima di ordine inferiore di (AC) (fig-5). The same applies with respect to infinitesimal unit of a lower order of (AC) (Fig-5). Corali. Choral. I. I. Se in un triangolo un lato è finito e un altro lato è infinito di ordine n, il terzo lato è pure infinito del medesimo ordine, ei due ultimi lati coincidono rispetto ad ogni unità infinita. If in a triangle, one side is finished and another side is infinite of order n, the third side of the same order is also infinite, and the two sides last match than any infinite unity. Difatti sia (AB) infinito di n ordine, (AC) finito, vale a dire (AC) sia in- finitesimo di ordine n rispetto ad (AB) (oss. 1,19; int. def. Ili, 86). In fact, both (AB) infinity of n order, (AC) finished, ie (AC) is in-finitesimo of order n with respect to (AB) (1.19 oss.; int. Def. Ill, 86). In tal caso rispetto ad (AB) come unità, i punti A e C ei segmenti (AB) e (BC) coincidono; vale a dire (BC) è finito rispetto ad (AB), ossia è infinito d'ordine n rispetto ad (AC) (oss. I, 19; int a, 86). In this case with respect to (AB) as a unit, the points A and C and the segments (AB) and (BC) coincide, that is to say (BC) is finished with respect to (AB), that is infinite of order n with respect to (AC) (oss. I, 19; int a, 86). Oppure anche : se (BC) fosse infinito di ordine superiore ad (AB), ciò con- traddirebbe al ter. Or even: if (BC) is infinite of higher order in (AB), what with the ter-traddirebbe. "I, 20. La seconda parte del coroll. dopo la dimostrazione della prima è sotto un9 altra forma il teor. in stesso. Coroll. IL Se in un triangolo un lato è infinitesimo e un altro è finito^ il terzo lato è pure finito. E un'altra forma del coroll. I. Coroll. III. Se un lato di un triangolo è finito e gli altri due sono infi- niti, questi lati coincidono rispetto ad un'unità infinita. Idue lati infiniti devono essere del medesimo ordine, cioè finiti fra loro (coroll. I). Rispetto ai due lati infiniti, che sono finiti fra loro, il terzo lato è infinitesimo (int. def. n, 82), dunque il coroll. è dimostrato. Oss. III. Non risulta però dal teor. Ili che se (AC] è un segmento finito come i due lati (AB) e (40), questi due lati non possano coincidere rispetto all'unità fi- nita ; in tal caso i tre punti ABC non formerebbero però un triangolo rispetto a que- sta unità, ma potrebbero formarlo in senso assoluto. Def. Diremo che due rette aventi un punto comune X sono in senso as- soluto infinitamente vicine in un campo finito intorno al punto suddetto, quando sulle due rette vi sono due punti a distanza finita da X e infinitamente vicini rispetto all'unità data. Teor. IV. Se due rette aventi un punto comune A sono infinitamente vi- cine (e perciò coincidenti) rispetto ad una data unità, e presi due punti I? e C su di esse a distanza finita da A, ciascuno fuori dell9 altra retta ; se la retta SC non coincide con una o l'altra delle due rette date9 (ffC) deve essere in- finitesimo rispetto alla data unità. Se la retta C coincide con una o con I9 altra delle due rette, le due rette stesse coincidono rispetto ali9 unità data. Un punto di ciascuna delle due rette coincide rispètto all'unità data con un punto dell'altra retta, vale a dire è a questo infinitamente vicino (def. I e teor. IH); quindi i punti B e C sulle due rette hanno ciascuno sulla retta rima- nente i punti B e C ad essi infinitamente vicini rispettivamente alla stessa "I, 20. The second part of coroll. After the demonstration of the first is under the theor. un9 other form. In itself. Coroll. THE If in a triangle, one side is infinitesimal and another is finished ^ the third side is also finished . And another form of the coroll. I. Coroll. III. If one side of a triangle is finished and the other two are infi-nite, these sides coincide with respect to a unit infinite. Idue infinite sides must be of the same order , that is finished with each other (coroll. I). Compared to the two sides infinite, which are finished with each other, the third side is infinitesimal (int. final. n, 82), so the coroll. is shown. Oss. III. not is, however, by theor.. Ili that if (AC] is a finite segment as the two sides (AB) and (40), these two sides can not coincide with respect to the unit fi-nite, in which case the three points do not form ABC But a triangle with respect to this unit, but could train him in an absolute sense. Def. We say that two straight lines having a common point X are in a sense as-solute infinitely close in a finite field around the point that, when the two lines will are two points a finite distance from X and infinitely close relationship to the date. Teor. IV. If two straight lines having a common point A there are infinitely-cine (and therefore overlapping) with respect to a given unit, and took two points I ? and C on them at a finite distance from A, each outside dell9 other straight line if the line SC does not coincide with one or the other of the two straight lines date9 (FFC) must be in-finitesimo respect to the given unit. If the line C coincides with one or other of the two straight lines with I9, the two straight lines coincide same date compared ali9 units. A point of each of the two straight lines coinciding with respect to the unit on a point of the other straight line, ie it is at this infinitely Near (def. I and theorem. IH), then the points B and C each have two lines on the right rhyme-nent points B and C respectively to them infinitely close to the same
Page 250 Page 2502SO distanza d* A (teor. HI). 2SO distance d * A (theor. HI). 1 punti B, C, tì determinano uti triangolo, perché altri- menti il punto sarebbe sulla retta BC contro il dato. 1 points B, C, determine tì used triangle, because otherwise it would be the point on the line BC against the data. Se (BC) è finito deve esserlo anche il lato (CB), perché non può essere IA infinitesima (teor. I, 20), né può essere infinito (coroll. II, teor. I, 20). If (BC) is finite it must also be the (CB), because it can not be infinitesimal IA (theor. I, 20), nor can it be infinite (coroll. II theorem. I, 20). Dunque la retta CB deve coincidere rispetto ali' unità colle due rette, perché nel triangolo CB'B i due lati (BC\ (CB) sono finiti e (BB') è infinitesimo (teor. III). Reciprocamente se (CB) è finito la retta Off deve coincidere colle due rette rispetto ali' unità finita. Difatti le due rette date sono infinitamente vicine, i punti B e C sono infinitamente vicini ai due punti B e C ciascuno sulla retta fig*I4 rimanente, e quindi (BC) deve essere finito sulla retta data AC, per- ché non può essere infinitesimo essendo (BC} finito e (BB') infinitesimo (teor. I, 20), né può essere infinito (coroll. li, teor. 1,20). Ma in tal caso, per quanto si è detto sopra, la retta BC coincide con le rette date rispetto all'unità finita. Dunque se (BC) e finito la retta BC coincide con le rette date. Non può essere (BC) infinito, perché (BC) è al più finito% e (BB) e infini- tesimo (coroll. II, teor. I o teor. I, 20), dunque se la retta BC non coincide per dato con le rette date, il segmento (B'C) deve essere infinitesimo, altrimenti se fosse finito (int. f, 82) la retta BC coinciderebbe appunto colle due rette date. Così è dimostrata la prima parte del teorema. Ora se due rette AB, AG date, sono tali che i punti B e C soddisfino alla condizione del teorema e la retta BC coincide con una delle due rette, ad es. con la AC, ciò significa che il punto B' è infinitamente vicino ad un punto di AC (def. I e teor. Ili), e quindi le due rette AB e AC coincidono rispetto all'unità data (teor. Ili) (fig. 14). Coroll. L Se due raggi che hanno un punto comune A coincidono rispetto ad un' unità, coincidono anche i raggi opposti. Ogni punto dato di un raggio è un punto della retta che Io contiene (def. I, 7), e quindi ogni punto della retta di un raggio coincide con un punto della retta dell'altro raggio, vale a dire le due rette hanno gli stessi punti comuni, ossia coincidono (def. I, 2 e int def. V, 57). Ma un raggio ha un solo ràggio opposto sulla retta (def. I, 7) dunque i due raggi opposti ai coincidenti coincidono essi pure (def. II, 7). Teor. V. Se due rette aventi un punto comune A sono distinte in un campo finito intorno ad A e rispetto all'unità di questo campo, presi su di esse due punti B e C qualunque a distanza finita dal punto A, essi determinano un segmento finito di una retta distinta dalle rette date. Difatti (BC) non può essere infinito (coroll. I, teor. I, 20), né può essere infinitesimo perché allora le due rette coinciderebbero e non sarebbero di- stinte rispetto all'unità del campo suddetto (teor. III). Né può essere che la retta BC coincida rispetto ali' unità suddetta con una delle due rette, perché coinciderebbero per questa unità anche le due rette date (teor. IV). 23. Oss. L In seguito all'oss. I del n. 22, nella quale abbiamo accennato alla possibilità che le rette distinte passanti per un punto S rispetto ali* unità fondamentale s, cor- rispondente alT unità sensibile (osa. I, 21), coincidano rispetto ad un' unità infinita o So the line CB must coincide with respect wings 'units with the two straight lines, because the two sides in the triangle CB'B (BC \ (CB) are finite and (BB') is infinitesimal (theor. III). Conversely, if (CB) finished off the line must coincide with the two straight lines from the wings' complete unit. In fact the two given straight lines are infinitely close, the points B and C are infinitely close to the two points B and C on the line each fig * I4 remaining, and then (BC ) must be finished on the given line AC, for-being because it can not be infinitesimal (BC} finite and (BB ') infinitesimal (theor. I, 20), nor can it be infinite (coroll. them, theorem. 1.20) . But in this case, as stated above, the line BC coincides with the straight date compared to the unit over. So if (BC) and finished the line BC coincides with the given straight lines. can not be (BC) infinite , because (BC) is the most finished and% (BB) and infinite-eighth (coroll. II theorem. I or theorem. I, 20), so if the line BC is not the same as for the given straight lines, the segment (B'C) must be infinitesimal, or if it was finished (int f, 82) the line BC coincides precisely with the two given straight lines. So it proved the first part of the theorem. Now if two straight lines AB, AG dates, these are that the points B and C satisfy the condition of the theorem and the line BC coincides with one of the two straight lines, eg. with the AC, this means that the point B 'is infinitely close to a point of AC (def. I and theor. . III), and then the two straight lines AB and AC coincide relation to the unit date (theor. Ill) (fig. 14). Coroll. L If two rays that have a common point to coincide with respect to a 'units, also coincide rays opposites. Each given point of a beam is a point on the line that contains I (final I, 7), and then every point on the line of a beam coincides with a point on the line of the other beam, ie the two lines have the same common points, ie match (def. I, 2 and int def. V, 57). But a ray has a single ray line on the opposite (def. I, 7), therefore the two opposing beams to coincide coincident they also (def. II, 7). Teor. V. If two straight lines having a common point A are distinct in a finite field around A and respect the unity of this field, taken on them any two points B and C at a finite distance from point A, they determine a finite segment of a line separate from the given straight lines. fact (BC) can not be infinite (coroll. I, theorem. I, 20), nor can it be infinitesimal because then the two lines coincide and would not have faded from the unit-of the above range (theor. III). Nor can it be that the line BC coincides compared wings' that drives one of two lines, because this unit also coincide for the two given straight lines (theorem . IV). 23. Oss. The Following OSS. I n. 22, in which we have alluded to the possibility that distinct straight lines passing through a point S with respect fundamental unit * s wings, cor-responding units sensitive alt ( dares. I, 21), coincide with respect to an 'infinite unity or
Page 251 Page 251251 infinitesima, nel qua! 251 infinitesimal, in here! caso non varrebbe la prima parte dell'ass. If it would not be the first part of the ass. Il, b nel campo finito intorno ad rispetto ali' ultima unità, noi possiamo scegliere un' ipotesi che lasci inalterata la prima parte delPass. A, b compared to the finite field around wings 'last drive, we can choose a' hypothesis that leaves unchanged the first part delPass. II, b nel campo di ogni unità in- torno al punto S, e nello stesso tempo non contraddica alle ipotesi precedenti, che è quanto dire agli assiomi dati dalle ipotesi precedenti in ogni campo finito intorno ad S. II, b in the field of each unit in back-to S, and at the same time does not contradict the above assumptions, that is to say, the axioms given by the above assumptions at any finite field around S. Dappoiché abbiamo veduto (oss. 1,22) che rette distinte intorno ad S in un campo finito non possono coincidere in senso assoluto in ogni campo infinito o infinitesimo, così la ipotesi che si presenta spontanea alla mente, in conformità alla suddetta con- dizione, è la seguente: Ip. Dappoiché we have seen (oss. 1.22) that distinct straight lines around S in a finite field can not coincide in an absolute sense in every field infinite or infinitesimal, so the hypothesis that it has springs to mind, in accordance with the above-diction , is as follows: Ip. IV. IV. Due rette distinte qualunque in un campo finito in- torno ad un punto S e passanti per S sono distinte anche in ogni campo infinito o infinitesimo rispetto ali' unità di questi campi, e inversamente. Any two distinct straight lines in a finite field in back-to a point S and S loops are also distinct in every infinite field or infinitesimal compared wings' unity of these fields, and vice versa. Oss. Oss. II. II. Noi supponiamo che il campo finito intorno ad S sia quello di unità fondamentale 8, rispetto alla quale vale la prima parte dell'ass. We suppose that the finite field around S is that of the fundamental unit 8, with respect to which applies the first part of the ass. II, b (oss. I, 2i). II, b (oss. I, 2i). L'ip. The ip. IV non contraddice alle ip. IV does not contradict to the ip. I e II, perché la prima riguarda la retta in sé; e la seconda viene confermata dall'ipotesi stessa perché dalla II deriva appunto la pro- prietà dellMp. I and II, because the first is the line itself, and the second hypothesis is confirmed because the same pro-II derives the properties dellMp. IV in senso assoluto (oss. I, 22); essa non contraddice all'ip. IV in an absolute sense (oss. I, 22), it does not contradict the IP. Ili ri- guardo alFass. Ill re-look alFass. II, 6, perché anzi da essa si deduce chel'ass. II, 6, because indeed it is deduced chel'ass. 11,6 vale in ogni campo intorno ad S, ed anche, come vedremo, intorno ad ogni altro punto rispetto a qua- lunque unità (teor. II, 31) ; essa non contraddice infine ali' ip. 11.6 applies in every field around S, and also, as we shall see, around any point other than a qua-lunque units (theor. II, 31), then it does not contradict wings' ip. Ili in quanto riguarda gli ass. Ill in the case of abs. Ili, IV e V, perché questi trovano anzi mediante l'ip. Ill, IV and V, because these are indeed using the ip. IV la loro applica- bilità anche nei campi infiniti e infinitesimi. IV their applica-bility even in the infinitesimal and infinite fields. Teor. Teor. I.. I.. Il campo finito intorno ad un punto A rispetto ad un'unità è il campo finito intorno a qualunque altro punto B di esso e rispetto alla stessa unità 1). The finite field around a point A with respect to a unit is the finite field around any other point B it and compared to the same unit 1). Basta dimostrare che i punti a distanza finita da A sono a distanza fi- nita fra loro se non coincidono rispetto all'unità data. Just to prove that the points at finite distance from A is fi-nite distance between them if not the same relationship to the date. Siano B e C due di questi punti. B and C are two of these points. Se sono in linea retta con A, la distanza (BC) è finita, poiché la differenza (BC) dei due segmenti finiti (AB) e (BC) è Unita, se B e C non coincidono (int. Ji, 85). If you are in a straight line with A, the distance (BC) is finite, since the difference (BC) finished the two segments (AB) and (BC) is united, if B and C do not match (int. Ji, 85). Se B e C non sono in linea retta, ciascuno di essi determina con A una retta, ed anche fra loro (coroll. I, teor. VI, 4 e oss. II, 22), e formano quindi con A un triangolo (def. II, 9). If B and C are not in a straight line, each of them with A determines a straight line, and also between them (coroll. I, theor.. VI, 4 and obs. II, 22), and therefore form a triangle with A (final . II, 9). Ma essendo (AB) e (AC) finiti, (BC) non può essere infinito (coroll. I, teor. I, 19). But being (AB) and (AC) finished, (BC) can not be infinite (coroll. I, theor.. I, 19). Anche se le rette passanti per A coincidessero rispetto ali1 unità del campo suddetto (il che come vedremo in seguito non è), il teorema varrebbe ugualmente. Even if the lines passing through A coincided with respect ALI1 units of the above range (which, as we shall see later is not), the theorem applies equally. Coroll. Coroll. I. I. Se la retta è chiusa e si prende come unità di n.isura l'intera retta o una pane finita di essa, il campo finito è tale per ogni punto dato. If the line is closed and is taken as the unit of n.isura the entire line or a bread over it, the finite field is such that for each given point. Perché ogni punto (dello spazio generale) è un punto di una retta almeno passante per un punto dato A (oss. II, 22). Because each point (of the overall space) is a point of a straight line passing through at least a given point A (oss. II, 22). Teor. Teor. II. II. Il campo ali' infinito intorno ad un punto A e di qualunque or- dine è il medesimo rispetto a qualunque punto del campo finito del punto dato. The field wings' infinite around a point A and any or-dyn is the same with respect to any point of the finite field of the given point. i) Rimanendo nel campo finito bisogna ammettere fin da principio come ho detto l'assioma dMr- chimede poi segmenti rettilinei (nota IV)). i) Staying in the finite field must be admitted from the beginning as I said the axiom DMR-Chimede then straight line segments (Note IV)). Qui vediamo in fondo che basta ammetterlo per le rette contenenti un punto A, per dimostrarlo poi per quelle passanti per un altro punto B qualunque del campo finito appoggiandosi sulla considerazione degli infiniti e degli infinitesimi. Here we see at the bottom that you just admit to the lines containing a point A, then to prove it for those passing through another point B any finite field of relying on the consideration of the infinite and infinitesimal.
Page 252 Page 252252T Difatti se il punto C è a distanza infinita d'ordine n da A, essendo (AB) finito, (BC) è pure infinito dello stesso ordine (eoroll. I, teor. IH, 22). 252T In fact, if C is the point at infinity of order n from A, since (AB) finished (BC) is also infinite of the same order (eoroll. I, theorem. IH, 22). Def. Def. /.Quando parleremo dell1 unità del campo finito la in tenderemo con- siderata sopra ogni retta a partire da un punto del campò finito stesso coinè origine fondamentale, altrimenti useremo I1 espressione unità finita. /. When we speak dell1 units of the finite field with the in-siderata will extend above each line from a point of the finite field coinè same fundamental origin, otherwise we will use I1 expression unit over. Ma quando non vi sarà ambiguità scambieremo le due espressioni fra loro. But when there is ambiguity between the two expressions will exchange them. 088. 088. III. III. Parlando d* ora innanzi del campo finito e dei campi infiniti intende- remo di riferirci sempre a quelli rispetto ad un'unità qualunque data del punto S o dì un altra pnrito del suo campò fliifto (téoi". 1), quando, s'intende, non ci riferiremo ai canapi intorno a punti diversi. Ind. In generale i punti del campo finito li indicheremo con semplici lettere maiuscole, e con lettere minuscole le rette che hanno punti nel campo finito. I punti all'infinito di ordine n (oss. I, 19), li indicheremo con lettere ac- compagnate dal ségno OD*. Così per le rette. In seguito però non avremo da adoperare che il segno oo col quale indicheremo anche qualunque punto ali'in- finito rispetto ad un' unità fondamentale. Def. IL Una retta che ha dei punti nel campo finito la* chiameremo an- che retta del campo finito. Teor. III. Se la retta è chiusa e il campo finito si riferisce ad un'unità infinitesima di 1 ordine rispettj all'intera retta, ogni retta passante per un punto del campo finito ha un solo punto limite alV infinito. Ciò è una conseguenza immediata dei teor. I, n. Teor. IV. L'ass. II, b vale per qualunque punto X rispetto alT unità (SX) e alle unità infinite rispetto ad (SX). Dato un punto X, esso appartiene al campo finito intorno ad S coli'unità (SX) (teor. I, 22), il quale campo è anche il campo finito di X rispetto alla stessa unità (teor. I). Se (SC) è un segmento finito nel campo suddetto in una retta che non contiene X è in modo che le rette (SC) è (SX) non siano infi- nitamente vicine (def. 22 e ip. IV), vale a dire che X non sia infinitamente vicino ad un punto della retta SC (teor. V, 22); (SC), (XC), (SX) sono finiti; quindi le rette XS9 XC sono distinte rispetto alla stessa unità (teor. IV, 22), e perciò nel campo suddetto intorno ad X vale l'ass. II, b rispetto ali'unità, (SX). Ogni campo infinito di un dato ordine n dì A rispetto all'unità suddetta è anche il campo infinito del medesimo ordine rispetto ad X (teor. II), e con- siderando questo campo come finito rispetto all'unità corrispondente infinita d'ordine n, vale la la dimostrazione precedente. Quanto alla seconda parte dell'ass. II, b basta osservare che ogni punto A determina in senso assoluto una retta con qualunque punto B di ogni retta che non contiene A (ip. Ili), e che tale proprietà vale a maggior ragione ri- spetto all'unita (AB). Oss. IV. Dal teor. IV risulta che tanto il campo finito intorno ad X rispetto al- l'unità (SX), quanto i campi infiniti rispetto alle loro unità corrispóndenti non si ridu- cono ad una sola retta (oss. I, 22), perché per la dimostrazione del teor. IV tale pro- prietà avrebbe anche il campo finito di unità (SX), oi campi infiniti, intorno a S; il che è assurdo (ip. HI e oss. I, 21), Novi sappiamo però ancora sé l'ass. II, valga anche nei campi infinitesimi intorno ad X e rispetto all'unità fondamentale (SX); Speaking d * now on the finite field and of the fields includes infinite-oar always refer to those with respect to a unit of any given point S or another pnrito day of his field fliifto (téoi ". 1), when, s' mean, we do not refer to different points around the ropes. Ind. In general the points of the finite field trip will be denoted by simple uppercase and lowercase letters with the fees, which have points in the finite field. The points at infinity of order n ( oss. I, 19), they will be denoted by letters ac-panied by the sign * OD. So for the lines. Later, however, we will not have to use the sign with which he also referred oo anywhere ali'in-end compared to a ' fundamental unit. Def. THE A line that has some points in the finite field * call that an-line of the finite field. Teor. III. If the line is closed and the finite field refers to a unit infinitesimal order of 1 rispettj entire line, each line through a point in the finite field has only one limit point alv infinite. This is an immediate consequence of the theorem. I, n. Teor. IV. ass. II, b is true for any point X compared alt units (SX) and units with respect to infinite (SX). Given a point X, it belongs to the finite field around S coli'unità (SX) (theor. I, 22), which field is the field finished X with respect to the same unit (theor. I). If (SC) is a finite segment in the above range in a straight line which does not contain X is in such a way that the lines (SC) is (SX) are not infi-infinitely close (final 22 and ip. IV), that is to say that X is not infinitely close to a point on the line SC (theor. V, 22); (SC), (XC), (SX) are finished, then the lines XS9 XC are distinct from the same unit (theor. IV, 22), and therefore in the above range around X is the ass. II, compared ali'unità b, (SX). Every infinite field of a given order n day In relation to the unit that is also the infinite field of the same order with respect to X (theor. II), and with this field as finite-recital relation to the unit corresponding infinite of order n, that is the previous demonstration. As to second part of the ass. II, b is sufficient to note that each point in an absolute sense A determines a straight line with any point B of each straight line which does not contain A (ip. III), and that this property is a fortiori re-compared to 'coupled (AB). Oss. IV. From theor.. IV shows that both the finite field with respect to the X-around the unit (SX), because the fields endless compared to their corresponding unit does not Deplete to a single straight (oss. I, 22), because for the demonstration of the theorem. IV this property would also have the pro-finite field units (SX), or infinite fields, around S, which is absurd (ip. HI and oss . I, 21), Novi even though we know it the ass. II, applies with infinitesimal fields around X and relationship to the fundamental (SX);
Page 253 Page 253come non sappiamo ancora,, se Tip. As we do not know yet, if Tip. IV valga incondizionatamente per ogni coppia di rette passanti pel punto X rispetto all'unità (SX) e alle unità influite *); ma finché non dimostreremo questa proprietà intenderemo, quando parleremo di campi infinite- simi 'senz'aitro, di riferirci sempre per ora a quelli del punto S che ancora per l'ip. IV applies unconditionally for each pair of lines passing through the point X with respect to the unit (SX) and you affect units *), but until you prove this property shall understand when we speak of endless fields-similar 'senz'aitro, always refer to now to those who still point to the S ip. IV è un punto speciale rispetto agii altri punti. IV is a special point acted other than points. Teor. Teor. V. V. Se due punti qualunque E e C non determinano in senso asso- luto la retta non la determinano neppure in senso relativo aW unità (BC). If any two points E and C do not determine the sense ace-luto the line does not determine it even in a relative sense aW unit (BC). In ogni retta passante per B e C, B e C determinano segmenti uguali in senso assoluto (oss. II, 22; ip, lile teor. IV, 11). In any straight line passing through B and C, B and C result in equal segments in an absolute sense (oss. II, 22; ip, lile theor.. IV, 11). In una retta passante pel pun- to 5 consideriamo un segmento (SC*) = (#C). In a pun-line through the PEL to 5 we consider a segment (SC *) = (C #). Qualunque sia l'unità (SC), nel campo di questa unità intorno ad S e relativamente ad essa vi sono rette di- stinte passanti per (oss. I, 21 e ip. IV), ea maggior ragione distinte in sen- so assoluto (int. def, III e V, 58); esse passano dunque per C* (oss. II, 22 e teor. VI, 4). Whatever the unit (SC), the scope of this unit around S and relatively to that are the straight-faded loops (oss. I, 21 and ip. IV), and even more distinct in absolute sen-know (int. final, III and V, 58), they then pass to C * (oss. II, 22 and theorem. VI, 4). Per conseguenza 5 e C non determinano la retta rispetto alPu- nità (SC) (oss. I, 4), e perciò anche B e C relativamente all'unità (BC) (oss. II, 22, teor. VII, 4 ; ip. ni e teor. I, 8). Consequently 5 and C do not determine the straight line with respect alpu Community (SC) (oss. I, 4), and therefore also B and C relatively to the unit (BC) (oss. II, 22, theor.. VII, 4; ip. ni and theorem. I, 8). Teor. Teor. VI. VI. Due punii distinti qualunque della retta aperta, o appartenenti ad un campo infinitesimo della retta chiusa rispetto all'intera retta come unità^ determinano la retta in senso assoluto. Two distinct punii any of the line open, or belonging to a field of infinitesimal straight line as compared to the entire closed unit ^ determine the straight line in an absolute sense. Soltanto due punti opposti in senso assoluto nel caso della retta chiusa possono non determinare la retta. Only two opposite points in the absolute sense if the line can not determine the line closed. Se ey sono i due punti dati, essi appartengono ad un campo finito del punto S (teor. II, 22). If y are two data points, they belong to a finite field of point S (theor. II, 22). Se essi non determinassero la retta in senso assoluto non la determinerebbero neppure rispetto ali'unità (XY) (teor. V), il che è as- surdo (teor. I e II, 14). If they do not determined the straight line in an absolute sense do not lead to even compared ali'unità (XY) (theor. V), which is as-surdo (theor. I and II, 14). Relativamente all'unità della stessa specie dell'intera retta (int. def. I, 94) sappiamo che due punti opposti possono non determinare la retta (teor. lì, 14). With regard to the unity of the same species of the entire line (ext. final. I, 94) we know that two opposites can not determine the line (there theor., 14). Se due punti in senso assoluto non determinano la retta non possono ap- partenere ai campi infinitesimi di due punti A e B che non sono opposti ri- spetto all'unità Suddetta, percbè per questi punti passerebbero più rette di- stinte anche rispetto a quella unità (teor. IV e V). If two points in an absolute sense do not determine the straight line can not ap-partenere to the fields of infinitesimal two points A and B which are not opposite re-compared to the unit above, percbè for these points would switch to more straight-faded even with respect to that units (theor. IV and V). Dunque se due punti in senso assoluto non determinano la retta, essi devono essere nei campi infinitesimi di A e A', essendo A opposto di A. Therefore, if two points in an absolute sense do not determine the straight line, they must be in the fields of infinitesimal A and A ', A being the opposite of A. Supponiamo dunque che vi sia un punto A" in un campo infinitesimo di ordine n intorno ad A' sulla retta, e differente da A e che non determini con A la retta. Consideriamo il segmento (A"A'") =. (AA") nel verso AA" A' (int. d, 64); il punto A" appartiene al campo infini- tesimo dello stesso ordine intorno ad A, perché (AA'), (AA") differiscono di un infinitesimo d'ordine n, e la differenza dei segmenti doppi è quindi un in- finitesimo dello stesso ordine, essendo essa doppia della differenza primitiva (int. d, 104 ei, 82 e ', 86). Ma A e A'" dovrebbero non determinare la retta Cteor. Suppose, then, that there is a point A "in a field of order n infinitesimal around A 'on the straight line, and different from A and which does not result in A with the straight line. Consider the segment (A" A' ") =. (AA ") in the direction AA 'A' (int. d, 64); the point A" belongs to the field infini-eighth of the same order around to A, because (AA '), (AA') differ by an infinitesimal of order n, and the difference of the segments is thus a double-finitesimo in the same order, since it is double the difference primitive (int. d, 104 and, 82 and ', 86). But A and A' "should not determine the straight line Cteor. VI, 4 e oss. VI, 4 and oss. II, 22), il che per quanto si è dimostrato precedentemente è assurdo. II, 22), which as has already been shown is absurd. Teor. Teor. VII. VII. Punti distinti all'infinito di una retta del campo finito danno rette coincidenti col punto S rispetto all'unità finita, purché nel caso della \) Vedi teor. Distinct points at infinity on a straight line giving the finite field lines coincide with the point S with respect to the unit over, provided that in the case of \) See theorem. i; del i; of
Page 254 Page 254254 retta chiusa le rette anzidetto non incontrino la retta data in un sito punto del campo finito. 254 closed the straight lines do not meet the aforesaid given line in a point in the finite field site. Sia Z1^ AZ la retta data e il punto 5 fuori di essa, I punti all'infi- nito rispetto all'unita (SA), distinti in senso assolu- _' . AZ ^ Z1 is the given line and point 5 out of it, points all'infi-nite with respect to unity (SA), distinct in the sense abso-_ '. ^ to, danno rette distinte perché se coincidessero in sen- " ' ~ so assoluto, i due puati Z^ e Z (ind. I) non deter- minerebbero la retta; ciò che è escluso se la retta è aperta, mentre nel caso della retta chiusa dovrebbero essere punti opposti (teor. VI), e quindi due altri punti ng- 15- all'infinito non opposti determinano la retta con Supponiamo ora che i due punti ZM Z'a, diano due rette distinte nel campo finito intorno a S. In tal caso considerato il campo intorno ad S rispetto alla unità OSZJ, la retta Z^A deve coincidere rispetto a questa unità colla retta Z'v S (teor. Ili, 22), e quindi colla retta Z (teor. IV, 22). Dunque rispetto all'unità infinita le due rette SZ9^ SZ^ devono coincidere, mentre per Tipo- tesi fatta esse dovrebbero essere distinte (ip. IV) ; dunque è assurdo che SZ*9 SZ'vt siano distinte. Se uno dei punti Zm è all'infinito d'ordine ne Zm all'infinito d'ordine m (oss. I, 19), le rette SZ^ SZ* coincidono rispetto ali' unità infinita di 1 ordine con la retta AZM9 e quindi per la stessa ragione SZ e SZ non possono essere distinte rispetto all'unità del campo finito intorno a S9 che è anche quello intorno ad A rispetto ali' unità (AS) (teor. I, 23) (fig. 15). Si è posta la condizione che la retta passante per S e per un punto al- l'infinito di AZm non debba incontrare la retta AZ^ in un altro punto del campo finito, ad es. A, nel caso della retta chiusa, il che è ancora possibile (teor. II, 14, teor. VI, 23), perché in tal caso i punti ASZ^ non formano più un trian- golo e non si può più dire in generale che le rette AS e AZ* coincidono ri- spetto all'unità infinita, perché se ciò fosse tutte le rette passanti per A coin- ciderebbero rispetto all'unità infinita in una sola retta, il che è escluso (teor. IV e oss. IV, 23). Coroll. La retta determinata da due punti all'in finito di due rette distinte del campo finito passanti per S è situata tutta aW infinito. Difatti se fosse una retta del campo finito (def. I) essa coinciderebbe ri- spetto ali1 unità infinita colle due rette date (teor. Ili, IV, 22), e quindi queste due rette coinciderebbero rispetto all'unità infinita e non potrebbero essere distinte, contro l'ip. IV. Oss. V. Nel caso della retta chiusa e che l'unità del campo finito sia infinitesima di 1 ordine rispetto all'intera retta, ogni retta del campo finito ha un solo punto limite all'infinito (teor. Ili), e poiché due punti limiti distinti sono dati da rette di- stinte passanti per S, una retta che congiunge due punti limiti all'infinito (s'intende in senso assoluto una retta che congiunge due punti all'infinito delle due rette distinte che hanno quei punti limiti) cade all'infinito. ^ To give distinct straight lines because if coincided in sen-"'~ know absolute, the two puati Z and Z ^ (ind. I) does not deter-undermine the straight line; what is excluded if the straight line is open, while in the case the line should be closed at opposite ends (theor. VI), and then two other points ng-15 - infinity does not determine the straight line with opposite Suppose now that the two points Z'a ZM, giving two distinct straight lines in the finite field around in S. In this case considered the field around S with respect to the unit OSZJ, the straight line Z ^ A must coincide with respect to this unit glue straight Z'v S (theor. Ill, 22), and then glue line Z (theor. IV, 22). Thus the two lines from the unit infinite SZ9 SZ ^ ^ must coincide, while for type-argument made they should be distinguished (ip. IV), so it is absurd that SZ 9 * SZ'vt are distinct. If one of the points is at infinity of order n and Zm Zm of order m to infinity (oss. I, 19), the lines ^ SZ * SZ than coincide wings' infinite unity of order 1 with the straight line and then AZM9 for the same reason SZ and SZ can not be distinguished with respect to the unit of the finite field around S9 which is also compared wings around A 'units (AS) (theor. I, 23) (Fig. 15). It is e the condition that the straight line passing through D and to a point at-infinity of AZM should not meet the straight line AZ ^ at another point of the finite field, eg. A, in the case of the straight line closed, which is still possible (theor. II, 14, theor.. VI, 23), because in that case the points ASZ ^ no longer form a triangular angle and can no longer be said in general that the lines AS and AZ * coincide re-compared to 'infinite unity, because if this were all the lines passing through A coin-ciderebbero infinite relation to the unit in a single straight line, which is excluded (theor. IV and obs. IV, 23). Coroll. The straight line determined by two wholesale end points of two distinct straight lines passing through the finite field S is located across aW infinite. In fact if it were a line of finite field (def. I) it coincides re-ALI1 infinite unity compared with the two given straight lines (theor. Ill , IV, 22), and then these two straight lines coincide with respect to the unit infinite and could not be distinguished, against ip. IV. Oss. V. In the case of an upright closed and that the drive of the finite field is of infinitesimal 1 order compared to the entire line, each line of the finite field has only one limit point to infinity (theor. Ill), and because two separate limits are given by straight-faded loops of S, a straight line joining two points limits to infinity (in absolute terms means a straight line joining two distinct points at infinity of the two lines that have the points limit) falls endlessly.
Page 255 Page 255255 Rette che uniscono un punto del campo Unito con punti all'infinito 24. 255 Straight lines joining a point in the field Kingdom with 24 points at infinity. Teor. Teor. I. I. Data una retta AZW qualunque del campo finito, le rette che con- giungono il punto S fuori di essa coi punti all'infinito della retta data e in un dato verso sono coincidenti rispetto all'unità del campo finito ; mentre ri- spetto ad un'unità infinita di qualunque ordine sono coincidenti colla retta AZ* stessa; sempre che nel caso della retta chiusa le rette passanti per S non in- contrino la retta AZ* in un altro punto del campo finito. Given a straight AZW of any finite field, the lines that come with the point-S out of it with points at infinity of the given line and in a given direction are coincident with respect to unity of the finite field, as compared to a re- 'infinite unity of any order are coincident with the straight AZ * itself; always that in the case of straight lines passing through the closed S-contrino not in the straight line AZ * in another point of the finite field. Difatti le rette che congiungono il punto S (def. I, 21 ; oss. Ili e IV, 28) coi punti all'infinito della retta AZ rispetto all'unità (SA) coincidono in una sola retta (teor. VII, 23), ma non colla retta AZ^ ; mentre le rette AZ* e Zm sono distinte, essendo il due punto S fuori della retta AZ^ fig. In fact, the straight lines joining the point S (def. I, 21; oss. Ill and IV, 28) with points at infinity of the straight line relationship to the AZ (SA) coincide in one straight line (theor. VII, 23) but not with a straight AZ ^, while the lines AZ * and Zm are distinct, since the two point S outside the line ^ AZ fig. 15). 15). Rispetto ad un9 unità infinita, ad es. Compared to un9 infinite unity, eg. di 1 ordine e perciò anche di ordine superiore (int. def. II, 86), (AS) è infinitesimo, e quindi tutte le rette passanti per S e per i punti ali1 infinito sulla retta AZ nel verso considerato a par- tire da A coincidono rispetto alla nuova unità colla retta AZM stessa (teor. ffl, 22). 1 of order and therefore also of higher order (int. final. II, 86), (AS) is infinitesimal, and therefore all lines passing through the points S and ALI1 infinity on the line in AZ to be considered at par-tire To coincide with the new unit compared to the same straight AZM (theor. ffl, 22). Teor. Teor. IL Se due raggi aventi un punto comune S sono coincidenti rispetto all'unità del campo finito, scelti su di essi due punti B e C* a distanza in- finita di 1 ordine da S, e la retta B^ C è una retta r del campo finito di- stinta da quella dei due raggi coincidenti, i punti B* e C sono situati nello stesso verso a partire da un punto A del campo finito sulla retta r. IL If two rays having a common point S are coincident with respect to the unity of the finite field, chosen on them two points B and C *-finite distance in order from S 1, and B ^ C is a straight line r of the finite field of-faded from that of the two rays coincident, the points B * and C are located in the same direction from a point A of the finite field on the straight line r. Perché se J5W e Cw fossero situati in verso opposto a partire da A, sic- come le rette dei raggi SB , S Cw (def. I, 1) coincidono rispetto ali1 unità del campo finito (teor. VII, 23) J5W, Cw sarebbero situati in versi opposti a partire da S, e quindi i due raggi sarebbero opposti e non coincidenti (def. II, 7). Because if J5W and Cw were located in the opposite direction from A, sic as the straight-ray SB, S Cw (def. I, 1) coincide over the finite field ALI1 units (theor. VII, 23) J5W, Cw would be located in opposite directions starting from S, and then the two beams would be opposed and non-coincident (final II, 7). Teor. Teor. III. III. Se i raggi SZ^ SZ'^ congiungono il punto S coi punti all'infi- nito di 1 ordine o di un ordine qualunque, nel caso della retta aperta, di una retta Z1^ AZ^, e si considerano sui raggi opposti a SZ^ ea SZtolt due punti C Dea distanza finita da S, il segmento (CD) è infinitesimo; ossia le due rette SZ^, SZ* # sono coincidenti rispetto aWunità del campo finito, ma non possono coin- cidere in senso assoluto. If the rays SZ ^ SZ '^ connecting point S with the points all'infi-nito order of 1 or of any order, in the case of the straight line open, of a straight line Z1 ^ ^ AZ, and are considered on the rays opposite to SZ ^ SZtolt two points C and Goddess finite distance from S, the segment (CD) is infinitesimal, ie the two lines ^ SZ, SZ * # are coincident with respect aWunità the finite field, but they can not coin-cidere in an absolute sense. Nel caso della retta chiusa ciò vale per un'unità infinitesima di 2 ordine e di ordine superiore rispetto all'intera retta. In the case of an upright closed this applies to a unit of 2 infinitesimal order and higher order than the whole line. Per un'unità infinitesima di 1 ordine rispetto allenterà retta, le rette SZ^, SZ* coincidono e possono coincidere in senso assoluto, essendo escluso il caso che le rette SZM, SZ* incontrino la retta AZ^ in un punto del campo finito* XV) Questo paragrafo non occorre. For an infinitesimal of order 1 with respect loosen righteous, righteous ^ SZ, SZ * coincide and may overlap in the absolute sense, since it excluded the case that the lines SZM, SZ * meet the straight line AZ ^ at a point in finite field * XV) This paragraph is not necessary.
Page 256 Page 256256 Nel caso della retta aperta (CD) non può essere infinito (teor. I, 20) ma deve essere almeno infinitesimo, perché le due rette SZM9 SZ1^ coincidono ri- spetto all'unità data (teor. VII, 23). In the case of the straight line 256 open (CD) can not be infinite (theor. I, 20) but must be at least infinitesimal, because the two straight lines coincide SZM9 SZ1 ^ re-date compared to the unit (theor. VII, 23). Non possono coincidere in senso assoluto perché i punti 2' e jion determinerebbero 1-3, retta* sto che è assurdo (teor. VI, 23). Can not coincide in an absolute sense because the points 2 'and Jion lead to 1-3, it is absurd that I'm straight * (theor. VI, 23). Ciò vale anche nei casi citati della retta chiusa, ma se l'unità è infinite- sima di 1 ordine, allora i punti Z^ Z' ^ se sono opposti, possono non deter- minare la retta (teor. II, 14 e teor. VI, 23) je in tal caso le rette SZM SZtot possono coincidere in senso assoluto. This also applies in the cases cited the line closed, but if the unit is endless of 1-th order, then the points Z ^ Z '^ if they are opposites, they can not deter-mine the line (theor. II, 14 and theorem . VI, 23) je in this case the lines SZM SZtot can coincide in an absolute sense. 25. 25. Teor. Teor. I. I. Se un punto X^ all'infinito determina la retta con un punto A del campo finito, esso determina una retta con ogni punto Bdi questo campo fuori della retta AXM. If a point X ^ infinity determines the line with a point in the finite field, it results in a straight line with each point Bdi this field outside of the line AXM. Difatti se B e X^ non determinano una retta, la retta AB dovrebbe pas- sare anche per X^ (teor. VI, 4 e oss. II, 22), e quindi o per A passerebbe una sola retta, oppure B dovrebbe essere situato sulla retta AX^ contro il dato. In fact, if B and X ^ not determine a straight line, the line AB should pas-Sare also for X ^ (theor. VI, 4 and obs. II, 22), and then for A or pass a single straight line, or B should be located on the line AX ^ against the data. Teor. Teor. IL Senei caso della retta chiusa e che due punti opposti non deter- minino la retta, l'unità del campo finito è infinitesima di lò ordine rispetto all'intera retta, scelta una retta AB vi sono più punti all'infinito in ambedue i versi che determinano la retta con ogni punto del campo finito. THE case of a straight Senei closed and two opposite points not deter-straight undermine the unity of the finite field is infinitesimal compared to the entire line of lo order, choose a line AB, there are infinitely many points in both ways determining the line with every point of the finite field. Si è già veduto che due punti opposti possono non determinare la retta chiusa (teor. II, 14 e teor. VI, 23). It has already been seen that two opposite points can not determine the straight closed (theor. II, 14 and theor.. VI, 23). Perché un punto X^ determini una retta con ogni punto def campo finito intorno al punto A nel caso della retta chiusa e di un'unità infinitesima di 1 ordine rispetto all'intera retta, bisognerà sceglierlo fuori del campo finito rispetto alla stessa unità intorno al punto opposto A' di A, perché in caso contrario vi sarebbe sulla retta AXM un punto X' nel campo finito intorno ad A tale che XtXM sarebbe uguale alla metà delia retta, ossia X'X^ sarebbero punti opposti (teor. VI, 23). Because a point X ^ determines a straight line with each point final finite field around the point A in the line closed and an infinitesimal of order 1 with respect to the entire line, we must choose it out of the finite field compared to the same drive around opposite point A 'of A, because otherwise there would be a point on the line AXM X' in the finite field around A XtXM that would be equal to half a straight Delia, ie X'X ^ would opposing points (theor. VI, 23 ). Conv. I. Conv I. Finché non ci decideremo per il sistema nel quale due punti op- posti determinano la retta chiusa,, stabiliamo che quando l'unità è infinite- sima di 1 ordine rispetto allenterà retta per punto all'infinito s'intenda sem- pre un punto non opposto a nessun punto del campo finito. Until we decide for the system in which two points determine a straight seat-op closed, we establish that when the unit is infinite 1-th order with respect to loosen straight to the point at infinity is meant a point not always pre- opposite to no point of the finite field. Teor. Teor. HI. HI. Un punto all'infinito con un punto del campo finito determina una retta- e un verso o raggio di questa retta (conv. I). A point at infinity with a finite field determines the point of a line-and one way or within this line (conv. I). Ciò è chiaro se la retta è aperta o se, nel caso della retta chiusa, l'unità del campo finito è infinitesima d'ordine superiore al primo rispetto all'intera retta, supponendo sempre che quando si parla senz*altro di punti all'infinito rispetto ad un'unità si intendano quelli del campo infinito di 1 ordine rispetto all'unità (int. oss. IV; 8 ) Difatti i punti ad es. It is unclear whether the line is open or, if the line closed, the unity of the finite field is an infinitesimal of higher order than the whole line, always supposing that when it comes certainly points to another * ' an infinite respect for those of you wishing to infinite field of order 1 with respect to the unit (ext. oss. IV, 8) In fact, the points eg. A e X^ nel caso della retta aperta determinano sempre un segmento, è così nel caso, della retta chiusa anche quando 1* unità è infinitesima di 1 ordine (conv. I) e quindi il punto XM determina il verso della retta a partire da A nel segmento A and X ^ in the case of a straight open always determine a segment, it is so in the case of the straight closed even when 1 * unit is infinitesimal order of 1 (conv. I) and therefore the point XM determines the direction of the straight line from A segment
Page 257 Page 257257 13. 257 13. Raggi e rette paralleli. Rays parallel and straight. 26. 26. Def. Def. 1. 1. Un raggio del campo finito (oss. Ili, 23; def. I, 7 e def. II, 23) dicesi parallelo ad un'altro raggio di questo campo, quando un punto all'infinito di 1 órdine del secondo raggio è situato sul primo, ammesso però che il punto al- l'infinito determini la retta con ogni punto del campo finito nel caso della retta chiusa quando l'unità del campo finito è infinitesima di 1 ordine ri- spetto all'intera retta (conv. I, 25). A beam of finite field (oss. Ill, 23; final. I, 7, and final. II, 23) is said to be parallel to another within this field, when a point at infinity of order 1 of the second beam is located on first, provided however, that the point at infinity determines the straight-through every step of the finite field if the line is closed when the unity of the finite field is infinitesimal compared to 1 re-order the entire line (conv. I, 25). Teor. Teor. I. I. Se un raggio è parallelo ad un altro, il secondo è parallelo al primo. If a beam is parallel to another, the second is parallel to the first. Difatti sia AX^ il raggio dato e BX^ il raggio parallelo. In fact, both AX and BX as radius ^ ^ the parallel beam. Il punto XM è all'infinito di 1 ordine anche rispetto al punto B (teor. II, 23), e determina con B un solo raggio anche in ogni caso della retta chiusa (def. I). XM is the point of infinite order even 1 at point B (theor. II, 23), and B determines a ray in any case the line is closed (def. I). Corali. Choral. Due raggi paralleli ad un terzo sono paralleli fra loro. Two parallel beams to a third are parallel to each other. Difattì siano rer' i raggi paralleli al terzo raggio r". Un punto X^ di r" giace in re in r, e poiché X^ è situato all'infinito di 1 ordine in re in r' (teor. II, 23), rer' sono paralleli (def. I). Rer are indeed 'the rays parallel to the third radius r. "A point of X ^ r" in r lies in D, and since X ^ is set to infinity of order 1 in D in r' (theor. II, 23) , rer 'are parallel (def. I). Def. Def. IL Le rette a cui appartengono due raggi paralleli si dicono paral- lele nel verso determinato dai due raggi (def. I, 7). The lines to which they belong THE two parallel beams are said to parallel-lele in particular by the two rays (def. I, 7). Teor. Teor. IL Due rette parallele non hanno alcun punto comune nel campo finito. THE Two parallel lines have no common point in the finite field. Ciò è chiaro se la retta è aperta, perché in tal caso due rette non pos- sono avere due punti comuni (coroll. teor. I, 14 e teor. VI, 23), ed anche nel caso della retta chiusa quando l'unità del campo finito è infinitesima di 2 ordine e di ordine superiore rispetto all'intera retta (teor. II, 14 e teor. VI, 23). This is clear if the line is open, because in that case the two lines the problem can not have two common points (theor. coroll.. I, 14 and theor.. VI, 23), and also in the case of the straight line closed when the unit the finite field is an infinitesimal of order 2 and higher order than the entire line (theor. II, 14 and theorem. VI, 23). Per l'unità infinitesima di 1 ordine quando la retta è chiusa, non si possono incontrare in un punto C del campo finito, perché altrimenti i punti XM e C non determinerebbero la retta contro la def. For the infinitesimal unit of order 1 when the line is closed, can not meet at a point C of the finite field, because otherwise the points C and XM would not determine the line against the final. I. I. Teor. Teor. HI. HI. %I raggi paralleli condotti per il punto S ad un raggio coinci- dono in un solo raggio rispetto all'unità del campo finito. % I conducted parallel rays through the point S at a radius coincide gift in one beam with respect to unity of the finite field. E due raggi paralleli sono coincidenti rispetto ad ogni unità infinita (def. I, teor. I e teor. I, 24). And two parallel beams are coincident with respect to each unit infinite (final I, theor.. I and theor.. I, 24). Coroll. Coroll. Dal punto S, se la retta è aperta, o se nel caso della retta chiusa l'unità del campo finito è almeno infinitesima di 1 ordine rispetto all'intera retta, si può condurre una sola retta parallela ad una data retta conside- rata in un dato verso (teor. II, def. II). From the point S, if the line is open, or closed when the line of unity finite field is at least 1 order of infinitesimal compared to the entire line, you can lead a single straight line parallel to a given consid-ered in a given direction (theor. II, def. II). Teor. Teor. IV. IV. Se la retta è aperta qualunque sia l'unità del campo finito, dal punto S si possono condurre due rette parallele ad una retta data che coinci- dono rispetto all'unità finita, ma non in senso assoluto (teor. Ili, 24 e def. II). If the line is open irrespective of the unity of the finite field, from the point S can conduct two straight lines parallel to a given straight line which coincides-gift relation to the unit over, but not in an absolute sense (theor. Ill, 24 and final . II). Oss. Oss. I. I. Se la retta è chiusa, per un punto del campo finito intorno ad un punto A, che ha per unità l'intera retta, non passa alcuna parallela ad una retta data, Difatti in tal caso non ha più ragione la definizione di rette e raggi paralleli, perché non vi è rispetto all'unità data alcun punto all'infinito XVI). If the line is closed, to a point of the finite field around a point A, which has units for the entire line, not passing any parallel to a given straight line, In fact in this case no longer any reason the definition of straight lines and rays parallel, because there is no relationship to the time point at infinity XVI). XVI) Nel campo finito Euclideo la parallela ad una retta può essere definita in- dipendentemente dal piano nel seguente modo ; 17 XVI) In the Euclidean finite field parallel to a straight line can be defined depending on the in-plane in the following manner; 17
Page 258 Page 258258 I due sistemi generali di geometria. 258 The two systems general geometry. Sistemi di Euclide, di Lob tscbewsky e di Riemann. Systems of Euclid, Riemann and Lob tscbewsky. Ipotesi V. Hypothesis V. 21. 21. Oss. Oss. emp. emp. Cogli assiomi già dati sono possibili due sistemi di geometria quello della retta aperta e quello della retta chiusa sia in senso relativo ad un unità che in senso assoluto (teor. I, 4; oss. Ili, 18). Seize axioms already data are possible two systems of the geometry of the straight line and open the one of the straight line is closed in a relative sense to a unit that in an absolute sense (theor. I, 4; obs. Ill, 18). Per decidere la questione bisogna vedere se l'osservazione stessa ci aiuta in proposito, imperocché astrattamente potremmo segui- tare a trattare la geometria sia nell'uno come nell'altro caso. To decide the question we need to see if the same observation helps us in this regard, Inasmuch as we follow the abstract-ing to treat the geometry is in the one as in the other case. Ma d'altronde per la definizione atessa dello spazio generale (def. II, 2) noi dobbiamo decidere i dilemmi che si presentano, e, quando non è possibile risolverli per via di deduzione, come in questo caso, bisogna ricorrere all'esperienza I). But then the definition of the overall space Atessa (def. II, 2) we must decide the dilemmas that arise, and when you can not resolve them by inference, as in this case, you should use the experience I ). Limitando la nostra osservazione all'oggetto rettilineo, a prima vista l'oggetto corrispondente alla retta, e che si ottiene immaginando prolungato indefinitamente in uno o nell'altro verso un filo teso (oss. emp. I, 4), esso ci sembra aperto: tale cioè che un punto partendo da una posizione iniziale A su di esso e in un dato verso non ritorni mai più nella posizione primitiva. By limiting our observation to the object straight, at first sight of the object corresponding to the line, and imagining that you get extended indefinitely in one direction or the other a tightrope (oss. emp. I, 4), it seems to open : that is, such that a point starting from an initial position A on it and in a given towards never return to the original position. Questa proprietà ha luogo realmente entro Def. This property actually takes place within Def. Se due triangoli uguali hanno due coppie di lati opposti, i lati opposti a queste coppie si dicono paralleli. If two equal triangles have two pairs of opposite sides, the opposite sides to these pairs are said to be parallel. Siano RAS, R'A'B' i due triangoli uguali con due coppie di lati opposti, il che è possibile (teor. II, 17 e teor. Ili, 16). Are RAS, R'A'B 'the two equal triangles with two pairs of opposite sides, which is possible (theor. II, 17 and theor.. Ill, 16). In tal caso preso un punto C sul lato (-AB), e dato sul raggio opposto di (AC} il punto C1 ad uguale distanza da A, siccome i triangoli ARC, A'RCf, BRC; RC; ARB; A'RB1 sono identici (teor. II, 17 e teor. Ili, 16) ei punti ABC sono in linea retta, lo sono pure i punti A'ffC (teor. V, 17) (vedi fig. 27). Scegliendo un* altra retta, ad es. AC', non risulta che congiunto il punto medio R' di (AC) con un punto qualunque di AB* ad es. C, e costruito il punto C\ ad uguale distanza di C da R', il punto C\ sia situato sulla retta AB. Ricorrendo all'esperienza, approssimativamente essa ci assicura che ciò ha luogo, e quindi diamo il seguente assioma. Ass. VI. Per un punto passa una sola retta parallela ad una retta data. Coll'ass. Hr si dimostra che due rette parallele non possono incontrarsi, perché se avessero un punto X comune, la retta AX incontrerebbe di nuovo le due rette in un altro punto comune X' ad ugual distanza da R, e quindi se X e X* fossero di- stinti le due rette avrebbero due punti comuni, contro l'ass. II'. Ed anche se fossero coincidenti dovrebbero essere ad uguale distanza da #, e per Tassioma VI, anche da tf, ciò che è impossibile (int. def. 1,61 e teor. I, 4). Coll'ass. II invece resta indeterminato fino ad ora se due rette, nel caso della retta chiusa, pos- sano avere due punti opposti comuni, ma anche in tal caso colPass. VI or ora dato due rette parallele non possono incontrarsi, perché i punti X e X' dovrebbero essere equidistanti da R e R\ (teor. II, 14) il che è assurdo. Rimane però sempre da provare sia coll'ass. II come coll'ass, II' che la retta è aperta, proprietà che dimostreremo in una delle note seguenti e che viene ammessa comunemente nei trattati elementari col postulato che la retta viene divisa da un suo punto in due parti, mentre nella retta chiusa ne occorrono due. (Vedi nota VI). Dobbiamo tener presente nelle note ulteriori, fino a questa dimostrazione, la possibi- lità che la retta sia aperta o chiusa, e che nell'ultimo caso coll'ass. II due punti op- posti possono non determinare la retta (teor. II, 14). 1) in seguito avremo altre prove che gU assiomi suddetti valgono in ambedue i pati. In this case took a point C on the side (-AB), and given on the radius of the opposite (AC} point C1 at equal distance from A, since the triangles ARC, A'RCf, BRC; RC; ARB; A'RB1 are identical (theor. II, 17 and theor.. Ill, 16) and the points ABC are in a straight line, so are the points A'ffC (theor. V, 17) (see fig. 27). By choosing a * other straight , eg. AC ', does not appear that the joint middle point R' of (AC) with any point of AB * eg. C, and constructed the point C \ at equal distance C from R ', the point C \ is located on the line AB. Using the experience, about it assures us that this takes place, and then we give the following axiom. Ass VI. For a point passes a single line parallel to a given line. Coll'ass. Hr it is shown that two parallel lines can not meet, because if they had a common point X, the straight line AX again encounter the two straight lines in another common point X 'an equal distance from R, and then if X and X * were di- faded the two lines would have two common points, against the abs. II '. And even if they should be coincident at the same distance from #, and for Tassioma VI, also by tf, what is impossible (int. final. 1, 61 and theor.. I, 4). Coll'ass. II instead remains undetermined until now if two straight lines, in the case of the straight line closed, may have two opposite points common healthy, but also in this case colPass. VI just now given two parallel lines can not meet, because the points X and X 'should be equidistant from R and R \ (theor. II, 14) which is absurd. However, it remains to be tested has always coll'ass. II as coll'ass, II 'that the line is open, a property which demonstrate in one of the following notes and which is commonly accepted in the treated elementary with the postulate that the straight line is divided by one of its point in two parts, while in the closed straight It takes two. (See footnote VI). We further note in the notes, up to this demonstration, the possi-bility that the line is open or closed, and that in the latter case coll'ass. II colon-op can not determine the right places (theorem . II, 14). 1) as a result we have more evidence that gU these axioms are valid in both patios.
Page 259 Page 259259 il campo della nostra osservazione su quell'oggetto, che cor- risponde ad una parte del campo finito intorno al punto ove trovasi l'osservatore (def. I, 21), ma ciò non significa punto che tale proprietà debba aver luogo per l'intera retta. 259 on the field of our observation of that object, which cor-responds to a part of the finite field around the point where the observer is found (def. I, 21), but this point does not mean that such property must take place for the 'entire line. Difatti immaginiamo un oggetto corrispondente ad una linea sem- plicemente chiusa, come finora dobbiamo supporre possa es- sere la retta (fig. 16), e supponiamo che 1' osservatore non possa esplorare che la parte (AB], distinta nel disegno da un doppio tratto. È chiaro che se l'osservatore bada soltanto a . io. ciò che vede è indotto a credere che quell'oggetto sia aperto, mentre in realtà è chiuso. E ritenendolo tale, considerando coinè unità un segmento finito rispetto al suo campo dell'osservazione materiale sull'oggetto, e se l'osservatore non ammette la realtà dell'infinito rispetto alla sua unità sensibile, allora l'oggetto deve essere finito. Ma il pensatore ammettendo astrattamente l'infinito, come abbiamo fatto noi e senza bisogno di ammetterne la realtà nel mondo esterno, può immagi- nare senza contraddirsi che costruito tutto il campo finito sull'oggetto a partire dal punto (7, l'oggetto in questo campo sia aperto, ma astrattamente la linea corrispon- dente sia chiusa. In tal caso la sua unità sensibile sarà infinitesima rispetto all'in- tera retta e di un ordine qualunque dato rispetto ad essa (teor. Ili, 19). E se am- mette che il campo sensibile sia infinitesimo di 1* ordine a partire da un punto qua- lunque di essa come origine, la retta sarà infinita di 1 ordine rispetto all'unità sen- sibile ed avrà un solo punto limite all'infinito (coroll. I, teor. Ili, 19). Se la ritenesse invece infinitamente grande di 2 ordine rispetto alla unità sensibile, allora la retta avrebbe a partire da un punto qualunque due punti limiti all'infinito di 1 ordine di- stinti nei due versi di essa a partire da un punto come origine. La stessa cosa av- verrebbe se il pensatore supponesse la intera linea infinita d'ordine n (oss. 1.19) ri- spetto all'unità sensibile dell'osservatore. Se poi ammette anche l'esistenza concreta dell'infinito secondo le ipotesi stabi- lite nell'introduzione, il che geometricamente non includerebbe contraddizione, e nep- pure è contrario all'intuizione o all'esperienza nel senso che lascia inalterate le pro- prietà del campo intuitivo (def. n, 2) ; e supponendo inoltre l'esistenza di un altro es- sere la cui unità sensibile fosse infinita di wo ordine rispetto alla nostra, quella linea rispetto a questo nuovo osservatore non sarebbe più infinita (int. e, 91; a, 86 e coroll. I, teor. Ili, 19). E se il secondo osservatore potesse senza contraddirsi sup- porre soltanto resistenza del primo, come pensatore, se valessero per esso gli stessi principi svolti nel cap. I dell' introduzione, stabilirebbe le stesse ipotesi sui segmenti finiti e infiniti. L'osservazione sull'oggetto rettilineo corrispondente alla retta non ci aiuta dunque a decidere se la retta sia aperta o chiusa. Ricorriamo ora ad altre osservazioni. Sia dato il solito oggetto rettilineo (fig. 17). Osservandolo ad occhio nudo o col microscopio, o prolungato che sia col telescopio, vediamo che ogni segmento (AAJ di esso è finito (int. def. II, 82; ri- spetto ad ogni altro segmento limitato che possiamo osser- ng-17' vare. i). i) Non dico che tutti i segmenti rappresentabili siano finiti, intorno alla parola rappresentazione si fa non poca confusione non solo per rispetto alPinflnitesimo ma altresi relativamente alle figure a più di tre dimensioni (vedi per queste ultime la pref. e specialmente la parte II). Secondo i nostri principi dell'introduzione il segmento infinitesimo, indipendentemente dai segmenti finiti, si può figurarselo come un segmento osservabile, in modo che si può applicare l'intuizione spaziale anche ai campi infinita- mente piccoli o infiniti sulla retta, e la possiamo applicare per intero in ogni campo infinitesimo o infini- to a tre dimensioni intorno ad un punto, perché per le nostre ipotesi 1-1V e per le proprietà che svol- geremo in seguito, almeno in piccola parte di essi ritroviamo le proprietà del campo delle nostre os- servazioni. Possiamo dire che non abbiamo la continuità della rappresentazione dai segmenti finiti ai segmenti infinitesimi o infiniti, e quindi che rispetto al finito l'infinito o l'infinitesimo attuale non e Indeed, imagine an object corresponding to a line sim-ply closed, as we now supposed to be the es-straight (fig. 16), and suppose that 1 'observers can not explore that part (AB], distinct in design from a double tract. It is clear that if the observer bay only. me. what he sees is led to believe that the object is open, while it is closed. And considering that, given a finite segment coinè units compared to its field observation material object, and if the observer does not admit the reality of the infinite with respect to its sensitive units, then the object must be finite. But the abstract thinker admitting the infinite, as we did and without to admit the reality in the outside world, can not contradict to imagine that built all over the finite field object from the point (7, the object in this field is open, but abstractly the corresponding line is closed. In that case its units will be sensitive infinitesimal compared wholesale-tera straight and any order given with respect to it (theor. Ill, 19). And if am-puts that the field sensitive to both infinitesimal of 1 * order starting from a side-lunque it as a source, the line will be of infinite order with respect to the unit 1 sen-sible and will have only one limit point to infinity (coroll. I, theorem. Ill, 19). If instead considered infinitely large 2 order compared to the sensitive units, then the line would starting from any point two points limits of 1 to infinity order-faded in the two directions of it from a point as the origin. The same thing would be av- If the thinker supposed the whole infinite line of order n (oss. 1.19) compared to the unit re-sensitive observer. If we admit the existence of the infinite concrete according to the hypothesis estab-lite in the introduction, geometrically that does not include contradiction, and n and p-well is contrary to intuition or experience in the sense that it leaves unchanged the pro-intuitive properties of the field (final n, 2); and assuming also the existence of another es- evenings where the unit was sensitive to infinite order with respect to our wo, that line compared to this new observer would not be infinite (int. and 91, at 86 and coroll. I, theorem. Ill, 19). And if the without contradicting the second observer could only sup-pose the first resistance, as a thinker, if they applied for it the same principles held in the cap. I of 'introduction, would establish the same assumptions on finite and infinite segments. observation object corresponding straight So the line does not help us to decide whether the line is open or closed. us turn now to other observations. Consider the object usually straight (Fig. 17). Watching the naked eye or with a microscope, or extended it through the telescope, we see that each segment (AAJ it is finished (int. final. II, 82; re-compared to every other segment that we observed limited-ng-17 'Vare. i). i) I am not saying that all segments are over represented , around the word representation becomes much confusion not only over relatively alPinflnitesimo but ALSO to the figures in more than three dimensions (see, for the latter pref. in particular Section II). According to our principles of introducing the infinitesimal segment , independently of the segments finished, it can be figurarselo observable as a segment, so that it can be applied also to the spatial intuition fields infinite-mind small or infinite on the straight line, and we can apply in whole or in every field infinitesimal infini-to in three dimensions around a point, because for our hypothesis 1-1V and for the properties that maintained geremo later, at least in small part of them we find the properties of the field of our os-vations. We can say that we do not have the continuity of representation by the segments to the segments infinitesimal finite or infinite, so that compared to the finite the infinite or the infinitesimal current is not
Page 260 Page 260260 La figura delle rette congiungenti i punti di una retta r con un punto R fuori di essa nel campo finito intorno al punto S (oss. Ili, 23) corrispondente al- l'unità sensibile (oss. emp. I, 4) viene rappresentata in parte dagli oggetti rettili- nei che uniscono R coi punti dell'oggetto r (flg. 17). 260 The shape of straight lines joining the points of a straight line with a point r R out of it in the finite field around the point S (oss. Ill, 23) corresponding to the drive-sensitive (oss. emp. I, 4) is represented in part by combining objects in reptiles-R with the points of the object r (Fig. 17). Supposto che gli oggetti retti- linei passanti per R e incontrano r, siano prolungati indefinitamente, la figura di essi può essere tutta o in parte la figura che si ottiene tracciando tutti gli oggetti rettilinei (supposti anch1 essi prolungati indefinitamente) passanti per R sul foglio di- steso del disegno. Assumed that the objects straight-linei loops meet R and r, may be prolonged indefinitely, the figure of them can be whole or in part the figure that is obtained by drawing all the objects straight (supposed anch1 they prolonged indefinitely) on the sheet passing through R -spread of the drawing. Supponiamo data o costruita sull'oggetto r debitamente prolungato una scala di unità (AA{) a partire da A in uno o nell'altro verso (int. def. I, 80). Suppose date or built on the object r duly extended by a scale unit ({AA) starting from A in one direction or the other (int. final. I, 80). Può darsi che dopo i raggi che sul foglio incontrano la retta ra destra di A vi sia un pri- mo raggio che non la incontri, in modo che ogni altro raggio, compreso fra questo e uno qualunque dei primi sul foglio debitamente prolungato, incontri la retta r in un punto del campo della scala suddetta, (int. def. IH, 80), perché se fra i raggi che non incontrano la retta ra destra di A nel campo della scala non vi fosse un primo rag- gio, allora un raggio qualunque che incontra la retta r nel campo suddetto non po- trebbe accostarsi indefinitamente ad uno qualunque dei primi raggi (def. I, 12), il che è escluso dall'osservazione del foglio intorno al punto R. It may be that after the rays that meet the straight line on the sheet ra right of A there is a first-th radius than the meetings, so that every other beam, between this and any one of the first sheet duly prolonged, encounters the line r at a point in the scale field above, (int. final. IH, 80), because if one of the rays that do not meet the straight line ra right of A in the field of the scale there was a first ray-Thu, then a any radius that meets the straight line r in the above range is not bit-trebbe approach indefinitely to any one of the first rays (final I, 12), which is excluded from the observation of the sheet around the point A. Se fosse possibile costruire nel foglio del disegno un primo oggetto rettilineo ^ passante pel punto R. If it were possible to build on the sheet of drawing a straight line ^ first object passing through the point R. il quale prolungato a destra dell1 osservatore non incontrasse l'og- getto r prolungato in un punto del campo suddetto a destra di-4, T oggetto t rj rap- presenterebbe esattamente il raggio parallelo a destra condotto da R o tutti i raggi paralleli condotti in senso assoluto da R alla retta r (def. I e II e teor. Ili, 26) *). which extended to the right dell1 observer is not met the subject-r prolonged into a point in the above range to the right of-4, T object t rj-rap would present exactly the radius parallel to the right conducted by R or all of the parallel rays conducted in an absolute sense from R to the line r (def. I and II and theorem. Ill, 26) *). Approssimativamente questo raggio nel disegno è rappresentato dair oggetto rìf percorso nella direzione della freccia a destra. Approximately this beam in the drawing is represented dair object ref path in the direction of the arrow to the right. Dico approssimativamente perché non abbiamo nessun mezzo per determinare un oggetto che corrisponda esattamente alla parallela. I say approximately because we have no means of determining an object that matches the parallel. Invero fra l'oggetto che corrisponde al raggio parallelo e un oggetto ret- tilineo che sufficientemente prolungato incontri la retta r in un punto lontanissimo fuori del campo della nostra osservazione non si scorge sensibilmente alcuna diffe- renza sia ad occhio nudo sia cogli istrumenti di cui possiamo disporre. Indeed between the object that corresponds to the parallel beam and an object-ret tilineo that sufficiently prolonged encounters the straight line r at a point far outside the field of our observation we do not see any significant difference to the naked eye is both Seize instruments of which we can provide. E nella parte ristretta del foglio del disegno il secondo oggetto sostituisce approssimativamente il raggio parallelo. And in the restricted part of the second sheet of the drawing object replaces approximately parallel beam. E quello che diciamo pel campo del foglio del disegno vale eviden- temente anche per tutto il campo della nostra osservazione esterna, che non è tutto lo spazio intuitivo (oss. emp., 1, e nota II). And what we say for the field of the drawing sheet is eviden-temente also for the whole field of our external observation, is not all that intuitive space (oss. emp., 1, and note II). Ciò che si è detto per il verso a destra di A sulla retta r, si può ripetere an- che per il verso a sinistra. What has been said to the right of A r on the line, you can repeat an-that come your way left. Ora, non potendo tracciare sul foglio un oggetto r/ che corrisponda esattamente alla parallela da R nel verso di sinistra alla retta r, T os- servazione non ci può dire se le due rette oi raggi paralleli condotti da R alla ret- ta r coincidano o siano distinti o non esistano affatto, come accadrebbe se la retta nel campo finito fosse chiusa. Now, unable to draw an object on the sheet r /, which corresponds exactly to R in the direction parallel to the left of the line r, T os-preservation can not tell us whether the two parallel straight lines or rays conducted by the R ret-ta r coincide or are distinct or not exist at all, as would happen if the line was closed in the finite field. Osserviamo soltanto che nel campo delle nostre osser- vazioni l'ipotesi che esistano i raggi rx e rfl e siano coincidenti, ha una grandissima approssimazione di verità, e quindi per le pratiche applicazioni questa ipotesi è da preferirsi alle altre due. We observe that only in the field of our observations suggest that there are the radii rx and rfl and are coincident, has a great approximation of truth, and then for practical applications this hypothesis is to be preferred to the other two. Ma può darsi che se ciò ha luogo con grande approssima- zione nel campo ristretto delle nostre osservazioni ciò non abbia più luogo in un campo più vasto, come pure può essere che ogni oggetto rettilineo rl nel foglio di- steso del disegno sufficientemente prolungato abbia un punto comune coll'oggetto r nel campo finito. But perhaps if this takes place with great approximates-tion in the narrow field of our observations that no longer has a place in the wider field, as well as can be that every object in the sheet-straight rl spread of the design has a sufficiently long common point with the object r in the finite field. Siccome poi le tre ipotesi, per essere geometricamente possibili, non devono con- traddire ai dati dell' esperienza entro il campo d sservazione (vedi pref.), ciò vuoi dire rappresentabile, come non lo è del resto in tutti i suoi stati la grandezza finita che diventa più pic- cola di ogni grandezza data. Since then the three hypotheses, to be geometrically possible, with no need of data-traddire 'experience within the field of sservazione (see pref.), What do you mean represented, nor is the rest of the states in all its grandeur over that becomes pic-cola each given length. (Vedi int. nota n. 105). (See int. Note no. 105). 1) Vedremo fra poco (teor. Il, 31) che il teor. 1) We shall soon see (theor. Il, 31) that the theorem. HI, 26 come i teoremi precedenti dimostrati soltanto pel punto S (ip. IV) valgono per tutti gli altri punti. HI, 26 as the previous theorems demonstrated only through the point S (IV ip.) apply to all other points. Dimostreremo in seguito secondo la nostra def. Shown later in our final. i, 26 che il raggio parallelo nel sistema Euclideo è raggio limite dei raggi che incontrano la retta r a destra, il che finora non fu fatto. i, the parallel beam 26 that the system is within the limit of the Euclidean rays that strike the right ra right, which previously was not done.
Page 261 Page 261261 che in un campo piccolissimo intorno ad un punto S, ma finito e costante, devono dare i medesimi risultati, il che per lo appunto si dimostra. 261 which in a very small field around a point S, but finite and constant, should give the same results, which for the fact is demonstrated. Ed è perciò che la prima ipotesi essendo la più semplice, essa è anche sotto que- sto aspetto da preferirsi alle altre due per le pratiche applicazioni. And that's why the first option being the simplest, it is also below this aspect I'm preferable to the other two for practical applications. Quello che potrebbe essere nello spazio intuitivo (oss. emp. 1) si presenta sulla superficie di alcuni corpi, per es. What might be intuitively in the space (oss. emp. 1) is presented on the surface of some of the bodies, eg. sulla superficie della terra. on the surface of the earth. Anche i ragazzetti sanno empiricamente che la terra ha la forma sferica, e sanno che cosa sono i meridiani, i paralleli ecc. Even the kids know empirically that the earth has a spherical shape, and they know what are the meridians, parallels etc.. Ebbene consideriamo tracciato sul terreno un meridiano per un pun- to del campo ristretto d'osservazione; evidentemente il meridiano si confonde in questo campo con grande approssimazione colla retta, eppure sappiamo per altra via che non è una retta. Well consider a meridian drawn on the ground for a pun-to the narrow field of observation, evidently the meridian to be confused in this field with great accuracy with the line, yet we know no other way that is not a straight line. Se ora sulla terra stessa tracciamo due meridiani per due punti del luogo in cui ci troviamo, in un campo abbastanza ristretto, noi li confondiamo con due rette parallele, mentre si sa che si incontrano nei.due poli terrestri XVII)l) Def. If we now draw two meridians on the earth itself for two points of where we are in a fairly narrow range, we confuse them with two parallel lines, while we know that Earth's poles meet nei.due XVII) l) Def. L L'ipotesi secondo la quale vi sono due raggi paralleli che passano per un punto R di un campo finito ad una retta r del medesimo campo (def. II, 23) e giacciono sulla medesima retta (def. II, 7) si chiama ipotesi, assioma od anche postulato di Eitclide. The hypothesis according to which there are two parallel rays that pass through a point R of a finite field to a line r of the same field (def. II, 23) and lie on the same straight line (def. II, 7) is called hypothesis, axiom or postulate also Eitclide. L'ipotesi secondo la quale i due raggi sono distinti si chiama ipotesi di Lobatschewsky 2). The hypothesis that the two beams are distinct is called hypothesis of Lobatschewsky 2). E finalmente l'ipotesi secondo la quale la retta è chiusa, e che quindi manchino i raggi paralleli, si chiama ipotesi di Riemann. And finally the hypothesis according to which the line is closed, and therefore lacking the rays parallel, is called Riemann hypothesis. I sistemi di geometria nel campo finito di un' unità che derivano dalle ipotesi suddette cogli assiomi precedenti I - V si chiamano rispetivamente coi nomi di Euclide, di Lobatschewsky e di Riemann. The systems of geometry in a finite field 'units which derive from the assumptions above Seize previous axioms I - V are called rispetivamente with the names of Euclid, Riemann and Lobatschewsky. Oss. Oss. IL Colle nostre ipotesi sulla geometria assoluta viene escluso il sistema di Lobatschewsky nel campo finito di ogni unità (teor. IV, 26), e sono possibili soltan- to il sistema Euclideo e il sistema di Riemann; quest'ultimo quando la retta è chiu- so in senso assoluto 3). THE Colle our assumptions about the geometry is complete except for a finite field of Lobatschewsky in each unit (theor. IV, 26), and are possible-Soltan to the Euclidean system and the system of Riemann, the latter when the line is closed - I know in an absolute sense 3). Noi non ci occupiamo dunque di deciderci o pel sistema Euclideo o Riemanniano (e nel caso fosse reso possibile anche il sistema di Lobatschewsky nemmeno per que- sto) ma dobbiamo deciderci in senso assoluto per la retta aperta o per la retta chiusa. We therefore have to decide we are not concerned or PEL Euclidean or Riemannian system (and if it were possible because the system Lobatschewsky even for this-I) but we have to decide in an absolute sense for a straight line to open or closed. E sia perché la rejtta chiusa colle nostre ipotesi I-IV comprende il sistema Rieman- niano e il sistema Euclideo, sia per le applicazioni che noi faremo specialmente del primo sistema nello studio dell'ultimo, noi scegliamo la seguente ipotesi: XVII) Per giustificare invece l'assioma delle parallele che noi abbiamo dato nella nota XVI si fanno altre considerazioni empiriche, perché nella nostra defini- zione che meglio si presta per le ricerche nel solo sistema Euclideo, il raggio parallelo non appare quale raggio limite fra quelli di un fascio che incontrano e non incon- trano la retta direttrice, proprietà che sarà dimostrata più tardi (vedi def. I, 30). It is because the closed Hill rejtta our hypotheses I-IV includes the system and the system niano Rieman-Euclidean, both for the applications that we will do, especially the first system in the last study, we choose the following hypothesis: xvii) To justify instead the axiom of parallels that we have known since the XVI are other empirical considerations, because in our definition that is best suited for searches only in the Euclidean system, the parallel beam radius limit which does not appear among those of a beam they meet and not meet-Trano the line manager, property that will be shown later (see def. I, 30). 1) come vedremo l'unicità della parallela da per risultato cogli altri assiomi stabiliti, che la somma degli angoli di un triangolo è uguale alla somma di due angoli retti ; mentre nella geometria sferica la somma degli angoli di un triangolo formato da circoli massimi o maggiore di due retti. 1) as will be parallel to the uniqueness of the result set with the other axioms, that the sum of the angles of a triangle is equal to the sum of two right angles, while in spherical geometry the sum of the angles of a triangle formed by great circles or greater than two right angles. Ora, in un campo ristretto d'osservazione sulla superficie terrestre la somma degli angoli di un triangolo è con grande approssimazione uguale a due retti, e quindi generalizzando questo fatto per tutta la super- ficie si concluderebbe che essa è un piano, come fu ritenuto dagli antichi. Now, in a narrow field of observation on the earth's surface the sum of the angles of a triangle is very approximately equal to two right angles, and then generalize this fact to the entire surface would conclude that it is a plan, as it was considered by the ancients. Supponendo dato il piano, e definendo la parallela come quella linea che hai suoi punti ad ugual distnzaa (normale) da una retta data nel piano, si può osservare che anche questa definizione contie- ne un assioma che è veriflcato con grande approssimazione nel campo della nostra esperienza ester- na, perché realmente estendendo questo campo può darsi che la linea suddetta non sia una retta, ma un'altra linea la quale nel campo della nostra osservazione si confonda colla retta. Assuming the data plan, and defining the parallel line that you like your points to equal distnzaa (normal) from a given line in the plane, one can observe that this definition CONTAINS-it is an axiom that veriflcato with great accuracy in the field of Our experience ester-na, because it really extending this field may be that this is not a straight line, but another line which in the field of our observation is confused with the line. 2) Vedi appendice. 2) See Appendix. 3} Vedi pref. See 3} pref. e cap. and cap. in. in. lib. lib. il. the. di questa parte. of this part.
Page 262 Page 262262 Ip. 262 Ip. V. V. La retta è una linea chiusa. The straight line is a closed line. XVIIÌ). Xviii). Def. Def. IL II sistema assoluto che risulta dalla retta chiusa lo chiameremo sistema assoluto Riemanniano* Supposta la retta aperta in senso assoluto, se si può condurre da ogni punto fuori di essa una sola parallela si ha il sistema assòluto Euclideo. II THE absolute system which is governed by the closed system we call the absolute Riemannian Suppository * open the line in an absolute sense, if you can lead from any point outside it has a single parallel system is the absolute Euclidean. Oss. Oss. III. III. Colle nostre ipotesi I - V non è possibile in senso assoluto il sistema di Lobatschewsky come non lo è quello in senso relativo. Glues our hypothesis I - V is not possible in an absolute sense the system Lobatschewsky as it is not that in a relative sense. Abbiamo detto altrove le ragioni (oss. li, 18) per le quali ci occuperemo soltanto del sistema assoluto in quanto serve al passaggio dal sistema dei diversi campi finiti intorno ad un punto, e spe- cialmente nel passaggio dal sistema Euclideo al sistema Riemanniano, e inversamente* f ITI. We have said elsewhere the reasons (oss. them, 18) for which we will talk only of the absolute system serves as the transition from the different finite fields around a point, and spe-cially in the transition from Euclidean to Riemannian system, * f and inversely ITI. Il sistema ad una dimensione (int def. I, 62) dato dalle rette che uniscono i punti di una retta r con un punto R fuori di essa rispetto alla retta come elemento ei cui versi sono dati da quelli della retta r, si chiama fascio di rette, di cui R è il centro ed r la direttrice. The one-dimensional (int def. I, 62) given by straight lines connecting the points of a straight line with a point r R out of it compared to the line as an element and whose verses are given from those of the straight line r, is called the beam of lines, of which R and r is the center director. Ind. Indicheremo il fascio di centro R e direttrice r col simbolo (Rr). Ind. denote the beam center and director of R with the symbol r (Rr). 15. 15. Primo assioma pràtico o postulato di Euclide Indirizzo delle ulteriori ricerche e Punita, fondamentale. First axiom Euclid's postulate of practical or address of further research and Punished, fundamental. 28. 28. Oss. Oss. I. I. Gli assiomi e le ipotesi precedenti bastano come vedremo allo svolgi- mento della geometria dei sistemi di Euclide e di Riemann ; non bastano però per sa- pere a quale dei due sistemi corrisponde il campo delle nostre osservazioni, o in al- tre parole a quale unità della retta corrisponda T unità sensibile alla nostra osser- vazione sull'oggetto rettilineo. The axioms and assumptions as above are enough to see svolgi-tion of the geometry of Euclid and Riemann systems, are not sufficient for know-pears that the two systems is the field of our observations, or three words in which al- units of the line corresponds to our T units sensitive observation object straight. Tale questione non riguarda la geometria in sé, ma siccome d* altra parte la geometria ha pure per scopo principale di essere applica- bile allo studio dei corpi (def. Ili e oss. IV, 2), così decideremo la questione col se- guente assioma, che corrisponde al postulato Euclideo (def. I, 27). This issue is not the geometry itself, but because of * the other hand, geometry as well as their principal purpose of being applied to the study of bile-bodies (def. Ili and oss. IV, 2), so if we decide the question with- guente axiom, which corresponds to the Euclidean postulate (final I, 27). Ass. I pratico. The practical Ass. Nel campo delle attuali nostre osservazioni è verifica ta con grandissima approssimazione la proprietà che per un punto si può condurre una sola parallela ad una retta data XIX). Our observations in the field of current verification ta is with very great accuracy the property that for a point can be conducted only one parallel to a given straight line XIX). Oss. Oss. IL È in vista di questo assioma che d'ora innanzi non solo abbandoneremo il caso della retta aperta in senso assoluto, ma per la retta chiusa avremo prin- cipalmente per scopo lj trattazione del sistema Euclideo intorno ad un punto. IL is in view of this axiom that henceforth not only abandon the case of a straight open in an absolute sense, but we have closed the main straight-marily for purposes of discussion lj Euclidean system around a point. E sebbene noi tratteremo ugualmente il sistema Riemanniano sia per la geometria in senso assoluto sia anche per svolgere le proprietà fondamentali di questo importante sistema, lo studieremo però specialmente per giovarci poi nella trattazione di quello Euclideo. And although we also discuss the system is to Riemannian geometry in an absolute sense and also to carry out the basic properties of this important system, especially for the study, however, made good use later in the discussion of the Euclidean. Tratteremo pure del piano di Lobatschewsky nel quale avremo agio di svolgere altre considerazioni sui suddetti sistemi geometrici, ma senza che esso porti alcun contributo nel nostro libro allo studio del sistema Euclideo stesso o del sistema Rie- manniano. We will treat the plan as well Lobatschewsky ease in which we perform other geometric considerations on these systems, but without that it will bring no contribution in our book to the study of the system itself or Euclidean Rie-manniano. 1). 1). XVIII) S'intende che dopo T assioma d'Euclide dato nella nota XVI non occor- rono le ip. Xviii) It is understood that after T axiom of Euclid since the sixteenth note is not to cool down the ip. I - V né coir ass. I - V or coir ass. II, né coir ass. II, or coir ass. II' (nota IV). II '(Note IV). XIX) Questo paragrafo è pure inutile dopo l'assioma delle parallele della nota XVI sia coir ass. XIX) This paragraph is also unnecessary since the axiom of parallels of sixteenth notes and coir ass. II come coir ass. II as coir ass. II'. II '. (Vedi pref.). (See Pref.). i) Vedi (cap m, lib. il). i) See (ch m, lib. on).
Page 263 Page 263263 Conv. Per unità fondamentale sulla retta chiusa (ìnt. def. VII, 97) consi- deriamo l'unità infinitesima di 1 ordine rispetto all'intera retta. Conv to 263 units on the fundamental right closed (final Int. VII, 97) con-deriamo the order of 1 unit infinitesimal compared to the entire line. E quando parleremo senz'altro di punti e figure del campo finito intenderemo di quello Euclideo coli'unità suddetta. And certainly when we talk of points and figures shall understand the finite field of the Euclidean coli'unità said. Def. Def. I. I. L'unità fondamentale la chiameremo unità Euclidea, e l'unità del campo infinito o Riemanniano unità Riemanniana. The basic unit will call the unit Euclidean, and the unity of the infinite field units Riemannian or Riemannian. 16. 16. Betta, completa, xx . Betta, complete, xx. 29. 29. Def. Def. I. I. Siccome nel campo Euclideo intorno ad un punto la retta non è che una parte della retta, così chiameremo tutta la retta, retta completa. Since in Euclidean field around a point the straight line that is not a part of the straight line, so we will call the entire line, a straight complete. Oss. Oss. I. I. Essendo chiusa (ip. V) la rappresenteremo con un se- gno tracciato sul foglio, come la fig. Being closed (ip. V) will represent the path with a mark on the sheet, as the fig. 18, senza che occorra per questo che l'oggetto suddetto abbia tutte le proprietà della retta. 18, no need for this that the object that has all the properties of line. Def. Def. IL Due segmenti (AB), (A' ), i cui estremi sono punti opposti (def. Ili, 6), si chiamano segmenti opposti. THE Two segments (AB), (A '), whose ends are opposite points (def. Ill, 6), segments are called opposites. Teor. Teor. I. I. Due punti opposti sono separati da due altri punti opposti. Two opposite sides are separated by two other opposite sides. Siano AA,, BB19 le due coppie di punti opposti sopra la retta completa. Are AA, BB19 the two pairs of opposite points above the straight line complete. Se B è situato in una delle due parti della retta determinata dai punti A e Alt il punto B deve essere situato nella parte opposta, altrimenti i punti B e B determinerebbero sulla retta un segmento minore della metà di essa (int. def. I, 61 ed, 73). If B is located in one of the two sides of the line determined by points A and Alt B point must be located on the opposite side, otherwise the points B and B would result in a segment on the right less than half of it (int. final. I, 61 and 73). Dunque A e At sono separati da B e Bl in uno e nell'altro verso della retta (ass. II, a, ip. I, int. def. II, 62 e 23). Therefore A and At are separated by B and Bl and one in the other direction of the line (abs. II, a, ip. I, int. Def. II, 62 and 23). Def. Def. III. III. Due segmenti che sommati insieme danno la metà della retta completa li chiameremo segmenti supplementari. Two segments that add up to give half of the line we will call them complete additional segments. Se sono altresì consecutivi, come (AB) e (BAJ, li chiameremo adiacenti. Def. IV. Un segmento che è la quarta parte della retta lo chiameremo quadrante o segmento retto (int. ', 99. opp. a, 103). Teor. IL Due segmenti supplementari uguali sono ambidue retti. Ciò risulta immediatamente dalle definizioni III e IV. Def. V. Complementari sono quei segmenti che sommati insieme danno un segmento retto. Teor. III. Due segmenti opposti sono uguali, e sono dello stesso verso a partire da estremi opposti. Siano infatti A e AI ; B e Bl due coppie di punti opposti sulla retta AB (fig. 18). Essi dividono la retta in quattro segmenti consecutivi diretti nel me- desimo verso, cioè: (AB), (BAJ, (AM, (BA) XX) Naturalmente nel campo finito non occorre questo paragrafo, sebbene ri- manga da sapere ancora, sia coir ass. II come coir ass. II' se la retta è aperta o chiusa, e nell'ultimo caso coir ass. II, se essa è determinata o no da d ne punti opposti (vedi nota XVI). If you are also running, as (AB) and (BAJ, we call them adjacent. Def. IV. A segment is the fourth part of the line we will call or dial straight segment (int. ', 99. Opp. A, 103). Teor. THE Two additional segments are equal ambidue righteous. This follows immediately from the definitions III and IV. Def. V. Complementary those segments that are added together give a straight segment. Teor. III. Two opposite segments are equal, and are of the same to from opposite ends. Let AI and in fact, B and Bl two pairs of opposite points on the line AB (fig. 18). They divide the line into four consecutive segments in the direct-desimo me to, namely: (AB) , (BAJ, (AM, (BA) XX) in the course finite field is not necessary to this paragraph, although re-manga to know yet, both coir abs. II as coir abs. II 'if the line is open or closed, and in 'last case coir ass. II, it is determined whether or not to be on opposite sides of it (see note XVI).
Page 264 Page 264264 tali che (A,B) + (BA) (1) sono uguali alla metà della retta. 264 such that (A, B) + (BA) (1) are equal to half of the straight line. Si ha pure che: ) (2) sono uguali alla metà della retta, e quindi confrontando (1) con (2) si ha: (AB) + (BA,) = (BA) + (AB,) (AB) + (BA,) = (B,A,) + (A,B). It also has that:) (2) are equal to half of the straight line, and then comparing (1) with (2) we have: (AB) + (BA) = (BA) + (AB) (AB) + (BA) = (B, A,) + (A, B). Ma (AB) = (BA), (BA,) = (A^), (J^A,) = (A ) (ini g, 99 oe, 104) dunque si ha: (AB^ = (BA,) = (A^ (AB) = (B1A,) = (A1B1) (int. feg , 73). È chiaro che (AB) e (A^,) sono dello stesso verso a partire ad es. da A e da A,, perché B è situato in una metà e Bl nell'altra metà opposta determinata da A e Aj (teor. I), e quindi i quattro punti A, Alf B, Bl si seguono nell'or- dine ABA^, oppure AB^B (int. f, f, f", /"", 63 e 23). Teor. IV. Se un punto C di un segmento (AB) lo divide in modo che (ACf) sia una parte nma di (AJ5), il punto opposto C, giace nel segmento opposto (A^,) e (AjCj) è la na parte di (A^). I punti ACBA^A si seguono nel verso in cui si seguono le lettere che li indicano. Sappiamo che A e Aj, B e B, in qualunque verso della retta de- vono separarsi (teor. I). Il punto C è situato nei segmenti (B^ACB)^ (ACBA^ e quindi C, deve essere situato nei segmenti opposti, ossia (BA^), (A^A). Non può essere situato nel primo fra B e Aly perché allora sarebbe situato nel segmento AB A, e non nel segmento opposto, dunque de.ve essere situato nel segmento (A,B,) opposto ad (AB). La seconda parte è conseguenza del teor. Ili (fig. 18). Corali. I punti medi di segmenti opposti sono opposti, (int. e, 99, opp. a, 104). Teor. V. I punti medi dei quattro segmenti consecutivi nel medesimo verso determinati da due coppie di punti opposti dividono la retta in quattro seg- menti retti. Siano A, A, ; B, B, le due coppie di punti opposti ; i segmenti consecutivi da essi determinati sono (AB), (BAJ, (A^), (^) e siano C e C, i punti medi di (AB) e (A^), D e D, quelli di (BAJ e (B,A) (ip. I e int. #, 99 oa, 103). Si ha: (CB) + (BD) = (CJ ) = (DAl) + (A^Cl) = (LCl) (1) perché (BD) = (DA1) per dato, e (CA) = (A1Cr1) = (CS) (teor. Ili); ed essendo (CB) + (BD)==(BD) + (CB) (int. e, 99, opp. , 104). Ma (CD) -f (DC,) è metà della retta, e poiché (CD) = (DC,) (l),i segmenti (CD) e (DO,) e quindi anche (Cfl,) e (D,C) sono segmenti retti (def. IV e teor. III). But (AB) = (BA), (BA) = (A ^), (J ^ A) = (A) (ini g, 99 oe, 104) so we have: (AB ^ = (BA) = (A ^ (AB) = (B1A,) = (A1B1) (int. f and g, 73). It is clear that (AB) and (A ^,) are of the same direction as eg. by A and A , because B is located in one half and in the other half opposite Bl determined by A and Aj (theor. I), and then the four points A, B Alf, Bl are followed in the OR-dyn ^ ABA or AB ^ B (int. f, f, f "/" ", 63 and 23). Teor. IV. If a point C of a segment (AB) divides it in such a way that (ACF) is a part of nma (AJ5 ), the opposite point C, lying opposite in the segment (A ^,) and (AjCj) na is the part of (A ^). points ACBA ^ A will follow in the direction in which they follow the letters of which they indicate. We know that A and Aj, B and B, in any position of the straight line de-parting Vono (theor. I). The point C is located in the segments (B ^ ACB) ^ (ACBA ^ C, and then, must be located in opposed segments , ie (BA ^), (A ^ A). can not be located in the first B and Aly for then would be located in the AB segment A, and not in the opposite segment, thus de.ve be located in the segment (A, B ,) opposed to (AB). The second part is a consequence of the theorem. Ill (fig. 18). Choir. The midpoints of opposite segments are opposite, (int. and, 99, opp. a, 104). Teor. V. The midpoints of the four consecutive segments in the same direction determined by two pairs of opposite points divide the line into four segments straight. Let A, A, B, B, the two pairs of opposite points; consecutive segments they are determined (AB), (BAJ, (A ^) (^) and are C and C, the midpoints of (AB) and (A ^), D and D, those of (BAJ and (B, A ) (ip. I and int. #, or 99, 103). It has: (CB) + (BD) = (CJ) = (FroM) + (A ^ Cl) = (LCL) (1) because (BD ) = (DA1) for data, and (CA) = (A1Cr1) = (CS) (theor. Ill), and since (CB) + (BD) == (BD) + (CB) (int. and, 99 , opp., 104). Ma (CD)-f (DC) is half of the line, and since (CD) = (DC,) (l), segments (CD) and (C,) and then also ( Cfl,) and (D, C) are straight segments (def. IV and theorem. III).
Page 265 Page 265265 17. 265 17. Ipotesi VI Fanti e figure opposti. Hypothesis VI Fanti and figures opposite. 30. 30. Oss. Oss. I. I. Dal teor. From theorem. II del n. II n. 14 e dal teor. 14 and by the theorem. VI del n. No VI. 23 risulta che sulla retta com- pleta vi possono essere coppie di punti che non deter- minano la retta, come anche può darsi che non vi sia alcuna di queste coppie. 23 that the right com-plete, there may be pairs of points that do not undermine the straight-determined, as well may be that there is no such pairs. Nel secondo caso, dato un fascio (Rr) (def. I, 27) quando il punto X percorre la retta r in un dato verso e ritorna nella sua posizione primitiva (oss. II, 3 o int. 67;, la retta RX percorre l'intero fascio una sola volta, mentre nel primo caso lo percorre due volte. I due casi sono rappresentati dalle fig. 19, ae 19, rispetto ai punti d'intersezione delle rette del fascio di centro R colla direttrice r. Nella prima figura tutte le rette che passano per R si incontrano nel punto op- posto R' e incontrano la retta r in due punti opposti. È naturale che le fig. 19, ae 19, non possono essere effettivamente corrispondenti al fascio di rette, perché lo rappresentano tutto in una parte limitata del foglio vale a dire del campo delle nostre osservazioni. Teor. I. Se i punti opposti della retta deter- minano i raggi delle rette di un fascio a parti- re dal centro, essi determinano un sistema ad una dimensione semplicemente chiuso rispetto ad un raggio come elemento, ei raggi del fascio ei punti della retta direttrice si corrispondono uni- vocamente e nel medesimo ordine. Difatti quando il punto variabile X da A sulla retta direttrice r arriva al punto opposto A', la retta RX (ass. II, e ip. Ili) coincide colla retta AR ma nel verso opposto a partire da R, e quindi in tal caso i raggi delle rette del fascio costi- tuiscono pure un sistema ad una dimensione sem- plicemente chiuso, perché per ogni punto di r passa un solo raggio, e inversamente. Def. I. Un tale sistema di raggi si chiama fascio di raggi o semplicemente fascio^ di centro R e di direttrice r. I versi del fascio sono dati da quelli della direttrice. Nelle proprietà comuni del fascio di raggi col fascio di rette scambieremo anche l'uno con l'altro. Oss. IL II secondo caso si riduce al primo quando si consideri la retta r come doppia e quindi ciascun punto si riguardi come due punti distinti, in modo che quando il punto X a partire da A (fig. 19,6) percorre l'intera retta semplice r, esso occupi la posizione del punto A9, e debba percorrere ancora l'intera retta semplice per ritor- nare al punto A. Se il secondo caso soddisfa all'osservazione nel campo stesso, esso deve dar fig. 19. . flg- 19, C. In the second case, since a beam (Rr) (def. I, 27) when the point X along the straight line r in a given direction and returns to its original position (oss. II, 3, or int. 67;, the straight line RX runs through the entire beam only once, while in the first case it travels twice. The two cases are represented by Fig. 19, ae 19, compared to the points of intersection of the straight lines of the beam center R r glue director. In the first figure all the straight lines passing through R meet at the point op-place R 'and meet the straight line r in two opposite points. It is natural that the Fig. 19, ae 19, can not be actually corresponding to the bundle of straight lines, because the are all in a limited part of the paper ie the field of our observations. Teor. I. If the opposite sides of the line deter-undermine the rays of the beam lines of a particular king from the center, instead resulting in a system size simply closed with respect to a radius as an element, and the rays of the beam and the points of the straight line director correspond-ing and quantifying each and in the same order. In fact, when the variable X from A point on the straight line r director arrives at the opposite point A ', the straight line RX (abs. II, and ip. III) coincides with a straight AR but in the opposite direction from R, and therefore in this case, the rays of the straight lines of the beam-costs constitute well as a system to a dimension sem-ply closed, because for each point r passes a single radius, and inversely. Def. I. Such a system of rays called beam or simply beam center R ^ r and director. The verses of the beam are given by those of the leader. In the common properties of the beam of rays with the bundle of straight lines also will exchange with each other. Oss. THE II according to the first case is reduced when one considers the straight line r as double and then each point is concern as two distinct points, so that when the point X from A (Fig. 19.6) runs along the entire straight simple r, it occupies the position of point A9, and still have to travel the entire straight simple To switch back-can return to the point A . If the case meets the second observation in the field itself, it must give fig. flg-19 19 .., C.
Page 266 Page 266266 luogo alla stessa flg. 266 rise to the same fig. 19, e ; e quindi anche in questo caso il sistema di raggi deve essere un sistema semplicemente chiuso (int. def. II, 63). 19, and; and therefore also in this case the system of spokes must be a system simply closed (int. final. II, 63). Bisogna dunque supporre che quando in questo caso il punto A percorre tutta la retta semplice re ritorna in A, il raggio RA invece cada nel raggio opposto, altrimenti il sistema dei raggi si scinderebbe in due sistemi di raggi semplicemente chiusi come farebbe credere la flg. It must therefore be assumed that when in this case the point A along the whole line simple king returns to A, the radius RA instead fall within the opposite, otherwise the system of the rays is scinderebbe into two systems of rays simply closed as it would believe the fig. 19, 6. 19, 6. E se vogliamo far corrispondere in questo caso ai raggi del fascio i punti della retta r, la dobbiamo considerare come doppia. And if we want to match in this case the rays of the beam the points of the straight line r, we have to consider as the double. Inoltre siccome subordiniamo prin- cipalmente la considerazione dell'intera retta allo studio del sistema Euclideo (oss. II, 28) in questo campo la retta è aperta, e le due parti in cui un punto la divide non hanno alcun punto comune (coroll. I teor. Ili, 19 e conv. 28). Furthermore, since subordinate prin-marily the consideration of the entire line to the study of Euclidean (oss. II, 28) in this field the line is open, and the two parts into which a point divides have no common point (coroll. The theorem. Ill, 19 and conv. 28). E quindi sotto que- sto aspetto è più conveniente supporre che rispetto ali' unità infinita o Riemanniana (conv. 28) ad ogni raggio nei fascio (Rr) corrisponda un solo punto della direttrice, e reciprocamente. And then below this aspect I suppose that is cheaper than wings' units or infinite Riemannian (conv. 28) for each beam in the beam (Rr) matches a single point of the leader and each other. Se si considera invece anche il campo limite all'infinito del campo finito Eu- clideo, il primo caso si riduce al secondo rispetto ali' unità Euclidea, perché la retta rispetto a questa unità ha un solo punto all'infinito (teor. Ili, 23 e conv. 28). If we consider instead the infinite field limit of the finite field Eu-clideo, the first case is reduced compared to the second wing 'Euclidean units, because the line compared to this unit has only one point at infinity (theor. Ill, 23 and conv. 28). Siamo dunque giustificati nell'ammettere la seguente ipotesi: Ip. We are therefore justified in admitting the following hypothesis: Ip. VL Sulla retta vi sono coppie di punti, che non la deter- minano. VL On the right there are pairs of points, that does not undermine the deter-. Oss. Oss. III. III. Questa ipotesi per il sistema Euclideo è più una convenzione che un'ipotesi, perché anche il secondo caso rispetto ad esso da i medesimi risultati. This hypothesis for the Euclidean system is more a convention than a hypothesis, because the second case with respect to it by the same results. In senso assoluto è però una vera ipotesi. In an absolute sense, however, is a true hypothesis. Teor. Teor. IL Nella retta completa due punti opposti e soltanto due punti op- posti non determinano la retta (ip. VI, teor. II, 14 e teor. VI, 23). THE full line in two opposite points and only two op-positions do not determine the line (ip. VI, theorem. II, 14 and theorem. VI, 23). Coroll. Coroll. L Due rette che si incontrano in un punto si incontrano nel punto ad esso opposto (teor. VI, 4, oss. II, 22). The two lines that meet in a meet at the point opposite to it (theor. VI, 4, pers. II, 22). Def. Def. I. I. Ad ogni punto X corrisponde un punto X' che è opposto a X in tutte le rette che contengono X (coroll. I, teor. II). At each point X corresponds to a point X 'which is opposite to X in all the lines that contain X (coroll. I, theor.. II). I punti X e X' si ehi m uo punti opposti indipendentemente dalle rette in cui sono situati. The points X and X 'm hey u are opposite points in straight lines regardless of where they are located. Figure determinate da punti opposti (def. I, 2) si chiamano figure opposte. Certain figures from opposite points (def. I, 2) are called opposing figures. Teor. Teor. III. III. Due figure opposte sono uguali. Two opposing figures are equal. Difatti scelti due punti X e Y ei punti corrispondenti opposti X' e Y' si ha (XY)E=(X'Y') (teor. Ili, 29 e teor. IV, 11). In fact chosen two points X and Y and the corresponding points opposite X 'and Y' leaves (XY) = E (X'Y ') (theor. Ill, 29 and theor.. IV, 11). Oss. Oss. IV. IV. Al n. At n. 6 abbiamo veduto che due punti A e B sulla retta determinano due segmenti in generale uno minore dell'altro. 6 we have seen that two points A and B on the line determine two segments generally one less than the other. Ma non potevamo parlare allora di segmenti e di distanze determinate da due punti qualunque (nello spazio generale (def. I, 2)), poiché non sapevamo ancora come si comportano i segmenti che hanno due estre- mi comuni. But we could not talk at all segments and distances determined by any two points (in general space (def. I, 2)), since we did not know how to behave segments that have two common extreme to me. Ora dunque completando l'oss. Now, therefore completing the oss. I, 11, possiamo dire che due punti se non sono opposti determinano un solo segmento, intendendo il minore sulla retta da essi determinata, e perciò una sola distanza. I, 11, we can say that two points determine if they are not opposed only one segment, meaning the child on the straight line determined by them, and therefore a single remote. E se i due punti non determinano la retta essi hanno una sola distanza, perché ogni retta passante per essi viene divisa da essi in parti uguali. And if the two points do not determine the line they have a single distance, so that every straight line passing through them is divided by them in equal parts. L'uguaglianza delle distanze in due segmenti ci da la loro uguaglianza, e quindi se (AB} e C^i^i) sono le distanze fra i punti A e JB, Al e BI e si ha (AB) = (A^), si ha pure pei segmenti (AB)^(A1B1) (teor. I, 5 e teor. 1,8) XXI). The equality of the distances in two segments gives us their equality, and so if (AB} and C ^ i ^ i) are the distances between points A and JB, Al and BI, and we have (AB) = (A ^ ), we have also pei segments (AB) ^ (A1B1) (theor. I, 5 and theor.. 1.8) XXI). XXI) La proprietà che il raggio può esser considerato come elemento del fascio, e che rispetto al raggio come elemento il fascio è pure un sistema semplicemente XXI) The property that the beam can be considered as an element of the beam, and that with respect to the beam as the beam element is also a system simply
Page 267 Page 267267 18. 267 18. Rette i cui punti determinano segmenti Tetti con un punto. Straight lines whose points determine segments Roofs with a point. L'ipotesi IV vale per ogni punto (dello spazio generale) xxii). The fourth hypothesis is true for every point (of the overall space) xxii). 31. 31. Teor. Teor. I. I. La retta congiungente due punti non opposti che determinano ciascuno un segmento retto con un punto A qualunque, ha tutti i suoi punti equidistanti dal punto A. The straight line joining two points are not opposites that determine each with a straight segment at any point, has all its points equidistant from the point A. Siano X e Y i due punti dati non opposti che determinano una retta r (teor. VI, 23). X and Y are the two data points not opposite that determine a straight line r (theor. VI, 23). Non essendo punti opposti determinano in r un segmento (XY) (def. II, 6), il quale ha in rw un segmento opposto uguale (X'T) (teor. Ili, 29). Not being opposite points determine a segment r (XY) (def. II, 6), which has in rw opposite a segment equal to (X'T) (theor. Ill, 29). Dico che ogni punto Z della retta r è equidistante in senso assoluto da A. I say that every point of the Z line r in an absolute sense is equidistant from A. Supponiamo dapprima che Z sia interno al segmento (XY). Suppose first that Z is inside the segment (XY). Al punto Z è opposto un punto Z1 situato nel segmento; (X'T) ea distanze da X' e Y' uguali a quelle del punto Z da X e Y (teor. Ili, 29), e la retta ZA passa pel punto Z' (coroll. I, teor. II, 30). At point Z is located opposite a point Z1 in the segment; (X'T) and distances from X 'and Y' equal to those of the point Z from X and Y (theor. Ill, 29), and the straight line passes through the point ZA Z '(coroll. I, theor.. II, 30). I due trian- goli AXY9 AX'T sono identici (ip. Ili e teor. Ili, 17), e quindi essendo Z e Z' due punti corrispondenti si ha : (AZ)==(AZ') (teor. II, 15) oppure perché i dne triangoli AYZ, AY'Z* sono uguali per avere due lati e la coppia da essi compresa uguale (teor. Ili, 16), e perciò deve essere La stessa cosa accade se il punto Z è fuori -del segmento (XY) nella ret- ta r. The two triangles AXY9 AX'T are identical (ip. Ill and theor.. Ill, 17), and then being Z and Z 'two corresponding points we have: (AZ) == (AZ') (theor. II, 15) or because the triangles AYZ dne, AY'Z * are equal for both sides and the couple they understood equal (theor. Ill, 16), and therefore must be the same thing happens if the item is out-of Z segment (XY) in the ret-ta r. Dunque ecc. Therefore, etc.. Ter. Ter. IL L'ip. The ip IL. IV vale per ogni punto (dello spazio generale). IV holds for every point (of the overall space). Scelto un punto A qualunque, esso appartiene ad un campo finito del pun- to S al quale ci 'siamo finora sempre riferiti (oss. Ili, 23). One point to any, it belongs to a finite field of pun-S to which we 'are now increasingly reported (oss. Ill, 23). Vi sono rette passanti per A le quali rispetto alF unità del campo finito suddetto ed anche alle unità infinite se esistono (teor. Ili, 19), sono distinte (teor. IV, 23). There are lines passing through A which compared alF units of the finite field above and also to the units if there are endless (theor. Ill, 19), are distinct (theor. IV, 23). Due rette rer passanti per A, distinte rispetto all'unità di un cam- po qualunque intorno ad A, lo sono in senso assoluto anche se in un campo infinitesimo o infinito intorno ad A fossero coincidenti rispetto all'unità di que- sto campo (oss. I, 22). Rer two lines passing through A, are distinct from the unity of a cam-around A little any, are in an absolute sense but in an infinite or infinitesimal field around A were coincident with respect to the unit of this field-I ( oss. I, 22). Scelti due punti X e Y che determinano ciascuno un segmento retto con A sulle rette re rly la retta XY ha tutti i punti equidistanti da A (teor. I). Chosen two points X and Y that determine each a straight segment of straight lines with A king rly the line XY has all points equidistant from A (theor. I). Ora per 5 facciamo passare una retta r' e per un punto X* in r', che deter- mina con S un segmento retto, si consideri una retta s* che abbia i suoi punti equidistanti dal punto S, il che è possibile (ip. IV e teor. I). Now we pass a line for 5 r 'and a point in X * r', which deter-mine with a straight segment S, consider a straight line s * it has its points equidistant from the point S, which is possible ( ip. IV and theor.. I). Scelto poi chiuso, e per conseguenza ogni retta del fascio lo divide in due parti, deriva dalla proprietà che la retta è aperta nel sistema Euclideo, come sarà dimostrato in una nota del n. Chosen then closed, and consequently every line of the bundle divides into two parts, derived from the property that the line is open in the Euclidean system, as will be shown in a note n. 46. 46. XXII). XXII). Va pure escluso. Also to be excluded. Vedi oss. See oss. Ili, 2. Ill, 2.
Page 268 Page 268268 in s un segmento (X'Y) = (XY), i due triangoli XAY, X*SY' sono identici per avere i tre lati uguali (ip. Ili e teor. Ili 17), dunque le due coppie di rette XAY, X'SY' (def. I, 16) sono identiche. 268 s in a segment (X'Y) = (XY), the two triangles XAY, X * SY 'are identical for the three equal sides (ip. Ill and theor.. Ill 17), therefore the two pairs of straight lines XAY , X'SY '(final I, 16) are identical. Ad ogni coppia dunque di rette rer^ di vertice A (def. I, 16) si può far corrispondere una coppia di rette di vertice S uguale alla prima in sen- so assoluto. For each pair of lines, therefore, rer ^ top A (def. I, 16) can match a pair of straight lines equal to the vertex S in the first sen-so ever. Ma siccome due rette distinte qualunque passanti per S sono distinte in ogni campo infinitesimo o infinito intorno ad S (ip. IV), la stessa proprietà ha luogo pure per le rette re ^ (teor* II, 15). But since any two distinct straight lines passing through S are distinct in every infinitesimal or infinite field around S (ip. IV), the same property takes place as well for straight re ^ (theorem II *, 15). Oss. Oss. Per questo teorema noi possiamo riferirci ai campi intorno ad ogni punto (dello spazio generale) e intorno ai quali valgono tutti gli assiomi e le ipotesi stabilite e quindi anche le proprietà che ne derivano; per conseguenza valgono anche per un punto qnalunque A il teor. For this theorem we can refer to fields around each point (of the overall space), and around which are worth all the axioms and assumptions established and therefore the properties derived from it; consequently also apply to a qnalunque At the theorem. VII col coroll. VII with coroll. del n, 23; i teor. of n, 23; the theorem. I, II, III del n. I, II, III n. 24, il teor. 24, the theorem. Ili e IV del n. Ill and IV of the n. 26. 26. Però fintantoché tratteremo del sistema Euclideo intenderemo di riferirci al campo intorno ad un punto qualunque. But as long as we examine the system shall understand to refer to the Euclidean field around any point. 19. 19. Rette e raggi paralleli assoluti e relativi Campo limite assoluto intorno ad un punto del campo unito Euclideo xxni). Straight and parallel rays absolute and relative absolute limit range around a point of the field joined Euclidean xxni). 32. 32. Oss. Oss. I. I. Consideriamo di nuovo il campo Euclideo intorno al punto A (oss. 31, conv. 28;, ed una retta ro X'^AX^* Se scegliamo su questa retta un punto X^ che non appartenga al campo finito Euclideo intorno al punto opposto A* di A, que- sto deve determinare con un punto B qualunque del campo finito intorno ad A una retta (teor. VI, 23). Le rette che congiungono un punto B con tutti i punti all'infi- nito della retta r, tranne i punti opposti di A e dei punti del campo finito di A\ coincidono in una sola retta rispetto all'unità del campo finito (teor. Ili e IV, 26 conv. 28 e oss. 31) e sono parallele alla retta r (def. II, 26). Def. I. Chiameremo le rette parallele suddette parallele relative. Oss. IL Una retta parallela relativa passante per B,incontra la retta r in due punti determinati X^ X'* in versi opposti a partire da -4, che sono in senso asso- soluto punti opposti sulla retta completa (coroll. teor. II, 30). I punti X^ e X*M de- vono essere separati dai punti opposti A e A' (teor. I, 29). Una metà della retta de- terminata dai due punti X^ e X'^ contiene il punto ,4, ed è quella situata in parte nel campo finito intorno ad A. Non è però detto che A sia punto medio del segmento (XMX'J. Def. IL La retta parallela che da un punto B nel campo Euclideo si può condurre ad una retta r, passante per un punto A e che incontra la retta r in due punti XM, X'n determinati ad ugual distanza del punto A in senso assoluto, e quindi anche rispetto all'unità infinita (conv. 28 e teor. II, 30) si chiama parallela assoluta. I punti X^ e X'^ li chiameremo punti limiti assoluti della retta r rispetto al punto A. Coroll. L Le rette parallele assolute condotte dai punti di una parallela assoluta ad una retta data rispetto ad un suo punto, coincidono rispetto al- l'unità finita e infinita. Ciò deriva immediatamente dalla definizione (teor. I, 24 e oss. 31). XXIII) Anche questo paragrafo, nel solo campo finito, va tralasciato. Consider again the Euclidean field around the point A (31 oss., conv. 28;, and a straight ro X 'AX ^ ^ * If we choose a point on this line ^ X that does not belong to the Euclidean finite field around the point opposite A * A,-I must determine this point with any B of A finite field around a straight line (theor. VI, 23). The straight lines connecting a point B, all points of the nite all'infi-line r , except the opposite points of A and points of finite field of A \ coincide in one straight drive over the finite field (theor. Ill and IV, 26 conv. and 28 obs. 31) and are parallel to r (def. II, 26). Def. I. We will call these parallel lines parallel relative. Oss. THE A parallel line on through B, meets the straight line r in two given points X ^ X '* in opposite directions from -4, which are in a sense ace-solute opposite points on the straight complete (theor. coroll.. II, 30). points X and X * M ^ de-Vono be separated from opposite points A and A '(theor. I, 29). One half of the straight line de-termined by the two points X and X ^ '^ contains the point, 4, and is located partly in the finite field around A. It is not said that A is the midpoint of the segment ( XMX'J. Def. THE The straight line parallel to that from a point B in the Euclidean field can lead to a straight line r, passing through a point A and which meets the straight line r at two points XM, X'n determined to equal the distance of the point A in an absolute sense, and therefore also with respect to the unit infinite (conv. 28 and theor.. II, 30) is called parallel absolute. points X and X ^ '^ we shall call them points absolute limits of the straight line r with respect to point A . Coroll. L The absolute parallel lines carried by absolute points of a parallel to a given line with respect to one point, compared to same-unity finite and infinite. This follows immediately from the definition (theor. I, 24 and oss. 31). XXIII) This paragraph, in the only finite field, is neglected.
Page 269 Page 269Teor. Teor. I. I. Ad ogni punto di una retta r nel campo finito corrisponde una parallela assoluta diversa, condotta da un medesimo punto B alla retta r. At each point of a line r in a finite field is parallel to different absolute, conducted by the same point B to the line r. Ciò deriva immediatamente dalla precedente definizione, perché scegliendo un altro punto A, anche infinitamente vicino ad A, i due punti limiti asso- luti sono diversi in senso assoluto (ass. II, o, ip. I, int. def. I, 61 ed, 73). This follows immediately from the previous definition, because choosing another point A, even infinitely close to A, the two points limit ace-ness indices are different in an absolute sense (abs. II, or ip. I, int. Def. I, 61 and, 73). Corali. Choral. L Una retta r passante per A non è in generale parallela asso- soluta alla parallela assoluta condotta da un punto B alla retta r. A straight line L passing through r A is not in general parallel to the parallel absolute ace-solute conducted by a point B to the line r. Difatti perché lo fosse, bisognerebbe che i punti limiti assoluti rispetto ad A in r lo fossero anche rispetto ad 'B9 ciò che in generale non è. In fact, because it was, that the points should absolute limits with respect to A in r they were also compared to 'B9 what in general is not. Def. Def. III. III. Il raggio determinato da un punto limite assoluto di A sulla retta r, per. The radius determined from an absolute limit of A on the line r, for. es. eg. X , e dal punto B (def. I, 7), si chiama raggio parallelo as- soluto al raggio (AX^) a partire da A. X, and point B (def. I, 7), is called parallel beam as the solute-ray (AX ^) from A. Coroll. Coroll. IL In un raggio un punto e il suo punto limite assoluto sono estremi di un segmento retto. THE In a radius a and its absolute limit point are endpoints of a straight segment. Difatti essendo (X^X'J metà della retta e A il suo punto medio (def. Il) (AXJ e (AX'J sono segmenti retti (def. IV, 29, ip. I e int. ', 99 ea, 103). Teor. IL Rispetto ali9 unità finita e infinita (Euclidea e Riemanniana) le parallele assolute condotte da ogni punto B ad una retta coincidono. Coincidono pure rispetto alle stesse unità le parallele assolute condotte dai punti di ima retta r ad una retta ad essa parallela assoluta, colla retta r stessa. Non soltanto coincidono le parallele assolute condotte da un punto B alla retta r rispetto ai suoi punti del campo finito, ma tutte le parallele relative (def. II e I; teor. IV, 24, conv. 28 e oss. 31). E dalla prima parte del teorema deriva anche la seconda, perché se XM AX'n è la retta r, X^BX'^ la parallela assoluta rispetto al punto A (def. II) la XaoAXf(K è parallella relativa alla retta XJBXm (def. I, teor. Ili e IV, 26 e oss. 31). E per ciò, scelto un punto A' di r, la retta r è parallela relativa rispetto alla retta X^BX1^ e siccome tutte le parallele relative condotte da A' alla retta X^BX'^ fra lem quali vi è anche la parallela assoluta rispetto ad un punto qua- lunque del campo finito di X^BX** coincidono in una sola, cioè nella retta r (def. I; teor. Ili, IV, 26 e oss. 31), così il teor. è dimostrato. Coroll. L Rispetto ali' unità finita e infinita i raggi paralleli assoluti con- dótti da un punto ad un raggio dato coincidono. Coincidono pure rispetto alle stesse unità i raggi paralleli assoluti con- dotti dai punti di un raggio ad un altro raggio ad esso parallelo assoluto, col raggio stesso (def. Ili e teor. II). Def. IV. Chiamiamo campo limite assoluto del campo Euclideo intorno ad ogni punto X del campo finito quello dato da tutti i punti limiti assoluti delle rette passanti per il punto Xj che sono distinte rispetto all'unità finita e infi- nita (teor. IV, 23 e teor. n, 31). Teor. III. Due punti limiti assoluti di un punto X, e non opposti, determi- nano una retta situata tutta nel campo limite assoluto di X. Ciò è un'altra forma del teor. II del n. 31 mediante la def. IV. Teor. IV. I campi limiti assoluti di due punti qualunque del campo fi- nito non coincidono in senso assoluto; coincidono però relativamente ali9 unità finita e infinita. In fact, since (X ^ X'J half of the line at its midpoint (def. The) (AXJ and (AX'J are straight segments (def. IV, 29, ip. I and int. ', And 99, 103). Teor. THE Compared ali9 unity finite and infinite (Euclidean and Riemannian) the absolute parallel drawn from either point B in a straight match. coincide well with respect to the same absolute units conducted by the parallel ima straight points to a straight line to r it absolutely parallel, with the same line r. Not only does make absolute parallel pipelines from point B to the line r with respect to its point of finite field, but for all parallel (def. II and I; theorem. IV, 24, conv . and 28 obs. 31). And the first part of the theorem also follows the second, because if AX'n XM is the line r, X ^ BX '^ parallel to the absolute respect to point A (def. II) XaoAXf ( K is the parallel relative to the line XJBXm (def. I, theorem. Ill and IV, 26 and oss. 31). And for this, choose a point A 'of r, the line r is parallel relative to the line BX1 X ^ ^ and since all the relevant conduct parallel from A 'to the line X ^ BX' ^ lem in which there is also the absolute parallel with respect to a point here-lunque the finite field of X ^ BX ** coincide in one, that is in line r (def. I; theorem. Ill, IV, 26 and oss. 31), so the theorem. is shown. Coroll. Respect The wings' unity finite and infinite parallel beams with absolute-duced by a point at a given radius coincide. coincide well with respect to the same absolute units with parallel rays, produced by-point to another within a radius parallel to it ever, with the same radius (def. Ili and theorem. II). Def. IV. We call the field absolute limit of the Euclidean field around each point X of the finite field that given by all the points absolute limits of the lines passing through the point Xj which are distinct from the unit over and infi-nite (theor. IV, 23 and theor.. n, 31 ). Teor. III. Two points absolute limits of a point X, and not opposed, nano-determination across a line located in an absolute limit of X. This is another form of the theorem. II n. through the final 31 . IV. Teor. IV. Fields absolute limits of any two points in the fi-nite field do not coincide in absolute terms, however, coincide relatively finite and infinite ali9 units.
Page 270 Page 270270 Difatti se X^ è un punto limite assoluto di un punto -4, (AX ) è un seg- mento retto. 270 Indeed, if X ^ is an absolute limit of a point -4, (AX) is a straight segment. Se B è un punto del campo finito, (BX*) non è in generale un segmento retto in senso assoluto (coroìl. I, teor. I), ma rispetto all'unità fi- nita e infinita si ha (AXJ^= (BX ) (int. i, 85 e ', 91 ; teor. Ili, 22). 20. Raggi e segmenti paralleli dello stesso verso o di verso opposto xxiv). If B is a point of the finite field, (BX *) is not in general a straight segment in an absolute sense (coroìl. I, theor.. I), but compared to the unit fi-nite and infinite one has (AXJ ^ = ( BX) (int. i, and 85 ', 91; theor.. Ill, 22). 20. Rays and parallel segments of the same or the opposite direction towards xxiv). 33. 33. Def. Def. I. I. Un punto del campo limite assoluto Xw di un punto A deter- mina con A un segmento retto, e due punti opposti di questo campo due seg- menti retti con un estremo comune in A (def. II, 32). A point of the field Xw absolute limit of a point A to deter-mine with a straight segment, and two opposite sides of the field two straight segments with a common end in A (def. II, 32). Chiameremo questi due segmenti lati o parti opposte della retta r intorno al punto A rispetto al campo Euclideo. We will call these two sides or segments on opposite sides of the line r around the point A with respect to the Euclidean field. Oss. Oss. I. I. I lati opposti nel campo Euclideo si possono anche considerare. The opposite sides in Euclidean field can also be considered. come raggi limitati dai punti limiti e dal punto A rispetto all'unità di questo campo (co- roll. teor. HI, 19). rays as limited by the limits and points from point A with respect to the unit of this field (co-roll. theor.. HI, 19). Teor. Teor. I. I. Ogni punto X^ limite assoluto di A determina con ogni punto del campo finito un solo raggio, e quindi un verso sulla retta determinata da X^ e dal punto dato a partire da questo punto. Each point X ^ A determines the absolute limit of each point of the finite field with a single radius, and then straight on to a determined by X ^ and the given point from this point. Sia B il punto dato che può coincidere anche con A. Let B be the given point that may also coincide with A. Il punto Xw deter- mina con B un segmento minore della metà della retta, perché rispetto al- l'unità infinita si ha (AX*) = (BXM) (teor. Ili, 22), e quindi in senso assoluto differiscono al più di un segmento infinitesimo rispetto all'unità infinita, che è finita rispetto alla retta completa (def. I, 29 e conv. 28). The point Xw deter-mine with B a segment less than half of the line, because compared to the infinite unity-one has (AX *) = (BXM) (theor. Ill, 22), and then in an absolute sense they differ at most of a segment infinitesimal with respect to the unit infinite, which is finished at line complete (final I, 29 and conv. 28). Ed essendo determinato così un solo segmento sulla retta BXW (def. II, 6) è determinato anche il verso di esso a partire da B (int. ind. I, 64 e ip. I). And being determined as a single segment on a straight BXW (def. II, 6) is also given to it from B (int ind. I, 64, and ip. I). Coroìl. Coroìl. I. I. Possiamo dire che due raggi aventi lo stesso punto limite asso- luto ali9 infinito hanno lo stesso verso (direzione) rispetto ali9 unità finita. We say that two rays with the same limit point ace-lute ali9 infinity have the same direction (direction) than ali9 complete unit. Difatti il verso di un raggio determina il punto limite assoluto rispetto all'unità finita (teor. IV, 32), e poiché i due raggi hanno lo stesso punto li- mite assoluto, i loro versi determinano il medesimo punto all'infinito; riguardo alla determinazione di questo punto possono dunque sostituirsi uno all'altro, (int. def. VI, 8 e def. I, i ) e so^ questo rispetto i due versi sono uguali; o in altre parole possiamo dire che i due raggi hanno lo stesso verso o la stessa direzione *). In fact the direction of a radius determines the absolute limit with respect to the unit over (theor. IV, 32), and since the two beams have the same point them mild-ever, they sound the same determine the point at infinity; about the determination of this point can therefore replace each other (int. final. VI, 8, and final. I, i) ^ and I know that compared the two lines are equal, or in other words we can say that the two beams have the same direction or in the same direction *). Def. Def. IL Diremo che due raggi i quali soddisfano al corollario precedente, hanno lo stesso verso. We say that two IL-rays which satisfy the previous corollary, have the same direction. XXIV) Questo paragrafo nel solo campo finito non va trattato a questo modo, e la definizione di raggi o di segmenti dello stesso verso o di versi opposti può es- ser data qui in conformità alla nota XVI o al posto indicato dalla prima nota del a- 52f 1) vedi int. XXIV) This paragraph only in the finite field should not be treated this way, and the definition of rays or segments of the same direction or opposite directions can es-ser given here according to the sixteenth note, or at the location indicated by the first note to the - 52f 1) see int. nota n. note no. 9. 9.
Page 271 Page 271271 Caroli. 271 Caroli. IL Dite raggi dello stesso verso con un ferzo raggio sono dello stesso verso fra loro Perché i tre raggi e quindi anche il primo e il secondo hanno lo stesso punto limite assoluto all'infinito rispetto ali1 unità finita. THE Dis rays of the same towards a ferzo radius are of the same towards each other Because the three rays and therefore also the first and second have the same absolute limit point to infinity compared ALI1 a complete unit. (Opp. coroll. I e int. e, 8). (Opp. coroll. I and int. And 8). Coroll. Coroll. III. III. I due raggi paralleli assoluti (e quindi anche relativi) con- dotti da un punto ad una retta sono di verso opposto. The two parallel beams absolute (and therefore also relative) with by-products from one point to a straight line are of the opposite direction. Perché due punti limiti assoluti opposti determinano con un punto B del campo finito due segmenti che a partire da B sono di verso opposto (teor. I; int. def. II, 62, f, 63 e coroll. I, teor. II, 32). Because two points opposite determine absolute limits with a point B of the finite field two segments that from B are in the opposite direction (theor. I; int. Def. II, 62 f, 63 and coroll. I, theor.. II, 32). Coroll. Coroll. IV. IV. Possiamo dire che due raggi aea' che hanno punti limiti as- soluti all'infinito opposti sono di verso opposto. We say that two rays and a 'have points limits as-infinity solutes are opposite in the opposite direction. Difatti ciò è chiaro se sono sulla medesima retta (coroll. III). In fact it is unclear whether they are on the same straight line (coroll. III). Se sono in rette diverse, indicando con al il raggio opposto di ae in li- nea retta con a, aea^ sono di verso opposto (coroll. III). If they are in different lines, indicating the opposite of the radius a and-w and line them in a, aea ^ are of the opposite (coroll. III). Ma de a3 sono dello stesso verso (coroll. I e def. II), vale a dire nella determinazione del verso possiamo sostituire a ad a^ e poiché aea^ sono di verso opposto, possiamo dire che aea' sono pure di verso opposto. But de a3 are of the same direction (coroll. I and final. II), namely in determining the direction we can substitute for a ^ ^ aea and since they are of opposite direction, we can say that a and a 'are also in the opposite direction. Def. Def. III. III. Due raggi che soddisfano alla condizione del corollario IV di- remo che sono di verso opposto. Two rays that meet the condition of the corollary of IV-oar that are in the opposite direction. D'ora innanzi intenderemo per raggi di una retta a partire da un punto del campo finito di essa in senso assoluto e rispetto ali' unità infinita le metà della retta completa (de I, 29) fino al punto opposto A'; mentre pel campo Euclideo li supporremo limitati ai loro punti limiti assoluti i quali, pei punti del loro campo finito rispetto all'unità finita e infinita, coincidono (teor. IV, 32). Henceforth shall understand for rays of a straight line from a point of the finite field of it in an absolute sense and compared wings 'units infinite halves of the full straight line (de The, 29) opposite to the point A', while for the field Euclidean suppose they limited to their absolute limits points which, through the points of their relationship to the finite field finite and infinite, they coincide (theor. IV, 32). Oss. Oss. ITI. ITI. Dato un segmento (AB) sopra una retta il suo verso nel campo finito è pienameute determinato, come anche nella retta completa, perché A e B determi- nano due segmenti uno dei quali (AB) è infinitesimo rispetto all'altro; e conside- rando, come abbiamo stabilito al n. Given a segment (AB) above a straight line towards its in the finite field is pienameute determined, as well as in a straight complete, because A and B determined nano two segments one of which (AB) is infinitesimal relative to each other; and considered or considering, as we set to n. 6 come segmento dei punti A e B il minore, quando non c'è bisogno di tener conto anche del maggiore, il verso di (AB) è pie- namente determinato a partire da A (int. ind. I, 64). 6 as points A and B segment of the child, when there is no need to take account of the higher, the verse of (AB) is pie-namente determined from A (int. ind. I, 64). Coroll. Coroll. V. V. Rispetto al verso, due segmenti (AB), (A'JB1) che appartengono a due raggi paralleli e determinano in essi lo stesso verso, sono uguali (hanno lo stesso verso). Compared to the two segments (AB), (A'JB1) belonging to two parallel beams, and they determine the same direction, are equal (they have the same direction). Perché possono sostituirsi in questa determinazione l'uno all'altro, e quindi sono uguali (int. def. VI e VII, 8 e def. 1,9) ; ma siccome la determina- zione del verso sui raggi che li contengono avviene mediante il solo verso di essi, così essi hanno versi uguali, ossia lo stesso verso. Why can substitute for this determination to each other, and therefore are equal (int. final. VI and VII, 8 and final. 1.9), but as the determination of the direction the rays that contain them is by only to them, so they have the same lines, ie the same direction. Coroll. Coroll. VI. VI. Se due segmenti (AB) e (A'B1) appartengono a raggi paralleli, ea partire da A e A' determinano versi opposti, essi sono di verso opposto. If two segments (AB) and (A'B1) belong to parallel rays, and starting from A and A 'determine opposite directions, they are in the opposite direction. Perché determinano raggi di versi opposti, e questi versi sono anche quelli dei due segmenti dati (int. f", 63). Because they determine the rays of opposite directions, and these verses are those of the two data segments (int. f ", 63).
Page 272 Page 272272 21. 272 21. Figure uguali in senso assoluto e relativo X*V). Figures equal in absolute and relative X * V). 34. 34. Teor. Teor. LI punti ali9 infinito di due figure uguali si corrispondono fra '.oro in modo che la distanza di due punti qualunque ali9 in finito è uguale alla distanza dei due punti corrispondenti dell'altra in senso assoluto. LI points ali9 infinity of two identical figures correspond within '. Gold in such a way that the distance of any two points in the finished ali9 is equal to the distance of the two corresponding points of the other in an absolute sense. Difatti scelti due punti A e A' corrispondenti delle due figure nel cam- po finito e un punto X^ della prima, al segmento (AX^) (o ai segmenti (AX^) nel caso che Xw sia opposto ad A (def. I, 30)) deve corrispondere un segmento (A'X'n) infinito della seconda, perché in due figure uguali i segmenti corrispon- denti sono ugnali in senso assoluto (teor, II, 15 e int. def. Ili, 9), e quindi al punto X^ all'infinito della prima corrisponde un punto X' all'infinito della seconda. Indeed chosen two points A and A ', which of the two little figures in the cam-over and a point of X ^ first, the segment (AX ^) (or segments (AX ^) if Xw is opposite to A (def. I, 30)) must match a segment (A'X'n) infinity of the second, because two of the same segments corresponding ugnali are in an absolute sense (theorem, II, and 15 int. def. Ill, 9) , and then at the point X ^ infinity of the first corresponds a point X 'of the second indefinitely. E se X^ e Y* sono due punti della prima, A"we Yn i punti corri- spondenti della seconda si deve avere (Xsoyao) = (X'ODl?'w). Se Xw Y^ sono punti opposti, lo sono pure i punti X*ott, Y^, e in tal caso per sapere quale dei due segmenti determinati da queste due coppie di' punti sopra due rette si corrispondono, osserviamo che queste due rette devono essere determinate da due punti corrispondenti e che quindi i segmenti che conten- gono questi punti si corrispondono. Oss. L Un triangolo di cai un vertice è nel campo finito e gli altri due nel cam- po limite assoluto del primo è isoscele (def. HI, 9 e def. IH, 32). Un triangolo di cai due vertici sono in un campo limite assoluto e l'altro nel campo finito è isoscele rispetto air unità finita e infinita (def. Ili, 9 e teor. IV, 32). Teor. IL Due triangoli, i cui vertici sono situati in un campo qualunque finito ei cui lati sono uguali rispetto alV unità finita, possono ritenersi uguali in senso assoluto, se non è stabilito che i loro lati differiscono di segmenti infinitesimi. Siano BCD, B'CJJ i due triangoli. Se i lati dei due triangoli sono uguali in senso assoluto sappiamo già che sono identici (teor, III, 17 e ip. Ili e int. def. Ili, 9). Se sono uguali rispetto ali' unità finita possono differire in senso assoluto di un infinitesimo (int. b', 91). Supponiamo che ciò abhia luogo fra i due lati (BC), (B'Cf) corrispondenti nella corrispondenza d'identità (oss. Ili, 15), e sia B" il punto nel verso di ( C*) tale che (BC)~(ffC") (int. ', 69 e ass. II, ip. I). Ma il segmento (tìC") si confonde rispetto all'unità finita col seg- mento (D'C?) (teor. Ili, 22); e inversamente il segmento (UC?) passando dal re- lativo all'assoluto si può ritenere coincidente col segmento (I/C') in quanto che questi due segmenti coincidono rispetto ali' unità finita, se non è però sta- bilito che (D'Cf) sia distinto da (D'C"). Ciò che vale per due lati corrispondenti valendo anche per gli altri, il teor. è dimostrato. Oss. II. Un triangolo di cui uno o due vertici sono in senso assoluto alP infi- nito (conv. 28) ad es. BCA^ oppure AB^C^, non è un triangolo proprio del campo XXV). Anche questo paragrafo va escluso, rimanendo nel solo campo finito di un'unità. And if X ^ and Y * are the first two points, A "w Yn points corresponding to the second one must have (Xsoyao) = (X'ODl? 'W). If Xw Y ^ are opposite sides, are well the points X * Oct, Y ^, and in that case to know which of the two segments determined by these two pairs of 'points over two lines match, we observe that these two lines will be determined by two corresponding points, and then the segments which contain these points correspond. Oss. L cai A triangle is a vertex in the finite field and the other two in the cam-bit absolute limit of the former is isosceles (def. HI, 9 and final. IH, 32) . A triangle cai two vertices are in a field and the other absolute limit in finite field is symmetric with respect finite and infinite air units (def. Ill, 9 and theorem. IV, 32). Teor. THE Two triangles, whose vertices are located in any field whose sides are the same over and over alv complete unit, they may be equal in an absolute sense, if it is determined that their sides differ by infinitesimal segments. Let BCD, B'CJJ the two triangles. If the sides of two triangles are equal in absolute terms we already know that they are identical (theorem, III, 17, and ip. Ili and int. def. Ill, 9). If they are equal with respect wings' complete unit may differ in the absolute sense of an infinitesimal (int. b ', 91). Suppose that this abhia place between the two sides (BC), (B'Cf) corresponding match in identity (oss. Ill, 15), and let B' the point in the direction of (C *) such that (BC) ~ (FFC ") (int. ', 69 and Ch. II, ip. I). But the segment (TIC") is confused with respect to the unit over segment (D 'C?) (theor. Ill, 22), and inversely the segment (UC?) passing from the absolute re-lativo can be considered coincident with the segment (I / C') as compared to these two segments coincide wings' a complete unit, if it is not, however, is that-lished (D Cf) is distinct from (D'C "). What is true of two corresponding sides being valid for the other, the theorem. proved. Oss. II. A triangle of which one or two vertices are in the absolute sense AlP infi-nite (conv. 28) eg. BCA or AB ^ ^ C ^, is not a right triangle of the field XXV). Even this section should be excluded, remaining only in the finite field of a unit.
Page 273 Page 273273 fluito, considerando questo campo indipendentemente dall'infinito. 273 flowed, considering this field regardless of the infinite. Nel secondo caso abbiamo nel campo finito una coppia di rette col vertice in quello del triangolo si- tuato nel campo finito, cioè A. In the second case we have finite field in a pair of straight lines with the apex of the triangle in that tuato-in finite field, ie A. Nel primo caso abbiamo invece due raggi paralleli limitati a due punti del campo finito. In the first case we have instead two parallel rays limited to two points of the finite field. In questi casi, per l'uguaglianza di due triangoli relativa all'unità finita, non si può quindi applicare il teor. In these cases, the equality of two triangles for the drive over, you can then apply the theorem. Ili del n. Ill of n. 17 che riguarda, triangoli aventi i vertici nel campo finito, e volendo parlare anche nei casi suddetti di uguaglianza dei triangoli bisogna che dall'uguaglianza di essi risulti l'uguaglianza delle loro coppie di rette (coroll. teor. Ili, 17). 17 which deals with triangles, the vertices in the finite field, and wanting to speak in the above cases of equality of the triangles from the equality of its members is necessary that the equality of their pairs of lines (coroll. theorem. Ill, 17). Ora questa uguaglianza si otterrà se saranno uguali i due trian- goli che si confrontano anche soltanto rispetto all'unità infinita, perché potendoli considerare in tal caso come uguali in senso assoluto (teor. II), le coppie suddette saranno uguali relativamente all'unità finita. Now this equality will be the same if you get the two triangles that deal only with respect to unity even infinite, because in that case potendoli considered as equals in an absolute sense (theor. II), these pairs will be relatively equal to unity over. Se i due triangoli non possono ritenersi uguali in senso assoluto, allora non si può più parlare in tal caso di uguaglianza rispetto ali1 unità finita. If the two triangles can not be considered equal in the absolute sense, then we can no longer speak in such a case of equality than ALI1 complete unit. Teor. Teor. III. III. Due triangoli aventi due vertici in un campo limite assoluto e V altro nel campo finito sono uguali relativamente alV unità finita e infinita, e sono uguali in senso assoluto se i punti aW infinito sono punti limiti assoluti dei rimanenti vertici. Two triangles having two vertices in a field other absolute limit in finite field and V are relatively equal units alv finite and infinite, and are equal in an absolute sense if the points are points aW infinite absolute limits of the remaining vertices. Siano BX^Y^, CX^Y^ i due triangoli ei punti XM, Y^ siano punti limiti assoluti di B (def. II, 32). Let BX ^ Y ^, Y ^ CX ^ the two triangles and points XM, Y ^ points are absolute limits of B (def. II, 32). 11 triangolo BX^Y^ è isoscele in senso assoluto, e in senso relativo all'unità finita ed infinita (oss. I); dunque si hai (BXJ = (CTJ, (BYJ == (Crw) (teor. IV, 32). e queste relazioni sussistono in senso assoluto se X^ e YM sono punti limiti assoluti anche del punto C; e perciò i due triangoli sono uguali nel primo caso relativamente all'unità infinita e quindi anche all'unità finita (oss. II); nel secondo caso sono eziandio uguali in senso assoluto (teor. Ili, 17 e ip. III). Teor. IV. Se X^ e X'^ ; Y e Y'^ sono coppie di punti opposti limiti asso- luti, i due triangoli BX^Y^, BX'^Y'^ o sono uguali in senso assoluto, oppure lo sono relativamente all'unità infinita e finita. Supponiamo che X^ e X'^ siano punti limiti assoluti del punto B, Y e Y'oo di un altro punto C. In generale non si ha in senso assoluto la relazione (BY^^iCY^), le perciò anche non si ha in generale (BYJ^(BY^)9 pure es- sendo (BX^) =(CFW) (coroll. II, teor. I, 32); relazioni che valgono invece rela- tivamente ali' unità infinita e finita (teor. IV, 32). Il teorema è dunque dimostrato (teor. Ili, 17 e oss. II). Teor. V. Due triangoli i cui lati sono uguali rispetto alV unità finita, non possono ritenersi sempre uguali in senso assoluto se uno o due dei loro ver- tici sono all'infinito. E nel primo caso non si possono sempre ritenere neppure uguali in senso assoluto se i loro lati sono uguali rispetto alT unità infinita. Difatti siano dati due punti C e C* ad ugual distan- J}_____ za da un punto B e la distanza (OC) sia finita (teor. IV, 23 e oss. 31). Conduciamo da B la parallela a CC*, e con- ^ sideriamo il punto all'infinito A^ delle due rette. Rispet- to all'unità finita ed anche infinita i lati dei due trian- goli A^BC, A BC' sono uguali, cioè (BA^) comuneì(BC) fig 21 = (BC')9 (CA^ ^AJ-, ma in senso assoluto (CAM) non è uguale a (CA^) (int. def. I, 61) e perciò i due triangoli non sono identici, 18 ___ 7\ 11 ^ Y ^ BX triangle is isosceles in an absolute sense, and sense of finite and infinite on the unit (oss. I), then we have (BXJ = (CTJ (BYJ == (CRW) (theor. IV, 32 .) and these relationships exist in an absolute sense, and if X ^ YM points are absolute limits also the point C, and therefore the two triangles are equal to unity in the former case relatively infinite and therefore the unit over (oss. II) in the second case eziandio are equal in an absolute sense (theor. Ill, 17, and ip. III). Teor. IV. If X and X ^ '^, Y and Y' ^ are pairs of opposite points limit ace-ners, the two triangles ^ Y ^ BX, BX '^ Y' ^ o are equal in an absolute sense, or the unit are relatively infinite and finite. Suppose that X and X ^ '^ are points of absolute limits to point B, Y and Y 'oo another point C. In general there is no absolute sense in the relationship (BY ICY ^ ^ ^), so the well has not in general (BYJ ^ (^ BY) 9 well es-Sendo (^ BX) = (CFW) (coroll. II theorem. I, 32), relations which are valid but relatively wings' infinite and finite units (theor. IV, 32). The theorem is therefore proved (theor. Ill, 17 and oss . II). Teor. V. Two triangles whose sides are equal with respect alv complete unit, can not always be considered equal in the absolute sense if one or two of their ver-TIC are infinite. And in the first case we can not always considered equal in absolute terms even if their sides are the same height than infinite unity. fact are given two points C and C *-J} at equal distance from a point za _____ B and the distance (OC) is finite (IV theor. , 23 and oss. 31). conduct of the parallel DC * B, and-^ A ^ sideriamo the point at infinity of the two lines. Upon fulfillment to drive over, and also infinite sides of two triangles A ^ BC, BC A 'are equal, ie, (BA ^) comuneì (BC) fig 21 = (BC') 9 (CA ^ ^-AJ, but in an absolute sense (CAM) is not equal to (^ CA) ( int. def. I, 61) and therefore the two triangles are not identical, 18 ___ 7 \
Page 274 Page 274274 e quindi nemmeno le coppie rettilinee BCA^ BCfA^ (def, I, 16 e teor. Ili, 16). 274 and even then the pairs rectilinear BCA ^ ^ BCfA (final, I, 16 and theor.. Ill, 16). Essendo A'^ il punto opposto di Awì i due triangoli A'^BC, A^BC hanno i lati uguali, come anche i triangoli A'MBC, A^BC ei triangoli A'^BC, A'^BC relativamente all'unità finita e infinita. Since A '^ Awi the opposite point of the two triangles A' BC ^, A ^ BC have equal sides, as well as A'MBC triangles, and triangles A BC ^ A '^ BC, A' ^ relative to BC ' finite and infinite unity. Se queste condizioni ci dessero l'u- guaglianza dei triangoli, il triangolo A'MBC sarebbe uguale ai triangoli A^BC A^BC? If these conditions gave us the u-inequality of the triangles, the triangle would be equal to A'MBC triangles A ^ A ^ BC BC? che non sono uguali come abbiamo dimostrato. that are not the same as we have shown. Per l'ultima parte del teorema osserviamo che rispetto all'unità infinita i due lati BA^ CA^ coincidono (teor. Ili, 22), e quindi non si ha più un trian- golo, e non è applicabile ai due triangoli A^BC, A'mBC il teorema II, e quindi neppure il teor. For the last part of the theorem we see that relationship to the infinite two sides BA CA ^ ^ coincide (theor. Ill, 22), and therefore no longer has a triangular corner, and is not applicable to the two triangles A ^ BC, A'mBC Theorem II, and even then the theorem. Ili, 17, e perciò i due triangoli non sono in generale uguali nemmeno rispetto all'unità infinita (oss. II). Ill, 17, and therefore the two triangles are generally not equal even infinite relation to the unit (oss. II). Soltanto quando i lati corrispondenti infiniti sono uguali in senso assoluto i due triangoli sono uguali. Only when the corresponding sides are equal infinite in an absolute sense, the two triangles are equal. Oss. Oss. III. III. Nelle relazioni di identità dei triangoli nel campo Euclideo considere- rao soltanto quelli che secondo il teor. In the reports the identity of triangles in Euclidean consider-rao only those who according to the theorem. II, hanno i loro vertici nel campo finito, ai quali in ogni caso è applicabile il teor. II, have their vertices in the finite field, to which in each case is applicable on the theorem. Ili, 17, sempre che non si dica diversamente. Ill, 17, unless it says otherwise. 22. 22. Segmenti congruenti e simmetrici sulla retta, Sistemi continui di figure qualunque invariabili (nello spazio generale) Siste- mi continui di segmenti invariabili sulla retta xxvi). Segments congruent and symmetrical to the line, figures any invariant continuous systems (in general space) Siste I-invariant continuous segments on a straight xxvi). 35. 35. Def. Def. I. I. Due segmenti di una medesima retta uguali e diretti nello stesso verso della retta (int. f", 63) si chiamano congruenti; se sono di verso oppo- sto si dicono simmetrici J). Def. IL Se due segmenti simmetrici hanno un punto comune si dice che sono simmetrici rispetto a questo punto, e che gli altri estremi dei due seg- menti sono simmetrici rispetto allo stesso punto. Teor. 1. Due segmenti congruenti che hanno due punti corrispondenti co- muni coincidono. Stabilita la corrispondenza d'identità fra i due segmenti (AB) e (A'B) con- gruenti (def. I), e se X è un punto di (AB) che coincide col punto corrispon- dente X' di (A'#), si deve avere (AY) = (A'X), ciò che non è possibibe per essere (AX) e (A'X) dello stesso verso (coroll. II, teor. III. 4), se A e A1 sono di- stinti (ini def. I, 61 ed, 73). Dunque A e A' in tal caso coincidono e quindi anche per la stessa ragione B e ff. Teor. IL Punti corrispondenti di due segmenti congruenti sono estremi di segmenti congruenti. Siano (AB) e (AB') i due segmenti congruenti. Può darsi che A' appar- tenga al segmento (AB) o sia fuori nel prolungamento di (AB), da A verso XXVI) Questo paragrafo con qualche modificazione al n. 36 può andare tale qua- le pel solo campo finito sia coll'ass. II, come coH'ass. li', i) Vedi int. oss. i, ili. Two segments of a same straight line equal and direct in the same direction of the line (ext. f ", 63) are called congruent, if they are to tell you I'm oppo-symmetric J). Def. IL If two symmetrical segments have a common point are said to be symmetrical with respect to this point, and that the other extreme of the two segments are symmetrical with respect to the same point. Teor. 1. Two congruent segments which have two corresponding points co-muni coincide. Stability correspondence identity between the two segments (AB) and (A'B) with-gruenti (def. I), and if X is a point (AB) that coincides with the point corresponding X 'of (A' #), it must be have (AY) = (A'X), what is not to be possibibe (AX) and (A'X) of the same direction (coroll. II, theor.. III. 4), if A and A1 are faded- (ini final. I, and 61, 73). Thus A and A 'in this case coincide and thus also for the same reason B and ff. Teor. THE corresponding points of two segments are congruent extremes of segments congruent. Let (AB ) and (AB ') the two congruent segments. Maybe A' takes belong to the segment (AB) or is out in the extension of (AB), from A to XXVI) This paragraph with some modification to the n. can go 36 here-that the finite field is for the sole coll'ass. II, as coH'ass. them ', i) See int. oss. i, pi.
Page 275 Page 275275 B (ini 66); il caso in cui A è fuori di (AB) nel prolungamento opposto si ri- duce ai primi due casi scambiando (AB) con (Aff). 275 B (ini 66); the case in which A is off (AB) in the extension of the opposite re-duce the first two cases exchanging (AB) with (Aff). Non può essere che l'uno sia contenuto nell'altro (ini d, 73; e, 61). There may be one that is contained in the (initial d, 73 e, 61). Essendo X e X* elementi corrispondenti qualunque dei due segmenti nella loro corrispondenza d'identità (oss. Ili, 15), nel primo caso Telemento X appartiene o al segmento (AA1) o al segmento (AB). Since X and X * corresponding elements of any two segments in their correspondence identity (oss. Ill, 15), in the first case Telemento X belongs or to the segment (AA1) or to the segment (AB). Se è compreso in (AA') si ha (AX) + (XA) == (AA1), (XA') -f (A'X1) = (XX') (AX*)+ (XA) =É(XX') (ass. II, ao ip. I, ini e, 99 oa, 104); ma (AX) = (A'X*), dunque (AA1) = (XX) (ini e, 68). If it is included in (AA ') we have (AX) + (XA) == (AA1), (XA')-f (A'X1) = (XX ') (AX *) + (XA) = É ( XX ') (abs. II, or ip. I, and initial, or 99, 104), but (AX) = (A'X *), then (AA1) = (XX) (initial and 68). Se invece X, nel caso considerato, è com- preso in (AB) si ha: (A A') + (A'X) = (AX) + (A A') E= (AX), (A'X) + (XX*) =5 (A'X') perché, essendo (AXt) = (AX) e X compreso fra A e B, si ha (A'XX(A'X') (ini def. I e II, 61), dunque (AA')=(XX') (ini /", 73). Finalmente se A1 è fuori di (AB) e nel prolungamento di (AB) da A verso B, si ha: (AX) + (XA') = (AA(), (XA') + (A'X') = (A'X') -f (XA') = (XX') ma (AX) = (A'X), dunque (AA') = (XX') (ini g, 73). In ogni caso (AA') e (XX*) sono dello stesso verso ; il teorema è dunque dimostrato. 36. Oss. emp. Ogni sistema ad una dimensione descritto da un punto materiale che si muove nel campo della nostra osservazione esterna è ciò che si chiama una linea materiale, e se si fa astrazione dalla sua grossezza badando al luogo da essa occupato si ha una linea intuitiva. Noi vediamo che una tal linea è un sistema ordinato di punti di cui è dato l'ordine, come ad es. l'oggetto della flg. 22, e che scelto un segmento (AB) della linea si può scomporre in segmenti (AA'), (A1 A")... consecutivi arbitrariamente piccoli e tali che i segmenti rettilinei (AAr), (A'A") ecc, sono piccoli quanto si vuole, e inversamente. Scegliendo dei punti AAA" vicinissimi nell'ordine della linea noi vediamo che i tratti rettilinei (AA'), (A'A") ecc. si confondono materialmente, cioè con grandissima approssima- flg. n zione coi segmenti della linea compresi tra gli stessi punti, e che perciò la linea materiale può essere sostituita con grande approssimazione da una linea composta di tanti tratti rettilinei (linea poligonale), i cui tratti (lati) sono sufficientemente piccoli. Rileviamo inoltre l'altra particolarità di queste linee, e cioè che quando (AA) è prolungato nel verso da A ad A' e si sceglie su di esso un tratto (A1 X) = (A'F), es- sendo Y un punto qualunque del raggio AA" da A' verso A"f quando A" si avvicina sufficientemente ad A", Xe Fsi confondono con grande approssimazione. Diamo quindi la seguente definizione: Def. I. Dato un sistema di punti ad una dimensione (def. I, 3) tale: 1. che contenga tutti i suoi punti limiti, e il segmento rettilineo deter- minato dagli estremi di un suo segmento quanto piccolo si vuole con un estre- mo in un punto qualunque del sistema (oss. I, 13) è piccolo quanto si vuole; 2. che ogni segmento (AB) di esso si componga di segmenti consecutivi ; piccoli quanto si vuole; If, however, X, in the case considered, is taken into com-(AB) has: (A A ') + (A'X) = (AX) + (A A') = E (AX), (A'X ) + (XX *) = 5 (A'X ') because, being (Axt) = (AX) and X between A and B, we have (A'XX (A'X') (initial final. I and II, 61), then (AA ') = (XX') (ini / ", 73). Finally, if A1 is out of (AB) and in the extension of (AB) from A to B, we have: (AX) + (XA ') = (AA (), (XA') + (A'X ') = (A'X')-f (XA ') = (XX') but (AX) = (A'X) , then (AA ') = (XX') (ini g, 73). In any case (AA ') and (XX *) are of the same direction, the theorem is therefore proved. 36. Oss. emp. Each system one dimension described by a point mass moving in the field of our external observation is what is called a line material, and if we abstract from its large size, making sure the place is occupied by it has a line interface. We see that such a line is an ordered system of points which is given the order, eg. the object of fig. 22, and that a selected segment (AB) of the line can be broken down into segments (AA '), (A1 A ") ... consecutive arbitrarily small and such that the straight line segments (AAR), (A'A") etc., are as small as you want, and vice versa. choosing points AAA "close order line we see that straight sections (AA '), (A'A') etc.. are mixed physically, that is with very great approximates-flg. n tion with the line segments between the same points, and that therefore the line material can be replaced with great approximation by a line composed of so many straight sections (polygonal line), whose features (sides) are sufficiently small. We note also the other peculiarity of these lines, namely, that when (AA) is prolonged in the direction from A to A 'and you click on it once (A1 X) = (A'F), es-Y Sendo any point of the radius AA 'A' to A "f when A" is close enough to A ", mixed with Xe Fsi great approximation. Let then the following definition: Def. I. Given a point system to one dimension (def., 3) that: 1. that contains all its limit points, and the line segment deter-mined from the extremes of a segment of what you want with an extremely small mo-anywhere system (oss. I, 13) is as small as you want, 2. that each segment (AB) of it consists of consecutive segments, small as we wants;
Page 276 Page 276276 il sistema si chiama linea XXVII) 1). 276 the system is called the line XXVII) 1). Oss. Oss. I. I. Dalla 1* proprietà risulta che ogni punto limite sulla linea è tale anche nello spazio generale (def. II, 12), e dalla 2* proprietà risulta ancora che ogni punto che non è estremo per essa è punto limite di due serie di segmenti l'una sempre crescente, l'altra sempre decrescente a partire da un altro punto della linea. 1 * by the property that every point on the boundary line is such that even in the overall space (final II, 12), and from 2 * property is still that each point that is not for it is the extreme limit point of two series of segments l 'an ever-increasing, the other always descending from another point of the line. Oss. Oss. II. II. Non ci preoccupiamo di vedere se ogni sistema ad una dimensione che si chiama linea, sia compreso o no nella nostra definizione 2). We do not care to see if any system to a size that is called the line, whether or not included in our definition 2). Osserviamo soltanto che la linea materiale che può essere sostituita da una linea a tratti rettilinei, per la proprietà della retta che soddisfa alla def. We observe that the line only material that can be replaced by a line with rectilinear sections, for the property of the straight line which satisfies the final. I (teor. V. 10 e int. ci, 95) è compresa nella def. I (theor. V. 10 and int. Us, 95) is included in the final. I suddetta. The above. Non indaghiamo neppure se ogni linea o un segmento di essa che soddisfa alla def. Do not investigate even if every line or a segment of it that it meets the final. I sia rappresentabile o no con tutte le sue proprietà da una linea intuitiva (oss. emp.), perché ciò non occorre per le nostre ricerche 3). I can be represented or not, with all its properties by a line intuitive (oss. emp.), Because it is not necessary for our research 3). La linea semplice soddisfa pure alla def. The simple design also satisfies the final. I come risulta dalla def. I like the final result. I e dal teor. I and from theor.. VII, 13. VII, 13. Oss III, Non diamo la def. Oss III, do not give the final. della linea intuitiva perché in fondo non ne abbiamo bisogno per le nostre ricerche e d'altronde essa è compresa nella def. intuitive because the bottom line we do not need for our research and, moreover, it is included in the final. suddetta. above. Def. Def. IL Date più linee o segmenti di linee (def. I) (A) = ....AAT..,. THE Dates more lines or line segments (def. I) (A) AAT = .... ..,. -4m...., (B) = ...B...B}...By...Bm....y (C) E= ...a..Cl...C2...O, (X^X...^...^...*,*... ecc. in modo che i punti delle serie di esse (def. I e int. def. 1,62) si corrispondano univocamente e nel medesimo ordine (int. def. Ili, 42), non escluso però il caso che alcuni o tutti i punti di una o più serie coincidano, e che i punti di una o più serie coprano più volte una medesima linea o segmento di linea; il sistema di figure ...ABCD...X..., A^C^.X^.. ecc. si chiama sistema continuo di figure ad una dimensione. Le figure ...ABCD...X..., A^C^.X^.. si dicono consecutive, se AA19 BBÌ ecc. sono punti consecutivi delle linee (A), (B) ecc., essendo punti consecutivi AA quelli pei quali (AAJ diventa più piccolo di ogni segmento dato della linea (A). Le linee o segmenti di linea dati si chiamano linee dei punti corrispon- denti delle figure del sistema; le quali, per ciò che si è detto, possono ridursi anche ad un solo punto, oppure possono coprire più volte una stessa linea o uno stesso segmento di linea. Def. III. Se la corrispondenza fra i punti di due figure qualunque del sistema ad es. ...ABC...X..., ...A^C^.X^... è una corrispondenza d'identità (oas. IH, 15) e le parti corrispondenti delle due figure in questa corrispondenza sono pure corrispondenti nella corrispondenza del sistema continuo, chiama- remo questo sistema sistema continuo ad una dimensione di figure invariabili (vedi più sotto oss. II). XXVII) Rimanendo nel solo campo finito, valendo sempre l'ass. V d'Archimede fra i segmenti rettilinei è inutile parlare di campo finito e di unità finita, lo si intende tacitamente. 1) Non ci occorre di dare la def. -4m ...., (B) = B} ... ... B. .. By ... Bm .... y (C) E = a .. ... ... Cl C2. O .., (X ^ X. .. ^ ^ ... ... *, * ... etc.. so that the points of the series of them (def. I and int. def. 1.62) is correspond uniquely and in the same order (int. final. Ill, 42), but not excluding the case that some or all of the points of one or more series coincide, and that the points of one or more series cover more times the same line or line segment, the system figures ... ABCD ... X. .., A ^ C ^. X ^ .. etc.. called continuous system of one-dimensional figures. Figures ... ABCD ... X. .., A ^ C ^. X ^ .. are said to be consecutive, if AA19 BBI etc.. are consecutive points of the lines (A), (B), etc.., being those for whom consecutive points AA (AAJ becomes smaller of any given segment of the line (A). lines or line segments are called data lines of the corresponding points of the figures of the system; which, for what has been said, can be reduced even to a single point, or they can cover several times the same line or same line segment. Def. III. If the correspondence between the points of two figures of any such system .... ABC ... X. .., A ^ C ... ^. X ^ ... is a correspondence of identity (oas. IH, 15) and the corresponding parts of two figures in this correspondence are also in correspondence with the corresponding continuous system, this system called paddle-continuous system to a size of invariable figures (see below oss. II). XXVII) in the only remaining finite field, always being worth the ass. V Archimedean between line segments is useless to speak of finite field and a complete unit, it tacitly. 1 ) We do not need to give the final. di linea in senso assoluto. line in an absolute sense. 2) Come abbiamo detto più volte non ci preoccupiamo di dare delle definizioni generali che val- gano in ogni caso (vedi ad es. i'int. nota, 4), ma definizioni che servano nei casi che noi consideriamo e che comprendano gli enti già chiamati collo stesso nome. 2) As we have said many times we do not care to give some general definitions that val-Gano in each case (see eg. I'int. Note 4), but definitions that serve in the cases that we consider and understand bodies already called with the same name. 3) Se si ha una funzione continua qualunque y = f (or) nell'intervallo (ab) (vedi ad es. Dini 1. e. pag, 35-37 e 46} rappresentando questa funzione nel piano Euclideo (#y), vediamo ohe tutti i punti determinati dalla y considerati nell'ordine dei valori corrispondenti di x nell'intervallo (ab] determi- nano un segmento (AB) di un sistema ad una dimensione di punti che soddisfa alla def. i. Ma la y può anche non ammettere in tutti i punti la derivata e quindi la linea cosi ottenuta non ammettere la tangente come la linea intuitiva (Dini 1. e. pag. 67); ed anche se l'ammette perché sia rappresenta- bile con una linea intuitiva occorre che la serie delle tangenti sia pure continua (oss. emp.}. 3) If you have any continuous function y = f (or) in the interval (ab) (see eg. Dini 1. And. P, 35-37, 46} representing this function in the Euclidean plane (# y), Ohe see all the points determined by the y considered in the order of the corresponding values of x in the interval (ab] determined nano a segment (AB) of a system of points to a dimension that it meets the final. i. But the y can Also not to admit at all points in the derivative, and then the line thus obtained does not admit the tangent line as intuitive (Dini 1. and. p. 67), and even if the admits because both represents-bile with a line should be intuitive that the series of bribes even continuous (oss. emp.}.
Page 277 Page 277277 t)ef. 277 t) f. IV. IV. Se i gruppi ordinati (A), (B) della def. If the ordered groups (A), (B) of the final. Ili sono situati in una retta e se i segmenti fra le coppie di punti corrispondenti sono uguali, (AB) = (A^) ecc., il sistema si chiama sistema continuo di segmenti invariabili sul- la retta. Ill are located in a straight line and if the segments between the pairs of corresponding points are equal, (AB) = (A ^) etc.., The system is called a continuous system of segments invariable on-the straight line. Oss. Oss. IV. IV. Noi avremo da occuparci principalmente dei sistemi continui di figure invariabili. We will mainly deal with continuous systems of figures invariant. Si può avere un sistema continuo di segmenti (def. II). You can have a continuous system of segments (def. II). (AB),(A^) ecc. (AB), (A ^) etc.. senza però che i segmenti delle coppie di punti corrispondenti siano uguali. without that segments of the pairs of corresponding points are equal. Ciò suc- cede ad es. This gives suc-eg. se nel segmento (AB) vi è un punto X nel quale coincidono tutti i punti del gruppo (X) (def. II). if in the segment (AB) there is a point X in which meets all the points of the group (X) (def. II). Se Al è compreso in (AX) Bl dovrà essere fuori del seg- mento (XB) nel verso di (AB), e tale che (AB) = (^#1) (coroll. I, teor. Ili, 4; int def. I, 61 ed, 73). If Al is included in (AX) Bl must be outside the segment (XB) in the direction of (AB), and such that (AB) = (^ # 1) (coroll. I, theor.. Ill, 4; int final. I, 61 and 73). Ma in tal caso non è (AX)^ (A1X1)^(A1X) e neppure (XB)~(XBÌ) i). But in that case is not (AX) ^ (A1X1) ^ (A1X) and even (XB) ~ (XBi) i). Oss. Oss. V. V. Badiamo che le definizioni di questo numero sono subordinate alla esi- stenza delle figure definite, e che noi dimostreremo per ogni spazio particolare di cui ci occuperemo. Mind you that the definition of this number are subject to the existence of figures defined, and we will prove that for each particular space which will be discussed. Nello spazio generale mediante i teor. In general space using the theorem. del n. of n. 16 e 17 e il teor. 16 and 17 and the theorem. II, del n. II, n. 31 e il teor. 31 and the theorem. IV del n. No IV. 12 possiamo costruire di tali sistemi. 12 we can build these systems. Teor. Teor. I. I. In ogni sistema continuo di segmenti invariabili sulla retta, i segmenti sono congruenti. In any continuous system of invariable on the line segments, the segments are congruent. Siano (AB), (A^) due segmenti qualunque del sistema e quindi uguali (def. IV). Are (AB), (A ^) any two segments of the system and therefore equal (final IV). È da osservare intanto che ad ogni punto Al del segmento (AB) non può corrispondere nel sistema un punto B1 dello stesso segmento, perché non sarebbe (AB)=(A1B1) (ass. II, ae int. def. I, 61; d, 73). It should be noted that while every point of the segment (AB) can not be a point in the system B1 in the same segment, because there would be (AB) = (A1B1) (abs. II, ae int. Def. I, 61; d, 73). 1) Supponiamo dapprima, essendo Aì interno ad (AB), che (A^,) sia diretto nel verso opposto. 1) Suppose, first, Being on the inside to (AB), that (A ^,) is directed in the opposite direction. Il punto Bl dovrà essere flg 23 0 B1 B, ft At B compreso nel segmento (AB) simmetrico di (AB\ rispetto ad A (def. II, 35) perché (A^) = (AB'), e. 23, b 5 ^ --------1 ed essendo Ax fuori del segmento (AH) in (AB). ^ g( B ^ Se (A^) contenesse (AB') non sarebbe ad esso flg,23, e " *'' uguale (int. def. I, 61 od, 73, b, 61), e quindi nep- *--------ij-------i pure ad (AB) (int. def. II, 61). Ai punti Br in- terni di (J^A) non possono corrispondere punti Ar di (AA,), perché non sarebbe ( Ar Br ) = (ABl) = (AB) (def. I, 61 od, 73) e quindi ai punti Ar di (AA^ devono corrispondere punti Br fuori del segmento (BB}) non potendo nemmeno ad essi corrispondere per la stessa ragione punti di (A,B). Ora ai punti di (AAj)che determinano un continuo, corrispondono dunque univocamente i punti dell'altro segmento determinato da B e Bl che non con- tiene A (def. IV). Ma fuori del segmento (BBJ si può scegliere un punto Br tale che non sia ( Ar Br ) = (AB) ; basta che (BBr) sia maggiore di (AA^, dunque è assurdo che (A^B,) sia in questo caso di verso opposto ad (AB), e quindi è congruente con (AB) (def. I, 35) (flg. 23, a). 2) Se invece AT è fuori del segmento (AB), ad es. nel verso da B ad A, e (A^) non è dello stesso verso di (A ), ad ogni punto Ar di (AAj) non può corrispondere un punto Br fuori del segmento (AB) nel verso di (AB) i) Col linguaggio del movimento (int. 67) ciò vorrebbe dire che la parte (AX) si accorcerebbe, mentre si allungherebbe la parte (XB) di altrettanto, in modo da mantenere l'uguaglianza fra (AB) e (AIS1), ma non la invariabilità. The point Bl must be flg 23 0 B1 B, ft At B included in the segment (AB) of symmetrical (AB \ respect to A (final II, 35) because (A ^) = (AB '), and. 23, b 5 ^ -------- 1 Ax and being outside of the segment (AH) (AB). g ^ (B ^ If (A ^) contained (AB ') would not have to it flg, 23, and "*'' equal (int. final. I, 61 or, 73, b, 61), and then n and p-ij * -------- ------- well as to the (AB) ( int. def. II, 61). paragraphs Br in-terni of (J ^ A) can not match the points of Ar (AA), why would not (Ar Br) = (ABl) = (AB) (def. I, or 61, 73) and then to points of Ar (AA ^ must match points Br outside of the segment (BB}) can not even correspond to them for the same reason points (A, B). Now to the points of ( AAJ) that determine a continuous, therefore, are uniquely determined by the points of the other segment B and Bl, which does not contain A (def. IV). But outside of the segment (BBJ you can choose a point that is not Br ( Ar Br) = (AB); enough that (BBr) is greater than (AA ^, therefore it is absurd that (A ^ B) is in this case in the opposite direction to (AB), and then is congruent with (AB) (final I, 35) (Fig. 23, a). 2) If AT is outside of the segment (AB), eg. in the direction from B to A, and (A ^) is not of the same direction of ( A), at each point of Ar (AAJ) can not match a point Br outside of the segment (AB) in the direction of (AB) i) With the language of movement (int. 67) this would mean that the part (AX) is shorten, while lengthen the part (XB) of the same, so as to maintain the equality of (AB) and (AIS1), but not the invariability.
Page 278 Page 278perché (ArBr) avrebbe per parte (AB), mentre deve essere ad esso identico. because (ArBr) would have to part (AB), while it must be identical to it. Né può corrispondere ad Ar un punto fuori del segmento (A^B^ nel verso di (A^) perché ( Ar Br ) avrebbe per parte ( A}BJ. Dunque ad Ar deve corri- spondere un punto Br del segmento (BBJ. Ma si può sempre scegliere in questo segmento un punto Br tale che ( Ar Br ) non sia uguale ad (AB) (def. IV), e quindi è impossibile anche in tal caso che (BBJ sia di verso opposto ad (AB). 3) Rimane finalmente il caso in cui Al sia fuori di (AB) nel verso di (AB) ; ma è facile vedere che si ricade in uno dei casi precedenti. Invero se (A^) è di verso opposto ad (AB), e B\ cade in (AB), essendo(BA)^(A1B1) (ini. g, 99), e quindi considerando invece i segmenti (B^AJ, (AB), V elemento B cade in (BjAJ, come Al cade in (AB) nel caso 1); oppure Bì cade fuori di (AB) sempre nel verso di (AB), che altrimenti (A^) conterrebbe come parte (AB); ed allora considerando (B^A^ V elemento B cade fuori di questo segmento nel verso (A^) e si ricade nel caso 2). Dim. 2* Se Al si accosta indefinitamente ad A, Bl deve avvicinarsi inde- finitamente a B per la corrispondenza fra i punti (A) e (B) (def. II), e quindi se AI è interno ad (AB), Bl deve esser quanto si vuole vicino a B ma fuori di (AB), dovendo essere (AB)^(AlBì)(mi. a, 99), e quindi (AB), (A^B^ sono dello stesso verso. Se invece Aì è fuori di (AB) e quanto si vuole vicino ad A, Bl do- vrà essere per la stessa ragione quanto si vuole vicino a B e dentro di (AB). Quindi se (AB) e (A,BJ sono consecutivi, sono dello stesso verso. Ora, dato un segmento (AAJ, esso si può considerare come somma di parti piccole quanto si vuole o indefinitamente piccole (int. 105 e def. I, 95), e quindi valendo la pro- prietà per ogni segmento (A^) consecutivo di (AB), il teor. è dimostrato. Corali. Due segmenti simmetrici non possono mai appartenere ad un si- stema continuo di segmenti invariabili (def. II, 35). Teor. IL In un sistema continuo di segmenti invariabili i segmenti non possono avere punti corrispondenti comuni (teor. I, 35, e teor. I). Teor. III. Dati due segmenti (AB), (A^) qualunque di un sistema con- tinuo di segmenti invariabili sulla retta, i segmenti di due punti corrispon- denti qualunque del sistema sono congruenti (teor. II, 35 e teor. I). Teor. IV. Una coppia di segmenti congruenti (AB) e (A^) della retta fa parte di un sistema continuo di segmenti invariabili in un dato verso di essa. Basta far corrispondere A ad A19 B a Blf e ai punti di (AAJ, nello stesso ordine i punti di (BBJ in modo che i segmenti fra i punti corrispondenti siano uguali ad (AA^, il che è in ogni caso possibile essendo (AA^ = (BB^) (teor. II, 35 e teor. a ed e, 99). Nor can correspond to a point outside the segment Ar (A ^ B ^ in the direction of (A ^) because (Ar Br) would have the part (A} BJ. So Ar must correspond to a segment of the Br (BBJ. But it can always select a point in this segment such that Br (Ar Br) is not equal to (AB) (def. IV), and so it is impossible even in that case that (BBJ is in the opposite direction to (AB). 3) remains finally the case in which Al is out of (AB) in the direction of (AB), but it is easy to see that it falls within any of the previous cases. Indeed if (A ^) is opposite to (AB), and B \ falls in (AB), being (BA) ^ (A1B1) (ini. g, 99), and then considering the other hand the segments (B ^ AJ, (AB), V element B falls into (BjAJ, such as Al falls in (AB) in the case 1), or Bi falls out of (AB) always in the direction of (AB), which otherwise (A ^) contains as a part (AB); and then considering (B ^ A ^ V element B falls outside this segment in the direction (A ^) and falls in case 2). Size 2 * If the approaches indefinitely to A, Bl must approach inde-finitely to B for the correspondence between the points (A) and ( B) (def. II), and then if AI is internal to (AB), Bl, must be as desired near B but outside of (AB), having to be (AB) ^ (Albi) (Mic. to, 99 ), and then (AB), (A ^ ^ B are of the same direction. If AI is out of (AB) and how much you want close to A, Bl do-vra be for the same reason as you want near B and within (AB). So if (AB) and (A, BJ are consecutive, are of the same direction. Now, since a segment (AAJ, it can be considered as the sum of parts as small as you want or indefinitely small (int . 105 and final. I, 95), and then being valid the pro-properties for each segment (A ^) of a row (AB), the theor.. is shown. Corali. Two symmetrical segments can never belong to a sys-tem continuous segments invariable (final II, 35). Teor. THE In a continuous system of segments invariable segments may not have corresponding points common (theor. I, 35, and theor.. I). Teor. III. Given two segments (AB), (A ^) any of a system with continuous-invariable of segments on the line, the segments of two points corresponding any of the system are congruent (theor. II, 35 and theor.. I). Teor. IV. a pair of congruent segments (AB) and (A ^) of the straight line is part of a continuous system of segments in a given invariable towards it. Just to match A to B to A19 Blf, and the points (AAJ, in the same order points (BBJ so that the segments between the corresponding points are equal to (AA ^, which is in each case being possible (AA ^ = (^ BB) (theor. II, 35 and theor.. a and e, 99).
Page 279 Page 279279 23. 279 23. Assioma, pratico Movimento reale sulla retta xxvni). Axiom, practical real movement on the right xxvni). 37. 37. Ose. Ose. emp. emp. Per potere costruire sopra un oggetto rettilineo (int. flg. I) o su oggetti rettilinei diversi due segmenti uguali (oss. V,4), abbiamo bisogno di un mezzo pratico, che non ci è dato dagli assiomi e dalle ipotesi precedenti, i quali se bastano allo svolgi* mento teorico della geometria, non bastano però per le pratiche applicazioni di essa. To be able to build on a straight object (int. fig. I) or on different objects straight two equal segments (oss. V, 4), we need a practical way, that there is given by the axioms and the above assumptions, the as if * enough to svolgi tion theory of geometry, are not sufficient for practical applications of it. Ora ricorrendo all'esperienza, se un corpo si muove in un mezzo tìsicamente omogeneo noi intuì ti amo, osservando il corpo in due posizioni diverse, che nella seconda posizione il corpo occupa un luogo uguale al luogo occupato dapprima, e in modo che le parti del luogo occupato da una stessa parte del corpo sono uguali. Now resorting to the experience, if a body moves in a medium physically homogeneous we sensed I love, observing the body in two different positions, that in the second position the body occupies a place equal to the place occupied at first, and so that the parts the place occupied by a same part of the body are equal. Diciamo perciò che il corpo può muoversi senza deformazione. Thus we say that the body can move without deformation. Vediamo inoltre che un punto mate- riale qualunque di un corpo a partire da un punto dato può muoversi nel luogo occupato da ogni oggetto rettilineo passante pel punto dato, occupando la posizio- ne di tutti gli altri punti dell'oggetto. We also see that a point mate-rial any of a body from a given point can move in the place occupied by each object passing straight through the point given, occupying the posi-tion of all the other points of the object. Diremo per ciò che il corpo può muoversi li- beramente. We will say for what the body can move them-beramente. L'assioma pratico che serve alle pratiche applicazioni della geometria è il seguente: Un corpo può muoversi senza deformazione. The practical axiom that serves to practical applications of the geometry is the following: A body can move without deformation. Oss. Oss. I. I. Questo assioma suppone evidentemente una proprietà dello spazio in- tuitivo (oss. emp. I) e cioè che nella forma astratta ad esso corrispondente esistano sistemi continui di figure invariabili (def. Ili, 36) analoghe a quelle dei sistemi de- scritti dal corpo in movimento, la cui esistenza noi invece dimostreremo colla co- struzione di questa figura astratta 1). This axiom evidently supposes properties of the space in-tuitivo (oss. emp. I) and that is that in abstract form corresponding to it there are continuous systems of figures invariable (final Ill, 36) similar to those of the systems de-written from the body in motion, but we prove the existence of which glue build-ing of this abstract figure 1). Trattando del movimento astrattamente, ammettendo cioè il principio che un cor- po si muove effettivamente nel mondo esterno e non nel senso del n. In dealing with the abstract movement, admitting that the principle that a cor-bit actually moves in the external world and not in the sense of n. 67 dell'introdu- zione e che abbiamo talvolta usato fin qui per comodità di linguaggio, lascieremo ai punti del corpo piena libertà di movimento fra loro, in modo cioè che ogni punto possa muoversi indipendentemente dagli altri, intendendo altresì col Uberamente che possa essere assoggettato a tutte le condizioni, compatibili colle proprietà dell'am- biente in cui si muove rispetto agli altri punti. 67 of the introduction and that we sometimes used to date for ease of reference, we leave the points of the body freedom of movement between them, so that every point can move independently from the others, meaning that it can also be introduced with Uberamente all conditions, compatible with local properties of the environment in which it moves to the other points. Diamo il seguente assioma, che chiameremo ugualmente pratico non avendo bi- sogno di esso per la teoria. Let the following axiom, called also handy not having bi-dream of it for the theory. Ass. IIpratico. Ass IIpratico. I punti di una figura qualunque possono muo- versi liberamente è indipendentemente gli uni dagli altri descri- vendo ciascuno una linea intuitiva, in modo però che le posizioni dei punti della figura corrispondano univocamente e nel mede- simo ordine alle posizioni successive, non escluso però che più punti possano occupare lo stesso luogo in una posizione succes- siva 2). The points of a figure can be any moving around freely is independently from each other describe each sell a line intuitive, yet so that the positions of the points of the figure correspond uniquely and in beacons-th order to successive positions, not excluded, however, that more points can occupy the same place in a successive-sive 2). Def. Def. I. I. Un punto e una figura, i cui punti non si muovono, si chiamano fissi. A point and figure, whose points do not move are called fixed. XXVIII) Mentre l'assioma I pratico nel solo campo finito diventa un assioma necessario (note XVI, XVIUJ, l'assioma pratico del movimento rimane tale anche pel solo campo finito cogli assiomi II e II'. 1) Vedi Libro 111 di questa parte e pref. XXVIII) While the axiom The only practical in the finite field becomes an axiom necessary (sixteenth notes, XVIUJ, the axiom of practical movement remains so for the sole finite field Seize axioms II and II '. 1) See Book 111 of this part and pref. 2) la questo modo la corrispondenza tra una posizione e la successiva o univoca, ma può non es- sere reciproca (int. def. Il, 42). 2) the this way, the correspondence between a position and the next or unique, but it can not be es-reciprocal (int. final. The, 42). Ritenendo però i punti che vengono a coincidere in un punto come distinti, la corrispondenza è anche reciproca. Considering, however, the points that are to coincide at a point as distinct, the correspondence is also reciprocal.
Page 280 Page 280280 055. 280 055. II. II. Le posizioni dei punti della figura ci danno le posizioni della figura stessa. The positions of the points of the figure gives us the positions of the figure itself. Teor. Teor. I. I. Se un segmento (AB) si muove sulla retta, descrive un sistema continuo di segmenti sulla retta. If a segment (AB) moves to the line, describes a continuous system of segments on the line. Difatti ogni punto del segmento descrive una linea intuitiva che è la retta o un tratto di retta (ass. II. pr.), che può ridarsi anche ad un punto in casi speciali (ass. II, pr.), e in modo che le posizioni diverse di due punti X, X^ J 2..., Yf Y19 y2..., si corrispondono nel medesimo ordine (ass. II pr.), e quindi se Xl si avvicina indefinitamente a X, Ti si avvicina indefinitamente a Y e in- versamente; dunque la def. In fact, every point of the segment describes a line interface that is the straight line or a stretch of straight line (abs. II. Pr.), Which can ridarsi even to a point in special cases (abs. II, pr.), And so that the different positions of two points X, X ^ J 2 ..., Yf Y19 y2 ..., correspond to each other in the same order (abs. II pr.), and then if Xl approaches indefinitely to X, Ti approaches indefinitely Y and inversely; therefore the final. II, 86 sulla retta è soddisfatta. II, 86 on the right is met. Oss. Oss. III. III. Liberamente significa qui che il segmento può muoversi secondo tutti i sistemi continui di segmenti possibili sulla retta. Freely here means that the segment can move at all possible segments of continuous systems on the line. Def. Def. IL Se una figura muovendosi descrive un sistema di figure invaria- bili (def. Ili, 36) diremo che si muove senza deformazione. IL If a figure moving figures invariably describes a system-tion (def. Ill, 36) say that it moves without deformation. Teor. Teor. IL Un segmento può muoversi sulla retta rimanendo invariabile. THE A segment can move straight on remaining invariable. Basta obbligare i punti del segmento a percorrere i gruppi di punti cor- rispondenti di un sistema continuo di segmenti invariabili di. Just force the points of the segment to follow groups of points cor-responding to a continuous system of invariable segments. cui fa parte il segmento dato (ass. II pr. def. Ili, 36 e oss. III). which is part of the given segment (abs. II pr. def. Ill, 36 and oss. III). Oss. Oss. IV. IV. La possibilità di questo movimento evidentemente deriva dall'esistenza sulla retta del sistema suddetto, la quale dipende dalla omogeneità e dalla continuità della retta (teor. II, teor. Ili e coroll. II, ass. II, a, 4). The possibility of this movement clearly arises from the right of that system, which depends on the homogeneity and continuity of the line (theor. II theorem. Ili and coroll. II, Ch. II, a, 4). Oss. Oss. V. V. Siccome non considereremo nelle nostre ricerche che il solo movimento senza deformazione, che serve come dicemmo allo scopo di eseguire praticamente le nostre costruzioni nel campo esterno, così quando parleremo d'ora innanzi del movi- mento di una figura intenderemo il movimento senza deformazione, dimostrando però prima, come abbiamo fatto per la retta, la esistenza di sistemi continui di figure invariabili nell'ente che noi dapprima costruiremo. Since we will not consider in our research that the only movement without deformation, which serves as told in order to run our buildings virtually in the outfield, so when we talk from now on the move-ment of a figure shall understand the movement without buckling, demonstrating But first, as we did for the straight line, the existence of continuous systems to figures invariable nell'ente we first build. Def. Def. HI. HI. Se un segmento si muove sulla retta in una data direzione de- scrivendo un sistema di segmenti invariabili, diremo che scorre sulla retta in una data direzione. If a segment is moving in the right direction in a given de-writing system invariable segments, we say that the line runs in a given direction. La proposizione : un punto che si muove in una data direzione sulla retta, significa che le posizioni di ogni punto A sono situate in un dato verso a par- tire da A sulla retta (def. II, 62). The proposition: a point which moves in a given direction on the line, means that the positions of each point A, are located in a given towards a par-tire on the straight line from A (final II, 62). Così pel segmento. So ELP segment. Teor. Teor. IIL Un segmento che scorre sulla retta rimane congruente a sé stesso (teor. I, 36). IIL A segment that runs on the straight line is congruent to itself (theor. I, 36). Teor. Teor. IV. IV. Quando di un segmento in una retta si tien fisso un punto, esso non può scorrere sulla retta (vale a dire tutti gli altri punti del segmento ri- mangono fissi), (teor. II, 36, def. I e def. III). When a segment in a straight line one takes a fixed point, it can not slide on the straight line (ie all the other points of the segment re-mangono fixed), (theor. II, 36, def. I and final. III) . Teor. Teor. V. V. Quando un segmento scorre sulla retta in uno o nell'altro verso, in ogni posizione i segmenti descritti dai suoi punti sono congruenti (teor. Ili, 36 e def* III). When a segment on the straight runs in one direction or the other, in each position the segments described by its points are congruent (theor. Ill, 36 and final * III). Teor. Teor. Vi. There. Due segmenti congruenti della retta possono trasportarsi senza deformazione l'uno sulf altro (teor* IV, 36 e def. II). Two congruent segments of the line could be transported without deformation of each other sulf (theorem * IV, 36, and def. II). Teor. Teor. VÌI. VII. Due segmenti simmetrici non possono trasportarsi V uno sul- V altro, senza defecazione sulla retta (coroll* teor. I, 36 e def. II e III). Two symmetrical segments could be transported on a V-V otherwise, without defecation on the line (* coroll theorem. I, 36 and def. II and III).
Page 281 Page 281li. them. IL PIANO. THE PLAN. CAPITOLO I. CHAPTER I. Il fascio di raggi e il piano Euclideo. The beam and the Euclidean plane. 1. 1. Settori angolari ed angoli di un fascio di raggi xxiX). Angular sectors and corners of a beam of rays XXIX). 38. 38. Def. Def. I. I. Una parte qualunque di un fascio di raggi limitata a due raggi aeb (teor. I e def. 1,30; e int. def. I, II, 62 e def. II, 27) si chiama settore angolare del fascio, o semplicemente settore ; aebi lati, R il vertice del set- tore angolare. Any part of a beam of rays limited to two rays a and b (theor. I and final. 1.30; and int. Def. I, II, 62 and final. II, 27) is called angular sector of the beam, or simply industry; aebi sides, the top R corner of the sector. Se A e B sono i punti della retta direttrice r del fascio, che determinano con R i raggi aeb, chiameremo lati anche i segmenti (RA) ed (RB). If A and B are the points of the straight line r director of the beam, which determine the radii R with a and b, we will call sides also the segments (RA) and (RB). Oss. Oss. I. I. Per la corrispondezza univoca fra i raggi del fascio ei punti della retta direttrice completa (teor. I, 30) ad ogni segmento di questa corrisponde un settore angolare del fascio, e inversamente. For corrispondezza unique among the rays of the beam and the points of the line manager complete (theor. I, 30) to each segment of this corresponds to an angular sector of the beam, and inversely. Def. Def. IL Angolo di due raggi estremi di un settore angolare è il settore stesso considerato come sostitìuibile da ogni altro settore ad esso uguale in ogni unione con altri settori 1). THE extreme angle of two beams of an angular sector is the sector itself considered sostitìuibile from any other area equal to it in any union with other areas of 1). Oss. Oss. II. II. Quando sarà indifferente considerare l'angolo in luogo del settore an- golare, sostituiremo spesso, anche per seguire I9uso comune, la parola angolo alla parola settore angolare, come ciò può farsi per le parole distanza e segmento, seb- bene queste come le prime denotino enti diversi. When it is indifferent to consider the angle instead of an industry-lar, we will replace often, even to follow I9uso common word to the word angle angular sector, as this can be for distance and segment words, although how well these first denote different entities. Ind. I. Ind. I. Il settore angolare o l'angolo determinato dal segmento (41?) col XXIX) Sia coli' ass. The field angle or the angle determined by the segment (41?) With XXIX) Whether coli 'ass. Il come coir ass. The coir like ass. II' (nota IV) la definizione e le proprietà del fascio si possono dare al posto indicato nella nota XLI. II '(note IV) the definition and properties of the beam can give the place indicated in Note XLI. 1) L'angolo di due raggi in un settore angolare è la grandezza intensiva del settore, come la di- stanza di due punti A e B in un segmento (AB) è la grandezza intensiva del segmento (nota, 2; def. I, 5; int. def. li, aee, ili). 1) The angle of two beams in an angular sector is the largest intensive industry, such as the dis-tance of two points A and B in a segment (AB) is the intensive quantity of the segment (note 2; final. I , 5, int. def. them, EEE, pi). Vedi nota del n. See note no. 40. 40.
Page 282 Page 282282 punto R lo indicheremo anche coi simboli R. 282 point even with the R symbols denote the R. (AB) oppure ARB od anche ERA. (AB) or ARB or even ERA. Def. Def. IH. IH. Diremo che il settore angolare, o l'angolo R.AB è compreso fra i suoi lati RA, RB oppure (RA) e (RB) (def. I). We say that the angular sector, or the angle R.AB is between its sides RA, RB or (RA) and (RB) (def. I). 0*5. 0 * 5. III. III. Come due punti A e B della retta r completa (ip. V e def. I, 29) determi- nano due segmenti su di essa che insieme presi danno T intera retta (int. e, 64), così i due raggi aeb oppure RA, RB determinano nel fascio due settori angolari che co- stituiscono r intero fascio (teor. I, 30). As two points A and B of the full line r (V ip. and def. I, 29) nano-determination of two segments taken together give it that whole line T (int. and 64), so the two beams a and b or RA, RB determine beam in two angular sectors which co-stituiscono r entire beam (theor. I, 30). Def. Def. IV. IV. Per settore angolare ed angolo di due raggi in un fascio inten- deremo sempre il più piccolo, quando non determinano due settori angolari uguali, nel qual caso si potrà considerare l'uno o l'altro qualora non occorra tener conto della loro diversità. For angular sector and angle of the two beams in a beam intend deremo always the smallest, when not determine two equal angular sectors, in which case it may be considered, one or the other if there is no need to take into account their diversity. Oss. Oss. IV. IV. Quando è dato il settore angolare (ab) intenderemo, ove non dire- mo diversamente (int. ind. I. 64), che il suo verso sia quello che da a conduce a#. When given the angular sector (ab) shall understand, if not to say unlike-m (int ind. I. 64), that his verse is the one that leads to a #. Analogamente coi simboli ARB^ R.(AB) intenderemo che il verso è dato da RA a RB. Similarly with the symbols ^ R. ARB (AB) shall understand that the direction is given by RA to RB. Def. Def. V. V. Ogni settore angolare del fascio i cui lati sono due raggi oppo- sti aea' si chiama piatto. Each field angular beam whose two sides are opposite rays sti-a and a 'is called flat. Def. Def. VI. VI. Due settori angolari (ab), (db*) del fascio i cui .lati sono raggi opposti (def. I, 7), si chiamano opposti al vertice nel fascio. Two angular sectors (ab), (db *) whose beam. Sides are opposite rays (def. I, 7), are called vertically opposite in the beam. Def. Def. VII. VII. Due settori angolari (ab), (ba') del fascio che hanno un lato co- mune be gli altri due lati sono raggi opposti, si chiamono adiacenti. Two angular sectors (ab), (ba ') of the beam which have a com-mon side b and the other two sides are opposite rays, is adjacent chiamono. Oss. Oss. V. V. Da questa definizione risulta immediatamente che due settori adiacenti insieme presi danno un settore piatto (def. V). From this definition it is immediately adjacent to the two sectors taken together give a flat field (def. V). Def. Def. Vili. VIII. Se due settori adiacenti sono uguali si chiamano retti. If two adjacent sectors are equal are called right angles. Def. Def. IX. IX. Se il centro del fascio di rette o di raggi è ali1 infinito, il fascio si chiama anche fascio di rette o di raggi paralleli. If the center of the bundle of straight lines or rays ALI1 is infinite, the bundle is also called straight or beam of parallel rays. Quando parleremo perciò senz'altro di un fascio di raggi, intenderemo che il suo centro sia nel campo finito (oss. 31 e conv. 28). When we speak therefore undoubtedly of a beam of rays, shall understand that its center is in the finite field (oss. 31 and conv. 28). Def. Def. X. X. Il settore angolare di un fascio di raggi paralleli si chiama stri- scia, e le rette oi raggi che la limitano lati della striscia. The angular sector of a beam of parallel rays is called wake test strip, and the lines or the spokes that the limiting sides of the strip. Def. Def. XI. XI. Considerando le due coppie di raggi opposti a, a' ; be V situati su due rette ae jS di un fascio, i settori angolari o gli angoli (ab), ( #'), (a'b1) (b'a) si chiamano settori angolari ed angoli delle due rette. Considering the two pairs of opposing beams a, a '; V b and situated on two straight lines a and jS of a beam, the angular sectors or angles (ab), (#'), (a'b1) (B'A) is called angular sectors and corners of the two lines. Oss. Oss. VI. VI. Due punti distinti qualunque della retta la determinano nel sistema Euclideo (teor. Il, 30); ma non si può dire che due raggi aeb limitati in un punto R determinino un solo fascio. Any two distinct points of the straight line in the system determine the Euclidean (theor. The, 30), but can not be said that two rays a and b limited to a point R determine a single beam. Difatti se prendiamo sopra questi raggi due punti A e B, la retta AB determina con R un solo fascio (def. I, 30} ma non sappiamo an- cora se tutti i fasci che si ottengono considerando altre coppie di punti A e B sui raggi aeb coincidano. Se la retta direttrice del fascio non è ali' infinito e consideriamo su di essa due segmenti uguali qualunque (AB} e (CD), i settori angolari ARB, CRD non sono in in generale figure uguali. Infatti se A e B sono punti a distanza differente da R e se scegliamo il punto di mezzo M del segmento (AB), i due triangoli ARM, MRA non sono uguali, perché non hanno i tre lati uguali (teor. 11,15), e quindi, come ve- dremo in seguito, non sono uguali in generale nemmeno i settori ARM, MRB. In fact if we take over these two points A and B rays, the line AB with R determines a single bundle (def. I, 30}, but we do not know an-cora if all the bundles that are obtained by considering other pairs of points A and B on radii a and b coincide. If the director of the beam is not straight wings' infinity on it and consider any two equal segments (AB} and (CD), the angular sectors ARB, CRDs are not generally identical figures. In fact, if A and B are points at a distance different from R, and if we choose the middle point M of the segment (AB), the two triangles ARM, MRA are not equal, because they have the three equal sides (theor. 11.15), and then, as there shall see later on, are not equal in general even sectors ARM, MRB.
Page 283 Page 283283 2. 283 2. Il fascio (HO Settore angolare e angolo di due raggi. Prime proprietà, di essi Unità angolare xxx). The beam (HO Sector angle and angle of two beams. Basic properties of these units corner xxx). 39. 39. Oss. Oss. J. J. Data una retta r^ ali1 infinito noi possiamo considerarla come retta li- mite assoluta di ogni punto R del campo finito (teor. Ili, IV, 32). Given a line r ^ ALI1 infinity we can consider them as a straight mild-absolute of each point of the finite field R (theor. Ill, IV, 32). È da tenere presente che i campi limiti assoluti dei punti del campo finito coincidono rispetto alle unità finita e infinita, ma sono distinti in senso assoluto (teor. IV, 32), e quindi se la retta rM rispetto alle unità finita e infinita si può considerare come retta limite assoluta di due punti A e B del campo finito, in senso assoluto si sa però che queste due rette sono determinate e distinte. It should be noted that the absolute limits of fields of finite field points coincide with respect to finite and infinite unity, but are distinct in an absolute sense (theor. IV, 32), and then if the line rM units compared to finite and infinite can be regarded as an absolute limit of two straight points A and B of finite field, in an absolute sense it is known that these two lines are specific and distinct. Os . Os. II. II. Per il fascio (Hr^) valgono le stesse proprietà enunciate per i fasci (Rr), ma troviamo subito per esso altre proprietà che solo più tardi potremo esten- dere agli altri fasci quando cioè avremo dimostrato che tutti i fasci di raggi (Rr) sono identici. For the beam (Hr ^) apply the same properties set for the beams (Rr), but we suffered for it other properties that we only later extend-ing to the other bands that we have shown that when all the beams of radiation (Rr) are identical. Teor. Teor. I. I. Due segmenti (AMB^)t (C^D^) uguali della retta rM determinano due settori angolari uguali intorno al punto R. Two segments (^ AMB) t (C ^ D ^) equal to the line rM producing two equal angular sectors around the point A. Difatti i due triangoli A^RB^ C^RD^ sono uguali (teor. Ili, 34 e oss. I). In fact, the two triangles A ^ RB ^ ^ C ^ RD are equal (theor. Ill, 34 and oss. I). Teor. Teor. IL Due segmenti disuguali (A^BJ, (C^D ) tali che (A^ determinano due settori R^A^B^ #.(CooDoo) disuguali^ cioè R^A^B Questo teor. deriva dal teor. I, dalla def. del fascio di raggi per la corri- spondenza univoca e dello stesso ordine fra i raggi del fascio ei punti della retta (teor. I, 30) e per le def. I e II del n. 61 dell'introduzione. Coroll. I. Due settori uguali del fascio (RrM) determinano due segmenti uguali sulla retta r^. -Se i segmenti (A^B*), (C^DJ determinati dai due settori sulla retta r^ fossero disuguali i due settori sarebbero disuguali, contro il dato (teor. li e int. be ', 61). Teor. III. Ogni segmento finito rispetto alla retta completa r^ determina un settore finito rispetto aW intero fascio (Rr^). Difatti se (A^BJ, ( # ) della retta r sono finiti fl'a loro e se 1' uno non è multiplo dell'altro ed è (AoJ^XfC^Doo) vi è un numero m tale che -M) (int. e', 81) e quindi avremo R.( AB ) m ^CooDJ R.(AMBJ (m 4- 1) (teor. I, II) e perciò i settori R^A^B ), R.(C*D^ sono finiti fra loro (int. d, f , 81 e def. n. 82). XXX) Tutto questo paragrafo va naturalmente tralasciato limitandosi come snp- poniamo in queste note, al solo campo finito (nota I). THE two unequal segments (A ^ BJ, (C ^ D) such that (A ^ determine two fields R ^ A ^ B ^ #. (CooDoo) that unequal ^ R ^ A ^ B This theorem. Derived from the theorem. I, from the final. ray beam for the univocal correspondence and of the same order between the radii of the beam and the points of the straight line (theor. I, 30) and for the final. I and II of n. 61 of the introduction. Coroll . I. Two equal sectors of the beam (RRM) determine two equal segments on the line r ^.-If the segments (A ^ B *), (C ^ DJ determined by the two sectors on the line r ^ were unequal, the two sectors would be unequal against the data (theor. them and int. be ', 61). Teor. III. Each segment ended at line complete r ^ determines a finite field over the whole beam aW (^ Rr). In fact, if (A ^ BJ, (#) of the straight line r are finished fl'a them and if 1 'is not a multiple of the other and is (AOJ ^ ^ XFC Doo) there is a number such that m-M) (int. and', 81) and then we have R (AB) m ^ CooDJ R. (AMBJ (m 4 - 1) (theor. I, II) and therefore the fields R ^ A ^ B), R (C * D ^ are finished with each other (int d, f, 81, and def. n. 82). XXX) This paragraph is of course omitted as snp-limiting ourselves in these notes, only the finite field (note I).
Page 284 Page 284284 Teor. 284 Teor. IV. IV. Un fascio di raggi (Rr^) è identico nella posizione delie sue partì. A beam of rays (Rr ^) is identical in position Delie its left. Difatti la retta r* è identica nella posizione delle sue parti (ass. II, ae ip. I), e quindi a partire da un punto qualunque di essa esiste in uno e nel- l'altro verso un segmento uguale ad un segmento qualunque dato (coroll. li, teor. 111,4 e oss. Ili, 18), mentre a segmenti uguali della retta r^ corrispondono settori angolari uguali del fascio (Rr^) (teor. I, ini def. I, 70 e oss. II, 81). In fact, the straight line r * is identical to the position of its parts (abs. II, ae ip. I), and then starting from any point of it exists in one and in-the other towards a segment equal to a segment of any data (coroll. them, theorem. 111.4 and oss. Ill, 18), while at the same segments of the line r ^ equal angular sectors correspond beam (Rr ^) (theor. I, def ini. I, 70 and oss . II, 81). Teor. Teor. V. V. Un settore (ab) del fascio (Rr^) è uguale al settore (ba), vale a dire atto stesso settore percorso nel verso opposto. A sector (ab) of the beam (Rr ^) is equal to the sector (ba), ie act the same sector in the opposite path. Imperocché ciò ha luogo per ogni segmento (A^B^) della retta r^ (int. g, 99 ee, 104). Inasmuch as this takes place for each segment (A ^ B ^) of the straight line r ^ (int. g, 99 ee, 104). Teor. Teor. VI. VI. Due fasci di raggi i cui centri sono nel campo finito e le rette direttrici all'infinito, sono uguali in senso assolutoì se esse sono rette li- miti assolute dei due centri, o relativamente atte unità finita e infinita se le rette direttrici sono situate in campi limiti assoluti di due punti del campo finito. Two beams of rays whose centers are in the finite field and straight lines to infinity, are equal in the sense assolutoì them if they are straight-absolute myths of the two centers, suitable units or relatively finite and infinite lines if the lines are located in Fields absolute limits of two points of the finite field. Invero siano Rr9\ Rr'^i centri e le rette direttrici dei due fasci. Indeed they are Rr9 \ Rr '^ centers and straight lines of the two beams. Se sono rette limiti assolute di R e #, questi sono distanti dai punti delle rette r^ r\ di un segmento retto (teor. HI, 32), e quindi stabilita fra le due rette rM e r'n una corrispondenza d'identità (teor. VI, 15) e fatto corrispondere il punto R al punto R'f ad ogni triangolo RA^B* della prima figura (Rr^) corrisponde un triangolo uguale R'A'^ff^ della seconda (teor. HI, 17, teor. Ili, 34). If lines are absolute limits of R and #, these are distant from the points of the straight lines r ^ r \ of a straight segment (theor. HI, 32), and then established between the two straight lines rM and R'n a correspondence identity (theor. VI, 15) and scaled the R point to point to each triangle R'f RA ^ B * of the first figure (Rr ^) is a triangle equal R'a 'ff ^ ^ of the second (theor. HI, 17, theorem. Ill, 34). Quindi scelti due punti .Y e Y situati sui raggi RA^, RBW ad essi corrispondono due punti X' e Y in RA'W RB a distanze da R' uguali rispettivamente a quelle dei punti X e Y da R; dunque i due triangoli RXY, RX'Y sono uguali per avere due lati e la coppia da essi compresa uguale (teor III, 16) e perciò (XY) = (XT') (coroll. teor. Ili, 16). Then selected two points. Y and Y located on the spokes RA ^, RBW they correspond to two points X 'and Y in RA'W RB at distances from R' respectively equal to those of the points X and Y by R; therefore the two triangles Rxy, RX'Y are equal for both sides and the torque from them including the same (theor. III, 16) and therefore (XY) = (XT ') (theor. coroll.. Ill, 16). Dunque le due figure (RrJ, (-KVJ sono uguali (teor. Ili, 15). La seconda parte del teorema deriva in modo analogo dal teor. IV del n. 32. Teor. VII. Se date due rette AB, AC si scelgono su di esse due punti qua- lunque all'infinito B^C^ e (B^C*) è finito rispetto alle retta completa e la retta B^Cy, non coincide con una dette due rette rispetto aW unità infinita, le due rette sono distinte nel campo finito. Siccome la retta B^C^ non coincide con nessuna delle due rette AB^ ACM (teor. IV, 22), queste due rette sono distinte rispetto all'unità infinita (teor. V, 22), e perciò anche rispetto all'unita finita (teor. II, 31). Teor. Vili. Se due punti B^, Cw aW infinito nel campo limite assoluto di un punto A sono a distanza finita, i due raggi che congiungono A coi due pun- ti dati coincidono rispetto aW unità finita. Difatti il segmento (B^C^) è infinitesimo rispetto all'unità infinita e per- ciò le due rette AB , AG coincidono rispetto a questa unità (teor. II e oss., 31 e teor. Ili, 22), e perciò anche rispetto all'unità finita (teor. li, e oss. 31). Def. I. Per settori angolari di due raggi aeb limitati ad un punto R intenderemo sempre quelli considerati nel fascio determinato dal punto R e dal- Therefore, the two figures (RRJ, (-KVJ are equal (theor. Ill, 15). The second part of the theorem is derived in a similar manner from theor.. IV to n. 32. Teor. VII. If given two lines AB, AC is choose two points on them here indefinitely lunque-B ^ C ^ and (B ^ C *) is finished and complete with respect to the straight line B ^ Cy, does not coincide with those two lines than aW infinite unity, the two lines are distinct in the finite field. Since the line B ^ C ^ does not coincide with any of the two lines AB ^ ACM (theor. IV, 22), these two lines are distinct relationship to the infinite (theor. V, 22), and therefore also with respect to unity over (theor. II, 31). Teor. VIII. If two points B ^, aW Cw infinite in absolute limit of a point A is a finite distance, the two beams that connect A with the two pun-data will coincide aW than a complete unit. In fact, the segment (B ^ C ^) is infinite and infinitesimal compared to unity-that the two lines AB, AG coincide with respect to this unit (theor. II and oss., 31 and theorem. Ill, 22), and therefore also with respect to the unit over (theor. them, and oss. 31). Def. I. For angular sectors of the two beams a and b point to a limited R shall understand always the ones considered in the beam given from R-and
Page 285 Page 285285 la sua retta limite assoluta data dai suoi punti limiti assoluti in aeb (def. II, 32 e teor. Ili, 32), fintantoché non diremo diversamente. 285 to its absolute limit line given by its absolute limits in paragraphs a and b (def. II, 32 and theorem. Ill, 32), until they say otherwise. Oss. Oss. HI. HI. A segmenti uguali della retta r corrispondono settori angolari uguali intorno al punto R nel fascio (Rr^), e inversamente (teor. I e coroll. I, teor. II). At the same segments of the straight line r are equal angular sectors around the R point in the beam (Rr ^), and inversely (theor. I and coroll. I, theorem. II). Per misura dei settori angolari o degli angoli intorno al 'punto R appartenenti o no ad un medesimo fascio considereremo i segmenti o le distanze determinati dai punti li- miti assoluti sui loro raggi estremi rispetto al punto R. To measure the angular sectors or angles around the 'R point belonging or not to consider the same beam segments or distances determined by points them to their absolute limits as extreme rays at point A. E inversamente, come mi- sura dei segmenti di una retta r^ si possono considerare i settori angolari intorno al punto R, di cui r è una retta limite assoluta. Conversely, as a measure of the segments I-r ^ of a line can be considered the angular sectors around the point R, where r is an absolute limit line. (Vedi int. def. IV, 111). (See int. Def. IV, 111). Coroll. Coroll. I. I. Se due raggi RA, RB sono distinti rispetto aW unità del cam- po finito, essi determinano un settore finito. If two radii RA, RB are separate from the cam drive aw-some finished, they determine a finite field. Difatti se non fosse finito, ad esso corrisponderebbe un segmento infinite- simo (^oo^oo) sulla retta limite assoluta di R determinata dai raggi RA, RB, (teor. Ili) rispetto all'unita infinita, e quindi i due raggi non sarebbero distinti (teor. Vili). Indeed if it were not done, it would correspond to a segment endless-th (^ ^ oo oo) on the straight line R absolute limit determined by the rays of RA, RB, (theor. III) with respect to unity infinite, and then the two beams do not would be distinct (theor. VIII). Coroll. Coroll. IL Congiunti gli estremi di due segmenti (AB), (CD) finiti con un punto R fuori di (AB) e (CD), essi danno due settori (ab), (ed) finiti. THE Kindred the ends of two segments (AB) (CD) finished with a point outside of R (AB) and (CD), they give two sectors (ab), (and) finished. Perché R da con A e B, come con C e D, due raggi distinti essendo R fuori di AB e di CD rispetto all'unità del campo finito (teor. IV, 22). Because R with A and B, as with C and D, two distinct radii R being out of AB and CD with respect to the unit of the finite field (theor. IV, 22). Coroll. Coroll. III. III. In un triangolo ABC con un lato infinitamente piccolo V an- golo di vertice opposto è infinitamente piccolo (teor. V, 22). In a triangle ABC with one side V infinitely small angles to the opposite corner is infinitely small (theor. V, 22). Teor. Teor. IX. IX. Se due settori angolari hanno angoli uguali, i due settori sono uguali. If two angular sectors have equal angles, the two sectors are equal. Infatti ciò vale per due settori di un fascio (RrM), valendo tale proprietà pei loro segmenti all'infinito rispetto alle loro lunghezze (def. I, teor. I, 5); e vale pure per due settori di due tali fasci (teor. VI), e quindi per due set- tori angolari qualunque (def. I). In fact this is true for two sectors of a beam (RRM), whichever that property pei their segments indefinitely compared to their lengths (final I, theor.. I, 5), and also applies to two fields of two such beams (theor. . VI), and then for two angular sectors which any (final I). 40. 40. Teor. Teor. I. I. Due settori angolari che hanno i lati paralleli sono uguali ri- spettò ali' unità, del campo finito e infinito, e possono ritenersi tali anche in senso assoluto se non è stabilito diversamente. Two angular sectors that have parallel sides are equal re-wings it fell 'units, the field of finite and infinite, and can be regarded as such even in an absolute sense unless stated otherwise. Siano BAC, ffA'C i due settori; possiamo supporre che i punti all'infini- to -X^Yoo dei due raggi AB, AC rispetto all'unità finita siano punti limiti assolnti di A (def. II e coroll. teor. II, 32). Let BAC ffA'C the two sectors, we can assume that the points-to-X ^ all'infini Yoo of the two rays AB, AC are compared to unity finite limits assolnti points of A (def. II and coroll. Theorem. II, 32). Ma siccome sono situati anche nei raggi Aff, A' C possiamo supporre la stessa proprietà rispetto ad A'. But because they are also located in the rays Aff, A 'C we can assume the same properties with respect to A'. Le rette limiti assolute di A e A determinate dai punti li- miti assoluti dei raggi AB, AC; A' , A' C, che indicheremo con JH , y 2 ; XW ; YW , sono coincidenti anche ri- spetto all'unità infinita (teor. Ili, IV, 32). The absolute limits of straight lines determined by points A and A absolute myths them-rays AB, AC, A ', A' C, denoted by JH, y 2, XW, YW, are also coincident re-infinite compared to unity (theor. Ill, IV, 32). Rispetto a que- flg M sta unità i raggi paralleli coincidono, e quindi i segmenti limiti assoluti determinati dai due settori angolari suddetti, se non sono uguali in senso assoluto, differiscono di un infinitesimo rispetto all'unità infinita. Compared to this flg-M units is parallel rays coincide, and then the segments absolute limits determined by the two angular sectors mentioned, if they are not equal in the absolute sense, differ by an infinitesimal with respect to the unit infinite. Ma in tal caso si può considerare sulla retta limite di A' un segmento (X ) y' f)) = (XW YW ), che differisce dunque di un infinitesimo dal segmento (X( YW). Però congiungendo il punto A1 col punto Y'w) , questo raggio, sia relativamente / d^ But in that case can be considered on the straight boundary of A 'a segment (X) y' f)) = (XW YW), which differs thus from an infinitesimal segment (X (YW). But the joining point with the point A1 Y'w), this radius, is relatively / d ^
Page 286 Page 286286 all'unità finita come a quella infinita, si confonde col raggio A'F ossia A'Y^ (coroll. teor. II, 32) dunque il teor. 286 as a unit over to the infinite, is confused with the radius A'F A'Y ie ^ (coroll. theorem. II, 32) thus the theorem. è dimostrato (fig. 24) XXXI). is shown (Fig. 24) XXXI). Caroli. Caroli. I. I. Dati due segmenti qualunque (AB) e (CD) percorsi nel verso da A a B, da C a D, se dai punti di uno di essi, ad es. Data any two segments (AB) and (CD) paths in the direction from A to B, C to D, if from the points of one of them, eg. (AB), si tirano i raggi paral- leli all'altro, i settori angolari che questi raggi formano col raggio determi- nato da (AB), sono uguali. (AB), draw rays parallel equipotential to another, the angular sectors that these rays make with the radius determined by birth (AB), are equal. Difatti tiriamo ad es. In fact pull eg. da A e B i raggi paralleli al raggio determinato da (CD). from A and B rays parallel to the radius determined by (CD). I settori angolari che essi formano col raggio (AB) hanno un lato comune, e gli altri due lati paralleli; si possono dunque considerare come due settori angolari coi lati paralleli, e quindi sono uguali. The angular sectors that they form with the radius (AB) have a common side, and the other two parallel sides; are now being considered as two angular sectors with parallel sides, and therefore are equal. Oss. Oss. I. I. La definizione della misura di uà angolo di due segmenti o raggi (osa. IH. 39) suppone che i due segmenti si incontrino o siano limitati ad un punto comune. The definition of the extent of UA angle between two segments or rays (IH osa.. 39) assumes that the two segments meet or are limited to a common point. La suddetta misura può servire anche per due segmenti (AB), (CD) qualunque, di cui siano dati i versi nei quali debbono essere percorsi, o in altre parole siano dati i loro punti all'infinito (teor. I, e def. 11,33). This measure can also serve for two segments (AB) (CD), any of which are given the ways in which they should be covered, or in other words be given their points at infinity (theor. I, and def. 11:33). Invero due segmenti che non si tro- vano nelle condizioni precedenti non determinano un settore angolare, ma se dai punti di uno di essi si tirano i raggi paralleli all'altro, tutti i settori angolari che così si ottengono possono ritenersi uguali anche in senso assoluto, oltre che rispetto all'unità del campo e infinito. Indeed, two segments that are not in one-compartment under the above conditions do not result in the angular sector, but if from the points of one of them will pull the rays parallel to the other, all the angular sectors so that are obtained can be considered as equal in the absolute sense as well as compared to unity and infinity of the field. Dunque diremo: Def. So we say: Def. L Per angolo di due segmenti di cui è dato il verso s1 intende quel- lo che viene misurato dalla distanza dei punti limiti assoluti dei due raggi rispetto ad un punto del campo finito di ciascuno di essi 1). L To angle of two segments of which is given to the s1 means that-it is being measured by the distance of the points absolute limits of the two beams with respect to a point of the finite field of each of them 1). Coroll. Coroll. IL L'angolo di due segmenti paralleli diretti nello stesso verso è nullo; quello di due segmenti paralleli e di verso opposto è uguale ad un angolo piatto, (coroll. V e VI, teor. I, 33 ; coroll. I e def. I). THE The angle of two parallel segments directed in the same direction is zero; that of two segments parallel and opposite direction is equal to an angle plate, (coroll. V and VI, theor.. I, 33; coroll. I and final. I). J)ef. J) f. IL Vangolo che corrisponde all'unità di misura delle distanze nel campo infinito (conv. 28) chiamasi unità angolare fondamentale, od anche unità angolare non usandone altre, come faremo noi. THE Vangolo that the unit of measurement of distances in the infinite field (conv. 28) is called critical angle unit, or even angular unit usandone no other, as we will. Teor. Teor. IL Due settori angolari apposti al vertice sono uguali. THE two angular sectors affixed to the vertex are equal. Difatti siano (ab), (db') i due settori angolari di vertice R; e indichiamo con A^Bn i punti limiti assoluti all'infinito dei lati aeb, e con A'^ff^ quelli dei lati a' eb' rispetto ad R, che sono punti opposti dei primi due (def. II, 32). In fact, are (ab), (db ') the two angular sectors of vertex R, and denote by A ^ Bn points absolute limits infinity of the sides a and b, and A' ^ ^ ff those of the sides to 'b' with respect to R, which are opposite points of the first two (final II, 32). I due triangoli A^RB^, A'^RB'^ sono uguali (teor. Ili, 34), e perciò anche le due coppie rettilinee (ab) e (db') (coroll. teor. Ili, 17) quindi anche i settori angolari (ab), (db1) (teor. Ili, 15). The two triangles A ^ ^ RB, A '^ RB' ^ are equal (theor. Ill, 34), and therefore also the two pairs rectilinear (ab) and (db ') (theor. coroll.. Ill, 17) therefore also the angular sectors (ab), (db1) (theor. Ill, 15). Oppure: essi sono uguali essendo figure corrispondenti nella corrispon- denza d1 identità fra le due coppie di raggi (ab), (db') (teor. II e oss. IV, 15). Or: they are the same as the corresponding figures in correspondence d1 identity between the two pairs of spokes (ab), (db ') (theor. II and obs. IV, 15). Def. Def. III. III. Per settori angolari di due segmenti o raggi opposti limitati ad un punto R sulla medesima retta intenderemo quelli generati dal punto R e da una retta che passa pei punti limiti assoluti dei due raggi rispetto a R (def. II, 32 e teor. II, 30). For angular sectors or segments of two opposite rays limited to a point R on the same line shall understand those generated by the R-point and a line passing through the points absolute limits of the two beams with respect to R (def. II, 32 and theorem. II, 30). Teor. Teor. III. III. I due settori angolari (angoli) piatti determinati da un seg- XXXI) Questo teorema senza l'uso dell'infinito sarà dimostrato nel piano e in ge- nerale in una nota del n. The two angular sectors (corners) plates determined by a seg-xxxi) This theorem will be proved without the use of infinity in the plane and in ge-eral in a statement of no. 52 coir aiuto di teoremi dello spazio a tre dimensioni. 52 coir help of theorems of three-dimensional space. i) L'oss. i) oss. ie la def. ie the final. i, fanno meglio conoscere la differenza che c'è fra l'angolo e il settore an- golare (def. I e II, 38). i, they better know the difference there is between the angle and an industry-lar (def. I and II, 38).
Page 287 Page 287287 mento, o raggio limitato da un suo punto R, e dal suo prolungamento sono uguali, sia considerati nello stesso verso come nel verso opposto. 287 chin, or the beam is limited by one of its R-point, and its extension are the same, is considered in the same direction as in the opposite direction. Infatti i due punti A , A'^ limiti assoluti dei due raggi opposti rispetto ad R sono punti opposti su ogni retta r^ all'infinito che passa per essi (def. II, 32 e teor. II, 30), e dividono questa retta per metà (def. Ili, 6) ; e perciò i due settori angolari piatti determinati dai due raggi opposti aea' sono uguali sia nello stesso verso come in verso opposto, perché tale è la proprietà dei seg- menti della retta r^ determinati dai punti AM, A'w. In fact the two points A, A '^ absolute limits of the two radii R are opposite with respect to opposite points on each straight line r ^ infinity passing through them (def. II, 32 and theor.. II, 30), and divide this right half (def. Ill, 6), and therefore the two angular sectors determined by the two flat opposite rays and a 'are the same in the same direction as in the opposite direction, because that is the property of the segments of the line r ^ certain points from AM, A'w. Essi hanno anche la stessa misura (oss. Ili, 39), vale a dire lo stesso angolo (def. II, 38) Coroll. They also have the same extent (oss. Ill, 39), that is to say the same angle (final II, 38) Coroll. Una retta passante pel centro del fascio (Rrx) lo divide in due parti uguali nello stesso verso e in verso opposto. A straight line passing through the center of the beam (RRX) divides it into two equal parts in the same direction and in the opposite direction. 41. 41. 055. 055. 1. 1. Le denominazioni usate pel segmenti o per le distanze della retta com- pleta (def. 1,29) possono essere senz'altro usate per i settori angolari e per gli angoli. The designations employed PEL segments or distances of the line com-plete (def. 1.29) can certainly be used for angular sectors and corners. Def. Def. I. I. Se il segmento all'infinito corrispondente ad un settore angolare (def. I, 39) è retto (def. IV, 29) il settore angolare, o l'angolo corrispondente, si chiama retto. If the segment corresponding to an infinite angular sector (def. I, 39) is right (def. IV, 29) the angular sector, or the corresponding angle is called the rectum. Se un settore angolare, o un angolo, è maggiore di un retto dicesi ottu- so; acuto, se è minore di un retto. If an angular sector, or an angle, is greater than a right angle is said to obtuse-I; acute, if it is less than a right angle. Def. Def. IL Chiameremo supplementari due settori angolari o angoli la cui somma è uguale ad un angolo piatto, ossia alla somma di due angoli retti complementari invece quelli la cui somma è uguale ad un angolo retto. We shall call THE additional two angular sectors or angles whose sum is equal to a straight angle, ie the sum of two right angles complementary rather those whose sum is equal to a right angle. Teor. Teor. I. I. Due settori angolari (angoli) adiacenti sono supplementari. Two angular sectors (corners) are adjacent supplementary. Difatti essi danno per somma un settore angolare (angolo) piatto (def. VII, 38 e def. I, 39). In fact they give money to a sector angle (angle) flat (def. VII, 38 and final. I, 39). Teor. Teor. IL Tutti i settori angolari (angoli) retti sono uguali. THE All angular sectors (corners) are the same upright. Difatti tali sono i segmenti retti sulla retta completa (def. I e def. IV, 29). In fact these are the straight segments on a straight complete (def. I and def. IV, 29). Teor. Teor. III. III. Ogni settore angolare può essere diviso in n parti uguali. Each angular sector can be divided into n equal parts. Perché tale è la proprietà di ogni segmento della retta completa (int b, 99 oa, 103). Because this is the property of each segment of the line complete (int b, or 99, 103). ' Def. 'Def. III. III. La retta che divide per metà un settore angolare (ab) si chiama bissettrice del settore angolare o dell'angolo (ab). The straight line that divides by half an angular sector (ab) is called bissettrice of the angle or angular sector (ab). Def. Def. IV. IV. Due rette ad, bV che hanno un punto comune .R e sono divise da questo punto nelle coppie di raggi opposti a, a' ; 6, b', determinano quattro settori angolari consecutivi nel fascio (Rr^) da esse determinati (def. I, 39), cioè (ab), (ba1), (db'), (b'a)f che si chiamano i settori e angoli delle due rette. Two straight lines to, bV that have a common point. R and are divided by this point in the pairs of opposing beams a, a '; 6, b', determine four consecutive angular sectors in the beam (Rr ^) determined by them (final I, 39), ie, (ab), (ba1), (db '), (B'A) f which are called sectors and corners of the two lines. Per settore angolare o angolo delle due rette intendiamo il minore, o uno o l'altro se sono uguali, eccetto che non faccia bisogno di tener conto an- che degli altri. For angular sector or angle of the two lines mean the minor, or one or the other if they are equal, except that it does need to take into account that an-other. Def. Def. V. V. Se i punti ali1 infinito A^ A'^; B^, B'^ di due rette dividono la retta A^B^ in quattro segmenti retti, le due rette determinano quattro angoli retti. If the points at infinity ALI1 ^ A '^, B ^, B' ^ of two lines divide the straight line A ^ B ^ in four straight segments, the two lines determine four right angles. In tal caso le due rette si chiamano perpendicolari. In this case the two lines are called perpendicular. Così due raggi o due rette, anche non incontrandosi, sono ad angolo retto (def. I). Thus two rays or two straight lines, also not meeting each other, are at right angles (def. I). Teor. Teor. IV. IV. La bissettrice di un settore angolare (ab) è pure bìssettrice del- r altro settore determinato dai raggi ae 6, e dal settore opposto al vertice. The bissettrice of an angular sector (ab) is also bìssettrice of-r another area determined by the rays a and 6, and the sector opposite the vertex.
Page 288 Page 288288 Difatti vi è un solo pnnto di mezzo di un segmento (A^B^) della retta rx completa, mentre il punto opposto divide per metà I1 altro segmento deter- minato da A^, B^, e il segmento opposto (A'M ) (corali, teor. V. 29 e int. e, 64). 288 fact there is only one of pnnto means of a segment (A ^ B ^) of the straight line rx complete, while the opposite point divided by half I1 another segment deter-mined by A ^, B ^, and the opposite segment (A ' M) (choral theorem. V. 29 and int. and 64). Teor. Teor. V. V. Dal centro del fascio (RrM) si può condurre una sola perpendi- colare ad una retta del fascio. From the center of the beam (RRM) can be conducted only one perpendicular to a straight line of the beam. Difatti vi sono due soli punti opposti BM, che dividono coi punti A^, A'^- della retta data la retta rx in quattro segmenti retti consecutivi (ass. II, ao ip. I; int. 6, 99 oa, 103). In fact there are only two opposite points BM, sharing with the points A ^, A '^ - the straight line given the x-ray in four consecutive straight segments (abs. II, or ip. I, int. 6, or 99, 103) . Teor. Teor. VI. VI. Una retta perpendicolare ad una retta data, lo è pure a tutte le parallele a questa retta. A line perpendicular to a given line, so is all parallel to this line. Siano rer le due rette parallele col punto X^ X* comune ali1 infinito (def. II, 26 ; def. I e II, 32 e conv. 1,28) e la retta RY^ perpendicolare ad una di esse, per es. Rer are the two parallel lines with the point X ^ X * Common ALI1 infinity (def. II, 26; final. I and II, 32 and conv. 1.28) and the line RY ^ perpendicular to one of them, eg. -------------ad r. ------------- To r. L'angolo della retta r colla retta RY^ è misu- Dl * AOO rato dal segmento dei due punti (A^rj, e quindi è retto __________(def. I, 40) (fig. 25). X^ Teor. VII. Le due bissettrici dei settori angolari di due rette sono perpendicolari fra loYo. flg*25 Difatti si sa che i loro punti limiti assoluti ali' infi- nito determinano quattro segmenti retti (teor. V, 29). 3. Settori angolari e angoli di un triangolo e di due triangoli uguali. 42. Oss. I. la un triangolo ABC i raggi limitati da uno qualunque dei tre vertici e determinati dagli altri due determinano tre settori angolari, cioè : ^ AB ), ÓB , AC% Se il settore angolare che si ottiene congiungendo per es. The angle of the straight line r glue RY ^ Dl * AOO is measured by Rato segment of colon (A ^ rj, and thus is governed __________ (def. I, 40) (Fig. 25). X ^ Teor. VII . bissettrici The two angular sectors of the two lines are perpendicular to each Loyo. flg * 25 In fact, we know that their absolute limits points wings' infi-nite determine four straight segments (theor. V, 29). 3. Sectors and angular corners of a triangle and two equal triangles. 42. Oss. I. The triangle ABC rays limited by any of the three vertices and determined by the other two angles determine three sectors, namely: ^ AB), OB, AC% If the angular sector which is obtained by joining, for example. il vertice A coi pun- ti del lato opposto (BC) (def. I, 38), non coincidesse col settore angolare RAG anzi- detto, il triangolo avrebbe altri tre settori angolari. with the vertex A pun-ti of the opposite side (BC) (def. I, 38), does not coincide with the angular sector RAG-said indeed, the triangle would have three other angular sectors. Per ora lasciamo sospesa tale questione e intanto, quando non diremo diversa- mente, per settori angolari e For now we leave that question hanging and in the meantime, when we say otherwise mind, and angular sectors